9.2.4 伯努里方程

x=e
ln cos y
[∫ sin 2 y ⋅ e
− ln cos y
dy + C
]
2 sin y cos y dy + C = cos y ∫ cos y
= cos y[C − 2 cos y ].
小 结：一阶微分方程的解法 可分离变量
dy = g ( x ) ⋅ h( y ) dx
=e
y2 − 2
y2 − y 3 e y2 dy + C −2 = Ce − y 2 + 2 ∫
2
用适当的变量代换解微分方程: 用适当的变量代换解微分方程:
例3 求方程 y' 的通解． + 2 x arctan y = 4 x 3 的通解． 2 1+ y
du 1 dy = ， 原方程可化为 2 dx 1 + y dx du + 2 xu = 4 x 3 dx
将 u = x + y 代回, 所求通解为
y − ln( x + y + 1) = C ,
或 x = C 1e y − y − 1
dx 另解 方 变 为 = x + y. 程 形 dy
小结
y 1.齐次方程 y ′ = f ( ) 齐次方程 x
2.线性非齐次方程 2.线性非齐次方程 3.伯努利方程 伯努利方程
−1
将 z = xy 代回,
所求通解为 2 xy − sin( 2 xy ) = 4 x + C .
dy 1 3. ; = dx x + y
dy du 解 令x + y = u, 则 = − 1, dx dx du 1 −1= , 代入原式 dx u 分离变量法得 u − ln( u + 1) = x + C ,
( 2 ) 实际上，伯努利方程的 解法为此种形式的特殊 情况． 实际上， 情况．
例 4 求方程
解
2 y' = y − 2 x
2
的通解． 的通解．
将方程化为 x 2 y' = x 2 y 2 − 2， u' x − u ， 令 u = xy， 则 y' = 2 x xu'− u = u 2 − 2， 因此原方程化为
dy y + P ( x ) y 1− n = Q( x ), 两端除以 y ，得 dx dz − n dy 1−n ， z 令 = y , 则 = (1 − n) y dx dx dz + (1 − n) P ( x ) z = (1 − n)Q( x ), 代入上式 dx
n
−n
z = y1− n 代入即得 求出通解后， 求出通解后，将
2
dy 1 y 2. = − ; 2 dx xsin (xy) x dz dy 解 令z = xy, 则 = y+ x , dx dx dz 1 y 1 , = y + x( − )= 2 2 dx x sin ( xy ) x sin z
分离变量法得 2 z − sin 2 z = 4 x + C ,
; 令 y = xu
− P( x)dx
令 y = u(x)e ∫
;
令 y1−n = z;
思考题
cos y 的通解. 求微分方程 y′ = 的通解 cos y sin 2 y − x sin y dx cos y sin 2 y − x sin y = sin 2 y − x tan y , = 解: dy cos y dx ∴ + (tan y ) ⋅ x = sin 2 y , dy
⇑ dy a1 x + b1 y + c1 )， = f( dx a2 x + b2 y + c2
dy ϕ ' ( y ) + P ( x ) ⋅ ϕ ( y ) = Q( x )，令 u = ϕ ( y ) dx
伯努里
dy + P ( x ) ⋅ y = Q( x ) ⋅ y n dx
( n ≠ 0, 1)
− x2
因此原方程的通解为
+ 2x2 − 2
注
dy (1) 形如 ϕ ' ( y ) + P ( x ) ⋅ ϕ ( y ) = Q( x ) 的方程， 的方程， dx du dy 作代换 u = ϕ ( y )， = ϕ ' ( y ) ，将原方程化为 dx dx u'+ P ( x )u = Q ( x )
dx dx − yx = y 3 x 2 ， 或 x −2 − y x −1 = y 3 ， dy dy dz dx −1 则 = − x −2 ， 令 z=x ， dy dy dz 因此原方程可化为 + y ⋅ z = − y3， dy 即
所以通解为 x −1 = z = e − ∫ y dy − y 3 e ∫ y dy dy + C ∫
9.2.4 伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 方程的标准形式 伯努利
dy n + P(x) y = Q(x) y dx
(n ≠ 0,1)
线性微分方程. n 当 = 0,1 ，方程为线性微分方程 时 方程为线性微分方程 方程为非线性微分方程 非线性微分方程. n 当 ≠ 0,1 ， 时 方程为非线性微分方程 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程
五、用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的 方程,然后求出通解: 方程,然后求出通解: dy 1 1、 = + 1； dx x − y 2、 y ′ = y 2 + 2(sin x − 1) y + sin 2 x − 2 sin x − cos x + 1； dy 1 y 3、 = − . 2 dx x sin ( xy ) x 六、已知微分方程 y ′ + y = g ( x ) ,其中 2 , 0 ≤ x ≤ 1 g( x ) = ,试求一连续函数 y = y( x ) ,满 0 , x > 0 足条件 y(0) = 0 ,且在区间[0 , + ∞ ) 满足上述方程 .
