人教版-数学-八年级下册-第18章正方形导学案

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精选人教版八年级数学下册第18章学案18.2.3 第1课时正方形的性质

18.2.3 正方形第1课时正方形的性质学习目标：使学生掌握正方形的概念，知道正方形具有矩形和菱形的一切性质，并会用它们进行有关的论证和计算.学习重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．学习难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．学习过程：一、课前预习1、________________________ ____叫做平行四边形，______________________ __ ____叫做矩形，_____________________ __叫做菱形.2、做一做：用一张长方形的纸片怎样折出一个正方形？【问题】什么样的四边形是正方形？定义：的平行四边形．．．．．是正方形。

●概念中三个条件、、缺一不可.二、自主学习正方形的性质：正方形是特殊的，也是特殊的形、形，所以它具有这些图形的所有性质.正方形是轴对称图形，它有条对称轴。

正方形性质定理1：正方形的四个角都是，四条边都。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且，每一条对角线平分。

正方形边（1（2（4）对角线（3）四个角都是互相互相平分一组角角对角线【强调】正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．三、合作探究例1、正方形与平行四边形共同具有的性质为（）A. 对角线平分一组对角B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分例2、如图，在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE=AC ，连结AE 交CD 于F ，则∠E= .例3、如图，E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 、∠ AED 、∠ECD 的度数．四、分层训练1、正方形的对角线长为6，则面积为__________。

2、如右图，E 为正方形ABCD 边AB 上的一点，已知EC=30, EB=10,则正方形ABCD 的面积为____________，对角线为________．3、正方形ABCD 的对角线相交于O ，若AB=2，那么△ABO 的周长是______，△ABO 面积是_____．4、顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（）．A ．12B ．13C ．14D ．155、四条边都相等的四边形一定是（）。

八年级数学下册 18_2_3.1 正方形的性质导学案(新版)新人教版

正方形的性质【学习目标】：1、掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2、理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

【学习重点】：熟练掌握正方形的性质【学习难点】：利用正方形的性质解决实际问题一、自主学习：1、复习回顾：（1）平行四边形的性质和判定（2）矩形的性质和判定（3）菱形的性质和判定2、阅读课本P58—59正方形的定义：矩形是的平行四边形，菱形是平行四边形而：有一个角是直角，且有一组邻边相等的是正方形。

正方形的性质：（在旁边空白处画一个正方形，并能过观察或度量归纳正方形的特征）（1）边：（2）角：（3）对角线：三、合作交流探究与展示：1、性质（几何语言）平行四边形矩形菱形正方形图形DCBA DCBA DCBADCBA边AB∥DC，AD∥A B=DC，AD BC AB∥，AD∥AB=DC，AD BCAB∥，AD∥______________AB===AB∥，AD∥______________AB===角_____A∠=∠______D∠=∠____________90A∠=∠=∠=∠=︒_____A∠=∠_____D∠=∠____________90A∠=∠=∠=∠=︒D CEBA对角线1(1)________2AO ==1______2BO == (1)______AC =1(2)________21________2AO BO ===== (1)____AC BD(2)1__________2AO == 1______________2BO ==（3）一条对角线平分一组对角(1)____AC BD1(2)_____21_______2AO OB =====（3）（同菱形）2、矩形，菱形，正方形都是的平行四边形。

3、见教材P58图18.2-12，正方形ABCD 的对角线把它分成了____个三角形，它们是_____三角形，它们全等吗？请简单说明理由_____________________________________________。

八年级数学下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.3正方形导学案新版新人教版

第十八章平行四边形18.2.3 正方形第1课时正方形的性质学习目标：1.理解正方形的概念；2. 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；3. 会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.重点：探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别. 难点：会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.一、知识回顾1.你还记得长方形有哪些性质吗？2.菱形的性质又有哪些？一、要点探究探究点1：正方形的性质想一想 1.?你有什么发现？2.菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？要点归纳：正方形定义：有一组邻边_____并且有一个角是_____的__________叫正方形. 想一想正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.那你能说出正方形的性质吗？1.正方形的四个角都是_________,四条边_________.2.正方形的对角线________且互相______________. 证一证已知：如图,四边形ABCD 是正方形. 求证：正方形ABCD 四边相等,四个角都是直角. 证明：∵四边形ABCD 是正方形.∴∠A=____°, AB_____AC. 又∵正方形是平行四边形.∴正方形是______,亦是______. ∴∠A___∠B___∠C___∠D =____°,AB___BC___CD___AD.已知：如图,四边形ABCD 是正方形.对角线AC 、BD 相交于点O. 求证：AO=BO=CO=DO,AC ⊥BD. 证明：∵正方形ABCD 是矩形, ∴AO___BO___CO___DO.∵正方形ABCD 是菱形. ∴AC___BD.想一想请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?要点归纳：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.例1如图，在正方形ABCD 中，ΔBEC 是等边三角形. 求证：∠EAD ＝∠EDA ＝15°.DAB CE变式题1 四边形ABCD 是正方形,以正方形ABCD 的一边作等边△ADE,求∠BEC 的大小．易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．变式题2 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；（2）求证：∠BAP=2∠PAC．例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等3.如图,四边形ABCD 是正方形,对角线AC 与BD 相交于点O,AO ＝2,求正方形的周长与面积．1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（） A ．对角线互相平分 B ．对角线互相垂直C ．对角线相等D ．对角线互相垂直且相等2.一个正方形的对角线长为2cm ，则它的面积是（）A.2cm 2B.4cm 2C.6cm 2D.8cm 23. 在正方形ABC 中,∠ADB=________,∠DAC=_________, ∠BOC=__________.4.在正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，且AE=AB ，则∠EBC 的度数是___________.5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．6.如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.第十八章平行四边形18.2.3 正方形第2课时正方形的判定学习目标：1.探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；2.会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.重点：探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别. 难点：会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.一、知识回顾1.什么是正方形？正方形有哪些性质？2.矩形、菱形的判定方法有哪些？二、要点探究探究点1：正方形的判定活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.猜一猜满足怎样条件的矩形是正方形？猜测：一组邻边_______且对角线互相________的矩形是正方形.证一证已知：如图,在矩形ABCD 中,AC , DB 是它的两条对角线AC ⊥DB. 求证：四边形ABCD 是正方形. 证明：∵四边形ABCD 是矩形,∴ AO___CO___BO___DO ，∠ADC=______°. ∵AC ⊥DB,∴ AD___AB___BC___CD,∴四边形ABCD 是__________.活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.猜一猜满足怎样条件的菱形是正方形？猜测：一组角是_______且对角线________的菱形是正方形.证一证已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC____DB.∵AC=DB,∴ AO___BO___CO___DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是_________三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=_____°,∴四边形ABCD是________.要点归纳：正方形判定的几条途径：1.一组邻边_______且一内角是__________的平行四边形是正方形；2.先判断四边形是菱形，再判断一内角是___________；3.先判断四边形是菱形，再判断对角线____________；4.先判断四边形是矩形，再判断一组邻边_________；5.先判断四边形是矩形，再判断对角线相互__________.例1在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.例2 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.例3 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC2.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．3.前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形,顺次连接矩形各边中点得到菱形,那么顺次连接正方形各边中点得到怎样的特殊平行四边形？下列命题正确的是（） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形2.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（） A ．当AB=BC 时，四边形ABCD 是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是菱形 C ．当∠ABC=90°时，四边形ABCD 是矩形 D ．当AC=BD 时，四边形ABCD 是正方形3.如图，四边形ABCD 中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．4.已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．5.如图，在四边形ABCD 中, AB=BC ,对角线BD 平分∠ABC , P 是BD 上一点,过点P 作PM ⊥A D , PN ⊥CD ,垂足分别为M 、N.当堂检测(1) 求证：∠ADB=∠CDB;(2) 若∠ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.6.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．(1)试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．(2)连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？(3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．11。

