《概率论与数理统计》课件之2
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概率论与数理统计课件(1-2)
频率与概率到底有怎样的关系呢？ 频率与概率到底有怎样的关系呢？
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质 硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
这两个公式的思想贯穿着整个概率问题的求解
可重复排列：从含有n 个元素的集合中随机 抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回， 将记录结果排成一列
n n n
n
共有nk 种不同排列方式
无重复排列： 无重复排列：从含有n 个元素的集合中随机抽 每次取一个，取后不放回， 取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元 素排成一列
1.2 概率
从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 发生的可能性大小的量 P（A）应具有何种性质？ （ 应具有何种性质？ 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ * 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ * 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？ * 向目标射击，命中目标的概率有多大？
•频率的性质
(1) 0≤ fn(A) ≤1； ≤ ≤ ； (2) fn( )＝1； fn(Φ)=0 ＝ ； Φ (3) 可加性：若AB＝ Φ ，则 可加性： ＝ fn(A∪B)＝ fn(A) ＋fn(B). ＝
二、 概率的公理化定义与性质 注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义
《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布 (1)
则称X服从参数为λ的泊松分布, 记为 X ~ P() .
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
第二章2《概率论与数理统计教程》PPT课件
4 -5
联合概率函数的性质
1) p(xi , yj ) 0,
2) p(xi , yj )1;
ij
3) P(X,Y)D p(xi , yj ); (xi ,yj )D
若二维随机r.v.的联合概率函数 p(xi , yj )知道，则 联合概率分布函数为
F(xy, )p(i,xyj) xix yjy
4 -6
y
注：若将二维随机变量（X，Y） 看作是平面上的随机点的坐标，
（x，y）
则分布函数在点（x，y）处的函 数值，就是随机点（X，Y）落在 如图所示的以点（x，y）为顶点 而位于该点左下方的无穷矩形区 域4内- 3的概率
O
x
联合分布函数的性质
1) 0F(x,y)1
2）F（x，y）分别是变量x，y的单调不减函数； 3）对任意x，y，有
例1. 将一枚均匀的硬币抛掷4次, X表示正面向上的 次数, Y表示反面朝上次数, 求(X,Y)的联合概率分布.
例2. 设随机变量Y~U（0，1），令
0, |Y|1 0, |Y|2 X1 1, |Y|1,X2 1, |Y|2
求（X1，X2）的联合概率分布。 例3. 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
XY 0 1
-1 0.05 0.1
0
0.1 0.2
4-7 1
a 0.2
2
求:(1)常数a的取值;
0.1
(2)P(X≥0,Y≤1);
0.1
0.05 (3) P(X≤1,Y≤1)
二维连续随机变量的联合概率密度
定义:
P (xX x x ,y Y y y)
f(x ,y)lim
y x 0 0
x y
若此极限存在，则称此极限为二维连续随 机变量（X，Y）的联合概率密度。
联合概率函数的性质
1) p(xi , yj ) 0,
2) p(xi , yj )1;
ij
3) P(X,Y)D p(xi , yj ); (xi ,yj )D
若二维随机r.v.的联合概率函数 p(xi , yj )知道，则 联合概率分布函数为
F(xy, )p(i,xyj) xix yjy
4 -6
y
注：若将二维随机变量（X，Y） 看作是平面上的随机点的坐标，
（x，y）
则分布函数在点（x，y）处的函 数值，就是随机点（X，Y）落在 如图所示的以点（x，y）为顶点 而位于该点左下方的无穷矩形区 域4内- 3的概率
O
x
联合分布函数的性质
1) 0F(x,y)1
2）F（x，y）分别是变量x，y的单调不减函数； 3）对任意x，y，有
例1. 将一枚均匀的硬币抛掷4次, X表示正面向上的 次数, Y表示反面朝上次数, 求(X,Y)的联合概率分布.
