等比数列(2)
等比数列(2课时)
• 等比数列的定义和性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列与等差数列的比较 • 等比数列的实际应用
01
等比数列的定义和性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的比值都 相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字序列，其中任意两个相邻项的比值 都等于常数，这个常数被称为等比数列的公比。在等比数列中， 第一项（首项）记为a，公比记为r，第n项记为a_n，则有公式 a_n=a*r^(n-1)。
学定理，如费马小定理、欧拉定理等。
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式的推导
定义等比数列
一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则称该数 列为等比数列。
推导等比数列的通项公式
假设等比数列的首项为$a_1$，公比为$r$，则第$n$项$a_n$可以表示为$a_1 times r^{(n-1)}$。
贷款还款
在贷款还款计划中，等比数列用 于计算每月的还款金额。通过设 定贷款总额、年利率和贷款期限， 等比数列可以帮助确定每月的还
款金额。
股票价格
股票价格常常以等比数列的形式 表示，即股价呈现指数增长或下 降的趋势。投资者可以利用等比 数列的知识分析股票价格的走势。
等比数列在物理中的应用
放射性衰变
放射性衰变过程中，原子核以一定的比率发生衰变，形成 等比数列。通过等比数列的知识，可以计算出放射性衰变 的时间常数和半衰期。
无限等比数列
当公比$r$的绝对值小于1时，等 比数列称为无限等比数列，其通 项公式仍为$a_1 times r^{(n1)}$。
03
等比数列的求和公式
高一 9 等比数列(2)
an a1qn1(a1 0，q 0).
3.（1）数列单调性的概念
一般地，一个数列 an ，如果从第2项起，每一项都大于它前
面的一项，即an1 an ，那么这个数列叫作递增数列. 如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 an1 an ，那
ka
2
ka4
2 9 2
, ,
81
k a
2
1
,
a
3
1 3
舍去
f
(x)
2
1 3
x
，则an
2
1 n 3
.
(2)
an
显然为等比数列
Q
a1
2 3
0且0
q
1 3
1
an为递减数列.
1.等比数列 an a1qn1 a1 0，q 0 的单调性
a1
q的范围
a1 0
a1 0
0 q 1 q=1 q 1 0 q 1 q=1 q 1
江西省2020年寒假及春季学期延期开学期间线上教育课程
北师大版 高中数学 必修5 第一章 数 列
§3.1等比数列（第2课时）
授课教师：景德镇二中 李昊
复习回顾 1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的 比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做
等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示（首项a1 0且q 0）.
an 为递增数列.
方法二
an =f (n) 3g2n1可以看作定义域为正整数集的指数型函
数，根据指数型函数单调性的判断得出an为递增数列.
引例（答2）：已如an知何=3等？g若比12a数nn该列1 数a3列ng为的12递通n减项1，数公该列式数；为列ana的n =单3g3调12g性12n又1，n为如1该递何数增？列数的列单. 调性
(人教版)数学必修五：2.4《等比数列(2)》
(6)若{an}是等比数列，每隔 k(k∈N*)项取出一项，按原来 的顺序排列，所得数列仍是等比数列，且公比为 qk 1.
＋
(7)在等比数列{an}中，连续取相邻 k(k∈N*)项的和(或积) 构成公比为 qk(或 qk2)的等比数列． (8){an}是等差数列，c 是正数，则数列{can}是等比数列． (9){an}是等比数列，且 an>0，则{logaan}(a>0，a≠1)是等 差数列．
[ 错解] 设这个等比数列为{an}，其中 a1＝1，a5＝4，插入 的三项分别为 a2，a3，a4. 由题意，得 a1，a3，a5 也成等比数列，则 a2 3＝a1a5＝1×4 ＝4，故 a3＝± 2，∴a2a3a4＝a3 8. 3＝±
[ 错因分析]
[ 正解]
该解法没有正确判断 a3 的符号，在求等比数
有关等比数列的开放探究题
已知数列 {an} 是各项为正数的等比数列，数列 1 {bn}定义为 bn＝n[lga1＋lga2＋…＋lgan－1＋lg(kan)] ，是否存在实 数 k，使得数列{bn}为等差数列？并证明你的结论．
[ 分析]
先利用数列{an}是等比数列，求出数列{bn}的通项
公式，再求 bn＋1－bn，看使它成为常数的条件是什么？
(2)∵a1a9＝a3a7＝64， ∴a3，a7 是方程 x2－20x＋64＝0 的两根．
a3＝4 解得 a7＝16 a3＝16 或 a7＝4
.
