高三数学一轮复习求空间的角.ppt

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高中数学 3.2.3用空间向量求空间角课件新人教A版选修

uuur uuuur x uAuFur1 • uBuDuur1
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
30
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为 10
[悟一法] 利用向量求异面直线所成的角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．
z
（1）求证：直线B1O 面MAC;
（2）求二面角
uuur
Bu1uur
MA
uuuur
C
的余弦值.
D1
①证明：以 DA、DC、DD1为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
uuur
uuuur
所以MA (2，0，1)，MC (0，2，1)，
uuur B1O (1，1， 2)
D O
A(2，0，0)，C(0，2，0)，M (0，0，1)， A
xB
3
AD与平面ANM所成角的正弦值是3 34 34
Dy
C
[悟一法] 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.
①向量法
D1
C1 ② 传统法
A1
B1
O
D A
C B
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，

[精]高三第一轮复习全套课件4三角函数：角的概念的推广和弧度制

720 45 k 360 0 ，
得 765 k 360 45 解得
765 360 k 45 360
从而 k 2 或 k 1 代回 675 或 315
（2）因为 M x | x ( 2 k 1) 45 , k Z 表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合 N x | x ( k 1) 45 , k Z 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而： M Ø N
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/wxc/
的区域即为

3
的终边所在的区域

3
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新疆源头学子小屋
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1 2 r
2
rad
180
rad ( 2 )
2

65 19
,
1 2
( 2 ) r
例 5 已知“ 是第三象限角，则

3
是第几象限角?

3
分析由是第三象限角，可得到角的范围，进而可得到再根据范围确定其象限即可也可用几何法来确定
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511 6
， 3 9 ， 4 855 ；
（1）其中是第三象限的角是（2）将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少？
分析： 1）（先将已知角对应化为 2 k 或 y k 360 ( k Z ) 的形式后，再根据终边相同来判断角所在象限；（2）根据换算公式解第二问；

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：向量法求空间角(一)

则 λ 的值为___3___.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，正方体的棱长为2，
则A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)，
∴—D1→E ＝(0,2，－1)，
—A1→F ＝—A1→A ＋A→F＝—A1→A ＋λA→D＝(－2λ，0，－2).
以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建
立如图所示的空间直角坐标系，则 D1(0,0， 3)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，
B1(1,1， 3)，所以A—D→1＝(－1,0， 3)，D—→B1＝(1,1， 3).
设异面直线 AD1 与 DB1 所成的角为 θ，所以
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × )
(2) 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的
角.( × )
(3)两异面直线所成角的范围是 0，π2，直线与平面所成角的范围是
√ 0，π2.(
)
(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sin θ＝
cos〈u，n〉.( × )
教材改编题
1.已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量，若 cos〈m，n〉
＝－12，则直线 l 与平面 α 所成的角为
√A.30°
C.120°
B.60° D.150°
A.
2 2
B.
15 5
√C. 46
6 D. 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

用综合法求空间角课件-+2024届高三数学一轮复习

A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
【分析】利用线线平行，将异面直线所成的角转化为相交直线所成
的角，在三角形中求解即可．
内容索引
【解析】如图，连接DB，A1B，A1D，则B1C∥A1D.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以DB∥EF，所以∠A1DB是异面直线B1C与EF所成的角．又△A1DB是等边三角形，所以∠A1DB＝60°.
a，所以侧棱与底面所成角∠EAF 的正切值为EAFF＝
2 2
a ＝
10－ 2
2 .
2a
【答案】 A
内容索引
2. (2023常州高级中学高一校考期末)在正四面体ABCD中，异面直线
AB与CD所成的角为α，侧棱AB与底面BCD所成的角为β，侧面ABC与底面
BCD所成的锐二面角为γ，则下列结论中正确的是( )
A. θ1＋θ3＝2θ2 B. sinθ1＋sinθ3＝2sinθ2 C. cosθ1＋cosθ3＝2cosθ2 D. tanθ1＋tanθ3＝2tanθ2
内容索引
【分析】如图，连接OF，过边A1B1的中点E作EG⊥OF，垂足为G，则∠GFE就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为θ.设漏壶上口宽为a，下底宽为b，高为h，在 Rt△EFG中，根据等差数列即可求解．
第七章立体几何与空间向量
第四节用综合法求空间角
内容索引
学习目标核心体系活动方案备用题
内容索引
1. 理解空间角的概念，理解空间内的平行与垂直关系.2. 掌握用综合法求空间内异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的常见方法．
内容索引
异面直线所成的角定平义移及为角平的面范中围两条直线所成的角空间角直线与平面所成的角定利义用及线角面的垂范直围找直线在平面内的射影

