2015—2016学年度第一学期二年数学竞赛
2015全国初中数学联赛初二试题
（初二年级）
第二试（A）
（3月22日上午9﹕50——11﹕20）
考生注意：本试共三个大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分.
一、（本题满分20分）
求所有的两位数 ，使得 的末两位数字构成的数恰好为 .
二、（本题满分25分）
在四边形 中， ， ， ＝ ，求 .
2015年全国初中数学联合竞赛试题
（初二年级）
第一试（A）
（3月22日上午8﹕30——9﹕30）
考生注意：1.本试两个大题共10个小题，全卷满分70分.
2.用圆珠笔或钢笔作答.
3.解题书写不要超出装订线.
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每题均给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1．若 ，则 （）
A.3 B. 4 C. 5 D. 6
2．设实数 满足： ， ，则
（）
A.9 B. 6 C. 3 D. 0
3．锐角△ 中， 边的中垂线和 的角平分线相交于点 ．若 ， ，则 ＝（ ）
A．24°B．28°C．30°D．36°
4．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为（）
A．11 B．12 C．17 D．18
三、（本题满分25分）已知 为实数，对任何满足 的实数 ，都有 成立，则 的最大值为．
3．设 是小于100的正整数且使 是6的倍数，则符合条件的所有正整数 的和是．
4．将数字1，2，3，……，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为．
2015年全国初中数学联赛初二年级试题答案
）
A.9. 【答】A.
B.6.
C.3.
D.0.
∵ a b c 3， a b c 4 ，
2 2 2
∴
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 4 c 2 4 a 2 4 b2 (2 c) (2 a) (2 b) 2c 2a 2b 2c 2a 2b
第一试(A)
一、选择题： （本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 若 x2 y 2 2 z 2 xy 2 yz 2 x 2 0 ，则 x y z A.3. 【答】C.
2 2 2
（
）
B.4.
C.5.
2 2
D.6.
2
∵ x y 2 z xy 2 yz 2 x 2 0 ，∴ 2 x 2 y 4 z 2 xy 4 yz 4 x 4 0 ， ∴ ( x 2 xy y ) ( x 4 x 4) ( y 4 yz 4 z ) 0 ，
2 2 2 2 2
∴ ( x y) ( x 2) ( y 2 z) 0 ，∴ x y 2 ， z 1 ，∴ x y z 5.
2 2 2
2. 设实数 a, b, c 满足： a b c 3 ， a b c 4 ，则
2 2 2
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 （ 2c 2a 2b
∵ 2n 3n 2 是 6 的倍数，∴ m 1 是 3 的倍数，∴ m 3k 1 或 m 3k 2 ，其中 k 是非负整数.
2 2
∴ n 2(3k 1) 6k 2 或 n 2(3k 2) 6k 4 ，其中 k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数 n 的和是（2＋8＋14＋…＋86＋92＋98）＋（4＋10＋16＋…＋82＋88＋94） ＝1634. 4.将数字 1，2，3，……，34，35，36 填在 6×6 的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从 左到右是从小到大的顺序，则第三列所填 6 个数字的和的最小值为______. 【答】63. 设第三列所填 6 个数字按从小到大的顺序排列后依次为 A , B , C , D , E , F . 因为 A 所在行前面需要填两个比 A 小的数字， 所以 A 不小于 3； 因为 B 所在行前面需要填两个比 B 小 的数字，且 A 及 A 所在行前面两个数字都比 B 小，所以 B 不小于 6. 同理可知： C 不小于 9, D 不小于 12, E 不小于 15, F 不小于 18. 因此，第三列所填 6 个数字之和 A ＋ B ＋ C ＋ D ＋ E + F 3 6 9 12 15 18 63 . 如图即为使得第三列所填 6 个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）. 1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14 17 3 6 9 12 15 18 19 25 22 26 31 32 20 27 23 28 34 33 21 29 24 30 35 36 第 3 页（共 6 页）
2015年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案
2015年全国初中数学联合竞赛试题第一试（A ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c ac a b +++++=---（ ） A. 0B. 3C. 6D. 92．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（ ）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（ ） A． B ．15 CD．4．已知O 为䝐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的瀹B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（ ） A ．12B．2 C ．1 D ．25．已知实数x （y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值为（ ）A．3-B．6-C ．1 D．6+6．设n 是小于100的正整数且使2535n n +-是15的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（ ） A ．285 B ．350 C ．540 D ．635 二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为 . 8．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形 的概率为 .9．已知锐角△ABC 的外心为O ，AO 交BC 于D ，E 、F 分别为△ABD 、 △ACD 的外心，若AB ＞AC ，EF ＝BC ，则∠C －∠B ＝ .10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为 .