专题六 数列 第十六讲 等比数列
高中数学《等比数列》逐字稿
高中数学《等比数列》逐字稿数列是数学中非常基础的概念之一，而等比数列是数列中的一种特殊类型，它具有非常重要的意义。
本文将带您逐字学习高中数学《等比数列》的知识。
一、定义等比数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。
简单来说，就是一个数列中每一个数都是它前面那个数乘以相同的常数。
例如：2，4，8，16，32 就是一个等比数列，公比为 2。
二、公式等比数列的通项公式为：an=a1*q^(n-1) ，其中 a1 为首项，q 为公比，n 为项数。
三、性质1. 如果公比 q 大于 1，那么随着项数的增加，等比数列中的项会越来越大（指绝对值），并且不存在极限；如果公比 q 在0和1之间，那么随着项数的增加，等比数列中的项会越来越小（指绝对值），并趋于 0；如果公比 q 小于 0，而且 n 为奇数，那么等比数列中的各项都是负数。
2. 在等比数列中，任意三项的比值恒等于相邻两项的比值。
这是因为：a3/a2=q，a2/a1=q，两式相除即得 a3/a1=q^2。
3. 求等比数列的前 n 项和的公式为：S_n = a1(1-q^n)/(1-q) 。
如果公比 q 大于 1，那么 S_n 会趋向无限大；如果公比在 0 到 1 之间，那么 S_n 会趋于一个有限数；如果公比小于 0，而且 n 为奇数，那么 S_n 为负数。
四、应用等比数列是数学中非常重要的一种数列，它在实际应用中有很广泛的用途，例如在金融领域中，等比数列被广泛用于计算复利；在物理学中，等比数列也被用于计算电路中电容和电感的阻抗；在生物学中，等比数列则可以用来计算生物种群的增长等。
五、总结通过本文的学习，我们了解到了等比数列的定义、公式、性质和应用。
掌握这些知识对于高中数学的学习非常重要，也为今后进一步深入学习数学打下了坚实的基础。
等比数列PPT教学课件
What can’t Tony do?
He can’t swim . He can’t speak Chinese.
Listen and repeat
Betty can play the piano. Tony can play table tennis.
Name:
Can Can’t
Play basketball
Play football Play table tennis Play tennis
-Can you cook? -Yes, I can./ No, I can’t.
Play the piano
Ride a bike
Ride a horse
讲解范例
2. 利用等比数列的性质解题. 例3.等比数列{an}中， (1) 已知a2＝4，a5＝ ，求通项公式; (2) 已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值.
讲解范例
3. 如何证明所给数列是否为等比数列.
例4.
设{an}是等差数列，
bn
( 1 )an 2
,
已知
b1
b2
b3
21 8 , b1b2b3
课后作业
《学案》P.48双基训练.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
Module 2 Me,my parents and my friends
Unit 1 I can speak English
Introduce yourself:
My name is …. I’m a …. I’m from …. I’m … years old. My favourite sport is ….
等比数列课件PPT
股票和债券定价
在股票和债券定价模型中， 等比数列用于预测未来的 股价或债券收益率。
等比数列在物理领域的应用
放射性衰变
光学干涉
放射性衰变过程中，原子核的数目按 照一定的比率减少，形成等比数列。
在光学干涉实验中，干涉条纹的形成 与等比数列有关。
声音传播
在声音传播过程中，声波的振动次数 按照一定的比率增加或减少，形成等 比数列。
证明等比数列求和公式
通过数学归纳法，我们可以证明等比数列求和公 式的正确性。
等比数列求和公式的应用
01
02
03
解决实际问题
等比数列求和公式可以应 用于解决一些实际问题， 如存款、贷款、投资等问 题。
简化计算
等比数列求和公式可以用 于简化一些复杂的数学计 算，如组合数、阶乘数的 计算等。
证明数学定理
等比数列的性质
总结词
等比数列具有一些特殊的性质，这些性质有助于理解和应用 等比数列。
详细描述
等比数列的性质包括对称性、递增性、递减性、周期性和收 敛性等。这些性质反映了等比数列的内在规律，有助于我们 更好地理解和应用等比数列。
等比数列的表示方法
总结词
等比数列可以用多种方式表示，包括 通项公式、求和公式和几何画板等。
等差数列的每一项与前一项的差是常数，而等比数列的每一项与前一项的比值是常 数。
等差数列和等比数列在求和、求积等方面都有各自的方法和公式，可以相互转化。
等比数列与指数函数的联系
等比数列的通项公式可以转化 为指数函数的形式，即$a_n = a_1 times q^{(n-1)}$。
指数函数具有一些特殊的性质， 如指数函数的单调性、周期性 等，这些性质在等比数列中也 有体现。
等比数列的性质 课件
∴q＝2 或 q＝12.
∴qa＝1＝21，，
a1＝4， 或q＝12.
∴an＝2n－1 或 an＝4×12n－1＝23－n.