例2. 设随机变量Y~U（0，1），令
0, |Y|1 0, |Y|2 X1 1, |Y|1,X2 1, |Y|2
求（X1，X2）的联合概率分布。 例3. 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
XY 0 1
-1 0.05 0.1
0
0.1 0.2
4-7 1
a 0.2
2
求:(1)常数a的取值;
0.1
(2)P(X≥0,Y≤1);
0.1
0.05 (3) P(X≤1,Y≤1)
二维连续随机变量的联合概率密度
定义:
P (xX x x ,y Y y y)
f(x ,y)lim
y x 0 0
x y
若此极限存在，则称此极限为二维连续随 机变量（X，Y）的联合概率密度。
概率论与数理统计课件第2章
X0
1
pk 03.5
0.25
4
625
0.0625
X的分布函数为
2 0.125
0
x0
0.5
0 x1
F
(
x)
0.75 0.875
1 x 2 2 x3
0.9375 3 x 4
Байду номын сангаас
1
x4
0.0
分布函数 是累计概率
例3 有人对随机变量X的分布列表述如下:
X -1
0 12 3
P
a 0.16
a2 2a 0.3
第2章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布律 2.3 几种常见的离散型分布 2.4 连续型随机变量及其密度函数 2.5 正态分布 2.6 随机变量函数及其分布
2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量 二、随机变量的分布函数
信息管理学院 徐晔
一、随机变量
例
包含出现1点
包含出现1,2点
包含出现1,2,3点
包含出现1,2,3,4 点 包含出现1,2,3,4,5 点包含出现1,2,3,4,5,6 点
分布函数的性质
F(x) P(X x), （ x ）
(1) F x 在 , 上是一个不减函数 ,
即对 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,都有 F x1 F x2 ;
样本点
1， 4， 5 2， 3， 4 2， 3， 5 2， 4， 5 3， 4， 5
黑球数 X
1 2 2 1 1
由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应
着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空
间Ω上的函数：
概率论与数理统计课件第2章
2
2.2.1 随机变量 • 注意： 注意：
（1）随机变量定义于抽象的样本空间上，不是普 ）随机变量定义于抽象的样本空间上， 通的实函数。 通的实函数。 （2）随机事件可以通过随机变量的各种取值状态 ）随机事件可以通过随机变量的各种取值状态 取值范围来表示 来表示。 和取值范围来表示。
3
2.1.2 随机变量的分布函数 • 既然随机事件可以通过随机变量的各种取值状态和取值 范围来表示， 范围来表示，研究随机现象的统计规律性就转化为研究 随机变量取值的规律性，即取值的概率。 随机变量取值的规律性，即取值的概率。但概率是集合 函数，随机变量定义于抽象空间上，都不便于处理。 函数，随机变量定义于抽象空间上，都不便于处理。 • 能不能找到一种方法，使得我们研究随机变量取值的规 能不能找到一种方法， 律性可以转化为研究普通的实函数？ 律性可以转化为研究普通的实函数？
2.1 随机变量及其分布函数 在前面的讨论中，只是孤立地考虑一些事件的概率， 在前面的讨论中，只是孤立地考虑一些事件的概率， 这种研究方法缺乏一般性， 这种研究方法缺乏一般性，而且不便于分析数学工具的引 为了这一目的，随机变量的引入具有非常重要的意义。 入，为了这一目的，随机变量的引入具有非常重要的意义。 随机变量的引入是概率论发展史上的重大事件。 随机变量的引入是概率论发展史上的重大事件。它使得研 究概率论的数学工具更丰富有力，从此， 究概率论的数学工具更丰富有力，从此，概率论的研究进 入一个崭新的天地。 . 入一个崭新的天地。
P{ X ≥ 1} = 5 / 9 ，求p =
x≤0 ， 0 < x ≤1 x >1
，概率 P{0 ≤ X ≤ 0.25} =
，
；
X |< 0.5} ；2)分布函数 分布函数F(x) 分布函数
概率论与数理统计第2章ppt课件
1 3x
0
1
2
3X
处的离跳散跃型高随度机恰变为量P{的X=分x布i}.函数为跳跃函数，在xi
§4. 连续型随机变量的概率密度
1. 定义：对于随机变量X的分布函F(x)， 如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F(x)xf(t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率 密度函数。简称密度函数。
精选课件
21
例4. 3个人抓阄数。
解：X的概率分布: P{X=1}=1/3
P{X=2}=2/3×1/2=1/3
P{X=3}=2/3×1/2×1/1=1/3
X的分布函数:
Y
0 x <1
1
1/3 1 x <2
2/ 3
F(x)=
2/3 2 x <3 1/ 3
则：P{X=k} Cnk pnkqnnk 其中：qn=1－pn
(令＝μV; pn=μ△V＝μV/n= /n)：
考虑当 n ＋时
P{X=k} =nl imCnkpnkqnnk
limn! ()k(1)nk
nl n i m k1 k !!n(nn (n n k1)) !n (n n kn 1)k((11 n))kn
k
k!
k=0、1、2、3、……
n
Poissn定理：n为正整数，pn=/n， >0。 则对任一非负整数k有：
nl im Cnkpnkqnnk
k
k!
