第3章最优滤波3
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张旭东离散随机信号处理第3章最优滤波1
虽然非因果IIR的误差最小，但是不可实现的，可实现的因 果IIR和2阶FIR的误差很接近。这个例子说明，对于一个给 定问题，选择适当阶数的FIR滤波器可能得到与因果IIR滤波 器非常接近的性能。由于FIR滤波器不存在数值稳定性问题， 容易实现和集成，所以实际中更易使用
下载地址： /book/Showbook.asp?C PBH=008269-01&DJ=39
Sx(z)
因果IIR维纳滤波器
因果IIR维纳滤波器的传输函数为
H(z)Sx1(z)SSxxd((zz))
最小均方误差为
Jmind2 wolrxd[l] l0
得到
同一个问题分别用非因果IIR、因果IIR和2阶FIR Wiener 滤波器进行处理，得到输出最小均方误差分别为：0.2083、 0.2222和0.2240。
第3章 最优滤波理论
Wiener滤波理论 最优预测和格型滤波器
Kalman滤波理论 本章是随机信号处理线性理论的基础
N. Wiener (1894 - ) 1964
Wiener滤波
详细讨论FIR结构和IIR结构的Wiener滤波器
通信的信道均衡器
系统辨识
Wiener滤波器的一般结构
当线性滤波器部分是FIR结构时，结构图
下载日期：2019-04-05
这里 x [n ] [x [n ]x [ ,n 1 ] ,,x [n M 1 ]T ]
r x d E [ x [ n ] d * [ n ] [ ] r x [ 0 d ] r x [ , d 1 ] ,r x [ 1 d M ] T
w 0 [w 0,0 w 0,w 10, 2w 0 M 1 ]T
矩阵形式
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Sx(z)
因果IIR维纳滤波器
因果IIR维纳滤波器的传输函数为
H(z)Sx1(z)SSxxd((zz))
最小均方误差为
Jmind2 wolrxd[l] l0
得到
同一个问题分别用非因果IIR、因果IIR和2阶FIR Wiener 滤波器进行处理，得到输出最小均方误差分别为：0.2083、 0.2222和0.2240。
第3章 最优滤波理论
Wiener滤波理论 最优预测和格型滤波器
Kalman滤波理论 本章是随机信号处理线性理论的基础
N. Wiener (1894 - ) 1964
Wiener滤波
详细讨论FIR结构和IIR结构的Wiener滤波器
通信的信道均衡器
系统辨识
Wiener滤波器的一般结构
当线性滤波器部分是FIR结构时，结构图
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这里 x [n ] [x [n ]x [ ,n 1 ] ,,x [n M 1 ]T ]
r x d E [ x [ n ] d * [ n ] [ ] r x [ 0 d ] r x [ , d 1 ] ,r x [ 1 d M ] T
w 0 [w 0,0 w 0,w 10, 2w 0 M 1 ]T
矩阵形式
最优滤波方程
最优滤波方程
最优滤波方程是一种将信号加以处理的算法，它可以有效地减少信号中的噪声，并使信号更加精确有效。
由于信号处理技术的发展，最优滤波方程已经成为许多应用中的最佳选择。
最优滤波方程的基本原理是利用信号的特征来设计一种特定的滤波算法，以过滤掉噪声和干扰。
滤波算法基于信号的相关性识别信号的干扰，并采用相应的过滤策略。
例如，假设有一个具有非常强噪声的信号，那么最优滤波方程将会构造一种滤波算法，以消除噪声，从而让信号重新清晰可见。
最优滤波方程可以提供有效的信号处理方法，使信号重新清楚易懂。
一般来说，它们具有良好的时域、频域和相量得分，可以提供更好的信号处理效果。
对于许多应用场合，它也具有较高的精度。