法二：从而aa11＋ a3＝a3＝ 4，5， 解得 a1＝1，a3＝4，或 a1＝4，a3＝1. 当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝12. 故 an＝2n－1 或 an＝23－n.
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·an－1 ＝ak·__a_n_－_k＋_1_
＝a2 n+1 (n 为正奇数)．
2
3．等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为 q 的等比数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为 q2 的等比数列；偶数项数列{a2n}是公 比为 q2 的等比数列；
∴{an＋1－an}为等比数列，其中首项为 a2－a1＝2a1＋1－a1＝a1＋1＝2， 公比 q＝2. 则 an＋1－an＝2·2n－1＝2n. ∴2an＋1－an＝2n，∴an＝2n－1.
形如 an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系，利用待定系数法可化为 an＋1－1－d c＝can－1－d c，当 a1－1－d c≠0 时，数列an－1－d c为等比 数列．从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题．
[解析] 设第 n 个图形的边长为 an. 由题意知，从第 2 个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长 的13，所以数列{an}是首项为 1，公比为13的等比数列，故 an＝13n－1. 第 1 个图形的边数为 3，因为从第 2 个图形起，每一个图形的边数均 为上一个图形边数的 4 倍，所以第 n 个图形的边数为 3×4n－1.因此， 第 n 个图形的周长13n－1×(3×4n－1)＝3×43n－1.
专题六 数列 第十六讲 等比数列
专题六 数列第十六讲 等比数列一、选择题1．(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于f ，则第八个单音的频率为AB C ．D ．2．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >3．（2017新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏4．（2015新课标Ⅱ）等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=A ．21B ．42C ．63D ．84 5．（2014重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是A ．139,,a a a 成等比数列B ．236,,a a a 成等比数列C ．248,,a a a 成等比数列D ．269,,a a a 成等比数列6．（2013新课标Ⅱ）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =A ．13 B ．13- C ．19 D ．19- 7．（2012北京） 已知{}n a 为等比数列．下面结论中正确的是A ．1322a a a + B ．2221322a a a +C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a > 8．（2011辽宁）若等比数列{}n a 满足116n n n a a +=，则公比为A ．2B ．4C ．8D ．169．（2010广东）已知数列{}n a 为等比数列，n S 是是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则5S = A ．35 B ．33 C ．3l D ．29 10．（2010浙江）设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S = A ．－11B ．－8C ．5D ．1111．（2010安徽）设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是A ．2X Z Y +=B ．()()Y Y X Z Z X -=-C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X -=-12．（2010北京）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m =A ．9B ．10C ．11D ．1213．（2010辽宁）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q = A ．3B ．4C ．5D ．614．（2010天津）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为 A ．158或5 B ．3116或5 C ．3116 D ．158二、填空题15．（2017新课标Ⅲ）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a = _______． 16．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a = ．17．（2017北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_____． 18．（2016年全国I ）设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 .19．（2016年浙江）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则1a = ，5S = ．20．（2015安徽）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14329,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 ．21．（2014广东）等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________．22．（2014广东）若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= ．23．（2014江苏）在各项均为正数的等比数列}{n a 中，,12=a 4682a a a +=，则6a 的值是 ．24．（2013广东）设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= ．25．（2013北京）若等比数列{}n a 满足24a a +=20，35a a +=40，则公比q = ；前n项和n S = ．26．（2013江苏）在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a ．则满足 n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ．27．（2012江西）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比不为1。
