全概率公式
全概率公式——精选推荐
全概率公式全概率公式引例先举个例⼦，⼩张从家到公司上班总共有三条路可以直达（如下图），但是每条路每天拥堵的可能性不太⼀样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：P(L1)=0.5,P(L2)=0.3,P(L3)=0.2每天上述三条路不拥堵的概率分别为：P(C1)=0.2，P(C2)=0.4,P(C3)=0.7假设遇到拥堵会迟到，那么⼩张从 到 不迟到的概率是多少？其实不迟到就是对应着不拥堵，设事件Ｃ为到公司不迟到，事件为选择第i条路，则：P(C)=P(L1)×P(C|L1)+P(L2)×P(C|L2)+P(L3)×P(C|L3)=P(L1)×P(C1)+P(L2)×P(C2)+P(L3)×P(C3)全概率就是表⽰达到某个⽬的，有多种⽅式（或者造成某种结果，有多种原因），问达到⽬的的概率是多少（造成这种结果的概率是多少）全概率公式：设事件L1,L2⋯L n是⼀个完备事件组，则对于任意⼀个事件C，若有如下公式成⽴：P(C)=P(L1)×P(C|L1)+P(L2)×P(C|L2)+⋯+P(L n)×P(C|L n)=n∑i=1P(L i)P(C|L i)那么就称这个公式为全概率公式。
⿇球繁衍题意⼀个⿇球只能存活⼀天，这天他有 p i 的概率产⽣ i 个后代（0≤i<n） 现在你有 k 个⿇球，求m 天之后全部死亡的概率（在这之前全部死完也算）。
思路我们设事件 L0,L1⋯L n−1 分别为产⽣ 0,1⋯n−1 个后代， C 为全部死亡的概率，则 P(L i)=p i ，每⼀天⿇球是否死亡相互独⽴，即 C ~ B(p,n)设f(i) 为 1 只⿇球 i 天内死亡的概率，则 P(C|L i)=f(i−1)j由全概率公式f(i)=p0+p1f(i−1)+p2f(i−1)2+⋯+p n−1f(i−1)n−1=n−1∑j=0p j f(i−1)j所求答案即为 f(m)kCode#include <iostream>#include <iomanip>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <cstdlib>#include <algorithm>using namespace std;int n, k, m;double p[1005], f[1005];int main(){cin >> n >> k >> m;for(int i = 0; i < n; i++)cin >> p[i];f[1] = p[0];for(int i = 2; i <= m; i++)for(int j = 0; j < n; j++)f[i] += p[j] * pow(f[i - 1], j);cout << fixed << setprecision(7) << pow(f[m], k);return 0;}Processing math: 100%。
全概率公式和贝叶斯公式(先验概率和后验概率)
全概率公式和贝叶斯公式（先验概率和后验概率）全概率公式（Law of Total Probability）和贝叶斯公式（Bayes' Theorem）是统计学中重要的概率公式，用于计算给定一些条件下的概率。
这两个公式是概率论和统计学中常用的工具，可以解决很多实际问题，从机器学习到社会科学中的调查研究。
P(A)=Σ[P(A，Bi)*P(Bi)]其中，P(A)表示事件A的概率，P(A，Bi)表示在给定事件Bi的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
贝叶斯公式是在给定一些观察或证据的情况下，计算一个事件的概率的公式。
它基于条件概率的概念，将因果关系转化为条件概率的形式，并用于根据已知的先验概率更新为后验概率。
贝叶斯公式可以表示为：P(A，B)=[P(B，A)*P(A)]/P(B)其中，P(A，B)表示在观察到事件B发生的情况下，事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别是事件A和事件B的先验概率。