①若 a3＝4，a7＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝4， ∴a11＝a7q4＝16×4＝64. 1 ②若 a7＝4，a3＝16，则由 a7＝a3q 得，q ＝4，
[ 方法总结]
除了用假设法，也可以从寻求使它成立的条
等比数列(2)
【课题】 6．3 等比数列
【教学目标】
知识目标：
理解等比数列前n 项和公式． 能力目标：
（1）应用等比数列的前n 项公式，解决数列的相关计算，培养学生的计算技能； （2）综合应用数列知识，解决生活中借、贷款等实际问题，培养学生处理数据技能和分析解决问题的能力．
情感目标：
（1）经历数列的前n 项和公式的探索，增强学生的创新思维．
（2）赞赏国际象棋的发明人数学史上流传的故事，形成对数学的兴趣，感受数学文化． （3）经历借、贷款问题的计算过程，体会数学的应用价值，形成对数学的兴趣。
【教学重点】
等比数列的前n 项和的公式．
【教学难点】
等比数列前n 项和公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等比数列的前n 项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前
n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导、求等比数列的项数n 的问题及知识的简单实际
应用．
等比数列前n 项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并学会应用．等比数列的通项公式与前n 项和公式中共涉及五个量：n n S a n q a 、、、、1，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.
教材中例6是已知n n S a a 、、1求n q 、的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利用指数相等来求解n 的方法是研究等比数列问题的常用方法.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
3课时．(135分钟)
【教学过程】
【教师教学后记】
−。
等比数列(2)
5、等比数列常用性质 (1) 若 m n p q，则 am an a p aq .
(2) ak ，akm ，ak2m ， 组成的数列仍然是等比数列， 且公比为 qm .
(3) 若 {an} 与{bn} 均为等比数列，
说 明：
本题揭示了等差数列与等比数列之间的一种代数变换 关系.不失一般性，设c＞0，c≠1, 则：
若数列{an}是等差数列，那么数列{can }是等比数列；
反之,若{an}是等比数列且an ＞0,则数列{logc an }是等差数列.
例2：已知{an }和{bn }是项数相同的等 比数列，求证{an • bn}是等比数列。
an 0 a3 a5 5 .
(2) 在等比数列{an }中，a3a4a5 3 , a6a7a8 24 , 求 a9a10a11 的值.
解： {an} 是等比数列 ，
a3a4a5 a43 3 , a6a7a8 a73 24 , a9a10a11 a130
又 a4 , a7 , a10 成等比数列，a43 , a73 , a130成等比数列，
则数列{man
bn
}
与
{
man bn
}
(m
0
常数)
仍为等比数列.
(4) 单调性 ：由 an a1qn1 知
an1 q an
若 a1 0 q 1
或
a1 0 0 q
1
，则
{an }
是递增数列 ；
若 0a1q0 1或 qa110 ，则 {an } 是递减数列 ；
若 q 1 ，则{an } 是常数列； 若 q 0 ，则{an } 是摆动数列.
等比数列(2)
等比数列的性质 等比数列的性质
1、an=amqn-m
2、 m, n, p, q ∈ N+ , 且m + n = p + q, 若 3、 m, n, p, q ∈ N+ , 且m + n = 2p, 若
则am an = ap aq
2
则am an = ap 4.如果 {a } {b } 是项数相同的等比数列,那 如果 是项数相同的等比数列 那 也是等比数列. 么 {a b } 也是等比数列
1 5 1+ 5 <q< 2 2
1.设{an } 是递增等差数列，前三项 的和为12，前三项的积为48，则 它的首项是____ 2 2.设 {an }是递增等比数列，前三项 的和为14，前三项的积为64，则 它的首项是____ 2
练习
3、己知等差数列{an}的首项 1>0, 、己知等差数列 的首项a 的首项 项和为S 前n项和为 n ,若3a5=8a12 ,问数列 项和为 若 问数列 的前几项和最大? 的前几项和最大
(a4 + a8 ) = a4 + a8 + 2a4 a8 = 49,
2 2 2
Q an > 0, 则a4 + a8 = 7
练习：
1.在等比数列 n}中,已知 4a15=-2, 在等比数列{a 中 已知 已知a 在等比数列 那么a 那么 3a6a12a17=_____. 4 2.在等比数列 n}中,已知 4a5a6=8, 在等比数列{a 中 已知 已知a 在等比数列 32 则a1a3a5a7a9=_____.
