数列倒序相加、错位相减、分组求和
(完整版)数列求和常见的7种方法
∴
＝ （分组求和）
＝
＝
＝
[例16]已知数列{an}： 的值.
解：∵ （找通项及特征）
＝ （设制分组）
＝ （裂项）
∴ （分组、裂项求和）
＝
＝
提高练习：
1．已知数列 中， 是其前 项和，并且 ，
⑴设数列 ，求证：数列 是等比数列；
⑵设数列 ，求证：数列 是等差数列；
2．设二次方程 x - +1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
∴ 原等式成立
答案：
六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.
解：设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°
∴ ＝
＝ ＝
∴当 ，即n＝8时，
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
[例3]求和： ………………………①
解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积
…………..②（反序）
又因为
①+②得（反序相加）
＝89
∴S＝44.5
题1已知函数
（1）证明： ；
（2）求 的值.
事件概率求和之倒序相加与错位相减法
事件概率求和之倒序相加与错位相减法1. 背景在概率论中，我们经常需要计算多个事件同时发生的概率。
而当事件的数量较多时，直接计算每个事件的概率并相乘变得繁琐且容易出错。
本文将介绍两种简化计算的方法：倒序相加与错位相减法。
2. 倒序相加法倒序相加法是一种简化计算多个事件同时发生概率的方法。
其基本思想是，我们首先计算所有事件都不发生的概率，然后用1减去这个概率即可得到所有事件同时发生的概率。
具体操作如下：1. 将所有事件的概率求出，并按照倒序排列。
2. 从最后一个事件开始，将概率值相加。
3. 将得到的结果减去1，即为所求的所有事件同时发生的概率。
下面是一个示例：按照倒序相加法进行计算：1. 首先计算所有事件都不发生的概率：1 - 0.2 - 0.3 - 0.4 - 0.1 =2. 将结果减去1：1 - 0 = 1所以，事件A、事件B、事件C和事件D同时发生的概率为1。
3. 错位相减法错位相减法是另一种简化计算多个事件同时发生概率的方法。
其基本思想是，我们可以利用事件的互斥性质，将事件两两相减，然后再逐步相减，最终得到所有事件同时发生的概率。
具体操作如下：1. 将所有事件的概率求出，并按照任意顺序排列。
2. 从第一个事件开始，将后一个事件的概率从前一个事件的概率中相减。
3. 依次进行相减操作，直到得到所有事件同时发生的概率。
下面是一个示例：按照错位相减法进行计算：1. 事件A和事件B的概率相减：0.2 - 0.3 = -0.12. 将结果与事件C的概率相减：-0.1 - 0.4 = -0.53. 将结果与事件D的概率相减：-0.5 - 0.1 = -0.6所以，事件A、事件B、事件C和事件D同时发生的概率为-0.6。
4. 结论倒序相加法和错位相减法是两种简化计算多个事件同时发生概率的方法。
倒序相加法适用于事件互不影响的情况，而错位相减法适用于事件互斥的情况。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解问题。
数列求和之错位相减法、倒序相加法
数列求和之错位相减法、倒序相加法1、错位相减法适用于c n=a n ×b n ，其中a n {}是等差数列，b n {}是等比数列。
步骤：此时可把式子的两边同乘以公比 q (q ¹0且q ¹1)，得到，两式错位相减整理即可求出S n .2、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。
【例1】已知数列211,3,5,,(21)(0)n a a n a a --≠，求前n 项和.【例2】已知 a n {}是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6=55,a 2+a 7=16（Ⅰ）求数列 a n {}的通项公式：（Ⅱ）若数列 a n {}和数列 b n {}满足等式:2nn na b =，求数列 b n {}的前n 项和S n .【例3】求和：2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++【例4】已知函数()()R x x f x ∈+=241，点()111,y x P ，()222,y x P 是函数()x f 图像上的两个点，且线段21P P 的中点P 的横坐标为21． （Ⅰ）求证：点P 的纵坐标是定值；（Ⅱ）若数列{}n a 的通项公式为()m n N m m n f a n ,,2,1, =∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=，求数列{}n a 的前m项的和m S ；【变式训练】1、已知数列26a --，14a --，2-，0,2a ，24a ，...，（-8+2n ）3n a -求前n 项和.2、若数列{}n a 的通项公式为23nan =+，数列 b n {}满足等式:2n n n b a =，求数列 b n {}的前n 项和S n3、求cos1cos 2cos3cos178cos179+++++的值.【过关练习】1. 设数列{a n }的前n 项和为S n =2n 2，{b n }为等比数列，且a 1=b 1,b 2(a 2-a 1)=b 1， （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n =a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n ．2、已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，}{n b 是等比数列，且27,24411=+==b a b a ，1044=-b S .（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（2）记n n n n b a b a b a T 1211+++=- ，*N n ∈，证明n n n b a T 10212+-=+（*N n ∈）；3、已知()lg 2,xy =求和122lg lg()lg()lg nn n nn S x xy x y y --=++++。
数列求和七种方法技巧
数列求和的七种方法技巧包括：
1. 公式法：适用于等差数列、等比数列等基本数列的求和，可以直接使用求和公式进行计算。
2. 倒序相加法：将数列倒序排列，然后与原数列相加，得到一个常数列，再除以2得到原数列的和。
3. 错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，通过错位相减的方式将原数列转化为等比数列，再利用等比数列的求和公式进行计算。
4. 裂项相消法：将数列中的每一项都拆分成两个部分，使得中间项相互抵消，从而求得数列的和。
5. 分组法：将数列中的项进行分组，然后分别求和，最后得到整个数列的和。
6. 乘公因式法：适用于具有公因式的数列，将公因式提取出来，然后进行求和。
7. 构造法：通过构造新的数列或方程，将原数列的求和问题转化为其他形式的问题进行求解。
以上是数列求和的七种方法技巧，可以根据具体情况选择适合的方法进行计算。
数列求和常见的7种方法
