矩阵的正交分解与求矩阵全部特征值的QR方法
qr分解 正交标准化
qr分解正交标准化
QR分解是将一个矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积的过程。正交矩阵是指满足以下条件的矩阵：
1. 矩阵的每一列都是单位向量；
2. 矩阵的每一列两两正交，即任意两列的点积为零；
3. 矩阵的每一行也是单位向量；
4. 矩阵的每一行两两正交。
标准化指的是将向量除以其模的过程，使其成为单位向量。
QR分解的过程是将一个矩阵通过正交变换化为一个标准化的上三角矩阵和一个正交矩阵的乘积。这种分解可以方便地解线性方程组、计算矩阵的秩等。
数值分析QR方法求矩阵特征值和特征向量
四.实验代码: function [H,B]=Hessenberg(A) n=length(A);
B=eye(n);
for k=1:n-2
X=zeros(n-k,1);
H=eye(n);
for i=1:n-k
X(i)=A(i+k,k);
end
a=max(abs(X));
if a==0.0
break
end
X=X/a;c=X(1);
b1=sqrt(sum(X.^2));
if X(1)>=0
b1=-b1;
end
X(1)=X(1)-b1;
b=b1^2-b1*c;
H0=eye(n-k)-X*X'/b;
for i=1:n-k
for j=1:n-k
H(i+k,j+k)=H0(i,j);
end end
A=H*A*H;
B=B*H;end
H=A;
一.实验题目:
QR方法求矩阵的特征和特征向量
二.设计目的:
学会利用镜面变换进行矩阵的QR分解及利用将幂法求特征值和特征向量,熟悉Matlab编程环境。
三.设计原理:
利用镜像变换将A相似变换为Hessenberg B矩阵。记录变换矩阵。
运用Householder矩阵进行QR分解,QR方法为:
B1=B
B1=Q1R1
B2=R1Q1
..
.
.
Bm=QmRm
Bm+1=RmQm
Bm+1与Bm相似,从而特征值相等。
再利用原点位移的反幂法求B(或A)的特征向量。
反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量,也可用来
计算对应与一个给定近似特征值的特征向量。设A∈R n×n为非奇异矩阵,A 的特征值依次记为
|λ1|≥|λ2|≥|λ3|≥…≥|λn |,相应的特征向量为x1 ,x2,…,x n,则A-1的特征值为
矩阵QR分解的三种方法
Three M ethods of M a tr ix Q R D ecom position
L I J ian 2dong
( D epa rtm en t of M a them a tics, L vliang H igher College, L ish i 033000, Ch ina )
Abstract: The m ethods of matrix QR decompose Schm idt orthogonalization method, elementary transformation and Givens matrix transformation. Key words: QR decomposition; elementary transformation; Givens matrix transformation
0 1 0 7 0 0 =
ϖ
17 / 7
- 12 / 7
ϖ
ϖ
0 1 0 5 Π 35 0 1 Π7 0 0
1 0
0 1
1 0
8 /5 1
- 10 / 7 1 0 1 10 / 7 1 0
有B = 0 0
则B
- 1
= 0 0
因此 , 可得 :
1 Π7
Q = AB C
-1
- 3 Π 35
- 2 Π 15
用QR算法求矩阵的特征值
一、实验名称：用QR 算法求矩阵的特征值
二、实验目的：1、通过实验进一步熟悉掌握求矩阵特征值的QR 方法及原理。
2、理解QR 方法的计算流程。
3、能够编程实现QR 方法。