4.在等比数列 n}中,求通项： 在等比数列{a 中 求通项 求通项： 在等比数列 (1)a1=-2,a3=-8 (2) a1=5,且2an+1=-3an 且 5.在等比数列 n}中,若a6=6,a9=9,则 在等比数列{a 中 若 在等比数列 则 4 a3=_____. 6.在等比数列 n}中,若a1=48,n=7,an=3/4, 在等比数列{a 中 若 在等比数列 1/2或- 1/2 或 则q=_________. 7. 已知 n}为等比数列 公比 已知{a 为等比数列 公比q≠1,若ap=m, 为等比数列,公比 若 并且l,p∈ 则 等于( ). D 并且 ∈N*,则al等于 (A)mql-p-1 (B)mql-p+1 (C)mql-1 (D)mql-p
等比数列(二)
由此联想到什么？关于等比数列的项和公 比有何限制？
an 0 ，q是非零常数．
a1 a1q q n cq n (c为常数) q 几何意义：a n = __________________________________
n 1
形如指数函数上的一些规律的点 图象特点：___________________________________
求这 5 个数。
解 : 由题q
n m
5832 an 7 1 q 729 q 3 8 am
故所求数为 24，72，216，648，1944 或 －24，72， － 216，648， － 1944 例4、公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数 列，求公比 q ,
a3 a3 a3 q a3 解 : 由题设三数为 , a3 , a3 q a3 q q 3
数
列
等
差
数列等比数列关系式
an=am +(n-m) d
an=amqn-m
anam=asat
性
中 项
质 m+n=s+t
an+am=as+at m+n=s+t
2b=a+c a，a+d，a+2d 或 a-d，a，a+d a-3d，a-d，a+d， a+3d a, aq,
b2=ac aq2 或
a ，a，aq q
an1 2 an
故{ a n } 是公比为 2 的等比数列
(2) 由 a 1 = －2 且公比 q = 2 ∴ a n = (－ 2 ) × 2 n － 1 = － 2 n 故 { a n } 的通项公式为 a n = －2 n
人教A版高中数学高二必修5课件2.4等比数列(二)
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
人教A版高中数学必修五2.4《等比数列(二)》
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数， 把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比 数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…； a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
已知等比数列an
满足
an＞0，n＝1,2，…，
且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…
＋log2a2n－1＝
()
A．(n－1)2
B．n2
C．(n＋1)2
D．n(2n－1)
错解：易得 an＝2n，且 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝1＋3＋ …＋(2n－1)＝1＋22n－1(2n－1) ＝n(2n－1)．从而错选 D 错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没 数清．
即aa1122－＋22aa11aa55＋＋aa5522＝＝330422，， 两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64， 又 a5＞a1，故 a3＝8. 答案：A
2．在等
比数列an
中，
a8
是
a4
与________的等比中项
A．a9
B．a10
C．a11
() D．a12
2.4等比数列(2)
（第2课时）
旧知回顾
1、等比数列的定义 一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（q≠0）。
an an 1 q(q 0, n 2) (或 q) 定义式： an 1 an
（2）c是不为0的常数，则{ c · an }呢？
san rbn 呢？
san 呢？ rbn
完成课本第53页练习3
思考题：
比数列吗？
an {2 } 是不是等 (1) 已知等差数列 {an }，试判断数列
(2) 已知等比数列 {an } ，试判断数列{log 2 an } 是不是等 差数列吗？
pq
它是一个与n无关的常数，
所以an bn 是一个以pq为公比的等比数列。
例 3、
已知数列an 、 bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列。
你能利用本例的条件，构造其他数列吗？并判断 该数列是不是等比数列？
an （ 1） 呢？ bn
an a1 (n 1)d
(1)an am (n m)d
a1 0, q 0
an a1q
n 1
通项 公式
(1)an am q n m
则 am· an=as· ar .
(3) an2=an-1· an+1 . （等比中项）
主要 性质
(2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) (2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*)
练习：
(1)在等比数列an 中,若a4 a8 9, 则 a2 a10 9 ,a6 ±3 .
1.3.1等比数列(二)课件ppt(
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
1．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，_使__a_、__G_、__b_成__等__比__数__列__， 那么G叫作a与b的等比中项． 试一试：若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 提示 不一定．因为若G＝0，且a，b中至少有一个为0， 则G2＝ab，而根据等比数列的定义，a，G，b不成等比数 列；当a，G，b全不为零时，若G2＝ab，则a，G，b成等 比数列．
为一
常数，判定一个数列不是等比数列只须找到一组 an ≠ am an－1 am－1
(m≠n)即可．
课前探究学习
课堂讲练互动
[规范解答] (1)∵等比数列{an}中，a1＝1，公比为q， ∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0)，(2分) 若q＝1，则an＝1，bn＝an＋1－an＝0， ∴{bn}是各项均为0的常数列，不是等比数列．(4分) 若 q≠1，由于bbn＋n 1＝aan＋n＋2－1－aan＋n1＝qqnn＋－1－qnq－n1＝qqn－n1qq－－11 ＝q，
∴{bn}是首项为b1＝a2－a1＝q－1，公比为q的等比数列．(8分) (2)由(1)可知，当q＝1时，bn＝0； 当q≠1时，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1， ∴bn＝(q－1)qn－1(n∈N＋)．(12分)
课前探究学习
课堂讲练互动
【题后反思】 1.本题属于“运算数列”是否为等比数列的判 定问题，根据等比数列的定义，对于公比的取值情况的讨 论十分关键，这不仅是解题思路自然发展的体现，而且是 逻辑思维严谨性的具体要求． 2．若数列{an}为等比数列，则下列结论仍能成立．
∵an>0，∴an＋1＋an>0，∴aan＋n 1＝n＋n 1，即 an＋1＝n＋n 1an，
等比数列2
am an ar as
等差数列求和方法回顾:(倒序相加)
Sn a1 a2 a3 an1 an
+ Sn an an1 an2 a2 a1
2Sn (a1 an ) (a2 an1 ) (an a1 )
n个相 同的数
= 18446744073709551615(粒)
假定千粒麦子的质量为10g,那么麦 粒的总质量超过了7000亿吨。 人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子!
