2014北京朝阳高考一模数学理

（第6题图）北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2014．3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． （1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）已知集合1{|()1}2xA x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则A B =U （ ）A ．{|0}x x >B ．{|1}x x >C ． {|1}{|0}x x x x ><UD ． ∅（3）已知平面向量a ，b 满足2==a b ，(2)()=2⋅--a +b a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ． 6πB ． 3πC ． 32πD ． 65π（4）如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为（ ）A ． 14B ．13C ． 25D ． 27（5）在ABC △中，π4A =，BC =“AC 是“π3B =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（6）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4- （7）已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数； ③当2x π=时，函数()f x 取最大值； ④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点， 其中正确命题的序号是（ ）A ． ①③B ．②③C ． ①④D ．②④（8）直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N，且MN ON ≥+uuu r r uuu r，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(-U B ．(⎡--⎣UC ． [2,2]-D ． [-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，2312a a +=，则该数列的前4项和为．（10）在极坐标系中，A 为曲线2cos ρθ=上的点，B 为曲线cos 4ρθ=上的点，则线段AB 长度的最小值是．（11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为；表面积为．（12）双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b =；此双曲线的离心率为．（13）有标号分别为1，2，3的红色卡片3张，标号分别为1，2，3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如 图）．若颜色相同的卡片在同一行， 则不同的放法种数为．（用数字作答）（14）如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ，1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的 动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分） 已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ．（Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间．（16）（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25．（I ）求a ，ξ的值；（II ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的 学生的概率；（III ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ， 求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．俯视图BC DE S A（17）（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形， 且PA AD ⊥．E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求二面角E PD C --的余弦值．（18）（本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线 BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标； 若不是，说明理由．（20）（本小题满分13分）从1,2,3,,n L 中这n 个数中取m （,m n *∈N ，3m n ≤≤）个数组成递增等差数列，所有可能的递增 等差数列的个数记为(,)f n m ．（Ⅰ）当5,3n m ==时，写出所有可能的递增等差数列及(5,3)f 的值； （Ⅱ）求(100,10)f ；（Ⅲ）求证：()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习AE BC D P F数学答案（理工类）15．（本小题满分13分）解：()f x=sin2cos2x x-)4xπ-．（Ⅰ）())1224fπππ=⋅-==．显然，函数()f x的最小正周期为π．………………………… 8分（Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k+-+≤≤得37ππππ88k x k++≤≤，k∈Z．又因为[]0,πx∈，所以3π7π,88x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．函数()f x在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦．……………………… 13分16．（本小题满分13分）解：（I）设事件A：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a+人．则62()205aP A+==．解得2a=．所以4b=．…… 4分（II）设事件B：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195CP B P BC=-=-=．………………………… 7分（III）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．所以21222033(0)95CPCξ===，1112822048(1)95C CPCξ===，2822014(2)95CPCξ===．所以ξ的分布列为所以，334814764012959595955Eξ=⨯+⨯+⨯==………………………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取PD的中点G，连接FG，AG．因为F，G分别是PC，PD的中点，所以FG是△PCD的中位线．所以FG∥CD，且12FG CD=．又因为E是AB的中点，且底面ABCD为正方形，所以1122AE AB CD==，且AE∥CD．所以AE ∥FG ，且AE FG =． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ． 又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以EF 平面PAD ． …………………………4分 （Ⅱ）证明： 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，且平面PAD I 平面ABCD AD =，所以PA ⊥平面ABCD ．所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥， 所以,,AB AD AP 两两垂直．以点A 为原点，分别以, , AB AD AP 为, , x y z 轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题意易知AB AD AP ==， 设2AB AD AP ===，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(1,0,0)E ，(1,1,1)F ．因为(0,11)EF =uu u r ，，(022)PD =-u u u r ，，，(200)CD =-uu u r ，，，且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-=u u u r u u u r，，(0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=u u u r u u u r ，，所以EF PD ⊥，EF CD ⊥．又因为PD ，CD 相交于D ，所以EF ⊥平面PCD ． ………………………… 9分（Ⅲ）易得(102)EP =-uu r ，，，(0,22)PD =-u u u r,．设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，则 0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uur uu u r n n 所以 20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,. x z y z =⎧⎨=⎩ 令1z =，则(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =uu u r，，所以cos ,EF EF EF⋅〈〉===⋅uu u r uu u r uu u r n n n由图可知，二面角E PD C --的大小为锐角，所以二面角E PD C --． …………………………14分18． （本小题满分13分）解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞， 1()f x ax x '=-21ax x-=．（Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（2）当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． （3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =①当x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x在单调递减．②当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x在)+∞单调递增．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x的单调减区间是，单调增区间AE BCDPFG为)+∞．……7分 （Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减，所以()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240ea =>，舍去．（2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =．②当1e <，即211ea <<时，函数()f x在上单调递减，在上单调递增， 所以函数()f x的最小值为11ln 122f a =+=，解得e a =，舍去．e ，即210ea <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减， 所以函数()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24ea =，舍去．综上所述，2a =． …………………………13分 19． （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=． ………………………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=u u u r u u u r恒成立． 又因为1012(,)2y PN x x =-uuu r ，2022(,)2y QN x x =-uuu r ， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----uuu r uuu r 恒成立． 又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++22414k k =+，212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k -=+，所以222221200021212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x = 故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(． ………………………… 14分 20． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个．所以(5,3)4f =． ………………………… 3分 （Ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为1a ，公差为d ，d *∈N ．1019a a d =+，10110011199a a d --==≤，d 的可能取值为1,2,,11L ．对于给定的d ，11091009a a d d =--≤， 当1a 分别取1,2,3,,1009d -L 时，可得递增等差数列1009d -个（如：1d =时，191a ≤，当1a 分别取1,2,3,,91L 时，可得递增等差数列91个：1,2,3,,11L ； 2,3,4,,12L ；L ；91,92,93,,100L ，其它同理）．所以当d 取1,2,,11L 时，可得符合要求的等差数列的个数为：(100,10)100119(1211)1100966506f =⋅-⋅+++=-⋅=L ．………………………… 8分 （Ⅲ）设等差数列首项为1a ，公差为d ，1(1)m a a m d =+-，1111m a a n d m m --=--≤，记11n m --的整数部分是t ，则11111n n t m m ---<--≤，即111n m n t m m --<--≤．d 的可能取值为1,2,,t L ，对于给定的d ，1(1)(1)m a a m d n m d =----≤，当1a 分别取1,2,3,,(1)n m d --L 时，可得递增等差 数列(1)n m d --个．所以当d 取1,2,,t L 时，得符合要求的等差数列的个数2(1)121(,)(1)222t t m n m f n m nt m t t +--+=--⋅=-+22121(21)()22(1)8(1)m n m n m t m m --+-+=--+--易证21112(1)1n m n m n m m m --+-<---≤． 又因为211||12(1)2(1)n m n m m m m m --++-=---，2113||2(1)12(1)n m n m m m m -+---=---， 所以21211||||12(1)2(1)1n m n m n m n m m m m --+-+-->-----． 所以(1)(,)(1)2t t f n m nt m +=--⋅ (1)()(1)11(1)122(1)n m n mn m n m n m m n m m m --+--+-->⋅--⋅=--． 即()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-． ………………………… 13分北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理工类）选填解析一、 选择题 1．【答案】B【解析】解：2i(2+i)=2i i 12i z =+=-+对应的点为(1,2)-所以对应的点在第二象限． 故选B ．2．【答案】A【解析】解：1{|()1}{|0}2xA x x x =<=>，{|lg 0}{|1}B x x x x =>=>所以{|0}A B x x =>U ．故选A 3．【答案】B【解析】解：因为(2)()=2⋅--a +b a b ，所以2222+⋅-=-a a b b 所以22cos ,22+<>-=-a a b a b b又2==a b ，所以44cos ,82+<>-=-a b 所以1cos ,2<>=a b 所以π,3<>=a b ． 故选B4．【答案】A【解析】解：阴影部分面积为134100111|0444x dx x ==-=⎰；区域D 的面积为111⨯=； 由几何概型知识，得概率为114=14．故选A ． 5．【答案】B【解析】解：若AC =π4A =，BC =sin sin AC A B BC ⋅===又(0,π)B ∈，则π3B =或2π3．所以“AC =”推不出“π3B =”；另一方面，若π4A =，BC π3B = ，则s i n s i n B C B AC A ⋅===所以“π3B =”能推出“AC ． 所以“AC 是“π3B =”的必要不充分条件．故选B 6．【答案】D故答案为D ． 7．【答案】C【解析】解：对于①，因为22sin()sin ()()()11x xf x f x x x --==-=--++，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，①正确；对于②，因为sin y x =是周期函数，211y x =+不是周期函数，所以2sin ()1xf x x =+不是周期函数，故②不正确；对于③，因为()f x 图象连续不断且定义域为R ，所以()f x 的最大值一定是()f x 的极值；而222cos (1)sin 2'()(1)x x x x f x x +-⋅=+，22ππ'()0π2(1)4f -=≠+，所以当2x π=时，函数()f x 不取极值，故③错； 对于④，由于()f x 与1y x=均关于原点对称，所以只需考虑0x >部分，因为22sin 11()11x f x x x x =<<++，故函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，④正确．故答案选C8．【答案】D【解析】如图，设圆心(0,0)到直线y x m =+的距离d =，所以MN =uuu r 2OM ON OA d +===uuu r uuu r又MN ON ≥+uuu r r uuu r ，则，解得m -≤故答案选D ． 二、 填空题 9．【答案】30【解析】解：设{}n a 的公比为q ，因为12a =，2312a a +=，所以21112a q a q +=，即260q q +-=，(3)(2)0q q +-=，所以3q =-（舍），2q =所以34116a a q ==，4123430S a a a a =+++=；故答案为30． 10．【答案】2【解析】解：由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，222x y x +=，22(1)1x y -+=；由cos 4ρθ=，得4x =；圆心(1,0)到4x =的距离的为3．所以线段AB 长度的最小值为312-=； 故答案为2．11．【答案】1,23【解析】由三视图知，几何体为地面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥；所以体积11121132V =⨯⨯⨯⨯=；表面积112121222S =⨯⨯+⨯⨯++=+故答案为1,2312．【答案】【解析】解：因为双曲线2221(0)y x b b-=>，所以焦点(，准线为y bx =±；又焦点到其渐近线的距离是22=，即2b =．离心率为ca==故答案为13．【答案】72【解析】解：分步计数原理，33233272A A A ⋅⋅=． 故答案为72． 14．【答案】2【解析】解：如图建立空间直角坐标系，设SB a =，(03)AE b b =≤≤ 则(0,0,)S a ，(3,1,0)C -，(,1,0)E b所以(,1,)ES b a =--u u r ，(3,2,0)EC b =--u u u r因为90SEC ∠=︒，2320ES EC b b ⋅=-++=uu r uu u r，解得1b =或2． 故答案为2．。