分段函数有关概念探析

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浅谈对分段函数的认识

浅谈对分段函数的认识分段函数是初中数学中常见的一种函数形式，它的特点是在定义域内被分成了若干段，每一段使用不同的函数表达式。

对于初学者来说，分段函数可能会显得有些抽象和难以理解，但实际上，只要理解了其基本概念并掌握了相关的求解方法，分段函数并不复杂。

在本文中，我们将浅谈对分段函数的认识，从基本概念、图像特点和求解方法三个方面进行解析。

我们先来了解一下分段函数的基本概念。

在数学中，分段函数通常表示为一个由若干段函数组成的函数。

它在定义域内被分成了若干段，每一段有自己的定义域和函数表达式。

一般来说，分段函数可以分为两种类型：分段函数的每一段都是一个定义明确的函数，这种情况下每一个函数段称为分段函数的一个分段；另一种情况是，每一段不一定是一个函数，只要有定义域和对应的函数表达式即可。

无论是哪种情况，分段函数的定义都是基于其定义域的分段划分而得。

我们来看一下分段函数的图像特点。

对于一个分段函数来说，其图像是由若干段函数的图像拼接而成的。

每一段函数的图像可以单独绘制，然后根据定义域的分段划分将它们组合在一起。

分段函数的图像会表现出“断点”和“拐点”的特点。

在每个分段的交界处，函数图像会出现不连续的情况，这就形成了“断点”。

而在每个分段函数的转折处，函数图像会出现拐点，导致函数的导数在该点不连续。

这些特点使得分段函数的图像看起来比较复杂，但也正是这种复杂性赋予了分段函数独特的魅力。

我们来谈一下分段函数的求解方法。

对于分段函数来说，求解的关键点在于确定自变量的取值范围，并根据不同的取值范围选择对应的函数表达式进行计算。

在实际应用中，有一些常见的技巧和方法可以帮助我们更好地求解分段函数的取值范围。

可以通过不等式来确定自变量的取值范围，然后再根据不同的取值范围使用对应的函数表达式进行计算。

还可以通过图像的方法来辅助求解，将函数图像分成若干段，然后根据自变量的取值范围来确定所在的分段，并使用对应的函数表达式进行计算。

分段函数及其在日常生活中的应用研究

分段函数及其在日常生活中的应用研究分段函数是指一种由两个或多个部分组成的函数，各个部分由不同的定义域和函数解析式。

在数学中，分段函数广泛应用于各种数学问题的求解，同时也在日常生活中有着丰富的应用研究。

1. 分段函数的概念分段函数是指在定义域上不同的区间内，函数有着不同的解析式。

通常来说，分段函数由若干段函数组成，每个段函数定义在一个区间上。

而这些段函数在各自的定义域上又具有不同的性质和特点。

在数学上，分段函数常常用于描述一些不连续的现象或问题，比如阶梯函数、绝对值函数等都是典型的分段函数的例子。

2. 分段函数在数学问题中的应用（1）优化问题在数学建模和优化问题中，分段函数常常被用来描述一些实际问题中的非线性关系。

某种产品的售价随销售数量而发生变化，可以用分段函数来描述其价格-数量关系，从而进行成本和利润的分析。

（2）几何问题在几何学中，分段函数也有着重要的应用。

比如描述线段、封闭图形等几何对象时，就可以用到分段函数。

这些分段函数可以描述线段在不同区间上的斜率、长度等特性，从而对几何问题进行分析和求解。

3. 分段函数在工程问题中的应用（1）控制系统在自动控制系统中，分段函数常常被用来描述控制信号和被控对象之间的关系。

在温度控制系统中，温度传感器检测到的温度信号会对应不同的控制策略，这时就可以用分段函数来描述温度信号和控制动作之间的关系。

（2）信号处理在通信系统或信号处理系统中，分段函数也有着重要的应用。

