关于不等式恒成立问题的几种求解方法
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不等式恒成立问题基本类型及常用解法
类型1：设f(x)=ax+b
f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩⎨⎧0
)(0)( n f m f
f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩⎨
⎧0)(0)( n f m f . 例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。
例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(2
1)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。
类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)
f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立⇔a ＞0 且△＜0;
f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立⇔a ＜0 且△＜0.
说明：①.只适用于一元二次不等式
②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论.
例3.不等式3
642222++++x x m mx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
类型3：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)
（1） 当a ＞0时
① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或⎪⎩⎪⎨⎧∆-o n a b m 2或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0)(2 n f n a b ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0
)(2 n f n a b . ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩
⎨⎧0)(0)( n f m f . （2） 当a ＜0时
① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩
不等式恒成立问题的大全
不等式恒成立问题
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有
1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩
⎨⎧<∆>⇔00a ; 2）0)(
0⎩⎨⎧<∆<⇔a
例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有
04)1(22<--=∆a a 解得3
11>-
1()1,(+∞--∞ 。 若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的
取值范围。
解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；
当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：
高考数学解决不等式恒成立问题常用5种方法！最后一种很重要！
开篇语：
不等式恒成立问题在高中数学是一类重点题型，高考也是必考内容。 由于不等式问题题型众多，题目也比较灵活。
所以在学习过程中，同学们要学会总结各种解题方法！
方法一：分离参数法
解析：分离参数法适用的题型特征：
当不等式的参数能够与其他变量完全分离出来，
并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时，
则将参数式放在不等式的一边，分离后的变量式放在另一边，
将变量式看成一个新的函数，问题即转化为求新函数的最值或范围，
若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max,若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min
方法二：变换主元法(也可称一次函数型)
解析：学生通常习惯把x当成主元(未知数)，
把另一个变量p看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐，
如果把已知取值范围的变量当成主元，把要求取值范围的变量看成参数，
则可简便解题。
适用于变换主元法的题型特征是：
题目有两个变量，
且已知取值范围的变量只有一次项，
这时就可以将不等式转化为一次函数求解。
方法三：二次函数法
解析：二次函数型在区间的恒成立问题：解决这类问题主要是分析 1，判断二次函数的开口方向
2，二次函数的判别式是大于0还是小于0
3，判断二次函数的对称轴位置和区间两端值的大小，即判断函数在区间的单调性 方法四：判别式法
解析：不等式一边是分式，
且分式的分子和分母的最高次项都是二次项时，
利用判别式法可以快速的解题，
分离参数将会使解题变得复杂。
方法五：最值法
解析：不等式两边是两个函数，
且含有参数时，我们可以分出出参数，
构造新函数，求函数的导数来求得新函数的最值。
函数不等式恒成立问题6大题型
