添加辅助线构造全等三角形

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全等三角形添加辅助线的方法

全等三角形添加辅助线的方法要向一个全等三角形添加辅助线，只需在三角形内或外画直线，以切割或连接三角形的一些部分。

这些辅助线可以帮助我们更好地理解和分析三角形的特性和属性。

接下来，我将介绍几种常见的方法来添加辅助线。

1.三角形中线：连接每个顶点与对边中点的线段。

这条线段将三角形划分为两个全等的三角形。

它们的边长相等，角度相等。

2.三角形的角平分线：从每个顶点作出形成该顶点角的两个邻边的角平分线。

这些角平分线会相交于三角形内部的一点，该点是三角形内角平分线的交点。

3.三角形的高线：从每个顶点作出与对边垂直相交的线段。

这些线段的交点将构成三角形的三条高线，它们的长度相等，且垂直于对边。

4.三角形的中线：从每个顶点作出与对边平行的线段。

这些线段的交点将构成三角形的三条中线，它们的长度相等，且平行于对边。

5.三角形的中心：连接三角形的三个顶点与重心的线段。

重心是三角形内部所有高线的交点。

三角形的重心被定义为三边中点的连线的交点，其坐标为三个顶点的坐标之和的1/3这些辅助线有助于我们更好地理解和分析全等三角形的特性和属性。

它们可以帮助我们推导出一些重要的结论和公式，还可以用于证明和解决三角形的相关问题。

例如，通过添加辅助线可以证明全等三角形的性质：全等三角形的对应边长相等，对应角度相等，对应角内的三角形也全等。

此外，辅助线还可以帮助我们解决一些基于全等三角形的问题。

比如，如果两个三角形的一对对应边长和一对对应角度都相等，我们可以利用辅助线来证明它们是全等三角形。

因此，通过添加辅助线，我们可以更好地理解和分析全等三角形的性质和问题。

在解决相关问题时，辅助线可以作为重要的工具来简化问题和得出正确的答案。

[数学]-必考点06 添加辅助线构造全等三角形的技巧-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八