三、实验内容：给定矩阵 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=111132126A , ⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=0100098
20
087630
7654465432H ，采用QR 方法计算A 和H 矩阵的全部特征值。 四、实验要求：
（1） 根据QR 算法原理编写程序求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值（要求误差＜10
5
-）。
（2） 直接用MATLAB 的内部函数eig 求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值，并与（1）的结果比较。
五、QR 方法计算矩阵特征值的程序： function
[namda,time,data_na]=qr_tz(A,tol) if nargin==1; tol=1e-5; end wucha=1; time=0;
while (wucha>tol)&(time<500) [q,r]=qr(A); A1=r*q; tz0=diag(A1);
tz1=diag(A); wucha=norm(tz0-tz1); A=A1; time=time+1; data_na(time,:)=tz1; end namda=tz1; disp(‘特征值为’) namda
disp(‘第一个特征在值’) time
n1=length(data_na);
n2=(1:n1)’;
temp1=[n2,data_na]; subplot(2,2,1:2)
QR迭代法求矩阵特征值
2.3
用 豪 斯 荷尔 德 变 换 将A矩 阵化 为 上 海 森伯 格 矩 阵 AH
H = I − 2wwT
豪斯荷尔德矩阵 其中w是单位向量。所以H矩阵是正交、对称矩阵。
2
⫼QR䗁ҷ⊩∖ Aⱘ⡍ᕕؐ ˄Џᑣ˅
A ⶽ 䰉
⫼䈾ᮃ㥋ᇨᖋবᤶᇚAবЎϞ⍋ỂԃḐⶽ 䰉A H 䕧ߎ An ⱘᇍ 㾦ܗ ㋴ ЎA ⶽ䰉 ⱘ⡍ ᕕؐ
⫼ঢ়᭛ᮃবᤶᅲ ⦄AHⶽ䰉ⱘϔ QR䗁ҷ
Ϟ⍋Ểԃ Ḑⶽ䰉AH ᵘ䗴ঢ়᭛ᮃবᤶG(i,i+1)ᬍবAHⶽ䰉i㸠i+1㸠ⱘ ؐˈՓᕫAH i+1,i =0ˈㄝᬜഄᅲ⦄˖ A=QR.
N O i=1:n-1 YES
T T
ᕫࠄϞϝ㾦 ⶽ䰉R
ᣝ✻G(1,2) ,G(2,3) ĂĂG(n,n-1) ᴹձᬍবRⶽ䰉 ⱘi߫i+1߫ˈㄝᬜഄᅲ⦄˖ Anew=RQDŽ N O i=1:n-1 YES 㒧ᴳᴀᄤᑣˈ ᅲ⦄ձQR䗁 ҷᕫࠄAnew
Yes 䖒ࠄQR䗁ҷⱘ㊒ᑺ˛
No
ᕫࠄ ⒵䎇 ㊒ᑺ ⱘϞ ϝ㾦 ⶽ䰉 An
㒧 ᴳ ᑣ
⫼ঢ়᭛ᮃবᤶᅲ⦄ϔㄝᬜⱘQR䗁ҷˈ े˖ Ai =QiRi Ai+1=RiQi
图 1: 主程序(QR迭代法求矩阵特征值)算法 用豪斯荷尔德变换将A矩阵化为上海森伯格矩阵AH 是实现下述过程： A1 = H1 AH1 A2 = H2 A1 H2 ······ An−2 = Hn−2 An−3 Hn−2 其中H1 、H2 · · · · · · 满足: H1 a11 a21 a31 . . . an1 a11 a21 0 . . . 0
矩阵的qr分解例题
矩阵的qr分解例题
矩阵的 QR 分解是一种将矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积的方法。QR 分解在数值线性代数中有广泛的应用，例如求解线性方程组、特征值问题等。
以下是一个示例，展示如何进行矩阵的 QR 分解：
矩阵的 QR 分解是一种将矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积的方法。QR 分解在数值线性代数中有广泛的应用，例如求解线性方程组、特征值问题等。
QR 分解的过程可以通过 Gram-Schmidt 正交化过程来实现。下面是一个示例，展示如何进行矩阵的 QR 分解：
这就是矩阵的 QR 分解。请注意，QR 分解不是唯一的，不同的和可能会产生相同的乘积。