其中：＝ npn.
例3. 某人打靶命中率为0.001, 重复射击 5000次，求至少命中2次的概率。
解：设X为至命中次数。
P(X2) =1－P(X<2) =1－P(X=0)－P(X=1)
概率论与数理统计--第二章PPT课件
由概率的可列可加性得X的分布函数为
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
第26页/共57页
第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
第23页/共57页
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
第26页/共57页
第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
第23页/共57页
概率论与数理统计课件第二章
P( X 1) 1 P( X 0) 1 C 0.1 0.9
0 n 0 n 0
1 0.9 0.9
n
n 22.
例4. 某车间有5台车床,由于种种原因(由
于装、卸工作等),时常需要停车.设各 台车床的停车或开车是相互独立的. 若车床在任一时刻处于停车状态的 概率是1/3,求车间中恰有一台车床处 于停车状态的概率。 解：X:处于停车状态的车床数 X~B(5,1/3)
当0 x 1时，F ( x) P( X x) P( X 0) 0.3
当1 x 2时，F ( x) P( X x) P( X 0) P( X 1) 0.9
当x 2时，F ( x) P( X 0) P( X 1) P( X 2) 1
k nk CM CN M P( X k ) , n CN
k 0,1,..., l ,
其中n≤N,M<N,l=min{n,M},n,N,M均为正 整数,则称X服从参数为N,M,n的超几何分 布，记作X~H(N,M,n).
例8. 某班有学生20名，其中有5名女生， 今从班上任选4名学生去参观展览， 求被选到的女同学人数X的分布律。 X~H(20,5,4)
Ω X R X(w)
w
随机变量的分类
离散型随机变量
有限个或可列个 可能值
随 机 多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个区间.
许多随机事件都可以通过形如{X≤x}的 事件来表示:
1 { X x} X x k k 1
(5) F ( x)是连续函数, 若f ( x)在x0连续, 有 F ( x0 ) f ( x0 ) .
例1. 设连续型随机变量X的概率密度为
北京工业大学《概率论与数理统计》课件 第2章 连续性随机变量
2.3.3 常见的连续型随机变量的概率密度函数
△ 均匀分布 △ 指数分布 △ 正态分布
1. 均匀分布 (Uniform) 若随机变量 X 的概率密度为
则称 X 服从区间[a, b]上的均匀分布，记作 X ～U[a, b]。(注: 有时也记作X～U(a, b) )
若X ～ U[a, b]，则对于满足 a≤c≤d≤b 的 c 和 d，总有
例2.3.4 假设某地区成年男性的身高(单位: cm) X～N(170,7.692), 求该地区成年男性的身 高超过175 cm的概率。
解 根据假设X～N(170 ,7.692), μ=170， a=175, σ= 7.69。由(2.3.15) 式的后一式，得
小结
本讲首先介绍连续型随机变量、直方图、 概率密度函数及其性质；然后介绍三种常用的 连续型随机变量：均匀分布，指数分布和正态 分布；给出了三种分布应用的例子。
概率密度曲线可用来准确地刻画 X 的概率 分布情况。
2.3. 2 概率密度函数 定义2.3.1 若存在非负可积函数 f(x), 使
随机变量X落入任意区间(a, b]的概率
则称 X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密 度函数，简称概率密度或密度。
对概率密度的进一步解释： 若 x 是 f(x) 的连续点，则有
且 f (μ+c) ≤ f (μ)， f (μ-c)≤ f (μ). 故 f(x)以 x=μ为对称轴，并在 x =μ处达到最大 值
对
当 x→ ∞时，f(x) → 0。 这说明：曲线 f(x) 向左右伸展时，越来越贴 近 x 轴。即 f (x) 以 x 轴为渐近线。
对
可以证明： x =μσ
为 y = f (x) 曲线的两个拐点的横坐标。
《概率论与数理统计教程》课件
2-7
随机变量的分类
仅可能取得有限个或 可数无穷多个数值
离散型随机变量 随机变量 连续型随机变量
2-8
§2.2 离散随机变量
一. 概率分布
二. 概率函数及其性质 三. 几何分布 四. 频率分布表
2-9
概率分布
定义 随机变量X一切可能值为x1, x2, ... , xn, ... , 而取 得这些值的概率分别为p(x1), p(x2), ... , p(xn) , ... , 称为离散型随机变量的概率分布或分布律。 可以列出概率分布表如下：
1. 当一批产品总数 N很大，而抽取样品的个 数 n 远小于 N 时，可用二项分布来近似地 计算超几何分布的概率，即 m n m C M C N M M m m n m Cn p q , p n N CN