数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法小 n⑻ a n) n(n 1),1、等差数列求和公式：S n - — na i d2 22、等比数列求和公式：S nna1a1(1 q n)1 qn 13S n k 丁5 1)k 12n31 2 5S n k ［匚1)］k 1 2［例1］已知log3 x(q 1)a1 a.q1 q(q 1)4、S nnk2k 11—n(n 1)(2 n 1)6解：由log3 x1 亠2 3，求XX x log 23x n的前n项和. log 2 3log 3 x log 322由等比数列求和公式得2S n x x （利用常用公式）［例2］设S n= 1+2+3+ …+n, n€ N*,求f(n) 解：由等差数列求和公式得S nS n"f(门)(n 32)S n 11""c, 64n 34 -n x(1 x n)1 x丄)卍=1 -丄1 1 2n2S n(n 32)S n 112n(n 1)，nn234n 6450 的最大值. S n50•••当n 8，即8 时，f (n).8 max 50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列［例3］求和：S n 1 3x 5x 7x (2n 1)x n 1解：由题可知, ｛（2n 1）x n1｝的通项是等差数列设xS n1x 3x2 5x3 7x4(2n①一②得(1 x)S n 1 2x 2x22x3再利用等比数列的求和公式得：（1x)S n1-(n 1)( n 2)2（利用常用公式）这种方法主要用于求数列｛a n •b n｝的前n｛2n —1｝的通项与等比数列｛x n1｝的通项之积1)x n2x4n 1S (2n 1)x (2n S n 2(1 x)（设制错位）2x n 1(2nn 12^ (2n1)x n (1 x) 1)x nn1)x（错位相减）2 4 6 ［例4］求数列一，-y,亍，2 2 2解：由题可知，｛£n2 畫前n项的和.n｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列｛步｝的通项之积三、反序相加法求和数列相加，就可以得到 n 个（a , a n ）.［例 5］求证：C 0 3C n 5C ；（2n 1）C ： （n 1）2n①+②得2S (sin 21cos 21 ) (sin 2 2 cos 2 2 )S = 44.5设S n1 S n24尹4①一②得（1 1)S n2S n2歹1尹n 2 2* i2n列 .........2n刘………2 2 T3 T4 2 2 2n尹2n（设制错位）（错位相减）证明：设S nC3C 1 5C 2(2n 1)c n ............................................. ……•①把①式右边倒转过来得S n(2n 1)C：(2n 1)c n 13c nC 0C n（反序）又由 mC nC ：m 可得S n(2n 1)C 0 (2n 1)c n 3C ；1C n.............C n..……②①+②得2S n (2n2)(C 0 C ：n 1C nC n n ) 2(n1) 2n（反序相加）S n(n 1) 2n2求 sin 1 sin 22 sin 2 3sin 2 88・2 “sin 89 的值解：设S sin21sin 22 ・2 sin > 3sin 2 88sin 2 89 ••….... ①将①式右边反序得S sin 289・2sin 88sin 23sin 22.2 .sin 1 ••….... •② （反序）22这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原(反序相加)2 2(sin 89 cos 89 ) = 89题 1 已知函数1）证明：（2）求的值.解：（ 1 ）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边2）利用第（1 ）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以练习、求值: 四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 1 4, —2 a (2 a 1 ［例7］求数列的前n 项和：1 1,— a1 解：设 S n (1 1) ( 4) a将其每一项拆开再重新组合得1 1 1S n (1 2F) (1a aa当a = 1时，S n n 匹卫=27,7) (丄 n 1 a (3n 1)n23n 2) 3n 2)(分组) (分组求和)11 1 1 11丄当 a 1 时，& 丄(3n 1)n1 - a ［例8］求数列｛n(n+1)(2n+1)｝的前n 项和. (3n 1)n 2解：设 a k k(k 1)(2k 1) 2k 3 3k 2n S n k(k 1)(2k k 11)n(2 k 313k 2 k)将其每一项拆开再重新组合得 n3S n = 2kk 1k 2（分组）=2(13 23 n 3) 3( 12 22 n 2) (1 2 n)n 2(n 1 1)22 n(n 1)(2 n 1)n(n 2 1)（分组求和）n(n 1)2(n2)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 .裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后 重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 .通项分解 （裂项）如: (1) a n f(n 1) f(n) (2) sin1 cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n (3) a n1 n(n 1)(4) a n(2n)2 (2n 1)(2 n 1)1 112(2n 1 1 2n 1)(5)a nn(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n a nn 21n(n 1) 2n2(n 1) n n(n 1)1 2n1 n 2n 11 (n 1)2n，则S " 1(n 1)2"(7)a n(An B)(A n C)C B (An BAn C )(8) a n一 ------- I n 1 m n 、n 11 1[例9]求数列 -------1 - 的前n 项和..2 .2.3. n 、n 1 [例 10] [例 11] 解: :设a n则S n..n（裂项）（裂项求和）在数列｛a n ｝中, 解:a n(,3、2)1 一 n)，又b n-—，求数列｛b n ｝的前n 项的和.1 2n 1 n2 n n 1 2 2• 数列{b n }的前n 项和1 1 -)(22a nb nS n8[(1 =8(11 3)8nn 1 1 (3 1 4)1 11 cos0 cos1cos1 cos2cos88 c os891 11 cos0 cos1cos1 cos2cos88 c os89si n1tan(n 1) tan n)sn cos(n 1)1 1 1cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos89 1 {(ta n 1 tan 0 ) (tan 2tan1 ) (tan 3n求证:设S••• Stan 2 ) [tan 89 tan 88 ]}sin 111)=cos1 sin 211(tan 89 sin 1tan 0 )=—sin 1cot1 =害 sin 21原等式成立（裂项）（裂项求和）（裂项） （裂项求和）答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n.[例12] 求cos1° + cos2° + cos3° + •…+ cos178° + cos179° 的值.解：设S n= cosl° + cos2° + cos3° + ••• + cos178° + cos179°••• cosn cos（180 n ）（找特殊性质项）二S n= (cosl ° + cos179 ) + ( cos2° + cos178 ) + ( cos3° + cos177 °) + • • •+ ( cos89°+cos91 °)+ cos90°（合并求和）=013］数列{a n}: a1 1,a2 3,a3 2,a n 2 a n 1 a n ，求S2002.