2002北京师范大学量子力学真题
北京师范大学959量子力学考研真题及解析
【内部资料】
北京师范大学考研历年真题解析
——959 量子力学
主编：弘毅考研 编者：海阔天空
弘毅教育出品
1 士不可不弘毅，任重而道远！——弘毅考研
历年真题解析 【资料说明】
【内部资料】
《量子力学历年真题解析（专业课）》系北京师范大学优秀考研辅导团队集体编撰的“历年考 研真题解析系列资料”之一。 历年真题是除了参考教材之外的最重要的一份资料，其实，这也是我们聚团队之力，编撰此资 料的原因所在。历年真题除了能直接告诉我们历年考研试题中考了哪些内容、哪一年考试难、哪一 年考试容易之外，还能告诉我们很多东西。 1.命题风格与试题难易 第一眼看到北师大历年试题的同学，都觉得试题“简单”。其实， 这也是很多学生选择北师 大的原因吧。北师大的试题不偏、不怪，80% 的题目可以在课本上找到部分的答案。这不同于一些 学校的试题，比如北京大学，理论性很强，说不会答，一点也答不上来。北师大的试题，不管你复 习的怎么样，一般都能答上一点，至于能答到什么程度， 则因人而异。 现在，我告诉大家一个数字，“6. 55%”，这是学校公布的 2010 年物理学专业的录取率。看 到这个数字，你还会觉得题目“简单”吗？ 其实，“试题很基础”----“试题很简单”----“能得 高分”根本不是一回事。试题很基础，所以每个学生都能答上一二，但是想得高分，就要比其他学 生强，要答出别人答不出来的东西。要答出别人答不出来的东西，这容易吗？大家不要被试题表象 所迷惑。很多学生考完，感觉超好，可成绩出来却不到 100 分，很大程度上就是这个原因：把考的 基础当成考的简单。其实这很像武侠小说中的全真教，招式看似平淡无奇，没有剑走偏锋的现象， 但是如果没有扎实的基础和深厚的内功是不会成为大师的。我们只能说命题的风格是侧重考察基础 的知识， 但是，我们要答出亮点，让老师给你高分，这并不容易。 2.考试题型与分值 大家要了解有哪些题型，每个题型的分值。从最近五年看，北师大的题目基本都是解答题，个 别年份有选择题和填空题。可很多学生平时喜欢做选择题，不想写，到考试的时候就会傻眼。每个 题型的分值是不一样的，一个选择题一般也就是 5 分，可一个计算题就是２５分。这要求我们平时 一定要注意解答能力的练习。 3.各章节的出题比重 北师大的专业课没有考试大纲， 因此没有重、 难点的告知， 但大家可以通过对历年真题的分析， 掌握各个章节在整个考研中的重要地位。例如，薛定谔方程，微扰，自旋等，怎么复习？通过看历 年真题， 我们就发现知识点较平均， 重点是基础理论的把握。 通过这些分析， 就把握了复习的重点。 4.重要的已考知识点
10年北京师范大学量子力学试题
第1页（共2页）三、（20分）设A 是体系的守恒量，证明在任意态下，它的平均值及几率分布 都不随时间变化。
四、（20分）自旋为1/2内禀磁矩为；的带电粒子q 处于磁场B 中运动,当B 空 间分布均匀而随时间变化时，证明粒子的波函数可表示成空间函数与自旋函数的乘 积，并写出它们满足的波动方程。
五、 （20分）一维运动粒子的状态是求：①粒子动量的几率分布函数，② 粒子的平均动量。
六、 （共20分）两个自旋1/2，质量为m 的无相互作用的全同费米子同处于线 性谐振子场中，写出基态和第一激发态的能量本征值和本征函数，并指出简并 度。
2010年研究生量子力学试题参考答案及评分标准一、二、略 三、（20分）A =（ （t ）,^' （t ）） 它随时间变化为dA :A [A,H]八 dtct “因I?是守恒量，它不显含 t 、且与哈密顿对易 [?,H]=0，则dA=0。
dt由于A 与R 对易，所以可找到一完全集包括 A 和R ，其共同本征函数组 U ns （ n 代表除A 的其他力学量的量子数）而的特解是定态解ctns=u“（r ）eT E n t/。
通解（即任何一个态）为所以A 不随t 变，而取A s 的几率|c ns f 也不随t 变。
四、（20分）（5分）二 U ns （r ）e（r,t ）八 c ns u ns （r ）e_iEnt/n,s（5分）对A 的平均值n,scns2A s 。
（5分）解：粒子的哈密顿量2d_q A q (一川 B )二H 0一怙」B 其中 是电磁场的矢势和标势，由于 电 与空间坐标无关，所以粒子的波函数可写为空 间波函数与自旋函数的乘积： 代入含时间的 Schr?di nger(10 分) t,szH'-(r,t)五、(20分)解：(1)先求归一化常数，由 • •• A =2 3/2 3 2 、1/2 x2：-. a(t) lb(t) (5 分) (10 分)=L ) ( ik)2=(3 2 2?.''1 /2 1 (5分) 动量几率分布函数为国(P) = c( p)(2) p 二;*(x)? (x)dx 二-iP 、2 (I -)一3I 2'P 2)2(5分)；4W x ”)dx(5分)六、解: E n 20分)单粒子能级及波函数(空间部分)为1 卫“ k x 2=(n 2)h ，段 N n e 2 H n C x),(：=m , n=0,1,2Hl (2 分)二粒子体系总波函数应是反对称的： 或 ①A (1,2)=化(1,2必(1,2) 基态：E 。
【试题】量子力学期末考试题库含答案22套
【关键字】试题量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、证明是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。
