高中数学关于命题题型总结
高中数学,常用逻辑用语题型归纳(解析版)
第一章常用逻辑用语第一节：简单命题‖知识梳理‖1．命题的概念一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．1.1.对于命题概念的理解(1)并不是任何语句都是命题，一个语句是命题应具备两个条件：①该语句是陈述句；②能够判断真假。
一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含有字母变量的语句，根据字母的取值范围，若能判断真假，则是命题；若不能判断真假，则不是命题．2．命题的分类判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题．3．命题的结构命题的结构形式是“若p，则q”，其中p是条件，q是结论．(1)在数学中，一般用小写字母p，q，r，…等表示命题．如命题p：2是无理数；命题q：π是有理数．(2)常见的命题形式为：“若p，则q”，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．当一个命题不是“若p，则q”的形式时，为了找出命题的条件和结论，可以对命题改写为“若p，则q”的形式．如命题“菱形的对角线互相垂直且平分”，可以改写为：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分”．‖题型归纳‖题型一命题及其真假的判断例题1、判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)垂直于同一直线的两条直线必平行吗？(2)x 2＋4x ＋5>0(x ∈R )； (3)x 2＋3x －2＝0；(4)一个数不是正数就是负数； (5)4是集合{1,2,3,4}中的元素； (6)求证y ＝sin 2x 的最小正周期为π. 【解】(1)是疑问句，不是命题．(2)是命题．因为当x ∈R 时，x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1>0恒成立，可判断真假，所以是命题，而且是真命题．(3)不是命题．因为语句中含有变量x ，在没给定x 的值之前，无法判断语句的真假，所以不是命题． (4)是命题．因为数0既不是正数也不是负数，所以是假命题． (5)是命题．因为4∈{1,2,3,4}，且是真命题． (6)是祈使句，不是命题．练习1、下面命题中是真命题的是( )A ．函数y ＝sin 2x 的最小正周期是2π B ．等差数列一定是单调数列 C ．直线y ＝ax ＋a 过定点(－1,0)D ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则角B 为锐角解析：A 中，y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x ，周期T ＝π，A 为假命题；B 中，当公差为0时，等差数列为常数列，B 为假命题；D 中，若AB →·BC →>0，则AB →与BC →的夹角为锐角，角B 为钝角，D 为假命题，故C 正确． 答案：C题型二 命题的结构形式例题2、把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－1或x ＝3；(3)有两个内角之和大于90°的三角形是锐角三角形； (4)实数的平方是非负数；(5)平行于同一平面的两条直线互相平行． 【解】(1)若ac >bc ，则a >b ，是假命题．(2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－1或x ＝3，是真命题．(3)若一个三角形中，有两个内角之和大于90°，则这个三角形是锐角三角形，是假命题． (4)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题．(5)若两条直线平行于同一个平面，则它们互相平行，是假命题．练习2、把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)能被9整除的数是偶数；(2)当x2＋(y－1)2＝0时，有x＝0，y＝1；(3)如果a>1, 那么函数f(x)＝(a－1)x是增函数．解：(1)若一个数能被9整除，则这个数是偶数，是假命题．(2)若x2＋(y－1)2＝0，则x＝0，y＝1，是真命题．(3)若a>1，则函数f(x)＝(a－1)x是增函数，是假命题．‖随堂练习‖1．下列语句为命题的个数有( )①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③22 019是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①④是命题，故选B.答案：B2．下列命题中是假命题的是( )A．若a·b＝0，则a⊥b(a≠0，b≠0)B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若ac2>bc2，则a>bD．5>3解析：B中两个向量模相等，方向不一定相同，故B为假命题．答案：B3．已知α，β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，则下列命题正确的是( ) A．若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βB．若m⊂α，n⊂α，l⊥n，l⊥m，则l⊥αC．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nD．若l⊥α且l⊥β，则α∥β解析：A中，α与β有可能平行，A错；B中，m与n不一定相交，B错；C中，m与n的关系不确定，C错；D中，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，D正确．故选D.答案：D4．指出下列命题中的条件p和结论q.(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分． 解：(1)条件p ：整数a 能被2整除，结论q ：整数a 是偶数．(2)条件p ：四边形是菱形，结论q ：四边形的对角线互相垂直且平分． 5．把下列命题改写为“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)函数y ＝x 3是奇函数； (2)奇数不能被2整除；(3)与同一直线平行的两个平面平行；(4)已知x ，y 是正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2. 解：(1)若一个函数是y ＝x 3，则它是奇函数，它是真命题．(2)若一个数是奇数，则它不能被2整除，它是真命题．(3)若两个平面都与同一直线平行，则这两个平面平行，它是假命题． (4)已知x ，y 是正整数，若y ＝x ＋1，则y ＝3，x ＝2，它是假命题． 6．已知函数f (x )＝cos x －|sin x |，那么下列命题中假命题是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在[－π，0]上恰有一个零点C ．f (x )是周期函数D ．f (x )在[－π，0]上是单调函数解析：∵f (－x )＝cos(－x )－|sin(－x )|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，A 正确；由f (x )＝cos x －|sin x |＝0，x ∈[－π，0]时，可得cos x ＝－sin x ，∴x ＝－π4，即f (x )在[－π，0]上恰有一个零点，B 正确；∵f (x ＋2π)＝cos(x ＋2π)－|sin(x ＋2π)|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为周期函数，C 正确；当x ∈[－π，0]f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f (x )在[－π，0]上不单调，D 为假命题，故选D. 答案：D四种命题及其相互关系‖知识梳理‖1．四种命题的概念2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．4．命题的真假判断一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能既真又假，也不能模棱两可，无法判断其真假．判断一个命题为真命题，需要逻辑推理(证明)，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．在四种命题中，互为逆否的两个命题同真或同假，称为等价命题．原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价．因此，四种命题中真假命题的个数一定为偶数个．‖题型归纳‖题型一四种命题的概念例题1、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)若a<1，则方程x2＋2x＋a＝0有实根；(2)若ab是正整数，则a，b都是正整数；(3)若a＋5是有理数，则a是无理数．【解】(1)原命题的逆命题为：若方程x2＋2x＋a＝0有实根，则a<1.否命题为：若a≥1，则方程x2＋2x＋a＝0没有实根．逆否命题为：若方程x2＋2x＋a＝0没有实根，则a≥1.(2)原命题的逆命题为：若a，b都是正整数，则ab是正整数；否命题为：若ab不是正整数，则a，b不都是正整数；逆否命题为：若a，b不都是正整数，则ab不是正整数．(3)原命题的逆命题为：若a是无理数，则a＋5是有理数．否命题为：若a＋ 5 不是有理数，则a不是无理数．逆否命题为：若a不是无理数，则a＋5不是有理数．练习1、“若a≥2，则a2≥4”的否命题是( )A．若a≤2，则a2≤4B．若a≥2，则a2≤4C．若a<2，则a2<4D．若a≥2，则a2<4解析：否命题既否定条件，又否定结论，所以“若a≥2，则a2≥4”的否命题为“若a<2，则a2<4”，故选C.答案：C题型二四种命题的相互关系例题2、下列说法中，不正确的是( )A．“若p，则q”与“若q，则p”互为逆命题B．“若﹁p，则﹁q”与“若q，则p”互为逆否命题C．“若﹁p，则﹁q”是“若p，则q”的逆否命题D．“若﹁p，则﹁q”与“若p，则q”互为否命题【解析】根据四种命题的概念知，A、B、D正确；C错误．【答案】 C练习2、若命题A的否命题为B，命题A的逆否命题为C，则B与C的关系是( )A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确解析：设命题A为：“若p，则q”，依题意得，命题B为：“若﹁p，则﹁q”，命题C为：“若﹁q，则﹁p”，所以B与C为互逆命题．答案：A题型三四种命题的真假判断例题3、有下列四个命题：①“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”的否命题；②“若m＝2，则直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行”的逆命题；③“已知a，b是非零向量，若a·b>0，则a与b方向相同”的逆否命题；④“若x≤3，则x2－x－6>0”的逆否命题．其中为真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】命题“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”的逆命题为：“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，是真命题．因为逆命题与否命题等价，所以①正确；因为②中原命题的逆命题为：“若直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行，则m＝2”，是真命题，故②正确；对于③可考虑原命题．设a＝(0,1)，b＝(1,1)，则a·b＝1>0，但a与b不同向，所以原命题为假命题，故③为假命题；④中命题“若x≤3，则x2－x＋6>0”的逆否命题为：“若x2－x＋6≤0，则x>3”，是假命题，故④为假命题．【答案】 B练习3、下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题解析：A中，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，为真命题；B中，命题“若x>1，则x2>1”的逆命题为“若x2>1，则x>1”，为假命题，所以其否命题为假命题；C中，命题的逆命题为“若x2＋x－2＝0，则x＝1”，为假命题，所以其否命题为假命题；D中，命题“若x2>1，则x>1”为假命题，则逆否命题为假命题，故选A.答案：A题型四、等价命题的应用例题4、判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假．