1 2 2 2
S64 1 2 4 8 2 2
62
62
63
64
①
2S64 2 4 8 2 2 2 ②
则数列{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列.
14
等比数列(G P)
1.定义
2.公比(差)
3.等比(差) 中项 4.通项公式
an1 q an
等差数列(A P)
an1 an d
d可以是0
等差中项
q不可以是0,
等比中项 G ab
2A a b
an am q
1
等差数列
等比数列
如果一个数列从第2项起， 如果一个数列从第2项起， 定义 每一项与它前一项的差等于 每一项与它的前一项的比等于 同一个常数，那么这个数列 同一个常数，那么这个数列就 叫做等比数列。 就叫做等差数列。 an+1 数学 an+1-an= d(常数) 表达 an = q(常数) 符号 首项a1, 公差d 首项a1, 公比q(q≠0) 表示 d＞0 {an }递增 q＞0 {an }中各项同号 d与{an}
7.3 等比数列(2)
§7.3 等比数列（2）【知识梳理】1． 若{a n } 为等比数列，且k +l =m +n (k 、l 、m 、n ∈N *)则a k a l =a m a n .2． 若{a n }为等比数列，公比为q ，则{a 2n }也是等比数列，公比为q 2.3． 若{a n }为等比数列，公比为q (q ≠-1),则{a 2n -1+a 2n }也是等比数列，公比为q 2.4． 若{a n }、{b n }是等比数列，则{a n b n }也是等比数列.【例题精选】例1、在等比数列{a n }中，a 1a 3=36，a 2+a 4=60，求a 1和公比q 。
例1、 若a 、b 、c 成等比数列，试证：a 2＋b 2，ac ＋bc ，b 2＋c 2也成等比数列.例3、设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+)(41)(211为奇数为偶数n a n a a n n n ，记Λ,3,2,1,4112=-=-n a b n n (1)求a 2, a 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论。
例4、在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 2是a 1与a 4的等比中项，又已知ΛΛ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列{k n }的通项公式。
【课后作业】1． 在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+…+log 3a 10等于 。
2． 一个直角三角形三边的长成等比数列，则(A)三边边长之比为3∶4∶5(B)三边边长之比为1∶3∶3 (C)较小锐角的正弦为215- (D)较大锐角的正弦为215- 3． 公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为 。
4． 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值为______。
4.3.1 等比数列(2)(人教A版高中数学选择性必修第二册)(解析版)
课时同步练4.3.1 等比数列 （2）一、单选题1．已知数列{}n a 中,13n n a a +=,12a =,则4a 等于 （ ）A ．18B ．54C ．36D ．72【答案】B【详细解析】数列{}n a 中,13n n a a +=,12a =,∴数列{}n a 是等比数列,公比3q =．则342354a =⨯=．故选B ．2．22 （ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．2【答案】C【详细解析】设等比中项为a ,则,2(21,1a a ===±, 故选C ．3．已知数列{}n a 是等比数列,函数2=53y x x -+的两个零点是15a a 、,则3a = （ ）A ．1B ．1-C ．D 【答案】D【详细解析】由韦达定理可知155a a +=,153a a ⋅=,则10a >,50a >,从而30a >,且231533a a a a =⋅=∴=故选D4．已知数列{}n a 为等比数列,且2234764a a a a =-=-,则46tan 3a a π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．D ．【答案】A【详细解析】由题意得3234364a a a a ==-,所以34a =-．又2764a =,所以78a =-或78a = （由于7a 与3a 同号,故舍去）．所以463732a a a a ==,因此4632tan tan tan 11tan 3333a a πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选A5．数列{}n a 中,121n n a a +=+,11a =,则6a = （ ）A ．32B ．62C ．63D ．64【答案】C【详细解析】数列{}n a 中,121n n a a +=+,故()1121n n a a ++=+, 因为11a =,故1120a +=≠,故10n a +≠, 所以1121n n a a ++=+,所以{}1n a +为等比数列,公比为2,首项为2. 所以12nn a +=即21n n a =-,故663a =,故选C.6．在等比数列{}n a 中,121a a =,369a a =,则24a a = （ ）A ．3B ．3±CD．【答案】A【详细解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,因为1210a a =>,所以0q >, 又369a a =,所以423a a ===.故选A7．对于按复利计算机利息的储蓄,若本金为a 元,每期利率为r ,存期为n ,则本金和利息总和y （元）与存期n 的函数表达式为 （ ）A ．()1ny a r =+ B ．()11n y a r -=+C ．()11n y a r +=+D ．()1y a nr =+【答案】A【详细解析】1期后的本息和为()1a ar a r +=+;2期后的本息和为()()()2111a r a r r a r +++=+;3期后的本息和为()()()223111a r a r r a r +++=+;…n 期后的本息和为()1ny a r =+. 故选A8．已知等比数列{n a }中,1a +2a =12,1a ﹣3a =34,则4a = A ．﹣18B ．18C ．﹣4D ．4【答案】A【详细解析】∵等比数列{a n }中,a 1+a 2=12,a 1﹣a 3=34, ∴112111234a a q a a q ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 解得111,2a q ==-, ∴a 4=31a q =1× （﹣12）3=﹣18．故选A ．9．等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1,公差与公比均为3,则1b a +2b a +3b a = （ ）A ．64B ．32C ．33D ．38【答案】C【详细解析】依题意1231,3,9b b b ===,故139172533a a a ++=++=, 故选C.10．已知数列{}n a 是等比数列,数列{}n b 是等差数列,若1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=,则3948tan1b b a a +-⋅的值是 （ ）A ．