高三第一学期期末数学试卷4
2024年山东省枣庄市高三上学期期末考试数学试题试题及答案
( ) ON ⊥ l 于点 N ，直线 MF 与 ON 交于点 A ，点 B 5, 0 ，则 AB 的取值范围是__________.
四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10 分）
已知数列 an 中， a1 = 1, n2an+1 = (n +1)2 an .
22.（12 分）
已知双曲线 C 的渐近线方程为 3x y = 0 ，过右焦点 F (2, 0) 且斜率为 k 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点.
（1）求 C 的方程； （2）①若 B 点关于 x 轴的对称点为 E ，求证直线 AE 恒过定点 M ，并求出点 M 的坐标； ②若 k…3，求 AEF 面积的最大值.
比（ ） A.极差变小
B.平均数变大
C.方差变小
D.第 25 百分位数变小
10.设 m = (−1,3), n = (1, 2) ，则（ ）
A. m − 2n = 10
B. (m − 2n) ⊥ m C.若 (m − 2n) ∥ (km + n) ，则 k = − 1
2 D. n 在 m 上的投影向量为 1 m
A1
−
ABD
外接球的表面积最小值为
100π 3
12.已知定义在 R 上的连续函数
f
( x) ，其导函数为
f ( x) ，且
f
(0) = e,
f
1 2
=
1
பைடு நூலகம்，函数
y
=
f
x
+
1 2
为
奇函数，当 x 1 时 f ( x) f ( x) ，则（ ）
2
北京市朝阳区2024届高三上学期期末数学含答案
2024北京朝阳高三（上）期末数 学2024.1（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|03}A x x =≤≤，3{|log 1}B x x =<，则AB =（A ）[0,3]（B ）[0,3)（C ）(0,3)（D ）(0,3]（2）设a ∈R ，若复数(2i)(2i)a −+在复平面内对应的点位于虚轴上，则a =（A ）4− （B ）1− （C ）1 （D ）4（3）若01a <<，则（A ）1132a a < （B ）23a a < （C ）11log log 23aa > （D ）sin cos a a >（4）在ABC △中，若π1,cos 63a A C =∠==−，则c =（A（B ）23（C）9（D ）83（5）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1),(2,1)A B ，动点P 满足0PA PB ⋅=，则||OP 的最大值为（A ）1（B（C ）2（D1+（6）如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，点E 是平面1111A B C D 内一点，且//EB 平面1ACD ，则1tan DED ∠的最大值为 （A（B ）1 （C（D ）2（7）设函数()()2mf x x m x =+∈−R 的定义域为(1,2)−，则“30m −<≤”是“()f x 在区间(1,2)−内有且仅有一个零点”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若30PEF ∠=，则sin PFE ∠=（A（B（C）2（D（9）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用Q 表示产量，L 表示劳动投入，K 表示资本投入，A 表示技术水平，则它们的关系可以表示为Q AK L αβ=，其中0,0,0,01,01A K L αβ>>><<<<．当A 不变，K 与L 均变为原来的2倍时，下面结论中正确的是 （A ）存在12α<和12β<，使得Q 不变 （B ）存在12α>和12β>，使得Q 变为原来的2倍 （C ）若14αβ=，则Q 最多可变为原来的2倍 （D ）若221+2αβ=，则Q 最多可变为原来的2倍 （10）在ABC △中，AB AC ==，当λ∈R 时，||AB BC λ+的最小值为4．若AM MB =，22sin cos AP AB AC θθ=+，其中ππ[,]63θ∈，则||MP 的最大值为（A ）2 （B ）4 （C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
高三期末数学试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. f(x) = √(x - 1)B. g(x) = |x|C. h(x) = 1/xD. k(x) = √(x^2 - 4)2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，若f(x)在x=1处取得极值，则该极值为（）A. 1B. -1C. 3D. -33. 下列各对点中，与点P(2,3)关于直线y=x对称的是（）A. A(3,2)B. B(2,4)C. C(4,2)D. D(3,3)4. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则sinB 的值为（）A. 1/2B. 2/3C. 3/4D. 4/55. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在6. 下列各对数函数中，单调递减的是（）A. y = 2^xB. y = log2(x)C. y = 3^xD. y = log3(x)7. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 2，则数列{an}的前n项和S_n 为（）A. n(n-1)(n-2)/3B. n(n+1)(n-2)/3C. n(n-1)(n+2)/3D. n(n+1)(n+2)/38. 已知等差数列{an}的前n项和为S_n，若S_5 = 50，公差d=2，则数列{an}的第六项a_6为（）A. 16B. 18C. 20D. 229. 下列各不等式中，恒成立的是（）A. x^2 + 1 < 0B. |x| > 1C. x^2 - 1 > 0D. x^2 + 1 > 010. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处取得极小值，则a、b、c应满足的关系式是（）A. a > 0, b = 0, c > 0B. a < 0, b = 0, c > 0C. a > 0, b ≠ 0, c ≠ 0D. a < 0, b ≠ 0, c ≠ 0二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为______。
河北省张家口市2022-2023学年高三上学期期末数学含答案
张家口市2022－2023学年度高三年级第一学期期末考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合U ＝{x |1≤x ≤10}，A ＝{1，2，3}，B ＝{1，2，3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝A.{4，5，6，7，8，9}B.{1，2，3}C.{7，8，9}D.{4，5，6}2.已知复数z －2i ＝5i2＋i，则z －＝A.1－4i B.1＋4i C.5－12iD.1－2i3.已知a 是1，3，3，5，7，8，10，11的上四分位数，在1，3，3，5，7，8，10，11中随机取两个数，这两个数都小于a 的概率为A.14B.514C.1528D.13284.已知函数f (x )为偶函数，定义域为R ，当x >0时，f ′(x )<0，则不等式f (x 2－x )－f (x )>0的解集为A.(0，1) B.(0，2)C.(－1，1)D.(－2，2)5.石碾子是我国传统粮食加工工具．如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚(圆柱形)和碾架组成．碾盘中心设竖轴(碾柱)，连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为A.3∶2B.5∶4C.5∶3D.4∶36.已知等差数列{a n }的首项a 1≠0，而a 9＝0，则a 1＋a 8＋a 11＋a 16a 7＋a 8＋a 14＝A.0B.2C.－1D.127.过点P (1，1)作圆E ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的切线，则切线方程为A.x ＋y －2＝0B.2x －y －1＝0C.x －2y ＋1＝0D.x －2y ＋1＝0或2x －y －1＝08.设a ＝ln 22，b ＝13，c ＝4－2ln 2e2，则A.a <b <cB.c <a <bC.b <c <aD.b <a <c二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9.以下命题正确的有A.一组数据的标准差越大，这组数据的离散程度越小B.一组数据的频率分布直方图如右图所示，则该组数据的平均数一定小于中位数C.样本相关系数r 的大小能反映成对样本数据之间的线性相关的程度，而决定系数R 2的大小可以比较不同模型的拟合效果D.分层随机抽样所得各层的样本量一定与各层的大小成比例10.已知椭圆C：x216＋y212＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M（2,1），直线l与椭圆C交于A，B两点，则A.|AF1|·|AF2|的最大值为16B.△AF1F2的内切圆半径r≤3C.|AM|＋|AF1|的最小值为7D.若M为AB的中点，则直线l的方程为x＋y－3＝011.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，H分别为AD，DD1，BB1的中点，则A.直线A1D⊥平面BEFB.直线AH∥平面BEFC.三棱锥H－EFB的体积为13D.三棱锥H－CFB的外接球的表面积为9π12.已知x>1，方程x－(x－1)2x＝0，x－(x－1)log2x＝0在区间(1，＋∞)的根分别为a，b，以下结论正确的有A.b－a＝2a－log2bB.1a＋1b＝1C.a＋b<4D.b－a>1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a＝(3，2)，b＝(λ－2，λ)，a∥b，则实数λ＝________．14.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F到C的一条渐近线y＋2x＝0的距离为23，则双曲线C的方程为________．15.已知直线l：y＝kx＋b是函数f(1)＝ax2(a>0)与函数g(x)＝e x的公切线，若（1，f(1)）是直线l与函数f(x)相切的切点，则b＝________．16.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，c＝3b，则△ABC面积的最大值是__________；若r，R分别为△ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的取值范围为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)因疫情防控需要，某社区每天都要在上午6点到8点之间对全社区居民完成核酸采集，该社区有A ，B 两个居民小区，两小区的居住人数之比为9∶11，这两个小区各设有一个核酸采集点，为了解该社区居民的核酸采集排队时间，用按比例分配分层随机抽样的方法在两小区中随机抽取了100位居民，调查了他们一次核酸采集排队时间，根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．(1)由直方图分别估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长和在一次核酸采集中排队时长超过16分钟的居民比例；(2)另据调查，这100人中一次核酸采集排队时间超过16分钟的人中有20人来自A 小区，根据所给数据，填写完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为排队时间是否超过16分钟与小区有关联？排队时间超过16分钟排队时间不超过16分钟合计A 小区B 小区合计附表：α0.1000.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828附：χ2＝2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：14×0.075＝1.05，18×0.0375＝0.675，22×0.025＝0.55，24×0.0375＝0.9，26×0.0125＝0.325，28×0.0125＝0.35.已知S n为数列{a n}的前n项和，S n＝2a n－4n＋2.(1)证明：数列{a n＋4}为等比数列；(2)求数列{na n}的前n项和T n.19.(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin C(sin C＋sin B).(1)求A；(2)如图，在△ABC所在平面上存在点E，连接BE，CE，若EC＝3AC，∠ACE＝120°，∠EBC＝30°，BC＝2，求△ABC的面积．20.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC＝PB＝AB＝BC＝CD＝DA＝2，E为棱AP 的中点，EB⊥BC.(1)证明：BC⊥PD；(2)若BE＝32，求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值．已知函数f(x)＝－x e ax.(1)讨论函数f(x)的单调性；.(2)证明：ln x＋ax－1≥1f（x）22.(本小题满分12分)已知动圆E过定点A(6，0)，且在y轴上截得的弦BD的长为12，该动圆的圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)点P是曲线C上横坐标大于2的动点，过点P作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线分别与y轴交于点M，N，求△PMN面积的最小值．张家口市2022－2023学年度高三年级第一学期期末考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.D【解析】由U ＝{x |1≤x ≤10}，A ＝{1，2，3}，B ＝{1，2，3，4，5，6}，得(∁U A )∩B ＝{4，5，6}，故选D.2.A【解析】z ＝5i 2＋i ＋2i ＝5i (2－i )(2＋i )(2－i )＋2i ＝1＋4i ，故z ＝1－4i.故选A.3.C【解析】由题意，得8×75%＝6，所以a ＝8＋102＝9.小于a 的有6个数，所以随机取两个数都小于a 的概率为P ＝C 26C 28＝1528，故选C.4.B【解析】当x >0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递增．由f (x 2－x )－f (x )>0，得f (x 2－x )>f (x )，所以|x 2－x |<|x |，故|x －1|<1，解得0<x <2，故选B.5.B【解析】设碾滚的高为l ，其底面圆的半径为r .由题意知，推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚恰好滚动了5圈，则2×2πl ＝5×2πr ，所以l 2r ＝54，故圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为5∶4.故选B.6.A【解析】因为a 9＝a 1＋8d ＝0，a 1≠0，所以d ＝－a18≠0.a 1＋a 8＋a 11＋a 16＝(a 1＋a 16)＋(a 8＋a 11)＝a 8＋a 9＋a 9＋a 10＝4a 9＝0，而a 7＋a 8＋a 14＝a 8＋a 7＋a 14＝a 8＋a 10＋a 11＝2a 9＋a 11＝a 11＝a 1＋10d ＝－14a 1≠0，所以a 1＋a 8＋a 11＋a 16a 7＋a 8＋a 14＝0.故选A.7.C【解析】由12＋12－4×1＋2×1＝0，得点P (1，1)在圆上．设切线的斜率为k .因为圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心为E (2，－1)，半径为5，所以k PE ＝1＋11－2＝－2.又k ·k PE ＝－1，所以k ＝12，故切线方程为y －1＝12(x －1)，化简得x －2y ＋1＝0，故选C.8.D【解析】因为23>e 2⇒2>e 23⇒ln 2>23⇒ln 22>13，所以a >b .设y ＝ln x x ，则y ′＝1－ln x x 2当x ∈(0，e )时，y ′>0，函数y ＝ln x x 单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，y ′<0，函数y ＝ln x x 单调递减，又e<e 22<4，所以lne 22e 22>ln 44.又a ＝ln 22＝ln 44，c ＝4－ln 4e 2＝ln e 4－ln 22e 2＝ln e 422e 2＝2ln e 22e 2＝ln e22e 22，所以c >a .综上b <a <c ，故选D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.BC【解析】一组数据的标准差越大，这组数据的离散程度越大，所以A 错误；由平均数对极端值比较敏感，所以平均数总在“拖尾巴”的一边，故B 正确；相关系数r 只能反映成对样本数据之间的线性相关的程度的大小，决定系数R 2是要来判定不同模型的拟合效果的，所以C 正确；分层随机抽样可以按各层大小比例抽样也可以不按各层大小比例抽样，所以D 错误．10.AC【解析】由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，又8＝|AF 1|＋|AF 2|≥2|AF 1|·|AF 2|，当且仅当|AF 1|＝|AF 2|＝4时等号成立，所以|AF 1|·|AF 2|≤16，故A 正确；因为△AF 1F 2的周长l ＝|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝12，又△AF 1F 2的面积S △AF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y A |＝lr2，所以S △AF 1F 2＝12×2c ×|y A |＝2|y A |＝12×l ×r ＝6r ，所以r ＝|y A |3.又|y A |≤b ＝23，所以r ≤233，所以B 错误；因为|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，所以|AF 1|＝8－|AF 2|，所以|AM |＋|AF 1|＝8－(|AF 2|－|AM |).又|AF 2|－|AM |≤|MF 2|＝1，所以|AM |＋|AF 1|＝8－(|AF 2|－|AM |)≥7，所以C 正确；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1，x 1＋x 22＝2，y 1＋y 221，故x 21－x 2216＋y 21－y 2212＝0，所以18×x 1＋x 22＋16×y 1＋y 22×y 1－y 2x 1－x 2＝0，故y 1－y 2x 1－x 2＝－32，所以直线l 的方程为y －1＝－32(x －2)，化简得3x ＋2y －8＝0.所以D 错误．11.BCD【解析】如图，设M 为AA 1的中点，则ME ∥A 1D ，由题意，得BE ＝BM ＝5，EM ＝2，所以EM 与BE 不垂直，即A 1D 与BE 不垂直，所以直线A 1D 与平面BEF 不垂直，所以A 错误；因为E ，F ，H 分别为AD ，DD 1，BB 1的中点，所以AD 1∥EF ，D 1H ∥FB .又AD 1∩D 1H ＝D 1，EF ∩FB ＝F ，所以平面AHD 1∥平面EFB .又AH ⊂平面AHD 1，所以直线AH ∥平面BEF ，所以B 正确；因为F ，H 分别为DD 1，BB 1的中点，所以BH ⊥FH .又BH ＝1，FH ＝22，所以S △BHF ＝12×1×22＝ 2.易得点E 到平面BFH 的距离为22，所以三棱锥H －EFB 的体积V H －EFB ＝13×22×2＝13，所以C 正确；因为BC ⊥平面CDD 1C 1，FC ⊂平面CDD 1C 1，所以BC ⊥FC ，又BH ⊥FH ，故FB 为三棱锥H －CFB 的外接球的直径．又|FB |＝3，所以三棱锥H －CFB 的外接球的表面积S ＝4＝9π，所以D 正确．12.ABD【解析】由x －(x －1)2x ＝0，得x x －1＝2x .由x －(x －1)log 2x ＝0，得xx －1＝log 2x .设y ＝x x －1，则x ＝yy －1，所以函数y ＝xx －1的图象关于直线y ＝x 对称，所以a ，b 是函数y ＝2x 和y ＝log 2x 的图象与函数y ＝xx －1的图象的交点的横坐标，故a ＝log 2b ，b ＝2a ，所以A 正确；由b ＝2a ＝a a －1，得a ＋b ＝ab ，所以1a ＋1b ＝1，故B 正确；a ＋b ＝a ＋a a －1＝a －1＋1a －1＋2>4，故C 错误；因为b －a ＝2a －a ，设f (m )＝2m －m ，则f ′(m )＝2m ln 2－1，当m >1时，f ′(m )>0，所以当m >1时，函数f (m )＝2m －m 单调递增，故f (m )＝2m －m >f (1)＝1，即b －a ＞1，所以D 正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.－4【解析】因为a ∥b ，所以2λ－4＝3λ，所以λ＝－4.14.x 23－y 212＝1【解析】由题意，得23＝2c1＋4，所以c ＝15.又ba ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝3，b 2＝12，所以双曲线C 的方程为x 23－y 212＝1.15.－e e 2【解析】根据题意，得l 与函数f (x )的切点为(1，a )，设l 与函数g (x )＝e x 的切点为(x 2，e x 2)，又f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝e x ，所以k ＝2a ＝e x 2，所以切线l 的方程为y －a ＝2a (x －1)，即y ＝2ax －a .同时切线l 的方程也为y －e x 2＝e x 2(x －x 2)，即y ＝e x 2x ＋e x 2－x 2e x 2，所以－a ＝e x 2－x 2e x 2＝b ，解得x 2＝32，所以b ＝－e e2.16.3；(34，2)【解析】以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B (－2，0)，C (2，0)．设A (x ，y )，由c ＝3b ，得|AB |＝3|AC |，所以(x ＋2)2＋y 2＝3(x －2)2＋y 2，化简得x 2＋y 2－5x ＋4＝0，y ≠0，所以点A 到BC 的最大距离为圆x 2＋y 2－5x ＋4＝0的半径32，故△ABC 面积的最大值为S ＝12×|BC |×32＝3.由正弦定理，得2R ＝4sin A ⇒R ＝2sin A .因为12r (4＋b ＋3b )＝S △ABC ＝12bc sin A ＝3b 22sin A ⇒r ＝3b 2sin A 4（1＋b ），故rR ＝32·b 21＋b .＋3b >4，＋4>3b ，得1<b <2.令f (x )＝x 21＋x (1<x <2)，则f ′(x )＝2x （1＋x ）－x 2（1＋x ）2＝x 2＋2x （1＋x ）2>0，所以f (x )在(1，2)上单调递增，故f (x )的值域为(12，43)，所以rR 的取值范围是(34，2)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)解：(1)由直方图，得平均数的估计值为4×(2×0.0125＋6×0.0375＋10×0.05＋14×0.075＋18×0.0375＋22×0.025＋26×0.0125)＝13.4(分)，…………………………………………………………………………………………3分因为4×(0.0125＋0.025＋0.0375)＝0.3，所以有30%的居民排队时长超过16分钟，综上，估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长为13.4分钟，在一次核酸采集中该社区有30%的居民排队时长超过16分钟.…………………………………………………………5分(2)由(1)可知样本中有30%×100＝30(人)排队时长超过16分钟.……………………………6分又两小区的居住人数之比为9∶11，故在A 小区抽取了45人，在B 小区抽取了55人，……………………………………………………………………………………………………7分故填表如下：排队时间超过16分钟排队时间不超过16分钟合计A 小区202545B 小区104555合计3070100……………………………………………………………………………………………………8分零假设为H 0：排队时间是否超过16分钟与所属小区相互独立，即排队时间是否超过16分钟与所属小区无关，χ2＝100×（20×45－10×25）230×70×45×55≈8.13>6.635＝x 0.01 (9)分根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H 0不成立，即排队时间是否超过16分钟与所属小区有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.…………………………………………10分18.(本小题满分12分)(1)证明：由题意，得a 1＝S 1＝2a 1－4×1＋2，所以a 1＝2，a 1＋4＝6.………………………1分由S n ＝2a n －4n ＋2，得S n －1＝2a n －1－4(n －1)＋2，n ≥2，所以a n ＝S n －S n －1＝(2a n －4n ＋2)－[2a n －1－4(n －1)＋2]＝2a n －2a n －1－4，n ≥2，………3分所以a n ＝2a n －1＋4，n ≥2，故a n ＋4a n －1＋4＝2，n ≥2， (4)分所以数列{a n ＋4}是以6为首项，2为公比的等比数列.………………………………………5分(2)解：由(1)得a n ＋4＝6×2n －1＝3×2n ，故a n ＝3×2n －4， (6)分则na n ＝3n ·2n －4n .……………………………………………………………………………7分设b n ＝n ·2n ，其前n 项和为P n ，则P n ＝1×2＋2×22＋…＋n ×2n ，2P n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，所以－P n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ×2n ＋1，所以P n ＝(n －1)2n ＋1＋2， (10)分所以T n ＝3P n －4(1＋2＋…＋n )＝3(n －1)2n ＋1＋6－4×n (n ＋1)2＝(3n －3)2n ＋1－2n 2－2n ＋6.