2. 实际应用中，当n/N10%时，不放回抽样（样品 中的次品数服从超几何分布）与放回抽样（样品 中的次品数服从二项分布）区别不大。
2 - 13
课堂练习
1. P{ X i } 2a i ,i 1,2 , , 求常数a. 2. 下面给出的数列能否成为某一随机变量的 分布列: 0.1,0.2,0.3,0.4.
3. 设随机变量X的概率分布为
X P 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 a
求:(1)a的值; (2)P(X≤1); (3)P(1≤X<3) 4. 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每 次击中目标的概率是0.6,求击中目标次数X的概 2 - 14 率分布.
P(X=n)=qn-1p, (n=1,2,...)
几何分布
2 - 15
频率分布表
频率分布表
X
f n ( xi )
x1
概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数ppt课件
表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图：
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布 或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x)
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32
概率论与数理统计课件(2-3)
令
u
t
u2 2
x
t 2
2 2
e
dt
, 则有
1 PZ x 2
e
x
du x
故
于是
Z
X
~ N 0 ,1 .
2
X ~ N ,
X x FX x P X x P x
(u0.025) ＝1－0.025=0.975 u0.025=1.96
正态分布由它的两个参数μ和σ唯一 确定， 当μ和σ不同时，是不同的正态 分布。
下面我们介绍一种最重要的正态分布
标准正态分布
标准正态分布(P45)
参数＝0， 2＝1的正态分布称为标准
正态分布，记作 X~N(0, 1)
标准正态分布的密度函数和分布函数 密度函数表示为
( x)
1 e 2
(1) 0.5 (1) 0.5 1 0.5328
P{4 X 10} P{
( 3.5) 3.5 2( 3.5) 1 0.9996
4 3 X 3 10 3 } 2 2 2
例 设 X～N（3,22） （1）求 P {2<X≤5}，P {－4<X≤10}，P{|X|>2}， （2）决定 C 使得 P {X > C }=P {X≤C}
x
1 2π
x
e
t2 2
dt ( x )
1 0 2
0
e
t2 2
dt
1 1 2 2
e
概率论第2章ppt课件
(5) P{恰好2.5分钟}
.
11
第2章 随机变量及其分布
解：
习题19
(1) P{至多3分钟} P { X 3 } F X (3 ) 1 e 0 .4 3 0 .69 (2) P{至少4分钟}
P { X 4 } 1 P { X 4 } 1 F X ( 4 ) e 0 .4 4 0 .20
同理 P{X2}5219 P{X3}4217
36 36
36 36
P{X4}3215 P{X5}2213
36 36
36 36
P{X 6} 1 36
.
3
第2章 随机变量及其分布
习题8
8. 甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6和0.7。今各投三次。求(1)两人投中次数 相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.
.
9
第2章 随机变量及其分布
习题16
16. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为0.0001. 在某天的该时间段内有1000量汽车通过。问出事故的车辆 数不小于2的概率是多少？(利用泊松定理计算)
解：令在该段时间内发生事故的车辆数目为X, 根据题意知：
0
20
22 4
令 y x2
AI1A1 4
I b3/2
.