第一试（B ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（ ）A. 12B. 9C. 6D. 32．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（ ）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（ ） A． B ．15CD．4．已知实数x ，y 满足关系式223x xy y ++=，则2()x y -的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．125．已知O 为坐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的点B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上，且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（ ） A ．12BC ．1D ．26．设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（ ） A ．784B ．850C ．1536D ．1634二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为 . 8．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 .9．C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上，AD 平分∠BAC ，AB ＝20， AD＝AC 的长为 .10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a ，b ，c ，d ，e ，使得ab ＋bc ＋cd ＋de ＋ea最小，则这个最小值为 .ABCD EF第二试（A ）1．（20分）关于xx 有且仅有一个实数根，求实数m 的取值范围. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . （1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ； （2）如果BF DF CDBD AC-=，证明：MN ＝MD .3．（25分）设正整数m ，n 满足：关于x 的方程()()x m x n x m n ++=++至少有一个正整数解，证明：222()5m n mn +<.第二试（B ）1．（20分）若正数a ，b 满足ab ＝1，求11112M a b=+++的最小值. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC ＝BD . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . （1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ；（2）如果MN ＝MD ，证明：BF ＝CD ＋DF .3．（25分）若关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k 的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试（A ）1. 解：D. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ，∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠===. 5. 解：B. 提示：设x y t +=，则由题设条件可知11xy x y t =++=+， ∴x ，y 是关于m 的一元二次方程210m tm t -++=的两个实数根， 于是有：24(1)0t t ∆=-+≥，解得2t ≥+2t ≤-又∵22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--，∴当2t =-1x y ==22x y +取得最小值，最小值为2(21)36--=-6. 解：D. 提示：∵2535n n +-是15的倍数， ∴25|(535)n n +-，∴5|3n ，∴5|n . 设5n m =（m 是正整数），则2222535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-.∵2535n n +-是15的倍数，∴21m -是3的倍数，∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+，其中k 是非负整数.∴符合条件的所有正整数n 的和是(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=. 7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：112. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长，∴所求概率为112. 9. 解：60°. 提示：作EM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BC 于点N ，FP ⊥EM 于点P . ∵E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心， ∴M 、N 分别为BD 、CD 的中点.又EF ＝BC ，∴PF ＝MN ＝12BC ＝12EF ，∴∠PEF ＝30°.又EF ⊥AD ，EM ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠PEF ＝30°. 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋12(180°－2∠C )＝90°＋∠B －∠C ，∴∠C －∠B ＝90°－∠ADC ＝60°.10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .∵A 所在行前面需要填两个比A 小的数字，∴A 不小于3； ∵B 所在行前面需要填两个比B 小的数字，且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小，∴B 不小于6.同理可知：C 不小于9，D 不小于12，E 不小于15，F 不小于18.因此，第三列所填6个数字之和A ＋B ＋C ＋D ＋E ＋F ≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63.如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）.ABCD E F G第一试（B ）1. 解：B. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ，∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：D. 提示：设x y t -=，则x y t =+，代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=，整理得223330y ty t ++-=. 由判别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥得t -≤22()12x y t -=≤. 5. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠===. 6. 解：D. 提示：∵2232n n --是6的倍数， ∴22|(232)n n --，∴2|3n ，∴2|n .设2n m =（m 是正整数），则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-. ∵2232n n --是6的倍数，∴21m -是3的倍数，∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=.7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：12. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11， 满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12. 9. 解：4. 提示：连接OD 、OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F .∵AD 平分∠BAC ，∴∠DOB ＝2∠BAD ＝∠OAC .又OA ＝OD ，∴△AOF ≌△ODE ，∴OE ＝AF ，∴AC ＝2OF ＝2OE .设AC ＝2x ，则OE ＝AF ＝x . 在Rt △ODE中，由勾股定理得DE ==在Rt △ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2，即222(100)(10)x x =-++，解得x ＝2.∴AC ＝2x ＝4.10. 解：37. 提示：和为15的五个互不相等的正整数只能是1，2，3，4，5.注意到五个数在圆周上是按序摆放的，且考虑的是和式ab bc cd de ea ++++，不妨设a ＝5.如果1和5的位置不相邻，不妨设c ＝1（如图2），此时的和式为155P b b d ed e =++++； 交换1和b 的位置后，得到如图3的摆法， 此时的和式为255P b bd ed e =++++.∵1255(5)(1)0P P b d bdd b -=+--=-->，∴12P P >.因此，交换1和b 的位置使得1和5相邻（如图3）以后，和式的值会变小. 如图3，如果d ＝2，此时的和式为35225P b b e e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图4的摆法，此时的和式为45210P b be e =++++. ∵342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->，∴34P P >. 因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b ＝2，此时的和式为55225P d ed e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图5的摆法，此时的和式为65210P e ed d =++++. ∵5625104(2)0P P e e e -=+--=->，∴56P P >.因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知：1和2摆在5的两边（如图5）时，和式的值会变小.AB CD E F Gd d d de 图1 图2 图3 图4 图5当d ＝3，e ＝4时，和式的值为754126103P =++++=； 当d ＝4，e ＝3时，和式的值为853*******P =++++=. 因此，所求最小值为37.第二试（A ）1. 解：将所给方程记为方程①，显然有2x m ≥且1x ≥.若0m <x ，此时方程①无解，不符合题意，故0m ≥.方程①变形得x两边平方后整理得2242x m +-=- 再平方，整理得228(2)(4)m x m -=-.显然，应该有02m ≤<，并且此时方程①只可能有解x =将x =1=-，化简整理得，于是有403m ≤≤，此时方程①有唯一解x =.综上所述，所求实数m 的取值范围为403m ≤≤. 2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD . 又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ，∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α，∠NDM ＝90°－α. 在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则BQ ＝BF －FQ ＝BF －FD .又BF DF CD BD AC -=，∴BQ CD BD AC=. 又∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DBC ，∴QD ∥BC ，∴∠FQD ＝∠ABC . 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝90°－α. 又FQ ＝FD ，∴∠BFD ＝2α.∵FN 平分∠BFD ，∴∠AFM ＝α，∴∠NMD ＝∠AMF ＝∠BAD －∠AFM ＝3α－α＝2α， ∴∠MND ＝180°－∠NMD －∠NDM ＝90°－α＝∠MDN ，∴MN ＝MD .3. 证明：方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--= ①，方程①的判别式222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.不妨设m n ≥，由题设可知，整系数方程①至少有一个正整数解，∴∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+，22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+，若4880m n -+>，即22m n >-，则2(3)m n ∆<-+，从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+，故只可能2(2)m n ∆<-+， 即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+，整理得332m n =-， 这与m ，n 均为正整数矛盾.