…………………………………………………………………………………………………12分19.(本小题满分12分)解：(1)由正弦定理，得(a ＋b )(a －b )＝(c ＋b )c ，即a 2－b 2＝c 2＋bc ，………………………2分故b 2＋c 2－a 22bc＝－12，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以A ＝120°.…………………………………4分(2)由平面四边形内角和为360°，可知∠ABC ＋∠BEC ＝90° (5)分在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，即232＝bsin ∠ABC .…………………6分在△BEC 中，由正弦定理，得BC sin ∠BEC ＝ECsin ∠EBC ，即2sin (90°－∠ABC )＝3b 12， (7)分所以sin ∠ABC ·sin (90°－∠ABC )＝14.………………………………………………………8分又sin ∠ABC ·sin (90°－∠ABC )＝sin ∠ABC ·cos ∠ABC ＝12sin (2∠ABC )，所以sin (2∠ABC )＝12，故2∠ABC ＝30°，即∠ABC ＝15°，所以∠ACB ＝45°.…………………………………10分sin 15°＝sin (45°－30°)＝22×＝6－24.由正弦定理，得2sin 120°＝b sin 15°＝csin 45°，所以c ＝2sin 45°sin 120°，b ＝2sin 15°sin 120°，……11分所以S △ABC ＝12cb sin A ＝12×2sin 45°sin 120°×2sin 15°sin 120°×sin 120°＝263×6－24＝1－33 (12)分20.(本小题满分12分)(1)证明：由AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2，得AD ∥BC ，…………………………………………1分设F ，H 分别为棱BC 和棱PD 的中点，连接PF ，DF ，HF ，EH ，如图，所以EH 綊12AD ，故EH 綊BF ，故BE 綊FH .………………………………………………2分因为EB ⊥BC ，所以FH ⊥BC .…………………………………………………………………3分因为PC ＝PB ，所以PF ⊥BC .又PF ⊂平面PDF ，HF ⊂平面PDF ，PF ∩HF ＝F ，所以BC ⊥平面PDF ，又PD ⊂平面PDF ，所以BC ⊥PD .……………………………………………………………4分(2)解：由(1)知BC ⊥平面PDF ，所以BC ⊥DF .又DC ＝2，CF ＝1，故DF ＝3.因为BE ＝32，且BE 綊FH ，所以FH ＝32.因为PB ＝PC ＝BC ＝2，F 为BC 的中点，所以PF＝3，故PD ＝3，△PDF 为等边三角形．由BC ⊥平面PDF ，BC ⊂平面ABCD ，得平面PDF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，分别以直线FD ，FB 为x ，y 轴，以过点F 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系F －xyz .………………………………………………6分所以F (0，0，0)，D (3，0，0)，C (0，－1，0)，0…………………………7分设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PBC ·CF →＝0，·CP →＝0，0，1＋y 1＋32z 1＝0，可取m ＝(3，0，－1)，………………………………………………8分设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面PDC ·CD →＝0，·CP →＝0，3x 2＋y 2＝0，32x 2＋y 2＋32z 2＝0，可取n ＝(3，－3，1)，……………………………………………10分所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝1313，所以平面PDC 与平面PBC 夹角的余弦值为1313.……………………………………………12分21.(本小题满分12分)(1)解：f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝－e ax (ax ＋1)，……………………………………………1分当a ＝0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在R 上单调递减；……………………………………2分当a>0f′(x)>0－1a，＋∞f′(x)<0，所以函数f(x)－1a，＋∞3分当a<0f′(x)<0－1a，＋∞f′(x)>0，所以函数f(x)－1a，＋∞.…………4分(2)证明：f(x)＝－x e ax＝－e ax＋ln x， (5)分要证ln x＋ax－1≥1f（x），即证ln x＋ax－1≥1－e ax＋ln x.……………………………………6分设g(x)＝x－1＋e－x，则g′(x)＝1－e－x，………………………………………………………7分在区间(－∞，0)上，g′(x)<0，在区间(0，＋∞)上，g′(x)>0，所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，……………9分所以g(x)≥g(0)＝0，…………………………………………………………………………10分故(ln x＋ax)－1＋1e ax＋ln x≥0，当ln x＋ax＝0时等号成立，所以ln x＋ax－1≥1－e ax＋ln x成立，故ln x＋ax－1≥1f（x）.………………………………………………………………………12分22.(本小题满分12分)解：(1)设E(x，y)，则EA＝r，所以EA2＝x2， (2)分即(x－6)2＋y2＝x2＋36，化简得y2＝12x (3)分(2)设P(x0，y0)，直线PM为y－y0＝k1(x－x0)，直线PN为y－y0＝k2(x－x0)，则y20＝12x0，M(0，y0－k1x0)，N(0，y0－k2x0)， (4)分故|MN|＝|k2－k1|x0＝x0(k2＋k1)2－4k2k1 (5)分又直线PM和直线PN与圆(x－1)2＋y2＝1相切，所以|k1(1－x0)＋y0|k21＋1＝|k2(1－x0)＋y0|k22＋1＝1，故k 1，k 2是方程|k (1－x 0)＋y 0|k 2＋1＝1的两个根， (6)分即k 1，k 2是方程(x 20－2x 0)k 2＋2y 0(1－x 0)k ＋y 20－1＝0的两个根，所以k 1＋k 2＝－2y 0(1－x 0)x 20－2x 0，k 1k 2＝y 20－1x 20－2x 0.……………………………………………………8分则△PMN 的面积S △PMN ＝12|MN |x 0＝x 202(k 2＋k 1)2－4k 2k 1＝x 224y 20(1－x 0)2(x 20－2x 0)2－4(y 20－1)x 20－2x 0＝x 0y 20(1－x 0)2－(y 20－1)(x 20－2x 0)(x 0－2)2＝x 0x 20－2x 0＋y 2(x 0－2)2＝x 0x 20－2x 0＋12x 0(x 0－2)2＝x 40＋10x 3(x 0－2)2.……………………………………………………………………………………………………9分设f (x )＝x 4＋10x 3(x －2)2，x >2，则f ′(x )＝2x 2(x ＋6)(x －5)(x －2)3.…………………………………………10分所以当x ∈(2，5)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增.…………………………………………11分所以当x 0＝5时，S △PMN 取得最小值，最小值为2533.……………………………………12分。
2024北京东城区高三(上)期末数学试卷及答案
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C （2）D （3）C（4） D （5） B （6） A （7）C （8）B（9） A （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）()()0,11,∞+ （12） y = （13） π3(答案不唯一 ) （14）①2− ② (],1∞−- （15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）取11A C 中点G ，连接,FG AG . 在直三棱柱111ABC A B C −中，因为,,E F G 分别为1111,A C B B A C ，的中点，所以1111,AE B GF A A B ,111=2A GFB ,1112A A E B =. 所以GF AE ，GF AE =.所以四边形EFGA 为平行四边形，所以EF AG .又因为EF ⊄平面11ACC A ，AG ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A . ................................6分 （Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C −中,1BB ⊥平面ABC .而BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥因为90ABC ∠=︒，BA BC ⊥，所以BA BC ，,1BB 两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系B xyz −.则A （0，2，0），B （0，0，0），C （2，0，0），E （0，1，0），F（1，0，2）. 设[]00,2Pm m ∈（0，，）,， 则()0,2,AP m =−，()0,1,0BE =，()1,0,2BF = .设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，所以0,0,BE BF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.y x z =⎧⎨+=⎩设1z =−，则()2,0,1n =−设AP 与平面BEF 所成的角为θ， 则221sin cos ,552)AP m AP AP m nn n θ⋅−=〈〉===⋅−+（．解得21,1m m ==±.因为[]0,2m ∈，所以1m =.于是，1BP =...............................................................................14分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）在ABC △中,由余弦定理得222cos 2BC AB AC B BC AB+−=⋅又因为4BC =，AC =1AB =，所以cos B 2224112412+−==⨯⨯. 又()0,πB ∈,所以π3B ∠=. ......................................... (5)分 （II ）选择条件①：π4ADB ∠=. 在ADB △中，由正弦定理 sin sin AD AB B ADB =∠，得=， 所以AD =所以sinsin()BAD B ADB∠=∠+∠sin cos cos sin B ADB B ADB =∠+∠12222=+⨯4=.所以1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠. 112=⨯38+= . ......................................................................13分选择条件③：由余弦定理 2222cos AD AB BD AB BD B =+−⋅,AB BD AD ++=得()2221BD BD BD =+−，解得 2BD =，所以11sin 122222ABD S AB BD B ∆=⋅=⨯⨯⨯=. ........................ ...............13分 (18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由表格中的数据可知：2022年100名参加第一次考试的考生中有60名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为5310060=； 2023年100名参加第一次考试的考生中有50名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为2110050=； 从2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为1032153=⨯ . .......................................................4分 （Ⅱ）记“2022年考生在第i 次考试通过”为事件1,2,3)i A i =（，“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件A ， 则1233707804(),(),().5100101005P A P A P A ===== 小明一次考试该科目成绩合格的概率13()5P A =， 小明两次考试该科目成绩合格的概率12377()151025P A A =−⨯=（）， 所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率1121123722()()()()52525P A P A A A P A P A A ==+=+= . ................................10分 （III ）88. .................................................................................... .........13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得 22222,a b c a c a c ⎧⎪⎨⎪=++=+−=⎩−解得2,1,c a b ⎧===⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ............... ...............................................5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，()2,0A −,()2,0B .设(),M m n ，则(),N m n −，且满足2244m n +=.因为E 为线段OM 的中点，所以,22m n E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线():24n AE y x m =++. 设()11,D x y , 由()222444n y x m x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩得 ()()222222441616440m n x n x n m ⎡⎤++++−+=⎣⎦. 因为2244m n +=，所以 ()22225(4)(2812)0m x m x m m ++−−++=. 所以212812225m m x m ++−=−+， 解得214625m m x m ++=+，则()1425n m y m +=+， 所以()2446,2525n m m m D m m +⎛⎫++ ⎪++⎝⎭. 因为G 为线段MB 的中点，所以2,22m n G +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线GN 的方程为()32n y n x m m +=−−−， 代入D 点坐标，得左式=()()4332525n m n m n m m +++=++，右式=2346225n m m m m m ⎛⎫++− ⎪−+⎝⎭()3325n m m +=+. 所以左式=右式.所以,,D G N 三点共线．.................................................... .......................15分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）若1k =，则1()1x x f x e x −=−+， 所以22'()(1)x f x e x =−+， 所以022'(0)1(01)f e =−=+， 又因为001(0)201f e −=−=−+， 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为(2)(0)y x −−=−，即2y x =−. ............. .......................................................................6分 （Ⅱ）若12k ≤<，因为22'()(1)x f x ke x =−+， 设函数22()(1)=−+x g x ke x ， 则34'()0(1)=−−<+xg x ke x ((0))x ∈+∞， 所以22'()(1)=−+x f x ke x 为(0)+∞，上的减函数. 当时12k ≤<时，022'(0)20(01)f ke k =−=−≤+， 11122221288'()01299(1)2f ke ke e =−=−<−<+，所以存在01(0,)2x ∈，使得0'()0=f x ，即02020(1)−=+x ke x .x所以当12k ≤<时，函数()y f x =在(0)+∞，上有极大值. 00001()1−==−+x x m f x ke x ， 由2020(1)−=+x ke x ，得0200121(1)−=−++x m x x 200221(1)1x x =−−+++. 因为00x >，所以()010,11x ∈+. 得31−<<m . ..................................................15分(21)（本小题15分）解：（Ⅰ）由于数列23226A a a −：，，，，具有性质c P ， 所以15264a a c +=−+==.由244a a +=以及42a =，得22a =.由334a a +=，得32a =. .....................4分 （Ⅱ）由于数列A 具有性质0P ，且12n a a a <<<，n 为奇数，令21n k =+，可得10k a +=，设12123210k k k k k a a a a a a a ++++<<<<=<<<<.由于当0(1)i j a a i j n >≤≤，，时，存在正整数k ，使得j i k a a a −=，所以324252212k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++−−−−，，，，这1k −项均为数列A 中的项, 且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<−<−<−<<−<，因此一定有3224235242122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，，即：3224325422122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，， 这说明：2321k k k a a a +++，，，为公差为2k a +的等差数列，再由数列A 具有性质0P ，以及10k a +=可得，数列A 为等差数列. ..................................................................9分（III ）（1）当*42()n k k =+∈N 时，设122122+1222+3244+142:k k k k k k k k A a a a a a a a a a a −+++，，，，，，，，，，，. 由于此数列具有性质c P ，且满足2122k k a a m +++=, 由2122k k a a m +++=和2122k k a a c +++=得c m =±.① c m =时，不妨设12a a m +=，此时有：21a m a =−，411k a a +=，此时结论成立. ② c m =−时，同理可证. 所以结论成立.(2)当*4()n k k =∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：22122231122322212k k k k k k k k −−−+−−−+−−+，，，，，，，，，，，，.(3)当*23()n k k =+∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：112(1)(1)(1)(1)(1)1012(1)(1)k k k k k k k k +−−−⋅+−⋅−⋅−−−−⋅−，，，，，，，，，，1(1)(1)(1)k k k k −−⋅−⋅+，综上所述，*42()n k k =+∈N 符合题意. ...........................................15分.。
石景山区2023-2024学年第一学期期末高三数学试题答案
石景山区2023-2024学年第一学期高三期末数学试卷答案及评分参考一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）A （2）B （3）D （4）B （5）C （6）A（7）C（8）B（9）D（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）(3,4]− （12）2（13）0.01472.6（14）1122（答案不唯一） （15）②③④ 三、解答题（共6小题，共85分） （16）(本小题14分)（Ⅰ）证明：取AC 中点O ，连结,PO BO 因为PA PC =，所以PO AC ⊥； 因为AB BC =，所以BO AC ⊥； 因为BOPO O =，所以AC ⊥平面PBO ；因为PB ⊂平面PBO ，所以AC PB ⊥． [ 6分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO AC ⊥，PO ⊂平面PAC ，因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，所以PO ⊥平面ABC ，因为BO ⊂平面ABCPO AC ⊥，BO AC ⊥由已知3APC 2π∠=，易得 112PO PA ==，OC =在Rt PBO △中，OB =A所以得B，C ，(0,0,1)P ，所以1),1)PB PC ⎯⎯→⎯⎯→=−=− 设平面PCB 的法向量为000(,,)x y z =n ，则0,0,PB PC ⎯⎯→⎯⎯→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即00000,0.z z −=−= 令01x =，则01y =，0z ==n ．又因为平面POC的法向量为OB ⎯⎯→=，所以|||cos ,|||||OB OB OB ⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→⋅<>==n n n ． 由题知二面角A PC B −−． [14分]（17）(本小题13分)解：（Ⅰ）因为2()2sin 12f x x x ωω−+，所以()cos f x x x ωω=+1cos )2x x ωω=+2sin()6x ωπ=+．因为2ω=，所以()12f π． [5分]（Ⅱ）选②因为()f x 在区间ππ[,]123上单调递减，且当ππ[,]123x ∈时，()f x 的值域是[2,2]−，所以max ()()212f x f π==，min ()()23f x f π==−.此时，由三角函数的性质可得πππ23124T =−=，故π2T =． 因为0ω>，所以2π4Tω==.（Ⅱ）选③因为()f x 在区间ππ[,]123上单调递减，所以ππ3122T −≤，即2π2ωπ≥， 解得04ω<≤．因为π12x =是()f x 的一条对称轴， 所以max ()()212f x f π==.所以sin()1126ωππ+=，即2,1262k k ωπππ+=+π∈Z 解得424,k k ω=+∈Z .由04ω<≤，可知4ω=. [13分] （18）(本小题13分)解：（Ⅰ）甲在A 区投篮30次，投进20次，所以估计甲在A 区投篮进球的概率为23， 甲在B 区投篮30次，投进15次，所以估计甲在B 区投篮进球的概率为12. [2分] （Ⅱ）据题意，甲在A 区进球的概率估计为23，在B 区投篮进球的概率估计为12. 设事件A 为“甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分”甲在A 区投3个球，得分可能是0,2,4,6，在B 区投2个球，得分可能是0,3,6. 则甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的情况有：A 区2分B 区0分，概率估计为12232111C ()()=33218⨯⨯⨯， A 区4分B 区0分，概率估计为22232111C ()()=3329⨯⨯⨯， A 区4分B 区3分，概率估计为2213221112C ()C =33229⨯⨯⨯⨯⨯， A 区6分B 区0分，概率估计为32212()()=3227⨯，A 区6分B 区3分，概率估计为3122114()C =32227⨯⨯⨯，则甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率估计为11224111899272718++++=. [10分]（Ⅲ）甲在A 区投篮一次得分的期望估计是21420333⨯+⨯=，甲在B 区投篮一次得分的期望估计是11330222⨯+⨯=，设甲在A 区投篮x 次，则甲在B 区投篮(5)x −次，则总的期望值估计为43(5)732x x +−≥，解得3x ≤，则甲选择在A 区投篮的次数最多是3次 ． [ 13分]（19）(本小题15分)解：（Ⅰ）由题意知22222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．所以椭圆C 的方程为22142x y +=． [5分]（Ⅱ）解：不妨设直线l 的方程为(0)y kx k =≠，l 交椭圆于(,)p p P x y ，(,)p p Q x y −−．由题意知(,0)p E x ，所以11222p p p QE p ppp y y y k k x x x x −===⋅=−− ； 直线QE 的方程为()2p ky x x =−． 