15
第2章 随机变量及其分布
习题22(2)
22(2) 研究了英格兰在1875年~1951年期间，在矿山
发生导致不少于10人死亡的事故的频繁程度，得知
相继两次事故之间的时间T(日)服从指数分布，其
概率密度为
fT
(t)
1
et
241
, /241
(1) 解：从8杯酒中随机地挑选4杯，共有
东华大学《概率论与数理统计》课件 第二章 一维随机变量
P(
=
xi
)，得
0
F
(
x
)
=
0.5 0.5 + 1− 2q
0.5 + 1 − 2q + q2
, x. −1 , x [ −1, 0 ) , x [ −1, 0 ) , x [1, + )
0
, x −1
F
(
x
)
=
0.5
, x [ −1, 0 )
2 − 0.5 , x [ 0,1)
P{ X
1}, 2
P{3 X 5},
2
2
解： X 的分布函数为
0, x −1
F(
x
)
=
0.25, 0.75,
−1 x 2 2 x3
1,
x3
1 P{X } = P{X = −1} = 0.25,
2
3
5
P{ X } = P{X = 2} = 0.5,
2
2
例9 设是离散型随机变量，分布列为：
试求常数c及其分布函数。
解：利用规范性
+
b
1 = p( x)dx = cdx = c(b − a)
−
a
c = 1 b−a
1
p(
x
)
=
b
−
a
,
0 ,
x (a, b) 其它
称服从(a,b)上的均匀分布，记为 ~ U(a,b)
利用分布函数是密度函数积分的定义得
当x a时，F ( x) =
1
, x [1, + )
例10 一汽车沿街道行驶，需经过三个设红 绿灯的道口，若每个道口信号灯显示红绿 灯的时间相等，且各信号灯工作相互独立， 以 记该 车首次遇到红灯前已通过的道口 数，求的概率分布。
概率论与数理统计第二章课件PPT
例2 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 .
X ~ B (3, 0.8)，
P( X k)C (0.8) (0.2) , k 0,1,2,3
k 3 k
3k
P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} =(0.2)3+3(0.8)(0.2)2
X
p
1
0
1
2
3 0.1
a b 0.2 0.3
求a,b满足什么条件。
a b 0.4, a 0, b 0
一旦知道一个离散型随机变量X的分布律后，我们便可求得X
所生成的任何事件的概率。特别地，对任意 a ，有 b
P a X b P X x P X x i i a x b a x b 1 1 pk
解
用泊松定理 取 =np＝(400)(0.02)＝8, 故 近似地有 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1}
＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.
泊松分布(Poisson distribution)
定义2 设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n,…，而X 的分布律为
pk P X k
路口1
路口2
路口3
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
路口1
路口2
路口3
1 1 1 P(X=3)= P( A1 A2 A3 ) =1/8 2 2 2
即
X
p
0
1
2
3
1 2
1 4
概率论与数理统计第二章_PPT课件
3，4，5
1.随机变量的定义
设E是一个随机试验,S是其样本空间.我们称样本空
间上的函数 X X e e S
为一个随机变量,如果对于任意的实数 x,集合
e ： X e x X x
X (e)
e
都是随机事件．
随机变量的特点:
R
S
1). X的全部可能取值是互斥且完备的
2). X的部分可能取值描述随机事件
实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命 中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
1 , 2 , 3 , . 实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 的次数”,则 X 的所有可能取值为:
0 ,1 ,2 ,3 , ,3 . 0
( 5 ) 对 于 随 机 变 量 ， 我 们 常 常 关 心 的 是 它 的 取 值 ．
( 6 )我 们 设 立 随 机 变 量 ,是 要 用 随 机 变 量 的 取 值 来 描 述 随 机 事 件 ．
实例2 掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个 结果: e1(反面朝 ), 上
e2 (正面朝 ), 上 若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
1 ,2 ,3 , . 注意 X(e) 的取值是可列无穷个！
实例7 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通 过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则
X(e) 此人的等车,时间
是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可 能取值为: [0,5].