解：设S2002= a1 a2 a3 a2002由a1 1, a2 3, a3 2, a n 2 a n 1 a n 可得a4 1, a5 3, a6 2,a7 1, a8 3, a 9 2, a10 1, a11 3, a12 2,a6k 1 1, a6k 2 3, a6k 3 2, a6k 4 1, a6k 5 3, a6k 6 2a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4 a6k 5a6k 6 0（找特殊性质项）S2002 = a1a2a3 a2002 （合并求和）=(a i a 2 a 3a 6) (a 7a 8a i2)@6k 1a 6k 2 a 6k 6 )(a i993 a i994a i998 )a i999a 2oooa 2ooi a 2oo2=a i999a 2oooa 2ooia 2oo2=a 6k ia 6k 2a 6k 3a 6k 4=5由等比数列的性质 m n p qa m a n a p a q和对数的运算性质 log a M log a N log a M N 得=io七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前n 项和，是一个重要的方法.［例 I5］求i ii iii iii i 之和.n 个i解：由于iii ii -9999!(io ki)（找通项及特征）k 个 i9k 个i9••• i ii iiiiii in 个ii i =-(io i) 9 i— (io i) 9^(io 3i) 9^(io n i) 9（分组求和）i I 2=-(io io io 3n、io )丄(i iii)99n 个i［例14］在各项均为正数的等比数列中，若a 5a 69,求 log 3a ilog 3 a 2 log 3 a io 的值.解：设 S n log 3 a 1 log 3 a 2log 3 a io （找特殊性质项）S n (log 3 a i log 3 a io ) (log 3 a 2 log 3 a g ) (log 3 a 5 log 3 a 6)（合并求和）=(log 3a i a io ) (log 3 a 2 a g ) (log 3 a 5 a 6)=log 3 9log 3 9log 3 91 10(10n 1) n9 10 1 9=丄(10n1 10 9n)81［例16］已知数列｛a n｝: a n ,求(n 1)(a n a n 1)的值•(n 1)(n 3) n1解：T (n 1)(a n a n 1) 8(n 1)[-13) 1] （找通项及特征）(n 1)(n (n 2)(n 4)=8 [- 1（设制分组）(n 2)(n 4) (n 3)(n 4)1 1 1 1=4 (——-)8(——-) (裂项)n2n4 n3n41 1 1 1(n 1)(a n a n1) 4 ( ) 8 ( ) (分组、裂项求和)n 1 n 1 n 2 n 4 n 1 n 3 n 41 1 1=4 (- -) 83 4 413提高练习：1.已知数列a n中，S n是其前n项和，并且S n 1 4a n 2(n 1,2,L ),a1⑴设数列b n a n 1 2a n(n 1,2, ），求证:数列b n 是等比数列；a⑵设数列C n n,（n 1,2, ），求证：数列C n是等差数列;22 、2.设二次方程a n x - a n+1X+1=0（n € N）有两根a 和B，且满足6 a -2 a3 +6 3 =3 .⑴试用a n表示a n 1;2⑵求证；数列他-亍｝是等比数列F7⑶当的二—时、求数列％｝的通项公式.3．数列a n 中，a1 8,a4 2 且满足a n 2 2a n 1 a n n N ⑴求数列a n 的通项公式；⑵设Sn | a1 | | a2 | | a n |，求S n ；。
高中数学数列求和题解题方法技巧
高中数学数列求和题解题方法技巧数列求和的七种解法1.公式法：顾名思义就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行求解。
2.倒序相加：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。
例如等差数列的求和公式，就可以用该方法进行证明。
3.错位相减：形如An=Bn∙Cn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。
对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{An}的前n项和。
这种数列求和方式叫做错位相减。
4.裂项相消：把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这种数列求和方式叫做裂项相消。
5.分组求和：有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列适当的拆开，就会分成若个等差，等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。
6.周期数列：一般地，若数列{an}满足：存在一个最小的正整数T，使得an+T=an对于一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，接下来根据数列的周期性进行求和。
7.数学归纳法：是一种重要的数学方法，其对求数列通项，求和的归纳猜想证明起到了关键作用。
高中数学解题方法实用技巧1解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
数列的常见求和方法
数列的常见求和方法
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
1、倒序相加法
倒序相乘法如果一个数列{an}满足用户与首末两项等“距离”的两项的和成正比(或等同于同一常数)，那么谋这个数列的前n项和，需用倒序相乘法。
2、分组求和法
分组议和法一个数列的通项公式就是由几个等差或等比或可以议和的数列的通项公式共同组成，议和时需用分组议和法，分别议和而后相乘。
3、错位相减法
错位二者加法如果一个数列的各项就是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积形成的，那么这个数列的前n项和需用此法xi，例如等比数列的前n项和公式就是用此法推论的。
4、裂项相消法
裂项二者消法把数列的通项切割成两项之差，在议和时中间的一些项可以相互抵销，从而求出其和。
5、乘公比错项相减（等差×等比）
这种方法就是在推论等比数列的'前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用作谋数列{an×bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别就是等差数列和等比数列。
6、公式法
对等差数列、等比数列，求前n项和sn可以轻易用等差、等比数列的前n项和公式展开解。
运用公式解的注意事项：首先必须特别注意公式的应用领域范围，确认公式适用于于这个数列之后，再排序。
7、迭加法
主要应用于数列{an}满足用户an+1=an+f(n)，其中f(n)就是等差数列或等比数列的条件下，可以把这个式子变为an+1-an=f(n)，代入各项，获得一系列式子，把所有的式子提至一起，经过整理，纡出来an，从而算出sn。
数列求和7种方法(方法全-例子多)
数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c =.解： 原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数 （1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n-+---[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝ 18+n n [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。
数列求和1
1 2n
1
1 2n
1
nn
1
1n
2
1 2
1
nn
1
n
1
1n
2
已知：an 3n 1,求
1 1 1
a1a2 a2a3
an an 1
五、公式法求和：
所给数列的通项是关于n的多
项式，此时求和可采用公式
法求和，常用的公式有：
数列求和
一、倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末
两项等距的两项之和等于首 末两项之和，可采用把正着 写和与倒着写和的两个和式 相加，就得到一个常数列的 和，这一求和的方法称为倒 序相加法.