必考点06 添加辅助线构造全等三角形的技巧●题型一添加公共边构造全等三角形【例题1】如图，AB＝AC，BD＝CD．（1）求证：∠B＝∠C（2）若∠A＝2∠B，求证：∠BDC＝4∠C．【例题2】如图，已知CA＝CB，AD＝BD，M，N分别是CB，CA的中点，求证：DN＝DM．【例题3】（2022秋•韩城市月考）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE 相交于点F，且AB＝AD，AC＝AE，连接CD，EB．（1）求证：∠CAD＝∠EAB；（2）试判断CF与EF的数量关系，并说明理由．【解题技巧提炼】当图形中直接证明全等条件不够时，有时可以连接公共边构造全等三角形，再利用全等三角形的判定与性质解决问题.●题型二巧用角平分线构造全等三角形【例题4】如图，AD∥BC，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为D，交BC于点C．试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？【例题5】（2021春•酒泉期末）如图所示，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC延长线于点G．求证：BF＝CG．【例题6】感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC．探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC．应用：如图③，四边形ABCD中，∠B＝60°，∠C＝120°，DB＝DC＝a，求AB﹣AC的值（用含a的代数式表示）【解题技巧提炼】当题中出现角平分线的条件或结论时，常向角的两边作垂线段，构造全等三角形，在利用全等三角形的判定和性质解决问题.●题型三“倍长中线法”构造全等三角形【例题7】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D 是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．（1）求证：△ADC≌△EDB证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD在△ADC和△EDB中AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（）CD＝BD（中点定义）∴△ADC≌△EDB（）（2）探究得出AD的取值范围是；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长．【例题8】（2022春•碑林区校级期末）问题提出:（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，连接CD并延长至E，使得DE＝CD，连接EB，根据SAS可证△CDA≌△EDB，从而得到∠A＝∠EBD，进而得到AC∥EB，再由∠ACB＝90°，得到∠EBC＝90°，再根据SAS可证△ABC≌△ECB，从而得到AB与CD之间的数量关系为．问题解决（2）如图②，在△ABC中，过点C作CA'⊥CA，CB'⊥CB，使得CA'＝CA，CB'＝CB，连接A'B'，E为A'B'的中点．连接CE，求证：CE=12AB；【解题技巧提炼】当三角形中有中点或中线时，常倍长中线，构造全等三角形，转换边、角条件，从而将分散的边、角集中在一个图形中，使问题得到解决．●题型四利用“截长补短法”构造全等三角形【例题9】（2021秋•五峰县期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等．这两种方法统称截长补短法．请用这两种方法分别解决下列问题：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点，求证：AB﹣AC＞PB﹣PC．【例题10】（2021秋•泊头市期中）[阅读]在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系，截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．[应用]把两个全等的直角三角形的斜边重合，∠CAD＝∠CBD＝90°，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，证明：AM+BN＝MN；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长CB到点E，使BE＝AM，连接DE，先证明△DAM≌△DBE，再证明△MDN≌△EDN，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图③，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系？证明你的结论．【解题技巧提炼】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系，截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．●题型五利用“一线三等角模型”构造全等三角形【例题11】如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，6），求点A的坐标．【例题12】已知C，D过∠BCA顶点的一条直线，CA＝CB，E，F是直线CD上的两点，且∠BEC＝∠CF A．（1）如图（1），若∠BCA＝90°，∠BEC＝∠CF A＝90°，则BE＝CF（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）如图（2），∠BCA+∠BEC＝180°，则（1）中的结论是否成立？为什么？（3）如图（3），若∠BEC＝∠CF A＝∠BCA，则线段EF，BE，AF之间有何数量关系？说明理由．【解题技巧提炼】“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形，这个角可以是直角也可以是锐角或钝角，有些时候我们也称之为“M型”“三垂直”等.“一线三等角”----三垂直全等模型辅助线如何构造: 图形中存在“一线二等角”,补上“一等角”构造模型解题.◆◆题型一添加公共边构造全等三角形1．如图：已知AD、BC相交于O，且AB＝CD，AD＝CB．求证：∠B＝∠D．2．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，则∠A＝∠C，请说明理由；AB与CD相互平行吗？为什么？3．如图，在Rt△ACB和Rt△AED中，已知AB＝AD，∠1＝∠2，求证：EG＝CG．◆◆题型二巧用角平分线构造全等三角形4．已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，DB＝DA，DM⊥BE于M．（1）求证：AC＝BM+CM；（2）若AC＝10，BC＝6，求CM的长．5．（2021秋•东莞市校级期末）如图，∠B＝90°，∠C＝90°，E为BC中点，DE平分∠ADC．（1）求证：AE平分∠DAB；（2）求证：AE⊥DE；（3）求证：DC+AB＝AD．◆◆题型三“倍长中线法”构造全等三角形6．如图，△ABC中，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．7．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，CD＝AB，AE是△ABD的边BD上的中线．求证：AC＝2AE．◆◆题型四利用“截长补短法”构造全等三角形8.（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF＝BE+FD．求证：∠EAF=12∠BAD（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．◆◆题型五利用“一线三等角模型”构造全等三角形9．（2022•南京模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°点D在BC的延长线上，且BD＝AB．过点B 作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．（1）求证：△ABC≌△BDE；（2）请找出线段AB、DE、CD之间的数量关系，并说明理由．10．如图，已知AB⊥BC，AE⊥BE，CD⊥BE，垂足分别为B，E，D，AB＝BC．求证：（1）△ABE≌△BCD；（2）DE＝CD﹣AE．11．在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，且OA＝3．（1）如图①，OB＝5，以A为直角顶点，在第三象限内作等腰Rt△ABC，求点C的坐标．（2）如图②，以y轴负半轴一点P，作等腰直角三角形Rt△APD，其中∠APD＝90°，过点D作DE⊥x 轴于点E，求OP﹣DE的值．1．如图所示，D是四边形AEBC内一点，联结AD，BD，已知CA＝CB，DA＝DB，EA＝EB，请问C，D，E三点在一条直线上吗？为什么？2．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，DE＝BF，且点E、F分别在AD、CB的延长线上．求证：BE＝DF．3．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C．4．（2021秋•惠阳区校级月考）如图①所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．（1）求证：MN＝AM+BN；（2）如图②，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．5．如图，P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P转动的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，求证：PM＝PN．【拓展1】OM+ON的值是否为定值？请说明理由．【拓展2】四边形PMON的面积是否为定值？请说明理由．6．（2022春•丰城市校级期末）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求证：CD＝2BF+DE．7．（2022秋•如皋市校级月考）已知在平面直角坐标系中A（0，2），P（3，3），且P A⊥PB．（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，若A点运动到A1位置，B点运动到B1位置，仍保持P A1⊥PB1，求OB1﹣OA1的值．8．（2022春•富平县期末）问题情境：（1）如图1，∠AOB＝90，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，过点P作PN⊥OA于点N，作PM⊥OB于点M，请写出PE与PF的数量关系；变式拓展：（2）如图2，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F，∠MPN＝∠EPF．试解决下列问题：①PE与PF之间的数量关系还成立吗？为什么？②若OP＝2OM，试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由．9.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABC放在平面直角坐标系中，如图所示．（1）如图1，若A（1，0），B（0，3），求C点坐标；（2）如图2，若A（1，3），B（﹣1，0），求C点坐标；（3）如图3，若B（﹣4，0），C（0，﹣1），求A点坐标．10．（2021秋•铁锋区期末）【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．11．（2022秋•南关区校级月考）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：[模型呈现]如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC ＝，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为．A.50B.62C.65D.68[深入探究]如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF 交于点G．求证：点G是DE的中点；。