1BC．D．【答案】D【详细解析】在等差数列{}n b 中,由16117b b b π++=,得637b π=,673b π=,3961423b b b π∴+==, 在等比数列{}n a 中,由1611a a a =-,得36a =-6a =(224861112a a a ∴-=-=-=-,则39481473tan tan tan tan 1233b b a a πππ+⎛⎫⎛⎫==-=-=⎪ ⎪-⋅-⎝⎭⎝⎭故选D.11．等比数列{}n a 的公比为,||1q q ≠,则2237a a +与2246a a +的大小关系是 （ ）A ．22223746a a a a +>+ B ．22223746a a a a +<+ C ．22223746a a a a +=+D ．不能确定【答案】A【详细解析】由等比数列的通项公式可得,()22382371a a qa =++,()32426262a aq q a =++,()()()()()()()2826262233333222237461111111a q q q a q q a q q q q a a a a --=+--=--=-+-++()()()()()()222222224233111111a q q q q q q a q q q =-+-+++=-++,1,0n q a ≠≠,∴()()222423110a q q q -++>,即22223746a a a a +>+.故选A .12．已知数列{},{}n n a b 满足11111121.1,0.2,,,233n n n n n n b a a b a b a b n ++++====+∈N ,令n n n c a b =-,则满足4110n c ≤的n 最小值为 （ ） A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B【详细解析】()11111111121122223323n n n n n n n n n n n n b a a b b b a a b a a b ++++++⎛⎫-=-=-+=-++=- ⎪⎝⎭,1110.9c a b =-=,故{}n c 是首项为0.9,公比为13的等比数列,故110.93n n c -=⨯,则14110.9310n -⨯≤,即33310n -≥,当9n =时,63372910=<;当10n =时,733218710=>,显然当10n ≥时,33310n -≥成立,故n 的最小值为10. 故选B ．二、填空题13．设{}n a 是等比数列,且245a a a =,427a =,则{}n a 的通项公式为_______．【答案】13-=n n a ,*n N ∈【详细解析】设等比数列{}n a 的公比为q , 因为245a a a =,427a =,所以223542427a a a a q q q ====,解得3q =,所以41327127a a q ===, 因此,13-=n n a ,*n N ∈. 故填13-=n n a ,*n N ∈14．等比数列{}n a 的各项为正数,且564718a a a a +=,则3132310log log log a a a +++=_____.【答案】10【详细解析】∵等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=, ∴56479a a a a ==, ∴3132310log log log a a a +++31210()log a a a =⨯⨯⨯6535log ()a a ⨯= 103log 3=10=故填1015．各项为正数的等比数列{}n a 中,2a 与10a 则3438log log a a +=_____． 【答案】1-【详细解析】根据题意,等比数列{}n a 中,2a 与10a的等比中项为3,则有21013a a =又由等比数列的性质可得:4821013a a a a == 则343834831log log log log 13a a a a +===- 故填1-．16．已知数列{}n a 满足12a =且132n n a a +-=,则数列{}n a 的通项公式为__________．【答案】31n -【详细解析】因为132n n a a +-=,所以()113331n n n a a a ++=+=+,即1131n n a a ++=+, 即数列{}1n a +为首项3,公比为3的等比数列, 则1133n n a -+=⨯=3n ,所以31nn a =-．故填31n -.17．已知数列{}n a 中,12a =,且对于任意正整数m ,n 都有m n m n a a a +=,则数列{}n a 的通项公式是___________.【答案】2nn a =【详细解析】数列{}n a 中,令1m =,得12n n a a +=,又12a =, 所以{}n a 是首项和公比均为2的等比数列, 则122=2n n n a -⨯=.故填2nn a =18．各项均为正偶数的数列1234,,,a a a a 中,前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列,后三项依次成公比为q 的等比数列.若4188a a -=,则q 的所有可能的值构成的集合为________.【答案】5837⎧⎫⎨⎬⎩⎭，【详细解析】因为前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列,4188a a -=,所以这四项可以设为1111,,2,88a a d a d a +++,其中1,a d 为正偶数,后三项依次成公比为q 的等比数列,所以有()()()2111288a d a d a +=++,整理得14(22)0388d d a d -=>-,得(22)(388)0d d --<,88223d <<,1,a d 为正偶数,所以24,26,28d = 当24d =时,1512,3a q ==;当26d =时,12085a =,不符合题意,舍去;当28d =时,18168,7a q ==,故q 的所有可能的值构成的集合为5837⎧⎫⎨⎬⎩⎭，.故填5837⎧⎫⎨⎬⎩⎭，三、解答题19．数列{}n a 满足11a =,1120n n n n a a a a +++-=（1）写出数列的前5项;（2）由 （1）写出数列{}n a 的一个通项公式; 【详细解析】 （1）由已知可得11a =,213a =,315a =,417a =,519a =.（2）由 （1）可得数列的每一项的分子均为1,分母分别为1,3,5,7,9,…,所以它的一个通项公式为121n a n =-. 20．已知数列{}n a 满足156a =,()*11133n n a a n N +=+∈.（1）求证:数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列; （2）求数列{}n a 的通项公式. 【详细解析】 （1）()*11133n n a a n N +=+∈,111111111132332362111132222n n n n n n n n a a a a a a a a +⎛⎫-+---⎪⎝⎭∴====----,因此,数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列; （2）由于115112623a -=-=,所以,数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13为首项,以13为公比的等比数列,111112333n n na -⎛⎫∴-=⨯=⎪⎝⎭,因此,1123n n a =+. 21．