等比数列知识点归纳总结图文
等比数列知识点归纳总结图文在数学中，等比数列是一种特殊的数列。
它是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。
本文将对等比数列的相关知识点进行归纳总结，并以图文形式展示，帮助读者更好地理解和掌握等比数列的概念和性质。
1. 等比数列的定义等比数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，数列的通项公式为an=a×r^(n-1)。
其中，n表示数列中的第n项。
2. 等比数列的性质（1）通项公式：等比数列的通项公式是an=a×r^(n-1)，其中a表示首项，r表示公比，n表示项数。
（2）前n项和公式：等比数列的前n项和公式是Sn=a×(1-r^n)/(1-r)，其中a表示首项，r表示公比，n表示项数。
（3）比值性质：等比数列中，任意两项的比值都为常数，即an/an-1=r。
（4）倒数性质：等比数列中，任意两项互为倒数，即an与1/an-1互为倒数。
3. 等比数列的图文示例下面通过图文形式对等比数列进行示例，以加深对等比数列的理解和记忆。
（插入示例图片）图1是一个等比数列的示例图，首项a=2，公比r=3/2。
根据等比数列的通项公式an=a×r^(n-1)，我们可以计算出数列的前几个项如下：a1=2a2=2×(3/2)^1=3a3=2×(3/2)^2=4.5a4=2×(3/2)^3=6.75...由此可见，该数列每一项与前一项的比相等，且比值为3/2。
（插入示例图片）图2展示了等比数列的前n项和的计算过程，首项a=10，公比r=0.5。
根据等比数列的前n项和公式Sn=a×(1-r^n)/(1-r)，我们可以计算出数列的前几项和如下：S1=10S2=10×(1-(0.5)^2)/(1-0.5)=15S3=10×(1-(0.5)^3)/(1-0.5)=19.5S4=10×(1-(0.5)^4)/(1-0.5)=21.75...可以看出，数列的前n项和随着项数的增加而增加。
等比数列课件
适用于已知首项和公比，且项数较大的情况。
3
优缺点
归纳法可以减少计算量，但推导过程需要小心处 理，确保正确性。
反证法
定义
通过假设等比数列的前 n项和公式不成立，然 后推导出矛盾，从而证 明假设不成立，即前n 项和公式成立。
适用情况
适用于证明等比数列的 前n项和公式的情况。
优缺点
反证法可以用来证明一 些看似难以证明的问题 ，但推导过程较为复杂 ，需要细心处理。
答案解析：对习题进行详细解析
针对习题一，首先需要了解等比数列的和公式，即S=a(1-q^n)/(1-q)。在本题中 ，首项a=2，公比q=2，项数n=5，将它们代入公式即可得到答案。
针对习题二，首先需要了解等比数列的前n项和公式，即S=a1*(1-q^n)/(1-q)。 在本题中，首项a1=5，公比q=-2，项数n=8，但是只需要前5项和，所以将它 们代入公式即可得到答案。
声音的震动
在音乐中，声音的震动可 以表示为等比数列的形式 ，从而形成不同的音阶和 音调。
在计算机科学中的应用
数据压缩
在计算机科学中，等比数列被广 泛应用于数据压缩，如gzip、 PNG等压缩格式都使用了等比数
列压缩算法。
加密算法
在一些加密算法中，等比数列被 用于生成密钥、加密和解密数据
等操作。
计算机图形学
详细描述
等比数列的求和公式是 S_{n}=a_{1}(1−r^{n})/(1−r)S_n = a_1(1-r^n)/(1-r)Sn=a1(1−r^{n})/(1−r)，其中 S_{n}S_nSn 是前 nnn 项的和， a_{1}a_1a1 是第一项， rrr 是公比。
等比数列的性质定理
01 02 03 04 05
等比数列课件
等比数列课件一、等比数列定义等比数列是一种特殊的数列，它的每一项（从第二项开始）都是前一项乘以一个常数。
这个常数被称为公比。
定义一个等比数列需要给出它的首项和公比，通常用符号表示为{an}，其中a1是首项，q是公比。
二、等比数列通项公式等比数列的通项公式是：an = a1 * q^(n-1)，其中n是项数，a1是首项，q是公比。
这个公式表明，等比数列的任意一项都是首项乘以公比的n-1次方。
三、等比数列的性质1. 等比数列的任意两项之积等于这两项之和，即a(n+2)/a(n+1) = a(n+1)/a(n)。
2. 等比数列的各项之和等于首项乘以公比减去1，即Σan = a1 * q - 1。
3. 等比数列的各项之积等于首项乘以公比的n次方减去1，即Πan = a1 * q^n - 1。
四、等比数列的图像表示等比数列的图像是一条递减或递增的曲线，它的图像可以用来直观地了解等比数列的性质和特点。
在图像中，公比q的大小决定了曲线的陡峭程度，而首项a1的大小决定了曲线在y轴上的位置。
五、等比数列的应用等比数列在实际生活中有着广泛的应用，例如在金融、经济、工程等领域都可以找到它的踪迹。
例如，在银行利率计算中，等比数列可以用来计算复利；在股票价格计算中，等比数列可以用来计算股息等等。
六、等比数列的例题讲解例题1：一个等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前5项之和。
解：根据等比数列的性质，该数列的前5项之和为Σan = a1 * q - 1 = 2 * 3^5 - 1 = 242。
例题2：一个等比数列的各项之和为10，前三项之积为91，求该数列的公比。
解：根据等比数列的性质，该数列的公比q满足方程：Σan = a1 * q - 1 = 10 和Πan = a1 * q^3 - 1 = 91。
解得q = 3或-3/2。
七、课后练习与答案1. 计算下列等比数列的前5项之和：a) 首项为4，公比为2；b) 首项为-3，公比为-4。
等比数列知识点归纳总结
等比数列知识点归纳总结等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
在等比数列中，我们可以通过一些重要的知识点来解决与数列相关的问题。
本文将对等比数列的概念、性质以及求和公式进行归纳总结。
一、等比数列的概念与性质1. 等比数列的概念：等比数列是指一个数列中，从第2项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数的结果。
2. 公比的概念：在等比数列中，这个常数被称为公比，通常用字母q表示。
3. 公比的计算：公比q可以通过相邻两项的比值来计算，即等于后一项除以前一项。
公比q = 第(n+1) 项 / 第n 项4. 等比数列的性质：（1）任意项与它前一项的比值都等于公比q；（2）等比数列中，任意两项的比值都相等。
二、等比数列的求和公式在解决与等比数列相关的问题时，求和是一个重要的方面。
通过求和公式，我们能够快速计算等比数列的前n项的总和。
以下是等比数列的求和公式：Sn = a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示前n项的和，a1表示第一项，q表示公比。
三、等比数列的常见问题解答1. 已知等比数列的首项a1和公比q，求出该数列的通项公式：通项公式可以通过逐项相除来得到。