全概率公式和贝叶斯公式经常一起使用，特别在机器学习和数据分析中被广泛应用。
通过使用全概率公式，可以将复杂问题分解为多个简单的条件概率问题，然后再使用贝叶斯公式根据已知的先验概率和条件概率计算后验概率。
这样可以更好地理解问题，并得到更准确的结果。
举个例子来说明这两个公式的应用：假设有两个工厂A和B，它们负责生产其中一种产品。
已知A工厂的产品次品率为20%，而B工厂的产品次品率为10%。
现在我们收到一批产品，但不知道是哪个工厂生产的。
一些产品是次品的概率是10%。
问这个产品是来自A工厂的概率是多少？首先，我们可以用全概率公式来计算得到：P(A)=0.5（因为两个工厂的概率相等）P(A，B)=[P(B，A)*P(A)]/P(B)P(B，A)是在A工厂生产的条件下产品是次品的概率P(A)已经计算得到为0.5P(B)=P(B，A)*P(A)+P(B，¬A)*P(¬A)=0.02*0.5+0.1*0.5=0.03将这些值代入贝叶斯公式，可以得到：P(A，B)=(0.02*0.5)/0.03≈0.33因此，基于给定的证据，这个产品是来自A工厂的概率约为33%。
全概率公式的原理和应用
全概率公式的原理和应用引言概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的模型和性质。
其中，全概率公式是概率论中一个基本且常用的定理，用于计算事件的概率。
本文将介绍全概率公式的原理和应用。
全概率公式的原理全概率公式是基于样本空间和事件的关系而推导出来的。
假设样本空间为S，且存在多个互斥事件A1，A2，…，An，并且它们的并集等于样本空间S。
则全概率公式如下：P(B) = P(B|A1) * P(A1) + P(B|A2) * P(A2) + … + P(B|An) * P(An)其中，P(B)表示事件B发生的概率，P(B|Ai)表示在事件Ai发生的条件下，事件B发生的概率。
全概率公式的应用全概率公式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 疾病诊断假设某种罕见疾病的患病率为0.1%。
同时，存在两种检测方法，它们的准确率分别为95%和98%。
现在要判断一个人是否患病，如果用第一种方法检测出来是阳性，那么这个人患病的概率是多少？解答：假设事件A表示患病，事件B表示第一种方法检测为阳性。
根据题目，已知P(A)=0.001，P(B|A)=0.95。
根据全概率公式，可以计算得到： P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A’) * P(A’) = 0.95 * 0.001 + P(B|A’) * (1 - 0.001) = 0.95 * 0.001 + P(B|A’) * 0.999 = 0.00095 + P(B|A’) * 0.999由于事件A和A’为互斥事件且构成样本空间，所以P(A’)=1-P(A)=0.999。
如果已知P(B|A’)，就可以计算出P(B)。
在这个问题中，P(B|A’)表示在未患病的情况下，检测为阳性的概率。
根据题目中的信息，可以设定一个合理的值进行计算。
通过计算，可以得到患病的概率。
2. 投资决策假设某人有三种投资方式可选，分别是股票、债券和房地产。
全概率公式与贝叶斯公式
例一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％，另两家工厂的产品各占２５％。
已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率（此货合格率）。
例连续做某项试验，每次试验只有成功和失败两种结果.已知当第k次成功时，第k+1次成功的概率为1/2 ，当第k次试验失败时，第k+1次成功的概率为3/4，如果第一次试验成功和失败的概率均为1/2，求第n次试验成功的概率.