三角形全等添加辅助线的5种常用方法

三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。

全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。

下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。

一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。

它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。

我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。

倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。

如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。

我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。

可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。

在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。

看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。

五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。

构造全等三角形添加辅助线的方法

构造全等三角形添加辅助线的方法构造全等三角形是初中数学中的一个重要内容，理解并掌握构造全等三角形的方法对同学们建立良好的几何直观和提高几何证明能力等方面有很大帮助。

添加辅助线是构造全等三角形的重要方法之一。

本文列举了10条关于构造全等三角形添加辅助线的方法，并详细描述了每一种方法的步骤和原理。

一、通过中位线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC和它的一条中位线AD；2、将角BAD和角ACD作为两个角，作一个新的三角形BAD，使它的对边和AC平行；3、证明三角形BAC和三角形BAD全等。

原理：两个平行线截一组平行于它们的直线形成的线段，具有相等的长度。

二、通过角平分线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC，以角A为中心画一条角平分线AE；2、将角EAB和角EAC作为两个角，分别连线得到三角形EAB和三角形EAC；3、证明三角形ABC和三角形EAB全等。

原理：在一个三角形中，一边上的角平分线将这条边分成两个相等的线段，同时将对角的两个角平分为两个相等的角。

三、通过三角形内角和不变构造全等三角形步骤：1、作出两个全等三角形ABC和DEF；2、在三角形ABC内部选取一个点M；3、以点M为中心，作一个半径等于EF的圆，在这个圆上分别找到两个点P、Q；4、连接点P、Q和点M，分别得到三角形AMP和BMQ；5、证明三角形AMP和三角形BMQ全等。

原理：三角形中角的和不变，即两个全等三角形中任意两个内角之和相等。

四、通过角平分线和垂线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC，以角A为中心画一条角平分线AE，垂直于BC；2、在AE上选取一点G，将角GAB和角GAC作为两个角，分别连线得到三角形GAB和三角形GAC；3、以点B为中心，作一个半径等于CG的圆，在这个圆上分别找到两个点M、N；4、连接MN和点B，分别得到三角形MBC和NBC；5、证明三角形GAB和三角形MBC全等。

原理：在一个三角形中，角平分线和垂线的交点将底边分成相等的线段，在垂线上的任意一点到底边的两个端点距离相等。

(完整版)几种证明全等三角形添加辅助线的方法

教学过程构造全等三角形几种方法在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。

现分类加以说明。

一、延长中线构造全等三角形例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。

证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。

如图2。

∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。

又∵∠1＝∠2，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。

AB＝CE。

∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，∴AB＋AC＞2AD。

二、沿角平分线翻折构造全等三角形例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。

求证：AB＋BD＝AC。

证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。

如图4。

∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE，∴△ABD≌△AED（SAS）。

∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。

而∠AED＝∠C＋∠EDC，∴∠C＝∠EDC。

所以EC＝ED＝BD。

∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。

三、作平行线构造全等三角形例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。

E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。

求证：EF＝FD。

证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。

则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。

∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。

∴∠B＝∠EMB。

故EM＝BE。

∵BE＝CD，∴EM＝CD。

又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF，∴△EFM≌△DFC（AAS）。

EF＝FD。

四、作垂线构造全等三角形例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。

M是AC边的中点。

AD ⊥BM交BC于D，交BM于E。

求证：∠AMB＝∠DMC。

证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。

如图8。

∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。

∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°，∴△ABM≌△CAF（ASA）。

第十二章第三讲全等的构造-巧添辅助线(教案)

三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）及其在实际问题中的应用。
-巧添辅助线的方法及其应用，包括延长两边、构造平行线、利用特殊线段（中点、角平分线、高线）等。
-典型例题的分析与解答，强化全等三角形构造的解题技巧。
举例解释：在讲解全等三角形判定方法时，重点强调SAS判定法中，两边及其夹角必须一一对应相等。通过具体例题，如“已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，证明三角形ABD全等于三角形ACD”，让学生直观理解SAS判定法的应用。
其次，我发现学生们在分组讨论和实验操作环节，表现得非常积极。他们通过互相交流、探讨，不仅提高了自己的思考能力，还学会了如何团队合作。这一点让我深感欣慰，也证明了我的教学方法是有效的。
然而，我也注意到，在小组讨论过程中，有些学生较为内向，不愿意发表自己的观点。为了解决这个问题，我计划在今后的教学中，多关注这部分学生，鼓励他们大胆表达自己的看法，提高他们的自信心。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了全等三角形的基本概念、判定方法以及巧添辅助线的技巧。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对全等构造的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我认识到教学反思的重要性。通过反思，我可以发现自己在教学过程中的不足，及时调整教学方法，以便更好地满足学生的需求。同时，我也将继续学习，提高自己的教育教学水平，为学生们提供更优质的教学。
此外，对于教学难点和重点的把握，我认为自己在课堂上还需要进一步加强。在讲解全等三角形的判定方法和巧添辅助线的过程中，我应该更加明确地指出每个方法的关键点，并通过更多典型的例题来帮助学生巩固知识点。