（6分）2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。
五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。
性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。
两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。
4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。
5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。
以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。
坐标和动量之间的测不准关系为：2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，， 令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：，即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 三、解： 已知氢原子的本征解为： ，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为： ，，（1）能量的取值几率，， 平均值为：（2）取值几率只有：，平均值 （3）的取值几率为： ，，平均值 2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。
2002级物理教育本科班《量子力学》期终考试卷( -
2002级物理教育本科班
《量子力学》期终考试卷（A）
学号 姓名 2005.6.
题 号
一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 得 分 阅卷人 一 问答题（每小题5分共20分）
1 试简述微扰论的基本思想。
2 简述费米子的特点。
3 什么叫全同性原理？全同性原理对全同粒子体系的波函数有什么限制？
4 什么是基态？什么是定态？在定态中，几率密度和几率流密度是否与时间有关？
二、 (1)证明 是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在 态中的平均值。（10分）
三、试证明：一维运动的束缚态都是不简并数为
所描写的态中式中， 是谐振子的能量本征函数，求（1） 的数值；（2）在 态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3） 时系统的波函数 。（15分）
素食则气不浊；独宿则神不浊；默坐则心不浊；读书则口不浊。——曾国藩
八、试在为对角的表象中，（1）求的本征值和所属的本征函数；（2）在的本征值为的本征态中，求的平均值；（3）在的本征值为的本征态中，测的可能值及相应的几率。（20分）
五、证明泡利矩阵满足关系。（5分）
六、、为厄密算符。 且 ① 求算符 的本征值；②设、用矩阵表示时为二行二列，求在A 表象下求算符 、的矩阵表示。（10分）
七、粒子在二维无限深方势阱，（1）请写出能级和能量本征函数；（2）加上微扰，求最低能级的一级微扰修正。（10分）
1
素食则气不浊；独宿则神不浊；默坐则心不浊；读书则口不浊。——曾国藩
量子力学测试题6北师大-2002
量子力学测试题（6） （北师大2002）1、t=0时，描述氢原子中电子的波函数为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)(32311011211131Y Y R Y R ψ 其中nl R 为径向波函数，lm Y 为球谐函数。
求（a ）该电子的能量E 、角动量平方2L 、角动量z 分量z L 和自旋z 分量z S 的可能值及相应几率；（b ）上述各量的平均值；（c ）该电子处在dr r r +→的几率； （d ）t 时刻的波函数),,,(t r ϕθψ。
解： 氢原子能级和波函数 222aneE n -= )(),()(),,(z lm nl nlm S Y r R r χϕθϕθψ=（a ）由t=0时，氢原子中电子的波函数βψβψαψψ210211311323231++=知电子能量E 的可能值及相应几率为：aeE 1823-=，91；aeE 822-=，98。
角动量平方2L 的可能值及相应几率为：222 =L ，1。
角动量z 分量z L 的可能值及相应几率为： =z L ，95；0=z L ，94。
自旋z 分量z S 的可能值及相应几率为：2=z S ，91；2-=z S ，98。
（b ） aeE E E 162199891223-=+=222 =L95=z L 187 -=z S（c ）电子处在dr r r +→的几率为dr r R R Y Y R Y R Y Y R Y R d dr r d dr r P r 22212311011211131*10*1121*1131229891)(3231)(3231⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ω=Ω=⎰⎰+ψψ （d ）t 时刻的波函数),,,(t r ϕθψ βψψαψϕθψ)(3231),,,(210211/311/23++=--t iE t iE eet r2、一维情况下，宇称算符P 的定义为)()(x x P -=ψψ。
