(7)黄鹤楼课件 正四面体与正方体例话
专题02 正四面体模型(解析版)
专题02 正四面体模型（解析版）一、解题技巧归纳总结1．正四面体如图，设正四面体ABCD的的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为22a，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为236224R a a=⋅=，即正四面体外接球半径为64R a=.二、典型例题例1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（）．A．22B．32C．2D．3【解析】如图球的截面图就是正四面体中的∆ABD，已知正四面体棱长为2，所以=3AD=1AC，所以=2CD2故选：C．例2．正四面体的棱长为1，则其外接球的表面积为 . 【解析】解析：依题意，正四面体的外接球半径64R =，其表面积为23=42S R ππ=，故答案为32π. 三、配套练习1．棱长为1的正四面体的外接球的半径为( ) A ．64B ．34C ．1D ．33【解析】已知正四面体A BCD -的棱长为1，过B 作BE CD ⊥，交CD 于E ，A 作AF ⊥平面BCD ，交BE 于F ，连结AE ，设球心为O ，则O 在AF 上，连结BO ，22131()22BE AE ==-=，2333BF BE ==，1336EF BE ==， 22336()()263AF =-=， 设球半径为R ，则BO AO R ==， 22236()()33R R ∴=+-， 解得64R =． 故选：A ．2．棱长为a的正四面体的外接球和内切球的体积比是()A．9:1B．4:1C．27:1D．8:1【解析】把棱长为a的正四面体镶嵌在棱长为x的正方体内，∴外接球和内切球的球心重合，为正方体的中心O，∴外接球的球半径为：23322x x=，22113(2)634x x h=⨯⨯⨯，33xh=，内切球的半径为：3333 2236x x x xh-=-=，∴外接球和内切球的半径之比为：33:3:1 26x x=，∴正四面体的外球和内切球的体积比是27:1，故选：C．3．如图所示，在正四面体A BCD-中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP PE+的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是()A6πB．6πC 36D．32π【解析】将侧面ABC∆和ACD∆展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为a则BP PE+的最小值为22172cos120742aBE a a a=+-︒==，2a∴=．在正四面体A BCD -的边长为2， 外接球的半径6642R a ==外接球的体积3463V R ππ==．故选：A ．4．表面积为83( ) A ．43πB ．12πC ．8πD ．6π【解析】表面积为8322将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为3 正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴外接球的表面积的值为24(3)12ππ=．故选：B ．5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为( ) A ．6πB ．8πC 6πD ．11π【解析】26， 正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴外接球的表面积的值为264()62ππ=． 故选：A ．6．在棱长为2的正四面体的外接球中，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的圆心距为2，则两圆的公共弦长是( )A ．34B ．34C ．1D ．12【解析】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：3， 所以球的半径为：32R =， 设相互垂直两圆的圆心分别为1O 、2O ，球心为O ，公共弦为AB ，其中点为E ， 则12OO EO 为矩形，于是对角线12O O OE =， 而222232()22OE OA AE AE =-=-=， 12AE ∴=，则1AB =； 故选：C ．7．如图所示，正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是( )A ．12πB ．32πC ．8πD ．