已知数列{}n a 满足124n n n a a -=+,且13a =,求:（1）数列{}n a 的前3项; （2）数列{}n a 的通项公式. 【详细解析】 （1）124n n n a a -=+,且13a =∴2212422a a =+=,33224108a a =+=（2）由题可令:()11424nn n n a k a k --+⋅=+⋅-1242n n n ka a =-⋅又124n n n a a -=+,2k ∴=-故数列{}24nn a -⋅是以2为公比的等比数列,且首项-5∴ 12452n n n a --⋅=-⋅∴ 12452n n n a -=⋅-⋅22．已知等比数列{}n a 的首项为1,公比为2,数列{}n b 满足11b a =,22b a =,2122n n n b b b ++=-+．（1）证明{}1n n b b +-为等差数列;求数列{}n b 的通项公式; （2）求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项． 【详细解析】 （1）根据等比数列的通项公式,得12n n a ,11b =,22b =.因为2122n n n b b b ++=-+所以()()2112n n n n b b b b +++---=,且2121211b b a a -=-=-=,所以数列{}1n n b b +-是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以()112121n n b b n n +-=+-=-, 当2n ≥时,()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+-()11323n =+++⋅⋅⋅+- ()()123112n n +--=+()221122n n n =-+=-+,又2111212b ==-⨯+,满足上式,因此222n b n n =-+．（2）设21222n n n n b n n c a --+==, 所以()()()()22112112122422222n n n n n n n n n n n c c -------+---+-=-=-, 所以123456c c c c c c =<=>>>⋅⋅⋅,故n c 的最大值为2343482524c c -+===．。
等比数列(2)
等比数列（2）（3.20）备课人：徐卫萍 审核人：姜利娟教学目标：（1）理解等比数列的定义。
（2）会利用概念判断数列是否为等比数列。
教学重、难点：利用概念判断等比数列及概念的应用。
教学过程：一、新课讲解：1．等比数列的通项公式：2．等比中项：二、例题讲解：例1在等比数列{}n a 中，（1）已知13,2,a q ==-求6a 。
（2）已知3620,160a a ==，求n a 。
(3)573,27,a a ==求10a 。
例2．在243和3之间插入3个数，使这5个数成等比数列。
例3．已知实数,,a b c 成等差数列，1,1,4a b c +++成等比数列，且15,a b c ++=求,,a b c课堂作业：1．求下列等比数列的公比、第5项和第n 项：（1）2，6，18，54，…； （2）7，142856,,,3927…；（3）0.3,0.09,0.027,0.0081,--…； （4）121315,5,5,5,c c c +++…。
2．已知等比数列的公比为25，第4项是52，求前三项。
3．已知123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅是公比为q 的等比数列，新数列121,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅也是等比数列吗？如果是，公比是多少？4．在等比数列{}n a 中，（1）已知427,3,a q ==-求7;a （2）已知2418,8,a a ==求1;a q 和课后作业：1．已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q 。
（1）依次取出数列{}n a 中的所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？（2）数列{}n ca （其中常数0c ≠）是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？2．在两个非零实数a 和b 之间插入2个数，使它们成等比数列，试用a ，b 表示这个等比数列的公比。
3．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，求该等比数列的公比。
高一数学 第二章 2.4(二)等比数列(二)
§2.4 等比数列(二)1．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l ，特别地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝a 2k .2．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．3．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b n a n}，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案 C解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴m －1＝10，∴m ＝11.2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( )A ．3B ．2C ．1D ．－2 答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.3．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋c n＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 C解析 设等比数列公比为q .由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c 2， 则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. 4．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( )A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2答案 A解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310.∴a 25＝a 2a 8＝350＝5013， 又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016. ∴a 4a 5a 6＝a 35＝5012＝5 2. 5．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A.43B.34 C ．2 D ．343答案 A解析 ∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313. ∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43. 6．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56 B.65 C.23 D.32答案 D解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5. 