全等三角形添加辅助线的方法

全等三角形添加辅助线的方法1.中线法：将两条边的中点相连并延长，然后证明其与其他一条边的边长和角度相等。

具体步骤如下：a.连接三角形两条边的中点，并延长至交于一点O。

b.证明∆ABC与∆ADB全等，其中∠CAB＝∠DAB（两对顶点角），且AB ＝AD各一边。

c.推导出AC＝BD（全等三角形的边）2.垂直平分线法：通过构造两条垂直平分线使其中两个角相等，从而推导出三角形全等。

具体步骤如下：a.根据题意连接一个角的两边，并找出该两边的垂直平分线。

b.证明∆ABC的两个∠BAC和∠BCA各自与∠ACD和∠ACB相等（垂直平分线构成等腰三角形），即∠BAC＝∠ACD，∠BCA＝∠ACB。

c.推导出∆ABC和∆ACD的三个角相等，从而两个三角形全等。

3.夹边法（重心法）：通过构造两个辅助三角形，使两个夹角相等，从而推导出三角形全等。

具体步骤如下：a.过三角形一边的顶点作该边对边的平行线，分别与另两边相交得到两个辅助三角形。

b.证明这两个辅助三角形的两个夹角分别与原三角形的两个对应夹角相等（平行线与三角形两边的交角），即∠BAC＝∠EAB，∠CBA＝∠DBA。

c.推导出∠ABC和∠EDB相等，从而两个三角形全等。

4.等腰三角形法：通过构造两个等腰三角形，使它们的顶点与原三角形的顶点相连，从而推导出三角形全等。

a.根据题意找到一个角的顶点为原三角形的顶点，并构造一个等腰三角形，顶点为该角的顶点。

b.构造另一个等腰三角形，顶点为原三角形的顶点，并使这两个等腰三角形的顶点分别与原三角形的顶点相连。

c.证明这两个等腰三角形的两个底边与原三角形的两个对应边相等，即AC=DE，BC=DF。

d.推导出∆ABC和∆DEF的三个角相等，从而两个三角形全等。

通过以上几种常见的方法，可以添加辅助线来证明三角形的全等关系。

在实际问题中，根据具体的几何信息和条件，选择合适的辅助线构造方法，可以简化证明过程，并加深对全等三角形的理解。

几种证明全等三角形添加辅助线的方法

几种证明全等三角形添加辅助线的方法在几何证明中，证明两个三角形全等是常见的任务之一、为了证明两个三角形全等，可以利用几何性质和辅助线的方法。

以下是几种常见的证明全等三角形添加辅助线的方法。

方法一：辅助线连接两个三角形的顶点和中点。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和中点来添加辅助线。

例如，可以连接点A和B的中点M，以及连接点D和E的中点N。

通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。

由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。

方法二：辅助线连接两个三角形的顶点和底边中点。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和底边的中点来添加辅助线。