QR方法
2 3 2 3 1 3
2 3 1 3 2 3
思考： 如何将矩阵A化为上三角阵？
9 1 1 2 A 2 1 0 2 2 1
两种方法：1、用初等旋转阵
2、用初等反射阵
3.3 QR方法
一、矩阵的 QR 分解（正交三角分解） 1、Householder矩阵（镜面反射阵）
H1 A H1 (a1 , a2 ,, an )
( H1a1 , H1a2 ,, H1an )
c1 0 0
H1 I 2v vT , (vT v 1)
a a a
( 2)
12 ( 2) 22 ( 2) n2
1n ( 2) 2n ( 2) ann
QR 方法是求一般矩阵的全部特征值和
特征向量的一种迭代。 一、矩阵的 QR 分解（正交三角分解）
AQ R
Q ——正交矩阵 R——上三角矩阵
T T
1、Householder矩阵（镜面反射阵）
H I 2v v , (v v 1)
H H, H H I
T T
H为对称正交矩阵。
3.3 QR方法
cr sign (arr ) sr sr
(r ) T
Ar 1 H r Ar
线性代数中的QR分解算法
线性代数中的QR分解算法
线性代数中有一种常用的矩阵分解算法，那便是QR分解算法。QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。这个乘积就是QR分解。
在整个线性代数的应用中，QR分解是应用非常广泛的一个算法。在许多经典的线性代数问题解法中，QR分解都扮演着非常重
要的角色。比如正则化问题、求逆矩阵问题、线性最小二乘问题
等等。因而，熟练掌握QR分解算法对于线性代数的学习和应用
都是非常必要的。
QR分解的具体算法是怎样的呢？它是利用了Gram-Schmidt正
交化算法的思想，让矩阵A中的列向量互相正交化，生成一个正
交矩阵Q，而得到的同时还有一个上三角矩阵R。矩阵Q与矩阵
R的乘积就是原来的矩阵A。
首先将矩阵A中第一列标准化，也就是让它的2范数等于1。
然后将第二列减去其在第一列上的投影，从而得到一个新的向量。然后对这个新向量进行标准化，这样前两个向量就正交了。接下
来对剩下的列向量，它们分别减去在前面的所有向量上的投影，
再进行标准化。直到全部的列向量都被正交化。
这个算法可以在循环中完成，而由于每次在矩阵的一行上进行
操作，因而可以高效地实现。值得注意的是，由于除数中可能会
包含0或以防舍入误差，所以在实现的时候需要注意这些细节。
作为一个基本算法，QR分解在实际应用中有很多的变形和扩展。比如经济QR分解是在只需要矩阵的上三角部分的情况下进
行计算，从而实现时间和空间复杂度上的优化。以及对含有大量
零元素的矩阵进行优化等等。这些变形和扩展也是非常值得学习
和掌握的。
总之，QR分解算法是线性代数中一种非常基础也非常重要的
数值分析QR方法求矩阵特征值和特征向量
四.实验代码：
function [H,B]=Hessenberg(A) n=length(A);
B=eye(n);
for k=1:n-2
X=zeros(n-k,1);
H=eye(n);
for i=1:n-k
X(i)=A(i+k,k);
end
a=max(abs(X));
if a==0.0
break
end
X=X/a;c=X(1);
b1=sqrt(sum(X.^2));
if X(1)>=0
b1=-b1;
end
X(1)=X(1)-b1;
b=b1^2-b1*c;
H0=eye(n-k)-X*X'/b;
for i=1:n-k
for j=1:n-k
H(i+k,j+k)=H0(i,j);
end end
A=H*A*H;
B=B*H;end
H=A;
一.实验题目：
QR方法求矩阵的特征和特征向量
二.设计目的：
学会利用镜面变换进行矩阵的QR分解及利用将幂法求特征值和特征向量，熟悉Matlab编程环境。
三.设计原理：
利用镜像变换将A相似变换为Hessenberg B矩阵。记录变换矩阵。
运用Householder矩阵进行QR分解，QR方法为：
B1=B
B1=Q1R1
B2=R1Q1
..
.
.