假设通项公式为an，那么有：a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ... = q根据这个比值相等的关系，可以得到通项公式：an = a1*(q^(n-1))2. 已知等比数列的部分项求和：有时候我们需要计算等比数列中从第m项到第n项的和，可以利用通项公式将问题转化为前n项和减去前m-1项和的差值。
S(m,n) = Sn - S(m-1)其中，S(m,n)表示从第m项到第n项的和。
3. 已知等比数列的前n项和Sn，求出该数列的通项公式：在这种情况下，可以通过求和公式逆推得到通项公式。
首先将求和公式改写为关于q的方程，然后解方程求得q的值，最后代入通项公式中即可得到结果。
以上是关于等比数列的概念、性质、求和公式以及常见问题的解答。
等比数列中知识点总结
等比数列中知识点总结一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
具体而言，如果一个数列满足an=ar^(n-1)，其中a是首项，r是公比，n是项数，那么这个数列就是等比数列。
公比r是等比数列中相邻两项的比值，它代表着数列中每一项与前一项的比例关系。
二、等比数列的通项公式对于等比数列an=a1*r^(n-1)，我们可以通过求出前n项和来求解其通项公式。
等比数列的前n项和Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
通过这两个公式，我们可以方便地求解等比数列的通项公式，从而推导出数列中任意一项的值。
三、等比数列的性质1. 等比数列的前n项和公式在等比数列中，前n项和Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
这个公式可以帮助我们快速计算出数列的前n项和，从而对数列进行更深入的分析和应用。
2. 等比数列的性质等比数列具有许多重要的性质，例如任意一项与它的前一项的比值都是相等的，序列中相邻两项的比值等于公比r等。
这些性质使得等比数列可以在实际问题中被广泛地应用，例如在金融、生物、工程等领域中。
3. 等比数列的图像等比数列的图像是一条直线，其斜率等于公比r。
通过绘制等比数列的图像，我们可以更直观地理解数列中项与项之间的比例关系，从而更深入地理解等比数列的性质和应用。
四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有许多重要的应用，下面我们就来介绍一些常见的应用领域。
1. 财务投资在财务投资中，等比数列可以用来描述利息的增长规律。
例如，如果某个投资方案的收益率是一个固定的百分比，那么这个投资方案的收益可以用等比数列来描述。
通过等比数列的通项公式，我们可以轻松地计算出不同时间段内的收益总额。
2. 生物学在生物学研究中，等比数列可以用来描述生物种群的增长规律。
例如，如果某种动植物的数量每一代都以相同的比例增长，那么这个生物种群的数量可以用等比数列来描述。
通过等比数列的通项公式，我们可以预测未来某一时刻该种群的数量。
等比数列 课件
2．如果一个数列{an}的通项公式为 an＝aqn，其中 a，q 都是不 为 0 的常数，那么这个数列一定是等比数列，首项为 aq ，公 比为 q .
3．一般地，如果 m，n，k，l 为正整数·_a_l ，特别地，当 m＋n＝2k 时，am·an＝ a2k .
＝q(q≠0)是判定一个数列是等
比数列的基本方法．要判断一个数列不是等比数列，举一组反
例即可，例如a22≠a1a3.
例3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的 产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开 始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079) 解 记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，…. 则依题意可得a1＝5，aan－n 1＝1.2(n≥2且n∈N*)， 从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30， 故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝lglg16.2＝00..707789≈9.85.
探究 2 在等比数列{an}中，若 m＋n＝2k，证明 am·an＝ak2(m，n， k∈N*)． 证明 ∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1， ∴am·an＝a21qm＋n－2， ∵ak＝a1qk－1，∴a2k＝a21·q2k－2.
∵m＋n＝2k，∴am·an＝a2k.
问题 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则
(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝2，且a1＋1＝2. ∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解 由(1)知{an＋1}是等比数列．
等比数列 课件
问题 下列所给数列中，等比数列的序号是_①__③_____．
①1,1,1,1,1，…. ②0,1,2,4,8，…. ③2－ 3，－1,2＋ 3，…. ④12，2,4,8,16，….
探究点二 等比中项 问题 请你类比等差中项的概念，给出等比中项的概念．
答案 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项．
小结 等比数列的通项公式an＝a1qn－1中有四个量a1，q，n， an.已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”．
例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3 个数． 解 设插入的三个数为a2，a3，a4，由题意得243，a2，a3，a4,3 成等比数列． 设公比为q，则3＝243·q5－1，解得q＝±13. 当q＝13时，a2＝81，a3＝27，a4＝9； 当q＝－13时，a2＝－81，a3＝27，a4＝－9.
，a，
aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.
因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.
小结 利用等比数列的通项公式求各项时，要注意选取的首项 a1与项数n的对应关系，计算各项时注意防止序号出错．
例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数 列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数 的和是12，求这四个数． 解 方法一 设四个数依次为a－d，a，a＋d，a＋ad2， 由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12.