24π【解析】将三角形ABC 与三角形ACD 展成平面，BP PE +的最小值，即为BE 两点之间连线的距离，则14BE =设2AB a =，则120BAD ∠=︒，由余弦定理221414222a a a a+--=，解得2a =， 则正四面体棱长为22，因为正四面体的外接球半径是棱长的64倍， 所以，设外接球半径为R ，则62234R ==， 则表面积244312S R πππ===． 故选：A ．8．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是( ) A ．24πB ．18πC ．12πD ．6π【解析】将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为26 6，∴外接球的表面积的值为24(6)24ππ=．故选：A ．9．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是( ) A ．4πB ．6πC ．12πD ．24π【解析】正方体可以在正四面体纸盒内任意转动，∴正方体在正四面体的内切球中，∴正方体棱长最大时，正方体的对角线是内切球的直径，点O 为内切球的圆心，连接PO 并延长交底面ABC 与点D ， 点D 是底面三角形ABC 的中心，PD ∴⊥底面ABC ，OD ∴为内切球的半径，连接BO ，则BO OP =，在Rt BDP ∆中，236233BD ==2226PD PB BD -在Rt BDO ∆中，2222222()OD BD OB BD OP BD OP OD =+=+=+-，代入数据得62OD =，令正方体棱长为a ，则236a =，解得2a =， ∴正方体棱长的最大值为2，此时正方体的外接球半径：36222r =⨯=． ∴当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是：22644()62S r πππ==⨯=． 故选：B ．10．如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为( )A ．πB ．32πC 6D 6 【解析】连接BG ，四面体ABCD 中，由G 为BCD ∆的重心， 可得AG ⊥面BCD ，M 是线段AG 的中点，3BG ，226AG AB BG =-M 为线段AG 的中点，6MG ∴=设三棱锥M BCD -外接球的半径为R ，则23(R =226)(R +， 6R ∴=， ∴三棱锥M BCD -外接球的表面积为2342R ππ=． 故选：B ．11．正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点P 、Q ，若线段PQ 长463，则这个四面体的棱长为 4 ． 【解析】设这个四面体的棱长为a ， 则它的外接球与内切球的球心重合，且半径64R a =外，612r a =内， 依题意得66464123a a +=， 4a ∴=．故答案为：4．12．已知正四面体ABCD 的棱长为1，M 为棱CD 的中点，则二面角M AB D --的余弦值为 63；平面MAB 截此正四面体的外接球所得截面的面积为 ．【解析】如图，M 为棱CD 的中点，AM CD ∴⊥，BM CD ⊥，又AMBM M =，CD ∴⊥平面AMB ，则AMB ∠为二面角A CD B --的平面角，由对称性，可知二面角C AB D --的平面角等于AMB ∠． 由正四面体ABCD 的棱长为1，可得3AM BM ==则2231()()1622cos()23AMB -∠==平面AMB 平分二面角C AB D --，∴二面角M AB D --的余弦值16cos()2AMB =∠；设BCD ∆的外心为G ，连接AG ，求得233BG BM ==，22361()3AG =-= 设正四面体ABCD 的外接球的半径为R ，则22263()(R R -+=，解得6R =平面MAB 过正四面体ABCD 的外接球的球心，∴平面MAB 截此正四面体的外接球所得截面的面积为263(8ππ⨯=．故答案为：63；38π． 13．已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是 27 ． 【解析】正四面体的外接球和内切球的半径之比为3:1，∴正四面体的外接球和内切球的体积比是27:1，正四面体的内切球体积是1，∴该正四面体的外接球的体积是27．故答案为：27．14．一个正四面体的展开图是边长为22的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为 3π ． 【解析】如图，一个正四面体的展开图是边长为2∴2，设底面三角形的中心为G ，则22162332AG AD ==-=， 正四面体的高2323PG =-． 再设正四面体外接球的球心为O ，连接OA ， 则22263(()R R =+，解得3R =． ∴该四面体的外接球的表面积为234(3ππ⨯=． 