福建省三明市清流一中2014-2015学年高一上学期第三次段考数学试卷

福建省三明市清流一中2014-2015学年高一上学期第三次段考数学试卷一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题有且只有一个正确答案）1．若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4} C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}2．sin600°的值是（）A．B．C．D．3．函数的最小正周期是（）A．B．C．2πD．5π4．已知角α终边上一点A的坐标为，则sinα=（）A．B．C．D．5．下列命题正确的是（）A．单位向量都相等B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C．D．6．设a=log2，b=log3，c=（）0.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c7．将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称8．函数y=Acos（ωx+φ）在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（）A．y=2cos（2x+）B．y=2cos（2x﹣）C．y=2cos（﹣）D．y=2cos（2x+）9．半径为10cm，面积为100cm2的扇形中，弧所对的圆心角为（）A．2B．C．D．1010．将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B．C．D．11．f（x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[4，8）C．（4，8）D．（1，8）12．如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（）A．ω=，A=5 B．ω=，A=5 C．ω=，A=3 D．ω=，A=3二、填空题：（每小题3分，共12分）13．=．14．记符号f﹣1（x）为函数f（x）的反函数，且f（3）=0，则f﹣1（x+1）的图象必经过点．15．求函数取最大值时自变量的取值集合．16．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题．（共6个大题，总分52分）17．．18．计算（1）已知tanx=2，求的值；（2）•sin（α﹣2π）•cos（2π﹣α）．19．已知集合A={x∈R|mx2﹣2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围：（Ⅰ）A=∅；（Ⅱ）A恰有两个子集；（Ⅲ）A∩（，2）≠∅20．已知函数（1）写出它的振幅、周期、频率和初相；（2）在直角坐标系中，用“五点法”画出函数y=f（x）一个周期闭区间上的图象；（3）求函数f（x）的单调递增区间．21．已知函数f（x）=1﹣，x∈（b﹣3，2b）是奇函数．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）是区间（b﹣3，2b）上的减函数；（3）若f（m﹣1）+f（2m+1）＞0，求实数m的取值范围．22．对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．（Ⅰ）求“和谐”函数y=x3符合条件的“和谐”区间；（Ⅱ）判断函数是否为“和谐”函数？并说明理由．（Ⅲ）若函数是“和谐”函数，求实数m的取值范围．福建省三明市清流一中2014-2015学年高一上学期第三次段考数学试卷一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题有且只有一个正确答案）1．若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4} C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案解答：解：∵P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，∴P∩Q={x|3≤x＜4}．故选A．点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．sin600°的值是（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：把原式的角度600°变形为2×360°﹣120°，然后利用诱导公式化简，再把120°变为180°﹣60°，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值．解答：解：sin600°=sin（2×360°﹣120°）=﹣sin120°=﹣sin（180°﹣60°）=﹣sin60°=﹣．故选D点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，同时注意角度的灵活变换．3．函数的最小正周期是（）A．B．C．2πD．5π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：根据T=可得答案．解答：解：T==5π故选D．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．4．已知角α终边上一点A的坐标为，则sinα=（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得x=﹣2，y=2，r=4，由sinα=，运算求得结果．解答：解：由题意可得x=﹣2，y=2，∴r==4，∴sinα==，故选：C点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．5．下列命题正确的是（）A．单位向量都相等B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C．D．考点：向量的三角形法则；单位向量．专题：平面向量及应用．分析：A．单位向量的方向不一定相同，因此不一定相等；B．取=，则与不一定是共线向量；C.≠0；D．利用向量的三角形法则即可判断出．解答：解：A．单位向量的方向不一定相同，因此不一定相等，不正确；B．虽然与是共线向量，与是共线向量，但是取=，则与不一定是共线向量，不正确；C.，因此不正确；D.=，正确．故选：D．点评：本题考查了单位向量、向量的三角形法则、共线向量，考查了推理能力，属于基础题．6．设a=log2，b=log3，c=（）0.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：直接判断对数值的范围，利用对数函数的单调性比较即可．解答：解：∵a=log2＜0，b=log3＜0，log2＜log2＜log2＜log3，c=（）0.3＞0．∴b＜a＜c．故选：D．点评：本题考查对数函数的单调性，对数值的大小比较，基本知识的考查．