因此22m n ≤-，从而可得2m n <，∴2mn<. 又∵112m n >>，∴有1()(2)02m m n n --<，整理即得222()5m n mn +<.第二试（B ）1. 解：∵1ab =，∴1b a=， ∴2111111211211211212321a aM a b a a a a a a a a =+=+=+=+-=-++++++++++. 设232a a N a++=，则22333N a a =++=+++当a .∴103N <≤=-111(32M N=-≥--=.因此，当a =2b =时，11112M a b=+++取得最小值2. 2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ， ∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC . （2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α. ∵AC ⊥BD ，∴∠NDM ＝90°－α.∵MN ＝MD ，∴∠MND ＝∠MDN ＝90°－α， ∴∠NMD ＝180°－∠MND －∠NDM ＝2α，∴∠AMF ＝2α， ∴∠AFM ＝∠BAD －∠AMF ＝3α－2α＝α.FN 平分∠BFD ，∴∠BFD ＝2∠AFM ＝2α.在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则∠FQD ＝90°－α. 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝∠ABC ， ∴QD ∥BC ，∴∠QDB ＝∠DBC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵DB ＝AC ，∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴BQ ＝CD ， ∴BF ＝BQ ＋FQ ＝CD ＋DF .3. 解：设方程的两个根为x 1，x 2，且x 1为正整数， 则1234x x +=，12341x x k =-.由1234x x +=知2134x x =-，∴ x 2也是整数.由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >，∴x 2是正整数. 注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+， ∴1217|(1)(1)x x ++，∴117|(1)x +或217|(1)x +.若117|(1)x +，则由112134x x x +≤+=知：1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时，116x =，218x =，此时3411618k -=⨯，k 无整数解； 当1134x +=时，133x =，21x =，此时341331k -=⨯，解得k ＝1. 若217|(1)x +，同样可得k ＝1. ∴满足条件的正整数k ＝1.。
2016初二联赛试题与参考答案
。 ab 【答案】32. 1 1 2 4 8 16 。 2 4 8 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x16 ∴ a 16, b 16, a b 32 。 8．若实数 a, b 满足 2a 2 | b | 1 ，则 a 2 2 | b | 的取值范围为 【答案】 2 a 2 2 | b |
∴ n 14 或 7 或 2 或 5。
第二试（C）
一、（本题满分 20 分） 三只蚂蚁同时从点 A 出发，沿三角形道路 A B C A 爬行，已知第一只蚂蚁在
AB, BC , CA 上爬行速度分别为 12 厘米/秒，10 厘米/秒，15 厘米/秒；第二只蚂蚁在此三
段道路上的速度分别为 15 厘米/秒，15 厘米/秒，10 厘米/秒；第三只蚂蚁在此三段上的 速度分别为 10 厘米/秒，20 厘米/秒，12 厘米/秒。若三只蚂蚁同时回到 A 点，求 ABC 的 值。 解：记 AB c, BC a, CA b ， 则
由 2 x 2 y a ，可知 a 必为偶数， 又 1
22 为整数，所以 a 0, 4, 24, 20 。 a2
故选 C。 （ ）
2．定义运算 a b A.720 C.240 【答案】B。 代入求值的结果。
a ( a 1)( a 2) ( a b 2)( a 2 1
2016 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
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1 ∵ BE 平分 ABC ， ∴ ABE EBC ABC 29.5 。 2
又 BD BD, 故 ABD GBD 。……………………………………（10）
BAC 180 ABC ACB 180 59 30.5 90.5 ,
2016年全国初中数学联合竞赛(初二年级组)四川组试题参考答案
D. 3 ．
【答】A. ∵t
1 2 3 ，而 3 2 3 4 ，∴ a t 3 3 1 . 2 3
又∵ t 2 3 ，而 4 2 3 3 ，∴ b t (4) 2 3 . ∴
1 1 1 1 2 3 3 1 1 . 2b a 2(2 3) 2 2 2 3 1
1 1 k 1 1 1 1 ，故 1 2 2 k (k 1) k k 1 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 3 3 4 n (n 1)2
所以 1
Sn 1
1 1 ( ∠ BPC ∠ A ) ＝ (120 70) 95 . 2 2 S 1 1 1 1 1 1 ，则 2016 ＝ 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 3 n (n 1) 2016
B. （ ）
2016 ． 2017
2017 ． 2016
2016 年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题， 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在 评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
1 A E ( A B 2
A)D 1 3， . 5BE AB AE 1.5 ，所以
2 2 2
AE 13.5 9. BE 1.5
2．已知整数 a, b, c 满足不等式 a 2b c 211 ab 28b 20c ，则 a b c ＝_______． 【答】 2 . 因 为 整 数 a, b, c 满 足 不 等 式 a 2b c 211 ab 28b 20c ， 所 以 a 2b c 212
第二届数学竞赛试题题库
第二届数学竞赛试题题库第二届数学竞赛试题题库涵盖了从基础到高级的数学问题，旨在挑战学生的逻辑思维和解决问题的能力。
以下是一些精选的试题，适合不同水平的参赛者。