例两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。
求（１）任意地从这些零件中取出一个合格品的概率；
（２）若已知取出的一个零件为合格品，那么，它是由哪一台机床生产的可能性较大。
例（市场问题）某公司计划将一种无污染、无副作用的净化设备投放市场。
公司市场部事先估计该产品畅销的概率是0.5，一般为0.3，滞销为0.2。
为测试销路，公司决定进行试销，并设定了以下标准:若产品畅销，则在试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.6;若产品的销路一般，则在产品的试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.9;若产品滞销，则在试销期间能卖出7000～10000台产品的概率是0.2。
若在试销期满后，实际卖出的产品是9000台。
求该产品
（1）为销路一般的概率。
（2）为畅销品的概率。
（3）畅销或销路一般的概率。
全概率公式证明过程
全概率公式证明过程全概率公式是概率论中的一个重要公式，它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。
在本文中，我们将详细介绍全概率公式的证明过程。
我们需要明确全概率公式的表达式：P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)其中，A表示事件，B1、B2、…、Bn表示一组互不相交的事件，且它们的并集等于样本空间。
P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。
接下来，我们来证明全概率公式。
假设事件A和B1、B2、…、Bn满足上述条件，我们需要证明：P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)我们可以将事件A表示为：A = (A∩B1) ∪ (A∩B2) ∪ … ∪ (A∩Bn)这是因为事件A可以被分解为在B1、B2、…、Bn中的任意一个事件发生时，A发生的情况。
接下来，我们可以利用加法公式将上式展开：P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + … + P(A∩Bn)然后，我们可以将每个交集表示为条件概率的形式：P(A∩Bi) = P(Bi)P(A|Bi)这是因为在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为P(A|Bi)。
将上式代入前面的公式中，我们得到：P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)这就是全概率公式的证明过程。
总结一下，全概率公式是概率论中的一个重要公式，它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。
证明过程中，我们利用了事件A 可以被分解为在B1、B2、…、Bn中的任意一个事件发生时，A发生的情况这一性质，然后利用加法公式和条件概率的定义，推导出了全概率公式的表达式。
全概率公式
例如，某地发生了一个案件，怀 疑对象有甲、乙、丙三人。 偏小 在不了解案情细节(事件A) 之前，侦破人员根据过去 丙 乙 甲 的前科，对他们作案的可能性 P(B ) P(B ) P(B ) 3 1 2 有一个估计，设为 知道A 但在知道案情细 发生后 节后, 这个估计 P(B1 | A) P(B2 | A) P(B3 | A) 就有了变化。 比如原来认为作案可能性较小的某甲， 现在变成了重点嫌疑犯。
AB1 AB2
设B1={第一人抽到入场券}, B2={第一人未抽到入场券} 则 A＝AB1+AB2 且 AB1和AB2互不相容
空
B1
A 空
入 场 券 B2
入 场 券
空
空
空
入 场 券
入 场 券
空
则 A＝AB1+AB2
且 AB1和AB2互不相容 运用加法公式得
所以 P(A)＝P(AB1)+P(AB2)
0.005 * 0.95 0.1066 0.005 * 0.95 0.995 * 0.04
现在来分析一下结果的意义： 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？
2. 检出阳性是否一定患有癌症?
1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？ 如果不做试验，抽查一人，他是患者的 提示 概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应， 则根据试验得来的信息，此人是患者的概率 为 P(C｜A)= 0.1066
这一类问题在实际中更为常见，它所求的是 条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因 发生可能性大小。
结果已发生 现从出厂产品中任取一件， 发觉该产品是次品而且其标 志已脱落，试求这件次品来 自车间1的概率？
全概率公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)>0例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：记A i ={球取自i 号箱},i =1,2,3;B ={取得红球}即B= A 1B+A 2B+A 3B ，且A 1B 、A 2B 、A 3B 两两互斥B 发生总是伴随着A 1，A 2，A 3 之一同时发生，P (B )=P ( A 1B )+P (A 2B )+P (A 3B )123将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P (B )=P ( A 1B )+P (A 2B )+P (A 3B )∑==31i i i A B P A P B P )()()(｜代入数据计算得：P (B )=8/15∑==ni i i A B P A P B P 1)()()(｜全概率公式:则设A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件，且P (A i )>0，i =1,2,…,n ,另有一事件B ,它总是与A 1,A 2,…,A n 之一同时发生，即ni iA B 1=⊂设S 为随机试验的样本空间，A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件，且有P (A i )>0，i =1,2,…,n ,∑==ni i i A B P A P B P 1)()()(｜全概率公式:称满足上述条件的A 1,A 2,…,A n 为完备事件组.,1S A ni i== 则对任一事件B ，有在较复杂情况下直接计算P (B )不易,但B 总是伴随着某个A i 出现，适当地去构造这一组A i 往往可以简化计算.