2023年人教版八年级数学下册第十八章《正方形》导学案 (2)

新人教版八年级数学下册第十八章《正方形》导学案自主学习目标掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．合作学习目标理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．合作探究目标理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．合作重点正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系合作难点正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．合作关键正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．教学流程教学素材教学环节教师行为学生活动引入课题做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系前置诊断口述倾听什么样的四边形是正方形？创境引入设置问题情境，启发引导小组合作、交流。

展示答案出示学习目标展示目标口述学生倾听学习内容1一、自学指导：1 认真学习P100-101内容2 口答正方形的定义是什么？（两条）性质有哪些？需要自己总结。

3 正方形是轴对称图形?如果是，它的对称轴有几条？4 在例4中正方形被对称轴分成了几个等腰直角三角形？它们分别是。

5你能自己总结正方形，菱形，矩形，平行四边形它们四者之间的关系吗？6口答小练习1和3，板演小练习2.二、正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形．指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）导学1 巡视探讨、交流，自主合作巡视自主独立完成互动交流指导学生评价举手展示巩固达标巡视独立练习（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）学习内容2 三、正方形的性质：1、【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．2、例2（教材P58的例5）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．例1、已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．例3、ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，经测量EC=30m，EB=10m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？导学2 提问自主合作评价自学互动交流巡视巩固达标巡视举手展示课堂小结对本节知识进行归纳小结质疑合作与交流已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．巩固拓展巡视自主，小组交流。