高考数学大一轮复习第二节第一课时空间角的求法课件理苏教版

解析：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)， P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)．∵ AM⊥PD，PA＝AD，
第十页，共40页。
∴M为PD的中点，∴M的坐标为(0,1,1)．
∴ AC ＝(1,2,0)， AM ＝(0,1,1)，CD＝(－1,0,0)．设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，
第二十一页，共40页。
(2)由(1)知， AD1 ＝(0,3,3)， AC ＝( 3，1,0)， B1C1 ＝(0,1,0)．设 n＝(x，y，z)是平面 ACD1 的一个法向量，则
n·AC ＝0，
n·AD1 ＝0，
即 3y3＋x＋3zy＝＝00. ，
令 x＝1，则 n＝(1，－ 3， 3)．
设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ，则
连结 AB1，易知△AB1D 是直角三角形，且 B1D2＝BB12＋ BD2＝BB21＋AB2＋AD2＝21，即 B1D＝ 21.
在 Rt△AB1D 中，cos∠ADB1＝BA1DD＝
3＝ 21
721，即 cos(90°
－θ)＝
721.从而 sin θ＝
21 7.
即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为
第三页，共40页。
1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而
忽视了夹角为0，π2. 2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为
线面角的正弦值． 3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由
图形决定．由图形知二面角是锐角时cos
θ＝
|n1·n2| |n1||n2|
∴cos〈

2025届高考数学一轮复习讲义立体几何与空间向量之空间角和空间距离

形，则在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，异面直线 AK 和 LM 所成的角的大小为
(
D )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
[解析] 根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取 AA 1的中点 G ，连接 KG ，
则有 KG ∥ LM ，所以∠ AKG 或其补角为异面直线 AK 和 LM 所成的角.由题知 AG ＝
A 1 C 1＝5， BC 1＝4 2 ，所以 cos
52 ＋52 −(4 2）2
9
1
∠ BA 1 C 1＝
＝＜，所以60°＜
2×5×5
25
2
∠ BA 1 C 1＜90°，则过点 D 1作直线 l ，与直线 A 1 B ， AC 所成的角均为60°，即过一
点作直线，使之与同一平面上夹角大于60°的锐角的两边所在直线所成的角均成
2 z －1＝0的交线，试写出直线 l 的一个方向向量 (2，2，1)
的余弦值为
65
9
.
⁠
，直线 l 与平面α所成角
[解析] 由平面α的方程为 x ＋2 y －2 z ＋1＝0，可得平面α的一个法向量为 n ＝(1，
⑫ [0， ] ，二面角的
2
n1，n2＞｜.
范围是⑬
⁠
[0，π] .
⁠
易错警示
1. 线面角θ与向量夹角＜ a ， n ＞的关系
π
2
π
2
如图1(1)，θ＝＜ a ， n ＞－；如图1(2)，θ＝－＜ a ， n ＞.
图1
2. 二面角θ与两平面法向量夹角＜ n 1， n 2＞的关系
图2(2)(4)中θ＝π－＜ n 1， n 2＞；图2(1)(3)中θ＝＜ n 1， n 2＞.