【解】 解法一：原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．真假判断过程如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. 若a <1，则4a －7<0.所以抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点．所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．故逆否命题为真命题． 解法二：判断原命题的真假．已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集， 则Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，得a ≥74，从而a ≥1成立．所以原命题为真命题．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真命题．练习4、已知奇函数f (x )是定义在R 上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0. 证明：原命题的逆否命题是：若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<0.∵a ＋b <0，∴a <－b . 又∵f (x )在R 上为增函数， ∴f (a )<f (－b )．又f (x )为奇函数，∴f (－b )＝－f (b )． ∴f (a )<－f (b )，即f (a )＋f (b )<0. ∴原命题的逆否命题为真命题． 故原命题成立．‖随堂练习‖1．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是( )A ．若a >b ，则a －1≤b －1B ．若a >b ，则a －1<b －1C ．若a ≤b ，则a －1≤b －1D ．若a <b ，则a －1<b －1 解析：否命题应同时否定条件和结论． 答案：C2．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是( )A ．若q 不正确，则p 不正确B ．若q 不正确，则p 正确C ．若p 正确，则q 不正确D ．若p 正确，则q 正确解析：由于原命题的逆命题与否命题互为等价命题，故D 正确． 答案：D3．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ＝0，则x ≠0”B ．“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题为真命题C ．“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题解析：C 中，原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，是真命题． 答案：C 4．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有____________；互为否命题的有____________；互为逆否命题的有____________． 解析：命题③可以改写为：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；命题④可以改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补；命题⑤可以改写为：若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆．其中②和④，③和⑥互为逆命题；①和⑥，②和⑤互为否命题；①和③，④和⑤互为逆否命题． 答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤5．写出命题“如果|x －2|＋(y －1)2＝0，则x ＝2且y ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：如果x ＝2且y ＝1，则|x －2|＋(y －1)2＝0.真命题．否命题：如果|x －2|＋(y －1)2≠0，则x ≠2或y ≠1.真命题． 逆否命题：如果x ≠2或y ≠1，则|x －2|＋(y －1)2≠0.真命题．6．设△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，在命题“若a 2＋b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形”及其逆命题中( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．两个命题都真D ．两个命题都假解析：原命题“若a 2＋b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形”是假命题，而逆命题“若△ABC 不是直角三角形，则a 2＋b 2≠c 2”是真命题．故选B.充分条件与必要条件‖知识梳理‖1．推出关系一般地，命题“若p，则q”为真，可记作“p⇒q”；“若p，则q”为假，可记作p⇒q2．充分条件与必要条件一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．若p⇒q，则说p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可．3．充要条件如果p⇒q且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.同时q也是p 的充要条件．若p⇒q，同时q⇒p，则称p与q互为充要条件，可以表示为p⇔q(p与q等价)，它的同义词还有：“当且仅当”、“必须只需”、“…，反过来也成立”．准确地理解和使用数学语言，对理解和运用数学知识是十分重要的．4．充分条件和必要条件的判断①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇒q，且q p，则称p是q的充分不必要条件．③若p q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．④若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充要条件．⑤若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．4.从集合与集合之间的关系看充分条件、必要条件：‖题型归纳‖题型一充分条件、必要条件的判定例题1、指出下列各题中，p是q的什么条件(在充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B；q：BC>AC；(2)设x，y∈R，p：x＋y≠8；q：x≠2或y≠6；(3)已知x，y∈R，p：(x－1)(y－2)＝0；q：(x－1)2＋(y－2)2＝0；(4)在△ABC中，p：sin A>sin B；q：tan A>tan B．【解】(1)在△ABC中，有∠A>∠B⇔BC>AC，即p⇔q，所以p是q的充要条件．(2)由已知得﹁p：x＋y＝8；﹁q：x＝2且y＝6.易知﹁q⇒﹁p，但﹁p﹁q，等价于p⇒q，且q p，所以p是q的充分不必要条件．(3)由已知得p：A＝{(x，y)|x＝1或y＝2}；q：B＝{(1,2)}，易知q⇒p，且p q，所以p是q 的必要不充分条件．(4)在△ABC中，取∠A＝120°，∠B＝30°，则p q；又取∠A＝30°，∠B＝120°，则q p.所以p是q的既不充分也不必要条件．练习1—1、“a＝1”是“直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件练习1-2、“a＝4”是“y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)若直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直，则a2－a＝0，则a＝0或a＝1，故“a＝1”是“直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直”的充分不必要条件．(2)若函数y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数，则a2≤2，即a≤4，故“a＝4”是“y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．答案：(1)A (2)A题型二充分条件、必要条件的应用例题2、已知命题p：对数log a(－2t2＋7t－5)(a>0，a≠1)有意义；命题q：实数t满足不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.(1)若命题p为真命题，求实数t的取值范围；(2)若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解】 (1)由对数式有意义，得－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52，∴若命题p 为真命题，则实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0， 可化为(t －1)(t －a －2)<0.若p 是q 的充分不必要条件，则1<t <52是不等式解集的真子集．则a ＋2>52，∴a >12.∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.练习2、已知函数f (x )＝x 2－x ＋a ，集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，集合B ＝{x |f (x )≤0}，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求a 的取值范围． 解：∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则f (x )≤0，x ∈[－1,1]恒成立， 即x 2－x ＋a ≤0，x ∈[－1,1]恒成立， 即f (x )max ≤0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋a ≤0，1－1＋a ≤0，即a ≤－2.∴a 的取值范围为(－∞，－2]．题型三 充要条件的证明例题3、已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.【证明】 证法一：①充分性：由xy >0，及x >y ，得x xy >y xy ，即1y >1x ，即1x <1y. ②必要性：由1x <1y，得1x －1y<0， 即y －xxy<0. ∵x >y ，∴y －x <0，∴xy >0. 由①②知，1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0.故y －xxy <0⇔xy >0. ∴1x <1y ⇔xy >0.即1x <1y的充要条件是xy >0.练习3、求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为－1的充要条件是a －b ＋c ＝0. 证明：①充分性：∵a －b ＋c ＝0，∴a (－1)2＋b (－1)＋c ＝0，∴－1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根． ②必要性：∵ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是－1， ∴a (－1)2＋b (－1)＋c ＝0， 即a －b ＋c ＝0.由①②知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1的充要条件是a －b ＋c ＝0.题型四 充要条件的探求例题4、设集合A ＝{x |－2≤x ≤a }，B ＝{y |y ＝2x ＋3，x ∈A }，M ＝{z |z ＝x 2，x ∈A }，求使M ⊆B 的充要条件．【解】 ∵A ＝{x |－2≤x ≤a }．∴B ＝{y |y ＝2x ＋3，x ∈A }＝{y |－1≤y ≤2a ＋3}． 当－2≤a <0时，M ＝{z |a 2≤z ≤4}； 当0≤a ≤2时，M ＝{z |0≤z ≤4}； 当a >2时，M ＝{z |0≤z ≤a 2}． 故当－2≤a ≤2时，M ⊆B ， 得2a ＋3≥4，即a ≥12.∴12≤a ≤2. 当a >2时，M ⊆B ，得 2a ＋3≥a 2，解得－1≤a ≤3. ∴2<a ≤3.综上知，M ⊆B 的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12≤a ≤3.