除此之外，最优滤波方程也需要具有有效的迭代能力，它可以不断适应不同的噪声环境，以满足信号处理的要求。
此外，最优滤波方程要求信号有足够的运行冗余，以提高它的稳定性和准确度。
总的来说，最优滤波方程是一种有效的信号处理方法，它可以有效地降低噪声并使信号更加准确、可靠，为许多应用场合提供了良好的信号处理精度。
最优滤波方程
最优滤波方程最优滤波方程（Optimal Filtering Equation）是信号处理领域中常用的一种滤波方法，它利用数学模型和最小均方误差准则，根据已知信号信息和观测噪声特性，通过最小化滤波误差来估计出真实信号的最佳估计值。
在介绍最优滤波方程之前，我们先来了解一下滤波的基本概念。
滤波是一种信号处理的方法，通过将输入信号通过滤波器进行处理，得到输出信号，以达到滤除噪声、平滑信号等目的。
在实际应用中，我们常常需要对信号进行估计和预测，这就涉及到了滤波估计问题。
最优滤波方程是一种基于贝叶斯准则的滤波方法，它利用贝叶斯公式，通过求解条件概率分布的最大后验概率，得到最佳估计值。
最优滤波方程的核心思想是在已知观测信号和模型的情况下，利用贝叶斯公式对未知信号进行估计，使得估计值能最大程度上接近真实信号。
最优滤波方程的推导基于马尔可夫假设，即未来的观测只与当前的状态有关，与过去的观测无关。
假设我们有一个线性状态空间模型，状态方程可以表示为：X(k+1) = A*X(k) + w(k)其中，X(k)是系统的状态向量，A是状态转移矩阵，w(k)是状态噪声。
观测方程可以表示为：Y(k) = C*X(k) + v(k)其中，Y(k)是观测向量，C是观测矩阵，v(k)是观测噪声。
我们的目标是在已知观测信号Y(k)和模型参数的情况下，估计状态向量X(k)的最佳估计值。
最优滤波方程的核心思想是通过最小化均方误差准则，选择一个合适的估计器，使得估计值与真实值之间的均方误差最小。
根据贝叶斯公式，我们可以得到后验概率分布的递推表达式，即最优滤波方程：P(X(k)|Y(1:k)) = P(Y(k)|X(k)) * P(X(k)|Y(1:k-1)) /P(Y(k)|Y(1:k-1))其中，P(X(k)|Y(1:k))是给定前k个观测值条件下的状态向量X(k)的后验概率分布，P(Y(k)|X(k))是给定状态X(k)的条件下的观测概率分布，P(X(k)|Y(1:k-1))是给定前k-1个观测值条件下的状态向量X(k)的后验概率分布，P(Y(k)|Y(1:k-1))是给定前k-1个观测值条件下的观测概率分布。
第三章 最佳线性滤波器
滤波器输出：
y(n)
sˆ(n)
rT hopt
r x(n)
ur T P
(R-1)T
r x(n)
rT E[s(n)x
(n)]
R -1
r x(n)
rT E[ s(n) x
(n)]
r rT E[ x(n) x
(n)]1
r x(n)
r sˆ(n)是s(n)在信号空间X (n) {x(n), x(n -1)，L x(N 1)}上的正交投影。
归纳起来，因果IIR维纳滤波器设计步骤：
(1)对Sx (z)进行谱分解：
S
x
(
z
)=
2
B(
z
)
B(
z
1
)
(2)对Sxs (z) / B(z1)进行因果和逆因果分解：
BSx(sz(z1))=
Sxs (z) B( z 1 )
Sxs (z) B( z 1 )
因果部分
逆因果部分
（极点在单位圆内）（极点在单位圆外）
E
s(n)s(n)
s(n
1)s(n)
s(n 2)s(n)
s(n 3)s(n)
=
Rs (0)
Rs
(1)
Rs Rs
(2) (3)
=
1/ 2
2/பைடு நூலகம் 0
2 / 4
0.4950
r hopt
ur R1 P
0.3501 0
0.3501
平均功率误差：min
F(z)
1 B(z)
(n) f (i)x(n i)
i
Rs (m) E{ (n)s(n m)} f (i)Rxs (m i) f (m) * Rxs (m)
P_第3章-最优滤波.