2015届高三数学(文)第一轮总复习课件第50讲空间角及计算

13
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2 又 B1C1＝ A1C2 ＋ A B 1 1 1＝2， 2 所以 B1E＝ C1E2－B1C1 ＝2，
文数
1 1 1 从而 V 三棱锥 C1A1B1E＝ S△A1B1E×A1C1＝ × 3 3 2 2 ×2× 2× 2＝ . 3
14
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文数
【拓展演练1】如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是 .
4
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文数
2．四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若 CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于( A ) A．30° C．60° B．45° D．90°
5
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文数
解析：取 AD 的中点 G，连接 EG、GF，则 GE＝CD，GE ＝AB，因为 CD＝2AB，所以 GE＝2GF，因为 EF⊥AB，所以 EF⊥GF，所以∠GEF＝30° .
15
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文数
解析：如图，取 BC 的中点 N，连接 B1N、AN，则 AN⊥平面 B1C，所以 B1N 是 AB1 在平面 B1C 上的射影．由几何知识易得 B1N⊥BM. 所以 AB1⊥BM.
16
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文数
二
直线和平面所成的角
【例2】如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底
面ABCD，点E在棱PB上． (1)求证：平面AEC⊥平面PDB； (2)当PD＝ 2 AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
21
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文数
(2)如图，连接 CQ，DP. 因为 Q 为 AB 的中点，且 AC＝BC，所以 CQ⊥AB. 因为 DC⊥平面 ABC，EB∥DC，所以 EB⊥平面 ABC. 因此 CQ⊥EB，又 AB∩EB＝B，故 CQ⊥平面 ABE. 1 由(1)有 PQ∥DC，又 PQ＝ EB＝DC， 2 所以四边形 CQPD 为平行四边形，

高三数学《师说》系列一轮复习空间直角坐标系与空间向量的运算课件理新人教B

解析由空间两点间的距离公式得|AB|＝
1－x2＋[x＋2－5－x]2＋[2－x－2x－1]2
＝ 14x2－32x＋19＝ 14x－872＋57.
当 x＝87时，|AB|有最小值 57＝ 735，此时 A(87，277，97)，B(1，272，67)．点评解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点的坐标.
点评把向量逐步分解，向已知要求靠近，应充分利用向量运
算法则.
变式迁移 3 如图所示，已知正方体 ABCD—A′B′C′D′，点 E、F 分别是上底面 A′C′和侧面 CD′的中心，求下列各题中 x、y 的值．
(1)AC→′＝x(A→B＋B→C＋CC→′)； (2)A→F＝A→D＋xA→B＋yA→ A′.
(6)空间直角坐标系中，在 xOy 平面上的点的 z 坐标等于 0，所以可记为(x，y,0)，同理，在 xOz 平面、yOz 平面上的点的坐标可分别记为(x,0，z)，(0，y，z)．
(7)一些常用对称点的坐标： ①P(x，y，z)―关―于―坐―标―平―面―x―O―y对―称→P1(x，y，－z)； ②P(x，y，z)―关―于―坐―标―平―面―y―O―z对―称→P2(－x，y，z)； ③P(x，y，z)―关―于―坐―标 ――平―面―zO―x―对―称→P3(x，－y，z)； ④P(x，y，z)――关―于―x―轴―对―称―→P4(x，－y，－z)； ⑤P(x，y，z)―――关―于―y―轴―对―称――→P5(－x，y，－z)； ⑥P(x，y，z)―― 关―于―z轴―对―称 ―→P6(－x，－y，z)； ⑦P(x，y，z)―关―于―原――点―对―称→P7(－x，－y，－z)．
求证：①E、F、G、H 四点共面． ②平面 EG∥平面 AC.

高考数学一轮复习第八章立体几何第六节利用空间向量求空间角课件理

(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系．
[易错防范] 1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同． 2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．
答案：13
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．
解析：以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为 1，
则 A1(0,0,1)，E1，0，12，D(0，1,0)，
以 B 为原点，分别以
的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的
正方向建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，
F(2,2,1)．
因为 AB⊥平面 BEC，所以＝(0,0,2)为平面 BEC 的法向量．设 n＝(x，y，z)为平面 AEF 的法向量．
所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为23.
A(0，－ 3，0)，E(1,0， 2)，F－1，0， 22，C(0， 3，0)，
所以直线
AE
与直线
CF
所成角的余弦值为
3 3.
[解题模板] 利用向量法求异面直线所成角的步骤
直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，
A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )
接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3.