练习4、直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是________． 解析：∵直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切，∴圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于2，∴|1＋1＋m |2＝2，∴m ＝－4或m ＝0. 当m ＝－4或m ＝0时，直线与圆相切． 答案：m ＝－4或m ＝0‖随堂练习‖1．设a >0，b >0，则“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＋b ≥ab ＋1，得a －1＋b －ab ≥0，即(a －1)(1－b )≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0<b ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，b ≥1，∴a 2＋b2≥1，即a ＋b ≥ab ＋1⇒a 2＋b 2≥1，但当a ＝b ＝2时，有a 2＋b 2≥1，而a ＋b <ab ＋1.∴“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”的必要不充分条件，故选B. 答案：B2．已知命题p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，命题q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则﹁p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由p 成立，得a ≤1；由q 成立，得a >1，∴当﹁p 成立时，a >1，∴﹁p 是q 的充要条件． 答案：C3．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若m ⊥α，l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，反之，若m ⊥α，l ∥α，则l ⊥m ，∴“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件，故选B. 答案：B4．已知p ：函数f (x )＝|x －a |在(2，＋∞)上是增函数，q ：函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)是减函数，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p 为真，则a ≤2；若q 为真，则0<a <1.则q ⇒p ，pq ，∴p 是q 的必要不充分条件，故选A. 答案：A5．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，又p 是q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2，m ＞0，(等号不能同时成立)，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围是[9，＋∞)．6．设x ∈R ，则“0<x <5”是“|x －1|<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：由|x －1|<1，得0<x <2，∴“0<x <5”是“0<x <2”的必要而不充分条件，故选B. 答案：B简单的逻辑联结词‖知识梳理‖1．逻辑联结词把两个命题联结而成新命题的常用逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．2．简单命题与复合命题(1)不含逻辑联结词的命题叫做简单命题．(2)由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．复合命题一般有三种类型：①p且q；②p或q；③非p.(3)复合命题的真假①p且q同真才真，其他均假；②p或q同假才假，其他均真；③非p与p真假相反．3．对逻辑联结词“或”的理解“或”与日常生活用语中的“或”意义不同，日常生活用语中的“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息；而逻辑联结词中“或”含有“同时兼有”的意思，如x<－1或x>2.因此“p或q”的含义有三层意思：①p成立q不成立；②p不成立q成立；③p与q同时成立．4．对逻辑联结词“非”的理解“非”是否定的意思，如“3是非偶数”是对命题“3是偶数”进行否定而得出的新命题．一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语与它的否定如下表：5.逻辑联结词与集合的运算集合中的“交”、“并”、“补”与逻辑联结词“且”、“或”、“非”有密切关系，设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，可有如下关系：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}＝{x|p∧q}；A∪B＝{x|x∈A或x∈B}＝{x|p∨q}；∁U A＝{x|x∈U且x∉A}＝{x|﹁p}．6．命题的否定形式与否命题的关系：命题的否定与否命题都是对关键词进行否定，但有如下区别：(1)定义不同命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对命题的条件和结论都否定后组成的新命题．(2)构成形式不同对于“若p，则q”形式的命题，其否定形式为“若p，则﹁q”，即不改变条件，只否定结论；而其否命题的形式为“若﹁p，则﹁q”，即对命题的条件和结论都否定．(3)与原命题的真假关系命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假；而否命题的真假与原命题的真假没有必然联系．(4)“p或q”的否定是“非p且非q”，“p且q”的否定是“非p或非q”．‖题型归纳‖题型一命题的构成例题1、分别写出由下列命题构成的“p∧q”，“p∨q”，“﹁p”形式的命题：(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：12是3的倍数，q：12是4的倍数；(3)p：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1，q：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2.【解】(1)“p∧q”：π是无理数且e不是无理数；“p∨q”：π是无理数或e不是无理数；“﹁p”：π不是无理数．(2)“p∧q”：12是3的倍数且是4的倍数；“p∨q”：12是3的倍数或是4的倍数；“﹁p”：12不是3的倍数．(3)“p∧q”：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1且方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2；“p∨q”：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1或方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2；“﹁p”：方程x2－3x＋2＝0的根不是x＝1.练习1、试写出下列命题中的p ，q .(1)梯形有一组对边平行且相等；(2)方程x 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等； (3)一元二次方程至少有三个根． 解：(1)是p 且q 形式的命题．p ：梯形有一组对边平行； q ：梯形有一组对边相等．(2)是p 或q 形式的命题．p ：方程x 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根； q ：方程x 2＋2x ＋1＝0的两根的绝对值相等．(3)是﹁p 的形式．p ：一元二次方程最多有两个根．题型二 复合命题的真假判断例题2、分别指出由下列各组命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”形式的命题的真假：(1)p ：π>3，q ：π<2；(2)p ：若x ≠0，则xy ≠0，q ：若y ≠0，则xy ≠0；(3)p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边； (4)p ：函数y ＝x 12的定义域为R ，q ：函数y ＝x 2是偶函数．【解】 (1)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，﹁p 是假命题．(2)∵p 是假命题，q 是假命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是假命题，﹁p 是真命题． (3)∵p 是真命题，q 是真命题，∴p ∧q 是真命题，p ∨q 是真命题，﹁p 是假命题． (4)∵p 是假命题，q 是真命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，﹁p 是真命题．练习2—1、命题p ：若ac 2>bc 2，则a >b ，命题q ：在△ABC 中，若A ≠B ，则sin A ≠sin B ，下列选项正确的是( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．“p 或q ”为假D ．“p 且q ”为真练习2—2、已知命题p ：不等式－x 2＋2x <0的解集是{x |x <0或x >2}，命题q ：在△ABC 中，A >B 是sin A >sinB 的充要条件，则( )A ．p 真q 假B ．p ∨q 假C ．p ∧q 真D ．p 假q 真解析：(1)p 为真命题，q 为真命题，∴p 且q 为真，故选D.(2)由－x 2＋2x <0，得x >2或x <0，故p 为真命题，在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B ，故q 为真命题，所以p ∧q 为真，故选C. 答案：(1)D (2)C题型三 命题的否定与否命题例题3、写出下列命题的否定与否命题，并判断真假．(1)若abc ＝0，则a ，b ，c 中至少有一个为0； (2)若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0； (3)等腰三角形有两个内角相等．【解】 (1)命题的否定：若abc ＝0，则a ，b ，c 中都不为0，为假命题；否命题：若abc ≠0，则a ，b ，c 都不为0，为真命题．(2)命题的否定：若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0，为假命题； 否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0，为真命题． (3)命题的否定：等腰三角形的任意两个内角都不相等，为假命题； 否命题：不是等腰三角形的三角形中任意两个角都不相等，为真命题．练习3、“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是___________；否命题是___________． 解析：命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，因此否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除． 答案：末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除题型四 逻辑联结词“或”“且”“非”的应用例题4、设命题p ：ln a <0；命题q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R .(1)若命题q 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 或q 是真命题，命题p 且q 是假命题，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立．当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立； 当a ≠0时，不等式恒成立的条件是@⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(－1)2－4a ×a ≤0，解得a ≥12.所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≥12.