三、设有一质 量为 m 的 质点作直线运动从速度等于零 的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正 比(比例系数为 k 1 )的力作用于它,此外还受 一与速度成正比(比例系数为 k 2 )的阻力作用,求质 点运动的速度与时间的函数关系 .
四、求下列伯努利方程的通解: 1 1 − 1 1、 y ′ + y = 2 x 2 y 2 ； x 2、 xdy − [ y + xy 3 (1 + ln x )]dx = 0 .
解 令 u = arctan y， 则
其通解为
u=e ∫
− 2 x dx
=e
− x2
[∫ 4 x e
3
4 x 3 e ∫ 2 x d x dx + C ∫
x2
dx + C = 2
− 2e + C
x2
]
= Ce
− x2
+ 2x2 − 2
arctan y = Ce
⇐ x 2 y' = f ( xy )，令 u = xy
⇑
齐次型
⇑ y' = f (ax + by + c )，令 u = ax + by + c dy y x = g( ) 或 h( ) 令u = y x , or u = x y dx x y
线性
齐次 非齐次
dy dy + P( x) ⋅ y = 0 dx dy + P ( x ) ⋅ y = Q( x ) dx ⇑ 常数变易法，公式 常数变易法，
练习题答案
一、1、 y = ( x + C )e − sin x ； 2、 2 x ln y = ln 2 y + C ； 1 3、 x = Cy 3 + y 2 . 2 二、1、 y sin x + 5e cos x = 1 ；
1 3 3 x2
2、 2 y = x − x e . k − 0t k km 三、 v = 1 t − 1 2 (1 − e m ) . k2 k2 四、1、 xy = x + C ； x2 2 3 2 2、 2 = C − x (ln x + ) . y 3 3
分离变量
3du 3dx = ， 2 u + u−2 x
3du 3dx =∫ ， 两边积分 ∫ 2 u + u−2 x u−1 u−1 得到 ln = 3 ln x + ln C 即 = Cx 3 ， u+ 2 u+ 2 xy − 1 所求通解为 = Cx 3 ． xy + 2
dy 的通解． 例 5 求方程 + ye − x = y ln y 的通解． dx 1 dy − ln y = − e − x， 解 将方程化为 y dx
[
]
用适当的变量代换解下列微分方程: 例6. 用适当的变量代换解下列微分方程:
1. 2yy′ + 2xy = xe ;
2 −x2
1 − x 2 −1 y ′ + xy = xe y , 解 2 dz dy 令z = y1−(−1) = y2, 则 dx = 2 y dx ,
− ∫ 2 xdx dz − x 2 ∫ 2 xdx − x2 [ ∫ xe e dx + C ] ∴ + 2 xz = xe , z = e dx x2 2 x 所求通解为 y = e − ( + C ). 2
令z=
y,
2
dz 4 2 − z = x2 , dx x