函数不等式恒成立问题6大题型
新高考越来越注重对综合素质的考查，恒成立问题变式考查综合素质的很好途经，它经常以函数、方程、不等式和数列等知识为载体，渗透着还原、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法。近几年的数学高考中频频出现恒成立问题、能问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分，考查难度一般为中等或难题。
一、单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、∀∈x D ，()()min ≤⇔≤m f x m f x
2、∀∈x D ，()()max ≥⇔≥m f x m f x
3、∃∈x D ，()()max ≤⇔≤m f x m f x
4、∃∈x D ，()()min ≥⇔≥m f x m f x 二、双变量不等式与等式
一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈1、不等关系
（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x <成立，故()()min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min max f x g x <．2、相等关系
不等式恒成立问题的十种解法
一、判别式法
若能把所给不等式转化为某个一元二次不等式，并且该一元二次不等式是对于一切实数x都恒成立，则可优先考虑判别式法．
例l 设不等式，对于一切实数x都恒成立，求实数m的取值范围．
解：因为所以原不等式可变为：
因为该不等式对一切实数x都成立，必
有整理得
说明：若所给的区间并非一切实数时，切记不能使用判别式法．
二、三角换元法
通过适当的三角换元，把所给问题转化为含有的形式，再利用正弦函数的有界性来求出它的最值，从而使问题得到解决．
例2 已知实数x、y满足时恒成立，则实数d的取值范围是( )
)]，则y的最大值为，要使x+y+d≥O恒成立，
必须有d大于等于y的最大值，即d≥，故选择答案(A)．
三、分离参数
对于含有参数的不等式，若能把所求的参数分离出来，应优先考虑实行参数分离，然后再在不等式的另一边进行其它变换，如使用均值不等式，或通过函数的单调性来求出它的最值，最后再通过参数与这个最值的关系来使问题得到解决．
例3 对于任意恒成立，求实数m的取值范围．
四、图象法
如果所给不等式能够化为一边是我们熟悉的函数，那么我们可以通过它的图象，结合函数的单调性来求出它在所给区间上的最值，从而使问题得到解决．
例4 若关于x的不等式对任意x∈[0，1]恒成立，则m的取值范围是( )
(A)m≤一3 (B)m≥一3 (C)一3≤m≤0 (D)m≥一4
解：考察函数的图象，当x∈[0，1]时，其函数的值域为
y∈[一3，0]，若使不等式对任意x∈[0，1]恒成立，则m必
须小于等于它的最小值3，即m≤一3，故选择答案(A)．
不等式恒成立问题的大全
不等式恒成立问题
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有
1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00
a ;
2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00
⎩⎨⎧<∆<⇔a
例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，数a 的取值围。
解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有
04)1(22<--=∆a a 解得3
1
1>-<a a 或。
所以实数a 的取值围为),3
1
()1,(+∞--∞ 。
若二次不等式中x 的取值围有限制，则可利用根的分布解决问题。
例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，数m 的取值
围。
解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；
高一不等式恒成立问题3种基本方法
高一不等式恒成立问题3种基本方法
文章标题：探讨高一不等式恒成立问题的三种基本方法
在高中数学学习中，不等式恒成立问题是一个很常见的题型。学生们通常需要掌握多种方法来解决这类问题，而这些方法通常可以分为三种基本类型。本文将会详细介绍这三种基本方法，帮助读者全面理解这一数学概念。
1. 方法一：代数法
我们来介绍代数法。这种方法是在不等式两边进行代数变换，使得不等式变成一个容易解决的形式。代数法通常包括加减变形、乘除变形以及平方去根等技巧。以不等式ax+b>0为例，我们可以通过移项得到ax>-b，然后再除以a的正负来确定不等式的方向，从而得到不等式的解集。代数法在解决不等式恒成立问题中应用广泛，能够快速简便地找到解的范围和规律。
2. 方法二：图像法
我们介绍图像法。图像法是通过绘制不等式所代表函数的图像，来直观地找出不等式恒成立的区间。对于一元一次不等式ax+b>0，我们可以画出函数y=ax+b的图像，从而通过观察图像的上升或下降趋势来确定不等式的解集。图像法能够帮助我们更直观地理解不等式的性
质和范围，提高我们的思维逻辑和空间想象能力。
3. 方法三：参数法
我们介绍参数法。参数法是通过引入一个或多个参数，将不等式转化为一个有参数的等式问题，进而进行求解。参数法的典型应用包括辅助角法、二次函数法等。以不等式ax²+bx+c>0为例，我们可以引入Δ=b²-4ac，然后根据Δ的正负来确定不等式的解集。参数法在解决不等式问题中能够简化问题的复杂度，将不等式的求解转化为参数的求解，从而提高解题的效率和准确度。