二、错位相减法：
如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和 可采用错位相减法.
四、分裂通项法：
把数列的通项拆成两项之差， 即数列的每一项都可按此法 拆成两项之差，在求和时一 些正负项相互抵消，于是前 n项的和变成首尾若干少数 项之和，这一求和方法称 为分裂通项法.
已知an
1
nn
2
,
求sn
1
nn 1
1 n
1 n -1
2n
1
12n
1
1 2
例 ： 求前n项的和.
三、分组求和法：
把数列的每一项分成两项， 或把数列的项“集”在一块 重新组合，或把整个数列分 成两部分，使其转化为等差 或等比数列，这一求和方法 称为分组求和法.
例：若数列{an}中， an= -2[ n - (-1)n ]，求 S10和S99．
数列求和的八种重要方法与例题
练习10：
已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),
1)求S20,S21 2)求Sn
=20 S20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39
S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）
=-21
总的方向： 1.转化为等差或等比数列的求和 2.转化为能消项的 思考方式：求和看通项（怎样的类型） 若无通项，则须先求出通项 方法及题型： 1.等差、等比数列用公式法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法
1 (1 3
2n )
5
n
12 3
1 (2n 5n 1) 3
热点题型3：递归数列与数学归纳法.
已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01，an1
(nN)
1 2
an (4
an ).
（1）证明an<an+1<2(nN) （2）求数列{an}的通项公式an
用数学归纳法证明：
类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……
典例. 已知 lg(xy) 2 2.倒序相加法
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lg(x·1 yn-1)+lgyn,
(x > 0,y > 0) 求S .
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lgyn
S =lgyn +lg(yn-·1 x)+ ...+lgxn 2S =lg(xy)n +lg(xy)n + ...+lg(xy)n
高中数学解题方法系列：数列中求和问题的7种方法
高中数学解题方法系列：数列中求和问题的7种方法一、公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a q q a q na S n nn 3、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n 5、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1]求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.[例2]设S n ＝1+2+3+…+n，n∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.二、错位相减法（等差乘等比）[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n xn x x x S [例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n ∴1224-+-=n n n S 三、倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5]求证：nnn n n n n C n C C C 2)1()12(5321+=++⋅⋅⋅+++证明：设nn n n n n C n C C C S )12(5321++⋅⋅⋅+++=…………………………..①把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）又由mn nmn C C -=可得n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②①+②得nnn n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴nn n S 2)1(⋅+=[例6]求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴S＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7]求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝kk k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+=（2）nn n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则[例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+-＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝1sin 1cos 2∴原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：设S n ＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵)180cos(cosn n --=（找特殊性质项）∴S n ＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0[例13]数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a ,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a ……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a ∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项）∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并求和）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a 2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14]在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质qp n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）和对数的运算性质NM N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=（合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15]求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个（找通项及特征）∴11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和）＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++＝9110)110(1091n n ---⋅＝)91010(8111n n --+数列练习一、选择题1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =A.21 B.22 C.2 D.22.已知为等差数列，，则等于A.-1B.1C.3D.73.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项,832S =,则10S 等于A.18B.24C.60D.90.4设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于A．13B．35C．49D．635.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1,3a ＝0,则公差d ＝（A ）－2（B ）－12（C ）12（D ）26.等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和A.90B.100C.145D.1907.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m ma a a -++-=，2138m S -=,则m =（A）38（B）20（C）10（D）9.8.设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =A．2744n n+B．2533n n+C．2324n n+D．2n n+9.等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是A.90 B.100 C.145 D.190.二、填空题1设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a =．2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ，，，1612T T 成等比数列．3.在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a .4.等比数列{n a }的公比0q >,已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S =.数列练习参考答案一、选择题1.【答案】B【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q⋅=,即22q=,又因为等比数列}{n a的公比为正数，所以q =,故2122a a q ===,选B 2.【解析】∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-∴204(204)1a a d =+-⨯=.选B。
数列累加法 裂项求和倒序相加错位相减分组求和法结合
1分组求和法:就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等差（比）数列，它们的和当然就好求了。
例如：求1/2+3/4+7/8+9/16+......+(2^n-1)/(2^n)的话，可以将通项(2^n-1)/(2^n)写成1-2^(-n)这样就变成每一项都是1-X （X为通项）的公式对于通项-2^(-n)是一个等比数列，这个你就可以直接套用公式了2数列累加法逐差累加法例3 已知a1=1, an+1=an+2n 求an解：由递推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22, a4-a3=23, …an-an-1=2n-1将以上n-1个式子相加可得an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐差累加法求通项公式，特别的，当f(n)为常数时，数列即为等差数列。
逐商叠乘法例4 已知a1=1, an=2nan-1(n≥2)求an解：当n≥2时，=22, =23, =24, (2)将以上n-1个式子相乘可得an=a1.22+3+4+…+n=2当n=1时，a1=1满足上式故an=2 (n∈N*)注：对递推公式形如an+1an=g(n)的数列均可用逐商叠乘法求通项公式，特别的，当g (n)为常数时，数列即为等比数列3裂项求和：当一项可以拆时需要注意是否为了考察裂项求和，最有名的就是分数：1/2+1/6+1/12+……+1/n*（n+1）可拆为1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1））然后你会发现从-1/2 到1/n全部能想消掉，故只剩下首项和末项。
4倒序相加：最简单的是等差数列用倒序相加求和：1到9 1+9=10 2+8=10。
所以便有首项加末项乘以项数除以二。
1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100) (裂项）=1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100 (消元）=2-1/100=199/100一、基本概念：1、数列的定义及表示方法：2、数列的项与项数：3、有穷数列与无穷数列：4、递增（减）、摆动、循环数列：5、数列{an}的通项公式an：6、数列的前n项和公式Sn:7、等差数列、公差d、等差数列的结构：8、等比数列、公比q、等比数列的结构：二、基本公式：三、9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=四、10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
数列求和八种重要方法与例题
分组求和法：
把数列的每一项分成两项，或把数
列的项“集”在一块重新组合，或把整
个数列分成两部分，使其转化为等差或
等比数列，这一求和方法称为分组求和
法.