实例8 设某射手对目标进行射击，如果我们以目标 中心为坐标原点，考查射击点的平面位置（坐标）， 为了便于研究，我们引入两个变量X,Y，其中
若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有
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Ch1-39
§1.3 频率与概率
频率 设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次， 则称
m fn n
为事件A发生的频率
频率的性质
Ch1-40
0 f n ( A) 1 f n ( ) 1
非负性 归Leabharlann 性 事件 A, B互斥，则
f n ( A B) f n ( A) f n ( B)
Ch1-44
设 是随机试验E 的样本空间，若能 找到一个法则，使对于E 的每一事件 A 赋 于一个实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的 概率，这种赋值满足下面的三条公理： 非负性： A , P( A) 0 归一性： P( ) 1
可列可加性： P Ai P( Ai ) i 1 i 1
k k mk m m
k
b a b
mk
a 记p ab
P( B) C p (1 p)
k k m
mk
k 1,2,, min( a, m)
称二项分布
Ch1-58
例4 （分房模型） 设有 k 个不同的球, 每个
球等可能地落入 N 个盒子中（k N）, 设
每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
—— 最大值
最大值在 P( A B) P( B) 时取得
Ch1-52
课上有同学提问 例2 中回答当 A B 时, P( A B ) 取得 最小值是否正确？ 这相当于问如下命题是否成立
A B P( A B) 1
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
)A (P )A ( f mil
n n
稳定性
某一定数
Ch1-41
频率稳定性的实例
蒲丰( Buffon )投币
投一枚硬币观察正面向上的次数
n = 4040, nH =2048,
皮尔森( Pearson ) 投币 n = 12000, nH =6019,
2296 41 P( A) 5040 90
Ch1-62
例7 在1,2,3, ,9中重复地任取 n ( 2 )个数, 求 n 个数字的乘积能被10整除的概率.
解
n 9
n
设 A 表示事件 “n 次取到的数字的乘积 能被10整除”
设 A1 表示事件 “n 次取到的数字中有偶数” A2表示事件 “n 次取到的数字中有5” A = A1 A2
推广： P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC )
Ch1-48
一般：
P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1 n n
1i j n
P( Ai Aj )
n 1
答：不成立 ！
⊛
⊛式是“羊肉包子打狗 ”——有去路,没回路
为什么呢？学了几何概型便会明白.
§1.4 等可能(古典)概型
Ch1-53
设 随机试验E 具有下列特点： 概率的 基本事件的个数有限 古典定义 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型 古典概型中概率的计算： 记 n S中所包含的基本事件的个数
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( m k ) （3）某指定的一个盒子没有球； （4）恰有 k 个盒子中各有一球； （5）至少有两个球在同一盒子中； （6）每个盒子至多有一个球.
解 nN 设 (1) ~ (6)的各事件分别为 A1 A6
k
Ch1-59
则
m A1 k!
m k k m
k
mA2 C ( N 1)
mA3 ( N 1)
Ckm ( N 1) k m P( A2 ) Nkk
k! P( A1 ) k n N
m A1
mA4 C k!
k N
mA5 N C k!
k k N
N C N k! P( A5 ) 1 P( A4 ) k N
Ch1-46
对任意两个事件A, B, 有
P( B A) P( B) P( AB)
A AB B - AB
B=AB+(B – A) P(B)=P(AB)+
P(B – A)
Ch1-47
加法公式：对任意两个事件A, B, 有
P( A B) P( A) P( B) P( AB) P( A B) P( A) P( B)
条件是 ：事件 A1 , A2 相互独立.
Ch1-51
例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？ 解
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P( AB) P( A) P( B) P( A B) P( A) P( B) 1 0.3 —— 最小值
C N k! P( A4 ) k N k k
( N 1) P( A3 ) Nk k
mA6 C k!
k N
P( A6 ) P( A4 )
例5 “分房模型”的应用 生物系二年级有 n 个人，求至少有两 人生日相同（设为事件A ) 的概率.
解
Ch1-60
本问题中的人可被视为“球”，365天为 365只“盒子”
概率的定义
Ch1-43
概率的 统计定义 在相同条件下重复进行的 n 次 试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一
常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越 小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A). 对本定义的评价
优点：直观 易懂 缺点：粗糙 不便 模糊 使用
概率的 概率的公理化理论由前苏联数学 公理化定义 家柯尔莫哥洛夫1933年建立的
A A1 A2 A1 A2
Ch1-63
8 5 P A1 n P A2 n 9 9 P A P A1 A2
n n n
n
n
4 P A1 A2 n 9
n
P A1 P A2 P A1 A2
5 8 4 n 9 n n n 5 8 4 P A 1 . n 9
n A
m a b
(a b)(a b 1)(a b m 1)
记事件 A 为m个球中恰有k个白球，则
nA C A A
k k mk m a b
Ch1-55
m! a! b! k!(m k )! (a k )! (b m k )!
