7、假设检验

第九章 假设检验
9.1
零假设和备择假设
STAT
9.1.1对研究性假设的检验（右侧检验）
如我们前面的案例就可以看成是一个研究性假设的例子。
研究性假设是：改进后的车型更节油，即平均油耗低于8.48升。 通常，研究性假设作为备择假设。 则上例中我们可建立如下的零假设( H )和备择假设( H )：
0

H 0 : 8 . 48 H : 8 . 48
1、建立零假设和备择假设 : 0 H0
H : 0
2、确定检验统计量，并计算其值
z x
x
, x

n
或 x
s n
3、根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表 得临界值
4、拒绝规则： / 2或 z z / 2 , 拒 绝 H 0。 z z
9.4.3 区间估计和假设检验的关系
STAT 因此，双侧假设检验的样本均值的非拒绝区域可以由下式
给出： 已 知 时
0 Z
2

n
（2）
0 Z 未知时 2 n 双侧假设检验的非拒绝域和置信区间之间的关系：
如 果 x在 式 （2 ） 中 所 定 义 的 非 拒 绝 区 域 之 内 ， 假 定 的 0 值 就 在 式 （ 1） 所 定 义 的 置 信 区 间 之 内 。 反 过 来 说 ， 如 果 假 定 0 值 就 在 式 （ 1） 所 定 义 的 置 信 区 间 之 内 ， 样 本 均 值 就 在 （ 2） 所 定 义 的 假 设 检 验 的 非 拒 绝 区 域 之 内 。
H0 : 2 H : 2
统计术语: H 0原假设
是关于总体参数的表述.
(是接受检验的假设)
原假设与备择假设是相互独立的,在任何情况下,只能有一个成立。
如果 接受 H 0 拒绝 H 0 拒绝 接受
H 备择假设
是当原假设被否定时另一种可成立的假设.
H H
例: 检验一批新进口薄钢板是否符合平均厚度5毫米.那么假设这批货(总 体)的平均厚度( )为5毫米,需检验。
二.什么是单侧检验？
如果只关心的问题不仅要检验样本平均数(或成数)与总体平均数(或成数)之间 有没有显著性差异,而且要追究是否发生预先指定方向的差异,不论其正差异(负 差异),都采用单侧检验。 1.左侧检验:只关心总体平均数(成数)是否低于预先的假设 例:电气公司采购人员采购大批电子元件,要求元件平均寿命达到1000小时,否则 不接受。 即: H 0 : x x 0 ; H 1 : x x 0 (H 0 : p p0 ; H 1 : p p 0)
[ 即: 0 是总体平均数的特定值.(5mm)] 也就是:被证实的原假设可记为 H 0 : 5 mm ( 总体平均厚度为5mm) 备择假设 H : 5 mm (平均厚度=5mm)
STAT
建立零假设和备择假设总结：
设 0表示在零假设和备择假设中考虑的某一特定数值。一般来
说，对总体均值的假设检验采取下面的三种形式之一：
为：
STAT
在大样本的情况下，给定置信水平 1 的总体均值的置信区间
已 知 时
x Z
2

n
（1）
未知时
x Z
2
s n
进行假设检验时，首先需要对总体的参数作出假定： 双侧检验
H 0 : 0 H : 0
根 据 拒 绝 规 则 ， 可 知 不 能 拒 绝 H 0的 区 域 包 括 位 于 0的 -z /2 和 z /2 个 标 准 差 之 间 的 所 有 样 本 均 值 。
z
x
x

x s/ n

278.5 280 12 / 36
0.75
根据给定的显著性水平 0.05, 可 查 表 得 z / 2 1.96
z / 2 z z / 2 , 落 入 接 受 域 ， 不 能 拒 绝 零 假 设 。
STAT
归纳：在大样本情况下，双侧检验的一般步骤：
H : 0
2、确定检验统计量，并计算其值
z x
x
, x

n
或 x
s n
3、根据事先确定的显著性水平，查标准正态分布表 得临界值 z z , 拒 绝 H 0。 4、拒绝规则：
STAT
例：某市的一家公司生产一种新型的轮胎，这种新型轮胎的设计
规格是平均行驶里程至少为28000英里。随机抽取了30只轮胎作为
9.2
第一类和第二类错误
STAT
第一类错误： 拒绝正确的原假设，简称“拒真”； 第二类错误 ：接受错误的原假设，简称“纳伪” 如下所示： 总体情况 接受H0 拒绝H0 H0正确 正确结论 第一类错误 H0错误 第二类错误 正确结论
结论
我们把两类错误发生的概率表示如下： α——第一类错误发生的概率； β——第二类错误发生的概率；
H : 280
在大样本的情况下，仍然选择统计量Z,
z
x
x

