全概率公式
全概率公式与贝叶斯公式
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二. 贝叶斯公式
设试验E的样本空间为S.A为E的事件，B1,B2， …,Bn为S的一个划分，且P(A)>0, P(Bi)>0, i=1,2, …,n，则
P ( B ) n iA ,i 1 , 2 , ,n . P (A B P ( B j) j)
j 1
P ( A B P ( B i) i)
P(Bi∣A)的“病因”Bi，应多加考虑.
在实际工作中，检查的指标A一般有多个，
综合所有的后验概率，当然会对诊断有很大帮助. 在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方 法是有实用价值的.
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先验概率是指根据以往经验和分析得到的概
(A ) P ( B P (A B 率，如全概率公式 P i) i) 中的
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例2 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制 造厂提供的. 根据以往的记录有以下的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0．02 0．15 2 0．01 0．80 3 0．03 0．05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且 无区别的标志. (1)在仓库中随机地取一只元件， 求它是次品的概率；(2)在仓库中随机地取一只 元件,若已知取到的是次品，为分析此次品出自 何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分 别是多少?试求这些概率.
概率论中的条件概率与全概率公式
概率论中的条件概率与全概率公式概率论是数学中的一个分支，研究的是随机事件发生的概率及其规律。在概率论中，条件概率和全概率公式是两个重要的概念和工具，用于计算复杂事件的概率。本文将详细介绍条件概率与全概率公式的定义和应用。
一、条件概率的定义
条件概率是指在某一事件发生的前提下，另一事件发生的概率。用数学符号表示为P(A|B)，读作“事件B发生的条件下事件A发生的概率”。条件概率的计算公式为：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率， P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的计算可以通过实际观测数据或假设条件来进行推导。例如，某班有30名男生和20名女生，现从中随机抽取一人，假设该人是男生，求其来自某个特定城市的概率。根据条件概率的定义，我们有：
P(来自某个特定城市|男生) = P(来自某个特定城市∩男生) / P(男生)假设该特定城市的男生人数为10，那么有：
P(来自某个特定城市|男生) = 10 / 30 = 1/3
二、全概率公式的定义和应用
全概率公式是一种计算复杂事件概率的方法，它基于对样本空间的划分和对条件概率的累加。全概率公式的定义如下：
对于事件A，若存在一组互不相容的事件B1，B2，…，Bn，并且它们的并集覆盖了样本空间，即B1∪B2∪…∪Bn = S，则有：P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + … + P(A|Bn)P(Bn)
其中，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，
全概率公式、贝叶斯公式推导过程
全概率公式、贝叶斯公式推导过程
（1）条件概率公式
设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：
P(A|B)=P(AB)/P(B)
（2）乘法公式
1.由条件概率公式得：
P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
上式即为乘法公式；
2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程
（1）条件概率公式
设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：
P(A|B)=P(AB)/P(B)
（2）乘法公式
1.由条件概率公式得：
P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
上式即为乘法公式；
2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：
P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)
（3）全概率公式
1. 如果事件组B1，B2，.... 满足
1.B1，B
2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;
2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分
设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：
上式即为全概率公式（formula of total probability)
高中数学概率公式大全
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一、常用概率公式及应用