联立22()224p k y x x x y ⎧=−⎪⎨⎪+=⎩消去y 得 22222(2)280P P k x k x x k x +−⋅+−= 易知22222(2)4(2)(8)0P P k x k k x ∆=−−+−>所以 2222P M Q k x x x k⋅+=+，设QM 的中点为D ， 则2222M Q PD x x k x x k +⋅==+． 222()()2222PP D D P Pk x k x k k y x x x k k ⋅−⋅=−=−=++；所以21p D OD D p k x y k x kk x −⋅===−⋅． 因为在MPQ △中，//OD PM ，所以1PM k k=−．所以11PM PQ k k k k ⋅=−⨯=−，即π2MPQ ∠=．所以MPQ △为直角三角形得证. [ 15分]（20）(本小题15分) 解：（Ⅰ）11()(1)11f x x x x ''=⋅−=−−，(0)1k f '==−. 又(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =−． [4分]（Ⅱ）令22()()ln(1)(0)22x x F x f x x x x x =++=−++<，21()111x F x x x x '=++=−−. 因为0x <，所以()0F x '<，()F x 在(,0)−∞上单调递减. 所以()(0)0F x F >=.即当(,0)x ∈−∞时，2()2x f x x >−−. [ 8分]（Ⅲ）（1）当12k −≤时，222x kx x x −−−≤.由（Ⅱ）知，当(,0)x ∈−∞时，2()2x f x x >−−.所以当12k −≤时，2()f x kx x >−对(,0)x ∈−∞恒成立；（2）当12k >−时，令2()ln(1)h x x kx x =−−+212(21)()2111kx k xh x kx x x −++'=−+=−−①当0k ≥时，因为(,0)x ∈−∞，所以()0h x '>，()h x 在(,0)−∞上单调递增. ()(0)0h x h <=，不合题意②当102k −<<时，()0h x '=得2111022k x k k+==+< 当1(,1)2x k ∈−∞+时，()0h x '<，1(1,0)2x k∈+时，()0h x '>．所以()h x 在1(1,0)2k +上单调递增，则1(1,0)2x k∈+时，()(0)0h x h <=，不合题意. 综上，k 的取值范围是1(,]2k ∈−∞−. [ 15分]（21）(本小题15分)解：（Ⅰ）3,4,4,5，3,4,3,5，3,4,2,5，3,4,1,5 [4分] （Ⅱ）假设不存在{1,2,,1}k m ∈−使得1k k b b +>成立，根据P 数列定义可知1k k b b +≥，11b a =，所以1k k b b +=，则11321k k k b b b b b b +−======，即113211k k k b b b b b b a +−=======，所以121max{,,,}n n b a a a a ==，所以1i a a ≤，这与已知矛盾，故若此数列{}n a 中存在i a 使得1i a a >(2)i m ≤≤， 则存在{1,2,,1}k m ∈−使得1k k b b +>成立． [4分]（Ⅲ）必要性：12max{,,,}k k b a a a =，12min{,,,}k k c a a a =−，(1,2,)k m =，则1212max{,,,}min{,,,}k k k k b c a a a a a a +=−．因为{}n n b c +为单调递增数列，所以对所有的k ，12max{,,,}k k a a a a =或12min{,,,}k k a a a a =，否则11k k k k b c b c −−+=+．因此，所有的k i a a −(1,2,,)i k =同号或为0，即1sgn()1nn n i i d a a n ==−=−∑，所以{}n d 为单调递增数列．充分性：因为{}n d 为单调递增数列，10d =，1n d n −≤且n d ∈ N ， 所以只能1n d n =−，所以k i a a −(1,2,,)i k =同号或为0，所以对所有的k ，12max{,,}k k a a a a =或12min{,,}k k a a a a =，所以1212max{,,}min{,,}k k k k b c a a a a a a +=−．所以11k k k k b c b c −−+>+，即{}n n b c +为单调递增数列 ． [15分]（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）。
2025届北京市清华大学附属中学高三数学第一学期期末检测试题含解析
2025届北京市清华大学附属中学高三数学第一学期期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =（ ）A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3)2．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=3．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40B ．60C ．80D ．1004．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）A ．12ω=B ．8f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 5．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为 ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为A ．16B ．23 C ．53D ．567．二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．1608．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确D ．①②都错误9．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．32C ．212D ．31210．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A 23B 3C ．223D ．2311．已知抛物线()220y px p =>经过点(2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．22B ．24C ．22D ．22-12．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2024届高三上学期期末数学试题(解析版)
哈三中2023-2024学年度上学期高三学年期末考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}21log 1,12xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （ ）A. ()1,2- B. ()1,0- C. ()0,2 D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性、指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由()22log 1log 2020,2x x A <=⇒<<⇒=，由()011100,22x x B ⎛⎫⎛⎫<=⇒>⇒=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A B = ()0,2，故选：C 2. 复数12iiz +=的虚部为（ ）A. 1- B. 2C. i- D. i【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法的运算法则化简为复数的代数形式，即可得到复数虚部.【详解】由()()2212i i 12i 2i i 2i i iz +-+===--=--，所以虚部为-1.故选：A3. 函数()232f x x x =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先求出定义域，再确定为偶函数，最后由特殊值法确定即可.【详解】定义域为0x ≠，()()()223322f x x x f x xx -=-+=+=-为偶函数，采用特殊值法代入，当x 趋近于零时，2x 趋近于零，23x 趋于正无穷；此时()232f x x x =+取值趋于正无穷；当x 趋近于正无穷时，2x 趋近于正无穷，23x 趋于零，此时()232f x x x=+取值趋于正无穷；所以只有B 图像符合；故选：B4. 若()(),1,2,,3a b a b a b m +=-==，则实数m =（ ）A. 6B. 6- C. 3D. 3-【答案】B 【解析】【分析】将a b a b +=- 两边平方，结合数量积的运算律求出a b ⋅ ，再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b +=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅=，即60+=m ，解得6m =-.故选：B.5. 已知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. []1,0-D. (]1,0-【答案】D 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，讨论a 是否为0，结合0a ≠时，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，故当0a =时，2210ax ax +-<，即为10-<，符合题意；当0a ≠时，需满足2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩，解得10a -<<，综合可得实数a 的取值范围是(]1,0-，故选：D6. 若椭圆221259x y +=和双曲线22197x y -=的共同焦点为12,,F F P 是两曲线的一个交点，则12PF F △的面积值为 （ ）A.B.C. D. 8【答案】A 【解析】【分析】设点(),P m n ，根据方程组求点P 的坐标和焦距，进而可得面积.【详解】对于椭圆221259x y +=可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则128F F =，设点(),P m n ，则22221259197m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得=n 所以12PF F △的面积值为182⨯=.故选：A.7. 等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则1015SS =（ ）A.37B.73C.12D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据51051510,,S S S S S --构成等比数列求解即可.【详解】因为{}n a 为等比数列，51013S S =，设510,3,0S k S k k ==>，所以51051510,,S S S S S --构成等比数列.所以15,2,3k k S k -构成等比数列，所以157S k =，所以10153377S k S k ==.故选：A8. 哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行，组委会派甲乙等6名志愿者到,A B 两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同的安排方案总数为（ ）A. 14 B. 20 C. 28 D. 40【答案】C 【解析】【分析】先安排甲乙两人，再根据分组分配的方法安排其余4名志愿者.【详解】先安排甲乙两人，有22A 2=种方法；再安排其余4名志愿者有两类方法，共有122424C A C 14+=种方法，根据分步计数原理可得共有21428⨯=种方法.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，9. 下列说法正确的是（ ）A. 已知111,,,202420232023α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,∞+上递减，则α只能为1-B. 函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012C.函数y =与函数3y x =-是同一个函数D. 已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则函数()22f x +的定义域为[]1,1-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，直接由幂函数的奇偶性、单调性即可验证；对于B ，由复合函数单调性以及复合对数函数的定义域即可验证；对于C ，定义域都是全体实数，且对应法则也一样，由此即可判断；对于D ，由抽象函数定义域的求法即可验证.【详解】对于A ，当1α=-时，幂函数()1f x x xα==奇函数，且在()0,∞+上递减，满足题意，当12023α=时，幂函数()1f x x x α==在()0,∞+上递增，不满足题意，当12023α=-时，幂函数()f x x α==()0,∞+上递减，满足题意，当2024α=-时，幂函数()20241f x x xα==为偶函数，在()0,∞+上递减，不满足题意，故A 错误；对于B ，12log y t =关于t 在定义域内单调递减，若函数()212log 20242023y x x =-+-关于x 在定义域内单调递减，则由复合函数单调性可知220242023x x t -+-=关于x 单调递增，而二次函数220242023x x t -+-=开口向下，对称轴为2012x =，所以22024202302012x x x ⎧-+->⎨<⎩，解得12012x <<，所以函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012，故B 正确；对于C ，()13333y x x ⎡⎤==-=-⎣⎦，故C 选项正确，对于D ，若函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则[][]1,1,211,3x x ∈-+∈-，所以函数()22f x +的定义域满足[]221,3x +∈-，解得[]1,1x ∈-，故D 正确.故选：BCD.10. 已知正数,a b ，2a b +=，且a b >，则下列说法正确的是（ ）为A.1b a> B. e e a b a b+>+ C.114a b+> D.1<【答案】AB 【解析】【分析】选项A ，将不等式1b a>等价转化为1ab <，由于和式为定值，判断积的取值范围即可；对于选项B ，需要研究函数e x y =的单调性，即可判断不等式；对于选项C ，1111()2a b a b a b ++=+⨯，应用基本不等式即可；对于选项D 平方，2a b =++，判断积的取值范围即可；【详解】对于选项A ，1b a>等价1ab <，2a b =+≥1≤，其中a b >1<，1ab <，不等式成立，选项A 正确；对于选项B ，因为e 1>，指数函数e x y =是增函数，且a b >，所以e e a b >所以e e a b a b +>+，选项B 正确；对于选项C ，1111()112222a b b a a b a b a b ++=+⨯=++≥+=，由于a b >，22b a a b ≠，等号取不到，112a b+>，选项C 不正确；对于选项D ，22()4a b a b +=++≤+=，由于a b >，等号取不到，所以24<2<，选项D 不正确；故选：AB.11. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的有（ ）A. 11//AC 平面1B CDB. 点1C 到平面1B CDC. 当P 在线段11C D 上运动时，三棱锥11A B PC -的体积不变D. 若Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,E F 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF +的最小值【答案】BCD【解析】【分析】对于A 通过观察可得直线11A C 与平面有公共点1A 所以A 不正确；对于B 利用等体积法计算点到平面距离；对于C 观察到点P 到平面11A B C 的距离为定值，确定三棱锥11A B PC -的体积不变；对于D 利用线段1AC 关于平面11BCC B 的对称直线，将QE QF +转化，利用两点间线段距离最短求解.【详解】对于A ，因为平面1B CD 也就是平面11A B CD 与直线11A C 有公共点1A ，所以A 选项不正确. 对于B ，设点1C 到平面1B CD 的距离为h ，由1111C B CD D CC B V V --=得11111133B CD CC B S h S ⨯=⨯ ，由已知易得11,CD B C D ===则1B CD △是直角三角形，所以1B CD S =112C CD S =，解得h =.故B 选项正确对于C ，设点P 到平面11A B C 的距离为h ，易知点P 所在的直线11C D 与平面11A B C 平行，则点P 到平面11A B C 的距离为定值，因为11111113A B PC P A B C A B C V V S h --==⨯ ，其中11A B C S 也为定值，故C 选项正确.对于D ，如图1QE QF QE QF +=+，当1E Q F 、、共线的时候1QE QF EF +=最小，在1AC M 中222111111cos 23C A C M AMAC M C A C M+-∠==，由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=，所以1EF =，所以QE QF +有最小值，故D 正确.故选：BCD12. 已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2，()f x 的最小正周期为π，将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象，则下列结论正确的是（ ）A. π6x =是()f x 图象的一条对称轴 B. ()π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. π2g x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 D. 方程()2lg 0g x x -=有3个实数解【答案】ACD 【解析】【分析】由()f x 最小正周期为π，求出ω，由最值点和最值，求出,a b ，得()f x 的解析式，判断AB 选项；由函数图象的变换，求()g x 的解析式，验证C 选项，数形结合验证D 选项．【详解】()()cos sin f x a x b x x ωωωϕ=+=-，其中tan b aϕ=，()f x 的最小正周期为πT =，则有2π2π2πT ω===，故()()2f x x ϕ=-，函数()f x 在π6x =处取得最大值2，则πππcos sin 26332f a b ⎧⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭=，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩()πcos22cos 23f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，B 选项错误；函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π6x =处取得最大值2，则π6x =是()f x 图象的一条对称轴，A 选项正确；将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得函数π2cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()2cos g x x =的图象，ππ2cos 2sin 22g x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数为奇函数，C 选项正确；在同一直角坐标系下作出函数()2cos g x x =和函数2lg y x =的图象，如图所示，的两个函数图象有3个交点，可知方程()2lg 0g x x -=有3个实数解，D 选项正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知α为第二象限角，2sin 3α=，则tan2α=_______．【答案】-【解析】【分析】根据同角三角函数的关系式，结合正切的二倍角公式即可求得.【详解】因为2sin 3α=，α为第二象限角，所以cos ===α则sin tan cos ===ααα22tan tan21tan ααα=-2⎛⨯==-故答案为：-14. 已知边长为2的等边三角形ABC 所在平面外一点,S D 是AB 边的中点，满足SD 垂直平面ABC，且SD =S ABC -外接球的体积为_______．【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出球心坐标，根据外接球的性质，列出方程组，即可求出外接球的半径，从而求得三棱锥S ABC -外接球的体积.【详解】因为SD 垂直平面ABC ，ABC 为等边三角形，且D 是AB 边的中点，以D 为坐标原点，分别以,,DB DC DS 所在的直线为x 轴，y 轴，z轴，建系如图，设三棱锥S ABC -外接球的球心(),,O x y z ，半径为R ，因为2AB BC AC ===，则DC ===，又因为SD =(S ，()1,0,0B ，()1,0,0A -，()C ，则====OS OA OB OC R ，即RRR R ====，解得0x y z R =⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩所以三棱锥S ABC -外接球的体积3344R 33V ππ===.15. 直线l 与抛物线24x y =交于,A B 两点且3AB =，则AB 的中点到x 轴的最短距离为_______．【答案】916【解析】【分析】设出直线方程，利用弦长得到两个变量间的关系式，结合函数单调性可得答案.【详解】设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ；联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，2440x kx m --=，216160k m ∆=+>，12124,4x x k x x m +==-.AB ==因为3AB =3=，整理可得()229161m k k =-+.由()21212242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离为()2212292112161y y k m k k +=+=++-+设21t k =+，则1t ≥，1291216y y t t +=+-，由对勾函数的单调性可得129216y y +≥，当且仅当0k =时，取到最小值916.故答案为：91616. 设()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，对任意的()12,0,x x ∈+∞满足()()1221120x f x x f x x x ->-且()315f =，则不等式()5f x x >的解集为_______．【答案】(,3)(0,3)-∞-⋃【解析】【分析】根据题意可设()(),0f x g x x x=≠，结合()f x 的奇偶性判断()g x 的奇偶性，再结合题设判断()g x 的单调情况，进而结合不等式()5f x x >，讨论x 的正负，结合()g x 的单调情况，分类求解，即可得答案.【详解】设()(),0f x g x x x=≠，而()f x 是定义在()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数，即()()f x f x -=-，故()()()()f x f x g x g x xx---===--，即()(),0f x g x x x=≠为偶函数；对任意的()12,0,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()()()121212f x f xg x g x x x -=-()()211212x f x x f x x x -=，又对任意的()12,0,x x ∞∈+满足()()1221120x f x x f x x x ->-，当12x x <时，120x x -<，则()()12210x f x x f x -<，即()()21120x f x x f x ->，而120x x >，故()()()()1212120,f x f x g x g x x x ->∴>，则()g x 在()0,∞+上单调递减，又()g x 为偶函数，故()g x 在(),0∞-上单调递增，()315f =，故()3(3)53f g ==，则(3)5g -=-，而不等式()5f x x >，即为不等式()50f x x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩或()50f x x x ⎧<⎪⎨⎪<⎩，即()5(3)0g x g x >=⎧⎨>⎩或()5(3)g x g x <=-⎧⎨<⎩，故03x <<或3x <-，即不等式()5f x x >的解集为(,3)(0,3)-∞-⋃，故答案为：(,3)(0,3)-∞-⋃【点睛】方法点睛：诸如此类抽象函数的问题，解答时要结合题设构造出函数，由此判断出其奇偶性和单.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c)sin b C C =-．（1）求角B ；（2）D 为AC 边上一点，DB BA ⊥，且4AD DC =，求cos C 的值．【答案】（1）2π3； （2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后由三角形内角和定理与和差公式化简整理即可求解；（2）BCD △和Rt ABD 分别根据正弦定理和三角函数定义列式，联立整理得2c a =，再由余弦定理求得b =，然后可解.