探究点一 等比数列的概念
观察下面几个数列：
①1,2,4,8,16，… ②1，12，14，18，116，… ③1，－1,1，－1,1，… ④12，－1,2，－4,8，…
上面这几组数列的共同点是： 从第2项起,每一项与前一项的比 都___等__于__同__一__个___非__零__的__常__数__．像这样的数列，就叫做等比数 列．这个非零常数叫做等比数列的 公比 ．
16等比数列(教师)
等比数列一、知识回顾1．等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ） 2．等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项也就是，如果是的等比中项，那么Gb a G =，即ab G =23．等比数列的判定方法：① 定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列② 等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列 4．等比数列的通项公式：如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 或着n m n m a a q -=5．等比数列的前n 项和：○1)1(1)1(1≠--=q qq a S n n ○2)1(11≠--=q q q a a S n n ○3当1=q 时，1na S n = 当1q ≠时，前n 项和必须具备形式(1),(0)n n S A q A =-≠ 6．等比数列的性质：① 等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=② 对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅ 也就是：=⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321③ 若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么只有当公比1q =-且k 为偶数时,k S ，k k S S -2，k k S S 23-不成等比数列 如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 二、等比数列通项公式的运用例1、在等比数列}{n a 中,,8,1685=-=a a 则=11a ( )A. 4-B. 4±C. 2- D .2± 例2、已知等差数列{a n }，公差d ≠0,431a a a ，，成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=例3．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列； 如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列 练一练1、已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =2 25a 2a =1，则1a = ( ) A.21 B. 22 C. 2 D.2 2、 已知数列1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则=+221b a a _______． 3、在等比数列{}n a 中，32a =，5a m =，78a =，则m =.A 4± .B 5 .C 4- .D 44、已知a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是(),b c ，则ad 等于 （ ） .A 3 .B 2 .C 1 .D 2-5、设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于A.210B.220C.216D.215 6、已知数列{}n a 是非零等差数列，又1a 、3a 、9a 组成一个等比数列的前三项，则1392410a a a a a a ++=++ .7、已知等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，求a n .8、在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于（ ） A ．4 B ．23 C ．916 D ．2三、等比数列性质的运用例4．等比数列}{n a 中，各项均为正数，且610354841,4a a a a a a ⋅+⋅=⋅=，求84a a +例5、各项均为正数的等比数列{}n a 中，569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++= _____ 。
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结等比数列是数学中常见的一种数列形式，它在数学和实际生活中都有着重要的应用。
了解等比数列的知识点，对于学生来说是非常重要的。
本文将对等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和以及应用进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握等比数列的相关知识。
1. 定义。
等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数的数列。
这个非零常数被称为等比数列的公比，通常用字母q表示。
2. 性质。
（1）等比数列中任意两项的比相等。
（2）等比数列中任意一项与它的前一项的比都等于公比q。
（3）等比数列中，若首项为a，公比为q，任意一项为an，则第n项可以表示为an=aq^(n-1)。
（4）等比数列中，若首项为a，公比为q，通项公式为an=aq^(n-1)。
3. 通项公式。
对于等比数列，通项公式是非常重要的，它可以用来表示等比数列中的任意一项。
通项公式的一般形式为an=aq^(n-1)，其中an表示第n项，a表示首项，q表示公比，n表示项数。
4. 前n项和。
对于等比数列的前n项和也是一个重要的概念。
等比数列的前n项和可以通过通项公式进行推导，最终的结果为Sn=a(q^n-1)/(q-1)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，q表示公比，n表示项数。
5. 应用。
等比数列在实际生活中有着广泛的应用，比如金融领域中的利息计算、人口增长模型、生物种群的增长等。
在数学中，等比数列也常常出现在数列求和、数列推导等问题中，掌握等比数列的知识对于解决这些问题是非常有帮助的。
总结。
通过本文的介绍，我们对等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和以及应用有了更深入的了解。