∑==ni i i A B P A P B P 1)()()(｜全概率公式的来由, 不难由上式看出:“全”部概率P (B )被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:某一事件B 的发生有各种可能的原因(i =1,2,…,n )，如果B 是由原因A i 所引起，则B 发生的概率是每一原因都可能导致B 发生，故B 发生的概率是各原因引起B 发生概率的总和，即全概率公式.P (BA i )=P (A i )P (B |A i )全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解例2甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.设B ={飞机被击落}A i ={飞机被i 人击中}, i =1,2,3由全概率公式P (B )=P (A 1)P (B |A 1)+ P (A 2)P (B |A 2)+ P (A 3)P (B |A 3)则B=A 1B+A 2B+A 3B解:依题意，P (B |A 1)=0.2, P (B |A 2)=0.6,P (B|A 3)=1可求得:为求P (A i ) ,设H i ={飞机被第i 人击中}, i =1,2,3 )()(3213213211H H H H H H H H H P A P ++=)()(3213213212H H H H H H H H H P A P ++=)()(3213H H H P A P =将数据代入计算得:P (A 1)=0.36; P (A 2)=0.41; P (A 3)=0.14.于是P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1=0.458即飞机被击落的概率为0.458.该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.?1红4白123某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.)()()|(11B P B A P B A P =记A i ={球取自i 号箱}, i =1,2,3;B ={取得红球}求P (A 1|B ).∑==3111k kk A B P A P A B P A P )()()|()(｜将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?∑==nj jj i i i A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()|(｜｜该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B 已发生的条件下，寻找导致B 发生的每个原因的概率.贝叶斯公式：设A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件，且P (A i )>0，i =1,2,…,n ,另有一事件B ，它总是与A 1,A 2,…,A n 之一同时发生，则ni ,,, 21=贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.例3某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.C CC已知P (C )=0.005,P ( )=0.995,P (A |C )=0.95, P (A | )=0.04解:设C ={抽查的人患有癌症}，A ={试验结果是阳性}，求P (C |A ).现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得)|()()|()()|()()|(C A P C P C A P C P C A P C P A C P +=代入数据计算得:P (C ｜A )= 0.10662. 检出阳性是否一定患有癌症?1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？如果不做试验, 抽查一人, 他是患者的概率P(C)=0.005患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为P(C｜A)= 0.1066从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.2. 检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为P(C｜A)=0.1066即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式∑==nj ii i i i A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()|(｜｜在贝叶斯公式中，P (A i )和P (A i |B )分别称为原因的验前概率和验后概率.贝叶斯公式P(A i)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
全概率公式的内容
全概率公式的内容全概率公式是概率论中重要的一个公式，用于计算条件概率的结果。
它是一个非常有用的工具，可以帮助人们更好地理解各种事件之间的关系，并对决策和预测做出更明智的选择。
全概率公式的内容非常简单，它描述了一个事件发生的总概率是所有相关条件下的概率之和。
具体来说，假设事件A1、A2、A3……An是彼此互斥的事件，且它们的并集等于样本空间。
那么，事件B的概率可以通过如下的公式来计算：P(B) = P(B/A1)P(A1) + P(B/A2)P(A2) + P(B/A3)P(A3) + ……+ P(B/An)P(An)其中，P(A1)、P(A2)、P(A3)……P(An)是各个事件的概率，而P(B/A1)、P(B/A2)、P(B/A3)……P(B/An)则是B在各个条件下的概率。
这个公式的含义是，任何一个事件B都可以分解为在各个条件下出现的概率乘以相应条件的概率的和。
这个公式看起来非常简单，却经常被用于各种概率计算中。
例如，假设你现在面临一个决策问题。
你想知道某个商品的质量是否好。
这个问题有很多不同的影响因素，比如品牌、价格、颜色等。
如果你想对这个问题做出准确的判断，就需要考虑所有可能的因素，并将它们考虑在内。
利用全概率公式，我们可以将所有可能影响商品质量的因素分解开来，然后按照每个因素对商品质量的影响来计算出商品质量好的概率。
这样，我们就可以针对每个具体影响因素对商品质量做出准确的判断，而不是凭空猜测。