例如，可以连接点A和D的中点M，以及连接点B和E 的中点N。

通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。

由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。

方法三：辅助线连接两个三角形的对应角的角平分线。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

我们可以通过连接每个三角形对应角的角平分线来添加辅助线。

通过连接辅助线，我们可以得到一些相似的三角形。

根据相似三角形的性质，我们可以得到一些相等的边和角。

通过观察这些相等的边和角，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。

方法四：辅助线连接两个三角形的中垂线。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

我们可以通过连接每个三角形的边的中点，然后连接这些中点的垂线来添加辅助线。

添加辅助线构造全等三角形证题

证明：延长ＡＢ到点Ｅ，使ＢＥ：ＢＤ，连接ＥＤ．
因为ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ（已知），
（等量代换）．图所以ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ：ＡＣ＋ＤＣ
七、作平行线构造全等三角形
例题：如图８所示，在ＡＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｅ在ＡＣ的．
（ＳＡＳ），从而ＡＢ＝ＣＥ，使要证明的问题转化为 △ＡＣＥ的三边关
系．
四、延长特殊线段构造全等三角形例如：图４，ＡＤ是
ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＣ．
ｃ的平分线，厶日＝２Ｃ，求证：
证明：延长中线ＡＤ到ＤＥ，使ＤＥ＝ＡＤ并连接ＣＥ，则Ｅ＝
ＤＣ＝０Ｃ
ＣＤ＝ＣＤ
所以ＡＢＡＤＡＤＣ８
所以Ａ＝Ｃ（全等三角形的对应角相等）二、延长中线构造全等三角形例如：已知如图２，ＡＡＢＣ中，Ｄ是中线，求证：ＡＢ＋
ＡＣ＞２，４Ｄ．
所以 △ＣＯＤＡＣ０Ｄ（ＳＳＳ）
图２
所以２Ｅ＝２Ｃ（等量代换）
所以Ｅ＝ｅ
曰
ＤＣ
所以ＡＢ＝ＣＥ（全等三角形的对应边相等）在△ＡＣＥ中，ＣＥ＋ＡＣ＞ＡＥ（三角形两边之和大于第三边）所以ＡＢ＋ＡＣ＞ＰＡＤ（等量代换）三、连接图形中的特殊点构造全等三角形
一
、
连接特殊图形的对角线构造全等三角形
例如：已知如图１，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＣＢ，求证：Ａ＝ｅ

全等三角形中的常见辅助线的添加(超全)

全等三角形中的常见辅助线的添加一、连接已知点, 构造全等三角形。

例1已知：AC 、BD 相交于O 点, 且AB=DC, AC=BD, 求证：∠A=∠D二、连接四边形的对角线, 把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例2如图：AB ‖CD, AD ‖BC 求证：AB=CD三、延长已知边构造三角形。

例3如图已知AC=BD, AD 与BC 不平行, ∠CAD=∠CBD, 求证: AD=BC四、有以线段中点为端点的线段时, 常延长加倍此线段, 构造全等三角形。

例4如图AD 为△ABC 的中线, 且∠1=∠2, ∠3=∠4, 求证：BE+CF 〉EF五、有三角形中线时, 常延长加倍中线, 构造全等三角形。

例5如图AD 为△ABC 的中线, 求证：AB+AC 〉2ADOABDCAC1.已知, 如图△ABC 中, AB=5, AC=3, 则中线AD 取值2.如图, 已知在中, 是边上的中线, 是上一点, 延长交于, , 求证: .3.已知△ABC, AD 是BC 边上的中线, 分别以AB 边上的中线, 分别以AB 边, AC 边为直角边各向形外作等腰三角形, 求证: EF=2AD4.如图, △ABC 中, E 、F 分别在AB.AC 上, DE ⊥DF, D 是中点, 试比较BE+CF 与EF 的大小.F E D CBA5.如图, △ABC 中, BD=DC=AC, E 是DC 的中点, 求证: AD 平分∠BAE.六、过线段的两端点向中点处的线段作垂线段构造全等三角形。

例6如图, D 为CE 的中点, F 为AD 上的一点, 且EF=AC, 求证: ∠DEF=∠DAC练习1.AD 是△ABC 的中线, E 是AD上的一点, BE=AC,BE 延长线交AC 于F, FG ⊥AD 于G,求证: AG=EG练习2.∠C=900,BE ⊥AB,且BE=AB,BD ⊥BC,且BD=BC,CB 的延长线交DE 于F,求证: S △ABC=2S △BEFE D CBAD CBA七、取线段中点构造全等三角形。

添加辅助线构造全等三角形

添加辅助线构造全等三角形一．内容：在证明几何题目的过程中，常常需要通过全等三角形，研究两条线段在证明几何题目的过程中，常常需要通过全等三角形，研究两条线段((角)的相等关系，或者转移线段或角。

而有些时候，这样的全等三角形在问题中，并不是十分明显。

因此，我们需要通过添加辅助线，构造全等三角形，进而证明所需的结论。

们需要通过添加辅助线，构造全等三角形，进而证明所需的结论。

在这里，我们试图通过几个典型例题让大家初步了解添加辅助线构造全等三角形的基本方法。

当然这些方法体现的了添加辅助线的方法从简单到复杂，研究线段的长短关系体现了从相等到不等的递进关系。

从相等到不等的递进关系。

二．例题详解1．通过添加辅助线构造全等三角形直接证明线段(角)相等1．已知：如图AB=AD AB=AD，，CB=CD CB=CD，，(1)(1)求证：∠求证：∠求证：∠B=B=B=∠∠D ．(2)(2)若若AE=AF试猜想CE 与CF 的大小关系并证明．的大小关系并证明．分析：(1)(1)在没有学习等腰三角形的知识的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在在没有学习等腰三角形的知识的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等。