故答案为：3π．15．如图所示，正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +的最小值为14，则该正四面体的外接球的体积是 3π ．【解析】将侧面ABC ∆和ACD ∆展成平面图形，如图所示： 设正四面体的棱长为a ，则BP PE +的最小值为2272cos12014422a a BE a a a =+-︒==， 22a ∴=．在棱锥A BCD -中，设底面三角形BCD 的中心为M ，外接球的球心为O ，F 为BC 的中点，则362DF a ==， 22633DM DF ∴==，22433AM AD DM =-=． 设外接球的半径OA OD r ==，则433OM r =-， 在Rt OMD ∆中，由勾股定理可得：2224326()()33r r =-+， 解得：3r =．∴外接球的体积为34433r ππ=．故答案为：43π．。
2024版《长方体和正方体的认识》课件
长方体转换为正方体条件
长、宽、高相等
长方体要转换为正方体，其长、宽、 高必须相等，即三个边长完全一致。
角度为直角
与长方体一样，正方体的所有角也 必须是直角。
正方体转换为长方体条件
边长不等
正方体转换为长方体时，其原本相等 的三个边长中至少有两个边长变得不 相等。
角度保持直角
转换过程中，所有角的角度仍然是直角， 没有变化。
《长方体和正方体的认识》课件
目录
• 长方体和正方体基本概念 • 长方体和正方体性质探究 • 长方体和正方体在实际生活中应用 • 长方体和正方体之间转换关系 • 典型例题解析与课堂互动环节 • 课程小结与课后作业布置
01
长方体和正方体基本概念
Chapter
长方体定义及特点
长方体定义：长方体是由六个矩形围成的 立体图形，相对的两个面相等且平行。
提醒学生注意事项及预习下节内容
注意计算过程中单位的统一和计算的 准确性
预习下节内容：长方体和正方体的截 面形状及其性质
理解相似和全等的概念，掌握判定方 法
THANKS
感谢观看
长方体与正方体的相同点 都有6个面、12条棱、8个顶点。
3
长方体与正方体的不同点
长方体的面可以是任意矩形，而正方体的面必须 是正方形；长方体的棱长可以不相等，而正方体 的棱长必须相等。
02
长方体和正方体性质探究
Chapter
长方体表面积计算公式
01
长方体表面积 = 2 × (长 × 宽 + 长 × 高 + 宽 × 高)
02
长方体的体积是其长、宽、高的乘积。
正方体体积计算公式
正方体体积 = (边长)^3
正方体和正四面体
高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学近年来，无论是高考，还是全国竞赛，涉及空间结构的试题日趋增多，成为目前的热点之一。
本文将从最简单的五种空间正多面体开始，与大家一同探讨中学化学竞赛中与空间结构有关的内容。
第一节 正方体与正四面体在小学里，我们就已经系统地学习了正方体，正方体（立方体或正六面体）有六个完全相同的正方形面，八个顶点和十二条棱，每八个完全相同的正方体可构成一个大正方体。
正四面体是我们在高中立体几何中学习的，它有四个完全相同的正三角形面，四个顶点和六条棱。
那么正方体和正四面体间是否有内在的联系呢？请先让我们看下面一个例题吧：【例题1】常见有机分子甲烷的结构是正四面体型的，请计算分子中碳氢键的键角（用反三角函数表示）【分析】在化学中不少分子是正四面体型的，如CH 4、CCl 4、NH 4＋、 SO 42－……它们的键角都是109º28’，那么这个值是否能计算出来呢？如果从数学的角度来看，这是一个并不太难的立体几何题，首先我们把它抽象成一个立体几何图形（如图1-1所示），取CD 中点E ，截取面ABE （如图1-2所示），过A 、B 做AF ⊥BE ，BG ⊥AE ，AF 交BG 于O ，那么∠AOB 就是所求的键角。
我们只要找出AO （=BO ）与AB 的关系，再用余弦定理，就能圆满地解决例题1。
当然找出AO 和AB 的关系还是有一定难度的。
先把该题放下，来看一题初中化学竞赛题： 【例题2】CH 4分子在空间呈四面体形状，1个C 原子与4个H 原子各共用一对电子对形成4条共价键，如图1-3所示为一个正方体，已画出1个C 原子(在正方体中心)、1个H 原子(在正方体顶点)和1条共价键(实线表示)，请画出另3个H 原子的合适位置和3条共价键，任意两条共价键夹角的余弦值为 ① 【分析】由于碳原子在正方体中心，一个氢原子在顶点，因为碳氢键是等长的，那么另三个氢原子也应在正方体的顶点上，正方体余下的七个顶点可分成三类，三个为棱的对侧，三个为面对角线的对侧，一个为体对角线的对侧。
长方体和正方体PPT课件
公式推导
02
长方体有6个面，每个面的面积分别为ab、bc、ac，因此总表