八年级数学下册第十八章平行四边形特殊的平行四边形正方形教案新人教

18.2.3 正方形一、教学目的1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．二、重点、难点1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．三、例题的意图分析本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目．其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？四、课堂引入1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等叫做正方形．．．．．．．．．．．．．的平行四边形．．．．．．并且有一个角是直角指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）2．【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．五、例习题分析例1（教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴ AC=BD， AC⊥BD，AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．又 DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．∴∠EAO=∠FDO．∴△AEO ≌△DFO．∴ OE=OF．例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN ⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．证明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1，∴ PN∥QM，∠PNM=90°．∵ PQ∥NM，∴四边形PQMN是矩形．∵四边形ABCD是正方形∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．∴∠1+∠2=90°．又∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∴△ABM≌△DAN．∴ AM=DN．同理 AN=DP．∴ AM+AN=DN+DP即 MN=PN．∴四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．六、随堂练习1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．2．下列说法是否正确，并说明理由．①对角线相等的菱形是正方形；（）②对角线互相垂直的矩形是正方形；（）③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）④四条边都相等的四边形是正方形；（）⑤四个角相等的四边形是正方形．（）1．已知：如图，四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为CD 、CB 延长线上的点，且DE ＝BF ．求证：∠AFE ＝∠AEF ．4．如图，E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 与∠ECD 的度数．七、课后练习1．已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且DE=BF ．求证：EA ⊥AF ．2．已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：四边形CFDE 是正方形．3．已知：如图，正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，AF 平分∠DAE 交CD 于F ，求证：AE=BE+DF ．A B CDEF八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．在下列命题中，真命题是（） A ．同位角相等 B ．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 C ．两锐角互余 D ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】D【分析】逐项作出判断即可．【详解】解：A. 同位角相等,是假命题，不合题意；B. 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，是假命题，不合题意；C. 两锐角互余，是假命题，不合题意；D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，符合题意．故选：D 【点睛】本题考查了同位角，互余，角平分线的判定，直角三角形性质，熟知相关定理是解题关键，注意B 选项，少了“在角的内部”这一条件．2．如图，△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE= 5cm ，△ABD 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为（）A ．21cmB ．26cmC ．28cmD ．31cm【答案】B【分析】根据垂直平分线的性质得到AD CD =，将ABC 的周长表示成ABD △的周长加上AC 长求解．【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线， ∴AD CD =，5AE CE ==， ∴10AC =，∵ABD △的周长是16， ∴16AB BD AD ++=，ABC 的周长161026AB BD CD AC AB BD AD AC =+++=+++=+=．故选：B ．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．3．计算()1524555⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝的结果为（） A ．7 B ．-5 C ．5 D ．-7【答案】C【分析】利用最简二次根式的运算即可得.【详解】()()()()()152455565555555⎛⎫-÷-=-÷-=-÷-= ⎪ ⎪⎝故答案为 C 【点睛】本题考查二次根式的运算，掌握同类二次根式的运算法则及分母有理化是解题的关键.4．下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④5，12，13，其中可以构成直角三角形的有（） A ．1组 B ．2组C ．3组D ．4组【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理知，当三角形的三边关系为：a 2+b 2＝c 2时，它是直角三角形，由此可解出本题．【详解】解：①中有92+122＝152，能构成直角三角形； ②中有72+242＝252，能构成直角三角形；③中（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成直角三角形； ④中52+122＝132，能构成直角三角形所以可以构成3组直角三角形．故选：C ．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理的内容是解题的关键． 5．如图所示的两个三角形全等，则1∠的度数是( )A ．50︒B ．72︒C ．58︒D ．82︒【答案】A【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可．【详解】解：在△ABC中，∠B=180-58°-72°=50°，∵两个三角形全等，∴∠1=∠B=50°．故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，确定出对应角是解题的关键．6．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于（）A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5【答案】C【分析】由于三角形的三条角平分线的交点为三角形的内心，则点O为△ABC的内心，又知点O到三边的距离相等，即三个三角形的高相等，利用三角形的面积公式知，三个三角形的面积之比即为对应底边之比．【详解】解：由题意知，点O为△ABC的内心，则点O到三边的距离相等，设距离为r，则S△ABO=12AB·r，S△BCO=12BC·r，S△CAO=12AC·r，∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=12AB·r：12BC·r：12AC·r=AB：BC：AC=20：30：40=2：3：4，故选：C．【点睛】本题考查三角形的角平分线的性质、三角形的内心、三角形的面积公式，关键是熟知三角形的三条角平分线相交于一点，这一点是该三角形的内心．7中，最简二次根式有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】B【分析】根据最简二次根式的概念解答即可．===不能化简．故选B．【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念．8．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（）A．两组对边分别平行B．一组对边平行，另一组对边相等C．一组对边平行且相等D．两组对边分别相等【答案】B【解析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．A、D、C均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形．故选B．9．213-⎛⎫⎪⎝⎭的相反数是（）A．9 B．-9 C．19D．19-【答案】B【分析】先根据负指数幂的运算法则求出213-⎛⎫⎪⎝⎭的值，然后再根据相反数的定义进行求解即可．【详解】2211113193-⎛⎫==⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭=9，9的相反数为-9，故213-⎛⎫⎪⎝⎭的相反数是-9，故选B．【点睛】本题考查了负整数指数幂、求一个数的相反数，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．10．如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（）A．32°B．64°C．65°D．70°【答案】B【解析】此题涉及的知识点是三角形的翻折问题，根据翻折后的图形相等关系，利用三角形全等的性质得到角的关系，然后利用等量代换思想就可以得到答案【详解】如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置∠B=∠D=32° ∠BEH=∠DEH∠1=180︒-∠BEH-∠DEH=180︒-2∠DEH∠2=180︒-∠D-∠DEH-∠EHF=180︒-∠B-∠DEH-(∠B+∠BEH)=180︒-∠B-∠DEH-（∠B+∠DEH）=180︒-32°-∠DEH-32°-∠DEH=180︒-64°-2∠DEH∴∠1-∠2=180︒-2∠DEH-(180︒-64°-2∠DEH)=180︒-2∠DEH-180︒+64°+2∠DEH故选B【点睛】此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力，等量代换是解本题的关键二、填空题11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是三角形的高，垂足为D、E，若∠CAD=20°，则∠BCE=_____．【答案】20°．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD=20°，∠ABC=∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据高线的定义以及三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵AB=AC，AD是三角形的高，∴∠BAD=∠CAD=20°，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC180402︒-︒==70°．∵CE是三角形的高，∴∠CEB=90°，∴∠BCE=20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的高线和角平分线以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．12．若点P1（a+3，4）和P2（－2，b－1）关于x轴对称，则a+b=___．【答案】-2【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，得出a、b的值即可得答案．【详解】解：由题意，得a+3=-2，b-1=-1．解得a=-5，b=-3，所以a+b=（-5）+（-3）=-2故答案为：-2．本题考查关于x 轴对称的点的坐标，熟记对称特征：关于x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于y 轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题关键．13．某种大米的单价是2.4元/千克，当购买x 千克大米时，花费为y 元，则x 与y 的函数关系式是_______．【答案】 2.4y x【分析】关系式为：花费=单价×数量，把相关数值代入即可. 【详解】大米的单价是2.4元/千克，数量为x 千克， ∴y=2.4x ，故答案为：y=2.4x. 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7 cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 1．【答案】2【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．【详解】解：如图，∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， ∴正方形A 的面积=a 1，正方形B 的面积=b 1，正方形C 的面积=c 1，正方形D 的面积=d 1，又∵a 1+b 1=x 1，c 1+d 1=y 1，∴正方形A 、B 、C 、D 的面积和=(a 1+b 1)+(c 1+d 1)=x 1+y 1=71=2cm 1．故答案为：2．【点睛】本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解答本题的关键． 15．如图，,,,30AB AC BD CD AD AE BAD ︒===∠=,则EDC ∠=_________________．【答案】15︒【分析】根据等腰三角形三线合一性质求得∠CAD 与∠ADC 的度数，再根据AD=AE ，利用三角形内角和定理可求得∠ADE 的度数，从而不难求解．【详解】∵AB=AC ，BD=CD ，∴AD 平分∠BAC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD=∠BAD=30°，∠ADC=90°．∵AD=AE ，∴∠ADE=∠AED=180CAD 2∠︒-=180302︒-︒=75°， ∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°．∴故答案为：15︒．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．16．如图，AB ＝AC ＝6，15C ∠=，BD ⊥AC 交CA 的延长线于点D ，则BD ＝___________．【答案】3【分析】由等腰三角形的性质得：30,BAD ∠=︒利用含30的直角三角形的性质可得答案．【详解】解：AB ＝AC ＝6，15C ∠=，15,ABC ACB ∴∠=∠=︒30,BAD ∴∠=︒ BD ⊥AC ， 1 3.2BD AB ∴== 故答案为：3.【点睛】本题考查的是等腰三角形与含30的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握这三个性质是解题的关键．17．ABC ∆中，AB AC =，30A ∠=，点E 为BC 延长线上一点，ABC ∠与ACE ∠的平分线相交于点D ，则D ∠的度数为__________．【答案】15°【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A ，∠1=∠3+∠D ，则2∠1=2∠3+∠A ，利用等式的性质得到∠D=12∠A ，然后把∠A 的度数代入计算即可．【详解】解：∵∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点D ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC ，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A ，∴2∠1=2∠3+∠A ，∵∠1=∠3+∠D ，∴∠D=12∠A=12×30°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．三、解答题18．如图（1），方格图中每个小正方形的边长为1，点A 、B 、C 都是格点．（1）画出ABC 关于直线MN 对称的111A B C △；（2）写出1AA 的长度；（3）如图（2），A ，C 是直线MN 同侧固定的点，B '是直线MN 上的一个动点，在直线MN 上画出点B '，使AB B C ''+最小．【答案】（1）详见解析；（2）10；（3）详见解析.【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分别得出对应点位置进而得出答案.（2）利用网格直接得出AA 1的长度.（3）利用轴对称求最短路线的方法得出点B '位置.【详解】解：（1）如图（1）所示：111A B C △，即为所求；（2）1AA 的长度为：10；（3）如图（2）所示：点B '即为所求，此时AB B C ''+最小．【点睛】本题考查坐标系中轴对称图形，关键在于熟悉相关基本概念作图.19．甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城，在整个行驶过程中，甲、乙离开A 城的距离y （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题：（1）乙车比甲车晚出发多少时间？（2）乙车出发后多少时间追上甲车？（3）求在乙车行驶过程中，当t 为何值时，两车相距20千米？【答案】（1）乙车比甲车晚出发1小时；（2）乙车出发1.5小时后追上甲车；（3）在乙车行驶过程中，当t 为1或2时，两车相距20千米．【分析】（1）从图像及题意可直接进行解答；（2）设甲车离开A 城的距离y （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数解析式为y kt =，乙车离开A 城的距离y （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数解析式为y kt b '=+，然后根据图像可求出函数解析式，进而联立两个函数关系求解；（3）由（2）及题意可分类进行求解，即当乙车追上甲车前和当乙车追上甲车后．【详解】解：（1）由图像可得：甲车的图像是从原点出发，而乙车的图像经过点()1,0，则：所以乙车比甲车晚出发1小时；答：乙车比甲车晚出发1小时．（2）设甲车离开A 城的距离y （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数解析式为y kt =，由图像得，把()5,300代入得：3005k =，解得=60k ，∴60y t =；设乙车离开A 城的距离y （千米）与甲车行驶的时间t （小时）之间的函数解析式为y kt b '=+，由图像得，把()()4,300,1,0代入得：43000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得100100k b =⎧⎨=-⎩， ∴100100y t '=-，∴60100100t t =-，解得t=2.5，∴2.51 1.5-=（小时）．答：乙车出发1.5小时后追上甲车．（3）由（2）可得：甲车函数解析式为60y t =，乙车的函数解析式为100100y t '=-，∴当乙车追上甲车前两车相距20千米时，60100100+20t t =-，解得2t =；当乙车追上甲车后两车相距20千米时，6010010020t t =--，解得3t =；∴2-1=1（小时）或3-1=2（小时）；∴在乙车行驶过程中，当t 为1或2时，两车相距20千米．【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的实际应用是解题的关键．20．某次学生夏令营活动，有小学生、初中生、高中生和大学生参加，共200人，各类学生人数比例见扇形统计图．(1)参加这次夏令营活动的初中生共有多少人？(2)活动组织者号召参加这次夏令营活动的所有学生为贫困学生捐款．结果小学生每人捐款 5 元，初中生每人捐款 10 元，高中生每人捐款 15 元，大学生每人捐款 20 元．问平均每人捐款是多少元？(3)在(2)的条件下，把每个学生的捐款数额(以元为单位)——记录下来，则在这组数据中，众数是多少？【答案】 (1)80 人；(2)11.5 元； (3)10 元.【解析】试题分析：（1）参加这次夏令营活动的初中生所占比例是：1﹣10%﹣20%﹣30%=40%，就可以求出人数．（2）小学生、高中生和大学生的人数为200×20%=40，200×30%=60，200×10%=20，根据平均数公式就可以求出平均数．（3）因为初中生最多，所以众数为初中生捐款数．试题解析：解：（1）参加这次夏令营活动的初中生共有200×（1-10%-20%-30%）=80人；（2）小学生、高中生和大学生的人数为200×20%=40，200×30%=60，200×10%=20，所以平均每人捐款=405801060152020200⨯+⨯+⨯+⨯=11.5（元）；（3）因为初中生最多，所以众数为10（元）．21．已知12x x+=，求221x x +，441x x +的值．【答案】2，2【分析】将已知的等式左右两边分别平方，再展开求得．【详解】解：∵12x x +=， ∴221()2x x +=， ∴22124x x ++=， ∴2212x x +=． ∴22221()2x x +=， ∴4412+4x x+=， ∴4412x x+=．【点睛】本题考查了完全平方公式，关键是把所求代数式整理为与所给等式相关的形式或与得到结果相关的形式． 22．（1）解方程：22510111x x x -+=+-- （2）先化简，再求值：22121121x x x x x x --⎛⎫-+÷⎪+++⎝⎭，其中2x =-．【答案】（1）分式方程无解；（2）2x x --，2-．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】（1）去分母得：()()215110x x --+=-，即225510x x ---=-，解得：1x =，经检验：1x =是分式方程的增根，∴原分式方程无解；（2）22121121x x x x x x --⎛⎫-+÷ ⎪+++⎝⎭ 221(1)(1)21121x x x x x x x x -+--⎡⎤=-÷⎢⎥++++⎣⎦ 22211(1)12x x x x x --++=⋅+- 2(2)(1)12x x x x x --+=⋅+- ()1x x =-+2x x =--，当2x =-时，原式()()2222=----=-．【点睛】本题考查了分式的化简求值以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，c a+2b-c 的平方根．【答案】a+2b －c 的平方根为.【解析】试题分析：先根据算术平方根及平方根的定义得出关于,a b 的方程组，求出,a b 的值，再估算出c 的值，代入所求代数式进行计算即可．试题解析：∵2a−1的算术平方根是3，3a+b−1的平方根是±4，∴2193116a a b -=⎧⎨+-=⎩，解得52a b ，=⎧⎨=⎩∵9<13<16，∴34，<<3，即c=3，∴原式5223 6.=+⨯-=6的平方根是24．（1）解不等式413x x ->．（2）解不等式组3(1)5(1)21531123x x x x -≤+-⎧⎪-+⎨≥-⎪⎩．【答案】（1）1x >；（2）133x -≤≤ 【分析】（1）直接移项解不等式即可；（2）先分别解一元一次不等式，再求交集即可.【详解】解：（1）413x x ->431x x ->1x >；（2）3(1)5(1)21531123①②-≤+-⎧⎪⎨-+≥-⎪⎩x x x x解由①得：3x ≥-，由②得：13x ≤， ∴原不等式组的解集为133x -≤≤. 【点睛】本题是对一元一次不等式组的考查，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键.25．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线交于点H ，且BH=AC ，则∠ABC=____．【答案】45°或135°【分析】根据题意画出三个图形，证HBD CAD ∆≅∆，推出AD DB =，推出DAB DBA ∠=∠，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出ABD ∠，即可求出答案．【详解】解：分为三种情况：①如图1， AD 、BE 是ABC ∆的高，90ADC BDH ∴∠=∠=︒，90BEC ∠=︒，90C CAD ∴∠+∠=︒，90C HBD ∠+∠=︒，CAD HBD ∴∠=∠，在HBD ∆和CAD ∆中90HBD CAD BDH ADC BH AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()HBD CAD AAS ∴∆≅∆，BD AD ∴=，90ADB ∠=︒，45ABC BAD ∴∠=∠=︒，②如图2，AD BC ⊥，BE AC ⊥，90ADC HDB AEH ∴∠=∠=∠=︒，90H HAE C HAE ∴∠+∠=∠+∠=︒，H C ∴∠=∠，在HBD ∆和CAD ∆中，HDB ADCH C BH AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()HBD CAD AAS ∴∆≅∆，AD BD ∴=，DAB DBA ∴∠=∠，90ADB ∠=︒，45ABD ∴∠=︒，18045135ABC ∴∠=︒-︒=︒；③高AD 和BE 所在的直线交于点H ，90HDB ADC HEA ∴∠=∠=∠=︒，90H DAC ∴∠+∠=︒，90H HBD ∠+∠=︒，DAC HBD ∴∠=∠，在DAC ∆和DBH ∆中ADC HDB DAC HBD AC BH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DAC DBH AAS ∴∆≅∆，AD BD ∴=，90ADB ∠=︒，45ABC CAD ∴∠=∠=︒，故答案：45°或135°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，用了分类讨论思想．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．若x y <，则下列不等式成立的是（）A ．22x y -+<-+B ．44x y >C ．22x y -<-D ．33x y -<- 【答案】C【分析】根据不等式的性质依次分析判断即可．【详解】A 、x y <，则x y --＞，所以22x y -+-+＞，故A 错误；B 、x y <，则44x y ＜，故B 错误；C 、x y <，22x y -<-，故C 正确；D 、x y <，则33x y --＞，故D 错误；故选C.【点睛】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．2．若292(1)16x k x --+是完全平方式，则k 的值为（）A ．－5或7B ．7±C ．13或－11D ．11或－13 【答案】C【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k 的值．【详解】解：∵9x 2-2（k-1）x+16=（3x ）2-2（k-1）x+42，∵9x 2-2（k-1）x+16是完全平方式，∴-2（k-1）x=±2×3x ×4，解得k=13或k=-1．故选：C ．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A ．3cm ，4cm ，8cmB ．8cm ，7cm ，15cm【答案】C【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】A 选项：3+4<8，不能组成三角形；B 选项：8+7=15，不能组成三角形；C 选项：13+12>20，能够组成三角形；D 选项：5+5＜11，不能组成三角形．故选：C ．【点睛】考查了三角形的三边关系．解题关键是利用了判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．4．若实数a 、b 、c 满足a+b+c ＝0，且a ＜b ＜c ，则函数y ＝-cx-a 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先判断出a 是负数，c 是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限即可．【详解】解：∵a ＋b ＋c ＝0，且a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0，（b 的正负情况不能确定），∴－c ＜0，－a ＞0，∴函数y ＝－cx －a 的图象经过第一、二、四象限．故选B ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出a 、c 的正负情况是解题的关键，也是本题的难点． 5．如图，在正方形ABCD 内，以BC 为边作等边三角形BCM ，连接AM 并延长交CD 于N ，则下列结论不正确的是( )A ．15DAN ∠=︒B ．45CMN ∠=︒C ．AM MN =D ．MN NC =【分析】根据四边形ABCD是正方形，△EMC是等边三角形，得出∠BAM＝∠BMA＝∠CMD＝∠CDM＝(180°-30°)＝75°，再计算角度即可；通过做辅助线MD，得出MA＝MD，MD=MN，从而得出AM＝MN. 【详解】如图，连接DM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∵△EMC是等边三角形，∴BM＝BC＝CM，∠EMC＝∠MBC＝∠MCB＝60°，∴∠ABM＝∠MCN＝30°，∵ BA＝BM，MC＝CD，∴∠BAM＝∠BMA＝∠CMD＝∠CDM＝(180°-30°)＝75°,∴∠MAD＝∠MDA＝15°, 故A正确；∴MA＝MD，∴∠DMN＝∠MAD+∠ADM＝30°，∴∠CMN＝∠CMD-∠DMN＝45°，故B正确;∵∠MDN＝∠AND＝75°∴MD=MN∴AM＝MN，故C正确；∵∠CMN＝45°，∠MCN＝30°，，故D错误，故选D.∴MN NC【点睛】本题考正方形的性质、等边三角形的性质等知识，灵活应用正方形以及等边三角形的性质，通过计算角度得出等腰三角形是关键.6．把式子2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）分解因式，结果是（）A．（a﹣2）（2x+y）B．（2﹣a）（2x+y）C．（a﹣2）（2x﹣y）D．（2﹣a）（2x﹣y）【答案】A【分析】根据提公因式法因式分解即可.＝2x（a﹣2）＋y（a﹣2）＝（a﹣2）（2x+y）．故选：A．【点睛】此题考查的是因式分解，掌握用提公因式法因式分解是解决此题的关键.7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（）A．AC B．AD C．BE D．BC【答案】C【分析】如图连接PB，只要证明PB=PC，即可推出PC+PE=PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．【详解】解：如图，连接PB，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴PB=PC，∴PC+PE=PB+PE，∵PE+PB≥BE，∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，故选：C．【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．8．下列二次根式中, 是最简二次根式的是（）A．13B．20C．22D．121【答案】C【分析】化简得到结果，即可做出判断．【详解】A. 13=3，故13不是最简二次根式；B.20=25，故20不是最简二次根式；C. 22是最简二次根式；D. 121=11，故121不是最简二次根式；故选C.【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．9．如图，已知AB＝AC，AE＝AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（）A．①B．②C．①和②D．①②③【答案】D【解析】如图，证明△ABE≌△ACF，得到∠B=∠C；证明△CDE≌△BDF；证明△ADC≌△ADB，得到∠CAD=∠BAD；即可解决问题.解：如图，连接AD；在△ABE与△ACF中，AB=AC，∠EAB=∠FAC，AE=AF，∴△ABE≌△ACF（SAS）；∵AB=AC，AE=AF ，∴BF=CE，在△CDE 和与△BDF 中，∠B=∠C，∠BDF=∠CDE，BF=CE ，∴△CDE≌△BDF（AAS ），∴DC=DB；在△ADC 与△ADB 中，AC=AB ，∠C=∠B，DC=DB ，∴△ADC≌△ADB（SAS ）,∴∠CAD=∠BAD；综上所述，①②③均正确，故选D.“点睛”该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题：应牢固掌握全等三角形的判定及其性质定理，这是灵活运用解题的基础.10．已知两条线段a=2cm ，b=3.5cm ，下列线段中能和a ，b 构成三角形的是（）A ．5.5cmB ．3.5cmC ．1.3cmD ．1.5cm【答案】B【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．【详解】根据三角形的三边关系，得：第三边应＞两边之差，即3.5−2＝1.5cm ；而＜两边之和，即3.5+2＝5.5cm ．所给的答案中，只有3.5cm 符合条件．故选：B ．【点睛】此题考查了三角形三边关系．一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．二、填空题11．若整式22x my +（m 为常数，且0m ≠）能在有理数范围内分解因式，则m 的值可以是_____（写一个即可）．【答案】-1【解析】令1m =-，使其能利用平方差公式分解即可．【详解】令1m =-，整式为22)x y x y x y +--（(=）．故答案为：1-（答案不唯一）．此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．12．关于x 的分式方程223242mx x x x +=--+无解，则m 的值为_______．【答案】1或6或4-【分析】方程两边都乘以()()22x x +-，把方程化为整式方程，再分两种情况讨论即可得到结论．【详解】解：223242mx x x x +=--+()()232222mx x x x x ∴+=-+-+()()2232x mx x ∴++=-()110,m x ∴-=-当1m =时，显然方程无解，又原方程的增根为：2,x =±当2x =时，15,m -=-4,m ∴=-当2x =-时，15,m -=6,m ∴=综上当1m =或4m =-或6m =时，原方程无解．故答案为：1或6或4-．【点睛】本题考查的是分式方程无解的知识，掌握分式方程无解时的分类讨论是解题的关键．13．若点()2,A a -和点(),5B b -关于y 轴对称，则a b +=__________．【答案】-3【分析】根据关于y 轴对称的两点坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出a 、b ，代入即可．【详解】解：∵点()2,A a -和点(),5B b -关于y 轴对称∴a=-5，b=2∴523a b +=-+=-故答案为：3-．。