等比数列作为数学中的重要概念，对于学生来说是必须要掌握的知识点。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握等比数列的相关知识，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
2010-2018高考真题分类训练：第十六讲 等比数列答案
专题六 数列第十六讲 等比数列答案部分1．D 【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为{}n a ，则第八个单音频率为818a f -=⋅=，故选D ．2．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>， 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<， 所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++， 所以123412312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<， 所以13a a >，24a a <，故选B ．3．B 【解析】设塔顶共有灯1a 盏，根据题意各层等数构成以1a 为首项，2为公比的等比数列，∴77171(12)(21)38112a S a -==-=-，解得13a =．选B ． 4．B 【解析】由于241(1)21a q q ++=，13a =，所以4260q q +-=，所以22q =(23q =-舍去)，所以36a =，512a =，724a =，所以35742a a a ++=．5．D 【解析】由等比数列的性质得，23960a a a ⋅=≠，因此269,,a a a 一定成等比数列．6．C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵32110S a a =+，∴1232110a a a a a ++=+，即319a a =，∴29q =，由59a =，即419a q =，∴119a =． 7．B 【解析】取特殊值可排除A 、C 、D ，由均值不等式可得2221313222a a a a a +⋅=…． 8．B 【解析】由116n n n a a +=，得11216n n n a a +++=，两式相除得1121161616n n n n n n a a a a ++++==，∴216q =，∵116n n n a a +=，可知公比q 为正数，∴4q =．9．C 【解析】设{n a }的公比为q ，则由等比数列的性质知，231412a a a a a ⋅=⋅=，即42a =．由4a 与27a 的等差中项为54知，475224a a +=⨯， 7415(2)24a a ∴=⨯-14=．∴37418a q a ==，即12q =．3411128a a q a ==⨯=， 116a ∴=，55116(1)231112S -==-． 10．A 【解析】通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =－2，所以5522113211114S q S q -+===---． 11．D 【解析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足． 12．C 【解析】2341010123451m a a a a a a q q q q q a q ==⋅⋅⋅==，因此有11m =． 13．B 【解析】两式相减得， 3433a a a =-，44334,4a a a q a =∴==．14．C 【解析】显然q ≠1，所以3639(1)1=1211q q q q q q--⇒+⇒=--，所以1{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 前5项和5511()31211612T -==-．15．8-【解析】设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以1121113a a q a a q +=-⎧⎨-=-⎩， 解得112a q =⎧⎨=-⎩ ，则3418a a q ==-．16．32【解析】设{}n a 的公比为q ，由题意1q ≠，由636331191S q q S q-==+=-，所以2q =，由313(1)714a q S q -==-，得114a =，所以77581122324a a q ==⨯==．17．1【解析】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由题意3138d q -+=-=，所以3d =，2q =-，所以22131(2)a b -+==--． 18．64【解析】设{}n a 的公比为q ，由1310a a +=，245a a +=得118,2a q ==， 则24a =，32a =，41a =，512a =，所以12123464n a a a a a a a ⋅⋅⋅=…． 19．1 121 【解析】由于1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，解得11a =，由1121n n n n a S S S ++=-=+，所以1113()22n n S S ++=+，所以1{}2n S +是以32为首项，3为公比的等比数列， 所以113322n n S -+=⨯，所以5121S =．20．21n-【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---．21．5【解析】由等比数列的性质可知215243a a a a a ==，于是，由154a a =得32a =，故1234532a a a a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a2123452log ()log 325a a a a a ==．22．50【解析】因{}n a 是等比数列，∴1201011912a a a a a a ==，由512911102e a a a a =+得 ∴5120a a e =，∴1220ln ln ln a a a +++= 101220120ln()ln()a a a a a ⋅⋅⋅==50． 23．4【解析】 设等比数列}{n a 的公比为q ，0q >．则8642a a a =+，即为424442a q a q a =+，解得22q =（负值舍去），又21a =，所以4624a a q =． 24．15【解析】12341,2,4,8a a a a ==-==-，∴ 1234||||a a a a +++=15．25．12,22n +-【解析】由35a a +=()24q a a +得2q =；()()3241a a a q q +=+=20，得12a =；∴()12122212n n n S +-==--．26．12【解析】设正项等比数列}{n a 首项为1a ，公比为q ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141q q a q a ，得：1a ＝132，q ＝2，62nn a -=．