{an+bn+cn} 错位相减
等差
等比 或裂项相消
并项求和
典型6：
1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？
局部重组转化为常见数列
交错数列，并项求和 既{（-1）n bn}型
b2n 0
又b0=－1
bn
1 2
2n
1
,
1 2
1 2
2
b22 n 1
即an
2 bn
2
1
2n
1
2
(n1)。 (1)求b1、b2、b3、b4的值；
an
1 2
(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
bn
an
1
1 2
得an
4 6
bn1bn bn1
3 bn
1 bn
1 2
, 代入递推关系8an1an
16an1
2an
1
5
0,即bn1
2bn
（III）求 lnim(b1 b2 b3 ． bn )
（I）a2＝a1+
1 4
=
a+ 1
4
，a3=
1 2
a2=
数列求和常见的7种方法
数列求和常见的7种方法数列求和常见的7种方法一、总论:数列求和7种方法:利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法,三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和,是一个重要的方法.。
数列专题：数列求和的6种常用方法(原卷版)
数列专题：数列求和的6种常用方法一、几种数列求和的常用方法1、分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．2、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．3、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．4、倒序相加法：如果一个数列{}n a 与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．二、公式法求和常用公式公式法主要适用于等差数列与等比数列.1、等差数列{}n a 的前n 项和11()(1)22++==+n n n a a n n S na d 2、等比数列{}n a 的前n 项和111(1)11，，=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩n n na q S a q q q 3、一些常见的数列的前n 项和：①112123(1)==++++=+∑nk k n n n ；122462(1)==++++=+∑nk k n n n ②21(21)135(21)=-=++++-=∑n k k n n ；③22222116123(1)(21)==++++=++∑nk k n n n n ；④3333321(1)2123[]=+=++++=∑nk n n k n 三、裂项相消法中常见的裂项技巧1、等差型裂项（1）111(1)1=-++n n n n （2）1111()()=-++n n k k n n k（3）21111()4122121=---+n n n （4）1111(1)(2)2(1)(1)(2)⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦n n n n n n n （5）211111()(1)(1)(1)2(1)(1)==---+-+n n n n n n n n n（6）22111414(21)(21)⎡⎤=+⎢⎥-+-⎣⎦n n n n （7）1111(1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦n n n n n n n n n n （8）2222211111)(()+=-++n n n n n （9）222211112)42)((⎡⎤+=-⎢⎥++⎣⎦n n n n n 2、根式型裂项=1=-k12=(1)1111(1)1++=+-++n n n n n n 3、指数型裂项（1）11112(21)(21)11(21)(21)(21)(21)2121++++---==-------n n n n n n n n n （2）113111()(31)(31)23131++=-----n nn n n （3）122(1)21111(1)2(1)2122(1)2-++-⎛⎫==-⋅=- ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n （4）1111(41)31911333(2)2(2)22-+--⎛⎫⎡⎤-⋅=-⋅=- ⎪⎢⎥+++⎣⎦⎝⎭n n n n n n n n n n n （5）11(21)(1)(1)(1)(1)++⋅---=-++n n n n n n n n （6）222111(1)2(1)(1)(42)2(1)(42)2(1)2(1)2(1)2+++-++++-++-++==⋅⋅+⋅+⋅+⎡⎤⎣⎦n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 1111(1)1111(1)(1)(1))22(1)2222(1)2++++⎡⎤⎡⎤---=+-+=-+⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⋅+⋅⎣⎦⎣⎦n n n n n n n n nn n n n n 4、对数型裂项11log log log ++=-n a n aa a n na a a 四、错位相减法求和步骤形如n n n A B C =⋅，其中{}n B 为等差数列，首项为1b ，公差为d ；{}n C 为等比数列，首项为1c ，公比为q .对数列{}n A 进行求和，首先列出n S ，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{}n C 的公比q ，即得n q S ⋅，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{}n A 的前n 项和。
数列求和的8种方法
精心整理数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和1、23、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n[例1]已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2]设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21+=n n S n ，)2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴)32()(+=n S n S n f ＝64342++n n n等比数列－１，则＝.=答案：[解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设nn nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 已知答案：2的前答案：[例把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）又由m n n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②①+②得n nn n n nn n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴n n n S 2)1(⋅+=[例6]求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22 题1已知函数（1）证明：（2）求的值（2所以.练习、求值：练习。
数列求和7种方法(方法全,例子多)
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .解： 原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位）①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数 （1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。
数列求和常见的7种方法
数列求和常见的7种方法数列求和常见的7种方法一、总论:数列求和7种方法:利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法,三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如:六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和,是一个重要的方法.。
数列求和各种方法总结归纳
1 1 1 ＝ 2n－1－2n＋1， 2
1 1 1 1 1 1 ＋ － ＋…＋ ∴Sn＝ 1－3 2n－1－2n＋1 2 3 5
1 1 n ＝ 1－2n＋1＝ . 2 2n＋1
[理](2012· 西南大学附中月考)已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x，x∈ R，数列{an}，{bn}满足条件：a1＝1，an＝f(bn)＝g(bn＋1)，n∈N*. (1)求证：数列{bn＋1}为等比数列； 2n 2 011 (2)令Cn＝ ，Tn是数列{Cn}的前n项和，求使Tn>2 012成立的 an·n＋1 a 最小的n值．
解：(1)证明：由题意得2bn＋1＝bn＋1， ∴bn＋1＋1＝2bn＋2＝2(bn＋1)． 又∵a1＝2b1＋1＝1， ∴b1＝0，b1＋1＝1≠0.