1、概率定义：概率是指某件事情发生的可能性，以及该事件发生后，另一个事件发生的可能性，都是以概率来衡量的。
2、贝叶斯公式：P（A|B）=P（A）* P（B|A）/P（B），p（A|B）表示的是在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率，P（A）表示事件A发生的概率，P（B|A）表示在A发生时事件B也发生的概率，而P（B）表示事件B发生的概率。
3、全概率公式：P（A）= ∑P（A|B）*P（B），全概率公式是通过对一个事件进行分类求其总概率，表示事件A发生的概率，P（A|B）表示事件在A发生时事件B也发生的概率，而P（B）表示事件B发生的概率。
4、乘法公式：P（A∩B）=P（A）*P（B|A），乘法定理是用来描述概率的一种方式，也叫做“独立性原理”，通常使用来计算两个不相关事件A和B发生的概率，P（A∩B）表示A和B同时发生的概率，而P （B|A）表示在A发生的情况下B发生的概率，P（A）表示事件A发生的概率。
5、条件概率公式：P（A|B）=P（A∩B）/P（B），P（A|B）表示在事件B发生的情况下事件A发生的概率，也可以理解为在B中发生A的条件概率。P（A∩B）指的是两个事件A和B同时发生的概率，而P （B）表示的是事件B发生的概率。
二、重要定理
1、条件概率定理：P（A）= ∑P（A|B）*P（B）。概率世界中，条件概率定理是一个不可或缺的定理，它捕捉了一个核心思想，就是通过对某个条件下求出另一个条件的概率，从而可以计算事件A发生的概率。
概率的三大公式
概率的三大公式
一、加法定理
加法定理是概率论中最基本的公式之一，用于计算两个事件同时发生的概率。假设A和B是两个事件，那么A和B同时发生的概率可以表示为P(A∪B)，其中∪表示并集。加法定理的公式如下：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。
举个例子来说明加法定理的应用。假设有一个袋子里有红球和蓝球，红球的数量为3个，蓝球的数量为2个。现在我们从袋子中随机抽取一个球，求抽到红球或者蓝球的概率。
根据加法定理，我们可以计算出P(红球∪蓝球) = P(红球) + P(蓝球) - P(红球∩蓝球) = 3/5 + 2/5 - 0 = 1。因此，抽到红球或者蓝球的概率为1。
二、乘法定理
乘法定理是概率论中另一个重要的公式，用于计算两个事件同时发生的概率。假设A和B是两个事件，那么A和B同时发生的概率可以表示为P(A∩B)，其中∩表示交集。乘法定理的公式如下：
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
其中P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
举个例子来说明乘法定理的应用。假设有一个扑克牌的牌组，牌组中有52张牌。现在我们从牌组中依次抽取两张牌，求第一张牌是红心的概率，且第二张牌是黑桃的概率。
根据乘法定理，我们可以计算出P(第一张牌是红心∩第二张牌是黑桃) = P(第一张牌是红心) × P(第二张牌是黑桃|第一张牌是红心) = 1/4 × 13/51 = 1/12。因此，第一张牌是红心且第二张牌是黑桃的概率为1/12。
通俗理解全概率公式
全概率公式的理解：
它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。
全概率公式如下：
P(A)=\sum_{i=1}^{n}{P(B_{i})}P(A/B_{i})
详细解释及公式推导
设 A1,A2,A3,A4,...,An
是样本空间的一个完备事件组。且事件A1,…,An
两两互不相容。可用公式表示如下：
A_{i}\cap A_{i} = \phi(i\ne j)
每一次试验中，完备事件组中有且仅有一个发生。完备事件组构成样本空间的一个划分。
公式推导如下:
假设事件 A
完备事件组为B_{1},B_{2},B_{3},…B_{n}
,则：
P(A)=P(AB_{1})+P(AB_{2})+P(AB_{3})+…P(AB_{n})
根据：条件概率公式， P(A)
可重新表示如下（人在旅途：通俗理解条件概率）：
P(A)=P(A/B_{1})P(B_{1})+P(A/B_{2})P(B_{2})+P(A/B_{3})P(B_{3})+…+P(A/B_{n}) P(B_{n}) =\sum_{i=1}^{n}{P(B_{i})P(A/B_{i})}
全概率公式的意义
将一个复杂的事件 A
拆分为较简单的事件AB_{1},AB_{2},AB_{3},…，AB_{n}
，然后在结合加法公式和乘法公式计算出 A
的概率。
全概率公式与逆概率公式
则有 P（A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An )
医药数理统计方法
例6 如果幼儿在学语前就失聪，则很难学会说话，故有 “十聋九哑”一说，表明失聪与失语的关系.那么，辨音能 力是否也影响辨色能力呢？临床积累的资料见表：
色盲（B）
i 1
A1 A2
A3
B
An
A4
n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai )
i 1
全概率公式的来由, 不难由上式看出:
医药数理统计方法
“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.
它的理论和实用意义在于:
在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着
某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化 计算.
医药数理统计方法
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式.