在调制解调过程中，对输入信号的不同部分可能需要不同的处理方式，这时就可以用到分段函数来描述输入信号和处理方式之间的关系。

4. 个人观点与总结从以上的介绍可以看出，分段函数在数学、工程和日常生活中都有着广泛的应用。

它不仅能够描述复杂的不连续关系，同时也能够对各种问题进行建模和求解。

在我看来，学习和理解分段函数的概念和应用，不仅可以帮助我们更好地理解数学和工程问题，同时也可以培养我们对复杂问题的分析和解决能力。

初二数学分段函数知识点详解

初二数学分段函数知识点详解分段函数是数学中一个非常重要的概念，在初二数学学习中也是一个重要的知识点。

本文将详细解释分段函数的概念、性质以及解题方法。

1. 概念分段函数是由两个或多个函数组成的函数，根据自变量所属的不同区间而有不同的表达式。

它的定义域分为多个不相交的区间，每个区间上都有一个函数与之对应。

常见的分段函数形式为以下两种：- 若自变量x属于[a, b]，则函数f(x) = g(x)，其中g(x)为定义在[a, b]上的函数。

- 若自变量x属于[a, b]，则函数f(x) = h(x)，其中h(x)为定义在(a, b)上的函数。

2. 性质分段函数具有以下几个性质：- 分段函数的定义域是所有子函数定义域的并集。

- 分段函数是连续函数的一个特例，它在每个子函数定义域内连续，但可能在定义域之间的交界处不连续。

- 分段函数的图像由各个子函数的图像拼接而成，形状可以是折线、曲线或是其他形式。

3. 解题方法解题时，我们需要分析函数的定义域以及每个子函数在其定义域内的表达式。

下面将通过一个具体的例子展示解题步骤：例题：已知函数f(x)由以下两个子函数组成：- 当x ≤ -2时，f(x) = 2x - 1；- 当x > -2时，f(x) = x^2 + 3x + 2。

解题步骤：- 首先，我们需要确定函数的定义域。

根据题目中的条件，可得到整个实数集作为函数的定义域，即f(x)的定义域为(-∞, +∞)。

- 其次，我们根据不同的定义域范围，写出子函数的表达式。

当x ≤ -2时，f(x) = 2x - 1；当x > -2时，f(x) = x^2 + 3x + 2。

- 最后，我们根据定义域的范围和子函数的表达式，可以画出函数f(x)的图像。

在x = -2这个点，需要考虑到分段函数的不连续性。

4. 例题解析我们将例题中的两个子函数进行分析：- 子函数1：f(x) = 2x - 1。

它的定义域为(-∞, -2]。

探索分段函数和绝对值函数

探索分段函数和绝对值函数分段函数和绝对值函数是高中数学中重要的概念和工具。

通过分段函数和绝对值函数，我们可以更好地描述和解决一些特定情况下的问题。

本文将围绕这两个数学概念展开讨论，并探索它们的性质和应用。

一、分段函数分段函数是指定义在一个或多个子区间上的函数。

其函数值的定义方式在不同的子区间内可能是不同的，通常用条件语句来描述。

我们以以下例子来说明分段函数的概念：设函数f(x) =-x (x ≤ 0)2x (0 < x ≤ 2)4 (x > 2)在这个例子中，函数f(x)在不同的区间内采用不同的表达式来定义函数值。

当x≤0时，f(x)的函数值为-x；当0<x≤2时，f(x)的函数值为2x；当x>2时，f(x)的函数值为4。

分段函数的定义可以使数学描述更加准确，并能够更好地反映实际问题中的不同情况。

例如，在这个例子中，当x小于等于0时，f(x)的取值与-x相等，可以用来表示一个负数情况下的相关关系；而在0<x≤2时，f(x)的取值与2x相等，可以用来表示一个正数情况下的相关关系；当x大于2时，f(x)的取值为4，可以用来表示一个特定数值，不受x的影响。