人教版八年级数学下册同步教案：第18章平行四边形 3正方形

18.2.3 正方形1．掌握正方形的概念、性质和判定方法,并会运用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别．重点掌握正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．难点正方形与矩形、菱形的关系及正方形的性质与判定定理的灵活运用．一、创设情境,温故知新师：前面我们学习了几种四边形？它们是如何定义的？分别有哪些性质？如何判定？指名回答,其余学生评价．活动：做一做：拿出你们手中的矩形纸片,如何折叠能得到一个正方形？师：什么样的矩形是正方形？生：一组邻边相等的矩形是正方形．做一做：拿出你们手中可活动的菱形框架,如何得到一个正方形？师：什么样的菱形是正方形？生：有一个角是直角的菱形是正方形．(板书)正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．师：正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形．所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质．正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角,四条边都相等．正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角．二、例题讲解,巩固新知【例】教材第58页例5三、再次探究,继续深化师：我们已经掌握了正方形的性质,那么如何判定一个图形是正方形呢？教师提出下列问题,让学生分组讨论、回答．1．判定一个平行四边形是否是正方形,还应具备什么条件？2．判定一个矩形是否是正方形,还应具备什么条件？3．判定一个菱形是否是正方形,还应具备什么条件？4．一个四边形的对角线具有什么性质时可判定它为正方形？学生分组讨论后,得到如下结论：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形．(2)有一个角是直角的菱形是正方形．(3)对角线相等的菱形是正方形．(4)对角线互相垂直的矩形是正方形．(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．四、课堂小结本课主要学习了正方形的定义、性质、判定方法,正方形既是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,还是特殊的菱形．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系可用下图表示：在探究正方形性质的过程中,充分发挥学生的主体性,让学生经历自主“做数学”的过程——动手折纸,演示自制教具,并播放矩形、菱形、平行四边形的一个角与一组邻边的变化,得到正方形的探究过程,让学生通过主动细心观察和动手实践来体验并认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,让学生感受到数学活动充满着探索性和创造性,提高学生分析问题和解决问题的能力,使学生感受到成功带来的喜悦．。

2018春人教版数学八年级下册学案：第18章正方形(一)

第一标设置目标【学习目标】经历画图、裁剪、对比分析等探索过程，认识正方形和矩形、菱形之间的联系与区别，理解正方形的性质，会根据特性判定一个四边形是正方形。

体会正方形在生活中的普遍应用价值。

第二标我的任务【任务1】全面认识正方形1．我能说出现实生活中是正方形的例子： 2 . 的矩形叫做正方形。

或者说，的平行四边形叫做正方形。

3.平行四边形、菱形、矩形、正方形四者之间的关系：（）（）（）（）【归纳总结】4.正方形的性质：(1)边、角：正方形的四条边都，四个角都是；(2)对角线：正方形的对角线，且；每条对角线平分；(3)对称性：正方形是图形，它的对称轴有条，分别是。

5.结合图1说出正方形的性质：(1)边：AB= = = (2)角：=∠ABC = = =︒90=∠ABD = =_________=︒45(3)对角线：AC= ，OA= = =第三标反馈目标(18分钟)行为强化（导语）菱形矩形平行四边形正方形赋分学成情况：；家长签名：1．正方形的四条边都，四个角都是，对角线。

2．如果一个四边形是菱形，又是矩形，那么这个四边形一定是。

3．下列命题，正确的有（）①对角线相等的菱形是正方形②四条边都相等的四边形是正方形③四个角相等的四边形是正方形④对角线互相垂直的矩形是正方形⑤对角线垂直且相等的四边形是正方形A ①②B ②③C ①④D ③⑤4. 已知正方形的一边长为1cm，则它的周长为____，面积为______，对角线长为_____；5. 已知正方形的对角线长为2cm，则它的边长为_____;6. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）（A）四条边相等（B）对角线互相垂直且平分（C）对角线平分一组对角（D）对角线相等7. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）（A）四个角相等（B）对角线互相垂直且平分（C）对角线相等（D）对角互补8．（2009.郴州）1.如图，E是正方形ABCD对角线AC上的一点，求证：BE=DE。