某一事件B的发生有各种可能的原因 (i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生 的概率是
P(B)=P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)
每一原因都可能导致B发生，故B发 生的概率是各原因引起B发生概率的总和， 即全概率公式.
耳聋（A）
0.0004
非聋（ A ） 合计
0.0796
0.0800
非色盲（ B ）
合计
概率全概率公式
概率全概率公式
概率公式：P（A）=ΣP（A|B）*P（B）。
全概率公式：P（A）=ΣP（A|B）*P（B）+ΣP（A|B）*P（B）+...
其中，P（A）表示事件A的概率；P（A|B）表示在已知B发生的条件下，事件A发生的概率；P（B）表示事件B的概率。
全概率公式证明过程
全概率公式证明过程
全概率公式是概率论中的一个重要公式，它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。在本文中，我们将详细介绍全概率公式的证明过程。
我们需要明确全概率公式的表达式：
P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)
其中，A表示事件，B1、B2、…、Bn表示一组互不相交的事件，且它们的并集等于样本空间。P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。
接下来，我们来证明全概率公式。
假设事件A和B1、B2、…、Bn满足上述条件，我们需要证明：
P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)
我们可以将事件A表示为：
A = (A∩B1) ∪ (A∩B2) ∪ … ∪ (A∩Bn)
这是因为事件A可以被分解为在B1、B2、…、Bn中的任意一个事件发生时，A发生的情况。
接下来，我们可以利用加法公式将上式展开：
P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + … + P(A∩Bn)
然后，我们可以将每个交集表示为条件概率的形式：
P(A∩Bi) = P(Bi)P(A|Bi)
这是因为在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为P(A|Bi)。
将上式代入前面的公式中，我们得到：
P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)
这就是全概率公式的证明过程。
总结一下，全概率公式是概率论中的一个重要公式，它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。证明过程中，我们利用了事件A 可以被分解为在B1、B2、…、Bn中的任意一个事件发生时，A发生的情况这一性质，然后利用加法公式和条件概率的定义，推导出了全概率公式的表达式。
全概率公式
全概率公式
定理：
若事件12,,,n A A A 构成一个完备事件组且都有正概率，则对任意一个事件B ，有如
下公式成立：1122()()(|)()(|),()(|)n n P B P A P B A P A P B A P A P B A =+++ 即：1()()(|)n
i i
i P B P A P B A ==∑，此为全概率公式。 特别地，对于任意两个随机事件,A B ，有如下公式成立：
()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+
典例分析：
例题1、甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品。
（1） 从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
（2） 若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这
个产品是正品的概率。
练习1、一号箱中有2个白球和4个红球，二号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从一号箱中取出一球放入二号箱，然后从二号箱中随机取出一球，问：
（1） 从一号箱取出的是红球的条件下，从二号箱取出红球的概率是多少？
（2） 从二号箱取出红球的概率是多少？
例题2、甲、乙等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外3个人中的任意一个。
（1） 经过2次传球后，球在甲、乙两人手中的概率各是多少？
（2） 经过n 次传球后，球在甲手中的概率记为(1,2,3,
)n p n =，试求1n p +和n p 的关系，
并求n p 的表达式及lim n n p →∞。
练习2、掷n 次硬币，记不连续出现三次正面向上的概率为n p 。
全概率公式证明过程
全概率公式证明过程
全概率公式是概率论中的一个重要定理，它描述了一个事件在条件概率下的概率计算方法。全概率公式的证明过程如下：
假设有一组互斥且穷尽的事件A1, A2, A3, ..., An，它们构成了一个样本空间Ω。而B是样本空间Ω中的一个事件。我们想要计算事件B 在条件概率下的概率，即P(B)。
根据条件概率的定义，我们知道P(B)可以表示为P(B|A1)、P(B|A2)、P(B|A3)、...、P(B|An)的加权和。
我们可以把事件B表示为事件B与A1的交集、事件B与A2的交集、事件B与A3的交集、...、事件B与An的交集的并集，即B = (B∩A1)∪(B∩A2)∪(B∩A3)∪...∪(B∩An)。
根据概率的加法规则，我们可以得到P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + P(B∩A3) + ... + P(B∩An)。
然后，根据条件概率的定义，我们可以得到P(B∩Ai) = P(B|Ai)P(Ai)，其中i = 1, 2, 3, ..., n。
将上述结果代入前面的公式中，我们可以得到P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + P(B|A3)P(A3) + ... + P(B|An)P(An)。
这就是全概率公式，它表示了事件B的概率可以通过对事件B在每个条件下的概率乘以相应条件发生的概率的加权和来计算。
全概率公式在实际问题中有着广泛的应用。例如，在生活中我们经常会遇到天气预报。假设有三个天气状态：晴天、多云和雨天，它们构成了一个样本空间。我们想要计算明天下雨的概率，即P(雨天)。根据全概率公式，我们可以通过计算P(雨天|晴天)P(晴天) + P(雨天|多云)P(多云) + P(雨天|雨天)P(雨天)来得到结果。
全概率公式
A.0.72
√ B.0.96 C.0.86
D.0.84
解析 设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地， 事件C表示甲乘汽车到达目的地， 由题意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8， P(A|C)＝0.9.由全概率公式得 P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.86.