总之，全概率公式是概率论中必不可少的一个工具。
它可以帮助人们更好地理解各种事件之间的关系，并对决策和预测做出更明智的选择。
广义全概率公式
广义全概率公式
全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。
内容：如果事件B₁、B₂、B₃…Bn 构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集；并且P（Bi)大于0，则对任一事件A有P(A)=P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|Bn)P(Bn)。
或者：p(A)=P(AB₁)+P(AB₂)+...+P(ABn))，其中A与Bn的关系为交)。
全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。
它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。
全概率公式的意义：将一个复杂的事件 [公式] 拆分为较简单的事件 [公式] ，然后在结合加法公式和乘法公式计算出 [公式] 的概率。
内容：如果事件B₁、B₂、B₃…Bn 构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集；并且P（Bi)大于0，则对任一事件A有P(A)=P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|Bn)P(Bn)。
或者：p(A)=P(AB₁)+P(AB₂)+...+P(ABn))，其中A与Bn的关系为交)。
1。
概率运算基本公式
概率运算基本公式
概率运算基本公式包括：
1. 加法规则：对于两个事件A和B，其概率之和等于它们的联合概率加上它们的交集概率的补集。
即：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
2. 乘法规则：对于两个独立事件A和B，其概率之积等于它们各自的概率。
即：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3. 条件概率：对于事件A和B，已知事件B发生的条件下，事件A 发生的概率为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
4. 全概率公式：对于一系列互不相容的事件B1, B2, ..., Bn，它们的并集等于样本空间S，对任意事件A，有P(A) = P(A|B1)×P(B1) + P(A|B2)×P(B2) + ... + P(A|Bn)×P(Bn)。
5. 贝叶斯公式：对于一系列互不相容的事件B1, B2, ..., Bn，已知事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率为P(Bi|A) = P(A|Bi)×P(Bi) / P(A)。
全概率公式证明过程
全概率公式证明过程全概率公式是概率论中的一个重要公式，它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。
在本文中，我们将详细介绍全概率公式的证明过程。
我们需要明确全概率公式的表达式：P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)其中，A表示我们要计算的事件，B1、B2、…、Bn表示不同的条件，P(B1)、P(B2)、…、P(Bn)表示这些条件发生的概率，P(A|B1)、P(A|B2)、…、P(A|Bn)表示在不同条件下事件A发生的概率。
接下来，我们来证明全概率公式。
假设事件A和条件B1、B2、…、Bn构成一个完备事件组，即这些事件互不重叠且覆盖了所有可能的情况。
那么，我们可以将事件A 的概率表示为：P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + … + P(A∩Bn)其中，A∩B1表示事件A和条件B1同时发生的概率，以此类推。
根据条件概率的定义，我们可以将上式中的每一项表示为：P(A∩B1) = P(B1)P(A|B1)其中，P(A|B1)表示在条件B1下事件A发生的概率。
同理，我们可以得到：P(A∩B2) = P(B2)P(A|B2)…P(A∩Bn) = P(Bn)P(A|Bn)将上述式子代入P(A)的表达式中，得到：P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)这就是全概率公式的表达式。
通过上述证明过程，我们可以看出，全概率公式的核心思想是将一个事件的概率分解为在不同条件下的概率之和。
这个公式在实际应用中非常有用，可以帮助我们计算复杂事件的概率，从而更好地理解和应用概率论。
全概率公式(原卷版)
知识点一全概率公式(1)P(B)＝；(2)定理1若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，A n满足：①任意两个事件均互斥，即A i A j＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋A n＝Ω；③P(A i)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BA n，且P(B)＝＝.知识点二贝叶斯公式(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有P(A|B)＝P(A)P(B|A)P(B)＝.(2)定理2若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，A n满足：①任意两个事件均互斥，即A i A j＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋A n＝Ω；③1＞P(A i)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P(A j|B)＝P(A j)P(B|A j)P(B)＝.探究一全概率公式及其应用【例1】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．【练习1】号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？探究二贝叶斯公式及其应用【例2】一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%.若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？