人教版数学八年级下册教学设计：第18章正方形(一)

人教版数学八年级下册教学设计：第18章正方形（一）一. 教材分析人教版数学八年级下册第18章的正方形是学生在学习了矩形的基础上进一步学习的几何图形。

本章主要内容包括正方形的性质、正方形的判定以及正方形与其他图形的联系。

本章内容在几何知识体系中占据重要地位，为后续学习圆和其他几何图形打下基础。

二. 学情分析学生在八年级上册已经学习了矩形的性质，对平行四边形的性质有了初步了解。

但正方形与矩形在性质上有很多不同之处，学生需要通过对比、归纳总结出正方形的特性。

此外，学生对于几何图形的空间想象能力和逻辑思维能力仍在培养中，因此需要在教学过程中给予学生充分的引导和实践。

三. 教学目标1.理解正方形的性质，能够熟练运用正方形的性质解决实际问题。

2.学会正方形的判定方法，能够判断一个四边形是否为正方形。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.正方形的性质及其应用。

2.正方形的判定方法。

3.正方形与其他图形的联系。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、对比教学法和小组合作学习法。

通过设置问题引导学生思考，分析案例让学生深入了解正方形的性质，对比教学法帮助学生区分正方形与矩形的差异，小组合作学习法促进学生相互交流、共同进步。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.正方形模型或图片。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出正方形的概念，如：“在一个正方形的花园中，种植了若干棵苹果树，每两棵树之间的距离相等。

请问：如何布局苹果树，才能使花园中的每个角落都能看到至少一棵树？”2.呈现（15分钟）呈现正方形的性质，引导学生通过观察、思考、归纳总结出正方形的性质。

如：四条边相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分等。

3.操练（10分钟）让学生通过实际操作，进一步巩固正方形的性质。

可以让学生用尺子和圆规画出一个正方形，并测量其边长、对角线长度等。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生运用正方形的性质解决问题。

【最新】人教版八年级数学下册第十八章《正方形》学案

1新人教版八年级数学下册第十八章《正方形》学案学习过程：一、自主预习（10分钟）温故知新填表：性质判定方法矩形边：角：对角线：对称性： 1. 2. 3. 菱形边：角对角线：对称性：1. 2. 3.二.学习新知自学教材58-59页，落实：性质判定方法正方形边：角对角线：对称性：二、合作解疑（20分钟）1.如图，正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，AF 平分∠DAE ，求证：BE +DF =AE .学习目标1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别学习重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．学习难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．ABCD EF22. 如图，正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF =CF ，DC +CE =AE ，求证：AF 平分∠DAE .3.如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE =AC ，CF ∥AE ，求∠BCF .综合应用拓展已知：如图，正方形ABCD 中，对角线的交点为O ，E 是OB 上的一点，DG ⊥AE 于G ，DG 交OA 于F ．求证：OE=OF ．三、限时检测（10分钟）1．正方形的定义：有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______．2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴． 3．正方形的判定：(1)____________________________________的平行四边形是正方形；ABCD E F3(2)____________________________________的矩形是正方形； (3)____________________________________的菱形是正方形； (4)对角线________________________________的四边形是正方形4．如图6，已知点E 为正方形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，过点D 作DG ⊥AE ，垂足为G ，延长DG 交AB 于点F . 求证：BF =CE .AF BE C D G 图6。

八年级数学下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.3.2正方形的判定导学案新人教版

八年级数学下册第十八章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3.2 正方形的判定导学案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册第十八章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3.2 正方形的判定导学案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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18。

2.3.2 正方形的判定导学案学习目标1。

探索并证明正方形的判定,并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；2.会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.重点：探索并证明正方形的判定,并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.难点：会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算。

一、自学释疑正方形的判定在使用过程中,应该注意些什么？二、合作探究探究点1:正方形的判定活动1准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.猜一猜满足怎样条件的矩形是正方形?猜测：一组邻边_______且对角线互相________的矩形是正方形.证一证已知：如图,在矩形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线AC⊥DB.求证:四边形ABCD是正方形。

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴ AO___CO___BO___DO ，∠ADC=______°.∵AC⊥DB，∴ AD___AB___BC___CD,∴四边形ABCD是__________.活动 2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.猜一猜满足怎样条件的菱形是正方形？猜测:一组角是_______且对角线________的菱形是正方形.证一证已知：如图,在菱形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC=DB。

初中数学人教版导学案第18章数学活动1---折纸做60,30,15度的角

学校: __________ 班级：_______ 小组：_______ 学生姓名：_________ 八年级数学导学案编制人：王金银编制人单位：向城中学课题：第十八章数学活动1 折纸做60°、30°、15°的角编号23 学习目标：通过折叠，加深对轴对称、全等性质的认识；能折出60°、30°、15°的角。

重点：通过活动的任务、目的、过程等环节，培养学生的动手能力和创新能力。

难点：通过推理论证，证实所折的角为60°、30°、15°的角。

学习过程：一、自主探究问题1：在一张矩形纸片上，你怎么折出一个45°的角？问题2：用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？问题3：那么30°的角，能否用折纸的方法折出呢？怎样折？合作交流：（1）矩形对折，把纸片展平（2）再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B,得到折痕BM ，同时得到了线段BO.观察所得的∠ABM, ∠MBO,∠OBC, ∠EOB 的度数，有什么关系？FF2 二、巩固提升1. 对一张矩形纸片ABCD 进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD 与BC 重合，得到折痕MN ，展开；第二步：再一次折叠，使点A 落在MN 上的点A '处，并使折痕经过点B ，得到折痕BE ，同时，得到线段BA '，EA '，展开，如图1；第三步：再沿EA '所在的直线折叠，点B 落在AD 上的点B '处，得到折痕EF ，同时得到线段B F '，展开，如图2.（1）证明：30ABE ∠=°；（2）证明：四边形BFB E '为菱形.2. 如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有( )(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个图1图2。

八年级数学下册 18.2.3 正方形导学案(新版)新人教版

八年级数学下册 18.2.3 正方形导学案（新版）新人教版1、掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算、2、理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

3、通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力、教学重点正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系。

教学难点正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用。

教具多媒体教学流程教学内容以及师生活动课前展示激趣导入探究新知展示汇报实践创新每堂一清作业1、的四边形叫平行四边形2、的平行四边形是矩形3、的平行四边形是菱形1、正方形的定义做一做：用一张长方形的纸片折出一个正方形、正方形定义：。

指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）2、正方形的性质由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形、所以，正方形具有的性质，同时又具有的性质、归纳：正方形性质：（合作交流、发现、归纳）（1）边：（2）角：（3）对角线：（4）对称性：2、探索正方形的判定条件：（合作交流、发现、归纳）师生共同总结（1）（2）（3）练习1、正方形的四条边___ _ ，四个角_ ___，两条对角线____ ____、2、下列说法是否正确，并说明理由、①对角线相等的菱形是正方形；（）②对角线互相垂直的矩形是正方形；（）③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）④四条边都相等的四边形是正方形；（）⑤四个角相等的四边形是正方形、（）3、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形、4、已知：如图，△ABC中，∠C=90，CD平分∠ACB，DE⊥BC 于E，DF⊥AC于F、求证：四边形CFDE是正方形、5、已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F、求证：OE=OF、6、已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF、求证：∠AFE＝∠AEF、ABCDEF7、如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数、8、已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点、求证：四边形PQMN是正方形、1、已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB 的延长线上一点，且DE=BF、求证：EA⊥AF、2、已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF、3、如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45，试说明EF=BE+DF。