故数列{bn＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)可知，bn＋1＝2n－1，∴an＝2bn＋1＝2n－1. 2n 2n 1 1 故Cn＝ ＝ n ＝ n － n＋1 . an·n＋1 2 －12n＋1－1 2 －1 2 －1 a ∴Tn＝C1＋C2＋…＋Cn 1 1 1 1 1 ＝(1－3)＋(3－7)＋…＋( n － ) 2 －1 2n＋1－1 1 2 011 ＝1－ n＋1 .由Tn>2 012，得2n＋1>2 013，解得n≥10. 2 －1 ∴满足条件的n的最小值为10.
②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项
相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
[例1] (2011· 山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表 第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不 在下表的同一列. 第一行 第二行 第一列 第二列 第三列 3 6 9 2 4 8 10 14 18
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数列倒序相加、错位相减、分组求和数列倒序相加、错位相减、分组求和一．选择题（共2小题）1．（2014秋•葫芦岛期末）已知函数f（x）=x a 的图象过点（4，2），令a n=，n∈N*，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2015=（）A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．﹣1 2．（2014春•池州校级期末）已知函数f（x）=x2•cos （xπ），若a n=f（n）+f（n+1），则a i=（）A．﹣2015B．﹣2014C．2014D．2015二．填空题（共8小题）3．（2015春•温州校级期中）设，若0＜a＜1，则f（a）+f（1﹣a）=，=．4．（2011春•启东市校级月考）S n=1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1）n+1•n，则S100+S200+S301=．5．（2010•武进区校级模拟）数列{a n}满足，a 1=1，S n是{a n}的前n项和，则S21=6．（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n ﹣1，则{a n}的前60项和为．7．（2015•张家港市校级模拟）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2012=．8．（2009•上海模拟）在数列{a n}中，a1=0，a2=2，且a n+2﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），则s100=．9．（2012•江苏模拟）设数列{a n}的前n项和为，则|a 1|+|a2|+…+|a n|=．10．（2013春•温州期中）等比数列{a n}中，若a1=，a4=﹣4，则|a1|+|a2|+…+|a n|=．三．解答题（共15小题）11．在数列{a n}中，a1=﹣18，a n+1=a n+2，求：|a1|+|a2|+…+|a n|12．（2010•云南模拟）已知数列{a n}的前n项和S n=25n﹣2n2．（1）求证：{a n}是等差数列．（2）求数列{|a n|}的前n项和T n．13．已知在数列{a n}中，若a n=2n﹣3+，求S n．19．（2011春•孝感月考）求和：S n=（x+）2+（x2+）2+…+（x n+）2．20．（2014春•龙子湖区校级期中）求数列{n×}前n项和S n．21．（2011秋•文水县期中）已知数列{a n}中，a n=2n ﹣33，求数列{|a n|}的前n项和S n．22．数列{a n}中，a n=n•2n，求S n．23．已知数列{a n}中，a n=（2n﹣1）•3n，求S n．24．求数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…的前n项和S n．25．已知数列{a n}中，，试求数列{a n}的前n项之和S n．数列倒序相加、错位相减、分组求和参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2014秋•葫芦岛期末）已知函数f（x）=x a 的图象过点（4，2），令a n=，n∈N*，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2015=（）A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．﹣1 【解答】解：函数f（x）=x a的图象过点（4，2），则：4a=2，解得：a=，所以：f（x）=，则：，==则：S n=a1+a2+…+a n==，则：，故选：D．2．（2014春•池州校级期末）已知函数f（x）=x2•cos （xπ），若a n=f（n）+f（n+1），则a i=（）A．﹣2015B．﹣2014C．2014D．2015【解答】解：∵函数f（x）=x2•cos（xπ），若a n=f（n）+f（n+1），∴a i=（a1+a3+a5+…+a2013）+（a2+a4+a6+…+a2014）=（3+7+11+...+4027）﹣（5+9+13+ (4029)=﹣2×1007=﹣2014．故选：B．二．填空题（共8小题）3．（2015春•温州校级期中）设，若0＜a＜1，则f（a）+f（1﹣a）=1，=1007．【解答】解：∵，∴当0＜a＜1时，f（a）+f（1﹣a）=+=+=+=1，故=1007×1=1007，故答案为：1，1007．4．（2011春•启东市校级月考）S n=1﹣2+3﹣4+5﹣6+...+（﹣1）n+1•n，则S100+S200+S301=1．【解答】解：由题意可得，S100=1﹣2+3﹣4+ (99)﹣100=﹣50，S200=1﹣2+3﹣4+…+199﹣200=﹣100s301=1﹣2+3﹣4+…+299﹣300+301=﹣150+301=151∴s100+s200+s301=﹣50﹣100+151=1故答案为：1．