一、基础题1. 计算下列各题的结果：- \( 3 + 5 \)- \( 12 - 7 \)- \( 9 \times 4 \)- \( 8 \div 2 \)2. 一个长方形的长是 10 厘米，宽是 5 厘米，求它的周长和面积。
3. 一个数的 3 倍加上 4 等于 19，求这个数。
二、中等难度题4. 一个圆的半径是 7 厘米，求它的周长和面积。
5. 一个班级有 40 名学生，其中 1/3 喜欢数学，1/4 喜欢英语，剩下的学生喜欢科学。
求喜欢科学的学生人数。
6. 一个数列的前三项是 2, 5, 11，如果这个数列是等差数列，求第四项。
三、高级难度题7. 证明：对于任意的正整数 \( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
8. 一个立方体的体积是 \( 27 \) 立方厘米，求它的表面积。
9. 一个方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 有实数解的条件是什么？给出证明。
四、应用题10. 一个农场主有 100 英亩的土地，他想种植小麦和玉米。
如果小麦每英亩的利润是 200 美元，玉米每英亩的利润是 150 美元，他希望从种植这两种作物中获得至少 15000 美元的利润。
如果他想种植至少40 英亩的小麦，他应该种植多少英亩的小麦和玉米？11. 一家电影院有 500 个座位，如果票价是 10 美元，总收入是4500 美元。
求售出的票数和未售出的票数。
12. 一个工厂生产两种类型的机器，A 型机器的生产成本是 300 美元，售价是 450 美元；B 型机器的生产成本是 600 美元，售价是 900 美元。
如果工厂希望获得至少 90000 美元的利润，并且生产 A 型机器的数量至少是 B 型机器的两倍，工厂应该生产多少 A 型和 B 型机器？结束语第二届数学竞赛试题题库为参赛者提供了广泛的数学问题，旨在激发他们的兴趣和热情。
13.2015-2016第2学期初2年级数学期末考试题-东城
东城区2015--2016学年第二学期期末统一检测初二数学 2016.7本试卷共6 页，共100分。
考试时长100分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是A.1，2，3B. 2，3，4C. 1，2，3D.4，5，62．某地需要开辟一条隧道，隧道AB 的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C ，使点C 均可直接到达A ，B 两点，测量找到AC 和BC 的中点D ，E ，测得DE 的长为1100m ，则隧道AB 的长度为A ．3300mB ．2200mC ．1100mD ．550m3．平行四边形ABCD 中，有两个内角的比为1：2，则这个平行四边形中较小的内角是A. 45B. 60C. 90D. 1204.在 “我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的A. 中位数B. 众数C.平均数D. 方差5. 一次函数112y x =-+的图像不经过的象限是A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根为A ．2B ．3C ．4D ．87．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是A. 36B. 30C. 24D. 208．若关于x 的一元二次方程2(5)410a x x ---=(a －5)有实数根，则a 的取值范围是A．1a≥ B．5a≠ C．a＞1且5a≠ D．1a≥且5a≠9．如图，函数2y x=和4y ax=+的图象相交于点A（m，3），则不等式24x ax≥+的解集为A．32x≥B．3x≤ C．32x≤D．3x≥10．如图，两个大小不同的正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x，两个正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是A B C D二、填空题：（本题共24分，每小题3分）11．写出一个图象经过一，三象限的正比例函数(0)y kx k=≠的解析式．12. 甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是（填“甲”或“乙”）图③图②图①13．方程220x x-=的根是．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=6cm，则EF= cm．15．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为．（第16题）(第17题)16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．17．如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB=8，(第15题且⊿ABF 的面积为24，则EC 的长为 .18.在数学课上，老师提出如下问题：如图，将锐角三角形纸片ABC(BC ＞AC)经过两次折叠，得到边AB ，BC ，CA 上的点D,E,F ．使得四边形DECF 恰好为菱形．小明的折叠方法如下：老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠得到菱形的依据是_________________________．三、解方程：（本题共8分，每小题4分）19．223+10x x -=20. 0182=+-x x .（用配方法）四、解答题：（本题共18分，21-22每小题4分,23-24每小题5分）21．某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数．（如下表）每人加工零件数 5445 30 24 21 12 人 数 1 1 2 6 3 2(1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数；(2)假设生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为24件，你认为是否合理？为什么？如果不合理，请你设计一个较为合理的生产定额，并说明理由.22．列方程解应用题某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元，求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率．23．如图，E 、F 分别是□ABCD 的边BC ，AD 上的点，且BE ＝DF ．C B A(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．24．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．五、解答题：（本大题共20分,25-26题每题6分,27题8分）25．