新人教版八年级数学下册第十八章《正方形的判定》导学案

新人教版八年级数学下册第十八章《正方形的判定》导学案学习目标:
1.记住广场的判断条件。

2、会运用正方形判定条件解决有关问题。

重点和难点：综合运用常用的广场判断方法。

学习过程：
一、自学指导：1.自学课本p58-p59
2.探索正方形的判断方法：
具备什么条件的矩形是正方形？具备什么条件的菱形是正方形？
（1）一组相等的矩形是正方形（2），一个有一个角的钻石是正方形
总结：判定正方形先判定一个四边形是再证，
或者先判断一个四边形，然后证明它，
二、自学检测:
1.众所周知，四边形ABCD是一个菱形∠ A是直角。

这颗钻石是正方形吗？
2.已知四边形abcd是矩形，两条对角线ac与bd垂直，这个矩形是正方形吗？请说明理由。

3.已知四边形ABCD是菱形，两条对角线AC=BD。

这是正方形吗？请解释原因。

三、当堂检测：1.下列说法是否正确，并说明理由．①对角线互相垂直的矩形是正方形；（）②对角线相等的菱形是正方形；（）
③ 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形；（4）正方形是对角线垂直平分且相等的四边形；（）。

人教版初中八年级下册数学精品教案第十八章平行四边形正方形第1课时正方形的性质

18.2.3 正方形第1课时正方形的性质活动一：创设情境，导入新课设计意图通过图片展示，引导学生思考正方形的概念及性质. 【情境导入】仔细观察下列实际生活中的图片，你会发现这些都是正方形的形象．正方形是我们熟悉的图形，你还能列举出正方形在生活中应用的其他例子吗？结合已有经验，类比菱形与矩形，正方形的概念是怎样的呢？教师总结：正方形可以定义为有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形．下面我们一起来探讨一下正方形的性质吧！【教学建议】让学生根据生活经验及图片思考正方形的概念，学生从矩形和菱形的角度回答正方形的概念也可以，正确即可.探究点正方形的性质1．边、角、对角线的性质探究(1)我们回忆一下小学学过的正方形，它有什么性质？答：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．(2)上面正方形的概念中提到有一组邻边相等的平行四边形是什么图形？答：菱形．(3)上面正方形的概念中提到有一个角是直角的平行四边形是什么图形？答：矩形．事实上，如果把矩形、菱形各添加一个条件，平行四边形添加两个条件均可得到正方形，可以用下面结构图直观呈现这种关系：归纳总结：正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质．我们根据前边的学习，除了边和角，还可以研究一下正方形的对角线，那么它的对角线就是互相平分、相等且垂直．教学步骤师生活动设计意图引导学生发现直角三角形斜边上的中线的性质. 正方形的对角线除了上述基本性质外，还有无其他性质呢？事实上，它可以将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．我们可以试着证明：(教材P58例5)求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO.∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.2.正方形的对称性我们再想一想：正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？答：如图，取一张正方形纸片，将它沿过对边中点的直线和对角线折叠，折叠后的两部分均能重合.归纳总结：正方形是轴对称图形，它的对称轴有四条，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线. 【对应训练】1．正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是3 2 2.如图，在正方形ABCD中，点E在BD上，且BE＝CD，则∠BEC的度数为67.5°.3.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，AE＝BF，连接AF，DE.求证：△ADE≌△BAF.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°.在△ADE和△BAF中，AD＝BA，∠DAE＝∠ABF，AE＝BF，∴△ADE≌△BAF(SAS).活动三：综合运用，巩固提升设计意图强化学生对正方形性质的掌握. 例如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在CD的延长线上，且BE＝DF.(1)求证：AE＝AF，AE⊥AF；(2)若BD与EF相交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量关系和位置关系，并说明理由.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABE＝∠BAD＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD.又BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF.∴∠DAF＋∠EAD＝∠BAE＋∠EAD，即∠EAF＝∠BAD＝【教学建议】提醒学生：(1)与正方形性质相关的证明题往往是利用正方形边、角、对角线的性质，将其转90°，∴AE ⊥AF.化为证明三角形全等的条件；(2)正方形两条对角线将正方形分割为四个全等的等教学步骤师生活动(2)解：AM ＝12EF ，AM ⊥EF.理由如下：如图，过点E 作EN ∥CD ，交BD 于点N ，∴∠MNE ＝∠MDF ，∠MEN ＝∠MFD ，∠NEB=∠C ＝90°.∵四边形ABCD 为正方形，∴∠NBE＝45°，∴∠BNE ＝90°－∠NBE ＝45°，∴∠NBE ＝∠BNE ，∴BE＝NE.又BE ＝DF ，∴NE ＝DF ，∴△MNE ≌△MDF(ASA)，∴EM ＝FM.∵AE ＝AF ，∠EAF ＝90°，∴AM ＝12EF ，AM ⊥EF. 【对应训练】1.如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，若以AD 为边向正方形内部作等边三角形ADE ，边DE 交AC 于点F ，则腰直角三角形，可得到45°角.∠EFC＝75°.2.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是85.3.教材P59练习第2题．活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练．【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：正方形的概念是什么？正方形有哪些性质？正方形与平行四边形、矩形、菱形有怎样的区别和联系？【知识结构】【作业布置】1.教材P61习题18.2第7，12，15，17题.2．《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计18.2.3 正方形第1课时正方形的性质一、正方形的概念解题方法：如何区分平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质？①从边的角度来看：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对边平行且相等的性质，而菱形和正方形还具有四条边都相等的性质．②从角的角度来看：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角相等且邻角互补的性质，而矩形和正方形还具有四个角都是直角的性质．③从对角线的角度来看：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分的性质，而矩形和正方形还具有对角线相等的性质，菱形和正方形还具有对角线互相垂直的性质．例1 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD 上，GE ⊥CD ，GF ⊥BC ，AD ＝1 500 m ，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3 100 m ，则小聪行走的路程为 4 600m.解析：如图，连接GC.∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD ＝90°，AD＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ＝45°.又GE ⊥CD ，∴△DEG 是等腰直角三角形．∴DE ＝GE.在△AGD 和△CGD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△AGD ≌△CGD(SAS)，∴AG＝CG.∵GE ⊥CD ，GF ⊥BC ，∴∠GEC ＝∠ECF ＝∠GFC ＝90°，∴四边形GECF是矩形．∴EF ＝CG ，∴EF ＝AG.∴BA ＋AD ＋DE ＋EF －BA －AG －GE ＝AD ＝1 500 m. ∵小敏共走了3 100 m ，即BA ＋AG ＋GE ＝3 100 m ，∴小聪行走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3 100＋1 500＝4 600(m)．例2 如图，在边长为6的正方形ABCD 中，M 为对角线BD 上一点，连接AM 并延长，交CD 于点P.若PM ＝PC ，求AM 的长．解：∵四边形ABCD 是边长为6的正方形，∴AD ＝CD ＝6，∠ADC ＝90°，∠ADM ＝∠CDM ＝45°.在△ADM 和△CDM 中，⎩⎪⎨⎪⎧DM ＝DM ，∠ADM ＝∠CDM ，AD ＝CD ，∴△ADM ≌△CDM(SAS)，∴∠DAM ＝∠DCM.∵PM ＝PC ，∴∠CMP ＝∠DCM ，∴∠APD ＝∠CMP ＋∠DCM ＝2∠DCM ＝2∠DAM.∵∠APD ＋∠DAM ＝180°－∠ADC ＝90°，∴∠DAM ＝30°.设PD ＝＝PC ＝CD －PD ＝6－x ，∴AD＝AP 2－PD 2＝3x ＝6，解得x ＝2 3.∴PM ＝6－x ＝6－23，AP ＝2x ＝43，∴AM ＝AP －PM ＝43－(6－23)＝63－6.例1 如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是BC ，CD 上一动点，且BE ＝CF ，连接AE ，BF 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值是( A )A ．25－2B ．32－2C ．2 2D.2＋2解析：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.在△ABE 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△BCF(SAS)，∴∠BAE ＝∠CBF.∵∠CBF ＋∠ABF ＝90°，∴∠BAE ＋∠ABF ＝90°，∴∠APB ＝90°.如图，设AB 的中点为G ，连接GP ，GC ，则GP ＝GB ＝12AB ＝12×4＝2. ∵GP ＋CP≤GC，∴当点C ，P ，G 在同一条直线上时，CP 有最小值GC－GP.∵BC＝4，BG＝2，∴GC＝BC2＋BG2＝42＋22＝2 5.∴CP的最小值是25－2.故选A.例2 如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(－4，4)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；同时，点Q从点O出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P 到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过点P作BP的垂线，与经过点Q且平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连接PE.设点P 运动的时间为t s.(1)∠PBD的度数为45°，点D的坐标为(t，t)(用含t的代数式表示)．(2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？(3)探索△POE的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．解：(1)解析：由题意可得AP＝OQ＝1×t＝t，∴易得AO＝PQ.∵四边形OABC是正方形，∴AO＝AB＝BC＝OC，∠BAO＝∠AOC＝∠OCB ＝∠ABC＝90°.∵DQ∥OC，∴∠PQD＝∠AOC＝90°.∵DP⊥BP，∴∠BPD＝90°.∴∠BPA＝90°－∠DPQ＝∠PDQ.∵AO＝PQ，AO＝AB，∴AB＝QP.在△BAP 和△PQD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAP ＝∠PQD ，∠BPA ＝∠PDQ ，AB ＝QP ，∴△BAP ≌△PQD(AAS)．∴AP＝QD ，BP ＝PD.∵∠BPD ＝90°，BP ＝PD ，∴∠PBD ＝∠PDB ＝45°.∵AP ＝t ，∴QD ＝t.∴点D 的坐标为(t ，t)．(2)①若PB ＝PE ，由△BAP ≌△PQD 得PB ＝PD ，显然PB≠PE，∴这种情况不存在，应舍去．②若EB ＝EP ，则∠BPE ＝∠PBE ＝45°.∴∠BEP ＝90°.∴∠PEO ＝90°－∠BEC ＝∠EBC.在△POE 和△ECB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PEO ＝∠EBC ，∠POE ＝∠ECB ，EP ＝BE ，∴△POE ≌△ECB(AAS)．∴OE＝CB ＝OC.∴点E 与点C 重合．∴点P 与点O 重合．∴AP ＝AO ＝t.∵B(－4，4)，∴AO ＝CO ＝4.此时t ＝4.③若BP ＝BE ，在Rt △BAP 和Rt △BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝BE ，BA ＝BC ，∴Rt △BAP ≌Rt △BCE(HL)．∴AP ＝CE.∵AP ＝t ，∴CE ＝t.∴PO ＝EO ＝4－t.∵∠POE ＝90°，∴EP ＝PO 2＋EO 2＝2(4－t)．如图，延长OA 到点F ，使得AF ＝CE ，连接BF.在△FAB 和△ECB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠BAF ＝∠BCE ＝90°，AF ＝CE ，∴△FAB ≌△ECB(SAS)．∴FB ＝EB ，∠FBA ＝∠EBC.∵∠EBP ＝45°，∠ABC ＝90°，∴∠ABP ＋∠EBC ＝45°.∴∠FBP ＝∠ABP ＋∠FBA ＝∠ABP ＋∠EBC ＝45°.∴∠FBP ＝∠EBP.在△FBP 和△EBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝BE ，∠FBP ＝∠EBP ，BP ＝BP ，∴△FBP ≌△EBP(SAS)．∴FP＝EP.∴EP ＝FP ＝FA ＋AP ＝CE ＋AP.∴EP ＝t ＋t ＝2t.∴2(4－t)＝2t.解得t ＝42－4.综上所述，当 t 为4或42－4时，△PBE 为等腰三角形．(3)△POE 的周长不随时间t 的变化而变化．由(2)可得EP ＝CE ＋AP ， ∴OP ＋PE ＋OE ＝OP ＋AP ＋CE ＋OE ＝AO ＋CO ＝4＋4＝8.∴△POE 的周长是定值，这个定值为8.。