(2)若命题p 为真，则0<a <1，由“p 或q 是真命题，p 且q 是假命题”可知，命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a <12，得0<a <12；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a ≥12，得a ≥1.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[1，＋∞)．练习4、已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：二次函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围． 解：若函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减，则0<a <1，∴p ：0<a <1.若曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于两点， 则(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52.∴q ：a <12或a >52.若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，则p 与q 一真一假，若p 真q 假，由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a ≤52，a >0且a ≠1，得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.若p 假q 真，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a <12或a >52，a >0且a ≠1，得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.‖随堂练习‖1．已知命题p ：x ∈A ∪B ，则﹁p 是( )A ．x ∉A ∪B B ．x ∉A 或x ∉BC ．x ∉A 且x ∉BD ．x ∈A ∩B解析：由x ∈A ∪B ，知x ∈A 或x ∈B .﹁p 是：x ∉A 且x ∉B .故选C. 答案：C2．已知p ：|x ＋1|>2，q ：x >a ，则﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A．a≥1 B．a≤1C．a≥－3 D．a≤－3解析：由|x＋1|>2，得x<－3或x>1，∵﹁p是﹁q的充分不必要条件，∴﹁p⇒﹁q，∴q⇒p，∴a≥1，故选A.答案：A3．设p，q是两个命题，若﹁(p∨q)是真命题，那么( )A．p是真命题且q是假命题B．p是真命题且q是真命题C．p是假命题且q是真命题D．p是假命题且q是假命题解析：﹁(p∨q)是真命题，则p∨q是假命题，故p，q均为假命题．答案：D4．下列三个结论：①命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；②若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件．其中正确结论的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”，即①正确；由p是q的充分不必要条件，可得由p能推出q，但是q不能推出p，所以﹁q能推出﹁p，﹁p不能推出﹁q，故﹁q是﹁p的充分不必要条件，即②正确；若p∧q为真，则p，q都为真，所以p∨q为真；若p∨q为真，则p，q至少有一个为真，所以“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，即③错误．故选C. 答案：C5．已知命题p：若a>b，则a2>b2，命题q：若a<b，则ac2<bc2，下列命题为真命题的是( ) A．p∧q B．p∧(﹁q)C．p∨(﹁q) D．p∨q解析：若a＝－1，b＝－2，满足a>b，但a2<b2，∴p为假命题，当c＝0，a<b时，但ac2＝bc2，q为假命题．∴p∧q为假，p∧(﹁q)为假，p∨q为假，p∨(﹁q)为真，故选C.答案：C6．已知命题p：α，β是第一象限角，则α>β是sin α>sin β的充要条件，命题q：若S n为等差数列{a n}的前n项和，则S m，S2m，S3m(m∈N*)成等差数列，下列命题为真命题的个数是( )①p∨(﹁q) ②(﹁p)∧q③(﹁p)∨(﹁q) ④p∧qA．1个B．2个C．3个D．4个解析：∵p为假命题，q为假命题，∴p∨(﹁q)为真命题，(﹁p)∧q为假命题，(﹁p)∨(﹁q)为真命题，p∧q为假命题．故选B. 答案：B全称量词与存在量词‖知识梳理‖1．全称量词和全称命题2.存在量词和特称命题3．全称命题与特称命题的辨析同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择．有的命题省略全称量词，但仍是全称命题．例如：“实数的绝对值是非负数”，省略了全称量词“任意”．但它仍然是全称命题．因此，要判定一个命题是否是全称命题，除看它是否含有全称量词外，还要结合具体意义去判断．4．全称命题与特称命题的真假要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．。
高中数学命题的四种形式例题解析
1.3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．知识点二四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．1．有的命题没有逆命题．(×)2．两个互逆命题的真假性相同．(×)3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．(√)4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．(√)题型一四种命题的结构形式例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．反思感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．题型二四种命题的真假判断例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2下列命题中为真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④答案 B解析 ①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”．故为真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题． ③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m <0，∴m <－14<0.故为真命题．④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数．故为真命题． 故正确的命题为①③④，故选B. 题型三 等价命题的应用例3 证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0， 则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”． 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．反思感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．跟踪训练3 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假． 解 先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，a ≥74⇒a ≥1，所以原命题为真，又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．命题的等价性典例 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．解 张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．[素养评析] 逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质，本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理，得出相应的合理解释．1．命题“如果a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( ) A ．如果a ∉A ，则b ∉B B ．如果a ∈A ，则b ∉B C ．如果b ∈B ，则a ∉A D ．如果b ∉B ，则a ∉A答案 B解析 命题“如果p ，则q ”的否命题是“如果綈p ，则綈q ”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若綈p ，则q ”的逆否命题为( ) A ．若p ，则綈q B ．若綈q ，则綈p C ．若綈q ，则p D ．若q ，则p 答案 C3．下列命题为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＝1，则x 2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题答案 A解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题．5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、选择题1．“如果x>y，则x2>y2”的逆否命题是()A．如果x≤y，则x2≤y2B．如果x>y，则x2<y2C．如果x2≤y2，则x≤y D．如果x<y，则x2<y2答案 C解析由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“如果a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“如果a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．3．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为()A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角D．以上都不对答案 B解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确答案 A解析设p为“如果A，则B”，那么q为“如果綈A，则綈B”，r为“如果綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．5．有下列四个命题：①“如果x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“如果q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④答案 C解析 命题①：“如果x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“如果x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ≤1”是真命题；命题④是假命题．6．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假 D ．假、假、假答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题．7．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题为真命题，逆命题为假命题B ．原命题为假命题，逆命题为真命题C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题 答案 A解析 逆否命题：若a ，b 都小于1，则a ＋b <2，是真命题，所以原命题是真命题．逆命题：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2.例如，a ＝3，b ＝－3满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但a ＋b ＝0，故逆命题是假命题．故选A.8．