Bm=QmRm
Bm+1=RmQm
Bm+1与Bm相似，从而特征值相等。
再利用原点位移的反幂法求B（或A）的特征向量。
反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量，也可用来
计算对应与一个给定近似特征值的特征向量。设A∈R n×n为非奇异矩阵，A的特征值依次记为
|λ1|≥|λ2|≥|λ3|≥…≥|λn|,相应的特征向量为x1 ,x2,…,x n,则A-1的特征值为
QR方法
QR方法
QR方法是求任意矩阵的全部特征值的一种有效方法，它是JACOBI方法的推广。
基本思想
利用矩阵的QR分解，通过逆序相乘产生对原矩阵的一系列正交相似变换，使其变
化为一个近似的上三角矩阵来求全部特征值。这里QR分解是指将矩阵化为一个正
交矩阵Q和一个上三角矩阵左乘的形式。
构造原理
实对称矩阵可用正交相似变换将其化为对角形矩阵，但对非对称矩阵，一般用正交相
似变换化不成对角矩阵，但SCHUR分解定理给我们一个有关这方面的结果。
定理3。（实SCHUR分解定理）设矩阵A∈R n*n，则存在一个正交矩阵Q∈R n*n，使
Q T AQ=
其中每个B ii是1*1或2*2的小矩阵，若B ii为1*1的，其元素就是A的实特征值，否则B ii的特征值是A一对共轭复特征值。
此定理的证明可参阅文献[3]。定理3指出了求矩阵A的全部特征值也可用正交相似变换的方法来做，正交相似变换的结果虽然不是对角矩阵，而是分块三角形矩阵，但它同样能很方便地求出全部特征值，有关一般矩阵的正交相似变换，我们不加证明地给出一个结论。
定理4。设非奇异矩阵A∈R n*n，且有n个不同的特征值，记A=A(1)。如果对整数k，有矩阵A(k)的
QR分解为A(k)=Q k R k，则令A(k+1)=Q T k A(k)Q k，当k→∞时有A(k)本质上收敛于分块上三角形矩阵，这里“本质上收敛”指A(k)的主对角线上的元素或子块有确定的极限，其它元素或子块不管是否有极限。
此定理给出了求解一般矩阵全部特征值的方法。由定理3，A(k+1)=(Q1Q2....Q k)T A(Q1Q2....Q k)，
矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)
矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)
以下是矩阵特征值求法的十种经典求法：
1. 幂法（Power Method）幂法（Power Method）
幂法是求解特征值的常用方法之一。它基于一个重要的数学原理：对于一个非零向量$x$，当它连续乘以矩阵$A$的$k$次幂后，$Ax$的方向将趋于特征向量相应的特征值。这种方法通常需要进行归一化，以防止向量过度增长。
2. 反幂法（Inverse Power Method）反幂法（Inverse Power Method）
反幂法是幂法的一种变体。它通过计算矩阵$A$的逆来求解最
小的特征值。使用反幂法时，我们需要对矩阵$A$进行LU分解，
以便更高效地求解线性方程组。
3. QR方法QR方法
QR方法是一种迭代方法，可以通过将矩阵$A$分解为$QR$形
式来逐步逼近特征值。这种方法是通过多次应用正交变换来实现的，
直到收敛为止。QR方法不仅可以求解特征值，还可以求解特征向量。
4. Jacobi方法Jacobi方法
Jacobi方法是一种迭代方法，通过施加正交相似变换将矩阵逐步变为对角矩阵。在每个迭代步骤中，Jacobi方法通过旋转矩阵的特定元素来逼近特征值。这种方法适用于对称矩阵。
5. Givens旋转法Givens旋转法
Givens旋转法是一种用于特征值求解的直接方法。它通过施加Givens旋转矩阵将矩阵逐步变为对角矩阵。这种方法是通过旋转矩阵的特定元素来实现的。
6. Householder变换法Householder变换法
Householder变换法是一种用于特征值求解的直接方法。它通过施加Householder变换将矩阵逐步变为Hessenberg形式，然后再进一步将其变为上三角形式。这种方法是通过对矩阵的列向量进行反射来实现的。
求矩阵特征值的方法
求矩阵特征值的方法
矩阵特征值是线性代数中一个非常重要的概念，对于矩阵的特征值和特征向量的求解是解线性代数问题和应用的关键之一。下面将从基本概念、性质、求解方法等方面全面介绍矩阵特征值的方法。
一、基本概念