面积为各面积之和的两倍。
公式应用
03
通过测量长方体的长、宽、高，可以直接套用此公式计算表面
积。
正方体表面积公式推导
正方体表面积公式：S = 6a^2
公式推导：正方体有6个面，每个面的面积均为a^2，因此总表面积为6倍的单面面 积。
REPORTING
切割问题探讨
切割长方体
将长方体按照不同方向进行切割，可以得到不同形状的小长方体 或正方体。
切割正方体
将正方体按照不同方式进行切割，可以得到不同形状的小正方体或 其他多面体。
切割后表面积和体积的变化
探讨切割后各部分的表面积和体积如何变化，以及它们之间的关系 。
拼接问题探讨
相同形状长方体的拼接
数学教育
长方体和正方体是数学教 育中重要的几何图形，有 助于学生理解三维空间的 概念和性质。
工程设计
在工程设计中，长方体和 正方体常被用作设计元素 的基本形状，如机械零件 、电子设备等。
艺术创作
艺术家们常利用长方体和 正方体的形状和质感进行 创作，表现出不同的艺术 风格和视觉效果。
PART 05
长方体和正方体相关数学 问题探讨
包装设计中的应用
包装容器
长方体和正方体常被用作包装容 器的基本形状，如纸盒、塑料盒
等。
空间优化
在包装设计中，通过合理设计长方 体和正方体的尺寸和比例，可以实 现空间的最大化利用，减少浪费。
视觉表现
利用长方体和正方体的形状和图案 设计，可以增加包装的视觉吸引力 ，提高产品的附加值。
其他领域应用举例
复杂几何体的性质研究
正四面体
<<正四面体>>课堂实录成都航天中学 邓成兵（一）情景引入:师：正四面体是最为简约而又优美的多面体，它有4个顶点、4个面、6条相等的棱，它是一种特殊的正三棱锥——底面边长等于侧棱长。
在历年的高考数学试题中，多次出现正四面体的有关计算问题，主要有三种类型：（1）正四面体的计算；（2）正四面体与正方体的计算；（3）正四面体与球的计算。
下面请同学们展示一下你们得到的正四面体有关性质.首先哪位同学上台展示你们小组的成果:（二）、知识碰闯；万天平(学生):我们组得到的性质如下：①、它们6条棱均相等；②、相邻棱的夹角为060；（①、②这两条性质比较简单就不用证明） ③、相对棱的两条异面直线垂直（对棱垂直）④、对棱的中点是这两条棱的公垂线且长为a 22（以下把正四面体的边长设为a ）。
⑤、相邻的两个面的二面角相等且余弦值为1⑥、侧棱与底面所成的角相等且余弦值为33容易知道侧棱与底面所成的角相等，∠PAO 为PA 与底面ABC 所成的角。
可求AO=3a 3，PA=a ，PO ⊥面ABC 即PO ⊥AO ；在R t ΔPAO 中,cos ∠PAO=33PO AO = ⑦、相邻两个面中平行与交线的中位线与棱的交点所成的四边形为正方形。
（由于时间关系，同学们下来做）例1：已知S-ABC 为正四面体，且E 、F 、G 、H 分别为四 面体的四个面的中心； （1）、求证：四面体EFGH 为正四面体；（2）、求ABCS FHG E S :--表表S （3）、求ABCS FHG E V :--V廖红菊（学生）：我们组得到的性质是：⑧、正四面体的外接球的半径与正四面体棱长的关系是：a 46R =分别取BC 、PA 的中点D 、E ，连结DE ，则DE 为PA 、BC 的公垂线段，且与高1PO 的交点O 是外接球的球心，连结AO 、AD 。
在中，由于,a 23AD =a 21AE =可得a 22DE =，所以 a 42E O =，于是外接球的半径a 46E O AE AO R 22=+== 师：非常好！你在这个推导过成中，还可以得到什么样的结论？廖红菊：（思考片刻）可以算出1PO 长度。
正四面体与正方体的相关问题归纳35页PPT
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
正四面体与正方体的相关问 题归纳
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
正方体的认识课件ppt
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
学习提示： 在小组内交流长方体和正方体的特点， 说一说长方体和正方体有什么相同点和 不同点，完成下面表格。
形
相同点
不同点
体
面 棱 顶点 面的形状 面积 棱长
长方体
正方体棱长=棱长和÷12
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用棱长1cm的小正方体摆成稍大一些的正 方体，至少需要多少个小正方体？动手摆 一摆。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
正方体是有（ 6 ）个（ 完全相同）的正方
形围成的（ 立体）图形。正方体有（ 12 ） 条棱，它们的长度（ 相等）。正方体也有
（ 8 ）个顶点.