关于命题“若拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}⇏∅”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论正确的是( ) A ．都是真命题 B ．都是假命题 C ．否命题是真命题 D ．逆否命题是真命题 答案 D解析 原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．逆命题“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}D ＝/∅，则拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即拋物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D. 二、填空题9．下列命题：①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题． 其中真命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“如果x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题是“如果a >b ，则ac 2>bc 2”，是假命题．所以真命题是①②③.10．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 11．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________． 答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断． 三、解答题12．判断下列命题的真假．(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；(3)若x2＋y2≠0，则xy≠0.考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解(1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．(3)该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．14．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M 中的元素不都是P的元素．A．1 B．2 C．3 D．4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．故选B.15．已知条件p ：|5x －1|＞a ＞0，其中a 为实数，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0，请选取一个适当的a 值，利用所给出的两个条件p ，q 分别作为集合A ，B ，构造命题“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？ 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假解 由|5x －1|＞a ＞0，得5x －1＜－a 或5x －1＞a ，即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5. 由12x 2－3x ＋1＞0，得2x 2－3x ＋1＞0， 解得x ＜12或x ＞1. 为使“若A ，则B ”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A B .令a ＝4，得p ：x ＜－35或x ＞1， 满足题意，故可以选取a ＝4，此时原命题是“若|5x －1|＞4，则12x 2－3x ＋1＞0”。
高考数学四种命题及其相互关系知识点汇总
高考数学四种命题及其相互关系知识点汇总数学课本中出现的四种命题的内容经常在高考选择题中考察，下面是店铺给大家带来的高考数学四种命题及其相互关系知识点汇总，希望对你有帮助。
高考数学四种命题及其相互关系知识点(一)1、四种命题：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，四种命题的形式是：(1)原命题：若p则q;(2)逆命题：若q则p;(3)否命题：若则;(4)逆否命题：若则。
2、四种命题的真假关系：一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的;3、四种命题的相互关系：注意：1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。
2、互为逆否命题同真假，即“等价”高考数学四种命题及其相互关系知识点(二)【若则命题】命题的常见形式为“若p则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.【逆命题】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题(originalproposition)，另一个称为原命题的逆命题(inverseproposition).也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”.【否命题】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题称为互否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题(negativeproposition).也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若，则”.【逆否命题】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题(inverseandnegativeproposition).也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若，则”.。
高中数学真命题知识点总结
高中数学真命题知识点总结一、函数和方程1. 函数的概念和性质1.1 函数的定义1.2 函数的性质：奇函数、偶函数、周期函数1.3 函数的图像和性质1.4 函数的定义域和值域1.5 反函数的存在条件1.6 复合函数的概念及计算1.7 函数的单调性和极值1.8 函数的奇偶性1.9 函数的周期性1.10 一次函数、二次函数、幂函数的性质和图像1.11 指数函数和对数函数的性质和图像2. 解析几何2.1 直线和圆的方程2.2 抛物线、椭圆、双曲线的方程及性质2.3 几何图形的变换（平移、旋转、放缩）3. 数列与等差数列3.1 等差数列的概念和性质3.2 等差数列前n项和3.3 等差数列通项公式及求和公式3.4 等差数列的应用4. 不等式4.1 不等式的性质及基本解法4.2 一元一次不等式4.3 一元二次不等式4.4 绝对值不等式5. 高中数学函数的应用5.1 函数的概率和统计应用5.2 函数在几何问题中的应用5.3 函数在物理问题中的应用5.4 函数在经济问题中的应用6. 方程的应用6.1 一元一次方程的应用6.2 一元二次方程的应用6.3 二元线性方程组的应用6.4 导数及其在实际问题中的应用7. 选修内容7.1 平面向量的基本概念和性质7.2 几何向量的共线、共面、线性运算及坐标表示7.3 平面向量运算二、解析几何1. 直线与圆1.1 直线方程的求法及性质1.2 圆的标准方程和一般方程的表示2. 曲线的方程及性质2.1 抛物线、椭圆、双曲线的标准方程和一般方程的表示2.2 曲线的拐点和渐近线2.3 曲线的凹凸性3. 空间几何3.1 空间中的点、直线和平面3.2 点到直线、点到平面的距离3.3 直线与平面的位置关系3.4 设点到平面上的距离为已知值的条件3.5 直线与平面相交的条件3.6 空间几何向量的表示及平行四边形、三角形的性质4. 空间几何的应用4.1 空间位置关系4.2 空间图形的旋转、投影4.3 空间几何的应用5. 选修内容5.1 空间向量及其线性运算5.2 空间向量的夹角、共线与共面的判定5.3 点、直线与平面方程的应用三、三角函数1. 基本概念1.1 弧度制和角度制1.2 三角函数的基本概念及性质1.3 三角函数的图像和性质2. 三角函数的变换2.1 三角函数的平移和反射2.2 三角函数的周期性和奇偶性3. 三角函数的解析表达式3.1 三角函数解析式的推导及性质3.2 三角函数的同角变换公式3.3 三角函数的和差化积公式4. 三角恒等变换4.1 三角恒等式的证明和应用4.2 三角函数方程的解法4.3 三角函数方程的阶段解法5. 三角函数在几何问题中的应用5.1 三角函数在平面几何问题中的应用5.2 三角函数在空间几何问题中的应用6. 选修内容6.1 反三角函数的定义及性质6.2 反三角函数的应用6.3 二次三角函数的性质及图像四、数列与数学归纳方法1. 数列的概念及分类1.1 数列的基本概念1.2 等差数列及其性质1.3 等比数列及其性质2. 数列的通项公式及求和公式2.1 等差数列和的通项公式及求和公式2.2 等比数列和的通项公式及求和公式2.3 数列极限及无穷数列的收敛性3. 数学归纳法3.1 数学归纳法的基本原理3.2 数学归纳法在证明中的应用3.3 数学归纳法的应用4. 数列的应用4.1 数列在数学问题中的应用4.2 数列在物理问题中的应用4.3 数列在化学问题中的应用五、数学建模1. 基本概念1.1 数学建模的定义及特点1.2 数学建模的基本过程1.3 数学建模的范畴及发展历史2. 常见数学建模方法2.1 经验公式法2.2 数据拟合法2.3 几何建模法2.4 差分方程法2.5 数学统计法3. 数学建模实例3.1 数学建模在经济领域中的应用3.2 数学建模在物理领域中的应用3.3 数学建模在生物领域中的应用4. 数学建模的评价4.1 数学建模的优点和不足4.2 数学建模的价值和意义4.3 数学建模在现实中的应用六、数理逻辑1. 命题及其逻辑连接词1.1 命题的概念1.2 命题联结词的概念1.3 命题的复合运算2. 命题的等价与蕴含2.1 命题的等价关系及判断方法2.2 命题的蕴含关系及判断方法2.3 命题的推理法则3. 数理逻辑表达与推理3.1 数理逻辑表达的概念3.2 数理逻辑推理的基本原则3.3 数理逻辑推理的方法与技巧4. 数理逻辑在应用中的问题4.1 数理逻辑在科学研究中的应用4.2 数理逻辑在日常生活中的应用4.3 数理逻辑在人工智能中的应用七、高等数学1. 极限与无穷1.1 极限的定义及性质1.2 无穷数列及级数的收敛性1.3 函数的极限及极限的计算1.4 无穷小量和无穷大量的概念及性质2. 微积分2.1 导数的概念及性质2.2 微分的基本概念及性质2.3 微分中值定理及泰勒公式2.4 不定积分及定积分的基本概念2.5 不定积分的计算及性质2.6 定积分的计算及性质3. 微分方程3.1 微分方程的基本概念3.2 微分方程的分类及解法3.3 微分方程的应用4. 泛函分析4.1 线性泛函的概念及性质4.2 空间中的选择公理与泛函分析4.3 泛函极值及最值问题5. 多元函数5.1 多元函数的基本概念5.2 多元函数的连续性与可微性5.3 多元函数的极值及最值5.4 多元函数的积分及其应用总结：高中数学涉及的知识点丰富多样，包括了函数和方程、解析几何、三角函数、数列和数学归纳方法、数学建模、数理逻辑及高等数学等内容。
命题及其关系、充分条件及必要条件知识点及题型归纳
-●高考明方向1.理解命题的概念．2.了解"假设p，则q〞形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.*备考知考情常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考察形式以选择题为主，试题多为中低档题目，命题的重点主要有两个：一是命题及其四种形式，主要考察命题的四种形式及命题的真假判断；二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考察充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数*围问题，考察考生的逆向思维.一、知识梳理"名师一号"P4知识点一命题及四种命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．注意：命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感慨句都不是命题。
2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系．(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．注意：(补充)1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题2、常见词语的否认知识点二充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件的概念〔1〕充分条件：q p ⇒ 则p 是q 的充分条件即只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，亦即要使q 成立，有p 成立就足够了，即有它即可。