记521212-=+++=n n n a a a T ， 2)1(212nn n n a a a -==∏ ．n n T ∏>，则2)1(52212n n n ->-，化简得：5211212212+->-n n n，当5211212+->n n n 时，12212113≈+=n ． 当n ＝12时，1212∏>T ，当n ＝13时，1313∏<T ，故max 12n =． 27．11【解析】由2120n n n a a a +++-=，可得220n n n a q a q a +-=，由11a =可知0,1n a q ≠≠，求得公比2q =-，可得5S =11．28．2【解析】222112()5,2(1)5,2(1)5,22n n n n n a a a a q a q q q q q +++=∴+=∴+===解得或 因为数列为递增数列，且10,1,2a q q >>∴=所以．29．32【解析】依题意可得，2112111443311111(1)32232201(1)23220321a q a q a q a q a q q a q a q a q a q a q q ⎧-=+⎪⎧-++-=-⎪⎪⇒⎨⎨--++-=⎪⎪⎩=+⎪-⎩两式相减可得423111122330a q a q a q a q --+=，即42322330q q q q --+=，解得1q =±（舍）或0q =或32q =。
等比数列知识点总结和归纳
等比数列知识点总结和归纳数列在数学中占据着重要的地位，它们是数学研究的基础。
其中，等比数列作为一种特殊的数列，具有独特的性质和规律。
本文将对等比数列的基本概念、性质、公式和应用进行总结和归纳，以帮助读者更好地理解和应用等比数列。
一、等比数列的基本概念等比数列是指具有公比不为零的数列。
公比是指数列中任意两个相邻项的比值，通常用字母q表示。
根据定义，等比数列中的每一项与它的前一项的比值都是相等的。
二、等比数列的性质1. 公比的性质：等比数列的公比q决定了数列的性质。
当q>1时，数列为递增的；当0<q<1时，数列为递减的；当q=1时，数列为等差数列。
2. 通项公式：等比数列的通项公式是数列中任意一项与首项的比值的幂次方关系。
若首项为a，公比为q，第n项为an，则通项公式为an = a * q^(n-1)。
3. 前n项和公式：等比数列的前n项和公式是数列中前n项的和。
该公式可通过分两种情况讨论得出，即当q≠1时和当q=1时。
当q≠1时，前n项和公式为Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)。
当q=1时，前n项和公式为Sn = n * a。
4. 附加性质：等比数列还具有一些特殊的性质，比如任意三项成比例、倒数等比数列等。
这些特殊性质在问题求解中常常发挥重要作用。
三、等比数列的应用1. 复利计算：等比数列的应用广泛存在于复利计算中。
例如，一个年利率为r的账户，每年利滚利进行复利计算，那么每年的本金就构成了一个等比数列，利息也构成了一个等比数列。
2. 几何图形构造：等比数列的特性可以应用于几何图形的构造中。
例如，通过不断加减边长比值为q的等边三角形，可以构造出一种叫做“谢尔宾斯基三角形”的几何图形。
3. 自然界中的等比数列：等比数列的规律也在自然界中普遍存在，例如菜花的花瓣数、树枝的分支、蜂巢的结构等都呈现出等比数列的性质。
综上所述，等比数列作为一种重要的数列形式，其基本概念、性质、公式和应用都具有重要的研究意义和实际应用价值。
《等比数列》说课稿
《等比数列》说课稿《等比数列》说课稿作为一名优秀的教育工作者，很有必要精心设计一份说课稿，说课稿有助于提高教师理论素养和驾驭教材的能力。
如何把说课稿做到重点突出呢？以下是小编收集整理的《等比数列》说课稿，仅供参考，希望能够帮助到大家。
《等比数列》说课稿1一、地位作用数列是高中数学重要的内容之一，等比数列是在学习了等差数列后新的一种特殊数列，在生活中如储蓄、分期付款等应用较为广泛，在整个高中数学内容中数列与已学过的函数及后面的数列极限有密切联系，它也是培养学生数学能力的良好题材，它可以培养学生的观察、分析、归纳、猜想及综合解决问题的能力。
基于此，设计本节的数学思路上：利用类比的思想，联系等差数列的概念及通项公式的学习方法，采取自学、引导、归纳、猜想、类比总结的教学思路，充分发挥学生主观能动性，调动学生的主体地位，充分体现教为主导、学为主体、练为主线的教学思想。
二、教学目标知识目标：1）理解等比数列的概念2）掌握等比数列的通项公式3）并能用公式解决一些实际问题能力目标：培养学生观察能力及发现意识，培养学生运用类比思想、解决分析问题的能力。
三、教学重点1）等比数列概念的理解与掌握关键：是让学生理解“等比”的特点2）等比数列的通项公式的推导及应用四、教学难点“等比”的理解及利用通项公式解决一些问题。
五、教学过程设计（一）预习自学环节。
（8分钟）首先让学生重新阅读课本105页国际象棋发明者的故事，并出示预习提纲，要求学生阅读课本P122至P123例1上面。
回答下列问题1）课本中前3个实例有什么特点？能否举出其它例子，并给出等比数列的定义。
2）观察以下几个数列，回答下面问题：1，，，，……－1，－2，－4，－8……1，2，－4，8……－1，－1，－1，－1，……1，0，1，0……①有哪几个是等比数列？若是公比是什么？②公比q为什么不能等于零？首项能为零吗？③公比q=1时是什么数列？④q＞0时数列递增吗？q＜0时递减吗？3）怎样推导等比数列通项公式？课本中采取了什么方法？还可以怎样推导？4）等比数列通项公式与函数关系怎样？（二）归纳主导与总结环节（15分钟）这一环节主要是通过学生回答为主体，教师引导总结为主线解决本节两个重点内容。
等比数列 课件
命题角度2 未知量的设法技巧 例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并 且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求 这四个数．
合理地设出未知数是解决此类问题的技巧．一般地，三个数成等比 数 若四列个，同可号设的为数aq，成a等，比aq数；列三，个可数设成为等q差a3，数aq列，，aq可，设aq为3；a－四d个，数a，成a等＋差d. 数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85， 解得a1＝－14， ∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1， ∴6an＝5an－1＋1，an－1＝56(an－1－1)， ∴{an－1}是首项为－15，公比为56的等比数列．
判断一个数列是等比数列的基本方法： (1)定义法：aan＋n 1＝q(常数)； (2)等比中项法：a2n＋1＝anan＋2(an≠0，n∈N*)； 要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如 a22≠a1a3.