矩阵特征值是指对于一个n阶矩阵A，存在常数λ，使得线性方程组(A-λI)x = 0有非零解x存在。其中，I是n阶单位矩阵。λ称为矩阵A的特征值，而满足(A-λI)x = 0的非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
二、性质
1. 矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值，但对应的特征向量不同。
2. 矩阵的特征值是与矩阵的倍数无关的。
3. n阶矩阵A的特征值个数不超过n个，包括相同特征值重数。即重特征值可以有多个线性无关的特征向量。
4. 矩阵的特征向量是线性无关的。
三、求解方法
1. 特征值的定义法
根据特征值的定义，我们将(A-λI)x = 0进行变换，得到(A-λI)x = 0，即(A-λI)x = 0。利用行列式的性质求解此方程，得到特征值λ的值，再带入方程组中求解特征向量。
2. 特征值的代数重数和几何重数
特征值λ是使(A-λI)x = 0有非零解的λ值，λ称为矩阵的代数重数。而对应特征值λ的解向量x称为矩阵的特征多项式的零空间，零空间的维数称为矩阵的几何重数。通常，代数重数大于等于几何重数。
3. 矩阵的特征向量
特征向量是矩阵A与特征值λ的关联，通过求解(A-λI)x = 0可以得到特征向量。特征向量是在特征值确定的情况下，通过解方程组取出的非零向量。
4. 特征值和特征向量的计算法
QR方法
QR方法
QR方法是求任意矩阵的全部特征值的一种有效方法，它是JACOBI方法的推广。
基本思想
利用矩阵的QR分解，通过逆序相乘产生对原矩阵的一系列正交相似变换，使其变
化为一个近似的上三角矩阵来求全部特征值。这里QR分解是指将矩阵化为一个正
交矩阵Q和一个上三角矩阵左乘的形式。
构造原理
实对称矩阵可用正交相似变换将其化为对角形矩阵，但对非对称矩阵，一般用正交相
似变换化不成对角矩阵，但SCHUR分解定理给我们一个有关这方面的结果。
定理3。（实SCHUR分解定理）设矩阵A∈R n*n，则存在一个正交矩阵Q∈R n*n，使
Q T AQ=
其中每个B ii是1*1或2*2的小矩阵，若B ii为1*1的，其元素就是A的实特征值，否则B ii的特征值是A一对共轭复特征值。
此定理的证明可参阅文献[3]。定理3指出了求矩阵A的全部特征值也可用正交相似变换的方法来做，正交相似变换的结果虽然不是对角矩阵，而是分块三角形矩阵，但它同样能很方便地求出全部特征值，有关一般矩阵的正交相似变换，我们不加证明地给出一个结论。
定理4。设非奇异矩阵A∈R n*n，且有n个不同的特征值，记A=A(1)。如果对整数k，有矩阵A(k)的
QR分解为A(k)=Q k R k，则令A(k+1)=Q T k A(k)Q k，当k→∞时有A(k)本质上收敛于分块上三角形矩阵，这里“本质上收敛”指A(k)的主对角线上的元素或子块有确定的极限，其它元素或子块不管是否有极限。
此定理给出了求解一般矩阵全部特征值的方法。由定理3，A(k+1)=(Q1Q2....Q k)T A(Q1Q2....Q k)，
特征向量 qr分解
特征向量 qr分解
特征向量是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的特征值密切相关。特征向量是矩阵在一维向量空间上的非零向量，当这个向量与矩阵相乘时，仅发生伸缩而不发生旋转。特征向量与特征值的计算是矩阵分析中较为复杂的问题之一。
特征向量的计算可以通过QR分解来实现。QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的过程。通过QR分解，一个矩阵可以表示为A = QR，其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。在QR分解中，我们可以使用Gram-Schmidt正交化过程来计算特征向量。
Gram-Schmidt正交化过程是一种通过线性组合的方式将线性无关的向量组转化为正交向量组的方法。假设我们有一个线性无关的向量组{v1, v2, ..., vn}，我们可以通过以下步骤进行正交化计算：
1.初始化：令v1' = v1，u1 = v1'/ ||v1'||，其中u1是单位向量。
2.递推：对于每一个向量vi，i > 1，计算：
vi' = vi - proj(u1, vi) - proj(u2, vi) - ... - proj(ui-1, vi)
ui = vi'/ ||vi'||
其中，proj(u, v)是向量v在向量u上的投影，可以通过内积计算。