7．将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．解答：解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．即f（x）=cosx．∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．点评：本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．8．函数y=Acos（ωx+φ）在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（）A．y=2cos（2x+）B．y=2cos（2x﹣）C．y=2cos（﹣）D．y=2cos（2x+）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图易知A=2，T==π，可求得ω，再利用“五点作图法”，知2（﹣）+φ=0，可求得φ，从而可得此函数的解析式．解答：解：由图知，A=2，=﹣（﹣）=，所以T==π，解得：ω=2．由“五点作图法”知，2（﹣）+φ=0，解得：φ=，所以，此函数的解析式为：y=2cos（2x+），故选：A．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，利用“五点作图法”确定φ的值是难点，考查转化思想．9．半径为10cm，面积为100cm2的扇形中，弧所对的圆心角为（）A．2B．C．D．10考点：弧长公式．专题：三角函数的求值．分析：利用弧长公式与扇形的面积计算公式即可得出．解答：解：设弧所对的圆心角为α．则100=，解得α=2．故选：A．点评：本题考查了弧长公式与扇形的面积计算公式，属于基础题．10．将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的2倍可得到新的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到y=sin[（x+）﹣]，整理后答案可得．解答：解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（x﹣），再将所得的图象向左平移个单位，得函数y=sin[（x+）﹣]，即y=sin（x﹣），故选：C．点评：本题主要考查了三角函数的图象的变换．要特别注意图象平移的法则．11．f（x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[4，8）C．（4，8）D．（1，8）考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；压轴题．分析：先根据当x≤1时，f（x）是一次函数且为增函数，可得一次项系数为正数，再根据当x＞1时，f（x）=a x为增函数，可得底数大于1，最后当x=1时，函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值．综合，可得实数a的取值范围．解答：解：∵当x≤1时，f（x）=（4﹣）x+2为增函数∴4﹣＞0⇒a＜8又∵当x＞1时，f（x）=a x为增函数∴a＞1同时，当x=1时，函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值∴（4﹣）×1+2≤a1=a⇒a≥4综上所述，4≤a＜8故选B点评：本题以分段函数为例，考查了函数的单调性、基本初等函数等概念，属于基础题．解题时，应该注意在间断点处函数值的大小比较．12．如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（）A．ω=，A=5 B．ω=，A=5 C．ω=，A=3 D．ω=，A=3考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；已知三角函数模型的应用问题．专题：应用题．分析：根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T=求解；A为最大振幅，由图象知到最高点时即为A值．解答：解：已知水轮每分钟旋转4圈∴ω=又∵半径为3m，水轮中心O距水面2m，∴最高点为5，即A=3，故选D．点评：本题主要通过一个实际背景来考查三角函数的周期及振幅．二、填空题：（每小题3分，共12分）13．=6．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用指数式和对数式的运算性质和运算法则，把等价转化为4﹣1+3，由此能够求出结果．解答：解：=4﹣1+3=6．故答案为：6．点评：本题考查指数式和对数式的运算性质和运算法则，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14．记符号f﹣1（x）为函数f（x）的反函数，且f（3）=0，则f﹣1（x+1）的图象必经过点（﹣1，3）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：f（3）=0，可得f﹣1（0）=3，令x+1=0，解得x即可得出．解答：解：∵f（3）=0，∴f﹣1（0）=3，令x+1=0，解得x=﹣1．∴f﹣1（x+1）的图象必经过点（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．点评：本题考查了互为反函数的性质，属于基础题．15．求函数取最大值时自变量的取值集合{x|x=+4kπ，k∈Z}．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接根据正弦函数的最值进行求解．解答：解：∵函数，∴当sin（）=1时，函数取得最大值1，此时=2kπ+，k∈Z，∴x=+4kπ，k∈Z，∴自变量的取值集合{x|x=+4kπ，k∈Z}．故答案为：{x|x=+4kπ，k∈Z}．点评：本题重点考查了正弦函数的单调性和最值，属于中档题．16．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是[﹣，﹣1]．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后判断方程是否有解即可．解答：解：根据局部奇函数的定义，f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解，令t=2x∈[，2]，则﹣2m=t+，设g（t）=t+，则g'（t）=1﹣=，当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数，所以t∈[，2]时，g（t）∈[2，]．所以﹣2m∈[2，]，即m∈．故答案为：．点评：本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力三、解答题．（共6个大题，总分52分）17．．考点：向量在几何中的应用．专题：证明题．分析：先利用向量的减法法则将向量表示成，再将条件代入化简即可证明出结论．解答：证明：∵，∴．