T
（3.1.1）
最小。 当滤波器系数有无穷多个 （即单位抽样响应无限长） 时， 对应 IIR 结构的维纳滤波器， 当滤波器系数为有限个时，对应 FIR 结构的维纳滤波器。FIR 结构的维纳滤波器的滤波部 分的示意图如图 3.4 所示，在信号处理的文献中，也常称这个结构为横向滤波器。
x(n)
x(n-1)
1)
从维纳滤波器是线性贝叶斯波形估计的观点，需注意如下几点： 在均方误差意义上，维纳滤波器是线性 FIR 滤波器中的最优滤波器，但可能存在一些 非线性滤波器能达到更好结果。 在 x(n) 和 d (n) 是联合高斯分布条件下，维纳滤波也是总体最优的，不存在非线性滤波 器能达到更好的结果。 从线性贝叶斯估计推导过程知，在滤波器系数取非最优的任意权系数 w 时，其误差性 能表达式为
2 T J ( w) d w T rxd rxd w w T Rw
2)
3)
(3.1.13)
84
它是 w 的超二次曲面，只有一个最小点，当 w w o 时， J ( w) J min 。
3.1.2 维纳滤波：正交原理
维纳滤波器是一个最优线性滤波器，图 3.1.3 是一个一般表示框图，滤波器核是 IIR 或 FIR 的，在实信号情况下，已经导出了求解 FIR 型维纳滤波器的方程。在第 2 章讨论了线 性最优估计的正交性原理， 第 2 章正交原理是由最优线性估计方程导出的。 在最优线性滤波 器理论中，正交原理是一个基本分析工具，由正交原理出发，很容易导出线性最优估计和维 纳 滤波器的方程式。由于正交原理应用的广泛性和简洁性，并且贯穿于平稳、非平稳和有 限数据等多种情况，在本节，对复信号的一般情况，重新导出正交原理的一般形式，并利用 正交原理， 重新推导复信号情况下维纳滤波器的一般方程。 先推导适应于 IIR 和 FIR 的一般 结论，然后分别讨论 FIR 和 IIR。 将一般的复数形式维纳滤波器的问题重新描述如下。 设输入随机过程 x(n) 为复信号，由 x(n k )k 估计期望响应 d (n) ，求复数权系数
清华现代信号课件第3章最优滤波.ppt
这是要求解的最优预测误差滤波器系数和（或）AR模型参数
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
·反Levinson-Durbin算法
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
Cholesky分解
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
Cholesky分解的结论
2020/2/5
信号处理
前向线性预测误差滤波器与AR模型的关系
AR(M)模型下
M
x(n) ak* x(n k) v(n) k 1
比较 ak* aM* ,k v(n) f M (n)
2020/2/5
信号处理
Levinson-Durbin算法
从m-1阶出发，对正向预测有 将系数矩阵增广
pm1
0*mm11
pm1
(正向)＋(反向2)×km
Rm1
a
m1
0
km
a
0
B* m1
pm1 0m1 m1
k
m
*m1 0m1 pm1
R 1
可以分解成一个上三角矩阵和下三角矩阵之积， 它们是互为转置
2020/2/5
信号处理
格型预测器
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
M
证明
fm(n) Biblioteka a* m,kx(n
k
)
k 0
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
·反Levinson-Durbin算法
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
Cholesky分解
2020/2/5
信号处理
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信号处理
Cholesky分解的结论
2020/2/5
信号处理
前向线性预测误差滤波器与AR模型的关系
AR(M)模型下
M
x(n) ak* x(n k) v(n) k 1
比较 ak* aM* ,k v(n) f M (n)
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信号处理
Levinson-Durbin算法
从m-1阶出发，对正向预测有 将系数矩阵增广
pm1
0*mm11
pm1
(正向)＋(反向2)×km
Rm1
a
m1
0
km
a
0
B* m1
pm1 0m1 m1
k
m
*m1 0m1 pm1
R 1
可以分解成一个上三角矩阵和下三角矩阵之积， 它们是互为转置
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信号处理
格型预测器
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
M
证明
fm(n) Biblioteka a* m,kx(n
k
)
k 0
清华现代信号课件第3章最优滤波