x s/ n
和单侧检验不同的是，此时的拒绝域分布在正态曲线的两侧， 对应的概率均为

2
。查表时应该查 对应的临界值 z / 2
2
STAT 上例中，依据表中资料可计算得，
x 278.5, s 12
则统计量的值为
总体平均厚度不等于5mm H 1 : 0 (左侧检验) H 1 : 0 (右侧检验)
H1: 0
(一).什么是双侧检验？ 1.只关心样本平均数与总体平均数,或样本成数与总体成数有没有显著性 的差异,不问其差异的方向是正差或负差时,采用双侧检验。 2.例:检验某零件生产是否正常,只关心零件口径尺寸是否符合标准长度, 不向其口径长度超出公差范围是正差或负差,都拒绝原假设成立。 3.又例:灯泡厂生产灯泡,灯丝的平均寿命过长或过短都不好。故当样本平 均寿命高于或低于总体平均寿命过多都拒绝原假设。 4.双侧检验的原假设采用等号形式,备择假设采用不等号形式.
H 0 : 28000 H : 28000
STAT 2、确定检验统计量，并计算其值
z
x
x

x s/ n

27500 28000 1000 / 30
2.74
3、 0.05, z 1.645 4、 z 2.74 z 1.645, 拒 绝 H 0。
H 0 : 0 左侧检验 H : 0
H 0 : 0 右侧检验 H : 0
H 0 : 0 双侧检验 H : 0
对总体平均数的假设就有了3种情况:
双边 检验 单边 检验 (1) H 0 : 0 ; 总体平均厚度等于5mm (2) H 0 : 0 ; (3) H 0 : 0 ;
STAT
在实践中，我们通常确定允许犯第一类错误的概率的 最大值，将其称为显著性水平。 可以选择α=0.05或α= 0.01。
9.3.1 单个总体均值的单侧假设检验
STAT
总结
在大样本情况下，无论总体标准差已知或未知，样本
均值总是服从正态分布，则可归纳左侧检验的一般步骤：
1、建立零假设和备择假设 H 0 : 0
9.1.2对陈述正确性的检验（左侧检验）
STAT
例：某饮料生产商声称他们生产的两升罐装饮料平均至少有
67.6盎司中的饮料。为了检验该生产商的陈述，我们将抽取一
个两升灌装饮料的样本，然后对其中所装应料的重量进行测量。 该问题即属于对陈述正确性的检验，一般的，我们都先假定 生产商的陈述属正确的。 则上例中我们可建立如下的零假设和备择假设：
H 0 : 67.6 H : 67.6
STAT
9.1.3对决策情况下的检验（对策检验）
不管接受零假设还是接受备择假设，都须作出决策。
例：根据从刚刚收到的货物中所抽取的零件的样本，质量控 制检验员就必须做出决策：是接受这批货物还是因为其不符合 规格而向供应商退回这批货物。假定零件的平均长度是2英寸。 则上例中我们可建立如下的零假设和备择假设：
H
0
: x x0
;
H 1 : x x0
H 0 : p P ; H 1 p P0 5.在双侧检验时,将给定的显著性水平 按对称分布原理平均分配到左右两方, 每方各为 2 ,查正态分布表或t分布表,可得下临界值 t 和上临界值 2
2
t
如计算出来的统计量t小于(或等于)下临界值(或上临界值)。都拒绝原假设。
H0:x x
;Байду номын сангаас
H 1 : x x0
(H 0 : p p0
H 1 : p p 0)
(原假设:赞成该项法规的比例 60%) (备择假设:赞成该法规的比例 60%) 右侧检验也相应有右侧临界值 t ,由于右侧检验的临界值拒绝区域也是单 侧的要求,如果单侧的概率要求为 ,则双侧的概率应为 2 ,并按F(t)=1-2 的 要求查概率表求得上临界值 t ,如果计算的统计量 t t ,则拒绝原假设;反 之 t t ,则接受原假设。
否则，拒绝 H 0
STAT 例：仍然采用前述关于高尔夫球的双侧检验的例子：
H 0 : 280 H : 280
根据样本数据我们已经计算得到：x 278.5, s 12 对于给定的置信水平 1 95%, Z 1.96
2
可以得到总体均值的95%的置信区间为：
s
STAT 由此得到由置信区间方法到假设检验的运算过程：
假设的形式：
H 0 : 0 H : 0
（1）从总体中抽取一个简单随即样本构建总体均值的置信区间：