试证明 （a ）P 是厄密算符；（b ）P 的本征值为+1和-1；（c ）P 的分别属于本征值+1和-1的本征函数+ψ和-ψ正交； （d ）P 是幺正算符。
师范大学物理考研题目及答案
师范大学物理考研题目及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 根据量子力学原理，一个粒子的波函数可以描述其：A. 质量B. 位置C. 动量D. 能量答案：B. 位置2. 在经典物理学中，一个物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比，这是：A. 牛顿第一定律B. 牛顿第二定律C. 牛顿第三定律D. 动量守恒定律答案：B. 牛顿第二定律3. 一个物体的角动量守恒的条件是：A. 物体不受外力B. 物体不受外力矩C. 物体的角速度不变D. 物体的线速度不变答案：B. 物体不受外力矩4. 根据热力学第一定律，能量：A. 可以被创造B. 可以被消灭C. 既不能被创造也不能被消灭D. 可以无限地转化为其他形式答案：C. 既不能被创造也不能被消灭5. 光的双缝干涉实验表明光具有：A. 波动性B. 粒子性C. 同时具有波动性和粒子性D. 仅在特定条件下具有波动性答案：C. 同时具有波动性和粒子性二、简答题（每题10分，共20分）1. 描述麦克斯韦方程组的四个基本方程，并简要说明它们的意义。
答案：麦克斯韦方程组包括四个基本方程：高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
高斯定律描述了电荷产生电场的规律；高斯磁定律表明没有磁单极子，磁场线是闭合的；法拉第电磁感应定律揭示了变化的磁场可以产生电场；安培环路定律则描述了电流和变化的电场产生磁场的规律。
2. 解释什么是光电效应，并简述其原理。
答案：光电效应是指光照射到金属表面时，金属会释放出电子的现象。
其原理基于量子理论，即光可以被看作是一系列粒子（光子）的集合。
当光子的能量大于金属的逸出功时，光子与金属表面的电子相互作用，将能量传递给电子，使电子获得足够的动能逸出金属表面。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 一个质量为2kg的物体以3m/s的速度在水平面上做匀速直线运动，求其动量大小。
答案：动量大小可以通过公式 p = mv 计算，其中 m 是质量，v 是速度。
北京科技大学2002(秋)初等量子力学试题及解答
北京科技大学2002——2003学年度第一学期量子力学与原子物理试题1。
无限高势阱中的粒子[38分]质量为m 的一个粒子在边长为a 立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：()()()0,0,;0,;0,,x a y a z a V others∈∈∈⎧⎪=⎨∞⎪⎩ 1-1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法（()()()(),,x y z X x Y y Z z ψ→）求系统能量本征值和归一化波函数；[8分]1-2）求系统基态能量、第一激发态能量，及基态与第一激发态简并度。
[8分]1-3）假设有两个电子在方盒中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（提示：要考虑电子自旋）；[12分]1-4）假设有两个玻色子在方盒中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数；[10分] 解：1-1）定态薛定谔方程：()()22,,,,2x y z E x y zψψμ-∇=分离变量：()()()(),,x y z X x Y y Z z ψ=，x y z E E E E =++()()()()()()222222222222x y z d X x E X x dx d Y y E Y y dy d Z z E Z z dz μμμ⎧-=⎪⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪⎪-=⎪⎩；()()()m x X x a n y Y y a l z Z z a πππ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭⎪⎩；222222222222222x y z E m aE n a E l a πμπμπμ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩()3/22,,sin sin sin m x n x l x x y z a a aa πππψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222m nl E mn laπμ=++ ，,,1,2,3,...m n l =1-2）系统基态能量：220111232E E aπμ==，简并度：1第一激发态能量：22121112111223E E E E aπμ====，简并度：3 1-3）电子是费米子，波函数应是反对称的：()()()11221212,;,,,AS A z z z z r s r s r r s s ψφχ=由于自旋部分波函数可取反对称，轨道部分波函数可以取对称的，即轨道部分可取相同的态； 基态：220111232E E aπμ==，基态波函数：()()()()()()()112211111111122231112221212,;,,,,,2sin