《1.3空间几何体的表面积与体积》教学案1-公开课-优质课(人教A版必修二精品)
人教A版高中数学必修2《 一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积(通用)》优质课教案_7
借助3Done研究正方体及其相关多面体外接球的问题一、学情和高考形势分析本课之前，学生已经学习完必修2第一章的内容。
已初步掌握了简单几何体的结构，三视图和直观图以及简单几何体的表面积、体积的运算。
与球组合的几何体问题，一种是内切、一种是外接。
作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查重点，但同学们因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。
故此，本课尝试引入3Done软件辅助教学，即可增强同学们的3D想象力，同时把“生活数学化，数学生活化”的思想带给同学们。
让学生感受到数学来源于生活，同时又服务于生活。
二、设计思路简单几何体的外接球问题在立体几何中是难点和重要的考点。
此类问题实际上就是解决球的半径长度和确定球心位置的问题。
解决这类问题时，要认真分析图形，明确接点和切点的位置及球心位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。
本课设计是这类问题的第一课时。
想以正方体为原型，通过伸缩拉压、减少顶点等变形进行变式教学，引出一系列能通过补体法解决的多面体外接球问题。
通过本课渗透空间问题平面化、转化化归、猜想与验证和补体法等数学思想方法，提升学生的空间想象力、几何语言表达能力等。
在以往，我们这节课求完球的半径就只能结束了。
没有办法给学生验证我们求出来的半径是否满足题意。
全凭学生自己的想象和理解。
所以，引入3Done软件就是为了给学生一个直观的验证方法，也由此渗透数学猜想与验证的思想。
这节课虽然思维抽象，容量大，但也不想以减少题目的形式迁就课堂时间。
因为感觉这是一个系统的变化。
如果减少题目就不能体现正方体系下的多面体外接球问题。
三、教学目标知识与技能：1、会画出正方体内切球、外接球和棱切球，以及多面体外接球等直观图和截面图辅助解题。
2、能求出正方体内切球、外接球和棱切球，以及多面体外接球等球的表面积和体积。
过程与方法：通过本课渗透空间问题平面化、转化化归、猜想与验证和补体法等数学思想方法，提升学生的空间想象力、几何语言表达能力等。
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《等积法求体积》教学设计一、预设效果：本课力求在三个方面有所突破一是：提高合作探究学习的实效性二是：增强情感态度价值观教育的现实性三是：多媒体运用的多样性二、预设流程：三、教学内容分析：“体积问题”是近几年高考文科数学考查的重点热点问题之一，题型以解答题为主。
求解方法主要是直接法与等积法。
“等积法”思想简单，方法灵活多样，易于掌握，属于增分策略，所以这节课主要探究“如何”进行等积转化，培养学生规范书写的能力。
四、教学对象分析：知识基础：具备等积转化的应用意识，主要以感性思维为主，没有上升到理性思维 情感基础：兴趣浓厚，求知欲强，意志力薄弱能力基础：具备自主学习、合作探究、观察概括、空间想象能力 五、教学目标设计： （一）知识与技能：1、掌握等积转化的分类与等积转化的步骤；2、掌握求体积的步骤。
（二）过程与方法：1．培养学生的观察能力、抽象概括能力和空间想象能力； 2．强化类比、数形结合思想。
（三）情感态度价值观：1.树立竞争意识与合作精神，感受合作交流带来的成功感；2.树立学好数学的信心，激发提出问题和解决问题的勇气。
六、重点难点分析：教学重点是等积转化的步骤、求体积的步骤; 教学难点是等积转化的分类,以及计算能力的培养。
七、教法学法分析 1、教法多媒体综合教学与讲授结合、问题导学法、演示法、归纳比较法。
2、学法自主学习法、小组讨论法。
为了更有效的突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想。
采用一引导发现法为主，直观演示法，小组讨论法为辅。
在教学中，精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。
八、教学过程分析引入课题(2012河北文)如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA 1，D 是棱AA 1的中点。
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让数学课有文化，抓住机会了解中国古代数学史，增强民族自豪感，培养学生查阅资料的习惯。
对学生进行思想情操上的教育和对数学文化的了解。
直观展示，提高学习效率。
活动8
知道锥体体积公式的由来，知道台体的体积公式
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？
直观展示图片及其公式之间的联系，提高效率。
活动10
例题精讲
解决导入问题
公式的应用
媒体呈现题目。
活动11
小结及作业
视时间长短，请学生总结本节课的主要内容和思想方法或者师生共同总结，布置作业。
知识升华和思维提炼。
电子白板展示公式之间的联系。
教学
总结
与反思