不等式的恒成立问题基本解法9种解法
不等式的恒成立问题基本解法9种解法
不等式的恒成立问题基本解法：9种解法
导语：在数学中，我们经常会遇到不等式的问题，而不等式的恒成立
问题则更加耐人寻味。不等式的恒成立问题是指对于某个特定的不等式，是否存在一组解使得不等式始终成立。解决这种问题需要灵活运
用数学知识和技巧。本文将介绍不等式的恒成立问题的基本解法，共
包括9种方法。
一、置换法。这是最简单的一种方法，即将不等式中的变量互相置换，然后观察不等式是否成立。如果成立，则不等式恒成立。对于x^2 +
y^2 ≥ 0这个不等式，我们可以将x和y置换一下，得到y^2 + x^2 ≥ 0。由于平方数是非负数，所以不等式始终成立。
二、加法法则。这种方法是通过在不等式的两边同时加上相同的数来
改变不等式的符号。对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同
时加上-3，得到2x + 3 - 3 ≥ x + 4 - 3，即2x ≥ x + 1。由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
三、减法法则。与加法法则相似，减法法则是通过在不等式的两边同
时减去相同的数来改变不等式的符号。对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，
我们可以在两边同时减去x，得到x + 3 ≥ 4。由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
四、乘法法则。这种方法是通过在不等式的两边同时乘以相同的正数
来改变不等式的符号。对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边
同时乘以2，得到4x + 6 ≥ 2x + 8。由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
五、除法法则。与乘法法则相似，除法法则是通过在不等式的两边同
不等式中的恒成立问题
不等式中的恒成立问题
主讲人 王洪英
不等式中的恒成立问题能够很好的考察函数、不等式等知识以及转化化归等数学思想，因此备受命题者青睐，而大家在碰到不等式中的恒成立问题时，往感觉无从下手，而且此类问题有时表现比较隐蔽，不易分辨，下面通过实例就不等式中的恒成立问题的常用解法加以剖析。
1、函数（或方程）思想
【例1】已知│m │＜2时，不等式ｘ2
+m ｘ+1＞2ｘ+m 恒成立，求实数ｘ的取值范围。
分析：通过把对应的不等式问题转化为函数问题，构造一次函数求解，结合函数思想，利用已知条件求出ｘ的取值范围。 解：原不等式即为(1-ｘ)m-ｘ2 +2ｘ-1＜0,在│m │＜2时,即-2＜m ＜2恒成立.
令ƒ(m)= (1-ｘ)m-ｘ2 +2ｘ-1 则{ 即{ 解得ｘ≤-1或ｘ≥3.
所以ｘ的取值范围是(-∞,-1］∪[9, ∞).
点评:本题利用了一次函数的图象,即只要在两点m=-2和m=2处的函数值均小于零即可满足恒成立,巧妙的解出了ｘ的取ƒ(2)≤0 ƒ(-2)≤0
2(1-ｘ)-ｘ2 +2ｘ-1≤0
-2(1-ｘ)-ｘ2
+2ｘ-1≤0
值范围,解决此类问题转换主元后得到的函数一般是一次函数或易于求解满足条件的函数.
2.最值思维
【例2】已知不等式（ｘ+y ）
9对任意正实数ｘ，y
恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）
（A ）
2 （B ）4 （
C ）6 （
D ）8
分析：如果对（ｘ+y 各取最时，要使取“＝”条件相同，必须且只有a ＝
1，但此时右端的最小值为4，显然不等式不恒成立。因此，要先对左端进行变形，尽量避免两次使用基本不等式求解。
不等式 恒成立问题
解：设 ，则当 时， 恒成立
当 时， 显然成立；
当 时，如图， 恒成立的充要条件为：
解得 。
综上可得实数 的取值范围为 。
4：在 ABC中，已知 恒成立，求实数m的范围。
解析：由
， ， 恒成立， ，即 恒成立，
5、若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值范围。
变式：已知函数 ，若在区间 上， 的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围
由题意得，对于 恒成立 对于 恒成立,令 ,设 ,则 ，
, , k的取值范围是k> .
解：令 ， 所以原不等式可化为： ，
要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量实行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例4．对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。
解析本题能够化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意 .若 恒成立
或 或 ，即a的取值范围为 .
8、已知函数 ，若在区间 上， 的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围.
解析本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于 恒成立,式子中有两个变量,能够通过变量分离化归为求函数的最值问题.对于 恒成立 对于 恒成立,令 ,设 ,则 ,即x=1时 , k的取值范围是k>2.