sin sin sin sin sin AAz z z z z z r s r s x y z x y z x y z x y z a a a a a a a s s s s ψψψχππππππχχχχ↑↓↓↑=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯-⎤⎦1-4）玻色子可占据相同态，基态：220111232E E aπμ== ，基态波函数：()()()121111*********111222,,,,,2sin sin sin sin sin sin Sr r x y z x y z x y z x y z a a a a a aa ψψψππππππ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2。
北师大2012(量子力学)
北京师范大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题部（院、系）：物理学系科目代码：959科目名称：量子力学（所有答案必须写在答题纸上，做在试题纸或草稿纸上的一律无效）参考公式：泡利矩阵0110x σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭一.选择题（共25分）。
写清每题的题号及所有正确答案，多选、少选、选错均不得分。
1.一维粒子处于势函数()V x 中，已知()V x 是实值偶函数，且()x ψ是能量本征方程的一个解，则(A )()x ψ必为偶函数(B )()x ψ-一定是能量本征方程的解(C )()x ψ必为实值函数(D )()x ψ的复共轭函数*()x ψ一定是能量本征方程的解2.以下哪个（些）数字可能是氢原子能级的简并度(A )2(B )4(C )7(D )93.若算符ˆA满足2ˆˆA A =，则(A )ˆA 的本征值只可能是0或1(B )ˆA必为厄米算符(C )ˆA在任何态的平均值为非负实数(D )ˆA 必为常数算符4.以下哪个（些）算符一定为厄米算符(A )ψψ(B )ψϕ(C )ψϕϕψ+(D )ψϕϕψ-5.厄米算符ˆA、ˆB 满足ˆˆˆˆ0AB BA +=。
若ψ是ˆA 的本征态，本征值非零，则(A )ψ必为ˆB 的本征态(B )ˆBψ必为ˆA 的本征态(C )ˆAψ必为ˆB 的本征态(D )ˆB 在ψ中的平均值必为零。
（转背面！）第1页共3页第2页共3页二.（25分）已知20()2p H V x m=+的某个能级是E ，若系统变为0H H p α=+（α为常数），求该能级的变化。
（提示：此题需严格求解，可在动量表象下计算）三.（25分）在某自旋态χ中，测2z s = 的概率是12，测2x s = 的概率是34，求χ所有可能的独立解，结果用z s 表象α与β表示。
四.（25分）考虑一个沿x 方向运动的一维电子，其运动存在自旋轨道耦合，哈密顿量可写成微信搜索：34310531欢迎关注：物理轻松学21()2σσ=++Ωz x H p a m 其中,αΩ为常数。
北京师范大学物理试卷
装订线北京师范大学2009 ～ 2010学年第一学期期末考试试卷（A卷）课程名称：基础物理AII 任课教师姓名：赵虎卷面总分： 100 分考试时长： 120 分钟考试类别：闭卷□开卷□其他□院（系）：教育技术学院专业：教育技术年级： 2008 姓名：学号：阅卷教师（签字）：一单项选择题（共30分，每题3分）1、将一带电量为Q的金属小球靠近一个不带电的金属棒时，则有( )（A）金属棒因静电感应带电，总电量为-Q；（B）金属棒因感应带电，靠近小球的一端带-Q，远端带+Q；（C）金属棒两端带等量异号电荷，且电量q<Q；（D）当金属小球与金属棒相接触后再分离，金属导体所带电量大于金属小球所带量。
2、将一接地的导体B移近一带正电的孤立导体A时，A的电势。
()（A）升高（B）降低（C）不变（D）无法判断3 电荷在静电场中移动，关于电场力做功和电势能的关系，下面说法正确的是：（）（A）负电荷由低电势点移到高电势点，电场力做正功，电势能减少（B）正电荷由低电势点移到高电势点，电场力做正功，电势能增加（C）负电荷由高电势点移到低电势点，电场力做负功，电势能减少（D）正电荷由高电势点移到低电势点，电场力做负功，电势能增加4在平行板电容器中充满两种不同的介质，如图所示，1rε＞2rε，则在介质1和2中分别有。
（A） D1=D2 E1＜E2 (B) D1=D2 E1＞E2(C) D1＞D2 E1=E2 (D) D1＜D2 E1=E21rε2rε5关于磁场线（磁力线）有以下哪种说法正确（ ） （A ）磁场线可以是不闭合曲线 （B ）任意两条磁场线可以相交（C ）磁场线的疏密程度代表场强的大小(D ）磁场线方向代表电流元在磁场中的受力方向6、一电量为q 的点电荷在均匀磁场中运动，下列说法正确的是 ( ) (A ）只要速度大小相同，所受的洛伦兹力就相同。
(B ）在速度不变的前提下，电荷q 改变为-q ，受力方向反向数值不变。
量子力学试题及答案!(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】2002级量子力学期末考试试题和答案B卷一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、在一维情况下，求宇称算符Pˆ和坐标x的共同本征函数。
（6分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。