在【小问1详解】)sinb C C=-，)sin sinA B C C=-，又()()sin sinπsin sin cos cos sinA B C B C B C B C⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，)cos sin sin sinB C B C B C C+=-，整理得)πsin sin2sin sin03C B B C B⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，因为()0,π,sin0C C∈>，所以πsin03B⎛⎫+=⎪⎝⎭，又()ππ4π0,π,,333B B⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3B+=，即2π3B=.【小问2详解】由（1）知B，因为DB BA⊥，所以π6CBD∠=，记BDCθ∠=，则πBDAθ∠=-，在BCD△中，由正弦定理得πsinsin6CD aθ=，得2sinaCDθ=，在Rt ABD中，有()sinπsinc cADθθ==-，因为4AD DC=，所以2sin sinc aθθ=，得2c a=，在ABC中，由余弦定理可得22222π422cos73b a a a a a=+-⨯=，即b=，所以cos C==18. 已知{}n a是公差不为零的等差数列，11a=，且125,,a a a成等比数列．（1）求数列{}n a的通项公式；.（2）若114(1)n n n n nb a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】（1）21n a n =- （2）101220242025T =【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-=-.【小问2详解】由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点为12,A A ，点G 是椭圆C 的上顶点，直线2A G 与圆2283x y +=相切，且椭圆C．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于A B 、两点，若点()0,M m ，且MA MB =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22184x y +=（2）[【解析】【分析】（1）先由离心率得出a =，再由直线2A G 与圆2283x y +=相切得到圆心(0,0)O 到直线2A G 的距离等于半径得出2222883a b a b +=，联立即得椭圆方程；（2）依题设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，得出韦达定理，求出AB 的中点H 坐标，利用条件MA MB =判断MH 是直线AB 的中垂线，求出方程，将求m 的取值范围转化成求关于t 的函数的值域问题即得.【小问1详解】由c a =可得：a =①因2(,0),(0,)A a G b ，则2:1A Gx y l a b +=即：0bx ay ab +-=，又因直线2A G 与圆2283x y +==2222883a b a b +=②，联立①②，可解得：2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为：22184x y +=.【小问2详解】如图，因直线l 与x 轴不重合，椭圆焦点为(2,0)F ，故可设:2l x ty =+，由222184x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x整理得：22(2)440t y ty ++-=，易得：0∆>，不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，则有12212242,42t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩设AB 中点为00(,)H x y ，则：1202222y y t y t +==-+,1212022()442()222222x x t y y t t x t t ++==+=⋅-+=++，即：2242(,)22t H t t -++，因MA MB =，则MH 为直线AB 的中垂线.又因直线AB 的斜率为1t，故直线AB 的中垂线MH 的斜率为t -，于是2224:()22MH t l y t x t t +=--++，因()0,M m ，则有：222422222t t tm t t t =-=+++，①当0=t 时，0m =，此时直线:2l x =，点(0,0)M ，符合题意；②当0t ≠时，22m t t=+，若0t >，则2t t +≥可得m ∈，当且仅当t =时取等号；若0t <，则2t t +≤-,可得[m ∈，当且仅当t =.综上，实数m的取值范围为[.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//,4,2,60AB CD AB BC CD BP DP BCD ︒=====∠=，AD PD ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若线段PC 上存在点F ，满足CF FP λ= ，且平面BDF 与平面ADP实数λ的值．【答案】（1）证明见解析（2）2λ=【解析】【分析】（1）要证面面垂直，需证线面垂直，就是要证AD ⊥平面PBD ，再进一步判断面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用向量的方法求解.【小问1详解】如图：因为2CB CD ==，60BCD ∠=︒，所以BCD △为等边三角形，2BD =又//AB CD ，所以60ABD BDC ∠=∠=︒，又4AB =，所以22212··cos 60164242122AD AB BD AB BD =+-︒=+-⨯⨯⨯=.因为222AD BD AB +=，所以ABD △为直角三角形，AD BD ⊥.又AD PD ⊥，BD ，PD 为平面PBD 内的两条相交直线，所以AD ⊥平面PBD ，AD ⊂ABCD ，所以：平面PBD ⊥平面ABCD .【小问2详解】取BD 中点O ，AB 中点E ，因为PB PD =⇒PO BD ⊥，又平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，PO ⊂平面PBD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又OE BD ⊥，故以O 为原点，建立如图空间直角坐标系，所以()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,3P ，)E，()1,0A -，()C .设(),,F x y z ，因为CF FPλ=⇒()(),,,3x y z x y z λ+=---⇒()3x xy y z z λλλ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩解得031x y z λλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，所以31F λλ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭.设平面ADP 的法向量为()111,,m x y z =，则m AD m DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0m AD m DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒()()()()111111,,0,,0,1,30x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒111030x y z =⎧⎨+=⎩，取()0,3,1m =- ；设平面BDF 的法向量为()222,,n x y z = ，则n BD n BF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒()()()222222,,0,2,003,,1,01x y z x y z λλ⎧⋅-=⎪⎛⎫⎨⋅-= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⇒222030y z λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取),0,1n =.那么⋅=m n ()0,3,1-⋅),0,11=-，m =，n = .由m n m n ⋅=⋅⇒231λ+=⇒24λ=，又0λ>，所以2λ=.【点睛】关键点睛：根据CF FP λ=，和点C 、F 的坐标，求F 点坐标是本题的一个关键.21. 圆G经过点(()2,,4,0-，圆心在直线y x =上．（1）求圆G 的标准方程；（2）若圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，A 为直线:16l x =上的动点，直线,AM AN 与曲线圆G 的另一个交点分别为,E F ，求证直线EF 经过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）2216x y +=（2）证明见详解，直线EF 过定点()1,0【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；（2）设出直线AM 的方程和直线AN 的方程，分别与圆的方程联立写出E F 、的坐标，进而写出直线EF的方程，化简即可证明直线EF 经过定点，并求出定点的坐标.【小问1详解】因为圆心在直线y x =上，设圆心为(),,a a 又因为圆G经过点(()2,,4,0-则()(()222224a a a a -+-=++，解得0a =，所以圆心()0,0,4=，所以圆G 的标准方程为2216x y +=【小问2详解】由圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，不妨设()()4,0,4,0M N -，又A 为直线:16l x =上的动点，设()()16,0A t t ≠，则,,2012==AM AN t t k k 则AM 方程为()420t y x =+，AN 方程为()412ty x =-，设()()1122,,,E x y F x y ，联立方程()2242016t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22224008164000t x t x t +++-=，所以()212164004400t x t --=+，即()211224400160,400400t t xy t t --==++，即()2224400160,400400t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.联立方程()2241216t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22221448161440t x t x t +-+-=，所以()222161444144t x t -=+，即()22222414496,144144t t x y t t --==++，即()222414496,144144t t F t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.所以()()2222221609640014444004144400144EFt tt t k t t t t --++=----++232240=-t t，所以直线EF 的方程为()222241449632,144240144t t t y x t t t ⎛⎫-- ⎪-=- ⎪+-+⎝⎭化简得()2321,240ty x t =--所以直线EF 过定点()1,0.22. 已知函数()()()22e e e ,,e 12x x x xf xg xh x x -+===+．（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当0x >时，试比较()()(),,f x g x h x 的大小关系，并说明理由；（3）设n *∈N ，求证：1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--．【答案】（1）e e 44y x =+ （2）()()()f x g x h x <<；理由见解析； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1（2）构造函数，利用导数确定函数的单调性，求出最值，即可判定结论；（3）构造函数，结合数列知识求和即可证明结论.【小问1详解】由()e1xf x x =+得，()()2e 1xx f x x '=+，所以()f x 在1x =处的切线的斜率()e 14k f ='=，切点e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以所求切线方程：()e e124y x -=-，即e e 44y x =+；【小问2详解】结论：()()()f x g x h x <<；理由如下：要证()()f x g x <，即证e e e 12x x x x -+<+，只需证()()2e 1e e x x xx -<++，为令()()()2e 1e e x x x x x ϕ-=-++，则()()()()()2e e e 1e -e ee x x x x x x x x x x ϕ---=-+-+=-'，当0x >时，1x e -<，e 1x >，故()0x ϕ'<，所以()()()2e 1e e xx x x x ϕ-=-++在0x >时单调递减，所以()()00x ϕϕ<=，即()()2e 1e e 0x x x x --++<，所以e e e 12x x xx -+<+，故()()f x g x <；要证()()g x h x <，即证22e ee 2x x x -+<，只需证22e e ln ln e 2x x x -+<，令()222e e e e 1ln ln e ln 222x x x x x v x x --++=-=-，则()e e e e x x x x v x x ---=-+'，令()e e e ex xx x w x x ---=-+，则()()241e e x x w x -=-+'，当0x >时，e e 2x x -+>，从而()2e 4x ->，故()()2410e e x x w x -=-'<+，所以()e e e ex xx x v x x ---=-+'在0x >时单调递减，所以()()00v x v ''<=，从而()2e e 1ln 22x x v x x -+=-在0x >时单调递减，所以()()00v x v <=，即22e e ln ln e 20x x x -+-<，即22e e ln ln e 2x x x -+<所以22e ee 2x x x -+<，故()()g x h x <，又因为()()f xg x <，所以()()()f x g xh x <<.【小问3详解】令()()()ln 101x u x x x x =-+>+，则()()()22110111x u x x x x -=-=<+++'所以()()ln 11x u x x x =-++在当0x >时单调递减，所以()()00u x u <=，所以()ln 11x x x <++，即()1ln 111x x <++，令1x n =，则有()11ln 1ln 1ln 1n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪+⎝⎭，即()1ln 1ln 1n n n <+-+，所以()()1ln 2ln 12n n n <+-++，()()1ln 3ln 23n n n <+-++，⋯()1ln 2ln 212n n n<--，所以111ln 2ln ln 2112n n n n n++<-=++ ，所以111111234212n n-+-+⋅⋅⋅+--11111111223421242n n ⎛⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪-⎝⎝⎭1111111112342122n n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以11111111112342121112n n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=+++-+++ ，因为1111ln 21112n n n n+++<+++ ，所以111111ln 2234212n n -+-+⋅⋅⋅+-<-；下面先证当0x >时，ln 1≤-x x ，令()()1ln 0p x x x x =-->，()111x p x x x'-=-=，令()0p x '>，则1x >，所以()1ln p x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10p x p ≥=，从而()1ln 0p x x x =--≥，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时，ln 1x x =-，所以当0x >时，()ln 1x x +<，令1x n =，则有11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()1ln 1ln n n n+-<，所以()()1ln 2ln 11n n n +-+<+，()()1ln 3ln 22n n n +-+<+，⋯()()1ln 2ln 2121n n n --<-，所以()1111ln 2ln 1221n n n n n n -<++++++- ，即111ln 2121n n n ++++>+- ，因为1111123421n -+-+⋅⋅⋅+-111111112234212422n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭111111112342121n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以111111111234211221n n n n n -+-+⋅⋅⋅+=++++-++- ，因为1111ln 21221n n n n ++++>++- ，所以11111ln 223421n -+-+⋅⋅⋅+>-，综上所述，1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
山东省滨州市2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
高三数学试题2024.1（答案在最后）本试卷共4页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号：回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}21,0,1,2,3,4U =--，，集合{}14A x x =∈-Z ≤≤，{}2,3B =，则()U B A = ðA.{}2,2,3- B.{}2,1,2,3-- C.{}2,1,0,2,3-- D.∅2.平面α与平面β平行的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行 B.α，β垂直于同一个平面C.α，β平行于同一条直线D.α内有两条相交直线都与β平行3.已知向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a上的投影向量为A.()2,0 B.()0,2 C.()3,0- D.()0,3-4.若不等式240x ax -+≥对任意[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是A.[]0,4 B.(],4-∞ C.13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.(],5-∞5.某学校一同学研究温差x （单位：℃）与本校当天新增感冒人数y （单位：人）的关系，该同学记录了5天的数据：x568912y1620252836由上表中数据求得温差x 与新增感冒人数y 满足经验回归方程 2.6y bx =+ ，则下列结论不正确．．．的是A.x 与y 有正相关关系B.经验回归直线经过点()8,25C. 2.4b= D.9x =时，残差为0.26.已知直线:2l y kx =-与圆22:670C x y x +--=交于A ，B 两点，则AB 的最小值为A. B.7.已知02πα<<，02πβ<<，()3cos 5αβ+=，()1sin 5αβ-=，则tan tan αβ=A.310 B.35C.53D.1038.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…….记第n 层球的个数为n a ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为A.1021B.2021C.4021D.1910二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则下列说法中正确的是A.z 的共轭复数是1z i =-+B.z =C.z 的辐角主值是4πD.21ii z=+10.已知函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，下列选项中正确的有A.若()f x 的最小正周期2T=，则ωπ=B.当2ω=时，函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度后得到()cos 2g x x =的图象C.若()f x 在区间()0,π上单调递减，则ω的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ω的取值范围是17,66⎛⎤ ⎥⎝⎦11.已知函数()1y f x =-的图象关于直线2x =-对称，且对x ∀∈R ，有()()6f x f x +-=.当(]0,3x ∈时，()3f x x =+，则下列说法正确的是A.10是()f x 的周期B.()3f x +为偶函数C.()20241f = D.()f x 在[]6,12上单调递减12.拋物线的光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:4C x y =，O 为坐标原点，一束平行于y 轴的光线1l 从点()4,P m 射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经过C 上另一个点()22,B x y 反射，沿直线2l 射出，经过点Q ，则A.124y y =B.254AB =C.延长AO 交直线1y =-于点D ，则D ，B ，Q 三点共线D.若PB 平分ABQ ∠，则414m =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线()ln 3y x =在点1,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为_______________.14.()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为__________.（用数字作答）15.甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用1A 、2A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则()2P A B =__________16.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长均为4，60ABC ∠=︒，以A 为球心，面11CDD C 的交线长为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知等比数列{}n a 的公比为2，且4a 是3a 与58a -的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设,21,n n a n b n n ⎧=⎨-⎩为奇数,为偶数.求数列{}n b 的前2n 项和2n S .18.（12分）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC △的面积为S ，已知222433a cb S +-=，2a =.（1）求角B ；（2）若22cos cos 210A A +-=，求S 的值.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，3PA =，四边形ABCD 为直角梯形，90BAD ∠=︒，AB CD ∥，3AB =，1CD AD ==，点M 在线段PD 上，且2PM MD =，点N 在线段PB 上，且3PB PN =.（1）求证：CN ∥平面PAD ；（2）求平面CDN 与平面DNM 夹角的余弦值.20.（12分）杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神.某经销商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒20元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元.（1）小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开.求小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率；（2）为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案二：先购买两个盲盒，再直接购买剩余吉祥物.若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？21.（12分）已知1A ，2A 两点的坐标分别为()0,2-，()0,2，直线1PA ，2PA 相交于点P ，且它们的斜率之积为43-，设点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设点F 的坐标为()0,1-，直线PF 与曲线C 的另一个交点为Q ，与x 轴的交点为M ，若MP PF λ=，MQ QF μ=，试问λμ+是否为定值？若是定值，请求出结果，若不是定值，请说明理由.22.（12分）已知函数()()2x f x a ax e =--.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若1a =，求证：()()ln 11x f x e x x +++≤.高三数学试题参考答案2024.1一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.D3.D4.B5.C6.B7.C8.C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.BCD10.ACD11.BC12.BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.310x y --=14.40-15.518四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）解：（1）由题意，得43528a a a =+-.