高考数学一轮总复习课件：空间综合问题

(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．
(3)解决折叠问题的关注点：平面图形折叠成空间图形，主要抓住变与不变的量，所谓不变的量，即是指“未折坏”的元素，包括“未折坏”的边和角，一般优先标出未折坏的直角(从而观察是否存在线面垂直)，然后标出其他特殊角，以及所有不变的线段．
3＝ 2
26，即点C到平面A1BC1的距离为
6 2.
【答案】
①略
②
6 2
题型二探究性问题
利用向量解决立体几何中的探索性问题，在近几年的高考中备受青睐．下面举例说明其破解方法，以期抛砖引玉．
例2 (2021·湖南重点校联考)如图，在四棱锥 P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥ CD，且AD＝CD＝2 2，BC＝4 2，PA＝2.
设平面EFG的一个法向量是n＝(x，y，1)，
则由n⊥E→F，n⊥G→E，得
（（xx，，yy，，11））··（（22，，－4，2，－02））＝＝00，⇒xx－＋y2＝y＝0，1 ⇒xy＝＝1313，.
∴n＝13，13，1. 则点B到平面GEF的距离为d＝|n·|nB→|E|＝2 1111.
【答案】
思考题1 (1)(2021·黑龙江哈尔滨期末)三棱柱ABC－
A1B1C1底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若AB＝2，AA1＝ 1，则点A到平面A1BC的距离为( B )
3 A. 4
3 B. 2
33 C. 4
D. 3
【解析】设点A到平面A1BC的距离为h，
∵V三棱锥A1－ABC＝V三棱锥A－A1BC，
若∠MGN＝45°，则NG＝MN，
又AN＝
2 NG＝
2
MN，所以MN＝1，所以MN綊

空间向量与空间角、距离问题课件-2025届高三数学一轮复习

C
A. B. C. D.
解析取线段的中点，连接，则，设直三棱柱的棱长为2，以点为原点，,,的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，所以，，, ，所以 .故选C.
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤1. 建立空间直角坐标系；2. 用坐标表示两异面直线的方向向量；3. 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；4. 注意两异面直线所成角的范围是，，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
因为平面，平面，所以，又，平面, 平面,所以平面，又平面，所以 .
（2）如图2，以点为原点建立空间直角坐标系，，则, ,，则,, ，设平面的一个法向量为，则令,则,，所以，则,所以与平面所成角的正弦值为 .
利用空间向量求线面角的解题步骤
平面与平面所成的角
二、空间向量与距离
直线外一点到直线的距离
如图，直线的单位方向向量为，设，则向量在直线上的投影向量⑭________，则点到直线的距离为 ⑮_______________
平面外一点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，为平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面于点，是直线的方向向量，则点到平面的距离⑯______ ⑰_______
B
A. B. C. D.
解析建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，, ，，，所以，，.设平面的一个法向量为，则令，得，故点到平面的距离 .故选B.
4.（人教A版选修①P43 · T10改编）设，分别是正方体的棱和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为________.
解析建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，则，， .设平面的一个法向量为，故令，则，，所以，所以与平面所成角的正弦值为 .