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11
例：一个AR(p)过程
p
x(n)akx(nk)v(n)
k1
令
x(n p)
x
(n
1)
x(n
p
1)
x(n 1)
10.12.2020
可编辑ppt
12
得到状态方程
x(np1) 0, 1, 0 0 x(np) 0
x(np2) 0, 0, 1, 0, 0x(np1) 0
可编辑ppt
23
10.12.2020
可编辑ppt
24
6．Riccati方程（K(n,n-1)的递推公式）
10.12.2020
可编辑ppt
25
10.12.2020
可编辑ppt
26
10.12.2020
可编辑ppt
27
10.12.2020
可编辑ppt
28
10.12.2020
可编辑ppt
29
10.12.2020
最优滤波的评述 Wiener滤波、Kalman滤波的最优性限制 高斯、非高斯问题 序列蒙特卡罗方法，粒子滤波等
10.12.2020
可编辑ppt
37
可编辑ppt
30
Kalman预测的跟踪性能
10.12.2020
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31
增益的变化曲线
10.12.2020
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32
Kalman滤波器的一些推广简述
10.12.2020
可编辑ppt
33
10.12.2020
可编辑ppt
34
10.12.2020
可编辑ppt
35
4.特殊结构(无激励动力系统)
第三章卡尔曼(Kalman)滤波
总结
状态方程的核心是：设置状态变量， 状态变量是网络内部（最少的）节点变量， 一般设在延迟支路的输出端，状态方程刻 画了状态变量下一时刻的取值与当前时刻的 状态变量和输入之间的关系。
x(k 1) Ax(k) Be(k) 一步递推状态方程： x(k) A(k)x(k 1) w(k -1)
二、离散时间系统的量测方程
来估计信号的当前值 以均方误差最小条件下求解 系统的传递函数H(z)或单位冲激响应h(n)
卡尔曼滤波
不需要全部过去的观察数据
只根据前一个估计值 xˆk -1 和最近一个观察数据 yk 来估计信号的当前值 它是用状态空间法描述系统， 即由状态方程和量测方程组成。
解是以估计值(是状态变量的估计值)的形式给出的
一、离散状态方程及其解
离散状态方程的基本形式是：
x(k 1) Ax(k) Be(k)
其中x(k)代表一组状态变量组成的多维状态矢量， 而A，B都是矩阵，它们是由系统的拓扑结构、元件 性质和数值所确定的。
e(k) 是激励信号。
状态方程是多维一阶的差分方程。 当已知初始状态x(0)， 可用递推的方法得到它的解 x(k)
即：
Eyn yk 0, 1 k n -1
表明：yk不相关性质。 意味着yk的每个值都带来新的信息。
又因为：yk sk k
所以:Ck 1
第三节 卡尔曼滤波的方法
1、卡尔曼滤波的基本思想
卡尔曼滤波是采用递推的算法实现的， 是以卡尔曼滤波的信号模型为基础。
(1)先不考虑激励噪声wk和观测噪声k，
得到状态的估计值xˆk' 和观测数据的估计值yˆk'。
(2)再用观测数据的估计误差yk =yk - yˆk' 去修正状态的估计值xˆk，通过选择修正 矩阵H 使得状态估计误差的均方值Pk最小。
现代信号课件第3章最优滤波器理论
03
非线性最优滤波器
非线性滤波器的定义
非线性滤波器是指其输出与输入 之间存在非线性关系的滤波器。
非线性滤波器在处理非线性信号 时具有优势，能够更好地提取信
号中的有用信息。
非线性滤波器的数学模型通常采 用非线性微分方程或差分方程描
述。
非线性滤波器的应用场景
非线性滤波器在图像 处理中广泛应用，如 边缘检测、图像增强 等。
性滤波器的参数。
粒子群优化算法
模拟鸟群、鱼群等生物 群体的行为，用于优化 非线性滤波器的参数。
04
最优滤波器的性能评估
均方误差（MSE）
总结词
均方误差是最优滤波器性能评估的重要指标之一，它表示估计信号与真实信号 之间的误差的平均值。
详细描述
均方误差（Mean Squared Error, MSE）定义为估计信号与真实信号之间的误 差的平方的平均值。它反映了滤波器对信号的估计精度，MSE越小，表示滤波 器的性能越好。
在通信系统中，非线 性滤波器可用于调制 解调、信号均衡等。
在音频处理中，非线 性滤波器可用于音效 处理、降噪等。
非线性最优滤波器的实现方法
迭代算法
通过迭代的方式不断优 化非线性滤波器的参数，
以实现最优性能。
梯度下降法
利用梯度下降原理，不 断调整非线性滤波器的 参数，以用于优化非线
雷达信号处理
目标检测
在雷达系统中，最优滤波器可以 用于目标检测和跟踪，提高雷达 对目标的发现概率和定位精度。
干扰抑制
在雷达干扰抑制中，最优滤波器 可以用于抑制干扰信号、提高雷 达抗干扰能力，提高雷达的可靠
性和稳定性。
信号分选
在雷达信号分选中，最优滤波器 可以用于信号分选和分类，提高 雷达对多目标环境的感知能力。
现代信号课件第3章最优滤波器理论
或 H(z) Sxd(z)
S (z) x