跟踪训练1 某商店新进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱， 甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
解 记事件A，B分别为“甲、乙两厂的产品”，事件C为“废品”， 则Ω＝A∪B，且A，B互斥， 由题意，得 P(A)＝3500＝35，P(B)＝5200＝25， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式， 得 P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝1725.
1234
2.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率
为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零
件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为
A.0.21
B.0.06
C.0.94
√D.0.95
解析 令B＝“取到的零件为合格品”，Ai＝“零件为第i台机床的产 品”，i＝1,2.
全概率公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.
综合运用
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式
P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.
解：记A i ={球取自i 号箱},
i =1,2,3;
B ={取得红球}即
B= A 1B+A 2B+A 3B ，
且A 1B 、A 2B 、A 3B 两两互斥
B 发生总是伴随着A 1，A 2，A 3 之一同时发生，P (B )=P ( A 1B )+P (A 2B )+P (A 3B )
123
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.
对求和中的每一项
运用乘法公式得P (B )=P ( A 1B )+P (A 2B )+P (A 3B )
∑==3
1i i i A B P A P B P )()()(｜代入数据计算得：P (B )=8/15
∑==n
i i i A B P A P B P 1)
()()(｜全概率公式:
则设A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件，且P (A i )>0，i =1,2,…,n ,另有一事件B ,它总是与A 1,A 2,…,A n 之一同时发生，即
n
i i
A B 1=⊂
设S 为随机试验的样本空间，A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件，且有P (A i )>0，i =1,2,…,n ,
全概率公式定义
全概率公式定义
全概率公式（Law of Total Probability）是概率论中的一个重要定理，用于计算一个事件的概率，该事件可以被划分为多个不同的情境发生的概率和不同情境发生的概率之积的和。全概率公式为贝叶斯定理的基础，广泛应用于概率论与统计学的推导和计算中。
定义：
设Ω是一个样本空间，A_1, A_2, ... , A_n 是样本空间Ω的一
个划分。划分指的是A_1, A_2, ... , A_n为互斥且并集为Ω。
对于任意一个事件B，有全概率公式：
P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + ... + P(A_n)P(B|A_n)
其中，P(A_1), P(A_2), ... , P(A_n)是样本空间Ω的一组完备事件，并且P(A_i) ≠ 0，A_i ≠ ∅，1 ≤ i ≤ n。P(B|A_i)表示在事
件A_i发生的前提下事件B发生的条件概率。
全概率公式的证明如下：
1. 由样本空间的完备性可以得到：Ω = A_1 ∪ A_2 ∪ ... ∪
A_n
2. 对任意事件B，可以将它分解为与划分的互斥事件的交集：
B = B ∩ Ω = B ∩ (A_1 ∪ A_2 ∪ ... ∪ A_n)
3. 根据分配律，可将交集展开：B = (B ∩ A_1) ∪ (B ∩ A_2)