7.6.1向量法求空间角课件高三数学一轮复习

考点二直线与平面所成的角【例 2】如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠ABC＝120°， AB＝1，BC＝4，PA＝ 15，M，N 分别为 BC，PC 的中点，PD⊥DC，PM⊥MD.
(1)证明：AB⊥PM； (2)求直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值．
【解】 (1)证明：因为 AB＝AD，O 为 BD 的中点，所以 OA⊥BD. 因为平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，OA⊂平面 ABD，所以 OA ⊥平面 BCD. 因为 CD⊂平面 BCD，所以 OA⊥CD. (2)以 O 为坐标原点，OD，OA 所在的直线分别为 y 轴，z 轴，过点 O 且垂直于 BD 的直线为 x 轴，建立如图所示空间直角坐标系．
(2)由(1)知，A( 2，0,0)，B( 2，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，M 22，1，0，则A→M＝－ 22，1，0，P→M＝ 22，1，－1， B→C＝(－ 2，0,0)，P→B＝( 2，1，－1)．设 n1＝(x1，y1，z1)为平面 PAM 的法向量，
则nn11··PA→ →MM＝＝00，，
以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
设 BC＝2x，则 D(0,0,0)，A(2x,0,0)，P(0,0,1)，B(2x,1,0)，M(x,1,0)．所以A→M＝(－x,1,0)， P→B＝(2x,1，－1)，
所以(－x,1,0)·(2x,1，－1)＝0，解得 x＝ 22(负值舍去)．所以 BC＝ 2.
(2)以 A 为原点，AD 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，AA1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系．设正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，则 A(0,0,0)，A1(0,0,2)，D1(2,0,2)， E(0,2,1)，∴A→A1＝(0,0,2)，A→D1＝(2,0,2)，A→E＝(0,2,1)．

高考数学一轮复习---利用空间向量求空间角

利用空间向量求空间角一、基础知识1．异面直线所成角设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |❶，其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量． 2．直线与平面所成角如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |❷.3．二面角(1)若AB ，CD 分别是二面角αl β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→的夹角，如图(1)．(2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|❸，如图(2)(3)．二、常用结论解空间角最值问题时往往会用到最小角定理cos θ＝cos θ1cos θ2.如图，若OA 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在平面α内的射影，OC 为平面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2.三、考点解析考点一异面直线所成的角例、如图，在三棱锥PABC中，P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱P A，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，P A＝AC＝4，AB＝2.(1)求证：MN∥平面BDE；(2)已知点H在棱P A上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长．[解题技法]用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．[跟踪训练1.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°2.如图，在四棱锥PABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．考点二直线与平面所成的角例、如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF ＝DE ，M 为棱AE 的中点．(1)求证：平面BDM ∥平面EFC ；(2)若DE ＝2AB ，求直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值．[解题技法]利用向量求线面角的2种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角．跟踪训练1．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________．2.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BA ＝BC ＝5，AC ＝8，D 为线段AC 的中点．(1)求证：BD ⊥A 1D ；(2)若直线A 1D 与平面BC 1D 所成角的正弦值为45，求AA 1的长．考点三二面角例、如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 位置，OD ′＝10. (1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B D ′A C 的余弦值．[解题技法](1)利用法向量求二面角的大小时，由于法向量的方向不同，两个法向量的夹角与二面角的大小可能相等，也可能互补．所以，两个法向量的夹角的余弦值与二面角的余弦值可能存在正负号的差异．(2)有时用观察法难以判定二面角是钝角还是锐角，为了保证解题结果准确无误，我们给出一种万无一失的方法：就是在两个半平面和二面角的棱上各取1个向量，要求这三个向量必须起点相同，在利用行列式计算法向量时，棱对应的向量必须排前面，即口诀“起点同，棱排前”，这样求出的两个法向量的夹角一定与二面角的大小相等．跟踪训练如图所示，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△DAB ≌△DCB ，E 为线段BD 上的一点，且EB ＝ED ＝EC ＝BC ，连接CE 并延长交AD 于F .(1)若G 为PD 的中点，求证：平面P AD ⊥平面CGF ；(2)若BC ＝2，P A ＝3，求二面角B CP D 的余弦值．课后作业1.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( ) A.3030 B.3015 C.3010 D.15152、已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝13AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成角的正弦值为( )A.33535B.277C.33D.243．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1＝2，二面角B AA 1C 1的大小为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为23，则直线BC 1与直线AB 1所成角的正切值为( )A.7B.6C.5 D ．2 4.如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长都相等，E ，F ，G 分别为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( )A.35B.56C.3310D.36105．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.226．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝2，CF ＝3.若直线OF 与平面BED 所成的角为45°，则AE ＝________.7.如图，已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，且AC ⊥BD ，AC 与BD 交于O ，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝2，AB ＝22，E ，F 分别是AB ，AP 的中点，则二面角F OE A 的余弦值为________．8．如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧C D 所在平面垂直，M 是C D 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC 体积最大时，求平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值．9．如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M P A C 为30°，求PC 与平面P AM 所成角的正弦值提高练习1．如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，A1O⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝3.(1)证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；(2)若∠BAD＝60°，求二面角BOB1C的余弦值．2．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD.平面P AD⊥平面ABCD，P A＝PD，点E在PC上，DE⊥平面P AC.(1)求证：P A⊥平面PCD；(2)设AD＝2，若平面PBC与平面P AD所成的二面角为45°，求DE的长．3．如图，在三棱锥PABC中，平面P AB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝23，AC＝26，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)若直线P A与平面ABC所成的角为45°，求平面P AC与平面PDE所成的锐二面角大小．。