又数列{}n a 的公比为2，所以111164168a a a =+-，解得12a =，所以1222n n n a -=⨯=.（2）因为,21,n n a n b n n ⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.所以1b ，3b ，…21n b -是以2为首项，4为公比的等比数列，2b ，4b ，…2n b 是以3为首项，4为公差的等差数列.所以()()()()21321242214341142n n n n n n S b b b b b b -⨯-⨯+-=+++++++=+- 2122242222233n n n n n n +⋅--=++=++.18.（12分）解：（1）因为222433a c b S +-=，所以222431sin 32a cb ac B +-=⨯，所以2221sin 3222ac Ba cb ac ac ⨯+-=，即3cos sin 3B B =，于是tan B =又02B π<<，所以3B π=.（2）因为22cos cos 210A A +-=，所以cos 20A =.因为203A π<<，所以4A π=.由正弦定理，得2sin sin 43b ππ=，解得b =所以113sin 2sin 2243432S ab C πππππ+⎛⎫⎛⎫==⨯⨯--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.19.（12分）解：（1）证明：在PA 上取一点E ，使13PE PA =，连接DE ，EN .因为13PE PA =，13PN PB =，所以EN AB ∥，且113EN AB ==.又因为CD AB ∥，且1CD =，所以EN CD ∥，且EN CD =.所以，四边形DCNE 为平行四边形.所以CN DE ∥.又因为DE ⊂PAD ，CN ⊄平面PAD ，所以CN ∥PAD.（2）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则2,0,13M ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0,0D ，()1,1,0C ，()0,1,2N ，所以，()0,1,0DC = ，()1,1,2DN =- ，1,0,13DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .令平面CDN 的法向量()1111,,n x y z = ，则110,0,n DC n DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即11110,20,y x y z =⎧⎨-++=⎩取11z =，则12x =，10y =，即()12,0,1n =.令平面DMN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则220,0,n DN n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222220,10,3x y z x z -++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩取23x =，则21z =，21y =，即()23,1,1n =.所以121212cos ,55n n n n n n ⋅==⋅.设平面CDN 与平面DNM 夹角为θ，则12755cos cos ,55n n θ== .所以，平面CDN 与平面DNM 夹角的余弦值为75555.20.（12分）解：（1）设小明第3次购买是恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率为P ，则1111123322944432C C C C C P ⨯+⨯⨯==⨯⨯.（2）方案一：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为X .X 的可能取值为80，110.则()1338044C P X ===，()11104P X ==.所以()3117580110442E X =⨯+⨯=.方案二：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为Y .依题意，Y 的可能取值为70，100，130，则()1132637044168C C P Y ⨯====⨯，()11123391004416C C C P Y ⨯+===⨯，()111304416P Y ===⨯.所以()691725701001301616168E Y =⨯+⨯+⨯=.因为17572528<.所以小明应该选择方案一.21.（12分）解：（1）设点P 的坐标为(),x y ，则直线1PA 的斜率为()120PA y k x x+=≠，直线2PA 的斜率为()220PA y k x x-=≠.由已知，()22403y y x x x +-⋅=-≠，化简，得点P 的轨迹C 的方程为()221043y x x +=≠.（缺少0x ≠，扣1分）（2）λμ+为定值83-.理由如下：根据题意可知直线PF 的斜率一定存在且不为0，设:1PF y kx =-，则1,0M k ⎛⎫⎪⎝⎭.联立221,1,43y kx y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2243690k x kx +--=.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122643k x x k +=+，122943x x k-⋅=+.又因为111,MP x y k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11,1PF x y =---，且MP PF λ= ，所以111kx λ=-+.同理211kx μ=-+.所以121212121111111122x x kx kx k x x k x x λμ⎛⎫++=-+-+=-++=-+⋅⎪⎝⎭2261168432299343kk k k k k +=-+⋅=-+⋅=---+，所以，λμ+为定值83-.22.（12分）解：（1）由题知，函数()f x 得定义域为R ，()()22x f x a ax e '=--.当0a =时，()20x f x e '=>恒成立，即()f x 的增区间为R ，无减区间；当0a >时，由()0f x '>得22x a <-，由()0f x '<得22x a>-，即()f x 的增区间为2,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，减区间为22,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，由()0f x '>得22x a >-，由()0f x '<得22x a<-，即()f x 的增区间为22,a ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭，减区间为2,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）当1a =时，()()1x f x x e =-.要证()()ln 11x f x e x x +++≤，只需证()()1ln 11xxx e e x x -+++≤，只需证()11ln 1x x x x e +-++≤，即证()1ln 110xx x x e +-++-≥.令()()1ln 11x x g x x x e+=-++-，()1,x ∈-+∞，()()()()1111111x x xx e x x g x e x x e⎡⎤-+-+⎣⎦'=-+=++.令()()1x h x e x =-+，()1,x ∈-+∞，()1x h x e '=-.由()0h x '=得，0x =.列表如下，x ()1,0-0()0,+∞()h x '-0+()h x ↘↗由表可得()h x 在0x =时取得最小值()00h =，所以，()0h x ≥恒成立.所以，当10x -<<时，()0g x '<，()g x 在()1,0-单调递减；当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,+∞单调递增；当0x =时，()g x 取得最小值()00g =，所以()0g x ≥恒成立.。
西城区2023-2024学年第一学期期末高三数学试题答案
20232024学年度第一学期期末试卷 第1页（共6页）北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）A （ 3 ）D （ 4 ）D （ 5 ）C（ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）A（ 9 ）B（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）12（12）3 （答案不唯一） （13）(4,)+∞ 4（14）2x =−2（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）由题设2πππ2sin cos 2cos 0666a −=，解得a………3分所以2()cos 2cos f x x x x =−2cos21x x =−− ………5分 π2sin (2)16x =−−．………6分 所以()f x 的最小正周期为π．………7分（Ⅱ）因为π02x ≤≤， 所以ππ5π2666x −−≤≤．………9分所以1πsin (2)126x −−≤≤， 即π22sin (2)116x −−−≤≤．20232024学年度第一学期期末试卷 第2页（共6页）当ππ262x −=，即π3x =时，()f x 取得最大值1； 当ππ266x −=−，即0x =时，()f x 取得最小值2−． ………11分由题设2m −≤，且1M ≥．所以m 的最大值是2−；M 的最小值是1．………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A ，则80303(A)2008020P =⨯=． ………4分（Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为208280⨯=， 所以X 的所有可能取值为0,1,2．………5分3638C 5(0)14C P X ===， 122638C C 15(1)28C P X ===， 212638C C 3(2)28C P X ===． ………8分所以X 的分布列为故X 的数学期望0121428284EX =⨯+⨯+⨯=． ………10分 （Ⅲ）222231s s s ．………13分20232024学年度第一学期期末试卷 第3页（共6页）（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为PD AD =，E 为PA 中点，所以DE PA ⊥．………1分又因为平面PAB ⊥平面PAD ， 平面PAB 平面PAD PA =， 且DE ⊂平面PAB ． 所以DE ⊥平面PAB ． ………2分 所以DE AB ⊥．………3分因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AB ⊥． 所以AB ⊥平面PAD ．………4分（Ⅱ）因为AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ．又PD ⊥平面ABCD ，所以,,DA DC DP 两两相互垂直． ………5分 如图建立空间直角坐标系D x y z −，………6分则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(1,0,1)E ． 所以(2,0,0)CB =,(0,2,2)CP =−,(1,0,1)DE =．设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0.CB CP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⋅⋅m m 即20,220.x y z =⎧⎨−+=⎩令1y =，则1z =．于是(0,1,1)=m ． ………8分设直线DE 与平面PBC 所成角为α，则 1||sin ,|cos |2||||DE DE DE α=〉=〈=⋅m m m ．………10分 所以直线DE 与平面PBC 所成角的大小为30．………11分（Ⅲ）因为(1,0,1)EP =−，所以点E 到平面PBC 的距离为2||||EP d ==⋅m m ． ………13分因为CB CP ⊥，所以四面体PEBC 的体积为11123323PBC V S d CB CP d =⋅=⋅⋅⋅⋅=△． ………14分20232024学年度第一学期期末试卷 第4页（共6页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，22222,411,c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩………3分解得228,2a b ==．………4分 所以椭圆E 的方程为22182x y +=．………5分（Ⅱ）若直线AB 与y 轴重合，则点M 与原点重合，符合题意，此时直线AB 的方程为0x =．………6分若直线AB 与y 轴不重合，设其方程为1y k x =+．由221,48y k x x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(41)840k x kx ++−=． ………8分设1122(,),(,)A x y B x y ，则122841kx x k −+=+． ………9分 所以1224241M x x k x k +−==+，21141M M y kx k =+=+．………10分因为M 是CD 的中点， 所以282241D M C k x x x k −=−=−+，222141D M Cy y y k =−=−+． ………11分 因为2248D D x y +=，………12分所以222282(2)4(1)804141k k k −−+−−=++． 整理得340k k +=． ………13分 解得0k =．………14分但此时直线AB 经过点C ，不符合题意，舍去． 综上，直线AB 的方程为0x =．………15分20232024学年度第一学期期末试卷 第5页（共6页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，e ()x f x x =， 所以2(1)e ()xx f x x −'=．………1分 所以(1)e f =，(1)0f '=．………3分 所以曲线()y f x =在点(,())11f 处的切线方程为e 0y −=． ………4分 （Ⅱ）()f x 的定义域为(,0)(0,)−∞+∞，且2(1)e ()axax f x x −'=．………6分令()0f x '=，得1x a=． ()f x '与()f x 的情况如下：所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞；单调递减区间为(,0)−∞和1(0,)a．………10分（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，121211()()f x f x x x −<−，证明如下： 令1()()g x f x x=−，则2(1)e 1()ax ax g x x −+'=．设()(1)e 1ax x h ax =−+，则2()e ax x h a x '=．………12分所以当(0),x ∈−∞时，()0x h '<；当()0,x ∈+∞时，()0x h '>． 所以()h x 在(0),−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增． 从而()(0)0h x h >=，即()0g x '>．所以()g x 的单调递增区间为(0),−∞和()0,+∞．………14分当120x x <<时，12()()g x g x <，即121211()()f x f x x x −<−； 当120x x <<时，12()()g x g x <，即121211()()f x f x x x −<−． 综上，当12x x <且120x x ⋅>时，121211()()f x f x x x −<−．………15分20232024学年度第一学期期末试卷 第6页（共6页）（21）（共15分）解：（Ⅰ）:(1,2),(2,3),(3,1)A ，或:(1,3),(3,2),(2,1)A ．………4分（Ⅱ）因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中，故26C 15m =≤，所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次．又因为1(1,2,,1)i i x y i m +==−，所以只有1,m x y 对应的数可以出现5次， 故1(4425)132m ⨯⨯+⨯=≤．………9分（Ⅲ）当N 为奇数时，先证明(2)()21T N T N N +=++．因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中，所以21()C (1)2N T N N N =−≤． 当3N =时，构造:(1,2),(2,3),(3,1)A 恰有23C 项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1．对奇数N ，如果可以构造一个恰有2C N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数2N +而言，可按如下方式构造满足条件的序列A '： 首先，对于如下21N +个数对集合：{(1,1),(1,1)}N N ++，{(1,2),(2,1)}N N ++， {(2,1),(1,2)}N N ++，{(2,2),(2,2)}N N ++， ……，{(,1),(1,)}N N N N ++，{(,2),(2,)}N N N N ++，{(1,2),(2,1)}N N N N ++++，每个集合中都至多有一个数对出现在序列A '中，所以(2)()21T N T N N +++≤． 其次，对每个不大于N 的偶数{2,4,,1}i N ∈−，将如下4个数对并为一组：(1,),(,2),(2,1),(1,1)N i i N N i i N ++++++，共得到12N −组，将这12N −组数对以及(1,1),(1,2),(2,1)N N N N ++++按如下方式补充到A 的后面，即：,(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,1),,A N N N N N +++++(1,1),(1,2),(2,),(,1),(1,2),(2,1)N N N N N N N N N N N +−−++++++．此时恰有()21T N N ++项，所以(2)()21T N T N N +=++．综上，当N 为奇数时，()(()(2))((2)(4))((5)(3))(3)T N T N T N T N T N T T T =−−+−−−++−+[2(2)1][2(4)1](231)3N N =−++−+++⨯++1(1)2N N =−． ………15分。
2024北京房山区高三(上)期末数学试题及答案
2024北京房山高三（上）期末数 学本试卷共6页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{}2,0,1,2A =−，{}10B x x =−>，则A B =（ ）A .{}2B .{}1,2C .{}2,0−D .{}2,0,1,2−2.在复平面内，若复数z 对应的点为(1,1)−，则(1i)z −−=（ ） A .2B .2iC .2i −D.2−3.已知向量(2,0)a =，(,1)b m =，且a 与b 的夹角为3π，则m 的值为（ ）A .3−B .3C .D 4.432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A .32−B .32C .23−D .235.已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A .22a b >B .11a b> C .b a a b> D .2211ab a b>6.已知直线l ：2y x b =+与圆C ：22(1)(2)5x y −++=相切，则实数b =（ ） A .1或9B .1−或9C .1−或9−D .1或9−7.已知函数()f x 满足()()0f x f x −−=，且在[0,)+∞上单调递减，对于实数a ，b ，则“22a b <”是“()()f a f b >”的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫米/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0e (0)kt P P t −=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：1310.5855⎛⎫≈ ⎪⎝⎭）（ ） A .12%B .10%C .9%D .6%9.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 左支上一动点，Q 为双曲线C 的渐近线上一动点，且2PQ PF +最小时，1PF 与双曲线C 的另一条渐近线平行，则双曲线C 的方程可能是（ ）A .2213y x −=B .2213x y −=C .22122x y −=D .2214x y −=10.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”227与“密率”355113.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于3411π<<，取3为弱率，4为强率，计算得1347112a +==+，故1a 为强率，与上一次的弱率3计算得23710123a +==+，故2a 为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知258m a =，则m =（ ） A .8B .7C .6D .5第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题分，共25分。
2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题含解析
2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）A ．48B ．60C ．72D ．1202．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ）A ．33-B ．3C ．332-D ．32 3．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55 C ．66 D ．784．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A ．345i +- B ．345i + C ．34i -+ D ．345i -+6．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．6⎛ ⎝⎦B ．,15⎫⎪⎪⎣⎭C ．0,5⎛ ⎝⎦D ．,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭7．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．12⎛ ⎝B ．12⎡⎢⎣C ．1,2e ⎛ ⎝⎦D ．12⎛ ⎝⎭8．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163iB ．6iC ．203iD ．2010．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，， 11．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．312．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．78二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届广东省东莞市高三上学期期末数学试题及答案