解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝(62)2＝32. 二、填空题7．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________.答案 4解析 由题意知，q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4. 8．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6.∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8.10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．答案 12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12. 三、解答题11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x (18－y )2(18－y )＝y ＋(21－x )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝6或⎩⎨⎧ x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94. 12．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数列．证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，c n ＝a n ＋b n .要证{c n }不是等比数列，只需证c 22≠c 1·c 3成立即可． 事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ，c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q )2≠0，因此c 22≠c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． 能力提升13．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 等于( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4答案 D解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c ， ①a 2＝bc ， ②a ＋3b ＋c ＝10， ③①代入③求得b ＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝4，a 2＝2c ⇒a 2＋2a －8＝0， 解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，c ＝2，即a ＝b ＝c 与已知不符，∴a ＝－4.14．等比数列{a n }同时满足下列三个条件：①a 1＋a 6＝11 ②a 3·a 4＝329 ③三个数23a 2，a 23，a 4＋4a依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式．解 由等比数列的性质知a 1a 6＝a 3a 4＝329∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 6＝11a 1·a 6＝329解得⎩⎨⎧ a 1＝13a 6＝323求⎩⎨⎧ a 1＝323a 6＝13当⎩⎨⎧ a 1＝13a 6＝323时q ＝2 ∴a n ＝13·2n －1 23a 2＋a 4＋49＝329，2a 23＝329 ∴23a 2，a 23，a 4＋49成等差数列， ∴a n ＝13·2n －1 当⎩⎨⎧ a 1＝323a 6＝13时q ＝12，a n ＝13·26－n 23a 2＋a 4＋49≠2a 23， ∴不符合题意，∴通项公式a n ＝13·2n －1.1．等比数列的基本量是a 1和q ，依据题目条件建立关于a 1和q 的方程(组)，然后解方程(组)，求得a 1和q 的值，再解决其它问题．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在a n ，a n ＋1，a n ＋2，使a 2n ＋1≠a n ·a n ＋2.3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．。
等比数列(第二课)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等比数列的图象4
（1）数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，…
通项公式
an=(-1)n+1
(a1>0 ,q<0)
摆动数列
●
●
●
●
●
1
2
●
3
4
●
5
6
●
7
8
●
9
10
●
单调性
an=a1
n-1 q
q>1 0<q<1 q=1
a1>0 递增 a1<0 递减
练习2.一个等比数列的第2项是10，第3项是20， 则它的第4项是
40 ；
练习3.一个等比数列的第2项是10，第6项是160，
则它的第4项是
±40；
练习4.已知等比数列{ an }的a2=2， a5=54，则q= 3 ；
练习5.已知等比数列{ an }的a5=1， an=256，q=2，则n= 13.
a 例题： n 是等比数列，a3 a8 2011 .那么a4 a5 a6 a7 ?
a3 a8 a4 a7 a5 a6 , a4 a5 a6 a7 2011
练 1 已 等 数 习： 知 比 列 {an｝ , a2 a6 a10 1, 求a3 a9。 1 中
2a q －a＋aq＝16， 由条件得 a＋a＝12， q
a＝8， 解得 q＝2
a＝3， 或 1 q＝3.
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16； 1 当 a＝3，q＝ 时，所求四个数为 15,9,3,1. 3 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
人教版高中数学必修五-等比数列课件 (2)
为公比的等比数列，
4
an 1,
其通项公式为a
a n 1
4
3
1
4
4
3 ( 1 )n1 3( 1 )n .
44
4
第二章 数 列
【典例】(12分)等比数列{an}的前三项的和为168，a2-a5 =42，求a5，a7的等比中项.
【审题指导】题目中给出了等比数列前三项的和以及a2a =42，由此列出方程组解得公比 和首项a1，利用定义求a ，
第二章 数 列
4．若{an}为等比数列，且a1·a9＝64，a3＋a7＝20，求a11. 解析： ∵{an}为等比数列， ∴a1·a9＝a3·a7＝64，又∵a3＋a7＝20， ∴aa73＝＝146， 或aa73＝＝41.6， 当a3＝4，a7＝16时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20， ∴1＋q4＝5，∴q4＝4， 当a3＝16，a7＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20， ∴1＋q4＝54，∴q4＝14， ∴a11＝a1q10＝a3q8＝64或1.