我在课堂上较好地体现了教师主导与学生主体作用的统一。在教学上采用了“问题驱动，启发探究”的方法，通过教师的“问”、“启”、“导”，鼓励学生积极、主动地探究新知，获得了成功。这节课的重点是使学生经历柱体、锥体、台体的表面积和体积公式的推导过程及其简单应用。在教学中，遵循教学的发展规律和学生的认识规律，紧紧抓住几何体的结构特征，通过适当的问题情景，从学生熟悉的正方体、长方体的侧面展开图入手探究展开图和表面积的关系，引出要学习的内容，然后通过“思考”、“探究”等活动，通过让学生体会看图、画图、制图、识图的过程，亲自实践，逐步引导学生体会其中的“由特殊到一般”认识规律和“创造条件促成事物转化”的化归思想的应用，突破难点。并采用观察、类比、归纳等合情推理，鼓励学生多向思维，勇于探索。以多媒体演示为载体，以“引导思考”为核心，设计课件展示，并引导学生沿着积极的思维方向，通过问答结合，及时了解学生掌握情况，达到教学目的。学生的难点是不能建立较强的立体实物图。在教学设计中，注重学生的已有知识经验的作用，并力求通过本课时的教学使得学生认识再上一个层次；注重设计与生成的有机结合。在教学实践中，注重学生的参与，并且是思维层面的参与，并通过环环相扣的问题串实现。把问题交给学生，真正发现问题，利用生成教学，培养了学生独立性和分析问题的能力。
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【空间几何体的表面积与体积】教学设计
教学目标：1、知识与能力：掌握几何的基本特征，会求表面积和体积
2、过程与方法：能熟练解决三视图的有关问题
3、情感态度与价值观：培养学生空间想象能力基本的应用能力
教学重点：几何的基本特征，会求表面积和体积，能熟练解决三视图的有关问题
教学难点：熟练解决三视图的有关问题
教学过程：一、知识网络构建：
教师出示有关立体几何知识网络图表，学生利用图表复习立体几何知识，构建知识网络。
二、考点聚焦及复习备考策略：
教师对近几年的高考题中出现的考点和热点给以解读，并研究备考中应该注意的问题。
三、核心知识整合：柱，锥，台，球的表面积和体积。
四、易错点警示。
五、高考真题练习。
六、命题方向及热点突破：
（1）三视图问题。
（2）表面积和体积。
（3）多面体和球。
教学反思与后记：。
高中数学人教A版必修2教案：1.3.2空间几何体的表面积和体积(教学设计)
1.3空间几何体的表面积和体积（第二课时）【教学目标】1．会求棱台和圆台的表面积和体积．2．理解棱台和圆台的表面积和体积的求法．3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.4.激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识【重点难点】1．会求棱台和圆台的表面积和体积．(重点)2．理解棱台和圆台的表面积和体积的求法．(难点)【教学策略与方法】讲述，练习【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：问题导入类比棱柱、棱锥，思考：棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它的展开图是什么？如何计算它的表面积？结合已有知识进行思考，引出新知识新旧知识建立联系环节二：探究过程棱台侧面展开图探究几种方法，找出公式背后的理论依据形成归纳、猜想和证明的科学思维习惯圆台的上、下底面半径分别为r，r′，母线为l，其表面积S＝__________________.根据台体的特征，如何求台体的体积？由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台(棱台)的体积公式．类比得出圆台的体积环节二：例题讲解例1 、已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm，求其体积。
例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆（取3.14,结果精确到1毫升，可用计算器）？例3：下图是一个几何体的三视图(单位:cm)想象对应的几何体，并求出它的表面积学生做题总结思考，笔记教师讲解通过做题可以加深学生对基础知识的记忆与利用.教师结合实际情况适当讲解环节三：课堂演练1.圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)2．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的侧面积为( )A．81π B．100πC．14π D．169π3.一个四棱台的上、下底面都为正方形，且上底面的中心在下底面的投影为下底面中心(正四棱台)两底面边长分别为1,2，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为( )A．23B．2C．32D．12学生自主做题，思考讨论的同时，可以加深本节知识点的记忆，加强应用方面的方法技巧，加深对知识的认识.通过演练直击本节知识点，起到巩固作用.环节四：归纳总结,知识回顾棱台的侧面展开是什么图形？圆台的侧面展示是什么图形？棱台和圆台的侧面积和体积公式学生整理反思，深化认识环节五：作业与测试练习与测试独立完成作业限时完成测试通过作业与测试巩固知识提升应用能力。