高三数学总复习《利用空间向量求角和距离》课件

解法二:以D为坐标原点建立坐标系,如图所示.
3.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AA1的中点, 则A1到平面MBD的距离是( )
6 3 3 6 A. a B. a C. a D. a 3 6 4 6
答案:D
4.(2009·浙江)在三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长相等,侧棱
与平面BC1D所成的角为30°、
解:(1)证明:∵ABCD是平行四边形,故知
∠BDC1=∠ABD=90°. 即AB⊥BD,C1D⊥BD.
AD BC1 3. 由C1D 1, AC1 2可得，
2 AC1 C1D2 AD2 .
C1D AD. C1D 平面ABD. C1D 平面AC1D, 平面AC1D 平面ABD.
点评 : ①求直线l与平面的夹角的步骤 : ⅰ求出 () l的方向向量s, (ⅱ)求平面的法向量n, (ⅲ)求n与s的夹角, (ⅳ)

2
n,s .
②求两个平面α与β的夹角,只须求两个平面的法向量的夹角.
变式1:(2009·海南,宁夏)如图所示,已知点P在正方体
ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.
第四十五讲利用空间向量求角和距
离
走进高考第一关考点关
回归教材
1.直线间的夹角
(1)当两条直线l1与l 2共面时, 我们把两条直线交角中, 范围在 0, 内的角叫做两直线的夹角. 2 (2)当直线l1与l 2是异面直线时, 在直线l1上任取一点
A作AB / / l 2 , 我们把直线l1和直线AB的夹角叫做异面直线l1与l 2的夹角.
与此平面的夹角.如果一条直线与一个平面平行或在平面内, 我们规定这条直线与平面的夹角为0.如果一条直线与一个平

高三数学一轮复习第十三章第7讲空间中角与距离的计算课件理新人教A版

取 x1＝2，则 y1＝－1，z1＝2，z＝12.∴CM＝12.
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考点3 立体几何中的综合问题
例3：如图 13－7－5，S 是△ABC 所在平面(píngmiàn)外一点，AB＝BC ＝2a，∠ABC＝120°，且 SA⊥平面(píngmiàn) ABC，SA＝3a，求点 A 到平面SBC 的距离．
(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大
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【互动(hù dònɡ)探究】
2．(2011年江苏)如图13－7－4，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1
中，AA1＝2，AB＝1，点 N是 BC的中点，点 M 在 CC1上，设二面角 A1－DN－M 的大小(dàxiǎo)为θ.
与平面(píngmiàn)所成的角，其(范0°围，是9_0_°__) _________．斜线(xiéxiàn)与平面线所面成角的_______是这条斜线(xiéxiàn)和平面内经
直线所成的一切角中最___小的角． 3．二面角
从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角．从二
面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角
2．直线与平面所成的角
(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的
角等于__0_°__.
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(2)如果直线和平面(píngmiàn)垂直，则直线与平面(píngmiàn)9所0成°的角等
(3)平面(píngmiàn)的斜线与它在平面(píngmiàn)上的射影所成的锐角叫做
则 A(1,0,0)，B(0， 3，0)，C(－1， 3，0)，P(0,0,1)．则 AB＝(－1， 3，0)，PB＝(0， 3，－1)，BC ＝(－1,0,0)．