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长方体和正方体有哪些相同点， 有哪些不同点？
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10cm
这个正方体的棱长和 是多少？
()
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正四面体的体积计算公式
正四面体的体积计算公式正四面体是一种很有趣的几何体，在数学学习中经常会碰到。
那咱就来聊聊正四面体的体积计算公式。
先给大家说说我曾经碰到的一件事儿。
有一次在课堂上，我给学生们讲正四面体的知识，其中一个平时很调皮的学生居然听得特别认真。
我当时就觉得很惊喜，讲完之后让大家做练习，这小家伙居然第一个做完，而且还全对！这让我深刻地体会到，只要能激发起学生的兴趣，再难的知识他们也能掌握得很好。
咱回到正四面体的体积计算公式这个正题哈。
正四面体的体积计算公式是：V = √2/12 × a³ （其中 V 表示体积，a 表示正四面体的棱长）。
要理解这个公式，咱们先来了解一下正四面体的特点。
正四面体的四个面都是全等的等边三角形，每个顶点到对面三角形的距离都相等。
想象一下，就像是四个一模一样的小三角形拼成了一个尖尖的立体图形。
那这个公式是怎么来的呢？这就得用到一些高中阶段的数学知识啦。
我们可以把正四面体放进一个正方体里面，通过正方体的体积和正四面体与正方体之间的关系来推导出来。
假设正方体的棱长是 a ，那么正方体的体积就是 a³。
而正四面体的体积正好是正方体体积的一部分。
通过一系列的计算和推导，最终就得出了正四面体的体积是√2/12 × a³ 。
可能有的同学会觉得，哎呀，推导过程太复杂啦，不好懂。
没关系，咱们多做几道题，多画几个图，慢慢地就会有感觉啦。
比如说，给你一个正四面体，棱长是6 厘米，那它的体积是多少呢？咱们就把棱长 6 厘米代入公式，V = √2/12 × 6³ ，经过计算就能得出答案啦。
在实际生活中，正四面体的体积计算也有不少用处呢。
比如建筑师在设计一些独特的建筑结构时，如果用到了正四面体的元素，就得通过这个公式来计算相关的体积，从而确定材料的用量和空间的大小。
学习正四面体的体积计算公式，就像是打开了一扇通往数学奇妙世界的门。
虽然可能会遇到一些小困难，但只要咱们不放弃，多思考，多练习，一定能掌握得妥妥的！就像那个调皮的学生一样，只要用心，啥都能学好。
等体积正方体和正四面体的表面积
等体积正方体和正四面体的表面积英文回答：The surface area of a cube can be calculated by using the formula 6a^2, where "a" represents the length of one side of the cube. Since all sides of a cube are equal in length, we can simplify the formula to 6s^2, where "s" represents the length of one side.On the other hand, the surface area of a regular tetrahedron (also known as a triangular pyramid) can be calculated using the formula √3a^2, where "a" represents the length of one side of the tetrahedron. Again, since all sides of a regular tetrahedron are equal in length, we can simplify the formula to √3s^2, where "s" represents the length of one side.Now, let's calculate the surface area of a cube and a regular tetrahedron with the same volume.Consider a cube with a volume of V cubic units. The length of one side of the cube can be found using the formula s = ∛V. Once we have the length of one side, we can calculate the surface area of the cube using the formula 6s^2.Next, consider a regular tetrahedron with the same volume of V cubic units. The length of one side of the tetrahedron can be found using the formula s = ∛(V/√2). Once we have the length of one side, we can calculate the surface area of the tetrahedron using the formula √3s^2.Let's compare the surface areas of the cube and the tetrahedron with the same volume:Surface Area of Cube = 6s^2。