3.循环：重复步骤2，直到所有的向量都被转化为正交向量。
通过Gram-Schmidt正交化过程，我们可以得到一组正交基{u1,
u2, ..., un}，可以使用这组正交基来表示原有的向量组。同时，这组正交基的长度并不一定相等，不同的向量可能有不同的模长。
求矩阵特征值方法
求矩阵特征值方法
求矩阵特征值的常见方法有以下几种：
1. 特征值分解：对于方阵A，特征值分解就是将其表示为特征向量的线性组合的形式，即A = PDP^-1，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，P是一个由A的特征向量组成的矩阵。特征向量分解可通过求解矩阵的特征方程来实现。
2. 幂迭代法：幂迭代法是一种迭代计算特征值的方法，通过不断迭代向量与矩阵的乘积来逼近特征向量，从而得到特征值。
3. Jacobi方法：Jacobi方法通过不断迭代将矩阵A化为对角矩阵，每次迭代都通过旋转操作使得矩阵A中非对角线元素逐渐趋近于0，最终得到对角矩阵。
4. QR算法：QR算法通过迭代将矩阵A转化为上三角矩阵，从而得到对角线上的特征值。
5. 奇异值分解：奇异值分解将矩阵A分解为A=UDV^T的形式，其中U和V 是正交矩阵，D是一个对角矩阵，对角线上的元素即为A的奇异值。
这些方法具有不同的适用范围和计算复杂度，选择合适的方法取决于矩阵的特点和计算需求。
矩阵分析与计算QR算法
法(4.12)． 把A的特征值{λi }按下面次序排列
λ1 − μ ≥ λ2 − μ ≥ " ≥ λn − μ (4.12)′
则Hk的第j个次对角元收敛速度决定于 如果μ十分接近λn，收敛将会很快．
λ j+1 − μ k . λj −μ
在极端的情况下,设μ为A的一个特征值，即(4.12)′
最右端为0，则QkT(Hk − μ I ) =Rk必为奇异阵，所以
4.4 QR算法
QR方法是求矩阵全部特征值的一种有效方法．一 般都先把A变换为Hessenberg形式，然后用基于QR 分解的QR迭代运算．在某些条件下，迭代产生的矩 阵序列趋于一种实Schur分解的形式．
4.4.1 QR算法的基本思想
从QR分解定理可知实矩阵A有 A = QR，其中Q为 正交阵，R为上三角阵．若规定R的主对角元为正数, 则分解有唯一性．如果令B = RQ，则有B =QTAQ， 说明B与A有相同的特征值．对B继续作QR分解，可
1D 对 i = 1,", n − 1,
(1) 确定 ci = cos θi 及 si = sin θi , 使
⎜⎛ ci ⎝ − si
si ci
⎠⎞⎟⎜⎜⎝⎛
hii hi +1,i
⎠⎞⎟⎟
=
⎜⎛ ⎝
∗ 0
⎟⎞ ⎠
(2) 对 j = i,",n,
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x
y x kW
H阵的作用：
定理 设两个不相等的n维向量x, y Rn , x y,
但 x y ,则存在householder阵
2
2
UU T
H I2 U 2
2
使Hx y，其中U x y。 W
x
x y
y
证：若设W U ，则有 W 1，因此
U
2
I
H 2
2
I 2WW T
0
1
0
1 0 0
H阵的性质： （1）非奇异 det(H ) 1
（2）对称正交 H HT HH T H 2 (I 2WW T )(I 2WW T ) I 4WW T 4WW TWW T I
H
1 2w12 2w2w1
L
2w1w2 1 2w22
L
L L L
2wnw1 2wnw2 L
第7章 矩阵特征值问题
k 1,2,3,
1. Householder变换与矩阵的正交分解
一、初等反射阵(Householder变换阵)
定义 设非零向量W Rn ,W (w1, w2 ,L , wn )T , 且满足条件 W 1,形如
2
H I 2WW T
的n阶方阵称为初等反射阵, 或称为Householder
Hk x ( x1, x2 ,L , xk1, k , 0,L , 0)T
推导：x ( x1 , x2 ,L , xn )T 0
y ( x1 ,L , xk1 , k , 0,L , 0)T
n
1
k sign( xk )( xi2 )2 ,
ik
sign(
xk
)
1 1
xk 0 xk 0
U (k ) x y (0,L , 0, xk k , xk1 ,L , xn )T
1
Hk I k
U (k ) (U (k ) )T
其中
k
1 U (k )TU (k ) 2
k ( k
xk )
特别，取k 1.