（5分）二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==BA，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求1、在A 表象中算符Aˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在A 表象中算符Bˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。
三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态)21exp(3231)0,(22x x x ααπαψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=，其中μωα=，求1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。
2、0>t 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++λλλλλλ2330322021的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。
五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。
2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。
3、全同玻色子的波函数是对称波函数。
两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：[])()()()(2112212211q q q q S ϕϕϕϕφ+=4、宇称算符Pˆ和坐标x 的对易关系是：P x x P ˆ2],ˆ[-=，将其代入测不准关系知，只有当0ˆ=Px 时的状态才可能使P ˆ和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符Pˆ和x 的共同本征函数。
最新量子力学试题附答案
宝鸡文理学院试题课程名称 量子力学 适用时间 2008-7-7 试卷类别 A 适用专业 05级物理学1、2、3班本文档是我在淘宝0.8元购买的，求报销！！！填空题中的1、2、4题，是量子力学基本知识，值得考。
一、填空题 (每小题2分，2×5＝10分)１、玻尔原子模型的三个假设是（ ）。
２、波函数的标准条件为（ ）。
３、正交归一方程*m n mn u u d τδ=⎰的狄拉克表示为（ ）。
4、动量表象下的坐标算符表示形式（ ）。
5、zL L ˆˆ2和的共同本征函数为（ ）。
选择题中2、4两题亦考察基本知识，可以考，不至于太难。
二、单项选择题（每小题2分，2×5＝10分）１、Â与Ĉ对易，则两算符：(1)有组成完全系的共同本征函数； （2）没有组成完全系的共同本征函数； (3) 不能确定。
２、自由粒子能级的简并度为：（1）1 (2) 2 (3) 3 (4)4 3、设线性谐振子处于0113()()()22x x x ψψψ=+描述的状态时，则该态中能量的平均值为（1）0 ; （2）75ω (3)52ω； （4）5ω 4、两个能量本征值相同的定态，它们的线性组合（1）一定是定态 ; （2）不是定态 (3) 不能确定5、 对氢原子体系（不考虑自旋）在电偶极近似下，下列能够实现的跃迁是：(1) Ψ322→Ψ300; (2) Ψ211→Ψ100; (3) Ψ322→Ψ21-1; (4) Ψ322→Ψ200;就题目来讲，简述题中1、2题有些熟悉，知道在书中哪里，可以考。
三、简述（每小题5分，5×4＝20分）1、光电效应实验的规律2、量子力学中态的叠加原理3、希尔伯特空间4、辏力场中，偶极跃迁的选择定则第2题，厄米算符的这个证明熟悉四、推导证明题(每小题10分，10×2 ＝ 20分)1、求证在z l ˆ的本征态下0=x l 。
2、设G Fˆˆ和是厄米算符，若[]0ˆ,ˆ=G F ，证明G F ˆˆ也是厄米算府。
大学物理-量子力学基础习题思考题及答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版习题22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。
解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式，222240E c p m c =+ 可得p ===h pλ==834-=131.210m -=⨯（2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出：3415h 9.110m p λ--====⨯22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。
解：（1）用非相对论公式：mmeU h mE h 123193134108.71025106.1101.921063.622p h ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====λ（2）用相对论公式：420222c m c p +=EeU E E k ==-20c mm eU eU c m hmEh 12220107.722ph-⨯=+===）（λ22-3．一中子束通过晶体发生衍射。