1.空间几何体的表面积与体积(通用)-人教A版必修二教案
1.空间几何体的表面积与体积（通用）-人教A版必修二教案一、教学目标1.了解空间几何体的定义及分类，并掌握它们的表面积与体积公式。
2.能够运用所学知识计算空间几何体的表面积与体积。
二、教学重点和难点1.教学重点：空间几何体的定义及分类、表面积与体积的公式。
2.教学难点：如何运用所学知识计算空间几何体的表面积与体积。
三、教学过程1. 空间几何体的定义及分类1.引入空间几何体的概念，定义几何体。
2.给出空间几何体的常见分类：点、线、面、体。
3.介绍不同空间几何体的定义和特点。
2. 空间几何体的表面积公式1.引入空间几何体的表面积概念，定义表面积。
2.分别介绍正方体、长方体、正棱柱、正棱锥、球的表面积公式，并进行计算演示。
3. 空间几何体的体积公式1.引入空间几何体的体积概念，定义体积。
2.分别介绍正方体、长方体、正棱柱、正棱锥、球的体积公式，并进行计算演示。
4. 计算练习1.给出一些空间几何体的基本参数，要求学生自行计算其表面积和体积。
2.教师进行现场指导和解答，强调运用公式的方法。
四、教学评估1.给出一些空间几何题目，要求学生自行计算其表面积和体积。
2.对学生的计算结果进行点评和总结，引导同学们继续加强实践和掌握。
五、教学拓展1.引导同学们了解空间几何体中的其他几何体类型，例如多面体、四面体、棱锥等，拓宽知识面。
2.提供更多计算练习，让学生运用公式娴熟地计算各种空间几何体的表面积和体积。
六、教学反思教学中应注意具体问题具体分析，让学生感受到所学知识的实际应用。
此外，在计算时也要避免公式的生搬硬套，而应注重运用创新思维。
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解外接球问题（二）教学分析：球是高考出题的热点之一，在近几年的高考题中都有出现。
球经常和其他空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。
教学目标：知识与技能：学生学会用通法解决空间几何体的外接球问题。
过程与方法：学生建立空间感，体会转化的数学思想方法。
情感态度与价值观：完善学生的知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。
教学重点：学会转化的思想方法，学会举一反三。
教学难点：学会构造模型，而使用通法求解。
教学过程：知识梳理：1、正方体或长方体的外接球的球心在其体对角线的中点，其半径为22221c b a R ++=，其中a 、b 、c 为长方体的长、宽、高。
2、若上下底面有外接圆的直棱柱，则它的外接球的球心是上下底面外接圆的圆心连线的中点，其半径为2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=h r R （R 为外接球的半径，r 为外接圆的半径，h 为侧棱长） 3、正四面体、三条侧棱两两垂直或三个侧面两两垂直、四个面都是直角三角形的三棱锥，对棱相等的三棱锥，都可以补成长方体或正方体。
4、若三棱锥中，有两个共斜边的直角三角形，则这条棱的中点就是外接球的球心，棱长是外接球的直径。
如果三棱锥无法构造成正方体或长方体，该如何求解其外接球的表面积和体积问题呢？一起来探讨一下。
典型例题：三棱锥P —ABC ，AC ⊥BC ，PB ⊥平面ABC ，AC=BC=PB=2，求三棱锥P —ABC 外接球的表面积。
简解：第一步：找△ABC 外接圆的圆心O ’，过O ’做△ABC 的垂线，垂线上有球心O ，根据'''OCO Rt OBO Rt OAO Rt △△△≅≅,得到OC OB OA ==； 第二步：设x OO ='，则2''2222+=+=x B O OO OB ，因为外接球的半径OP OC OB OA R ====，所以只需OP OB =，即22OP OB =，过P 做平面ABC 的垂线，即PB ，过O 做OF ⊥PB ，则2'==B O OF ， 所以()222222x FP OF OP -+=+=，所以()22222x x -+=+，即1=x 所以外接球的半径32122=+==OB R ，外接球的表面积ππ1242==R S总结：这种方法我称它为双垂线模型，其主要步骤1、找底面外接圆的圆心，即△ABC 的外心，过外心做底面的垂线，设出球心；2、过顶点做垂线（这里的顶点是相对底面来说的），找等量关系，列方程。
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1.3空间几何体的表面积和体积——简单锥体的外接球和内切球求法【教学目标】：1、知识与技能：会用补形法和构造直角三角形法求解简单锥体的外接球和内切球的体积和表面积的问题；2、过程与方法：在教学过程中，让学生在问题情境中掌握补形法和构造直角三角形法的重要性，体验补形法的便捷；3、情感和价值观：通过学习，使得学生了解数学源于生活，但高于生活，逐步养成任何事物都是不断变化发展的辩证唯物主义的观点；【教学重点】：掌握求解简单锥体的外接球和内切球的体积和表面积的两种方法：补形法和构造直角三角形法。