本题中要证明∠的两个三角形全等。

本题中要证明∠B=B=B=∠∠D ．在已知条件中缺少明显全等的三角形。

而连结AC 以后，以后，AC AC 作为公共边，根据题目的已知条件可以看到三角形ABC 全等于三角形ADC ADC，进，进而证明了∠而证明了∠B=B=B=∠∠D 。

如果在学习了等腰三角形的知识以后还可以连结BD BD，通过等边对等角，再用角等量减，通过等边对等角，再用角等量减等量得到∠等量得到∠B=B=B=∠∠D 更为简单更为简单(2)(2)猜想猜想CE=CF CE=CF，，在连结AC 证明了三角形ABC 全等于三角形ADC 以后，得到∠得到∠EAC=EAC=EAC=∠∠FAC FAC，，再去证明三角形EAC 全等于三角形FAC FAC，进而证明，进而证明CE=CF CE=CF。

添加辅助线证明三角形全等

添加辅助线证明三角形全等三角形全等是指两个三角形的三个对应边分别相等，三个对应角分别相等。

为了证明两个三角形全等，我们可以使用不同的方法，其中一种方法是添加辅助线。

假设我们需要证明的是两个三角形ABC和DEF全等。

首先，我们可以通过建立一些角的平分线来添加辅助线。

设角A和角D是需要证明的相等的角，我们可以在角A上建立角A的平分线，交BC的延长线于点G。

同理，在角D上建立D的平分线，交EF的延长线于点H。

这样，我们就得到了两个辅助线GH和EF，并且建立了两个新的三角形GBH和EDF。

接下来，我们可以利用已知条件和几何性质来逐步证明两个三角形全等。

1.根据平分线的性质，角A与角D的平分线AG和DH将分别把两个角分成两个相等的角。

即角BAG=角DAH(相等角的定义)和角GAB=角HAD(平分线的性质)。

2.由于辅助线GH是EF的延长线，所以角G和角H与角D均为同侧内角。

因此，通过角和辅助线的关系，我们可以得到角DAH=角GHF和角HAD=角GHE。

3.再次利用已知角和辅助线的关系，我们可以得到角GHF=角GBH和角GHE=角EDF。

4.综上所述，我们得到了两个相等的角：角BAG=角DAH，角GAB=角HAD，角GHF=角GBH，角GHE=角EDF。

接下来，我们需要证明两个三角形的对应边也相等。

5.由于AG和DH是角A和角D的平分线，所以线段AG与线段DH相等（平分线的性质）。

6.根据辅助线GH和EF的定义，我们可以得到线段GH=线段EF。

7.因为∠GHF=∠GBH，所以根据夹边定理，我们得到线段GF=线段GB。

8.同理，由于∠GHE=∠EDF，根据夹边定理，线段HE=线段DE。

综上所述，我们证明了三角形ABC和DEF的三个对应角相等，并且三个对应边也相等。

因此，三角形ABC和DEF是全等的。

总结起来，通过添加辅助线，我们可以根据已知条件和几何性质逐步证明两个三角形的全等。

这种方法可以帮助我们简化证明过程，并确保证明的准确性。

专项练习(五) 证明三角形全等四种添加辅助线的方法

专项练习(五)证明三角形全等四种添加辅助线的方法►方法一直接连线构造全等三角形1．如图5－ZT－1所示，AB＝AD，BC＝DC.求证：∠ABC＝∠ADC.图5－ZT－12．如图5－ZT－2，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，AF⊥CD.求证：F是CD的中点．图5－ZT－23．如图5－ZT－3，AC，BD相交于点O，且AB＝DC，AC＝DB.求证：∠ABO＝∠DCO.图5－ZT－3►方法二倍长中线构造全等三角形4．如图5－ZT－4，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝4，AC＝8，求中线AD的取值范围．图5－ZT－45．如图5－ZT－5，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB ＝AC.求证：CD＝2CE.(提示：等腰三角形的两底角相等)图5－ZT－5►方法三作垂直构造全等三角形6．如图5－ZT－6，四边形ABCD中，BC＜BA，AD＝CD，BD平分∠ABC.求证：∠A＋∠C＝180°.图5－ZT－67．如图5－ZT－7，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边与OA，OB分别交于点C，D，PC 与PD相等吗？试说明理由．图5－ZT－7►方法四翻折构造全等三角形8．如图5－ZT －8所示，BE 平分∠ABC ，E 为AD 的中点，且BC ＝B A ＋CD.求证：CE 平分∠BCD.图5－ZT －89．2019·南京二模命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称〝等角对等边〞)．：如图5－ZT －9，△ABC 中，∠B ＝∠C.求证：AB ＝AC.三名同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明．小刚的方法：作∠BAC 的平分线AD ，可证△ABD ≌△ACD ，得AB ＝AC ；小亮的方法：作BC 边上的高AD ，可证△ABD ≌△ACD ，得AB ＝AC ；小莉的方法：作BC 边上的中线AD.(1)请你写出小刚与小亮的方法中△ABD ≌△ACD 的理由：________________；(2)请你按照小莉的思路完成命题的证明．图5－ZT －9详解详析1．证明：连接AC ，在△ABC 与△ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC ，(SSS) ∴∠ABC ＝∠ADC.2．证明：如图，连接AC ，AD. 在△ABC 和△AED 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AE ，∠ABC ＝∠AED ，BC ＝ED ，∴△ABC ≌△AED ，(SAS) ∴AC ＝AD.∵AF ⊥AD ，∴∠AFC ＝∠AFD ＝90°.在Rt △ACF 和Rt △ADF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，AF ＝AF ， ∴Rt △ACF ≌Rt △ADF ，(HL)∴CF ＝DF ，∴F 是CD 的中点．3．证明：连接BC. 