已知晶面间距nm 1032.72-⨯=d ，中子的动能eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长：3411h 1.410p m λ--====⨯再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ϕλ= 0,1,2k =…11111.410sin 0.095227.3210k d λϕ--⨯===⨯⨯ ， 5.48ϕ=22-4．以速度m/s 1063⨯=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速，为使电子波长A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？解：3410h 110p m λ--====⨯ 可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。
22-5．设电子的位置不确定度为A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为keV 1，计算电子能量的不确定度。
北京大学量子力学期末试题word资料11页
量 子 力 学 习 题（三年级用）北京大学物理学院二O O 三年第一章 绪论1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子()克2410671-⋅=μ.n；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-⋅=μ.a；（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。
2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。
第二章 波函数与波动力学1、设()()为常数a Ae x x a 2221-=ϕ（1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x ==2、求ikr ikr e re r -=ϕ=ϕ1121和的几率流密度。
3、若(),Be e A kx kx -+=ϕ求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中k 为实数）4、一维运动的粒子处于的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。
5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 其中ρ=υ/j6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为求：?)t ,x (=ϕ2第三章 一维定态问题1、粒子处于位场中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）2、一粒子在一维势场 中运动。
（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ϕ态，证明：,/a x2=3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如DS A S B D S A S C 22211211+=+=这即“出射”波和“入射”波之间的关系，证明：01122211211222221212211=+=+=+**S S S S S S S S这表明S 是么正矩阵4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数5、求粒子在下列位场中运动的能级6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。
量子力学期末考试题及解答
此即正常的线性谐振子的能量本证方程，它的解为
(7)
利用式（4）、（5）可以得到电场中线谐振子的本证解为
（8）
（9）
5.已知做一维运动的粒子处于束缚定态
求粒子的能量及所处的位势。其中， 为归一化常数， 。
解答：将一维束缚定态薛定谔方程
（1）
改写为
（2）
利用已知的波函数 ，计算它的一阶导数
（3）
进而求出 的二阶导数
（3）问在何处找到粒子的概率最大？为多少？
解答：（1） 的共轭复数为
利用归一化条件
得到
归一化后的波函数为
（2）粒子的概率密度为
其中， ，得到
（1）概率最大时：
11.一个质量为 的粒子在一维无限深方势阱中运动。求粒子在阱内外的能量本征值和本征函数。
二、力学量的算符表示
1.计算对易子
解答：对于任意的波函数 ，有
相应的取值概率公式为
具体计算结果为
算符 的本征值
相应的取值概率公式为
具体计算结果为
（2）因为算符 与 是对易的，所以两者有共同的本证函数系 ，并且可以同时取确定值。相应的取值概率分别为
（3）先在状态 上测量 得 后，状态 已经变到 的本征态 上，而它恰好是 的对应本征值 的本征态，所以这时再测量 必将得到确定值 ，或者说，测量值 的概率是1。但是，由于在状态 上测量 得 的概率是 ，所以，如果从 出发，则测得 的概率应是 。
（13）
与
（14）
在第2或第4象限的交点。
4.带电线性谐振子受到一个 方向均匀电场 的作用，求其能级。设该线性谐振子的质量为 、电荷为 、角频率为 。
解答：在均匀电场作用下，带电谐振子的哈密顿算符为
北京师范大学研究生入学考试《量子力学》2020年试题及答案
＼ ＿ ll －迈 l ） ＿ －迈 3 ）
\
l
－ 立 －
6
综上所述 2.