2023-2024学年度第一学期教学质量检查高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1. 已知复数12i2i z +=-，则z =（ ）A iB. i-C.D. 2. 已知集合{}41,Z A x x k k ==+∈，{}41,Z B x x k k ==-∈，则()Z A B ⋃=ð（ ）A. {}4,Z x x k k =∈ B. {}42,Z x x k k =+∈C. {}2,Zx x k k =∈ D. {}21,Zx x k k =+∈3. 已知由小到大排列的4个数据1、3、5、a ，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（ ）A. 9 B. 7C. 5D. 34. 函数()1ln a x xf x =+的图象不可能是（ ） B.A. D.C.5. 在等比数列{}n a 中，1234511a a a a a ++++=，34a =，则1234511111a a a a a ++++=（ ）A.3132B. 3132-.C.1116D. 1116-6. 已知πtan 224α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）A.45 B.35C. 45-D. 35-7. 以抛物线C 的顶点O 为圆心的单位圆与C 的一个交点记为点A ，与C 的准线的一个交点记为点B ，当点A ，B 在抛物线C 的对称轴的同侧时，OA ⊥OB ，则抛物线C 的焦点到准线的距离为（ ）A.B.C.D.8. 如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（ ）A 36B. 32C. 28D. 24二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9. 已知函数()()cos f x x ωϕ=+，0ω>，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 与()g x 对称轴相同 B. ()f x 与()g x 周期相同C. ()()f x g x 的最大值是2ωD. ()()f x g x 不可能是奇函数10. 已知圆1C ：()2221x y ++=，圆2C ：()2234x y -+=，P ，Q 分别是1C ，2C 上的动点，则下列结论正确的是（）.A. 当12//C P C Q 时，四边形12C C QP 的面积可能为7B. 当12//C P C Q 时，四边形12C C QP 的面积可能为8C. 当直线PQ 与1C 和2C 都相切时，PQ的长可能为D. 当直线PQ 与1C 和2C 都相切时，PQ 的长可能为411. 已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()47g x f x --=．若2x =是()g x 的对称轴，且()24g =，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 是奇函数B. ()3,6是()g x 对称中心C. 2是()f x 的周期D.()221130k g k ==∑12. 如图几何体是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90 得到的，已知点G 是圆弧 CE的中点，点H 是圆弧 DF上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）A. 存在点H ，使得CH ⊥平面BDG B. 不存在点H ，使得平面//AHE 平面BDGC. 存在点H ，使得直线EH 与平面BDGD. 不存在点H ，使得平面BDG 与平面CEH 的夹角的余弦值为13三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．13. 双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为y =，则其离心率e =______________．14. 已知向量()1,2a =r，()2,1b =- ，则使()()0a b a b λλ+⋅-< 成立的一个充分不必要条件是______________．的的15. 用试剂a 检验并诊断疾病b ，A 表示被检验者患疾病b ，B 表示判断被检验者患疾病b ．用试剂a 检验并诊断疾病b 的结论有误差，已知()0.9P B A =，()0.8P B A =，且人群中患疾病b 的概率()0.01P A =．若有一人被此法诊断为患疾病b ，则此人确实患疾病b 的概率()P A B =______________．16. 若函数()()()222x xxax b f x =-++的图象关于2x =-对称，则a b +=__________，()f x 的最小值为______________．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17. 数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()()1122n T n n =++．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()1ln nn n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2正方形，PB PD =．（1）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）若2PA =，PB BD =，点E ，F 分别为PB ，PD 的中点，求点E 到平面ACF 的距离．19. ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos a c b C -=．（1）求B ；（2）若3b =，且D 为△ABC 外接圆劣弧AC 上一点，求2AD DC +的取值范围．20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），连接C的四个顶点所得四边形的面积为，且离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆C 的右焦点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问x 轴上是否存在定点的T ，使得TAB 的内心也在x 轴上？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．21. 某区域中的物种C 有A 种和B 种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A 种数目比B 种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C ，统计其中A 种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n 次（其中*n ∈N ），记第i 次试验中的A 种数目为随机变量i X （1,2,,i n =⋅⋅⋅）；③记随机变量11n i i X X n ==∑，利用X 的期望()E X 和方差()D X 进行估算．设该区域中A 种数目为M ，B 种数目为N ，每一次试验都相互独立．（1）已知()()()i j i j E X X E X E X +=+，()()()i j i j D X X D X D X +=+，证明：()()1E X E X =，()()11D X D X n=；（2）该小组完成所有试验后，得到i X 的实际取值分别为i x （1,2,,i n =⋅⋅⋅），并计算了数据i x （1,2,,i n =⋅⋅⋅）的平均值x 和方差2s ，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据210.5s n=．（ⅰ）请用x 和2s 分别代替()E X 和()D X ，估算MN和x ；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求1X 的分布列中概率值最大的随机事件{}1X k =对应的随机变量的取值．22. 已知函数()()()110ex f a x x a ++=≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若方程()()110ex f x --=有1x 、2x 两个根，且120x x +=，求实数a 的值．2023-2024学年度第一学期教学质量检查高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1. 已知复数12i2i z +=-，则z =（ ）A. iB. i-C.D. 【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法可化简复数z .【详解】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5z +++====--+.故选：A.2. 已知集合{}41,Z A x x k k ==+∈，{}41,Z B x x k k ==-∈，则()Z A B ⋃=ð（ ）A. {}4,Z x x k k =∈ B. {}42,Z x x k k =+∈C. {}2,Z x x k k =∈ D. {}21,Zx x k k =+∈【答案】C 【解析】【分析】根据并集和补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}41,Z A x x k k ==+∈，{}41,Z B x x k k ==-∈，所以{}21,Z A B x x k k ⋃==+∈，所以(){}Z 2,Z A B x x k k ⋃==∈ð.故选：C.3. 已知由小到大排列的4个数据1、3、5、a ，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（ ）A. 9 B. 7C. 5D. 3【答案】B 【解析】【分析】求出这四个数的极差与中位数，根据已知条件求出a 的值，然后利用百分位数的定义可求得结果.【详解】由小到大排列的4个数据1、3、5、a ，则5a ≥，这四个数为极差为1a -，中位数为3542+=，因为这4个数据极差是它们中位数的2倍，则124a -=⨯，解得9a =，所以，这四个数由小到大依次为1、3、5、9，因为40.753⨯=，故这4个数据的第75百分位数是5972+=.故选：B.4. 函数()1ln a x xf x =+的图象不可能是（ ） B.A. D.C.【答案】D 【解析】【分析】分0a =，0a >和a<0三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案.【详解】①当0a =时，()1f x x=，此时A 选项符合；②当0a >时，()()1ln ,01ln 1ln ,0a x x xf x a x x a x x x ⎧+>⎪⎪=+=⎨⎪-+<⎪⎩，当0x <时，()()1ln f x a x x=-+，因为函数()1ln ,y a x y x=-=在(),0∞-上都是减函数，所以函数()f x 在在(),0∞-上是减函数，的如图，作出函数()1ln ,y a x y x=-=-在(),0∞-上的图象，由图可知，函数()1ln ,y a x y x=-=-的图象在(),0∞-上有一个交点，即函数()f x 在在(),0∞-上有一个零点，当0x >时，()1ln f x a x x =+，则()2211a ax f x x x x='-=-，由()0f x '>，得1x a >，由()0f x '<，得10x a<<，所以函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，当1a =时，11ln 1f a a a a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，故B 选项符合；③当a<0时，()()1ln ,01ln 1ln ,0a x x xf x a x x a x x x ⎧+>⎪⎪=+=⎨⎪-+<⎪⎩，当0x >时，()1ln f x a x x=+，因为函数1ln ,y a x y x==在()0,∞+上都是减函数，所以函数()f x 在()0,∞+上是减函数，如图，作出函数1ln ,y a x y x==-在()0,∞+上的图象，由图可知，函数1ln ,y a x y x==-的图象在()0,∞+上有一个交点，即函数()f x 在在()0,∞+上有一个零点，当0x <时，()()1ln f x a x x =-+，则()2211a ax f x x x x='-=-，由()0f x '>，得1x a<，由()0f x '<，得10x a <<，所以函数()f x 在1,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，当1a =-时，11ln 1f a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 选项符合，D 选项不可能.故选：D.5. 在等比数列{}n a 中，1234511a a a a a ++++=，34a =，则1234511111a a a a a ++++=（ ）A. 3132 B. 3132-C.1116D. 1116-【答案】C 【解析】【分析】设出公比后整体求值即可.【详解】设首项为1a ，公比为q ，易知1234511a a a a a ++++=，34a =，可得22114(1)11q q q q ++++=，解得22411111q q q q +++=+，而13452221111111111(1)416a a a q q q a a q ++++=++++=，故选：C 6. 已知πtan 224α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）A.45 B.35C. 45-D. 35-【答案】A 【解析】【分析】由两角和的正切公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算即可得.【详解】πtantantan 1π242tan 2π241tan tan 1tan 242ααααα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-⋅-，即1tan 23=α，由222222228cos sin 14922cos cos sin 10225tan 2ta cos si n n 22219ααααααααα--=-====++，故选：A.7. 以抛物线C 的顶点O 为圆心的单位圆与C 的一个交点记为点A ，与C 的准线的一个交点记为点B ，当点A ，B 在抛物线C 的对称轴的同侧时，OA ⊥OB ，则抛物线C 的焦点到准线的距离为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】作出辅助线，得到三角形全等，故2p BM ON ==，从而求出,82p p B ⎛⎫⎪⎝⎭，根据勾股定理列出方程，求出p =，得到答案.【详解】设抛物线方程为()220y px p =>，由题意得1OA OB ==，2p ON =，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，因为OA ⊥OB ，所以90AON BOM ∠+∠=°，又90AON OAN ∠+∠=︒，所以BOM OAN ∠=∠，则OAN ≌OBM ，故2p BM ON ==，令2p y =得，224p px=，解得8p x =，故,82p p B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由勾股定理得22182p p ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得p =故抛物线C .故选：D8. 如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（ ）A. 36B. 32C. 28D. 24【答案】C【解析】【分析】设每个直三棱柱高为a ，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为b ，设正四棱台的高为h ，可得出2132113abh b h ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，求出2a h 的值，即可求得该正四棱台的体积.【详解】设每个直三棱柱高为a ，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为b ，设正四棱台的高为h ，因为每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则2132113abh b h ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得222222336a b h a h b h a h =⋅=⨯=，可得212a h =，所以，该正四棱台的体积为24341121628V a h =+⨯+⨯=+=.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9. 已知函数()()cos f x x ωϕ=+，0ω>，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 与()g x 对称轴相同 B. ()f x 与()g x 周期相同C. ()()f x g x 的最大值是2ωD. ()()f x g x 不可能是奇函数【答案】BC 【解析】【分析】求导得出()g x ，利用三角函数性质直接判断AB ；结合二倍角公式判断C ；结合二倍角公式及正弦函数性质判断D【详解】由题意知()()cos f x x ωϕ=+，所以()()()sin g x f x x ωωϕ=-'=+，对A ：()()cos f x x ωϕ=+的对称轴为πx k ωϕ+=，k ∈Z ，解得πk x ψω-=，k ∈Z ；()()sin g x x ωωϕ=-+的对称轴为ππ2x k ωϕ+=+，k ∈Z ，解得ππ2k x ψω+-=，k ∈Z ，所以()f x 与()g x 的对称轴不相同，故A 错误；对B ：()()cos f x x ωϕ=+的周期为2πT ω=，()()sin g x x ωωϕ=-+的周期为2πT ω=，所以()f x 与()g x 的周期相同，故B 正确；对C ：()()()()()cos sin sin 222f xg x x x x ωωωϕωϕωϕ=-++=-+，因为()[]sin 221,1x ωϕ+∈-，所以()()()sin 22,222f x g x x ωωωωϕ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦，故C 正确；对D ：当22πk ϕ=，k ∈Z ，()()()sin 22sin 222f xg x x x ωωωϕω=-+=-，所以()()()()()sin 2sin 222f xg x x x f x g x ωωωω--=--==-，此时()()f x g x 为奇函数，故D 错误；故选：BC.10. 已知圆1C ：()2221x y ++=，圆2C ：()2234x y -+=，P ，Q 分别是1C ，2C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A. 当12//C P C Q 时，四边形12C C QP 的面积可能为7B. 当12//C P C Q 时，四边形12C C QP 的面积可能为8C. 当直线PQ 与1C 和2C 都相切时，PQ 的长可能为D. 当直线PQ 与1C 和2C 4【答案】ACD 【解析】【分析】对于AB ：设()120,πPC C θ∠=∈，可得梯形12C C QP 的面积为15sin 2θ，进而分析判断；对于CD ：根据切线性质结合对称性分析求解.【详解】圆1C ：()2221x y ++=的圆心()12,0C -，半径11r =；圆2C ：()2234x y -+=的圆心()23,0C ，半径12r =；可知121253C C r r =>=+，可知两圆外离，对于选项AB ：设()120,πPC C θ∠=∈，因为12//C P C Q ，可知梯形12C PQC 的高为12sin 5sin C C θθ⋅=，所以四边形12C C QP 的面积为()115155sin 12sin 222θθ⨯⨯+=≤，可知四边形12C C QP 的面积可能为7，不可能为8，故A 正确，B 错误；对于选项CD ：设直线PQ 与x 轴的交点为M ，根据对称性可知：如图，因为12,PC PM QC QM ⊥⊥，可知12//PC QC ，则112212MC PC MC QC ==，可知25MC C =，所以PQ PM ==如图，因为12,PC PM QC QM ⊥⊥，可知12//PC QC ，则112212MC PC MC QC ==，可知1121533MC C C ==，所以34PQ PM =；故CD 正确；故选：ACD.11. 已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()47g x f x --=．若2x =是()g x 的对称轴，且()24g =，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 是奇函数B. ()3,6是()g x 的对称中心C. 2是()f x 的周期D.()221130k g k ==∑【答案】BD 【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到()()=f x f x -，判断A ；结合已知条件变形得到(2)(4)12g x g x -++=，判断B ；利用赋值法求得()()20f f ≠，判断C ；根据条件得到的()g x 周期为4，对称中心为()3,6，从而得到函数值即可求解，判断D.【详解】对于A ，因为2x =是()g x 的对称轴，所以(2)(2)g x g x -=+，又因为()()25f x g x +-=，所以()()25f x g x -++=，故()()=f x f x -，即()f x 为偶函数，故A 错误；对于B ，因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得(2)(4)12g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点(3,6)中心对称，故B 正确；对于C ，因为()()25f x g x +-=，()24g =，则()045f +=，即()01f =；因为()()47g x f x --=，则()427f --=，即()23f -=-，则()()223f f =--=；显然()()20f f ≠，所以2不是()f x 的周期，故C 错误；对于D ，因为2x =是()g x 的对称轴，所以(6)(2)g x g x -=-，又因为(2)(4)12g x g x -++=，即()()612g x g x +-=，则()()212g x g x +-=，所以()()212g x g x ++=，所以()()22g x g x +=-，即()()4g x g x =+，所以()g x 周期为4，因为()g x 周期为4，对称中心为()3,6，所以()36g =，当4x =时，代入()()47g x f x --=，即()()407g f -=，所以()48g =，所以()()408g g ==，又2x =是()g x 的对称轴，所以()()136g g ==，所以()()2215646864130k g k ==⨯+++++=∑，故D 正确，故选：BD.12. 如图几何体是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90 得到的，已知点G 是圆弧 CE的中点，点H 是圆弧 DF上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）A. 存在点H ，使得CH ⊥平面BDGB. 不存在点H ，使得平面//AHE 平面BDGC. 存在点H ，使得直线EH 与平面BDGD. 不存在点H ，使得平面BDG 与平面CEH 的夹角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】将图形补全为一个正方体ADMF BCNE -，设2AD =，以点A 为坐标原点，AD 、AF 、AB 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】由题意可将图形补全为一个正方体ADMF BCNE -，如图所示：不妨设2AD =，以点A 为坐标原点，AD 、AF 、AB 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()0,0,2B、()2,0,2C 、()2,0,0D 、()0,2,2E 、()0,2,0F，)2G ，设点()2cos ,2sin ,0H αα，其中π02α≤≤，对于A 选项，假设存在点H ，使得CH ⊥平面BDG ，()2cos 2,2sin ,2CH αα=--，()2,0,2DB =-，)BG =，则)44cos 40cos 10CH DB CH BG ααα⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，可得sin 1cos 0αα=⎧⎨=⎩，因π02α≤≤，则π2α=，即当点H 与点F 重合时，CH ⊥平面BDG ，A 对；对于B 选项，由A 选项可知，平面BDG 的一个法向量为()2,2,2FC =-，假设存点H ，使得平面//AHE 平面BDG ，则CF AH ⊥，CF AE ⊥，则4cos 4sin 0440FC AH FC AE αα⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可得tan 1α=，又因为π02α≤≤，解得π4α=，即当点H 为 DF的中点时，面//AHE 平面BDG ，B 错；对于C 选项，若存在点H ，使得直线EH 与平面BDG，则直线EH 与平面BDG=，且()2cos ,2sin 2,2EH αα=--，所以，cos ,EH FC EH FC EH FC ⋅==⋅3sin 24sin 30αα-+=，因为函数()3sin 24sin 3fααα=-+在π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的图象是连续的，且()030f =>，π43102f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，为在所以，存在0π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f α=，所以，存在点H ，使得直线EH 与平面BDG，C 对；对于D 选项，设平面CEH 的法向量为(),,n x y z =，()2,2,0CE =- ，()2cos 2,2sin ,2CH αα=--，则()2202cos 12sin 20n CE x y n CH x y z αα⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,1,sin cos 1n αα=+-，假设存在点H ，使得平面BDG 与平面CEH 的夹角的余弦值为13，则1cos ,3n FC n FC n FC ⋅===⋅ ，可得()2sin cos 11αα+-=，即sin cos 11αα+-=±，可得sin cos 0αα+=或sin cos 2αα+=，因为π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ44α≤+≤πsin 14α⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以，πsin cos 4ααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，故当π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程sin cos 0αα+=和sin cos 2αα+=均无解，综上所述，不存在点H ，平面BDG 与平面CEH 的夹角的余弦值为13，D 对.故选：ACD.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．13. 双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为y =，则其离心率e =______________．【解析】【分析】结合渐近线的定义与离心率定义即可得.【详解】由题意可得b a =，则c e a ======14. 已知向量()1,2a =r，()2,1b =- ，则使()()0a b a b λλ+⋅-< 成立的一个充分不必要条件是______________．【答案】0λ=（答案不唯一）【解析】【分析】根据向量坐标运算公式将原问题转化为11λ-<<的一个充分不必要条件进而求解.【详解】因为()1,2a =，()2,1b =- ，所以()2,21a b λλλ+=-+ ，()2,21a b λλλ-=+-，所以()()()()222441550a b a b λλλλλ+⋅-=-+-=-< ，解得11λ-<<，所以使()()0a b a b λλ+⋅-<成立的一个充分不必要条件是0λ=.