则
C A A P( A) A
f n( H ) = 0.5069
f n( H ) = 0.5016
n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005
Ch1-42
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词
中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202 B: 0.0156 C: 0.0268 F: 0.0256 G: 0.0187 J: 0.0010 K: 0.0060 N: 0.0706 O: 0.0776 R: 0.0594 S: 0.0634 V: 0.0102 W: 0.0214 Z: 0.0006 D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016
计算古典概率注意事项
Ch1-64
1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需 设计符合问题要求的随机试验, 使其成为 等可能概型.
2o 同一题的样本空间的基本事件总数 n 随试验设计的不同而不同, 如 例3不放回 试验的两种不同设计. 一般 n 越小越好.
3o 计算古典概率时须注意应用概率计算 的有关公式, 将复杂问题简单化. 如例7.
Ch1-61
解
设 A为“能排成首位非零的四位偶数”
n A 5040.
4 10
1 四位偶数的末位为偶数, 故有C5 种可能
而前三位数有 A 1 2 位数有 C4 A8 种取法,所以有利于A发生的取 1 3 1 法共有 nA C5 A9 C4 A82 2296 种.
3 9 种取法,由于首位为零的四
A 为 n 个人的生日均不相同,这相当于 每个盒子至多有一个球. 由例4（6） n n C 365 n ! C 365 n ! P( A) 1 P( A ) 1 . P( A ) n n 365 365 若 n = 64， P( A) 0.997.
例6 在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数， 求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.
k m
k mk a b m a b
k a, k m
又解 设 E1: 一次取 m 个球, 记下颜色
Ch1-56
n C
1
m a b
记事件 A 为 m 个球中有 k 个白球，则
nA C C
k a
mk b
因此
C C P ( A) C
k a
k a, k m
mk b m a b
k 组成 A的基本事件的个数 k 则 P( A) n
Ch1-54
例3 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按 m 不放回与放回两种方式取m个球（ a b ), 求其中恰有 k 个（k a, k m ）白球的概率
§1.3 频率与概率
频率 设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次， 则称
m fn n
为事件A发生的频率
频率的性质
Ch1-40
0 f n ( A) 1 f n ( ) 1
非负性 归Leabharlann 性 事件 A, B互斥，则
f n ( A B) f n ( A) f n ( B)
Ch1-44
设 是随机试验E 的样本空间，若能 找到一个法则，使对于E 的每一事件 A 赋 于一个实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的 概率，这种赋值满足下面的三条公理： 非负性： A , P( A) 0 归一性： P( ) 1
可列可加性： P Ai P( Ai ) i 1 i 1
k k mk m m
k
b a b
mk
a 记p ab
P( B) C p (1 p)
k k m
mk
k 1,2,, min( a, m)
称二项分布
Ch1-58
例4 （分房模型） 设有 k 个不同的球, 每个
球等可能地落入 N 个盒子中（k N）, 设
每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
—— 最大值
最大值在 P( A B) P( B) 时取得
Ch1-52
课上有同学提问 例2 中回答当 A B 时, P( A B ) 取得 最小值是否正确？ 这相当于问如下命题是否成立
A B P( A B) 1
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
)A (P )A ( f mil
n n
稳定性
某一定数
Ch1-41
频率稳定性的实例
蒲丰( Buffon )投币
投一枚硬币观察正面向上的次数
n = 4040, nH =2048,
皮尔森( Pearson ) 投币 n = 12000, nH =6019,
2296 41 P( A) 5040 90
Ch1-62
例7 在1,2,3, ,9中重复地任取 n ( 2 )个数, 求 n 个数字的乘积能被10整除的概率.
解
n 9
n
设 A 表示事件 “n 次取到的数字的乘积 能被10整除”
设 A1 表示事件 “n 次取到的数字中有偶数” A2表示事件 “n 次取到的数字中有5” A = A1 A2
推广： P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC )
Ch1-48
一般：
P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1 n n
1i j n
P( Ai Aj )
n 1
答：不成立 ！
⊛
⊛式是“羊肉包子打狗 ”——有去路,没回路
为什么呢？学了几何概型便会明白.
§1.4 等可能(古典)概型
Ch1-53
设 随机试验E 具有下列特点： 概率的 基本事件的个数有限 古典定义 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型 古典概型中概率的计算： 记 n S中所包含的基本事件的个数
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( m k ) （3）某指定的一个盒子没有球； （4）恰有 k 个盒子中各有一球； （5）至少有两个球在同一盒子中； （6）每个盒子至多有一个球.
