高中数学百大经典例题——复数乘除(新课标)

高中数学百大经典例题——复数乘除（新课标）
例1计算2000
)11(
i
i +-。

解法1：原式.1)(]22[])1)(1()1([
20002000
20002=-=-=-+-=i i i i i 解法2：原式.1)
2()2()1()1(1000
1000
20002000=-=+-=i i i i 小结：一定要熟记i i 2)1(2
=+，i i 2)1(2
-=-，
i i i =-+11，i i
i
-=+-11等。

例2 复数5
4
)
31()22(i i -+等于（ ） A ．i 31+
B ．i 31+-
C ．i 31-
D ．i 31--
分析：)1(222i i +=+可利用i i 2)1(2
=+
i 31-与i 2
321±-
形式非常接近，可考虑ω，利用ω的性质去简化计算． 解：5
54
45
4
)
2
321(2)1(2)
31()22(i i i i +--+=-+
6
2)2
321()23
21()2(21i i i +-+--= .31)2
321)(4(21i i +-=+--⋅-= ∴ 应选B ．
注意：要记住1的立方根，1，i 2321+-，i 2
3
21--，以及它们的性质，对解答有关问题非常有益．
例３ 求
)
21)(13)(3()1)(34(2i i i i i +-+-+-
分析1：可将复数式进行乘、除运算化为最简形式，才取模．
解法1：原式5
4)
21)(71(2)21(4)
71(2⨯-+-=
++-=
i i i i i i
i i i 20
2
13202920)913(2+-=+=
22)20213()2029(+-=22
220
338
2016+= 400500=
2
5= 分析2：积或商的模可利用模的性质n z z ⋅1n z z z ⋅⋅⋅= 21，2
121
z z z z =
（02≠z ）进行运算．
解法2：原式i
i i i i i 21331342+-⋅+-⋅+-⋅=
2
2
2
2
2222
1)1()3(1)3()1(13)4(2+⋅-+⋅+-+⋅+-⋅=
25
5
44252=⋅⋅⋅⋅=
小结：比较解法1和解法2，可以看到后一种解法好．解此类问题应选用后种解法．
例4 已知
1
-z z
是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹． 分析：利用Z 为纯虚数0=+⇔Z Z 来解． 解法2：∵
1
-z z
是纯虚数， ∴
0)1(1=-+-z z z z （且0≠z ，1≠z ） ∴
01
1-z z =-+z z ， ∴ 0)1()1(=-+-z z z z
z z z +=2
2
设yi x z +=（R y x ∈,）
则x y x =+2
2（0≠y ） ∴ y 的对应点的轨迹以（
21，0）为圆心，2
1
为半径的圆，并去掉点（0，0）和点（1，0）． 例５ 设z 为复数，{
}
2
2
1)1(-=-=z z z M ，那么（ ） A ．=M {纯虚数} B ．=M {实数}
C ．{实数}⊂⊂M {复数}
D ．=M {虚数}
解：∵ 2
2
1)1(-=-z z ，即)1)(1()1(2--=-z z z ，
∴ 0))(1(=--z z z ，故1=z ，或.z z = 所以z 为实数． ∴ 应选B ．
小结：在复数集中，要证复数z 为实数，只须证.z z =我们有如下结论．复数z 为实数的充要条件是.z z =
例６ 若i z z z f 32)(-+=，i i z f 36)(-=+，试求).(z f - 解：∵ i z z z f 32)(-+=，
∴ i i z i z i i z i z i z f 3223)()(2)(--++=-+++=+ .22i z z -+= 又知i i z f 36)(-=+， ∴ i i z z 3622-=-+
设bi a z +=（R b a ∈,），则bi a z -=， ∴ i bi a bi a -=++-6)()(2 即i bi a -=-63， 由复数相等定义⎩⎨⎧-=-=1
6
3b a 解得.1,2==b a
∴ i z +=2
故i i i i i f z f 463)2()2(2)2()(--=-+-+--=--=-
小结：下面这些共轭复数运算式，对于解答有关共轭复数问题十分重要，应掌握好． 设yi x z +=（R y x ∈,）的共轭复数为z ，则：
x z z 2=+；yi z z 2=-；
z z =；2
2
z z z ==；2121z z z z ±=±； 2121z z z z ⋅=；)()(
2
121z z
z z =（02≠z ）
；n n z z )(=（N n ∈） 例７ （1）已知1z ，C z ∈2，求证：2
2212
2
12
2122z z z z z z +=-++
（2）已知1z ，C z ∈2，且2121z z z z -=- 求证：1z ，2z 中至少有一个是1． 证明：（1）2
212
21z z z z -++
)()()()(21212121z z z z z z z z --+++=
)()(2221211122212111z z z z z z z z z z z z z z z z +-⋅-++++= 2
22
1221122)(2z z z z z z +=+= ∴ 2
2212
2
12
2
122z z z z z z +=-++
（2）∵ 2121z z z z -=-，∴2
212
211z z z z -=-
)1)(1())((21212121z z z z z z z z --=--
2
2212121222121111z z z z z z z z z z z z z z +--=+--
即2
22
12
22
11z z z z ⋅+=+ 变形为 0)1)(1(2
22
1=--z z ，
121=z 或12
2=z ，可得11=z ，或12=z ，
∴1z ，2z 中至少有一个是1． 小结：掌握好模的性质 （1）z z =
（2）2121z z z z ⋅=⋅，2
121z z z z =，n
n z z = （3）z z z ⋅=2
（4）222121z z z z z z +≤±≤- 对解题大有裨益．。