故答案为：0λ=（答案不唯一）15. 用试剂a 检验并诊断疾病b ，A 表示被检验者患疾病b ，B 表示判断被检验者患疾病b ．用试剂a 检验并诊断疾病b 的结论有误差，已知()0.9P B A =，()0.8P B A =，且人群中患疾病b 的概率()0.01P A =．若有一人被此法诊断为患疾病b ，则此人确实患疾病b 的概率()P A B =______________．【答案】123【解析】【分析】利用条件概率公式求出()P AB 、()P AB 的值，可得出()P B 的值，再利用条件概率公式可求得()P A B 的值.【详解】由条件概率公式可得()()()0.010.90.009P AB P A P B A ==⨯=，()()110.80.2P B A P B A =-=-=，由条件概率公式可得()()()0.990.20.198P AB P A P B A ==⨯=，所以，()()()0.0090.1980.207P B P AB P AB =+=+=，所以，()()()0.00910.20723P AB P A B P B ===.16. 若函数()()()222x xxax b f x =-++的图象关于2x =-对称，则a b +=__________，()f x 的最小值为______________．【答案】 ①. 34②. 36-【解析】【分析】由函数的对称性可知，方程20x ax b ++=的两根分别为4x =-、6x =-，利用韦达定理可求得a 、b 的值，可得出a b +的值，变形可得出()()()224412f x x xxx =++-，令244t x x =+≥-，利用二次函数的基本性质求出()()12h t t t =-在4t ≥-时的最小值，即可得出函数()f x 的最小值.【详解】因为函数()()()222x xxax b f x =-++的图象关于2x =-对称，令()0f x =，可得220x x -=，可得0x =或2x =，由对称性可知，方程20x ax b ++=的两根分别为4x =-、6x =-，由韦达定理可得()()4646a b --=-⎧⎨-⨯-=⎩，可得1024a b =⎧⎨=⎩，所以，()()()()()()221024246f x x x x x x x x x =-++=-++，则()()()()()()()()()4462246f x x x x x x x x x f x --=------+=-++=，所以，函数()()()()246f x x x x x =-++的图象关于直线2x =-对称，则34a b +=，因为()()()224412f x x xxx =++-，令()224244t x x x =+=+-≥-，令()()()221212636h t t t t t t =-=-=--，所以，()()min 636h t h ==-.故答案为：34；36-.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到方程220x x -=有两个根，利用()f x 的对称性求得20x ax b ++=有对应的两个根，从而求得,a b ，由此得解.四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17. 数列{}n a 前n 项积为n T ，且满足()()1122n T n n =++．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()1ln nn n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】（1）2n n a n += （2）21ln21n n S n +=+【解析】【分析】（1）分1n =和2n ≥两种情况，结合n T 与n a 之间的关系分析求解；（2）由（1）可得()21ln nn n b n+=-，结合分组求和法运算求解.【小问1详解】因为()()1122n T n n =++，若1n =，则113a T ==；若2n ≥，则()()()111222112nn n nn n T n a T n T n n -+++====+；的且13a =符合2n n a n+=，综上所述：数列{}n a 的通项公式2n n a n+=.【小问2详解】由（1）可知：()21lnnn n b n+=-，可得()()12213212422n n n n b b b b b b b b S b -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+35214622ln ln ln ln ln ln 1321242n n n n ++⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()1ln 21ln 1ln21n n n n +=-+++=+，所以21ln21n n S n +=+.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PB PD =．（1）证明：平面PAC ⊥平面（2）若2PA =，PB BD =，点E ，F 分别为PB ，PD 的中点，求点E 到平面ACF 的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由AC BD ⊥，O 为AC 和BD 的中点，PO BD ⊥，得BD ⊥平面PAC ，可证得平面PAC ⊥平面PBD ；（2）证明PA AB ⊥，PA AD ⊥，以A 为原点，建立空间直角坐标系，向量法求点到平面的距离.【小问1详解】连接,AC BD ，AC 与BD 相交于点O ，连接PO ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，则AC BD ⊥，O 为AC 和BD 的中点，PB PD =，则PO BD ⊥，,PO AC ⊂平面PAC ，PO AC O = ，BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD【小问2详解】四边形ABCD 是边长为2的正方形，PB PD BD ===，2PA =，222PA AB PB +=，222PA AD PD +=，则有PA AB ⊥，PA AD ⊥，以A 为原点，,,AP AB AD 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,2C ，()1,1,0E ，()1,0,1F ，()0,2,2AC = ， ()1,0,1AF = ，设平面ACF 的一个法向量为(),,n x y z =，则有220n AC y z n AF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，得1,1y z ==-，即()1,1,1n =- .()1,1,0AE = ，点E 到平面ACF的距离n AE d n⋅=== .19. ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos a c b C -=．（1）求B ；（2）若3b =，且D 为△ABC 外接圆劣弧AC 上一点，求2AD DC +的取值范围．【答案】（1）π3（2）(3,6)【解析】【分析】（1）根据题意，由余弦定理化简得222a c b ac +-=，得到1cos 2B =，即可求解；（2）设ACD α∠=，得到π3CAD α∠=-，得到π,sin()3AD CD αα==-，得出26cos AD DC α+=，进而求得2AD DC +的取值范围.【小问1详解】解：因为22cos a c b C -=，由余弦定理得222222a b c a c b ab +--=⋅，整理得222a cb ac +-=，可得2221cos 22a cb B ac +-==，又因为(0,π)B ∈，可得π3B =.【小问2详解】解：由圆内接四边形性质，可得2π3D ∠=，设ACD α∠=，则π3CAD α∠=-，在ADC △中，由正弦定理得sin sin sin(60)AC AD CD D αα====∠-所以π,sin()3AD CD αα==-，所以π2sin()6cos 3AD DC ααα+=+-=，因为π03α<<，可得1cos (,1)2α∈，可得6cos (3,6)α∈，所以2AD DC +的取值范围为(3,6).20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），连接C的四个顶点所得四边形的面积为，且离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆C 的右焦点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问x 轴上是否存在定点T ，使得TAB 的内心也在x 轴上？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）存在；()2,0T 【解析】【分析】（1）根据题意中几何关系及离心率可以求出,a b 的值，从而求解.（2）设出直线l 方程1x my =+，然后与椭圆联立，根据TAB 的内心在x 轴上，可得0AT BT k k +=并结合根与系数的关系，从而求解.【小问1详解】由题意得222ab ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】因为直线l 过右焦点()1,0F 且斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222210m y my ++-=，()()()2222421880m m m ∆=-+-=+>恒成立，所以12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，设x 轴上存在定点(),0T t 使得TAB 的内心在x 轴上，则直线TA 和TB 关于x 轴对称，所以直线TA 和TB 的倾斜角互补，所以0AT BT k k +=，即12120AT BT y yk k x t x t+=+=--，所以()()12210y x t y x t -+-=，即()()1122110y my t y my t +-++-=，整理得()()1212210my y t y y +-+=，即()2221222120222m t m t m m m m ---⨯+-⨯=⨯=+++，即()220m t -=对所有m ∈R 恒成立，所以2t =，所以存在定点()2,0T 符合题意.【点睛】方法点睛：根据TAB 的内心在x 轴上得到直线TA 和TB 的倾斜角互补，即0AT BT k k +=，再由直线与椭圆联立后利用根与系数关系得到相应的等式，从而求解.21. 某区域中的物种C 有A 种和B 种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A 种数目比B 种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C ，统计其中A 种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n 次（其中*n ∈N ），记第i 次试验中的A 种数目为随机变量i X （1,2,,i n =⋅⋅⋅）；③记随机变量11ni i X X n ==∑，利用X 的期望()E X 和方差()D X 进行估算．设该区域中A 种数目为M ，B 种数目为N ，每一次试验都相互独立．（1）已知()()()i j i j E X X E X E X +=+，()()()i j i j D X X D X D X +=+，证明：()()1E X E X =，()()11D X D X n=；（2）该小组完成所有试验后，得到i X 的实际取值分别为i x （1,2,,i n =⋅⋅⋅），并计算了数据i x （1,2,,i n =⋅⋅⋅）的平均值x 和方差2s ，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据210.5s n=．（ⅰ）请用x 和2s 分别代替()E X 和()D X ，估算MN和x ；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求1X 的分布列中概率值最大的随机事件{}1X k =对应的随机变量的取值．【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）37M N =，15x =；（ⅱ）15【解析】【分析】（1）根据题意结合期望、方差的性质分析证明；（2）（ⅰ）根据（1）中结论结合二项分布的期望和方差公式运算求解；（ⅱ）根据二项分布的概率公式列式运算求解即可.【小问1详解】由题可知i X （1i =，2，…，n ）均近似服从完全相同的二项分布，则()()()12n E X E X E X ==⋅⋅⋅=，()()()12n D X D X D X ==⋅⋅⋅=，()()()()111111111n n ni i i i i i E X E X E X E X nE X E X n n n n ===⎛⎫⎛⎫====⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，()()()()1111122211111n n i ni i i i i D X D X D X D X nD X D X n n nn n===⎛⎫⎛⎫====⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，所以()()1E X E X =，()()11D X D X n=.【小问2详解】（ⅰ）由（1）可知1~50,M X B M N ⎛⎫⎪+⎝⎭，则1X 的均值()150M E X M N =+，1X 的方差()150M ND X M N M N=⨯⋅++，所以25010.5()()MN D X n M N n ==+，解得37M N =或73M N =，由题意可知：0M N ≤<，则01MN≤<，所以37M N =，()()15015M x E X E X M N====+；（ⅱ）由（ⅰ）可知：0.3MM N=+，则()150,0.3X B :，则()()50150C 0.310.3,0,1,2,,50mmm PX m m -==⋅⋅-=⋅⋅⋅，由题意可知：()()()()50491150505051115050C 0.310.3C 0.310.3C 0.310.3C 0.310.3k k k k k k k k k k k k --++----⎧⋅⋅-≥⋅⋅-⎪⎨⋅⋅-≥⋅⋅-⎪⎩，解得14.315.3k≤≤，且*k ∈N ，则15k =，所以1X 的分布列中概率值最大的随机事件{}1X k =对应的随机变量的取值为15.【点睛】关键点睛：本题关键是利用二项分布求期望和方差，以及利用期望和方差的性质分析求解.22. 已知函数()()()110ex f a x x a ++=≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若方程()()110ex f x --=有1x 、2x 两个根，且120x x +=，求实数a 的值．【答案】（1）答案见解析 （2）1a =【解析】【分析】（1）求得()1e x axf x +-'=，分0a >、0a <两种情况讨论，利用函数单调性与导数的关系可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）将原方程转化为()()110exa x x +--=，再将1x 、2x 分别代入其中，得到1a =±，然后讨论1a =、1a =-时，判断方程()()110exa x x +--=根的个数，再构造函数，求导，进而即可求解.【小问1详解】解：函数()()()110e x a x f x a ++=≠的定义域为R ，()()111e ex x a a x ax f x ++-+==-'.当0a >时，由()0f x '>可得0x <，由()0f x '<可得0x >，此时，函数()f x 的增区间为(),0∞-，减区间为()0,∞+；当0a <时，由()0f x '>可得0x >，由()0f x '<可得0x <，此时，函数()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+.综上所述，当0a >时，函数()f x 的增区间为(),0∞-，减区间为()0,∞+；当0a <时，函数()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+.【小问2详解】解：由()()11e x a x f x ++=，则方程()()11110e ex a x x ++--=的两根分别为1x 、2x ，等价于方程()()110exa x x +--=的两根分别为1x 、2x ，所以，()()111110ex a x x +--=，①，()()122110ex a x x +--=，②，因为120x x +=，将21x x =-代入②式可得()()111110ex a x x --+---=。
江苏省常州市高级中学2025届数学高三第一学期期末考试试题含解析
江苏省常州市高级中学2025届数学高三第一学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为23，则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．2B ．233C ．73D ．2132．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．124．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45-C ．35D ．355．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1036．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 7．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位8．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（ ） A ．45B ．105C ．150D ．2109．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A ．2B ．2C ．1D ．310．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．1010202111．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ）A ．55B ．35C ．79D ．23512．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年北京市朝阳区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京朝阳区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 1．已知全集U ＝{x |x ＞0}，集合A ＝{x |1＜x ＜2}，则∁U A ＝（ ） A ．（﹣∞，1]∪[2，+∞） B ．（0，1]∪[2，+∞） C ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D ．（0，1）∪（2，+∞）2．在复平面内，复数（1+i ）（a ﹣i ）对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣∞，1）C ．（﹣1，+∞）D ．（1，+∞）3．函数f(x)={x 2+2x −3，x ≤0，e x−2，x ＞0的零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的倾斜角为60°，则双曲线的离心率为（ ） A ．√52B ．2√33C ．√3D ．25．在△ABC 中，“sin2A ＝sin2B ”是“△ABC 为等腰三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．过直线y ＝kx ﹣2上任意一点，总存在直线与圆x 2+y 2＝1相切，则k 的最大值为（ ） A ．√3B ．√2C ．1D ．√337．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），若g （x ）•f （x ）＝1，且函数g （x ）的部分图象如图所示，则φ等于（ ）A ．−π3B ．−π6C ．π6D ．π38．2022年10月31日，长征五号B 遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v （单位：km /s ）和燃料的质量M （单位：t ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：t ）的关系满足v =2000ln(1+Mm )，M ，m ，v 之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．当M ＝3，m ＝800时，v ＞7.9B ．当M ＝2，m ＜600时，v ＜7.9C ．当M ＞5，m ＝800时，v ＞11.2D ．当M ＞3，m ＞600时，v ＞11.29．已知A ，B ，C 是单位圆上不同的三点，AB ＝AC ，则AB →⋅AC →的最小值为（ ） A ．0B ．−14C ．−12D ．﹣110．在数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝ka n 2+1（n ∈N *），若存在常数c ，对任意的n ∈N *，都有a n ＜c 成立，则正数k 的最大值为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12二、填空题共5题，每题5分，共25分。
北京市西城区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学（答案在最后）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}13A x x =-<<，{}24B x x =≥，则A B = （）A.()1,-+∞B.(]1,2-C.(](),21,-∞--+∞D.(](),21,3-∞-- 2.在复平面内，复数2i i-对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设a ，b ∈R ，且a b >，则（）A.11a b< B.tan tan a b> C.32a b-<- D.a a b b>4.已知双曲线C 的一个焦点是()10,2F ，渐近线为y =，则C 的方程是（）A.2213y x -= B.2213x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=5.已知点()0,0O ，点P 满足1PO =.若点(),4A t ，其中t ∈R ，则PA 的最小值为（）A.5B.4C.3D.26.在ABC △中，60B ∠=︒，b =，2a c -=，则ABC △的面积为（）A.2B.4 C.32D.347.已知函数()1ln1xf x x+=-，则（）A.()f x 在()1,1-上是减函数，且曲线()y f x =存在对称轴B.()f x 在()1,1-上是减函数，且曲线()y f x =存在对称中心C.()f x 在()1,1-上是增函数，且曲线()y f x =存在对称轴D.()f x 在()1,1-上是增函数，且曲线()y f x =存在对称中心8.设a ，b 是非零向量，则“a b <”是“2a b b ⋅< ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.设{}n a 是首项为正数，公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为n S .若存在无穷多个正整数k ，使0k S ≤，则q 的取值范围是（）A.(),0-∞ B.(],1-∞- C.[)1,0- D.()0,110.如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF ，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板111111A B C D E F .若其中三根柱子1AA ，1BB ，1CC 的高度依次为12m ，9m ，10m ，则另外三根柱子的高度之和为（）A.47mB.48mC.49mD.50m第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在(4x -的展开式中，2x 的系数为______.（用数字作答）12.设0ω>，函数()sin f x x ω=.若曲线()y f x =关于直线6x π=对称，则ω的一个取值为______.13.已知函数()()222log log 4f x x x =--，则()f x 的定义域是______；()f x 的最小值是______.14.已知抛物线C ：28y x =.①则C 的准线方程为______.②设C 的顶点为O ，焦点为F .点P 在C 上，点Q 与点P 关于y 轴对称若OF 平分PFO ∠，则点P 的横坐标为______.15.设a ∈R ，函数()322,,,.x x a f x x a x a ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩给出下列四个结论：①()f x 在区间()0,+∞上单调递减；②当0a ≥时，()f x 存在最大值；③当0a <时，直线y ax =与曲线()y f x =恰有3个交点；④存在正数a 及点()()11,M x f x （1x a >）和()()22,N x f x （2x a ≤），使1100MN ≤.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）已知函数()22sin cos 2cos f x a x x x =-的一个零点为6π.（Ⅰ）求a 的值及()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()m f x M ≤≤对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的最大值和M 的最小值.17.（本小题13分）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.（Ⅰ）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；（Ⅱ）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记X 为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1x ，2x ，3x ，4x ，其方差为21s ；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1y ，2y ，3y ，4y ，其方差为22s ；1x ，2x ，3x ，4x ，1y ，2y ，3y ，4y 的方差为23s .