八年级数学下册18_2_3正方形学案 (新版)新人教版

18.2.3 正方形【学习目标】1．掌握正方形的概念、性质和判定方法，并会运用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别．【学习重点】正方形的定义、性质及判定方法．【学习难点】正方形的性质与判定定理的灵活运用．情景导入生成问题做一做：用一张长方形纸片(如图所示)折出一个正方形，感知正方形与矩形的联系？问题：什么样的四边形是正方形？解：邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．自学互研生成能力知识模块一正方形的性质与判定【自主探究】阅读教材P58～59，思考：1．正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．2．菱形、矩形、正方形都具有的性质是( C)A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且垂直平分C．对角线互相平分D．四边相等，四个角相等【合作探究】如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接BE、ED.(1)求证：△BEC≌△DEC；(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC；(2)∵△BEC≌△DEC，且∠DEB＝140°，∴∠DEC＝∠BEC＝70°，∴∠AEF＝∠BEC＝70°，∵∠DAB＝90°，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∴∠AFE＝180°－70°－45°＝65°.知识模块二正方形性质的应用【自主探究】在正方形ABCD 中，点F 是边AB 上一点，连接DF ，点E 为DF 的中点．连接BE 、CE 、AE. (1)求证：△AEB≌△DEC；(2)当BE ＝BC 时，求∠AFD 的度数．解：(1)在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC＝90°. ∵点E 为DF 中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，∴∠EAD ＝∠EDA.∵∠BAE ＝∠BAD－∠EAD，∠CDE ＝∠ADC－∠EDA， ∴∠BAE ＝∠CDE.在△AEB 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC(SAS )； (2)∵△AEB≌△DEC，∴EB ＝EC.∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形， ∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°. ∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝12(180°－30°)＝75°.又∵AE＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE＝75°. 【合作探究】如图，正方形AFCE 中，D 是边CE 上的一点，B 是CF 延长线上的一点，且AB ＝AD ，若四边形ABCD 的面积是24 cm 2.则AC 的长是cm .知识模块三正方形判定的应用【自主探究】小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形(如图)．现有下列四种选法，其中错误的是( B )A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④【合作探究】△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE ＝OD ，连接AE ，BE.(1)求证：四边形AEBD 是矩形；(2)当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．证明：(1)∵点O为AB的中点，∴BO＝AO，又∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AEBD是矩形；(2)当∠BAC＝90°，理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC.AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD.∵由(1)知四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．交流展示生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一正方形的性质与判定知识模块二正方形性质的应用知识模块三正方形判定的应用检测反馈达成目标【当堂检测】1．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边CD，AD上的点，且CE＝DF.AE与BF相交于点O，则下列结论错误的是( C)A．AE＝BF B．AE⊥BFC．AO＝OE D．S△AOB＝S四边形DEOF2．如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为( C)A．3 B．2C．4 D．8【课后检测】见学生用书课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。