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18
因果IIR维纳滤波器
因果IIR维纳滤波器的传输函数为
H(z)x1(z)xxd((zz))
最小均方误差为
Jmind2 wolrxd[l] l0
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19
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20
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21
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23
同一个问题分别用非因果IIR、因果IIR和2阶FIR Wiener 滤波器进行处理，得到输出最小均方误差分别为：0.2083、 0.2222和0.2240。
Wiener滤波的横向滤波器
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6
从估计理论观点导出Wiener滤波 假设信号，滤波器权值均为实数
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7
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9
维纳滤波：正交原理
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10
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11
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12
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13
·维纳－霍夫方程（Wiener-Hopf）
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14
M阶FIR滤波器，（横向滤波器）Wiener-Hopf方程为
M1
w0irx[ik]rxd[k]
i0
矩阵形式 Rw0 rxd w0 R1rxd
这里 x [n ] [x [n ]x [ ,n 1 ] ,,x [n M 1 ]T ]
r x d E [ x [ n ] d * [ n ] [ ] r x [ 0 d ] r x [ , d 1 ] ,r x [ 1 d M ] T
w 0 [w 0,0 w 0,w 10, 2w 0 M 1 ]T
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15
最小均方误差
第3节 最优线性滤波《信号分析与处理(第2版)》课件
即
E[Sk2
]
2 s
2 w
1 F2
2．滤波算法的推导
（1）根据均方估计的无偏性，可以证明待定系
数 ak、bk 之间有如下关系：
ak F (1 bk c)
（6-132）
据此可将估计算法（6-130）改写为
S k F (1 bkc)S k1 bk xk F S k1 bk (xk FcS k1)
现在的问题是处理器为（6-112）式决定的线性运 算，根据正交定理（6-115），有
E{[ y(t) yˆ(t)]x( )} 0
t0 t f
即 t 时刻的估计误差与t0 t f区间所有时刻的观察值
x( ) 正交。上式又可写成
E[ y(t)x( )] E[ yˆ(t)x( )]
将（6-112）式代入得
（一）纯量情况
1．问题的提法 信号表示为
Sk FSk 1 wk
（6-128）
其中， F 为自回归系数，wk 为零均值的白噪声。
观测值是信号与噪声的加法组合
xk cSk nk
其中，nk也是零均值白噪声，且与 wk 互不相关，
c 的引入为了便于推广到向量的情况。
估计算法为前次估计和本次观测的线性组合，即
即
p
k 0
h(k)Rxx (n k m) Rsx (n m)
k 0
m n, n 1,, n p m n, n 1,, n p
令 m' n m，上式变为
p
h(k)Rxx (m'k) Rsx (m' )
k 0
m' 0,1,, p
写成矩阵形式，即为
RxxH G
（6-125）
S x () S s () Sn ()
现代信号处理第3章最优滤波器理论1
H ( z)S x ( z) S xd ( z)
两边取z变换，得
或
2019/2/9
S xd ( z ) H ( z) S x ( z)
现代信号处理
18
因果IIR维纳滤波器
因果IIR维纳滤波器的传输函数为
1 xd ( z ) H ( z) x ( z ) x ( z )
2019/2/9 现代信号处理
15
最小均方误差
2 J min d
2 dˆ
2019/2/9
现代信号处理
16
误差性能表面
J E[e[n]e *[n]]
2 * * * J d wk rxd (k ) wk rxd (k ) wk wi rx (i k ) k 0 k 0 k 0 i 0 M 1 M 1 M 1 M 1