写出21s ，22s ，23s 的大小关系.（结论不要求证明）18.（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面PAD ，E 为PA 中点，2PD AD ==.（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求直线DE 与平面PBC 所成角的大小；（Ⅲ）求四面体PEBC 的体积.19.（本小题15分）已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，且经过点()2,1C .（Ⅰ）求E 的方程：（Ⅱ）过点()0,1N 的直线交E 于点A ，B （点A ，B 与点C 不重合）.设AB 的中点为M ，连接CM 并延长交E 于点D .若M 恰为CD 的中点，求直线AB 的方程.20.（本小题15分）已知函数()e axf x x=，其中0a >.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，判断()()12f x f x -与1211x x -的大小，并说明理由.21.（本小题15分）给定正整数3N ≥，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 满足如下三个性质：①{},1,2,,i i x y N ∈⋅⋅⋅，且i i x y ≠（1,2,,i m =⋅⋅⋅）；②1i i x y +=（1,2,,1i m =⋅⋅⋅-）；③(),p q 与(),q p 不同时在数对序列A 中.（Ⅰ）当3N =，3m =时，写出所有满足11x =的数对序列A ；（Ⅱ）当6N =时，证明：13m ≤；（Ⅲ）当N 为奇数时，记m 的最大值为()T N ，求()T N .北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.C2.A3.D4.D5.C6.B7.D8.A9.B10.A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.1213.3（答案不唯一）13.()4,+∞14.2x =-215.①②④三、解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（Ⅰ）由题设22sincos 2cos 0666a πππ-=，解得a =所以()2cos 2cos f x x x x=-2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤.所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，即22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭.当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1，当266x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值2-.由题设2m ≤-，且1M ≥.所以m 的最大值是2-；M 的最小值是1.17.（共13分）解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A ，则()803032008020P A =⨯=.（Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为208280⨯=，所以X 的所有可能取值为0，1，2.()3638C 50C 14P X ===，()122638C C 151C 28P X ===，()212638C C 32C 28P X ===.所以X 的分布列为X012P5141528328故X 的数学期望515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）222231s s s <<.18.（共14分）解：（Ⅰ）因为PD AD =，E 为PA 中点，所以DE PA ⊥.又因为平面PAB ⊥平面PAD ，平面PAB 平面PAD PA =，且DE ⊂平面PAB .所以DE ⊥平面PAB .所以DE AB ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AB ⊥.所以AB ⊥平面PAD .（Ⅱ）因为AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD .又PD⊥平面ABCD ，所以DA ，DC ，DP 两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2P ，()1,0,1E .所以()2,0,0CB = ，()0,2,2CP =- ，()1,0,1DE =.设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0.m CB m CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,220.x y z =⎧⎨-+=⎩令1y =，则1z =.于是()0,1,1m =.设直线DE 与平面PBC 所成角为α，则1sin cos ,2m DE m DE m DE α⋅===⋅ .所以直线DE 与平面PBC 所成角的大小为30°.（Ⅲ）因为()1,0,1EP =-，所以点E 到平面PBC 的距离为22m EP d m⋅==.因为CB CP ⊥，所以四面体PEBC 的体积为11123323PBC V S d CB CP d =⋅=⋅⋅⋅⋅=△.19.（共15分）解：（Ⅰ）由题设，222223,2,411,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得28a =，22b =.所以椭圆E 的方程为22182x y +=.（Ⅱ）若直线AB 与y 轴重合，则点M 与原点重合，符合题意，此时直线AB 的方程为0x =.若直线AB 与y 轴不重合，设其方程为1y kx =+.由221,48y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()2241840k x kx ++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122841kx x k -+=+.所以1224241M x x k x k +-==+，21141M M y kx k =+=+.因为M 是CD 的中点，所以282241D M C k x x x k -=-=-+，222141D M C y y y k =-=-+.因为2248D D x y +=，所以222282241804141k k k -⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.整理得340k k +=.解得0k =.但此时直线AB 经过点C ，不符合题意，舍去.综上，直线AB 的方程为0x =.20.（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =，所以()()21e xx f x x -='.所以()1e f =，()10f '=.所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为e 0y -=.（Ⅱ）()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞ ，且()()21e ax ax f x x -='.令()0f x '=，得1x a=.()f x '与()f x 的情况如下：x (),0-∞10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '－－＋()f x所以()f x 的单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；单调递减区间为(),0-∞和10,a ⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，()()121211f x f x x x -<-，证明如下：令()()1g x f x x=-，则()()211ax ax e g x x -+='.设()()1e 1axh x ax =-+，则()2e axh x a x ='.所以当(),0x ∈-∞时，()0h x '<；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>.所以()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.从而()()00h x h >=，即()0g x '>.所以()g x 的单调递增区间为(),0-∞和()0,+∞.当120x x <<时，()()12g x g x <，即()()121211f x f x x x -<-；当120x x <<时，()()12g x g x <，即()()121211f x f x x x -<-.综上，当12x x <且120x x ⋅>时，()()121211f x f x x x -<-.21.（共15分）解：（Ⅰ）A ：()1,2，()2,3，()3,1，或A ：()1,3，()3,2，()2,1.（Ⅱ）因为(),p q 和(),q p 不同时出现在A 中，故2615m C ≤=，所以1，2，3，4，5，6每个数至多出现5次.又因为1i i x y +=（1,2,,1i m =⋅⋅⋅-），所以只有1x ，m y 对应的数可以出现5次，故()14425132m ≤⨯⨯+⨯=.（Ⅲ）当N 为奇数时，先证明()()221T N T N N +=++.因为(),p q 和(),q p 不同时出现在A 中，所以()()21C 12N T N N N ≤=-.当3N =时，构造A ：()1,2，()2,3，()3,1恰有23C 项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N ，如果可以构造一个恰有2C N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数2N +而言，可按如下方式构造满足条件的序列A '：首先，对于如下21N +个数对集合：()(){}1,1,1,1N N ++，()(){}1,2,2,1N N ++，()(){}2,1,1,2N N ++，()(){}2,2,2,2N N ++，……，()(){},1,1,N N N N ++，()(){},2,2,N N N N ++，()(){}1,2,2,1N N N N ++++每个集合中都至多有一个数对出现在序列A '中，所以()()221T N T N N +≤++.其次，对每个不大于N 的偶数{}2,4,,1i N ∈⋅⋅⋅-，将如下4个数对并为一组：()1,N i +，(),2i N +，()2,1N i ++，()1,1i N ++，共得到12N -组，将这12N -组数对以及()1,1N +，()1,2N N ++，()2,1N +按如下方式补充到A 的后面，即：A ，()1,1N +，()1,2N +，()2,2N +，()2,3N +，()3,1N +，…，()1,1N N +-，()1,2N N -+，()2,N N +，(),1N N +，()1,2N N ++，()2,1N +.此时恰有()21T N N ++项，所以()()221T N T N N +=++.综上，当N 为奇数时，()()()()()()()()()()()224533T N T N T N T N T N T T T =--+---+⋅⋅⋅+-+。
山东济南市历城第二中学2024年高三数学第一学期期末考试试题含解析
山东济南市历城第二中学2024年高三数学第一学期期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( ) A ．13(,)34 B ．13(,)24 C ．1(,1)3 D ．1(,1)22．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ）A ．45B ．45-C ．45±D ．353．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020215．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．16．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ）A ．21,2n n n ∀>>B ．21,2n n n ∃≤≤C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤ 8．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格9．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 3，则双曲线的渐近线方程为（）A ．3y x =B ．2y x =±C ．y x =±D ．2y x =±10．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥ 11．若直线不平行于平面，且，则（ ） A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交12．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321B ．322C ．251D ．252二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市东城区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题(含答案)
北京市东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测高 三 数 学 2023.1本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{12}A x x =-<<，{1}B x x =≤，则AB =（A ）(,2)-∞（B ）(1,)-+∞（C ）(1,1]- （D ）[1,2) （2）在下列函数中，为偶函数的是（A ）()cos f x x x =- （B ）()cos f x x x =（C ）()ln f x x = （D ）()f x =（3）在1()nx x+的展开式中，若第3项的系数为10，则n =（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （4）在等比数列{}n a 中，11a =，238a a =，则7a =（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）64（5）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一. 其 中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北 向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个 重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有 故宫的概率为（A ）111 （B ）19 （C ）311 （D ）13（6）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O 交于点P ，PM x ⊥轴，垂足为M ．若OMP △的面积为625，则sin2α= （A ）625（B ）1225 (C)1825（D ）2425（7）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其渐近线方程为2y x =±，P 是C 上一点，且12PF PF ⊥.若△12PF F 的面积为4，则C 的焦距为（A ）（B ） （C ） （D ）（8）在△ABC 中，“对于任意1t ≠，BA tBC AC ->”是“△ABC 为直角三角形”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9）在平面直角坐标系xOy 中，若点(,)P a b 在直线430ax by a +++=上，则当,a b 变化时，直线OP 的斜率的取值范围是（A ）3(,[,)3-∞+∞ （B ）[（C ）5(,][,)22-∞-+∞ （D ）[,22- （10）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， Q 是棱1DD 上的动点，下列说法中正确的是①存在点Q ，使得11//C Q AC ； ②存在点Q ，使得11C Q AC ⊥；③对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离为定值； ④对于任意点Q ，△1ACQ 都不是锐角三角形. （A ）① ③ （B ）② ③ （C ）② ④ （D ）① ④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分． （11）若复数z 满足(i)i 3z +=-，则____.z =（12）已知函数()cos f x x x =-，则()3f π= ；若将()f x 的图象向左平行移动6π个单位长度后得到()g x 的图象，则()g x 的一个对称中心为 . （13）经过抛物线22(0)ypx p =>焦点F 的直线与抛物线交于不同的两点,A B ，经过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，则点B 的纵坐标B y 与点D 的纵坐标D y 的大小关系为B y D y .(用“>”“<”“=”填写）（14）设函数21,,()1,.x x a f x x a x a ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩当0a =时，()f x 的值域为__________；若()f x 的最小值为1，则a 的取值范围是___________.（15）对于数列{}n a ，令11234(1)n n n T a a a a a +=-+-++-L ，给出下列四个结论：①若n a n =，则20231012T =； ②若n T n =，则20221a =-；③存在各项均为整数的数列{}n a ，使得1n n T T +>对任意的n *∈N 都成立； ④若对任意的N n *∈，都有n T M <，则有12n n a a M +-<.其中所有正确结论的序号是 .三、解答题共6小题，共85分。
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2017年高三教学测试（一）
数学试题卷
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;
2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+．
如果事件A ，B 相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅．
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，
那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次
的概率
),,2,1,0()
1()(n k p p C k P k
n k
k n
n =-=- ．
球的表面积公式 2
4R S π=，
其中R 表示球的半径． 球的体积公式
3
3
4R V π=
， 其中R 表示球的半径． 棱柱的体积公式 Sh V =，
其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．
棱锥的体积公式
Sh V 3
1
=
， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的
高．
棱台的体积公式
)(3
1
2211S S S S h V ++=
， 其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积，
h 表示棱台的高．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．若复数i 1i
1++=m z 是实数，则实数=m A .1
B .2
C .
2
1 D .
2
3 2．若R ∈a ，则“0>a ”是“21
≥+a
a ”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
3．已知直线b a ,和平面α，则下列命题正确的是 A ．若b a //，α//b ，则α//a
B ．若b a ⊥，α⊥b ，则α//a
C ．若b a //，α⊥b ，则α⊥a
D ．若b a ⊥，α//b ，则α⊥a
4．设数列{}n a 是等差数列，且6,282=-=a a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则=9S A ．27
B ．18
C ．20
D ．9
5．21sin ，21
cos ，21tan 的大小关系为
A ．21
tan 21cos 21sin <<
B ．21
tan 21sin 21cos <<
C ．2
1
cos 21tan 21sin <<
D ．2
1cos 21sin 21tan
<< 6．已知任意两个向量a ，b 不共线．
若b a OA +=，b a OB 2+=，b a OC -=2，b a OD -=，则下列结论正确的是 A ．C B A ,,三点共线
B ．D B A ,,三点共线
C ．
D C A ,,三点共线 D ．D C B ,,三点共线 7．下列函数中既是奇函数，又在区间]1,1[-上单调递增的是
A ．2
1
)(-=x x f
B ．)2
2sin()(π+
=x x f
C ．x x x f -+=33)(
D ．x x x f tan )(+=
8．若55544332210)12()12()12()12()12(x x a x a x a x a x a a =-+-+-+-+-+，则=2a A ．
4
5 B ．
8
5 C ．
16
5 D ．
32
5 9．如图，ABC ∆中，BC AB =，︒=∠120ABC ，若以B A ,为
焦点的双曲线的渐近线经过点C ，则该双曲线的离心率为 A ．
3
3
2 B ．
3 C ．
2
5 D ．
2
7 10．已知R ,,∈c b a ，c b a >>，0=++c b a ．若实数y x ,满
足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥++≤+≥,0,4,
0c ay bx y x x 则目标函数y x z +=2，
A ．有最大值，无最小值
B ．无最大值，有最小值
C ．有最大值，有最小值
D ．无最大值，无最小值
二、填空题：本大题共7题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11．已知集合}2|1||{≤-=x x M ，}12|{>=x x N ，
则=⋂N M ▲ ，=⋃N C M R ▲ ．
12．已知某三棱锥的的三视图（单位：cm ）如右图所示，则此
三棱锥的体积是 ▲ 3cm ，表面积是 ▲ 2cm ．
13．已知βα,都是锐角，71cos =α，14
11
)cos(-=+βα，
则=αtan ▲ ，=βcos ▲ ．
14．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则恰好选到2名男生和1名女生的
概率为 ▲ ，所选3人中至少有1名女生的概率为 ▲ ．
15．已知椭圆)0(2222
>>=+b a b
y a x 的两焦点为21,F F ，B A ,分别是椭圆的左顶点和上顶
点，若线段AB 上存在点P ，使21PF PF ⊥，则椭圆的离心率的取值范围为 ▲ ． 16．设1>a ，若对于任意的]2,[a a x ∈，都有],[2a a y ∈满足方程3log log =+y x a a ，则此
A B
C
（第9题图）
正视图 侧视图
俯视图
（第12题图）
时a 的取值集合为 ▲ ．
17．如图，已知F E ,分别是正方形ABCD 的边CD AB ,的中点，现将正方形沿EF 折成︒
60的二面角，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值是 ▲ ．
三、解答题：本大题共5题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．（本题满分14分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A
B C
B c b a sin sin sin sin ++=
-． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若7=a ，c b 2=，求ABC ∆的面积．
19．（本题满分15分）
已知单调递增的等比数列}{n a 满足28432=++a a a ，且23+a 是2a ，4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）若n n n a a b 2
1log =，数列}{n b 的前n 项为n S ，求使5021>⋅++n n n S 成立的正整
数n 的最小值．
.
A B
C
D E F
A B
C
D E F
（第17题图）
20．（本题满分15分）
如图，平面⊥ABE 平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，︒=∠90CBA ，
EF BC AD ////，ABE ∆为等边三角形，32=AB ，2=BC ，4=AD ，3=EF ．
（Ⅰ）求证：平面⊥CDF 平面ABCD ； （Ⅱ）求直线AF 与平面CDF 所成角的正切值．
21．（本题满分15分）已知过抛物线x y 42=的焦点F 的直线l 交抛物线于B A ,两点．
（Ⅰ）求F 点坐标；
（Ⅱ）试问在x 轴上是否存在一点T （不与F 重合），使BTF ATF ∠=∠？若存在，求出T 点坐标；若不存在，请说明理由.
（Ⅲ）若P 是抛物线上异于B A ,的任意一点，1l 是抛物线的准线，直线PB PA ,分别交1l 于点N M ,，求证：⋅为定值，并求出该定值.
22．（本题满分15分）已知函数x x x f ln )(-=，x
x
x g ln )(=
． （Ⅰ）求)(x f 的最小值； （Ⅱ）求证：)()(x g x f >； （Ⅲ）若0)(≥++b ax x f ，求
1
1
++a b 的最小值． （第20题图）
F
D
C
E
B
A。