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD 与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG BE=且DG BE⊥，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．ABEFDC26. 已知：关于x 的一元二次方程22(1)20(0)ax a x a a --+-=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x ＞2x ）．若y 是关于a 的函数，且21-y ax x =，求这个函数的表达式；(3) 将（2）中所得的函数的图象在直线a =2的左侧部分沿直线a =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象直接写出：当关于a 的函数y =2a +b 的图象与此图象有两个公共点时，b 的取值范围是 ．27．如图1，将矩形ABCD 置于平面直角坐标系中，其中AD 边在x 轴上，AB=2，直线MN ：y=x ﹣4沿x 轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD 的边截得的线段长度为m ，平移时间为t ，m 与t 的函数图象如图2所示．（1）点A 的坐标为 ，矩形ABCD 的面积为 ；（2）求a ，b 的值；（3）在平移过程中，求直线MN 扫过矩形ABCD 的面积S 与t 的函数关系式（其中3t b ≤≤）。
2015-2016世界少年奥林匹克数学竞赛浙江晋级赛参考答案与
2015-2016世界少年奥林匹克数学竞赛浙江晋级赛参考答案与评分标准(A卷)四年级一、填空题（每题8分，共计64分）1 2 3 4 5 6 7 817 李四24436600334二计算题（每题10分，共20分）9、1×2×3×4×5×6×7-（1＋2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6）=7×1×2×3×4×5×6-6×1×2×3×4×5×6-5×1×2×3×4×5-4×1×2×3×4+-3×1×2×3-2×1×2-1…2分=6×1×2×3×4×5-5×1×2×3×4×5-4×1×2×3×4+-3×1×2×3-2×1×2-1…………………………4分=5×1×2×3×4-4×1×2×3×4-3×1×2×3-2×1×2-1=4×1×2×3-3×1×2×3-2×1×2-1=3×1×2-2×1×2-1=1×2-1…………………………………………………………………………………………8分=1……………………………………………………………………………………………10分10、88888×77777÷11111÷11111原式=（88888÷11111）×（77777÷11111）……………………………………………………6分=8×7…………………………………………………………………………………………8分=56…………………………………………………………………………………………10分三解答题（11～13题每题12分，14题14分，15题16分，共计66分）11、（5360+400）÷16=360（秒）……………………………………………………8分360÷60=6（分钟）………………………………………………………………12分答：从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要6分钟。
西师大版二年级上学期小学数学竞赛综合练习期中真题模拟试卷(16套试卷)
西师大版二年级上学期小学数学竞赛综合练习期中真题模拟试卷(16套试卷) 特别说明：本套试卷搜集了考点及专项复习练习知识点，内容详尽全面，仅供参考。
全套试卷共16卷西师大版二年级竞赛综合练习上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(①)西师大版竞赛综合练习二年级上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(①)西师大版二年级竞赛综合练习上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(②)西师大版竞赛综合练习二年级上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(②)西师大版二年级竞赛综合练习上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(③)西师大版竞赛综合练习二年级上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(③)西师大版二年级竞赛综合练习上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(④)西师大版竞赛综合练习二年级上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(④)西师大版二年级竞赛综合练习上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(一)西师大版竞赛综合练习二年级上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(一)西师大版二年级竞赛综合练习上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(三)西师大版竞赛综合练习二年级上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(三)西师大版二年级竞赛综合练习上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(二)西师大版竞赛综合练习二年级上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(二)西师大版二年级竞赛综合练习上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(四)西师大版竞赛综合练习二年级上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(四)西师大版二年级竞赛综合练习上学期小学数学期中真题模拟试卷卷(①)时间：60分钟 满分：100分一、基础练习(40分)1. 写出积是12的乘法算式______和______。
2. 在横线里填上“+”“-”或“÷”。
3______3=1 4______3=7 30______6=25÷5 12______3=9 15______3=12 10+14=4______63. 一个角有______个顶点，______条边。
2015小学数学竞赛决赛试题答案和详解(成都国奥赛)
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2015 年国奥赛决赛试题 （成都） 【答案】130 【解析】