在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB ，(SSS) ∴∠ABC ＝∠DCB ，∠ACB ＝∠DBC ，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DCB －∠ACB ，即∠ABO ＝∠DCO.4．[解析] 通过作辅助线，把AB ，AD ，AC 转化到同一个三角形中，如图，证△ADB ≌△EDC ，推出EC ＝AB ，在△ACE 中，利用三角形的三边关系求解．解：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD. 在△ADB 和△EDC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ED ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△ADB ≌△EDC ，(SAS) ∴EC ＝AB ＝4，∴AC －EC ＝AC －AB ＝8－4＝4，AC ＋EC ＝AC ＋AB ＝12.在△ACE 中，根据三角形的三边关系，得4<AE<12.∵AE ＝2AD ，∴2<AD<6.5．证明：延长CE 到点F ，使EF ＝CE ，连接FB.∵CE 是△ABC 的中线，∴AE ＝EB. 在△AEC 和△BEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EB ，∠AEC ＝∠BEF ，CE ＝EF ，∴△AEC ≌△BEF ，(SAS) ∴∠A ＝∠EBF ，AC ＝BF.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ＝∠EBF ＋∠ABC ＝∠CBF.∵CB 是△ADC 的中线，∴AB ＝BD ，又∵AB ＝AC ，AC ＝BF ，∴BF ＝BD. 在△CBF 和△CBD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BD ，∠CBF ＝∠CBD ，CB ＝CB ，∴△CBF ≌△CBD ，(SAS) ∴CD ＝CF ＝CE ＋EF ＝2CE.6．证明：如图，过点D 作DE ⊥BA 于点E ，DF ⊥BC 交BC 的延长线与点F.∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠DBF.∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠BED ＝∠BFD ＝90°. 在△DBE 和Rt △DBF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BED ＝∠BFD ，∠DBE ＝∠DBF ，BD ＝BD ， ∴△DBE ≌△DBF ，(AAS)∴DE ＝DF. 在Rt △DEA 和Rt △DFC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DF ， ∴Rt △DEA ≌Rt △DFC ，(HL)∴∠A ＝∠DCF.∵∠BCD ＋∠DCF ＝180°，∴∠A ＋∠BCD ＝180°.7．解：PC 与PD 相等．理由如下：过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F.∵OM 平分∠AOB ，∴∠POE ＝∠POF. 在△OPE 与△OPF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠OEP ＝∠OFP ，∠POE ＝∠POF ，OP ＝OP ，∴△OPE ≌△OPF ，(AAS)∴PE ＝PF.∵∠AOB ＝90°，∠PEO ＝∠PFO ＝90°，∴∠EPF ＝90°，∴∠EPC ＋∠CPF ＝90°.又∵∠CPD ＝90°，∴∠CPF ＋∠FPD ＝90°，∴∠EPC ＝∠FPD ＝90°－∠CPF. 在△PCE 与△PDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠PEC ＝∠PFD ，PE ＝PF ，∠EPC ＝∠FPD ，∴△PCE ≌△PDF ，(ASA)∴PC ＝PD.8．[解析] 在BC 上截取BF ＝BA.根据SAS 证明△BAE ≌△BFE ，再证明△CEF ≌△CED 即可．证明：如图，在BC 上截取BF ＝BA ，连接EF.∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠FBE. 在△BAE 和△BFE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BF ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，∴△BAE ≌△BFE ，(SAS)∴AE ＝FE.∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE ＝FE.又∵BC ＝BA ＋CD ，BA ＝BF ，∴CD ＝CF. 在△CED 和△CEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CF ，DE ＝FE ，CE ＝CE ，∴△CED ≌△CEF ，(SSS) ∴∠FCE ＝∠DCE ，即CE 平分∠BCD.9．解：(1)AAS(2)证明：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD.在△BDE 和△CDF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BED ＝∠CFD ＝90°，∠B ＝∠C ，BD ＝CD ， ∴△BDE ≌△CDF ，(AAS)∴BE ＝CF ，DE ＝DF. 在Rt △AED 和Rt △AFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，DE ＝DF ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD ，(HL)∴AE ＝AF ，∴AE ＋BE ＝AF ＋CF ，即AB ＝AC.。