5．（2010•武进区校级模拟）数列{a n}满足，a 1=1，S n是{a n}的前n项和，则S21= 6【解答】解：∵，a 1+a2=a2+a3，∴a1=a3，a3+a4=a4+a5∴a1=a3=a5=…=a2n﹣1，即奇数项都相等∴a21=a1=1∴S 21=（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 19+a 20）+a 21 =10×+1 =6． 答案：6．6．（2012•新课标）数列{a n }满足a n+1+（﹣1）n a n=2n ﹣1，则{a n }的前60项和为 1830 ．【解答】解：∵， ∴令b n+1=a 4n+1+a 4n+2+a 4n+3+a 4n+4，a 4n+1+a 4n+3=（a 4n+3+a 4n+2）﹣（a 4n+2﹣a 4n+1）=2，a 4n+2+a 4n+4=（a 4n+4﹣a 4n+3）+（a 4n+3+a 4n+2）=16n+8， 则b n+1=a 4n+1+a 4n+2+a 4n+3+a 4n+4=a 4n ﹣3+a 4n ﹣2+a 4n﹣1+a 4n +16=b n +16∴数列{b n }是以16为公差的等差数列，{a n }的前60项和为即为数列{b n }的前15项和 ∵b 1=a 1+a 2+a 3+a 4=10 ∴=18307．（2015•张家港市校级模拟）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1•a n =2n （n ∈N *），则S 2012= 3×21006﹣3 ．【解答】解：∵数列{a n }满足a 1=1，a n •a n+1=2n ，n ∈N *∴n=1时，a2=2，∵a n•a n+1=2n，∴n≥2时，a n•a n﹣1=2n﹣1，∴=2，∴数列{a n}的奇数列、偶数列分别成等比数列，∴S2012=+=3×21006﹣3．故答案为：3×21006﹣3．8．（2009•上海模拟）在数列{a n}中，a1=0，a2=2，且a n+2﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），则s100=2550．【解答】解：据已知当n为奇数时，a n+2﹣a n=0⇒a n=0，当n为偶数时，a n+2﹣a n=2⇒a n=n，，S 100=0+2+4+6+…+100=0+50×=2550．故答案为：25509．（2012•江苏模拟）设数列{a n}的前n项和为，则|a 1|+|a2|+…+|a n|=\left\{\begin{array}{l}{{﹣n}^{2}+4n﹣1，1≤n≤2}\\{{n}^{2}﹣4n+7，n≥3}\end{array}\right.．【解答】解：∵S n=n2﹣4n+1，∴a n=，∴①当n≤2时，a n＜0，∴S1′=|a1|=﹣a1=2，S2′=|a1|+|a2|=﹣a1﹣a2=3；②当n≥3，|a1|+|a2|+…+|a n|=﹣a1﹣a2+a3+…+a n=﹣2S2+S n=n2﹣4n+7．∴|a1|+|a2|+…+|a n|=．故答案为：．10．（2013春•温州期中）等比数列{a n}中，若a1=，a4=﹣4，则|a1|+|a2|+…+|a n|=2n﹣1﹣\frac{1}{2}．【解答】解：∵a 1=，a4=﹣4，﹣4=×q 3，解得q=﹣2即数列{a n}是以为首项，以﹣2为公比的等比数列则数列{|a n|}是以为首项，以2为公比的等比数列故|a 1|+|a2|+…+|a n|==2n﹣1﹣故答案为：2n﹣1﹣三．解答题（共15小题）11．在数列{a n}中，a1=﹣18，a n+1=a n+2，求：|a1|+|a2|+…+|a n|【解答】解：∵数列{a n}中，a1=﹣18，a n+1=a n+2，∴{a n}是首项为﹣18，公差为2的等差数列，∴a n=﹣18+（n﹣1）×2=2n﹣20，由a n=2n﹣20≥0，n≥10，设{a n}的前n项和为S n，当n≤10时，|a1|+|a2|+…+|a n|=﹣S n=﹣[﹣18n+]=﹣n2+19n．当n＞10时，：|a1|+|a2|+…+|a n|=S n﹣2S10=n2﹣19n+180．∴|a1|+|a2|+…+|a n|=．12．（2010•云南模拟）已知数列{a n}的前n项和S n=25n﹣2n2．（1）求证：{a n}是等差数列．（2）求数列{|a n|}的前n项和T n．【解答】解：（1）证明：①n=1时，a1=S1=23．②n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（25n﹣2n2）﹣[25（n﹣1）﹣2（n﹣1）2]=27﹣4n，而n=1适合该式．于是{a n}为等差数列．（2）因为a n=27﹣4n，若a n＞0，则n＜，，当1≤n≤6时，T n=a1+a2+a n=25n﹣2n2，当n≥7时，T n=a1+a2++a6﹣（a7+a8++a n）=S6﹣（S n﹣S6）=2n2﹣25n+156，综上所知．13．已知在数列{a n}中，若a n=2n﹣3+，求S n．【解答】解：数列{a n}中，若a n=2n﹣3+，可知数列是等差数列与等比数列对应项和的数列，S n=（﹣1+1+3+5+…+（2n﹣3））+（…+）=+=n（n﹣2）+1﹣=n 2﹣2n+1﹣．14．（2014•海淀区校级模拟）求和：S n=1+2x+3x2+…+nx n﹣1．【解答】解：当x=0时，S n=1；当x=1时，S n=1+2+3+…+n=；当x≠1，且x≠0时，S n=1+2x+3x2+…+nx n﹣1，①xS n=x+2x2+3x3+…+nx n．②（1﹣x）S n=1+x+x2+x3+…+x n﹣1﹣nx n=，x=0时，上式也成立，∴．x≠1．∴S n=．15．求下列各式的值：（1）（2﹣1）+（22+2）+（23﹣3）+…+[2n+（﹣1）n n]；（2）1+2x+4x2+6x3+…+2nx n．【解答】解：（1）当n为奇数时，﹣1+2﹣3+…+（﹣1）n n=﹣n=﹣，当n为偶数时，﹣1+2﹣3+…+（﹣1）n n=，又∵2+22+23+…+2n+==2n+1﹣2，记S n=（2﹣1）+（22+2）+（23﹣3）+…+[2n+（﹣1）n n]，∴S n=；（2）记S n=1+2x+4x2+6x3+…+2nx n，则当x=1时，S n=1+2+4+6+…+2n=1+2•=n2+n+1；当x≠1时，xS n=x+2x2+4x3+…+2nx n+1，∴（1﹣x）S n=1+x+2（x2+x3+…+x n）﹣2nx n+1=1+x+2•﹣2nx n+1，∴S n=+2•﹣；综上所述，S n=．