梳理
一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n， s，t∈N*)． 若m＋n＝2k，则am·an＝a2k (m，n，k∈N*)．
类型一 等比数列的判断方法
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n－5an－85，n∈N*，证明： {an－1}是等比数列．
知识点二 由等比数列衍生的等比数列
思考
等比数列{an}的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是 (1){3an}是等比数列； (2){3＋an}是等比数列； (3){a1n} 是等比数列； (4){a2n}是等比数列．
由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．
…
梳理
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专题六 数列第十六讲 等比数列2019年1.（2019全国Ⅰ文14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________．2.（2019全国Ⅱ文18）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.3.（2019全国Ⅲ文6）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16B ． 8C ．4D ． 24.（2019北京文16）设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．5.（2019天津文18）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足21,,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶为数为数求()*112222n na c a c a c n N +++∈L .2010-2018年一、选择题1．(2018北京)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于f ，则第八个单音的频率为ABC．D．2．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >3．（2015新课标2）已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a A ．2 B ．1 C ．21 D ．814．（2014重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是A ．139,,a a a 成等比数列B ．236,,a a a 成等比数列C ．248,,a a a 成等比数列D ．269,,a a a 成等比数列5．（2013新课标2）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =A ．13 B ．13- C ．19 D ．19- 6．（2012北京）已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是A ．1322a a a +…B ．2221322a a a +…C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a >7．（2011辽宁）若等比数列{}n a 满足116nn n a a +=，则公比为A ．2B ．4C ．8D ．168．（2010广东）已知数列{}n a 为等比数列，n S 是是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则5S = A ．35 B ．33 C ．3l D ．29 9．（2010浙江）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S = A ．－11B ．－8C ．5D ．1110．（2010安徽）设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是A ．2X Z Y +=B ．()()Y Y X Z Z X -=-C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X -=-11．（2010北京）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m =A ．9B ．10C ．11D ．1212．（2010辽宁）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q = A ．3B ．4C ．5D ．613．（2010天津）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为A ．158或5 B ．3116或5 C ．3116 D ．158二、填空题14．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a = ．15．（2015广东）若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-，则b =________．16．（2014广东）等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________．17．（2014广东）若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++=L ．18．（2014江苏）在各项均为正数的等比数列}{n a 中，,12=a 4682a a a +=，则6a 的值是 ． 19．（2013广东）设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= ．20．（2013北京）若等比数列{}n a 满足24a a +=20，35a a +=40，则公比q = ；前n项和n S = ．21．（2013江苏）在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a ．则满足 n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ．22．（2012江西）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比不为1．若11a =，且对任意的n N +∈都有2120n n n a a a +++-=，则5S =_________________．23．（2012辽宁）已知等比数列}{n a 为递增数列，若01>a ，且125)(2++=+n n n a a a ，则数列{}n a 的公比=q ．24．（2012浙江）设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若2232S a =+，4432S a =+，则q = ．25．（2011北京）在等比数列{}n a 中，112a =，44a =-，则公比q =_____ _________； 12...n a a a +++=____________．三、解答题26．（2018全国卷Ⅰ）已知数列{}n a 满足11a =，12(1)+=+n n na n a ，设nn a b n=． (1)求1b ，2b ，3b ；(2)判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； (3)求{}n a 的通项公式．27．（2018全国卷Ⅲ）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．28．（2018浙江）已知等比数列1{}a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5a 的等差中项．数列{}nb 满足11b =，数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为22n n +．(1)求q 的值；(2)求数列{}n b 的通项公式．29．（2017新课标Ⅰ）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列。
30．（2017新课标Ⅱ）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=．(1)若335a b +=，求{}n b 的通项公式； (2)若321T =，求3S31．（2017山东）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且126a a +=，123a a a =．(Ⅰ)求数列{}n a 通项公式；(Ⅱ) {}n b 为各项非零的等差数列，其前n 项和n S ，已知211n n n S b b ++=，求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．32．（2017北京）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2410a a +=，245b b a =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++K ．33．（2016年全国III 卷）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=．（Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．34．（2016年天津）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且6123112,63S a a a -==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若对任意的,b n n N ∈*是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nn b -的前2n 项和．35．（2015安徽）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8a a a a +==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．36．（2015广东）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （Ⅰ）求4a 的值； （Ⅱ）证明：11{}2n n a a +-为等比数列； （Ⅲ）求数列{}n a 的通项公式．37．（2014新课标）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+．（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+．38．（2014福建）在等比数列{}n a 中，253,81a a ==．（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．39．（2014江西）已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n nn S n ，232． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列．40．(2013四川) 在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和．41． (2013天津)已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N ， 且234,2,4S S S -成等差数列．(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 证明13*)61(n n S n S +≤∈N ． 42．（2011新课标）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ ）设31323log log log n n b a a a =+++L ，求数列1{}nb 的前n 项和． 43．（2011江西）已知两个等比数列{},{}n n a b ，满足(),,a a a b a 111=>0-=1,b a b a 2233-=2-=3．（Ⅰ）若a =1，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ ）若数列{}n a 唯一，求a 的值．44．（2011安徽）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=g 求数列{}n b 的前n 项和n S ．。