【教学难点】：如何应用补形法和构造直角三角形法【教学过程】：一、复习 1.；；；，圆圆圆===S S C 2.；；；，球球球===V V S 3.长、宽、高分别为c b a ,,的长方体外接球直径2R= ； 特别地，边长为a 的正方体外接球直径2R= ；4. 边长为a 的正方体中，与其各棱都相切的球的直径2R= ； 边长为a 的正方体内切球直径2R= ；二、补形法例1.若三棱锥 P - ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上， P A ⊥ 平面 A BC ， A B ⊥AC ，且 P A = 8 ， A B=4，AC=52 ，则球O 的半径为 ．变式1：若三棱锥 P - ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上， P A ⊥ 平面 ABC ， A B ⊥ BC ，且P A = 8 ，AB=4，B C=52．则球O 的半径为 ，ABC ∆外接圆半径为变式2：若三棱锥P - ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上， P A ⊥ 平面 ABC ， A B ⊥ BC ，且P A = 8，平面 A BC 截球 O 所得截面的面积为 9π ，则球 O 的表面积为（ ）（A ）10π （B ） 25π （C ） 50π （D ）100π三、构造直角三角形法例2.在正四棱锥P-ABCD 中，AB=2,PA=5，则该棱锥的斜高为 ，高为 ，体积为 ，其内切球半径为2的等边三角形，则该棱锥的高为 ，其外接球半径例3.已知圆锥的高为3球面上，则这个球的体积等于（ ）A ．83πB ．323π C ．16π D ．32π变式1：已知圆锥的高为3，则该圆锥的内切球的半径为变式2：现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3 ，则其包装盒的体积的最小值为（ ）A ．36πB ．72π C. 81π D ．216π例4．若正三棱台ABC A B C '''-，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为_______．变式1：正三棱台ABC A B C '''-1，若该正三棱台内有一个球，则该球的最大半径为_______．【课堂小结】：1、补形法；2、构造直角三角形法；【作业布置】：卷15【教学反思】：。
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三、教学方法与手段
教学方法：启发式教学，小组合作探究。
教学手段：多媒体、实物模型。
四、教学过程设计
教学过程
教学过程
学生活动
设计意图
小游戏引入
通过水果翻牌的小游戏引入新课。
积极参与水果翻牌游戏，回答每种水果底下对应的平面图形的面积。
帮助学生回顾平面图形的面积，从而过度到立体图形的表面积。
学生自我总结本节课的收获。
帮助学生梳理本节课的知识及思想方法。
由于题目没有图形，所以学生先根据题目画出图形，根据题目标出已知量，求出该几何体的表面积。
使学生了解空间多面体的表面积求法的过程。
探究二
多面体的表面积我们懂求了，那么旋转体呢？
观察、想象、类比得出旋转体的表面积的求法。
帮助学生自主归纳旋转体的表面积的求法，得出多面体的表面积等于侧面积+底面积。
思考
旋转体的侧面积怎么求？引导学生把立体问题转化为平面问题去考虑，即把侧面展开变为平面，平面图形的面积即为侧面积。通过模型展示及几何画板展示侧面展开的动态演示。
通过模型的展示及几何画板的动态演示，体会侧面图形展开为平面图形。
立体问题平面化的理解。
公式的记忆
圆柱、圆锥、圆台侧面积及表面积公式的记忆。
圆柱、圆锥、圆台侧面积及表面积公式的记忆。
通过公式的记忆，方便题目的解答。
例题
1、等边圆柱即轴截面是正方形的圆柱，若它的底面半径为r，求它的表面积。
2、等边圆锥即轴截面为正三角形的圆锥，若它的底面半径为r，求它的表面积。
空间几何体的表面积
（高中数学人教版必ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2）
第一章立体几何初步
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
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空间几何体的表面积和体积
教材：人教版高中数学必修二第一章第三节第一课时授课对象：高一学生
【课题】1.3.1空间几何体的表面积和体积
【教材】人教版高中数学必修二第一章第三节第一课时
【课时安排】 1个课时.
【教学对象】高一学生.
【授课教师】
【教学目标】
✧知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台体的表面积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系
（3）培养学生空间想象能力和思维能力
✧过程与方法
（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系✧情感态度价值观
通过学习，使学生感受到几何体表面积的求解过程，对自己空间思维能力影响；增强学习的积极性。
【教学重点】柱体、椎体、台体的表面积计算
【教学难点】柱体、椎体、台体表面积公式的推导
【教学方法】引导发现式、讲练结合法
【教学手段】实物几何体，投影仪
【教学过程设计】
一、教学流程设计
二、教学过程设计
【板书设计】。