〔2〕必要条件：q p ⇒ 则q 是p 的必要条件即没有q 则没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，即无它不可。
(补充)〔3〕充要条件q p ⇒且q p ⇒即p q ⇔则p 、q 互为充要条件〔既是充分又是必要条件〕"p 是q 的充要条件〞也说成"p 等价于q 〞、 "q 当且仅当p 〞等 (补充)2、充要关系的类型〔1〕充分但不必要条件定义：假设q p ⇒，但p q ⇒/， 则p 是q 的充分但不必要条件；〔2〕必要但不充分条件定义：假设p q⇒，但q p ⇒/， 则p 是q 的必要但不充分条件〔3〕充要条件定义：假设q p ⇒，且p q ⇒，即p q ⇔， 则p 、q 互为充要条件；〔4〕既不充分也不必要条件 定义：假设q p ⇒/，且p q ⇒/， 则p 、q 互为既不充分也不必要条件．3、判断充要条件的方法："名师一号"P6 特色专题①定义法；②集合法；③逆否法〔等价转换法〕．逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性集合法----利用集合的观点概括充分必要条件假设条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．〔1〕假设⊂≠A B ，则p 是q 的充分但不必要条件〔2〕假设⊂≠B A ，则p 是q 的必要但不充分条件〔3〕假设B A =，则p 是q 的充要条件〔4〕假设B A ⊂/，且B A ⊃/， 则p 是q 的既不必要也不充分条件 (补充)简记作----假设A 、B 具有包含关系，则〔1〕小*围是大*围的充分但不必要条件〔2〕大*围是小*围的必要但不充分条件二、例题分析〔一〕四种命题及其相互关系例1.(1) "名师一号"P4 对点自测1命题"假设*，y 都是偶数，则*＋y 也是偶数〞的逆否命题是( )A ．假设*＋y 是偶数，则*与y 不都是偶数B ．假设*＋y 是偶数，则*与y 都不是偶数-C．假设*＋y不是偶数，则*与y不都是偶数D．假设*＋y不是偶数，则*与y都不是偶数答案 C例1.(2) "名师一号"P5 高频考点例1以下命题中正确的选项是( )①"假设a≠0，则ab≠0〞的否命题；②"正多边形都相似〞的逆命题；③"假设m>0，则*2＋*－m＝0有实根〞的逆否命题；④"假设*－123是有理数，则*是无理数〞的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④解析:①中否命题为"假设a＝0，则ab＝0〞，正确；②中逆命题不正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；④中原命题正确故逆否命题正确．答案 B注意："名师一号"P5 高频考点例1 规律方法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比拟每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的"逆命题〞"否命题〞"逆否命题〞；判定命题为真命题时要进展推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．例1.(3) "名师一号"P4 对点自测2(2014·**卷)原命题为"假设z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|〞，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假．注意："名师一号"P5 问题探究问题2四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；-互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比拟困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注"特例法〞的应用．例2．(1)(补充)〔2011**文5)a ，b ，c ∈R ，命题"假设a b c ++=3，则222a b c ++≥3〞的否命题．．．是〔 〕 (A)假设a+b+c ≠3，则222a b c ++<3(B)假设a+b+c=3，则222a b c ++<3(C)假设a+b+c ≠3，则222a b c ++≥3(D)假设222a b c ++≥3，则a+b+c=3【答案】A 来 【解析】命题"假设p ，则q 〞的否命题是："假设p ⌝，则q ⌝〞 例2．(2)(补充)命题："假设0xy =，则0x =或0y =〞的否认．．是：________ 【答案】假设0xy =，则0x ≠且0y ≠【解析】命题的否认只改变命题的结论。
高中数学命题知识点总结
高中数学命题知识点总结高中数学命题的知识点包括数与式、函数、方程与不等式、平面向量、立体几何、三角函数、指数与对数、概率与统计等。
下面将对这些知识点进行总结和概述。
1. 数与式：数与式是高中数学的基础，包括整数、有理数、实数等的概念与性质，以及运算法则、计算方法等。
在高中数学命题中会涉及到数与式的计算、运算以及应用等方面的问题。
2. 函数：函数是高中数学的重要概念，包括函数的定义、性质、运算、图像等方面。
高中数学命题中会考察函数的求值、性质、图像与解析式之间的关系等问题。
3. 方程与不等式：方程与不等式是高中数学中常见的问题类型，包括一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程、二元一次方程组等。
高中数学命题中会考察方程与不等式的解法、解集的性质以及应用等问题。
4. 平面向量：平面向量是高中数学中的重要概念，包括向量的定义、运算、坐标表示、共线与共面、数量积、向量积等。
高中数学命题中会涉及到向量的计算、几何性质、应用等方面的问题。
5. 立体几何：立体几何是高中数学中的一个重点内容，包括点、线、面、体的性质与关系，平面图形与空间图形的计算等。
高中数学命题中会考察立体几何的几何性质、计算方法、应用等问题。
6. 三角函数：三角函数是高中数学中的重要内容，包括三角函数的定义、性质、变化规律、图像等。
高中数学命题中会考察三角函数的求值、性质、图像与解析式之间的关系等问题。
7. 指数与对数：指数与对数是高中数学中的常见概念，包括指数与对数的定义、性质、运算、解法等。
高中数学命题中会考察指数与对数的计算、性质、应用等问题。
8. 概率与统计：概率与统计是高中数学中的一个重点内容，包括概率的定义、性质、计算、统计的概念、数据的整理与分析等。
高中数学命题中会涉及到概率与统计的计算、推理、分析等方面的问题。
综上所述，高中数学命题的知识点涵盖了数与式、函数、方程与不等式、平面向量、立体几何、三角函数、指数与对数、概率与统计等内容。
高中数学数学命题知识点总结
高中数学数学命题知识点总结一、命题的基本概念命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。
也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。
真命题：判断为真的语句叫做真命题。
假命题：判断为假的语句叫做假命题。
命题的否定：就是对命题的结论加以否定。
二、四种命题的概念：原命题逆命题否命题逆否命题若，则若，则若，则若，则另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题。
一般地，对于是互逆命题的两个命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的条件和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。
四种命题的相互关系图三、充分条件和必要条件的概念1、若，我们就说是的充分条件，是的必要条件。
2、一般地，如果既有，又有，就记作。
此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。
3、一般地，若p⇒q，但q ≠＞p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠＞q，但q ⇒ p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠＞q，且q ≠＞p，则称p是q的既不充分也不必要条件。
四、重要结论1、互为逆否命题的两个命题真值相同：原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价。
2、对于充分条件、必要条件的判定，我们需要将命题转化为集合，充分利用集合的关系进行判定，可以更加直观形象。
3、命题的否定和否命题是两个不同的概念。
典型例题知识点一：命题的基本概念以及四种命题的相互关系例1、判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨。
高考数学命题点及答题技巧
高考数学命题点及答题技巧1、选择题高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查三基为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大。
选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面。
解答选择题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。
一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接解；对于明显可以否定的选择支应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。
解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。
从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么策略手段都是无关紧要的，所以人称可以不择手段。
但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因。
另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速。
总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的个性，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。
这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间。
2、填空题填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。
不过填空题和选择题也有质的区别。
首先，表现为填空题没有备选项。
因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些，长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因。
数学高中命题知识点总结
数学高中命题知识点总结一、函数1. 函数的概念函数是指一个或者一组具有特定特征的数之间的对应关系。
在数学上，函数一般用f(x) =x^2这样的表达式来表示，其中f(x)表示函数的值，x表示自变量。
2. 函数的性质(1) 定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，而值域是指函数的取值范围。
(2) 奇函数与偶函数如果f(-x) = -f(x)，那么这个函数是奇函数；如果f(-x) = f(x)，那么这个函数是偶函数。
(3) 单调性和极值如果在一个函数的定义域上，当x1 < x2时，有f(x1) < f(x2)，那么这个函数是递增函数；如果在一个函数的定义域上，当x1 < x2时，有f(x1) > f(x2)，那么这个函数是递减函数。
而函数在定义域上的最大值和最小值统称为极值。
3. 函数的图像和性态(1) 描绘函数图像用点的方法描绘，首先绘制x轴和y轴，然后根据函数的定义域，确定一些x值，并计算这些x值对应的y值，然后在坐标系上连接这些点，就得到了函数的图像。
(2) 函数的性态函数的定义域和值域用在图像中体现出来，函数的奇偶性、单调性和凹凸性则可以通过图像来判断。
4. 函数的应用函数可以用来描述很多实际问题，比如用函数来表示两个物体之间的关系、用函数来描述降雨量和时间的关系等等。
二、数列1. 数列的概念数列是指按照一定的规律排列的一组数，这组数称为数列的项，常用an表示第n项。