正确说法的个数为（ ）
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
第二章 数 列
【解析】选C.其中正确的为③，④；①，②中不能保 证各项及公比不为0,所以错误.
第二章 数 列
2.等比数列{an}中，２a4＝a6-a5，则公比是( )
(A)0
(B)１或2
(C)-1或2
(D)－1或-2
【解析】选C.由已知得２＝ 2 ，所以 ＝-1或2.
第二章 数 列
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
第二章 数 列
1.下面有四个结论：
①由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定
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1．定义：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常
a n 1 数的数列称作等比数列. q(q为不等于零的常 数) an
2．通项公式 a n a1q , 推广形式: a n
n 1
a mq
n m
,
3．等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比 中项,且
b ac
2
(2)a2 n 是等比数列;
1 (3) 是等比数列; (4)ln an 是等比数列. an
其中真命题的个数是 ____ .
二、等差数列与等比数列性质的比较：
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定义 推广 式 中 项
三个数
an-an-1= d an=am +(n-m) d
4．判断数列为等比数列的方法:
a n 1 q(n N ) 数列a n 为等比数列 (1)定义法:若 an
(2)等比中项法: --2 若 a n1 a n a n2(n N 且an ,a n1 ,a n2 0)
数列a n 为等比数列
n a cq (c, q均是不为0的常数, n N ) (3)通项法:若 n
an=amqn-m
b2=ac
a, aq, aq2或 a ，a，aq q
问题1、已知{an}是一个无穷等比数列，公比为q：
（1）将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新 的数列，这个数列是等比数列吗？ （2）取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数 列，这个数列是等比数列吗？ （3）在数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新 的数列，这个数列是等比数列吗？
练习:有四个数，前三个成等比数列,它们的和为19, 后三个数成等差数列，其和为12,求这四个数
25，-10，4，18或9，6，4，2 例3:已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1, 求证:{an}为等比数列。
四、小结
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定义 推广 式 中 项
三个数
an-an-1= d an=am +(n-m) d
2b=a+c a，a+d，a+2d 或 a-d，a，a+d
an q an 1
an=amqn-m
b2=ac a 2 a, aq, aq 或 ，a，aq q
等距项
性 质
am,am+k,am+2k,…成等差 am,am+k,am+2k,…成等比
若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 若m+n=t+s,则 am· an=at· as
2b=a+c a，a+d，a+2d 或 a-d，a，a+d
an q an 1
an=amqn-m
b2=ac a 2 a, aq, aq 或 ，a，aq q
等距项
性 质
am,am+k,am+2k,…成等差 am,am+k,am+2k,…成等比
若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 若m+n=t+s,则 am· an=at· as
你还能写出类似的等式吗？
（2）根据以上等式，你能归纳出一般的结论吗？ 在等比数列{an}中，若m+n=t+s,则am· an=at· as 特别地：当m=n时，an2 = as· a t,
二、等差数列与等比数列性质的比较：
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定义 推广 式 中 项
三个数
an-an-1= d an=am +(n-m) d
m、n、p、 (m、n、p、 N * ) 结论：等比数列{an}中， a p， 是等比数列。 数列,则 am , a n ,
成等差
思考： 若{an}、 {bn}是等比数列，且公比为q1，q2，则 {anbn}、{kan}也是等比数列吗？
练习.an 是等比数列, 下列四个命题 :
(1) an 是等比数列;
（5）若an>0,a1· a5+2a3· a5+a2· a8=25,则a3+a5= （6）若an>0, a3· a4=16, 则log4a1+log4a2+…+log4a6= ;
பைடு நூலகம்
;
三、例题选讲
例2:已知三个数成等比数列,它们的和为14, 积为64, 求此数列 结论:三个数成等比数列 ，设三个数为aq-1,a,aq
2b=a+c a，a+d，a+2d 或 a-d，a，a+d
an q an 1
an=amqn-m
b2=ac a 2 a, aq, aq 或 ，a，aq q
等距项
性 质
am,am+k,am+2k,…成等差 am,am+k,am+2k,…成等比
若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq
问题2、在等比数列{an}中，已知a1=1,q=2,试计算: (1)a2,a3,a7,a8.并验证等式a2· a8=a3· a7是否成立？
三、例题选讲
例1、在等比数列{an}中： （1）若a3· a5=100,则a4= ;
（2）若a3=4, a9=9,则a6=
;
（3）若a3=4, a7=9,则a5= ; (4)在等比数列an 中, 若a1 a2 a3 3, a1 a2 a3 8
则an _______
数列a n 为等比数列
二、等差数列与等比数列性质的比较：
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定义 推广 式 中 项
三个数 等距项 性 质
an-an-1= d an=am +(n-m) d
2b=a+c a，a+d，a+2d 或 a-d，a，a+d am,am+k,am+2k,…成等差
an q an 1