全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)(学生版)

全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)1.题型一：一线三等角模型2.题型二：手拉手模型3.题型三：半角模型4.题型四：旋转模型5.题型五：倍长中线法6.题型六：截长补短法题型一一线三等角模型过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等(AAS)常见的两种图形：题型二手拉手模型【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；12题型三半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

解题技巧：在图1中，△AEB 由△AND 旋转所得，可得△AEM ≌△AMN ，∴BM +DN =MN∠AMB =∠AMNAB =AH△CMN 的周长等于正方形周长的一半在图2中将△ABC 旋转至△BEF ，易得△BED ≌△BCD 同理得到边角之间的关系；总之：半角模型(题中出现角度之间的半角关系)利用旋转--证全等--得到相关结论.题型四旋转模型31一、奔驰模型旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。

我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题2二、费马点模型费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点.最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的.题型五倍长中线法三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等4在△ABC 中AD 是BC边中线延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E 连接BE延长MD 到N ，使DN =MD ，连接CD截长补短法截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a +b =c 时，用截长补短．1.补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2.截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。

全等三角形添加辅助线的方法

全等三角形添加辅助线的方法全等三角形是指具有相等边长和相等内角的两个三角形。

在解决几何问题中，我们经常需要证明或利用全等三角形的性质。

为了更方便地使用全等三角形，我们可以使用辅助线来帮助我们找到全等三角形。

接下来，我将详细介绍几种添加辅助线的方法。

1.中点连线法：在一个三角形中，我们可以通过连接两个边的中点来构造一个平行边。

如果两个三角形的对应边都是平行的，并且两个三角形的第三边相等，那么这两个三角形是全等的。

因此，通过画出中点连线，我们可以找到两个全等的三角形。

例如，在一个三角形ABC中，我们可以通过连接边AB和AC的中点D和E来构造一个平行四边形DCBE。

然后，我们可以继续连接BE和CD，并连接AD和CE，这样就构成了两个全等三角形ADE和CDE。

通过使用这种方法，我们可以更方便地证明或利用全等三角形的性质。

2.高度法：对于一个三角形ABC，我们可以通过作其高来构造两个全等的三角形。

三角形ABC的高是指从顶点到对边的垂直线段。

如果两个三角形的高相等，并且它们的底边相等，那么这两个三角形是全等的。

因此，通过作两个三角形的高，我们可以找到两个全等的三角形。

例如，在一个三角形ABC中，我们可以通过作高AD和高BE来构造两个全等的三角形ABD和ACE。

通过使用这种方法，我们可以更方便地证明或利用全等三角形的性质。

3.角平分线法：对于一个三角形ABC，我们可以通过作角平分线来构造两个全等的三角形。

三角形ABC的角平分线是指从角的顶点到对边的线段，将角分为两个相等的角。

如果两个三角形的相应角相等，并且它们的底边相等，那么这两个三角形是全等的。

因此，通过作两个三角形的角平分线，我们可以找到两个全等的三角形。

例如，在一个三角形ABC中，我们可以通过作角平分线AD和角平分线BE来构造两个全等的三角形ADC和BEC。

通过使用这种方法，我们可以更方便地证明或利用全等三角形的性质。

4.相似三角形法：对于两个相似的三角形ABC和DEF，如果它们的对应边比例相等，那么它们是全等的。

【初中数学知识点解析】构造全等三角形的五种常用方法

方法4 倍长中线法 4．如应图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD. 又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC≌△EDB. ∴AC＝EB. ∵AB＋BE>AE， ∴AB＋AC>2AD.
∴∠B＝∠ADG＝90°.
在△ABE与△ADG中，
方法5 截长(补短)法
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝
∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图
中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明．
AB＝AD，
∠B＝∠ADG＝90°，
BE＝DG，
要点提示
在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．
常见的辅助线作法有：翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补短)法，目的都是构造全等三角形．
方法1 翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D. 求证：∠2＝∠1＋∠C. 证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻
方法3 旋转法
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点， BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．
∴△ABH≌△ADF. ∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF. ∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°. ∵BE＋DF＝EF， ∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF. 在△AEH和△AEF中，