2. 等差数列等差数列是指数列的相邻两项之差是常数的数列，这个常数称为公差，常用d表示公差，等差数列的通项公式是an = a1 + (n-1)d。
3. 等比数列等比数列是指数列的相邻两项之比是常数的数列，这个常数称为公比，常用q表示公比，等比数列的通项公式是an = a1 * q^(n-1)。
4. 数列的性质数列有很多重要的性质，比如数列的前n项和、数列的通项公式、数列的性态等。
5. 数列的应用数列在实际问题中有着广泛的应用，比如生活中的数学模型、物理中的数学模型等。
高中数学命题知识点总结
高中数学命题知识点总结第一部分：函数与方程1. 函数的概念及性质函数是一种特殊的关系，其中一个自变量的每个值都对应着一个因变量的值。
函数的定义域和值域是函数的两个重要概念，函数的性质包括奇偶性、周期性、增减性等。
2. 初等函数的性质和应用初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，它们的图像特征和应用是考察的重点，如求函数的极值、最值、解函数方程等。
3. 复合函数与反函数复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量，而反函数是指一个函数与原函数互为逆操作的函数。
复合函数和反函数的求解是高中数学的难点之一。
4. 一元二次方程及不等式一元二次方程的根、判别式、根与系数的关系、一元二次不等式的根的求解和图像的分析是高中数学命题的重点内容。
第二部分：数列与数学归纳法1. 数列的概念及性质数列是按照一定的规律排列而成的数的集合，数列的极限、通项公式、数列之和等都是数列的重要性质。
2. 等差数列与等比数列等差数列的通项公式、前n项和公式、通项公式的推导和应用是数列的重要知识点，同样，等比数列也有类似的性质和应用。
3. 数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，主要用于证明自然数范围内的命题和结论，学生需要掌握数学归纳法的基本原理和具体应用。
第三部分：数学基础概率与统计1. 概率的基本概念和性质概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，学生需要掌握事件的概念、概率的性质、事件的互斥与相关性等概率基本知识。
2. 事件的概率计算学生需要掌握基本事件的概率计算方法、复合事件的概率计算、事件的独立性、条件概率等知识点。
3. 统计与统计图表统计是数学的一个分支，主要用于描述和分析数据的规律，学生需要掌握频数、频率、众数、中位数、平均数、偏差等统计学的基本知识。
第四部分：立体几何与解析几何1. 空间几何图形的基本性质空间几何图形包括立体图形和平面图形，学生需要掌握立体图形的表面积、体积、平行四边形的面积、三角形的性质等基本知识。
高中数学命题知识点总结
高中数学命题知识点总结一、集合与函数概念1. 集合的基本概念- 集合的定义- 子集、并集、交集、补集- 集合的表示方法：列举法、描述法2. 函数的定义与性质- 函数的定义- 函数的域与值域- 函数的表示方法：解析式、图像、表格3. 常见函数类型- 一次函数、二次函数- 幂函数、指数函数、对数函数- 三角函数：正弦、余弦、正切4. 函数的基本操作- 函数的四则运算- 复合函数- 反函数与逆函数二、数列与数学归纳法1. 数列的概念- 数列的定义- 有穷数列与无穷数列- 数列的通项公式2. 等差数列与等比数列- 等差数列的通项公式与求和公式 - 等比数列的通项公式与求和公式3. 数列的性质与极限- 数列的单调性- 数列的极限概念- 极限的计算方法4. 数学归纳法- 数学归纳法的原理- 证明方法：基础步骤与归纳步骤三、解析几何1. 平面直角坐标系- 坐标系的定义- 点的坐标与距离公式- 直线的方程表示2. 圆与椭圆的方程- 圆的标准方程- 椭圆的标准方程及其性质3. 抛物线与双曲线- 抛物线的标准方程及其性质- 双曲线的标准方程及其性质4. 空间几何- 空间直角坐标系- 空间直线与平面的方程- 空间几何体的体积与表面积四、三角函数与恒等变换1. 三角函数的基本概念- 三角函数的定义- 三角函数的图像与性质2. 三角恒等式- 基本三角恒等式- 角的和差公式- 二倍角与半角公式3. 三角函数的应用- 解三角形问题- 三角函数在解析几何中的应用五、导数与微分1. 导数的概念- 导数的定义与几何意义- 常见函数的导数2. 导数的运算法则- 导数的四则运算- 链式法则、隐函数与参数方程的求导3. 微分的概念与应用- 微分的定义- 微分在近似计算中的应用六、积分1. 积分的概念- 不定积分的定义与性质- 定积分的定义与几何意义2. 积分的计算方法- 基本积分公式- 换元法与分部积分法3. 积分的应用- 积分在几何问题中的应用- 微积分基本定理及其应用七、概率与统计1. 概率的基本概念- 随机事件与概率的定义- 条件概率与独立事件2. 随机变量与概率分布- 离散型随机变量与连续型随机变量- 常见概率分布：二项分布、正态分布3. 统计的基本概念- 数据的描述性分析- 参数估计与假设检验以上是高中数学的主要命题知识点总结，涵盖了集合、函数、数列、解析几何、三角函数、导数、积分、概率与统计等核心领域。
高中数学命题知识点总结
高中数学命题知识点总结高中数学是学生学习过程中的一门重要学科，也是学生升学考试中的必考科目之一。
在高中数学学习中，命题是学生们接触最多的内容之一，也是考试中的重要部分。
因此，对于高中数学命题知识点的掌握是非常重要的。
接下来，我将对高中数学命题知识点进行总结，希望能够帮助学生们更好地备战高考。
首先，我们来看一下高中数学命题的类型。
高中数学命题主要包括选择题、填空题、解答题和证明题。
其中，选择题和填空题主要考察学生对知识点的掌握程度，解答题和证明题则更注重学生的综合运用能力和思维能力。
因此，在备考高考时，学生们需要全面掌握各种类型的命题知识点。
其次，我们来看一下高中数学命题中的知识点。
高中数学的知识点包括代数、几何、数学分析等内容。
在代数部分，学生们需要掌握多项式、函数、方程、不等式等知识点，同时还要熟练运用因式分解、配方法、求解方法等技巧。
在几何部分，学生们需要掌握平面几何和立体几何的知识，包括直线、圆、三角形、四边形、圆锥曲线等内容。
在数学分析部分，学生们需要掌握函数的极限、导数、积分等知识，同时还要能够运用这些知识解决实际问题。
除了以上内容，高中数学命题还涉及到数学建模、数学思维能力、数学推理能力等方面。
在备考高考时，学生们需要注重培养自己的数学思维能力和解决问题的能力，这样才能更好地应对各种类型的命题。
总的来说，高中数学命题知识点的总结涉及到了多个方面的内容，学生们在备考高考时需要全面掌握各种类型的命题知识点，并且注重培养自己的数学思维能力和解决问题的能力。
希望通过本文的总结，能够帮助学生们更好地备战高考，取得优异的成绩。
高中数学总结归纳 帮你解读“命题的概念”
帮你解读“命题的概念”一、要点精讲1．命题的定义一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
说明：（1）并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题。
一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题；（2）一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如p 、q 、r 、…。
2．命题的结构在数学中，具有“若p ，则q ”这种形式的命题是常见的，我们把这种形式的命题中的p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。
说明：数学中有一些命题虽然表面上不是“若p ，则q ”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p ，则q ”的形式。
3．注意事项（1）判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有同时满足这两个条件的才是命题。
（2）一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能摸棱两可无法判断其真假。
当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这种命题的真假办法如下：①若由“p ”经过逻辑推理得出“q ”，则可确定“若p ，则q ”是真；确定“若p ，则q ”为假，则只需举一个反例说明。
②从集合的观点看，我们建立集合A 、B 与命题中的p 、q 之间的一种特殊联系：设集合{()A x p x =成立}，{()B x q x =成立}。
就是说，A 是全体能使条件p 成立的对象x 所构成的集合，B 是全体能使条件q 成立的对象x 所构成的集合，此时命题“若p ，则q ”为真（意思就是“使p 成立的对象也使q 成立”），当且仅当A B ⊆时满足。
（3）若将含有大前提的命题改写为“若p ，则q ”的形式时，大前提不变，仍作为大前提，不能写在条件p 中。
二、范例剖析1．命题概念的理解例1 下列语句：①是无限循环小数；②2560x x -+=；③当3x =时，40x >；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥难道菱形的对角线不互相平分吗？⑦把窗户打开。
高中数学题型归类总结
题型一，利用复合命题的真假及充足必需条件求参数范围，1、 利用复合命题的真假求范围。
观察复合命题真假的判断， 求出每个命题对应的范围，从而利用复合命题的真假列不等式组，2 、利用充足必需条件求范围，观察充足必需性的判断方法“会合法”求出每个命题对应的范围，从而有充足必需条件得出会合间的关系，从而列不等式组，求范围。
例题： 1. 若不等式建立的充足不用要条件是，则实数的取值范围是 ______2.设 p ：函数 f ( x)2| x a|在区间（ 4，+∞）上单一递加；q : log a 21，假如“p”是真命题， “p 或 q ”也是真命题，务实数 a的取值范围。
x 2 － －6≤0，3．设 p ：实数 x 知足 x 2－ 4ax ＋ 3a 2<0，此中 a ≠0，q ：实数 x 知足 x 2 ＋ 2x － 8>0.(1) 若 a ＝ 1，且 p ∧q 为真，务实数 x 的取值范围；(2) 若 p 是 q 的必需不充足条件，务实数a 的取值范围．4、已知 p ：xx 2 0x 10q: x 1 m x 1 m, m 0 , 若 p 是 q 的必需不充足 条件，求实数 m 的取值范围题型二：极坐标方程及参数方程的解决方法由于我们熟习的事一般方程的应用，因此此类为题一般都是变换成一般方程解决 应掌握两点， 1、极坐标方程与一般方程的互化2x 2 y 2 tany一般方程化为极坐标方程x2、 参数方程化为一般方程，方法是消参 例题：xcos y sin极坐标化为一般x 1 t1、 极坐标方程cos和参数方程y 2 3t （ t 为参数）所表示的图形分别是 圆、直线2、 在极坐标系中，已知圆2cos 与直线 3 cos4 sina 0 相切，求实数 a 的值。
-8或 2x 1 t3、 已知直线 L 的参数方程为y 4 2t （ t 为参数）圆C 的参数方程为x 2cos2(参数0,2）Ly2sin被圆截得的弦，则直线长为 8 554、 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的X 轴的正x 1 t cos半轴重合，且单位长度同样， 已知 L 的参数方程为y 1 t sin （ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为4cos（ 1） 若直线 L的斜率为 -1 ，求直线L 和曲线 C 的交点的极坐标 . （0,0 ）2 2,74（ 2） 若直线 L 与曲线 C 订交所得的弦长为2 3 ，求直线 L 的参数方程x 1 tx1 4t或5y 1y 1 3t5 题型三：函数的单一性对于本专题应掌握以下几点1、 单一性的判断：定义法、导数法、单一性的运算法2、 单一性的应用：比较大小、求最值、解抽象不等式3、 单一区间的求解：定义法、导数法、图像法例 题 ：1讨 论函数y xa( a 0) 在(0,)的 单调 性。
高中数学命题知识点总结
高中数学命题知识点总结
四种命题形式：原命题、逆命题、否命题和逆否命题。
其中，原命题和逆命题是互逆的，逆命题与逆否命题是互否的，逆否命题与否命题是互逆的，否命题与原命题是互否的，原命题与逆否命题是相互逆否的，逆命题与否命题是相互逆否的。
命题的真假关系：两个命题如果互为逆否命题，那么它们的真假性是相同的。
而两个命题如果互为逆命题或互否命题，它们的真假性则没有直接关系。
代数与函数：包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，以及函数的复合和反函数等知识点。
数学推理与证明：运用数学推理、逻辑思维和证明方法解决问题，包括数学归纳法和反证法等。
在解题方面，高中数学命题知识点还涉及到选择题和填空题的解题技巧。