【练习2】某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？探究三全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【例3】假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字：试问当一个具有S资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？【练习3】同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起．(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？基础自测1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为( )A ．0.65B ．0.075C ．0.145D ．02．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为( )A ．0.21B ．0.06C ．0.94D ．0.953．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8.则甲正点到达目的地的概率为( )A ．0.72B ．0.96C ．0.86D ．0.844．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )A ．0.8B ．0.832 5C ．0.532 5D ．0.482 55．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产12，乙、丙两厂各生产14，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为( )A ．0.025B ．0.08C ．0.07D ．0.1256．一道考题有4个【答案】，要求学生将其中的一个正确【答案】选择出来．某考生知道正确【答案】的概率为13，而乱猜正确的概率为23.在乱猜时，4个【答案】都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确【答案】的概率是( )A.13B.23C.34D.147．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为________．8．袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________．9．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P (A |C )＝0.95，P (A －|C －)＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P (C )＝0.005, 则P (C |A )＝______.(精确到0.001)10．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为________．11．电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为25，传送“–”时失真的概率为13，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________． 12．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为17，15，14.现从这三个地区任抽取一个人．(1)求此人感染此病的概率；(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．13．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：(1)从乙盒取出2个红球的概率；(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．14．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．。
第七节 全概率公式
AB1 AB2
设B1={第一人抽到入场券}, B2={第一人未抽到入场券} 则 A＝AB1+AB2 且 AB1和AB2互不相容
空
B1
A 空
入 场 券 B2
入 场 券
空
空
空
入 场 券
入 场 券
空
则 A＝AB1+AB2
且 AB1和AB2互不相容 运用加法公式得
所以 P(A)＝P(AB1)+P(AB2)
答卷 是 否
例 罐中有50个球，其中30个红球，某省在五天内安 排了15个项目的运动员246名参加调查，最后开箱统 计，答卷全部有效，其中回答“是”的有54张，问该 省大约有多少名运动员赛前服用过违禁药品. 解： 设事件A表示答“是”，
分析：A怎么发生的？
取到白球，回答问题A 取得红球，回答问题B 情况1 情况2
全概率公式的由来，不难由上式看出： “全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和。 它的理论和实用意义在于： 直接计算P(A)不容易时，考虑将事件A进行分割，借 助样本空间Ω的一个划分B1, B1, … , Bn将事件A 分成AB1, AB1, … , ABn ， B2 B1 用所有的P(ABi)之和计算 A P(A)，往 往可以简化计算。 Bn B3 Bn1
从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍。
说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有意义。
2. 检出阳性是否一定患有癌症?
试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有 癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个 人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过 再试验来确认.
n
概率论全概率公式
概率论全概率公式全概率公式是概率论中一条重要的公式，它用于计算一个事件的概率，当该事件可以通过多种不同的方式发生时，可以通过全概率公式来计算出最终的概率。
全概率公式的数学表达如下：P(A)=P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn)其中，A表示要计算的事件，B1、B2、..、Bn表示一系列互不相容的事件，也称为样本空间的一个划分。