x ( x1, x2 ,L , xn )T Rn , x 0, 可构造H阵，
1
2 sign( x2 )( x22 x32 )2 5
U (2) (0, 2 x2 , x3 )T (0, 2 5,1)T
2 2 ( x2 2 ) 5 2 5
于是 H2 x ( x1 , 2 , 0)T (2, 5, 0)T
计算 H2 ,
H2
I
1
2
U (2) (U (2) )T
2w1wn 2w2wn
L
1
2wn2
（3）镜映射 几何意义
平面 方程 W T x 0 x
若 x , Hx (I 2WW T )x x 2WW T x x
若 y , Hy H( x kW ) x k(I 2WW T )W
x kW 2kWW TW x kW y
xT y yT x
1. Householder变换可以将给定的向量变为一个 与任一个ei Rn(i 1, 2,L , n)同方向的向量。
即：x ( x1, x2 ,L , xn )T Rn , x 0, 可构造H阵，
使Hx
y
iei
(0, ..., 0, i , 0,L
, 0)T Rn
有Hx y iei
其中
1 UTU 2
1 2
(
x12
... ( xi
i )2
L
xn2 )
1 2
(2xi i
2 i2
)
i ( xi
i
)
例 已知向量x (2, 0, 2,1)T , 试构造Householder阵, 使Hx Ke3 , 其中e3 (0, 0,1, 0)T R4 , K R。
使Hx y 1e1 (1 , 0,L , 0)T Rn
n
1
其中
1 sign( x1 ) x 2 sign( x1 )(
x
2 i
)
2
,
i 1
sign(x1 )
1 1
x1 0 x1 0
U (1) x 1e1 ( 1 x1 , x2 ,L , xn )T ,
可构造初等反射阵
(x y) x y 2
( xT
yT
I )
UU T 2 U2
2
Hx
x
2
( x2 y) x y 2
2
( xT yT )x
x2(x
来自百度文库
y)( xT x x y
2
yT x)
2
因为 x y 2 ( xT yT )( x y) 2( xT x yT x)
2
代入上式后即得到Hx y Q xT x yT y,
H I 1 UU T
1
0
1
0
0
15 10 0 10 5
2
0
5
14
2. 构造H阵,将向量x ( x1 ,L , xk , xk1 ,L , xn )T 的后面n k个分量约化为零(1 k n)。
即：任给定x ( x1, x2 ,L , xn )T 0, 构造Hk Rnn , 使
变换阵. H
1 2w12 2w2w1
L
2w1w2 1 2w22
L
L L L
2wnw1 2wnw2 L
2w1wn 2w2wn
L
1
2wn2
T
例：W
1 2
0
1 2
R3 ,||W ||2 1
1
H I 2WW T I 2
2 0 1
1 2
0
1 2
2
0 0 1
H1 I 2WW T
I
2
U1U1T U1 2
I
1
U1U1T
有H1 x y 1e1
其中
1
1 2
U1T U1
1 2
(( x1
1 )2
x22
...
xn2 )
1 2
(2 x11
2
2 1
)
1( x1
1)
例：已知向量x (2, 2,1)T , 试构造初等反射阵 使y Hx最后一个元素为零。
解 k 2,构造H2
n
1
其中 i sign( xi ) x 2 sign( xi )( xk2 )2 ,
k 1
1 sign( xi ) 1
xi 0 xi 0
U x y x iei ( x1,L , xi i ,L , xn )T ,
构造初等反射阵
H
I 2WW T
I
2
UU T U2
I
1 UU T
解 : 3 sign( x3 ) x 2 4 0 4 1 3,因x3 2 0,
故取K 3 3 于是y 3e3 Ke3 (0, 0, 3, 0)T ,
U x y (2, 0, 5,1)T , 3( 3 x3 ) 3(3 2) 15
1UTU 2
11 0 10 2
5 2 5
H2
5
1 2
5
0
0
0 (4 2 5) (2 5)