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空间几何体的表面积教学目的：（1）正棱柱正棱台正棱锥的概念，圆柱圆锥圆台侧面积（2）用这些公式解决问题教学重点：正棱锥、正棱柱、正棱台的理解，柱锥台的侧面积计算教学难点：侧面积公式的应用教学方法：教学过程：一、什么是多面体？多面体的侧面展开图二、新授：1、正棱柱：正棱锥：正棱台：侧面积公式的推导，正棱锥的简单性质2、圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式它们之间的区别与联系例1、正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m，底边长为1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？例2、有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管缠绕4圈，并使铁丝两个端点落在圆柱的同一母线上的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？练习：P52 练习教学后记：空间几何体的表面积作业班级姓名学号得分一、选择题1、正三棱锥的底面边长为a，高为，则三棱锥的侧面积为（）6A 、234aB 、232aC 、24aD 、22a 2、圆锥的轴截面是正三角形，那么它的侧面积是底面积的 （ ）A 、 4倍B 、 3倍C 、D 、 2倍3、将一个边长为a 的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（ ）A 、26aB 、212aC 、218aD 、224a4、棱锥的一个平行底面的截面把棱锥的高分为1:2（从上到下）那么截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于 （ ）A 、1:9B 、1:8C 、1:4D 、1:35、圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成的角为45，则这个圆台的侧面积是 （ ）A 、27πB 、C 、D 、二、填空题6、用半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，这个圆锥筒的高为7、正三棱台的两个底面边分别等于8cm 和18cm ，侧棱长为13cm ，则它的侧面积为8、边长为5cm 的正方形ABCD 是圆柱的轴截面，从A 到C 绕圆柱侧面的最短路程为三、解答题9、正四棱台的高为12cm ，两底面边长之差为10cm ，全面积为2512cm ，求底面边长。
高中数学 13空间几何体的表面积与体积教案(pdf)新人教A版必修2 教案
（ ） （ ） －πｒ′ ｒｌ－ｒｒ′－ｌ ＝πｌ ｒｒ－２ｒ′－ｒｒ－′ｒ２′ ＝πｌ（ｒ＋ｒ′）．
例３ 正四 棱 台 两 底 面 边 长 分
Ｄ１
Ｃ１
别为ａ 和ｂ（ａ＜ｂ）． （１）若侧棱所在直线 与 上、下 底 Ａ１
面正方形中心 的 连 线 所 成 的 角 为
Ｄ
４５°，求 棱 台 的 侧 面 积 ；
积公式为 Ｓ侧 ＝Ｃ·ｌ，其中 Ｃ 为直截面周长，ｌ为侧棱长．
例１ 若一圆柱 的 侧 面 展 开 图 是 一 个 边 长 为 ４ 的 正 方 形 ，则 该 圆 柱 的 表 面 积 是 ．
解 析 正方形的面 积 即 为 圆 柱 的 侧 面 积，圆 柱 底 面 的 周
长
２πｒ＝４，所
如图１３７所示，设圆台的上、下底面半径 分 别 为ｒ′、ｒ，
母
线
长
为ｌ，则
Ｓ圆
台
侧
＝π（ｒ′＋ｒ）·ｌ＝
１ ２
（Ｃ′＋Ｃ）ｌ，其
中ｒ′、ｒ
分别 为 上、下 底 面 的 半 径，Ｃ′、Ｃ 分 别 为 上、下 底 面 的 周 长，
ｌ为圆台的母线长，所以圆 台 的 表 面 积 公 式 为 Ｓ＝π（ｒ′２＋ｒ２ ＋ｒ′ｌ＋ｒｌ）．
２０
由 题 意 知 ∠Ｃ１ＣＯ＝４５°，
ＣＥ＝ＣＯ－ＥＯ＝ＣＯ－Ｃ１Ｏ１＝槡２２（ｂ－ａ），
在 Ｒｔ△Ｃ１ＣＥ 中Ｃ１Ｅ＝ＣＥ＝槡２２（ｂ－ａ），
又
ＥＦ＝ＣＥ·ｓｉｎ４５°＝
１ ２
（ｂ－ａ），
∴ 斜 高Ｃ１Ｆ＝ 槡Ｃ１Ｅ２＋ＥＦ２
槡［ ］ ［ ］ ＝
２
槡２２（ｂ－ａ） ＋
１ ２
（ｂ－ａ）
２
＝槡２３（ｂ－ａ）．
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课题：体积问题
授课班级：
授课老师:
教学目标：
知识与技能：
1、了解常见的体积公式,掌握常见的体积问题的解决方法。
2、能利用“等体积变换”，“割补法”解决相关的体积问题。
过程与方法：
引导学生观察，自主探寻解决体积问题的方法，培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。
情感态度价值观：
通过体积问题的学习，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察，勇于探索的良好学习习惯和严谨的科学态度。
教学重点：掌握体积问题的解决方法并能解决相关的实际问题.
教学方法：问题诱思，讲练结合
教学过程
一、解决体积问题的常用方法
公式法、等体积转化法、分割法、补形法
二、典例剖析
例1：求棱长为a的正四面体的体积.