16．（2010春•宁波期末）在坐标平面内有一点列A n（n=0，1，2，…），其中A0（0，0），A n （x n，n）（n=1，2，3，…），并且线段A n A n+1所在直线的斜率为2n（n=0，1，2，…）．（1）求x1，x2（2）求出数列{x n}的通项公式x n（3）设数列{nx n}的前n项和为S n，求S n．【解答】解：（1）A0（0，0），A1（x1，1），A2（x2，2）直线A0A1的斜率为20=1，∴x1=1直线A1A2的斜率为2，，∴（2）当n≥1时，A n（x n，n），A n+1（x n+1，n+1），∴，累加得：，检验当n=1时也成立，∴（3），令b n=2n，对应的前n项和T n=n （n+1）令两式相减得：∴∴17．（2013秋•嘉兴期末）已知等差数列{a n}的公差大于0，a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n和S n．【解答】解（1）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{a n}的公差d＞0，解方程x2﹣14x+45=0，得x1=5，x2=9，∴a3=5，a5=9，┅（2分）∴，解得┅（4分）∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1┅（6分）（2）∵a n=2n﹣1，∴┅（8分）∴┅（9分）∵┅（11分）┅（13分）∴数列{b n}的前n项和：┅（14分）18．（2014秋•福州期末）已知等比数例{a n}的公比q＞1，a1，a2是方程x2﹣3x+2=0的两根，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{2n•a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）方程x2﹣3x+2=0的两根分别为1、2，…（1分）依题意得a1=1，a2=2，…（2分）所以q=2，…（3分）所以数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；…（4分）（2）由（1）知2n•a n=n•2n，…（5分）所以S n=1×2+2×22+…+n×2n，①2•S n=1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n×2n+1，②由①﹣②得：﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n×2n+1，…（8分）即﹣S n=﹣n×2n+1，…（11分）所以S n=2+（n﹣1）•2n+1…（12分）19．（2011春•孝感月考）求和：S n=（x+）2+（x2+）2+…+（x n+）2．【解答】解：当x=±1时，∵（x n+）2=4，∴S n=4n，当x≠±1时，∵a n=x2n+2+，∴S n=（x2+x4++x2n）+2n+（+++）=++2n=+2n，所以当x=±1时，S n=4n；当x≠±1时，S n=+2n．20．（2014春•龙子湖区校级期中）求数列{n×}前n项和S n．【解答】解：∵数列{n×}前n项和S n．∴，①…（3分）S n=，②…．（6分）①﹣②，得：S n==﹣=1﹣…（10分）∴S n=2…（13分）21．（2011秋•文水县期中）已知数列{a n}中，a n=2n ﹣33，求数列{|a n|}的前n项和S n．【解答】解：令a n=2n﹣33＞0，解得n＞，所以当n≤16时，a n＜0，又a1=2﹣33=﹣31，则数列{|a n|}的前n项和S n=﹣=﹣=32n﹣n2；当n≥17时，a n＞0，则数列{|a n|}的前n项和S n=S16+S n﹣+=n2﹣32n+512，16=综上，S n=．22．数列{a n}中，a n=n•2n，求S n．【解答】解法一：S n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，2S n=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，两式相减可得，﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣﹣n•2n+1化简可得S n=2+（n﹣1）•2n+1．解法二、由a n=n•2n=（n﹣1）•2n+1﹣（n﹣2）•2n，可得S n=[0﹣（﹣1）•2]+[1•8﹣0]+[2•24﹣1•8]+…+[（n﹣2）•2n﹣（n﹣3）•2n﹣1]+[（n﹣1）•2n+1﹣（n﹣2）•2n]=2+（n﹣1）•2n+1．23．已知数列{a n}中，a n=（2n﹣1）•3n，求S n．【解答】解：∵a n=（2n﹣1）•3n，∴S n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，∴3S n=32+3×33+5×34+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2S n=3+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）×3n+1=（2﹣2n）×3n+1﹣6，∴S n=（n﹣1）×3n+1+3．24．求数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…的前n项和S n．【解答】解：由题意知，当a=1时，，当a≠1由等比数列的求和公式，得：=，∴﹣（a+a 3+…+a2n﹣1）]，①当a≠±1时，[]．②当a=﹣1时，=﹣，当n为奇数时，，当n为偶数时，．综上，得：当a=1时，．当a=﹣1时，．当a≠±1时，[]．25．已知数列{a n}中，，试求数列{a n}的前n项之和S n．【解答】解：（1）当n为奇数时，其中有项为偶数项，项为奇数项，（1分）偶数项是以b1=9为首项，q=32=9 的等比数列，故偶数项的和（5分）奇数项是以c1=2×1﹣1=1 为首项，d=2×2=4 为公差的等差数列，故奇数项的和，（7分）则{a n}的前n项之和（n为奇数）（8分）（2）当n为偶数时，其中有项为偶数项，为奇数项，（9分）故偶数项的和，（11分）奇数项的和，（12分）则{a n}的前n项之和﹣（n为偶数）．（14分）。