2024版新人教版《长方体和正方体》优秀课件pptx
根据正方体体积公式V = a³，将棱长 的值代入公式中计算即可。即V = 5cm × 5cm × 5cm = 125cm³。
长方体和正方体在生活中的
06
应用
建筑领域中的应用实例
房屋结构
家具制造
长方体和正方体常被用作房屋的主体 结构，如墙壁、地板、天花板等，提 供了稳固的支撑和空间划分。
长方体和正方体是家具制造中常用的 形状，如桌子、椅子、床等，这些家 具不仅实用，而且造型简洁大方。
02
长方体表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高)，正方体表面积=6×
边长^2。
长方体和正方体的体积计算
03
长方体体积=长×宽×高，正方体体积=边长^3。
解题思路与方法归纳
解题时首先明确所求的是表面积还是体积，避免 01 混淆。
对于表面积的计算，要注意题目中是否要求算底 02 面积，以及是否有单位换算的问题。
03
正方体基本性质与特征
正方体定义及组成元素
正方体定义
由六个完全相同的正方形围成的立体图形，也叫 做立方体。
组成元素
正方体有6个面、12条棱、8个顶点。
正方体各面形状与大小关系
各面形状
正方体的每个面都是正方形。
大小关系
正方体的各个面面积相等，即每个面的边长都相等。
正方体对角线性质
体对角线
正方体的两条不相邻的棱称为正方 体的体对角线。
对于体积的计算，要注意单位统一，以及是否需 03 要间接计算（如通过已知条件列方程求解）。
拓展延伸：不规则物体体积计算
间接计算法
通过求规则物体的体积来间接求不规则物体的体积，如利用间接的 长方体或正方体容器来计算。
间接比较法
长方体和正方体复习课PPT课件
04
长方体和正方体拓展应用
切割问题探讨
切割长方体
将长方体按照不同方式进行切割，可 以得到不同形状和大小的小长方体或 正方体。
切割正方体
切割面的性质
探讨切割后各个面的性质，如面积、 周长等。
将正方体按照不同方式进行切割，可 以得到不同形状和大小的小正方体。
拼接问题探讨
长方体的拼接
将多个长方体按照一定规则进行 拼接，可以得到新的长方体或正
时间管理
提醒学生合理安排考试时间，遇到难题时不要过分纠结，可以先放 下做标记，等完成所有题目后再回头解决。
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易错难点与误区提示
常见易错点总结
长方体和正方体的表面积计算错误
01
学生容易将长方体和正方体的表面积计算公式混淆，导致计算
错误。
长方体和正方体的体积计算错误
02
学生容易将长方体和正方体的体积计算公式混淆，或者计算过
程中出错。
忽略单位换算
03
在计算过程中，学生容易忽略单位换算，导致结果不准确。
误区提示及纠正方法
正方体体积公式推导
正方体体积公式：V = a^3
公式推导：正方体是特殊的长方体，其长、宽、高都相等，因此体积等于棱长的三 次方。
实际应用：通过测量正方体的棱长，可以直接套用公式计算其体积。
典型例题解析
例题1
一个长方体的长是8cm，宽是6cm，高是4cm，求其体积。
解析
根据长方体体积公式V = l × w × h，代入已知数值进行计 算，V = 8cm × 6cm × 4cm = 192cm^3。
方体。
正方体的拼接
将多个正方体按照一定规则进行拼 接，可以得到新的正方体。
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解析
射影法: 所在平面上的射影, 射影法:作AB在CD所在平面上的射影,由三垂线定理知 在 所在平面上的射影 其正确答案为A. 其正确答案为 平移法: 平移法:可迅速排除 (B),(C),(D),故选(A). , , ,故选( )
说明
小问题很多,但都不难 熟悉正方体各棱, 小问题很多,但都不难. 熟悉正方体各棱,各侧面间位置 关系的考生,都能迅速作答. 如解答( ),只要知道棱AD ),只要知道棱 关系的考生,都能迅速作答 如解答(1),只要知道棱 与后侧面垂直就够了. 与后侧面垂直就够了
5
正方体的侧面展开图) 考题 3 (正方体的侧面展开图)
4
正方体中的线面关系) 考题 2 (正方体中的线面关系)
(1997年)如图,在正方体 年 如图,在正方体ABCD- A1B1C1D1中,E, , F分别是 1,CD的中点. 分别是BB 的中点. 分别是 的中点 (1)证明 ⊥D1F; )证明AD⊥ ; 所成的角; (2)求AE与D1F所成的角; ) 与 所成的角 (3)证明面 )证明面AED ⊥面A1FD1; 求三棱锥F(4)设AA1=2,求三棱锥 -A1ED1的体积 VF A1 ED1 . ) 求三棱锥
四面体问题可化归为对应的正方体解决. 四面体问题可化归为对应的正方体解决.