∪ ... ∪ (B ∩ A_n)
4. 由于互斥事件的概率之和等于事件的概率，可以得到：P(B) = P(B ∩ A_1) + P(B ∩ A_2) + ... + P(B ∩ A_n)
全概率公式的内容
全概率公式的内容
全概率公式是概率论中重要的一个公式，用于计算条件概率的结果。它是一个非常有用的工具，可以帮助人们更好地理解各种事件之
间的关系，并对决策和预测做出更明智的选择。
全概率公式的内容非常简单，它描述了一个事件发生的总概率是
所有相关条件下的概率之和。具体来说，假设事件A1、A2、A3……An
是彼此互斥的事件，且它们的并集等于样本空间。那么，事件B的概
率可以通过如下的公式来计算：
P(B) = P(B/A1)P(A1) + P(B/A2)P(A2) + P(B/A3)P(A3) + ……
+ P(B/An)P(An)
其中，P(A1)、P(A2)、P(A3)……P(An)是各个事件的概率，而
P(B/A1)、P(B/A2)、P(B/A3)……P(B/An)则是B在各个条件下的概率。
这个公式的含义是，任何一个事件B都可以分解为在各个条件下
出现的概率乘以相应条件的概率的和。这个公式看起来非常简单，却
经常被用于各种概率计算中。
例如，假设你现在面临一个决策问题。你想知道某个商品的质量
是否好。这个问题有很多不同的影响因素，比如品牌、价格、颜色等。如果你想对这个问题做出准确的判断，就需要考虑所有可能的因素，
并将它们考虑在内。
利用全概率公式，我们可以将所有可能影响商品质量的因素分解开来，然后按照每个因素对商品质量的影响来计算出商品质量好的概率。这样，我们就可以针对每个具体影响因素对商品质量做出准确的判断，而不是凭空猜测。
总之，全概率公式是概率论中必不可少的一个工具。它可以帮助人们更好地理解各种事件之间的关系，并对决策和预测做出更明智的选择。
全概率公式定义
全概率公式定义
全概率公式是概率论中的一条重要公式，用于计算一个事件在若干个互不相容的事件上的条件概率。
全概率公式又称为贝叶斯全概率公式，是由英国统计学家Thomas Bayes提出的，用来描述在不同的条件下，某个时间发生的概率。
在概率论中，我们经常需要计算一个事件的概率，但是由于某些情况下，事件的条件并不完全确定，因此需要用到条件概率来求解。全概率公式可以帮助我们将一个事件的概率转化为多个互不相容的条件下的概率之和。
全概率公式的定义如下：
设1,2,…,n是一分割空间Ω 的任意 n 个事件，它们等可能且互不相容，A 是任一事件，且 A 非空，则：
P(A) = P(A|1)P(1) + P(A|2)P(2) + … + P(A|n)P(n)
其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(A|1) 表示事件 A 在事件 1 发生的条件下的概率，P(1) 表示事件 1 发生的概率。其他的 P(A|2)、P(2) 等类似。
全概率公式的意义在于，通过将事件 A 的概率转化为多个不同条件下的概率之和，使得我们可以根据不同的条件来计算事件 A 发生的概率。
全概率公式可以应用于各种实际问题的求解。例如，在一个零件生产中，假设有两个供应商A 和B，分别提供该零件的60% 和 40%。已知供应商 A 的次品率为 5%，供应商 B 的次品率
为 8%。现在有一个次品，我们想要知道此次品是由供应商 A
提供的概率是多少。
根据全概率公式，我们可以将此次品是由供应商 A 提供的概
率表示为：
P(A|次品) = P(A|A)P(A) + P(A|B)P(B)
全概率公式及其应用
全概率公式及其应用
设A是一个事件，B1、B2、B3...Bn是一组互斥且完备的事件，即它
们两两互斥且并起来可以构成样本空间。那么A事件的概率可以表示为：
P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+P(A，B3)P(B3)+...+P(A，Bn)P(Bn)。
其中，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下A事件发生的概率，
P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
1.确定一组互斥且完备的事件B1、B2、B3...Bn，它们的并集构成了
样本空间。
2.计算每个事件Bi发生的概率P(Bi)。
3.计算在每个事件Bi发生的条件下A事件发生的概率P(A，Bi)。
4.将每个条件下的概率乘以其对应事件发生的概率，并对所有条件下