练一练：已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？
例2：斜三棱柱ABC-A`B`C`的侧面BB`C`C的面积为S，AA`到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？
练一练：如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF//AB,EF=1.5, EF与面AC的距离为2,求此多面体的体积。
课堂小结
本节课你有什么收获？
课后作业
1、全品复习方案第38讲探究点二、三、四，多元提能力
板书设计。
人教A版高中数学必修2《 一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积(通用)》优质课教案_3
1.3.1柱体、锥体、台体与球的表面积与体积（一）学习目标（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台的全积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。
重 点：柱体、锥体、台体与球的表面积计算难 点：计算旋转体表面积【知识链接】1、表面积是________________面积，2、圆心角是α（弧度）,半径是r 的扇形弧长____l =，面积____s =，面积与弧长的关系__sl =⋅ 3、________________ 叫做直棱柱，________________叫做正棱柱； ________________ 叫做正棱锥，________________ 叫做正四面体。
【预习归纳】1、棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积一般德，我们把多面体展成平面图形，利用 的方法， 求多面体的表面积。
2、旋转体的表面积圆柱：圆柱侧面展开图是____，长是圆柱的_____，宽是圆柱的____即是圆柱_____长，则底面半径为r ，母线长为l 的圆柱侧面积____s =。
表面积____s =。
圆锥：圆锥侧面展开图是_____，半径是圆锥的_____，弧长等于圆锥_______，底面半径为r ，母线长为l 的圆锥侧面积____s =。
表面积____s =。
圆台：圆台侧面展开图是______，内弧长等于圆台______，外弧长等于圆台_______，上底面半径为/r ，下底面半径为r ，母线长为l 的圆台侧面积____s =。
表面积____s =。
球：半径为R 的球的表面积____s =。
【预习检测】的表面积.1、求各面都是边长为10的正四面体S ABC2、一个正三棱柱的底面边长为4，侧棱长10,求其表面积.【课堂导学】例1、已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为3，求这个圆台的表面积。
练习1：已知圆锥的底面半径为3，高为5，求这个圆锥的表面积。
例2、一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径R=2的圆, 则这个几何体的表面积是1正视图【学习小结】【当堂检测】1、母线和底面圆的直径都为2的圆锥的侧面积为 （ ）A.3B.2πC.3πD.4π2、若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示则其侧面积为 （ ）3、若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，，则这个圆锥的全面积为（ ）39A B D πππ、 C 、6 、4、两个球的半径之比为1:3，那么这两个球的表面积之比为 。
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§1.3 空间几何体的表面积与体积§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积一、教材分析本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，目的有两个：其一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.接着，教科书安排了一个“探究”，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题.教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的“探究”，也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.关于体积的教学.我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相等；②一个几何体的体积等于它的各部分体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的.柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解，但进一步了解这些公式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一个“探究”，要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论.与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后，安排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建立它们之间的联系.实际上，这几个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样，在台体的体积公式中，令S′=S，得柱体的体积公式；令S′=0，得锥体的体积公式.值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培养学生的类比思维能力，引导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上，防止出现：教师在公式推导过程中“纠缠不止”，要留出“空白”，让学生自己去思考和解决问题.如果有条件，可以借助于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来增强空间想象能力.二、教学目标1．知识与技能（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.（3）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.3．情感、态度与价值观通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性.三、重点难点教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.教学难点：表面积和体积计算公式的应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？（二）推进新课、新知探究、提出问题①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)图1②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.④学生思考圆台的侧面展开图的形状.⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l ，那么圆柱的底面面积为πr 2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr 2+2πrl=2πr(r+l).图2 图3 圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l ，那么它的表面积S=πr 2+πrl=πr(r+l).点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法. ④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r 2+r′2+rl+r′l).图4⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：S 圆柱表=2πr(r+l)−−−←==r r r 21S 圆台表=π(r 1l+r 2l+r 12+r 22)−−−→−==r r r 21,0S 圆锥表=πr(r+l). 从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？②比较柱体、锥体、台体的体积公式：V 柱体=Sh(S 为底面积，h 为柱体的高)；V 锥体=Sh 31(S 为底面积，h 为锥体的高)； V 台体=)''(31S SS S ++h(S′,S 分别为上、下底面积，h 为台体的高). 你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？讨论结果：①棱长为a 的正方体的体积V=a 3=a 2a=Sh ；长方体的长、宽和高分别为a,b,c ，其体积为V=abc=(ab)c=Sh ；底面半径为r 高为h 的圆柱的体积是V=πr 2h=Sh ，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh ，其中S 是底面面积，h 为柱体的高.圆锥的体积公式是V=Sh 31(S 为底面面积，h 为高)，它是同底等高的圆柱的体积的31. 棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的31,即棱锥的体积V=Sh 31 (S 为底面面积，h 为高). 由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的31. 由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=31(S′+S S '+S)h, 其中S′，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：图5（三）应用示例思路1例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC （图6），求它的表面积.