最小均方误差为
J min wol rxd [l ]
2 d l 0
2019/2/9 现代信号处理 19
2019/2/9
现代信号处理
20
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现代信号处理
21
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现代信号处理
22
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现代信号处理
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同一个问题分别用非因果IIR、因果IIR和2阶FIR Wiener 滤波器进行处理，得到输出最小均方误差分别为：0.2083、 0.2222和0.2240。 虽然非因果IIR的误差最小，但是不可实现的，可实现的因 果IIR和2阶FIR的误差很接近。这个例子说明，对于一个给 定问题，选择适当阶数的FIR滤波器可能得到与因果IIR滤波 器非常接近的性能。由于FIR滤波器不存在数值稳定性问题， 容易实现和集成，所以实际中更易使用
两边取z变换，得
或
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S xd ( z ) H ( z) S x ( z)
现代信号处理
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因果IIR维纳滤波器
因果IIR维纳滤波器的传输函数为
1 xd ( z ) H ( z) x ( z ) x ( z )
2019/2/9 现代信号处理
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最小均方误差
2 J min d
2 dˆ
2019/2/9
现代信号处理
16
误差性能表面
J E[e[n]e *[n]]
2 * * * J d wk rxd (k ) wk rxd (k ) wk wi rx (i k ) k 0 k 0 k 0 i 0 M 1 M 1 M 1 M 1
最小均方误差为
J min wol rxd [l ]
2 d l 0
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现代信号处理
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现代信号处理
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现代信号处理
22
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现代信号处理
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同一个问题分别用非因果IIR、因果IIR和2阶FIR Wiener 滤波器进行处理，得到输出最小均方误差分别为：0.2083、 0.2222和0.2240。 虽然非因果IIR的误差最小，但是不可实现的，可实现的因 果IIR和2阶FIR的误差很接近。这个例子说明，对于一个给 定问题，选择适当阶数的FIR滤波器可能得到与因果IIR滤波 器非常接近的性能。由于FIR滤波器不存在数值稳定性问题， 容易实现和集成，所以实际中更易使用
最优滤波3_34660618
针对已知的离散时间线性动力系统 根据观测值对系统的状态进行估计或者预测 估计或者预测是在最小均方误差意义条件下：
使用正交性原理
估计或者预测是递推完成的：
递推算法带来的一个好处是：算法不再受平稳性的 限制，每进行一步递推时，随机信号的统计特性可 以随时间变化。
Kalman滤波与Wiener滤波的比较：
假设一个随机时间序列假设一个随机时间序列xk历经的历经的xkxk为其一次实现的采样样本现希为其一次实现的采样样本现希望利用望利用nnii时刻时刻之前之前或者或者之后之后某些样本值在最小某些样本值在最小均方误差的意义上来估计均方误差的意义上来估计xnxni之前
估计理论基础和最优滤波器：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
估计理论基础：
aM
r (1), r ( p 1) r (0) T r * (1), r (0), r ( p 2) 1, aM ,1 , aM , 2 ,, aM ,M r * ( p), r * (1)
r ( p) 1 v2 r ( p 1) a1 0 r (0) ak 0
求：
Kalman滤波问题：
根据观测值对离散时间线性动力系统的状态进 行估计或者预测：
v1(n) x(n+1)
Z-1I
x(n)
C(n)
y(n)
F(n+1,n)
v2(n)
Kalman滤波问题的定义：
状态变量 M×1矢量
状态转移矩阵 M×M矩阵
离散时间线性动力系统在最小均方误差意义下 的递推状态估计。
Levinson-Durbin递推算法总结：
P_第3章-最优滤波.