的概率求和，得到事件A的概率P(A)。
在生物学实验中，研究人员常常需要对其中一种疾病进行检测。假设
其中一种疾病的发生与一个基因突变有关，我们可以根据家族史等信息得
到该基因突变的概率。然而，该基因突变并不是唯一导致该疾病的因素，
还可能存在其他未知的因素。因此，我们需要考虑其他因素对疾病发生的
影响。
假设我们有两个互斥且完备的事件，即事件B1表示基因突变发生，
事件B2表示其他因素导致疾病发生。我们还有一个事件A，表示一些人
患有该疾病。我们已知P(B1)和P(B2)，分别表示基因突变和其他因素发
生的概率。同时，我们还知道在基因突变发生的条件下，患病的概率P(A，B1)；在其他因素发生的条件下，患病的概率P(A，B2)。
根据全概率公式，我们可以计算出一些人患病的概率P(A)。具体计
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全概率公式
在实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑。全概率公式就是一个运用这样思想去解决复杂问题的有力武器。
一、引例
例1 甲盒中有2只白球，5只红球；乙盒装中有3只白球，4只红球，现从 甲盒中任意取一只球放入乙盒，再从乙盒中任取一只球，求取到白球的概率。
分析：这是一个从未遇到的问题，在这个问题中，包含两个相继进行的随机试验，第一个是从甲盒中任取一只放入乙盒，第二个是从乙盒中任取一只。第二个随机试验的结果受到第一个结果的影响。现在的主要问题是不知道从甲盒中取出后放入乙盒中的球是什么颜色。
设{}A 从乙盒中取到白球，现在要求()P A 。
再设1{}B 从甲盒中取出的是白球，
2{}B 从甲盒中取出的是红球。 现在我们来分析12A B B 与，的关系。
12A AB AB 发生当且仅当发生，即1212A AB AB AB AB 。则
121122()()()()(|)()(|)P A P AB P AB P B P A B P B P A B
245323787856
=⨯+⨯=。 这就是将复杂事件分解为互不相容事件和的分析方法，现将此问题一般化抽象出全概率公式。
一、 全概率公式
定义1 设12,,,n B B B 是样本空间Ω中的一组事件，且满足：
⑴ 互斥性 Φ(;,1,2,
,)i j B B i j i j n =≠=； ⑵ 完全性
1Ωn
i i B 。
则称12,,,n B B B 为Ω的划分。
例1中的12,B B 构成了样本空间的划分，下面我们利用维恩图来看一下例1
的一般情况。
111Ω=n n
n
i i i i i i A A A
B AB AB ======∑ 若()0,(1,2,
)i P B i n 111
()()()()(|)n n n
i i i i i i i P A P AB P AB P B P A B ======∑∑∑
这就是我们抽象出来的全概率公式。
定理1 设A 是样本空间Ω中任意随机事件，12,,
,n B B B 是Ω的一个划分，
且()0,(1,2,)i P B i n ，则 1()()(|)n
i i i P A P B P A B ==∑
全概率公式。
注：⑴ 内涵：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算。即运用了“化整为零”的思想处理问题。我们认真分析定理1中的已知条件后，将所研究事件的试验结果视为A ，而导致事件A 发生的若干不同的假设情况也可以理解为各种原因视为12,,
,n B B B ，而且只有12,,
,n B B B 发生了才有事件A 的发生。那么全概率公式做出了由因求果
的推断。
（2）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式。
合理选择12,,,n B B B ，(),(|)(1,2,,)i i P B P A B i n 易求。
二、 实例
例2 设有两箱同一种商品：第一箱内装50件，其中10件优质品；第二箱内30件，其中18件优质品。现在随意的打开一箱，然后从箱中随意取出一件，求取到是优质品的概率。
解：设{}A 取到的是优质品，{}1,2)i B i i 打开的是第箱（ 121()()2P B P B 12101183(|),(|)50530
5P A B P A B 直接利用全概率公式： 11222()()(|)()(|)
5P A P B P A B P B P A B