图6活动：回顾几何体的表面积含义和求法.分析：由于四面体S —ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D.因为BC=a,SD=a a a BD SB 23)2(2222=-=-,所以S △SBC =21BC·SD=2432321a a a =⨯. 因此，四面体S —ABC 的表面积S=4×22343a a =. 点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.变式训练1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r ，圆柱侧面积为S ，求圆锥的侧面积.解：设圆锥的母线长为l ，因为圆柱的侧面积为S ，圆柱的底面半径为r ，即S圆柱侧=S ，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为r S π2，由题意得圆锥的高为rS π2，又圆锥的底面半径为r ，根据勾股定理，圆锥的母线长l=22)2(rS r π+，根据圆锥的侧面积公式得 S 圆锥侧=πrl=π·r·24)2(24222S r r S r +=+ππ.2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）A.1∶2∶3B.1∶7∶19C.3∶4∶5D.1∶9∶27 分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为(h r 23π)∶［2)2(3r π·2h］∶［2)3(3r π·3h］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19.答案：B3.三棱锥V —ABC 的中截面是△A 1B 1C 1，则三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A —A 1BC 的体积之比是（ ）A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A —A 1BC 转化为三棱锥A 1—ABC ，这样三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A 1—ABC 的高相等，底面积之比为 1∶4，于是其体积之比为1∶4.答案：B例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm ，盆底直径为15 cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）图7活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积. 解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［1522015215)215(2⨯+⨯+］-π(25.1)2≈1 000(cm 2)=0.1(m 2). 涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.变式训练1.有位油漆工用一把长度为50 cm ，横截面半径为10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为10 m 2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为S 侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m 2，又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m 2，因此油漆工完成任务所需的时间t=ππ205.01022=mm ≈6.37秒. 点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.2.（2007山东滨州一模，文14）已知三棱锥O —ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC=1,OA=x ，OB=y ，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.分析：由题意得三棱锥的体积是61)4(612131-=-=⨯x x xy (x-2)2+32，由于x ＞0，则当x=2时，三棱锥的体积取最大值32. 答案：32例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm 3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm ，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）图8活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=43×122×6×10-3.14×(210)2×10≈2 956(m m 3)=2.956(cm 3).所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个). 答：这堆螺帽大约有252个.点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用. 变式训练如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.（精确到0.01秒）图9解：如图10，设水面的半径为r ，则EH=r-2分米，BG=2分米，图10在△ABG 中，∵EH ∥BG ，∴BG EHAG AH =.∵AH=2分米, ∴2252-=r .∴r=514分米. ∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为V 水=π31·3［(514)2+514×4+42］=25876π立方分米,∴所用的时间为25292325876ππ=≈36.69秒.答：所用的时间为36.69秒.思路2例1 （2007山东烟台高三期末统考，理8）如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）图11A.1B.21 C.31 D.61活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，AB ⊥AC.则该三棱锥的高是PA ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=611213131=⨯⨯=∆PA S ABC .图12答案：D点评：本题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得.此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.变式训练1.（2007山东泰安高三期末统考，理8）若一个正三棱柱的三视图如图13所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）图13A.318B.315C.3824+D.31624+ 分析：该正三棱柱的直观图如图14所示，且底面等边三角形的高为32，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为3×4×2+2×21×4×32=24+38.图14答案：C2.（2007山东潍坊高三期末统考，文3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）A.33π B.332πC.π3D.3π分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为V=3331312ππ=⨯⨯⨯.答案：A3.（2007广东高考，文17）已知某几何体的俯视图是如图15所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.图15（1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的侧面积S.解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥.设底面矩形为ABCD.如图16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.图16（1）V=31×(8×6)×4=64.(2)设四棱锥侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形， 在△VBC 中，BC 边上的高为h 1=24)28(4)2(2222=+=+AB VO , 在△VAB 中，AB 边上的高为h 2=2222)26(4)2(+=+BC VO =5.所以此几何体的侧面积S=)582124621(2⨯⨯+⨯⨯=40+224.点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问.例2 图17所示的几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（π取3.14）图17活动：因为正方体的棱长为4 cm ，而孔深只有1 cm ，所以正方体没有被打透.这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm ，底面圆的半径为1 cm. 解：正方体的表面积为16×6=96（cm 2）， 一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm 2），则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm 2）. 答：几何体的表面积为133.68 cm 2.点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的.变式训练图18所示是由18个边长为1 cm 的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积.图18分析：从图18中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后,左、右两个面的表面积也是分别相同的.