DF＝340－80－40＝180km， 甲从 D 出发，乙从 F 出发，甲乙速度均为 80km/h, 所以甲乙相遇点 E 为 DF 的中点，所以 DE＝90km，所以 CE＝90＋40＝130km。
11. a、b、c 是三个数字，且 a＞b＞c。由 a、b 两个数字可组成两个不同的两位数，这两个 两位数之和为 55。由 a、b、c 三个数字可组成六个不同的三位数，这六个三位数之和大 于 1300 且小于 1400.那么，三位数 abc 等于（ 【答案】321 【解析】（1）由 ab ba 55 得： 11( a b) 55 ， a b 5 （2） abc acb bac bca cab cba 222( a b c) ） 没错，又是我们！ 科雅数学第一时间奉上详解！ 电话：68890961，86111521； 科雅小升初 QQ 交流群： 194587786； 科雅 5 年级 QQ 交流群：252737962； 科雅 3，4 年级交流群： 217107180；
14.（此题为解答题，需要写出解题过程）我们称一个自然数 n 是“好数”，如果能找到两个 非零自然数 k，l （k，l 可以相等） ，使得 n＝kl＋l－k。例如，1＝2×1＋1－2 ， 3＝1×2＋2－1 都是“好数”。那么，在自然数 1~50 中，共有（ 【答案】49 【解析】 n kl l k ）个“好数”。
2015 年国奥赛决赛试题 （成都）
科雅数学：彭泽老师 谷运增老师 杨秀情老师 彭艳老师 校区地址：金河路尊城国际 1305
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2015 年国奥赛决赛（成都）
答案及详解
静宁一中2015-2016-1高一数学竞赛考试题
静宁一中2015—2016学年度第一学期数学竞赛试题高一数学命题人：贾 旭 审题人：魏玲宇本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}12345U =，，，，，集合{}1,3A =，{}3,4,5B =，则集合()U C A B = （ ） A ．{3} B ．{4,5}C ．{3,4,5}D ．{1245}，，，2.若g (x ＋2)＝2x ＋3，g (3)的值是( )．A ．9B ． 7C ．5D ．3 3.下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．293x y x -=-与3y x =+ B ．21y x =-与1y x =-C ．00()y x x =≠与10()y x =≠ D ．21,y x x Z =+∈与21,y x x Z =-∈ 4.下列结论正确的是（ ） A ．2030321..<< B ．2030312..<<C ．2031032..<< D ． 0322103..<<5．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A.3122-()()f f f -<<（）B. 3122-()()f f f <-<（） C. 3212-()()f f f <<-（） D. 3212-()()f f f <-<（） 6． 代数式1122(0)a a a a >化简的结果是（ ）A. 12aB. 14aC. 18aD. 38a 7．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是 边长为 2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）.A ．423B . 433 C. 36 D . 838．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为正确命题的是（ ）.A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④ 9.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于 （ ）A.π B.2π C. 4π D. 8π10．设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A. 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点 C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点 B. 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点 D ．在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点11.已知函数2()lg()f x ax x a =-+定义域为R ，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．11(,)22-B ．11(,)(,)22-∞-+∞ C ．1(,)2+∞ D ．11(,][,)22-∞-+∞12．下列说法中正确的有( )．①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个俯视图主视图左视图第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13. 已知长、宽、高分别为5,4,3的长方体内接于球（顶点都在球面上），则此球的表面积是_______.14.设1(1)()3(1)x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则5(())2-f f 的值为 .15．4219432log 2log 3log -⋅= .16．已知函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4)-∞上是减函数，则a 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知函数2421x x y --=的定义域为A ，函数)1(log 2+-=a x y 的定义域为B.（1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若φ=B A ，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）设函数2211)(x x x f -+=．（1） 求)(x f 的定义域； （2） 判断)(x f 的奇偶性； （3） 求证：)()1(x f xf -=．19. （本小题满分12分）已知函数f (x )对任意x 、y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.(1)判断函数f (x )的奇偶性．(2)当x ∈[－3,3]时，函数f (x )是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由．20. （本小题满分12分）(1) 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，求截去部分体积与剩余部分体积的比值。