C1 A1
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妙解 —— 从正方体中变出正四面体
长为面对角线,可得边长为1的正方体 的正方体ABCD以 2 长为面对角线,可得边长为 的正方体 A1B1C1D1,这个正方体的体对角线长为 3 ,则其外接
3 则其外接球的表面积为S=4πR2= 球的半径为 ,则其外接球的表面积为 32 2 =4π( ) =3π 2 为棱长的正四方体B-A1C1D与以 为棱长的正方体 与以1为棱长的正方体 以 2 为棱长的正四方体 与以
பைடு நூலகம்
解析
考查空间想象能力. 如果能从展开图(右上) 考查空间想象能力 如果能从展开图(右上)想 到立体图( ),则能立即判定命题① 到立体图(右),则能立即判定命题①,②为假, 则能立即判定命题 为假, 而命题③ 而命题③,④为真,答案是C. 为真,答案是
6
考题4 正方体中主要线段的关系) 考题 (正方体中主要线段的关系)
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正四面体化作正方体解) 考 题 1 (正四面体化作正方体解)
说明
本题如果就正四面体解正四面体, 本题如果就正四面体解正四面体,则问题就不是一个小题目 了,而是有相当计算量的大题. 此时的解法也就沦为拙解. 而是有相当计算量的大题 此时的解法也就沦为拙解
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拙解 —— 硬碰正四面体
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联想 ——
年安徽卷第16题 考题 10 (2006年安徽卷第 题) 年安徽卷第
多面体上, 多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相 邻的,如图,正方体的一个顶点A在平面 在平面, 邻的,如图,正方体的一个顶点 在平面, 其余顶点在的同侧,正方体上与顶点A相邻 其余顶点在的同侧,正方体上与顶点 相邻 的三个顶点到的距离分别为1, 和 , 是 的三个顶点到的距离分别为 ,2和4,P是 正方体的其余四个顶点中的一个, 正方体的其余四个顶点中的一个,则P到平 到平 面的距离可能是: 面的距离可能是: ①3; ; ②4; ③5; ④6; ⑤7 ; ; ;
10
P
考题9 年湖北卷第18题 考题 (2006年湖北卷第 题) 年湖北卷第
如图,在棱长为 的正方体 的正方体ABCD— 如图,在棱长为1的正方体 A1B1C1D1中,P是侧棱 1上的一点, 是侧棱CC 上的一点, 是侧棱 CP=m. (Ⅰ)试确定 使得直线 与平面 试确定m,使得直线 Ⅰ 试确定 使得直线AP与平面 BDD1B1所成角的正切值为 2 ; 所成角的正切值为3 (Ⅱ)在线段 1C1上是否存在一个定点 , 在线段A 上是否存在一个定点Q, Ⅱ 在线段 使得对任意的m, 在平面APD1上的 使得对任意的 ,D1Q在平面 在平面 射影垂直于AP. 射影垂直于 并证明你的结论. 并证明你的结论 分析:熟悉正方体对角面和对角线的考生,对第(Ⅰ) (Ⅰ)问 分析:熟悉正方体对角面和对角线的考生,对第(Ⅰ)问,可心算 出结果为m=1/3 对第(Ⅱ) =1/3; (Ⅱ)问 可猜出这个Q点在 点在O 出结果为 =1/3;对第(Ⅱ)问,可猜出这个 点在 1点.可是由于 对正方体熟悉不多,因此第(Ⅰ)小题成了大题, (Ⅱ)小题成了 (Ⅰ)小题成了大题 对正方体熟悉不多,因此第(Ⅰ)小题成了大题,第(Ⅱ)小题成了 大难题. 大难题. 11
考题8 2006年四川卷第 题——两正方体的"并" 年四川卷第19题 两正方体的" 考题 年四川卷第 两正方体的
如图,在长方体 如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E,P , 分别是BC, 的中点, , 分别是 分别是AE, 分别是 ,A1D1的中点,M,N分别是 , CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a. 的中点, , (1)求证:MN‖面ADD1A1; )求证: ‖ 的大小; (2)求二面角 )求二面角P—AE—D的大小; 的大小 的体积. (3)求三棱锥 )求三棱锥P—DEN的体积 的体积
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正方体中的三角形) 考题 6 (正方体中的三角形)
解析
在正方体上任选3个顶点连成三角形可得 3 个三角形, 在正方体上任选 个顶点连成三角形可得 C 8 个三角形,要得直 角非等腰三角形,则每个顶点上可得三个 即正方体的一边与 角非等腰三角形,则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与
24 过此点的一条面对角线),共有 个 过此点的一条面对角线 ,共有24个,得
有共同的外接球,故其外接球的表面积也为 有共同的外接球,故其外接球的表面积也为S=3π. 答案为A 答案为 .