T
（3.1.1）
最小。 当滤波器系数有无穷多个 （即单位抽样响应无限长） 时， 对应 IIR 结构的维纳滤波器， 当滤波器系数为有限个时，对应 FIR 结构的维纳滤波器。FIR 结构的维纳滤波器的滤波部 分的示意图如图 3.4 所示，在信号处理的文献中，也常称这个结构为横向滤波器。
x(n)
x(n-1)
ˆ (n) ）是均方意义上对期望响应的最优线性估计。 y (n) （或写成 d
x(n) y(n) 线性滤波器 + e(n)
d(n)
82
图 3.1.3 维纳滤波器的一般结构 维纳滤波器的目的是求最优滤波器系数 wo , wo,0 , wo,1 , , wo,k , ，使
2 ˆ ( n) J (n) E[| e(n) | 2 ] E d (n) d
到对 x(n) 的最优估计，相当于设计一个 FIR 滤波器对 x(n 1), x(n 2), , x(n M 1) 进行线性运算，来估计期望相应 d (n) x(n) ，维纳滤波器用于设计均方误差最小的最优预 测器。 通过如上几个例子，可以抽象出一种有用的滤波器结构，这就是维纳滤波器。维纳滤波 器的一般结构示于图 3.1.3，滤波器自身是一个 FIR 或 IIR 滤波器，滤波器输入信号 x(n) ， 输出 y (n) ，有一个待估计的期望响应 d (n) ，滤波器系数的设计准则是使得滤波器的输出
第 3 章 最优滤波器
本章讨论从统计意义上的最优滤波问题或波形的最优线性估计问题。 首先讨论对于平稳 随机信号的维纳（Wiener）滤波器的设计，紧接着讨论一种特殊的维纳滤波器：最优一步线 性预测，通过前向线性预测和后向线性预测的对称关系，导出了求解 Yule-Walker 方程的快 速递推算法， 并由此导出格型滤波器结构。 紧接着讨论了在有限数据集条件下的最小二乘滤 波器(LS)，这是一种易于实现的有效滤波器并具有统计上的最优性。
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最优滤波的评述
Wiener滤波、Kalman滤波的最优性限制 高斯、非高斯问题 序列蒙特卡罗方法，粒子滤波*等 *关于粒子滤波的概要性讨论，请下载网络学堂 的文件。
H
由这个模型出发,得到一组简化的Kalman方程,它在数学上 与自适应滤波器的RLS算法一一对应, 由此,建立了Kalman 滤波与RLS之间的联系,任河一种Kalman滤波的有效算法都可 以对应得到一种RLS的实现,由此借助Kalman滤波领域的研究 成果,得到一组快速自适应滤波算法. (Sayed , Kailath, 1994)
得到状态方程
1, 0 0 x(n p) 0 x(n p 1) 0, 0, 1, 0, 0 x(n p 1) 0 x(n p 2) 0, v(n) 0, 1 x(n 1) 0, 0 a , a a1 x(n 1) 1 x ( n) p 1 p
已得到
ˆ x(n 1Yn1 ) ˆ x(n Yn )
ˆ x(n Yn1 ) ˆ x(n 1Yn )
估计
标量Kalman滤波
标量随机过程的递推MMSE估计
新息序列的特性：
矢量Kalman滤波
目标：离散时间线性动力系统状态估计 模型：Kalman滤波的模型如图所示
v1(n) x(n+1) x(n) y(n)
x(n 1) Ax(n) v1 (n)
Kalman滤波器推导
2．几个常用不相关公式
5．Kalman增益
6．Riccati方程 （K(n,n-1)的递推公式）
Kalman预测的跟踪性能
增益的变化曲线
例：简单的实际问题
Kalman滤波器的一些推广简述
4.特殊结构(无激励动力系统)
x (n 1)
H
1 / 2
x (n)
F (n 1, n) Q1 (n) 0
1 / 2
I
y(n) u (n)x (n) v(n)
1 E v ( n)v ( k ) 0
nk nk
C (n) u (n) Q2 (n) 1
Z-1I
C(n)
F(n+1,n)
v2(n)
状态方程 y(n) 卡尔曼滤波 ˆ x (i | Yn )
例：一个AR(p)过程
x ( n) a k x ( n k ) v ( n )
k 1
p
令
x(n p) x(n p 1) x (n 1) x(n 1)
Kalman 滤波
Kalman滤波
解决线性动力系统的最优状态估计问题 算法是递推的 可以适应于非平稳的情况 可通过局部线性化推广到非线性系统 （EKF） 是当前目标跟踪与预测最有效的方法
标量Kalman滤波：说明概念
状态方程 测量方程
x(n) ax(n 1) v(n) y(n) cx(n) w(n)