点评：点评：本题考查向量在几何中的应用、两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，实数与向量乘积公式的应用．18．计算（1）已知tanx=2，求的值；（2）•sin（α﹣2π）•cos（2π﹣α）．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得所给式子的值．解答：（1）解：．（2）•sin（α﹣2π）•cos（2π﹣α）=•sinα•cosα=•sinα•cosα=sin2α．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．19．已知集合A={x∈R|mx2﹣2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围：（Ⅰ）A=∅；（Ⅱ）A恰有两个子集；（Ⅲ）A∩（，2）≠∅考点：集合关系中的参数取值问题；子集与真子集．专题：综合题．分析：（Ⅰ）若A=∅，则关于x的方程mx2﹣2x+1=0 没有实数解，则m≠0，由此能求出实数m的取值范围．（Ⅱ）若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2﹣2x+1=0 恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．（Ⅲ）若A∩（，2）≠∅，则关于x的方程mx2=2x﹣1在区间（，2）内有解，这等价于当x∈（，2）时，求值域：m=﹣=1﹣（﹣1）2，由此能求出实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）若A=∅，则关于x的方程mx2﹣2x+1=0 没有实数解，则m≠0，且△=4﹣4m＜0，所以m＞1；（Ⅱ）若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2﹣2x+1=0 恰有一个实数解，讨论：①当m=0时，x=，满足题意；②当m≠0时，△=4﹣4m，所以m=1．综上所述，m的集合为{0，1}．（Ⅲ）若A∩（，2）≠∅则关于x的方程mx2=2x﹣1在区间（，2）内有解，这等价于当x∈（，2）时，求值域：m=﹣=1﹣（﹣1）2∴m∈（0，1]点评：本题考查实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用．20．已知函数（1）写出它的振幅、周期、频率和初相；（2）在直角坐标系中，用“五点法”画出函数y=f（x）一个周期闭区间上的图象；（3）求函数f（x）的单调递增区间．考点：正弦函数的图象；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）直接结合所给函数的解析式进行求解即可；（2）直接根据“五点法”画图的步骤进行求解；（3）直接根据正弦函数的单调性进行求解．解答：解：（1）∵函数，振幅为3，周期是4π，初相是，（2）利用五点法，计算是你如下所示：当时，x=﹣，y=0，当时，x=，y=3，当时，x=，y=0，当时，x=，y=﹣3，当时，x=，y=0，函数在一个周期内的图象如下图所示：（3）令﹣+2kπ≤≤+2kπ，k∈Z，∴﹣≤x≤，∴增区间为[﹣，]，k∈Z，点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角函数中有关量之间的关系等炸死，属于基础题．解题关键是灵活运用有关性质进行求解．21．已知函数f（x）=1﹣，x∈（b﹣3，2b）是奇函数．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）是区间（b﹣3，2b）上的减函数；（3）若f（m﹣1）+f（2m+1）＞0，求实数m的取值范围．考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由于函数f（x）是奇函数，且f（0）有意义，则f（0）=0，定义域关于原点对称，列出方程，即可得到a，b；（2）运用单调性的定义，注意作差、变形，同时运用指数函数的单调性，即可判断符号，得到结论成立；（3）运用奇函数的定义和函数f（x）是区间（﹣2，2）上的减函数，得到不等式组，注意定义域的运用，解出它们即可得到范围．解答：（1）解：∵函数，x∈（b﹣3，2b）是奇函数，∴，且b﹣3+2b=0，即a=2，b=1．（2）证明：由（I）得，x∈（﹣2，2），设任意x1，x2∈（﹣2，2）且x1＜x2，∴，∵x1＜x2∴∴又∵∴，∴f（x1）＞f（x2）．∴f（x）是区间（﹣2，2）上的减函数．（3）解：∵f（m﹣1）+f（2m+1）＞0，∴f（m﹣1）＞﹣f（2m+1）∵f（x）奇函数∴f（m﹣1）＞f（﹣2m﹣1）∵f（x）是区间（﹣2，2）上的减函数∴即有∴﹣1＜m＜0，则实数m的取值范围是（﹣1，0）．点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性的定义和判断，以及运用解不等式，注意定义域，考查运算能力，属于中档题和易错题．22．对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．（Ⅰ）求“和谐”函数y=x3符合条件的“和谐”区间；（Ⅱ）判断函数是否为“和谐”函数？并说明理由．（Ⅲ）若函数是“和谐”函数，求实数m的取值范围．考点：函数的最值及其几何意义．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据“和谐”函数的定义，建立条件关系，即可求y=x3符合条件的“和谐”区间；（Ⅱ）判断函数是否满足“和谐”函数？的条件即可．（Ⅲ）根据函数g（x）是“和谐”函数，建立条件关系，即可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为y=x3是单调递增函数，所以有，即[a，b]=[﹣1，1]或[a，b]=[﹣1，0]或[a，b]=[0，1]．（Ⅱ）函数在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，故f（x）在（0，+∞）上不单调，不是“和谐”函数．（Ⅲ）若是“和谐”函数．设﹣4≤x1＜x2，则，所以是单调递增函数．若它是“和谐”函数，则必具备方程有两个不相同的实数解，即方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不同的实数解且同时大于或等于﹣4和m．若令h （x）=x2﹣（2m+1）x+m2﹣4，则，解得m∈（，﹣4]．另解：方程有两个不相同的实数解，等价于两函数y 1=x﹣m与的图象有两个不同的交点，当直线过（﹣4，0）时，m=﹣4；直线与抛物线相切时，∴．若它是“和谐”函数，则必具备方程有两个不相同的实数解，即方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不同的实数解且同时大于或等于﹣4和m．若令h（x）=x2﹣（2m+1）x+m2﹣4，则，解得m∈（，﹣4]．点评：本题主要考查“和谐”函数的定义及应用，正确理解“和谐”函数的定义是解决本题的关键．。