高中数学解题方法---不等式恒成立的八种解法
高中数学解
中数学解题题方法---不等式恒成立的八种解法
不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策作一些探讨。
不等式恒成立八种解法：
1.最值法
2.分离参数法
3.数形综合法
4.变更主元法
5.特殊化法
6.分段讨论法
7.单调性法
8.判别式法
不等式恒成立问题3种基本方法
不等式恒成立问题3种基本方法
不等式恒成立问题是指在数学中有特定条件下，当不等式满足某些条件时，就能证明不等式恒成立。一般来说，要证明不等式恒成立，都是采用一定的技巧和方法，其中，最常用的三种方法包括把不等式化简为等式、归纳法或组合法以及图解法。
1.不等式化简为等式
最常用的一种方法是将不等式化简为等式，这种方法最为直观，也是最容易的方法，也就是利用数学语言，利用数学公式将不等式化为等式，然后利用数学推论让等式恒成立。
例1:y+2除以3大于9，则y大于17
令y+2=3x
得3x除以3大于9
化简得 x大于9
代入y+2=3x，y大于17
所以y+2除以3大于9时，y大于17。
2.纳法或组合法
归纳法或组合法是比较常用的一种方法，也称为反演法。特别是在分析比较复杂的不等式时，往往可以借助这种方法。
归纳法或组合法的步骤是：
1首先分析不等式的全部特性，然后根据不等式的特性进行分析，把这些特性分为若干步，每步解决一个特殊问题；
2）然后利用反演法，逐步推出最后的结论。
例 2:y>8，则9-y<1
第一步： y>8明 y>8成立的
第二步：y>8带入y-8>0，即可推出y-8的值大于0
第三步：y-8>0带入9-y<1，即可推出9-y的值小于1
第四步：以上四步推出，若y>8，则9-y<1
3.解法
图解法是把问题的定义，公式，结果等用图示表示出来，从而把问题用图形化的方式来分析。
例 3:|x-2|≤3，则-1≤x≤5
由于|x-2|≤3，即x-2≤3 x-2≥-3，因此可以把上述问题用图形化的方式来分析，即x-2=3时表示x-2≤3，x-2=-3时表示x-2≥-3，两条线在x=5和x=-1的位置相交，由此可以推出-1≤x≤5。
求解不等式恒成立问题的三种途径
考点透视
不等式恒成立问题的常见命题形式有：（1）证明某个不等式恒成立；（2）根据恒成立的不等式求参数的取值范围.求解不等式恒成立问题的常用思路有：构
造函数、分离参数、数形结合等.对于不同的不等式，往
往需采用不同的途径进行求解.下面结合实例来进行
探究.
一、构造函数在求解不等式恒成立问题时，我们可先将不等式
左右两边的式子移项、变形；然后将不等式构造成函
数式，将问题转化为函数最值问题，通过研究函数的
单调性，求得函数的最值，来证明不等式恒成立.在求函数的最值时，可根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系来判断函数的单调性；也可
以利用简单基本函数的单调性来求得函数的最大、最小值，建立使不等式恒成立的式子，即可解题.例1.求证：当x >-1时，
1-1x +1≤ln ()x +1≤x 恒成立.
证明：设f ()x =ln ()x +1-x ，
求导可得f ′()x =1x +1-1=-x x +1
，因为当-1<x <0时，f ′()x >0，当x >0时，f ′()x <0，所以函数f ()x 在()-1,0上单调递增，在()0,+∞上单调递减，
即f ()x ≤f ()0=0，
故f ()x =ln ()x +1-x ≤0，即ln ()x +1≤x .
令g ()x =ln ()x +1+1x +1
-1
，
则g ′()x =1x +1-1
()x +12=x ()x +12，
因为当-1<x <0时，g ′()x <0，当x >0时，
g ′()x >0，所以函数g ()x 在()-1,0上单调递减，在()
解决不等式恒成立问题的几种方法
解决不等式恒成立问题的几种方法不等式的恒成立问题在近几年的高考数学试题中常常出现。由于这类问题综合性强，难度大，能力要求高，很多同学望而生畏，无从下笔。下面就恒成立问题的基本类型总结如下，仅供参考。
一、用一次函数的性质
对于一次函数f（x）=kx+b，x∈［m，n］有：f（x）＞0恒成立?圳f（m）＞0f（n）＞0，f（x）＜0恒成立?圳f（m）＜0f（n）＜0
例1.对于满足p≤2的所有实数p，求使不等式x2+px+1>2p+x
恒成立的x的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x及p，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在［-2，2］内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。
略解：不等式即（x-1）p+x2-2x+1>0，设f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，则f（p）在［-2，2］上恒大于0，故有：
f（-2）＞0f（2）＞0即x2-4x+3＞0x2-1＞0解得x＞3或x＜1x＞1或x＜-1
即解得：
x3.
二、利用一元二次函数的判别式
对于一元二次函数f（x）=ax2+bx+c＞0（a≠0，x∈r）有：
（1）f（x）＞0在x∈r上恒成立?圳a＞0且δ＜0；
（2）f（x）＜0在x∈r上恒成立?圳a＜0且δ＜0.