E1 = liw, I妇〉 二 —l |11〉+ — l |10〉十 —1 |l — l〉
2
迈
2
E2 二—liw,
I心〉＝
—1
2
111〉—
— 1 迈
|10〉十
—1 |l — 2
l〉
E3 = o, I心劝＝言 |11〉— 言 |l — l〉
)
( 0 1 ）( 1
/0
』 ( l ) ＿ 1 ) z 0 \— O —\ 1
』 （ l ） ＿ （ O1 ＿ a ( 1 )
＼\ _ | ／
： 5^
^ 5
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＿＿
” ｀ l 1 ） ＿ _h 2 ( x a ( l ） Q ( 2)+ 6 ^ 凶1 ) a 位 乌门 2 -iw- ( 3 （ 1 ) a （ 2 ） + 3 ( 2 ) Q （ 2 门
3求平均值<Sx>随t变化的关系式；
4求平均值<Sz>随t变化的关系式；
5求<Sz>与波函数的周期。
提示：炉和Sz的共同本征态为 Xoo =言［a（1)队2) — f3(1)a(2)] � X11 = a(1)a(2)
X10 =言［a（1)队2) + /3(1)a(2)] � Xi-1 = /3(1)/3(2)
E4 =0, I心4〉= |00〉
t>O 时，
1心 (t)〉＝区
t
Cne-iEn /n
I 釭〉，
1心 (0)〉＝ |11〉
n=l
北师大2012量子力学试题
中， 测 sz 的概率是 ， 测 s x
2
1 2
3 的概率是 ， 求 所 2 4
有可能的独立解， 结果用 s z 表象 与 表示。 四． （25 分） 考虑一个沿 x 方向运动的一维电子， 其运动存在自旋轨道耦合，哈密顿量可 写成
H
1 ( p a z ) 2 x 2m
3 3 cos ， Y11 sin e i ； 4 8
0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 。 2 0
l 1 时，算符 Lx 在 Lz 表象的表示矩阵为：
六． （25 分） 两个电子被紧紧地束缚在晶体的相邻位置上，可分辨， 也不考虑它们的空间 运动。 它们的自旋分别为 s1 和 s 2 。 两个电子之间的相互作用可以用如下的哈密顿量表 示： H J ( s1x s2 x s1 y s2 y ) ，其中 J 0 是常数。 (1) 求出这个系统的能级和属于各个能级的本征态（自旋部分） 。 (2) 现在在 z 方向加一个匀强磁场 B ， 求出系统的能级。 (3) 接上问， 请画出能级随 B 变化的示意图。
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p 2 e2 L Lz ， Lz 为角动量 z 分量， L 正 2m r
科目代码：
959
科目名称：量子力学
(4) 接(2)问， 在 t 时刻测量 Lz 的可能值和相应几率是多少？ (5) 接(2)问， t
时， 测量 Lx 的可能值和几率是多少？ 2L
注：本题可能用到的公式如下 球谐函数 Y10
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3
页
(B)
(C)
(D)
2002中科院量子力学试题实验型
ˆ 为厄密算符，证明在能量表象中下式成立： 三、（20 分）设 F 1 2 ˆ , H ˆ,F ˆ k ( En Ek ) Fnk k F 2 n
四、（20 分）钠原子（原子序数为 11）处于沿 z 方向的强磁场 B 中； (1) 计入自旋 （但不计入自旋－轨道耦合） 。 写出其价电子的哈密顿量 （只计入 B 的 一次项） ，并写出相应定态能量和波函数的通式（主要标志出对量子数和空间 坐标的依赖性） 。 (2) 说明此情形下钠原子发射光谱中黄线的（正常）塞曼分裂现象。
中国科学院－中国科技大学 2002 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
试题名称： 量子力学（实验型）
（选作五题，每题 20 分） 一、（20 分）对于氢原子结构，采用电子绕核做圆周运动的半经典模型： (1) 从德布罗意（驻）波的观点导出玻尔关于定态轨道的量子化条件。 (2) 从牛顿定律和(1)的量子化条件导出氢原子量子化轨道半径和能量。
, x 0 二、（20 分）一个质量为 的粒子，处于势阱 V ( x) 0, 0 x a 中，t 0 时，其归一 , x a
化波函数为 ( x, t 0)
2 x x ，求 1 4 cos sin 5a a a (1) 在后来某一时刻 t t0 时的波函数； (2) 在 t 0 和 t t0 时体系的平均能量。
五、（20 分）设质量为 m ，电荷为 q 的粒子被约束在谐振子势 V ( x)
1 2 kx 内，现沿 x 方 2 向加上一个恒定的常数电场 E 。试计算其基态 0 和第一激发态 1 的能级移动，准
确到 E 2Biblioteka 级。试题名称：2002 量子力学（实验型）
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量子力学试题及详细答案!
量子力学试题及详细答案!————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2002级量子力学期末考试试题和答案B 卷一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、在一维情况下，求宇称算符P ˆ和坐标x 的共同本征函数。
（6分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。
（5分）二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符Aˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在A 表象中算符Bˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。
三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态)21exp(3231)0,(22x x x ααπαψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=，其中ημωα=，求1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。
2、0>t 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++λλλλλλ2330322021的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。
五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。
2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。
3、全同玻色子的波函数是对称波函数。
两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：[])()()()(2112212211q q q q S ϕϕϕϕφ+=4、宇称算符P ˆ和坐标x 的对易关系是：P x x P ˆ2],ˆ[-=，将其代入测不准关系知，只有当0ˆ=Px 时的状态才可能使P ˆ和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符Pˆ和x 的共同本征函数。