选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，需要仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，初选后还需认真检验。
填空题和选择题同属客观性试题，它们形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确。
此外，命题的基本要求也是高中数学命题知识点的一部分，包括试卷命题的严格、科学、合理、适度原则，题型要尽可能符合高考类型，试题内容应以考核基础知识为主，不出现怪题、难题、偏题，同一套试卷的各个试题之间必须彼此独立等。
以上是高中数学命题知识点的总结，掌握这些知识点有助于更好地理解数学概念和解决实际问题。
高中数学命题知识点总结
高中数学命题知识点总结高中数学题目是考验学生对数学知识的理解和运用能力的重要手段。
在高中数学复习过程中，了解和掌握各个命题的知识点是非常重要的。
下面将对高中数学常见命题的知识点进行总结和归纳。
一、代数与函数1.一次函数：通过对数学表达式的转化和观察函数图象，可以判断函数的是增函数还是减函数。
2.二次函数：研究二次函数的开口方向、顶点坐标和对称轴的位置。
3.指数函数：了解指数函数的定义和性质，熟悉指数函数的图象和变化规律。
4.对数函数：研究对数函数的定义和性质，掌握对数函数的图象和基本变换。
5.幂函数：了解幂函数的定义和性质，研究幂函数的图象和变化规律。
6.函数的复合：理解函数复合的概念和性质，掌握函数复合的方法和计算规则。
7.函数的反函数：研究和判断函数的反函数是否存在，掌握函数反函数的求解方法。
二、几何与三角学1.平面几何中的图形性质：了解各种平面图形的定义和性质，掌握图形性质在解题中的应用。
2.空间几何中的图形性质：研究和掌握立体图形的定义和性质，理解并应用正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等图形的性质。
3.空间坐标系：了解空间直角坐标系的结构和坐标的意义，熟悉三维空间中点、向量等概念和性质。
4.三角函数：了解三角函数的定义和性质，掌握三角函数的图象和变化规律，研究和应用单位圆和海伦公式。
5.三角函数的运用：应用三角函数解决直角三角形和一般三角形的相关问题，理解和运用解三角方程的方法。
三、概率与统计1.概率的定义与性质：了解概率的概念和基本性质，熟悉事件与概率的关系。
2.频率与概率的关系：研究和应用频率与概率之间的关系，理解大数定律与伯努利定理。
3.统计图表与分析：掌握并运用各类统计图表（如直方图、折线图、饼图）表达和分析数据，了解统计参数的计算方法。
四、数学推理与证明1.数学推理思维：运用数学推理、逻辑思维和证明方法解决问题。
2.数学归纳法：理解数学归纳法的思想和方法，掌握数学归纳法证明的基本步骤。
高中数学几个看似简单的命题求最佳证法
1、三角形二角平分线相等，则三角形为等腰三角形。
2、凸四边形两组对边重点连线线段之和为周长一半，则四边形是平行四边形。
3、如果过凸四边形内一点所有直线都把四边形周长等分，则四边形是平行四边形。
4、如果过凸四边形内一点所有直线都把四边形面积等分，则四边形是平行四边形。
5、五边形五条延长线，两两相交形成五个三角形。
他们的外接圆两两相交。
除了顶点以外有五个交点，这五个点共园。
6、三角形中贴近于三边的内角三等分线两两相交，三个交点一次相连是正三角形。
高中数学命题知识点分享
高中数学命题知识点分享高中数学命题知识点分享重点：①集合的表示及专用符号.用描述法表示集合{x|x∈P}，要正确理解竖线前代表元素及其具有的性质P;②集合之间的运算：能够熟练地求两个或几个集合的交集、并集合，并掌握利用数轴、文氏图解决集合的方法.一、计数型题型特点：是指以集合为背景，求子集的个数、集合中元素的个数等。
破解技巧：常用解法是子集的个数公式法、图表法、组合数公式法等。
例6⑴(2003年安徽春季高考题)集合S={a，b，c，d，e}，包括{a，b}的S的子集共有(A) 2个 (B) 3个(C) 5个 (D) 8个⑵设集合M={(x，y)|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={(x，y)|x2-y=0，x∈R，y∈R}，，则集合中元素的个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 4⑶设集合 N}的真子集的个数是(A) 16(B) 8;(C) 7(D) 4解：⑴本题等价于求集合{c，d，e}的子集个数，即为23=8，选(D).⑵本题只要将集合语言转换成图形语言即可.本题实质就是单位圆与抛物线y=x2的交点个数，画图知2个，故选(B).⑶A={0，1，2}，故A的真子集个数是23-1=7，选(C).二、逆向型题型特点：已知集合的.运算结果，写出集合运算的可能表达式，这类题往往具有一定的开放性.例7⑴(2000年上海春季高考题)设U是全集，非空集合P、Q 满足P、Q、U，若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_______(只要写出一个表达式).⑵(2002年上海春季高考题)若全集U=R，f(x)、g(x)均为x的二次函数，P= ，则不等式组的解集可用P、Q表示为。
解：⑴此题是开放性试题，如图，极易得到其多种答案：①UQ∩P;②P∩(UP∩Q);③UQ∩(P∪Q);等等.⑵由补集定义，得UQ=x│g(x)<0，则不等式组的解集就是P与UQ的交集，即表示为P∩UQ.三、基本型题型特点：主要考查集合的基本概念和基本运算，这是高考考查集合的主要方式，几乎每年必考.破解技巧：常用解法是定义法、列举法、性质法、韦恩图法及语言转换法等.例1若集合M={ y| y=2x}，P={ y| y= }，则M∩P=(A) { y| y>1} (B) { y| y≥1}(C) { y| y>0}(D) { y| y≥0}分析：本题的错误率极高，主要是缺乏语言互化能力.其实是求“两个函数值域的交集”.解：本题集合M与P中的代表元素是y，则M∩P即是求函数y=2x 与y= 的值域的公共部分，显然M={ y| y>0}，P={ y| y≥0}，故选(C).例2设全集是实数集R，，，则M∩N等于A.B.C.D.分析：本题分步计算即得，先算补集，再求交集.解：先计算补集M={x|x<-2或x>2}，再继续求交集，即M∩N={x|x<-2}，故选(A).例3 设A、B、I均为非空集合，且满足A B I，则下列各式中错误的是(A) ( A)∪B=I(B) ( A)∪( B)=I(C) A∩( B)=(D) ( A)∩( B)= B点通1运用韦恩图画出韦恩图(如右图)，从图中易验证，选项(B)错误.故选(B).点通2运用特殊集合设A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}，则A={2，3}，B={3}易验证(B)错误.故选(B).例4(2005年北京高考题)设全集U=R，集合M={x| x>1}，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是(A)M=P(B) P M(C) M P(D)解：P={x|x>1或x<-1}，m={x|x>1}，易知M P，而选(C).点评：判断集合之间关系问题，应先简化集合，再判断.有时还可结合图象加以观察.四、交汇型题型特点：主要是将集合与不等式、三角函数、解析几何等知识进行交汇，形成多知识点的综合问题.破解技巧：解题的关键在于灵活运用有关知识.例5⑴(2005年山东高考题) 设集合A、B是全集的两个子集，则A B是的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件⑵(2005年上海高考题)已知集合，，则等于A.B.C. D.分析：第⑴小题是集合与简易逻辑进行交汇，用推出法即可解决.第⑵小题是集合与不等式的交汇.解：⑴由，即A=B或A B，设p：A B;q：，则有p q，但q p.故选(A).⑵集合M = { x |-1≤x≤3，x}，P = { x |-1点评：对于⑵是集合与绝对值不等式及分式不等式的交汇，对分式不等式到整式不等式的转化.在这里，要注意分母不为零的条件限制.五、阅读理解型题型特点：以集合内容为背景即时设计一个陌生的问题情景，要求学生在理解的基础上作答.例8设f(n)=2n+1(n∈N)，P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，6，7}，记={n∈N|f(n)∈P}，={n∈N|f(n)∈Q}，则( ∩ )∪( ∩ )=(A) {0，3} (B){1，2}(C) (3，4，5}(D){1，2，6，7}解：设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q= ，则P+Q中元素的个数是A.9B.8C.7D.62. 是正实数，设是奇函数}，若对每个实数，的元素不超过2个，且有使含2个元素，则的取值范围是 .[答案：1.(B)2. ]六、命题趋向集合内容将以集合运算为重点进行考查，在2006年高考中将仍以选择题或填空题的形式出现，其难度在0.7左右，同时要注意集合思想的应用及集合与其它知识的交汇，展示以集合语言为背景的应用性、开放性试题，具有构思巧妙、新颖、解法灵活特点，将会是未来高考“出活题、考能力”的命题趋向.【注意内容】：备考建议一、注重基础，注意辨析对于集合的复习，首先要注重基础，熟练掌握集合间的关系(子集与真子集)的判定方法，集合间的运算;同时，还要对集合的有关概念和符号进行辨析，只有准确把握它们，才不会在高考中掉进命题者设计的陷阱之中.首先，要明确集合元素的意义，弄清集合由哪些元素所组成，这就需要对集合的文字语言，符号语言，图形语言进行相互转化.其次，由于集合知识概念新，符号多，往往顾此失彼，因此需要注意如下几个方面的问题：一是注意集合元素的三性(确定性，互异性，无序性);二要注意0，{0}，，{}的关系，数字0不是集合，{0}是含有一个元素0的集合，而是不含任何元素的集合，{}则是以为元素的集合;三要注意空集的特殊性，空集是任何非空集合的真子集，它在解题过程中极易被忽视;四要注意符号“∈”与“”(或)的区别，符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系，“” (或)表示集合与集合之间的包含关系.二、不可忽视集合的交汇性及创新性问题对集合的重点复习是集合间的关系判定以及集合间的运算问题.其中关系判定以及集合间的运算问题，常常是集合内容与不等式等内容进行交汇，故应熟练掌握一元一次(二次、高次)不等式，分式不等式，三角不等式，含参不等式，指对数不等式等的解法.但也有可能考查较为灵活的非常规的开放题，探究题，信息迁移题等创新题.其实也是近年高考在集合方面的一个新命题背景，特别是定义新运算.如已知集合A={0，2，3}，定义集合运算A※A={x|x=a b，a∈A，b∈A}，则A※A=_________.此类关键是理解新运算，易得a，b可以相同，知填{0，6，4，9}.。
高考数学命题
高考数学命题高考数学命题不要标题1. 一元二次方程的解法这道题考察学生对一元二次方程的解法是否掌握，可以通过给出一个具体的方程让学生求解，或者给出一个实际问题让学生建立方程并求解。
2. 平面向量的运算这道题考察学生对平面向量的加减、数乘和数量积运算是否掌握，可以给出两个向量让学生进行计算，或者给出一个实际问题让学生运用向量进行解答。
3. 数列的通项公式这道题考察学生对数列通项公式的推导和求解是否掌握，可以给出一个数列让学生观察规律并求出通项公式，或者给出一个实际问题让学生运用数列解答。
4. 几何平面图形的性质这道题考察学生对几何平面图形的性质是否掌握，可以给出一个几何图形让学生求解其面积、周长等性质，或者给出一个实际问题让学生应用几何图形解答。
5. 函数的性质与图像这道题考察学生对函数的性质和图像的理解是否掌握，可以给出一个函数让学生求其定义域、值域等性质，或者给出一个函数的图像让学生进行分析和推断。
6. 概率与统计这道题考察学生对概率与统计的基本概念和计算方法是否掌握，可以给出一个实际问题让学生进行概率计算和统计分析，或者给出一个数据表格让学生进行相关计算和推断。
7. 三角函数的应用这道题考察学生对三角函数的应用是否掌握，可以给出一个实际问题让学生建立三角函数模型并求解，或者给出一个三角函数的图像让学生进行分析和应用。
8. 空间几何图形的性质这道题考察学生对空间几何图形的性质是否掌握，可以给出一个空间图形让学生求其体积、表面积等性质，或者给出一个实际问题让学生应用空间几何解答。
9. 导数与微分这道题考察学生对导数和微分的定义和计算方法是否掌握，可以给出一个函数让学生求其导数和微分，或者给出一个实际问题让学生应用导数和微分解答。
10. 矩阵与线性方程组这道题考察学生对矩阵和线性方程组的基本概念和解法是否掌握，可以给出一个矩阵或线性方程组让学生求解，或者给出一个实际问题让学生建立矩阵模型并求解。
注意：以上题目为示例，实际高考数学命题会根据具体年份和考试要求进行设计，题目内容和难度可能有所不同。