P(A，Bi)表示事件A在给定事件Bi的条件下发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
全概率公式的理论基础是条件概率公式，即：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)根据条件概率公式，可以推导全概率公式。
假设事件A可以通过事件B1、B2、..、Bn发生，那么事件A的概率可以表示为：P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)又根据条件概率公式，可以将上式中的交集表示为：P(A∩Bi)=P(A，Bi)*P(Bi)将上式代入全概率公式中，得到：P(A)=P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn)这样就得到了全概率公式。
全概率公式的应用非常广泛。
通常情况下，我们可以将一个事件的发生看作是其他一些事件的组合。
例如，一个班级的学生参加数学考试，我们可以将该事件看作是三种不同的情况：优秀、及格和不及格。
根据这三种情况的可能性和对应的概率，可以使用全概率公式来计算整个班级的平均分数。
另一个经典的例子是生存分析。
在医学研究中，我们经常需要计算一个人在一些时间段内生存下来的概率。
然而，由于种种原因，我们可能无法直接获得该概率。
这时，可以通过观察与生存情况相关的一些因素，例如患者的年龄、性别、疾病严重程度等，然后根据这些因素的分布和相关性，使用全概率公式来计算生存的概率。
除了上述应用，全概率公式还可以用于统计学、工程学和经济学等领域的概率模型中。
在实际问题中，我们经常会遇到一些复杂的概率事件，这时使用全概率公式可以将问题化简为计算一系列简单的条件概率，从而更容易得到最终的概率结果。
条件概率与全概率公式
条件概率与全概率公式
条件概率和全概率公式是概率论中的两个重要概念，也是解决实际问题时常用的工具。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率；全概率公式则是用来计算某一事件发生的总概率，其中考虑了所有可能的情况。
条件概率的计算方法是根据贝叶斯定理得出的，公式为：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A
发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表
示事件B发生的概率。
全概率公式的计算方法是将一个事件分解为若干个互不相交的
子事件，然后分别计算这些子事件的概率，再将它们相加得到总概率。
全概率公式的表达式为：P(A) = ∑[P(A|B_i)×P(B_i)]，其中B_i
表示事件A的所有可能的子事件，P(A|B_i)表示在B_i发生的条件下，事件A发生的概率，P(B_i)表示B_i发生的概率。
条件概率和全概率公式在实际应用中经常用于解决复杂问题，如在医学诊断中，通过已知的临床表现和检验结果，利用条件概率计算某种疾病的概率；在市场调查中，通过对各种因素的分析，利用全概率公式计算某产品销售的总概率等。
熟练掌握条件概率和全概率公式，对于解决实际问题具有重要的意义。
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全概率公式
在实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑。
全概率公式就是一个运用这样思想去解决复杂问题的有力武器。
一、引例
例1 甲盒中有2只白球，5只红球；乙盒装中有3只白球，4只红球，现从 甲盒中任意取一只球放入乙盒，再从乙盒中任取一只球，求取到白球的概率。
分析：这是一个从未遇到的问题，在这个问题中，包含两个相继进行的随机试验，第一个是从甲盒中任取一只放入乙盒，第二个是从乙盒中任取一只。
第二个随机试验的结果受到第一个结果的影响。
现在的主要问题是不知道从甲盒中取出后放入乙盒中的球是什么颜色。
设{}A 从乙盒中取到白球，现在要求()P A 。
再设1{}B 从甲盒中取出的是白球，
2{}B 从甲盒中取出的是红球。
现在我们来分析12A B B 与，的关系。
12A AB AB 发生当且仅当发生，即1212A AB AB AB AB 。
则
121122()()()()(|)()(|)P A P AB P AB P B P A B P B P A B
245323787856
=⨯+⨯=。
这就是将复杂事件分解为互不相容事件和的分析方法，现将此问题一般化抽象出全概率公式。
一、 全概率公式
定义1 设12,,,n B B B 是样本空间Ω中的一组事件，且满足：
⑴ 互斥性 Φ(;,1,2,
,)i j B B i j i j n =≠=； ⑵ 完全性
1Ωn
i i B 。
则称12,,,n B B B 为Ω的划分。
例1中的12,B B 构成了样本空间的划分，下面我们利用维恩图来看一下例1
的一般情况。
111Ω=n n
n
i i i i i i A A A
B AB AB ======∑ 若()0,(1,2,
)i P B i n 111
()()()()(|)n n n
i i i i i i i P A P AB P AB P B P A B ======∑∑∑
这就是我们抽象出来的全概率公式。
定理1 设A 是样本空间Ω中任意随机事件，12,,
,n B B B 是Ω的一个划分，
且()0,(1,2,)i P B i n ，则 1()()(|)n
i i i P A P B P A B ==∑
全概率公式。
注：⑴ 内涵：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算。
即运用了“化整为零”的思想处理问题。
我们认真分析定理1中的已知条件后，将所研究事件的试验结果视为A ，而导致事件A 发生的若干不同的假设情况也可以理解为各种原因视为12,,
,n B B B ，而且只有12,,
,n B B B 发生了才有事件A 的发生。
那么全概率公式做出了由因求果
的推断。
（2）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式。
合理选择12,,,n B B B ，(),(|)(1,2,,)i i P B P A B i n 易求。
二、 实例
例2 设有两箱同一种商品：第一箱内装50件，其中10件优质品；第二箱内30件，其中18件优质品。
现在随意的打开一箱，然后从箱中随意取出一件，求取到是优质品的概率。
解：设{}A 取到的是优质品，{}1,2)i B i i 打开的是第箱（ 121()()2P B P B 12101183(|),(|)50530
5P A B P A B 直接利用全概率公式： 11222()()(|)()(|)
5P A P B P A B P B P A B。