解：因为小正方体的棱长是1 cm，所以上面的表面积为12×9=9（cm2），前面的表面积为12×8=8（cm2），左面的表面积为12×7=7（cm2），则此几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48( cm2).答：此几何体的表面积为48 cm2.（四）知能训练1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（）48 B.64 C.16 D.96A.6分析：设正方体的棱长为a，则6a2=96，解得a=4，则正方体的体积是a3=64.答案：B2.（2007山东临沂高三期末统考，文2）如图19所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π分析：设圆锥的母线长为l ，则l=13+=2，所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π. 答案：C3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为32，则这个正三棱锥的体积是（ ）A.427 B.49 C.4327 D.439 分析：可得正三棱锥的高h=22)3()32(-=3，于是V=4393343312=⨯⨯⨯. 答案：D4.若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍.分析：圆柱的体积公式为V 圆柱=πr 2h ，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42=16倍.答案：4 165.图20是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点.现在沿△GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?图20分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA 与AG 、AF 都垂直，即HA 垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥.解：设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.三棱锥的底面是Rt △AGF ，即∠FAG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，所以AF=AG=a 21.所以△AGF 的面积为281212121a a a =⨯⨯.又因AH 是三棱锥的高，H 又是AB 的中点，所以AH=a 21.所以锯掉的部分的体积为32481812131a a a =⨯⨯. 又因48148133=÷a a ,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的481.6.（2007山东临沂高三期末考试，理13）已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是____________.分析：如图21，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==,2,22r l S l πππ解得r=π2S ，所以圆锥的底面积为πr 2=22SS =⨯ππ.图21答案：2S7.如图22，一个正三棱柱容器，底面边长为a ，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图23，这时水面恰好为中截面，则图22中容器内水面的高度是_________.图22 图23分析：图22中容器内水面的高度为h ，水的体积为V ，则V=S △ABC h.又图23中水组成了一个直四棱柱，其底面积为ABC S ∆43，高度为2a ，则V=ABC S ∆43·2a，∴h=a S aS ABC ABC 23243=∙∆∆. 答案：a 238.圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是_____________.分析：设这个圆台的高为h ，画出圆台的轴截面，可得6642h -=，解得h=3，所以这个圆台的体积是3π(22+2×4+42)×3=28π. 答案：28π9.已知某个几何体的三视图如图24，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）,可得这个几何体的体积是（ ）图24A.34000 cm 3 B.38000cm 3 C.2 000 cm 3 D.4 000 cm 3 分析：该几何体是四棱锥，并且长为20 cm 的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20 cm,底面是边长为20 cm 的正方形（如俯视图），所以底面积是20×20=400 cm 2，所以该几何体的体积是31×400×20=38000cm 3.答案：B（五）拓展提升问题：有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a ＞0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是___________.探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2+28，三棱柱有两种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2+32，边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a 2+36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a 2+48, 最小的是一个四棱柱，这说明24a 2+28＜12a 2+48⇒12a 2＜20⇒0＜a ＜315. 答案：0＜a ＜315（六）课堂小结本节课学习了：1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.2.应用体积公式解决有关问题.（七）作业习题1.3 A 组 第1、2、3题.§1.3.2 球的体积和表面积一、教材分析本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点.二、教学目标1．知识与技能（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.（3）培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.3．情感、态度与价值观通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.三、重点难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用.教学难点：关于球的组合体的计算.四、课时安排。
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《1.3空间几何体的表面积与体积》教学案1
教学任务分析:
根据柱，锥，台的结构特征，并结合它们的展开图，推导它们的表面积的计算公式，从度量的角度认识空间几何体；用极限思想推导球的体积公式和表面公式，使学生初步了解利用极限思想解决问题的基本步骤，体会极限思想的基本内涵.与此同时，培养学生积极探索的科学精神，培养学生的思维能力，空间想象能力.
教学重点：
柱体，锥体，台体的表面积和体积的计算公式.
教学难点：
球的体积和表面积的推导
教学设计：
1．从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系.其目的是㈠复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和㈡介绍求几何体表面积的方法，把它们展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.
2．通过类比正方体和长方体的表面积，讨论棱柱，棱锥，棱台的表面积问题.实际上，求棱柱，棱锥，棱台的表面积问题可转化成求平行四边形，三角形和梯形问题.
3．利用计算机或实物展示圆柱的侧面可以展开成一个矩形.圆锥的侧面可以展开成一个扇形.
随后的有关圆台表面积的探究，也可以按照这样的思路进行教学.
说明圆台表面积公式时，可推导侧面积公式.
圆台侧面积的推导：
设圆台侧面的母线长为，上，下底周长分别是，半径分别是
则S圆台侧
=()x c x l c '-+2
121 =
()[]x c c cl '-+21 ()()()l r r l c c c c l c c c cl S c c l c x l
x x c c '+='+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'-''-+='-'=∴+='π2121圆台侧
在分别学习了圆柱，圆锥，圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动，变化的观点分析它们之间的关系.圆柱可看成上，下两底面全等的圆台，圆锥可看成上底面半径为零的圆台.因此，圆柱，圆锥可看成圆台的特例.(可用计算机演示)
4．柱体， 锥体和台体的体积[来源:Zxxk .Com ]
从正方体，长方体的体积公式引入到一般棱柱的体积也是V =Sh
若有时间，可推导棱锥的体积公式[来源:学_科_网]
棱锥的体积公式的推导
如图，设三棱柱ABC -ABC 的底面积(即ΔABC 的面积)为S ，高(即点A ¹到平面ABC 的距离)为h ，则它的体积为Sh ，沿平面A ¹BC 和平面A ¹B ¹C ，将这个三棱柱分割为3个三棱锥，其中三棱锥1，2的底面积相等(S ΔA ¹AB =S ΔA ¹B ¹B )，高也相等点C 到平面AB ，BA 的距离)三棱锥也有相等的底面积，和相等的高(点A ¹到平面BCC ¹B ¹ 的高)因此，这三个三棱锥的体积相等，每个三棱锥体积是sh ，得sh
台体 推导出台体的体积公式
V =S ¹+Sh
让学生思考，柱体，锥体台体的体积公式之间的联系.
5.球的表面积和体积
本节课可以用多媒体课件演示球体的分割过程，使整个推导过程更加形象直观.
本课的重点放在引导学生了解其所运用的基本思想方法，即‘分割、求近似和、再由近似和转化为球的体积(表面积)’的极限思想方法.
例四和例五都是球的体积公式和表面公式的应用.
例五的教学可以先要学生分析几何组合体的结构特征，分析清楚之后自然明白花柱的表面积由哪些部分构成.。