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寻根 ——正方体割出三棱锥 正方体割出三棱锥
在正方体中割出一个内接正四面体后, 在正方体中割出一个内接正四面体后,还"余 个正三棱锥. 下"4个正三棱锥 个正三棱锥 每个正三棱锥的体积均为1/6,故内接正四面体的 每个正三棱锥的体积均为 , 体积为1/3 . 体积为 个四面体都与正方体" 共球" 这5个四面体都与正方体"内接"而"共球". 个四面体都与正方体 内接" 事实上,正方体的内接四面体(即三棱锥) 事实上,正方体的内接四面体(即三棱锥)共有
3 C8
,所以选C. 所以选
9
年四川卷第13题 正方体的一" 考题 7 2006年四川卷第 题——正方体的一"角" 年四川卷第 正方体的一
在三棱锥O—ABC中,三条棱OA,OB,OC两两互相垂直,且 在三棱锥 中 三条棱 , , 两两互相垂直, 两两互相垂直 OA=OB=OC,M是AB边的中点,则OM与平面 , 是 边的中点, 与平面ABC所成角的大小 所成角的大小 边的中点 与平面 是 (用反三角函数表示) 用反三角函数表示)
(2001年)右图是正方体的平面展开图.在这个正方 年 右图是正方体的平面展开图. 体中, 平行; 是异面直线; 体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③ 与 平行 与 是异面直线 CN与BM成60°角;④DM与BN垂直 垂直. 与 成 ° 与 垂直 以上四个命题中, 以上四个命题中,正确命题的序号是 (A)①②③ ) (C)③④ ) (B)②④ ) (D)②③④ )
7
正方体与正八面体) 考题 5 (正方体与正八面体) 的正方体中, (2003年) 棱长为 的正方体中,连结相邻面的中 年 棱长为a的正方体中 心,以这些线段为棱的八面体的体积为
解析 将正八面体一分为二, 个正四棱锥 个正四棱锥, 将正八面体一分为二,得2个正四棱锥,正四棱 锥的底面积为正方形面积的 1 ,再乘 1 得 1 . 2 3 6 答案选C. 答案选
正四面体的棱长为
,
,
的关系
A
D B
C
2 ,这个正四面体岂不是由棱长为
D1 A1 D B B1 C1
1的正方体的 条"面对角线"围成? 的正方体的6条 面对角线"围成? 的正方体的 为此,在棱长为1的正方体 的正方体B—D1中, 为此,在棱长为 的正方体 条面对角线BA (1)过同一顶点 作3条面对角线 1,BC1,BD; )过同一顶点B作 条面对角线 ; 依次首尾连结. (2)将顶点 1,C1,D依次首尾连结. )将顶点A 依次首尾连结 则三棱锥B—A1C1D是棱长为 则三棱锥 是棱长为 的正四面体. 2 的正四面体.于是正
4 个 C 8 -12=58个.
至此可以想通,正方体为何成为多面体的题根 至此可以想通,正方体为何成为多面体的题根.
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正四面体与正方体例话
三,正方体成为十年大难题
按理说,立体几何考题属中档考题,难度值追求在 按理说,立体几何考题属中档考题,难度值追求在0.4 之间. 到0.7之间 所以,十年来立几考题 之间 所以,十年来立几考题——哪怕是解答题也 哪怕是解答题也 没有出现在压轴题中. 没有出现在压轴题中 从题序上看,立几大题在 个大题的中间部分 个大题的中间部分, 从题序上看,立几大题在6个大题的中间部分,立几小 题也安排在小题的中间部分. 题也安排在小题的中间部分 然而,不知是因为是考生疏忽,还是命题人粗心, 然而,不知是因为是考生疏忽,还是命题人粗心,竟然 在立几考题中弄出了大难题, 在立几考题中弄出了大难题,其难度超过了压轴题的难 度,从而成为近十年高考难题的高难之最! 从而成为近十年高考难题的高难之最!
正四面体与正方体例话
序 曲
十年高考多面体 出题偏爱正方体 拿着正方变魔方 演出多少好题和妙题
1
多面体题根 解正方体
一,正方体高考十年 二,正四面体与正方体 三,正方体成为十年大难题 四,解正方体 五,解正四面体