关于不等式恒成立问题的几种求解方法

关于不等式恒成立问题的几种求解方法

不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。

不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。

下面我们一起来探讨其中一些典型的问题

一、一次函数型——利用单调性求解

例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。

若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。

分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。

解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立,

设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有：

此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于

ⅰ），或ⅱ）

可合并成

同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3;

若改为：

,构造函数，画出图象，得a<3

利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围。

不等式恒成立的题型和解法还有很多，只要充分利用所给定的函数的特点和性质，具体问题具体分析，选用恰当的方法，对问题进行等价转化，就能使问题获得顺利解决。只有这样，才能真正提高分析问题和解决问题的能力。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”