例2.若函数y=在r上恒成立，求m的取值范围。
分析：该题就转化为被开方数mx2+6mx+m+8≥0在r上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。
略解：要使y=在r上恒成立，即mx2+6mx+m+8≥0在r上恒成立。
m=0时，8≥0 ∴m=0成立①
不等式的恒成立问题基本解法9种解法
不等式的恒成立问题基本解法9种解法
在解决不等式的恒成立问题时，有多种基本解法可以选择，每种解法都有其独特的特点和适用场景。在本文中，我们将深入探讨不等式的恒成立问题，并从不同的角度提出9种基本解法，帮助读者更全面、深入地理解这一主题。
1. 直接法
直接法是解决不等式的恒成立问题最直接的方法。通过对不等式的特定性质和条件进行分析，直接得出不等式恒成立的结论。这种方法通常适用于简单的不等式，能够快速得到结果。
2. 间接法
间接法是一种通过反证法或对立法解决不等式的恒成立问题的方法。当直接法无法直接得出结论时，可以尝试使用间接法来推导不等式的恒成立条件。这种方法通常适用于较为复杂的不等式，可以通过推翻假设得到结论。
3. 分类讨论法
分类讨论法是一种将不等式的条件分为多种情况进行分析的方法。通过将不同情况进行分类讨论，找出每种情况下不等式的恒成立条件，从而得出综合结论。这种方法适用于不等式条件较为复杂的情况，能够全面考虑不同情况下的特殊性。
4. 代入法
代入法是一种通过代入特定的数值进行验证的方法。通过选择合适的数值代入不等式中，可以验证不等式在特定条件下是否恒成立。这种方法通常适用于验证不等式的特定性质或条件。
5. 齐次化法
齐次化法是一种将不等式中的不定因子统一化的方法。通过将不等式中的不定因子进行统一化，可以简化不等式的表达形式，从而更容易得出不等式的恒成立条件。这种方法通常适用于不等式较为复杂的情况，能够简化问题的复杂度。
6. 几何法
几何法是一种通过几何形象进行分析的方法。通过将不等式转化为几何图形，可以直观地理解不等式的恒成立条件。这种方法通常适用于具有几何意义的不等式问题，能够通过几何图形进行直观分析。
八种解法解决不等式恒成立问题
八种解法解决不等式恒成立问题
1最值法
例1．已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（I ）试确定b a ,的值；（II ）讨论函数)(x f 的单调区间；（III ）若对于任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围．
分析：不等式22)(c x f -≥恒成立，可以转化为2min 2)(c x f -≥
解：（I ）（过程略）3,12-==b a ．
（II ）（过程略）函数)(x f 的单调减区间为)1,0(，函数)(x f 的单调增区间为),1(+∞． （III ）由（II ）可知，函数)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小值也是最小值．要
使22)(c x f -≥（0>x ）恒成立，只需223c c -≥--，解得2
3≥c 或1-≤c ． 所以c 的取值范围为),23[]1,(+∞⋃--∞．
评注：最值法是我们这里最常用的方法．a x f ≥)(恒成立a x f ≥⇔)(min ；a x f ≤)(恒成立a x f ≤⇔)(max ．
2分离参数法
例2．已知函数x x x x f +-+=1)1(ln )(2
2
（I ）求函数)(x f 的单调区间；
（II ）若不等式e n a n ≤+
+)11(对于任意*∈N n 都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值．
分析：对于（II ）不等式e n
a n ≤++)11(中只有指数含有a ，故可以将函数进行分离考虑． 解：（I ）（过程略）函数)(x f 的单调增区间为)0,1(-，)(x f 的单调减区间为),0(+∞
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关于不等式恒成立问题的几种求解方法
不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。
下面我们一起来探讨其中一些典型的问题
一、一次函数型——利用单调性求解
例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。
若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。
分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。
解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立,
设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有：
此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于
ⅰ），或ⅱ）
可合并成
同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3;
若改为：
,构造函数，画出图象，得a<3
利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围。
不等式恒成立的题型和解法还有很多，只要充分利用所给定的函数的特点和性质，具体问题具体分析，选用恰当的方法，对问题进行等价转化，就能使问题获得顺利解决。只有这样，才能真正提高分析问题和解决问题的能力。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”