解 nN 设 (1) ~ (6)的各事件分别为 A1 A6
k
Ch1-59
则
m A1 k!
m k k m
k
mA2 C ( N 1)
mA3 ( N 1)
Ckm ( N 1) k m P( A2 ) Nkk
k! P( A1 ) k n N
m A1
mA4 C k!
k N
mA5 N C k!
k k N
N C N k! P( A5 ) 1 P( A4 ) k N
Ch1-46
对任意两个事件A, B, 有
P( B A) P( B) P( AB)
A AB B - AB
B=AB+(B – A) P(B)=P(AB)+
P(B – A)
Ch1-47
加法公式：对任意两个事件A, B, 有
P( A B) P( A) P( B) P( AB) P( A B) P( A) P( B)
条件是 ：事件 A1 , A2 相互独立.
Ch1-51
例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？ 解
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P( AB) P( A) P( B) P( A B) P( A) P( B) 1 0.3 —— 最小值
C N k! P( A4 ) k N k k
( N 1) P( A3 ) Nk k
mA6 C k!
k N
P( A6 ) P( A4 )
例5 “分房模型”的应用 生物系二年级有 n 个人，求至少有两 人生日相同（设为事件A ) 的概率.
解
Ch1-60
本问题中的人可被视为“球”，365天为 365只“盒子”
概率的定义
Ch1-43
概率的 统计定义 在相同条件下重复进行的 n 次 试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一
常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越 小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A). 对本定义的评价
优点：直观 易懂 缺点：粗糙 不便 模糊 使用
概率的 概率的公理化理论由前苏联数学 公理化定义 家柯尔莫哥洛夫1933年建立的
A A1 A2 A1 A2
Ch1-63
8 5 P A1 n P A2 n 9 9 P A P A1 A2
n n n
n
n
4 P A1 A2 n 9
n
P A1 P A2 P A1 A2
5 8 4 n 9 n n n 5 8 4 P A 1 . n 9
n A
m a b
(a b)(a b 1)(a b m 1)
记事件 A 为m个球中恰有k个白球，则
nA C A A
k k mk m a b
Ch1-55
m! a! b! k!(m k )! (a k )! (b m k )!
则
C A A P( A) A
f n( H ) = 0.5069
f n( H ) = 0.5016
n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005
Ch1-42
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词
中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202 B: 0.0156 C: 0.0268 F: 0.0256 G: 0.0187 J: 0.0010 K: 0.0060 N: 0.0706 O: 0.0776 R: 0.0594 S: 0.0634 V: 0.0102 W: 0.0214 Z: 0.0006 D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016
计算古典概率注意事项
Ch1-64
1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需 设计符合问题要求的随机试验, 使其成为 等可能概型.
2o 同一题的样本空间的基本事件总数 n 随试验设计的不同而不同, 如 例3不放回 试验的两种不同设计. 一般 n 越小越好.
3o 计算古典概率时须注意应用概率计算 的有关公式, 将复杂问题简单化. 如例7.
Ch1-61
解
设 A为“能排成首位非零的四位偶数”
n A 5040.
4 10
1 四位偶数的末位为偶数, 故有C5 种可能
而前三位数有 A 1 2 位数有 C4 A8 种取法,所以有利于A发生的取 1 3 1 法共有 nA C5 A9 C4 A82 2296 种.
3 9 种取法,由于首位为零的四
A 为 n 个人的生日均不相同,这相当于 每个盒子至多有一个球. 由例4（6） n n C 365 n ! C 365 n ! P( A) 1 P( A ) 1 . P( A ) n n 365 365 若 n = 64， P( A) 0.997.
例6 在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数， 求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.
k m
k mk a b m a b
k a, k m
又解 设 E1: 一次取 m 个球, 记下颜色
Ch1-56
n C
1
m a b
记事件 A 为 m 个球中有 k 个白球，则
nA C C
k a
mk b
因此
C C P ( A) C
k a
k a, k m
mk b m a b
k 组成 A的基本事件的个数 k 则 P( A) n
Ch1-54
例3 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按 m 不放回与放回两种方式取m个球（ a b ), 求其中恰有 k 个（k a, k m ）白球的概率