二、绝对值函数绝对值函数是一个常用的数学工具，用来表示一个实数的非负值。

绝对值函数的定义如下：设函数f(x) = |x|在这个例子中，f(x)的取值是x的绝对值，即x的非负值。

绝对值函数常用于表示距离、误差、模量等非负值相关的情况。

例如，我们要计算一个点x到原点的距离，可以利用绝对值函数来表示。

当x大于0时，f(x)的值为x；当x小于0时，f(x)的值为-x。

通过绝对值函数的定义，我们可以方便地计算出这个点到原点的距离。

绝对值函数还常用于解决线性规划问题，求解最大值和最小值等。

由于绝对值函数具有稳定和连续的性质，可以将问题转化为非常数函数的优化问题，简化了计算的过程。

三、分段函数和绝对值函数的应用分段函数和绝对值函数在数学和实际问题中有广泛的应用。

初二数学分段函数知识点解析

初二数学分段函数知识点解析分段函数是初中数学中的重要内容之一，它通过不同的定义域范围将一个函数分成若干个部分，每个部分使用不同的表达式描述。

分段函数在数学中的应用非常广泛，能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。

本文将对初二数学分段函数的知识点进行解析，并以具体的例子来说明其应用。

一、什么是分段函数分段函数（piecewise function），又称离散函数，指的是在定义域上不同区间内可以有不同的表达式。

通常我们用一个大括号表示不同区间上的表达式，例如：\[ f(x)=\begin{cases}x+1, & x<0 \\x^2, & x\geq0\end{cases} \]这个函数在定义域上可以分为两个区间，即负无穷到0和0到正无穷，分别使用了x+1和x^2作为函数表达式。

二、分段函数的定义域和值域对于分段函数来说，每个区间上都有一个对应的函数表达式。

因此，我们需要确定每个区间的定义域。

在上面的例子中，第一个区间定义域为负无穷到0，第二个区间定义域为0到正无穷。

而对于整个分段函数的定义域，应该是各个区间定义域的并集。

在上面的例子中，整个函数的定义域为负无穷到正无穷，即(-∞, +∞)。

值域的确定需要分别计算每个区间的值域，然后取所有值域的并集。

对于上面的例子来说，第一个区间的值域为(-∞, 1)，第二个区间的值域为[0, +∞)。

因此，整个函数的值域为(-∞, 1]。

三、分段函数的图像和性质分段函数的图像通常由各个区间的图像组成。

在上面的例子中，第一个区间图像为一条斜率为1的直线，第二个区间图像为一条开口向上的抛物线。

分段函数具有一些特殊的性质。

首先，分段函数的图像是不连续的，因为在不同的区间上使用了不同的表达式。

其次，分段函数可能具有端点处的间断点。

例如，在上面的例子中，函数在x=0处具有间断点，因为0既属于第一个区间也属于第二个区间。

四、分段函数的应用举例分段函数在实际问题中具有广泛的应用。

高中数学的分段函数

高中数学的分段函数分段函数是数学中非常重要的一个概念，它在高中阶段的数学学习中经常出现，不仅涉及到函数的定义与求值，还涉及到图像的绘制与性质的分析。

下面我将从分段函数的基本概念、定义与性质、图像分析等几个方面进行详细阐述，希望能够帮助你对高中数学中的分段函数有更深入的理解。

首先，我们先来了解一下分段函数的基本概念。

所谓分段函数，就是由两个或多个函数在不同的区间上组合而成的函数。

它的定义域被划分成多个不同的区间，并且在每个区间上有不同的函数式。

每一个区间上的函数式称为分段函数的一个分段。

分段函数常常由符号函数来定义，符号函数是根据自变量的取值范围判断所需函数的类型。

例如，当x小于其中一特定值时，分段函数的定义可能由多项式函数、指数函数或三角函数等组成；当x大于或等于这个特定值时，分段函数的定义可能完全由不同的多项式函数、指数函数或三角函数等组成。

其次，我们来详细了解分段函数的定义与性质。

分段函数的定义在每个区间上不同，因此我们需要将函数式按照每个区间进行表示。

例如，对于一个分段函数f(x)，其定义域可以分为多个区间[a,b]、(b,c)、(c,d]等。

对于每个区间，我们需要确定相应的函数式，即f(x)={f1(x)，a≤x≤b；f2(x)，b<x<c；f3(x)，c≤x≤d}。

在每个区间上，分段函数的性质可能与其对应的函数式有关。

例如，在[a,b]区间上的函数式f1(x)的性质可能是可导函数，而在(b,c)区间上的函数式f2(x)的性质可能是不可导函数。

最后，我们可以通过对分段函数的图像进行进一步的分析。

我们可以从图像的形状、连续性、单调性等方面来推断函数的性质。

例如，如果分段函数在一些区间上是光滑的、单调增加的，那么该区间上的函数式可能是一个增函数。

通过观察图像的局部特点，我们还可以找到函数的最大值、最小值以及极值点等。

通过对图像的分析，我们不仅可以了解函数的特点，还可以对函数进行进一步的运算和研究。

分段函数及其在日常生活中的应用研究

标题：深度探索分段函数及其在日常生活中的应用研究一、概述分段函数作为数学中重要的概念，其在日常生活中的应用也是不可忽视的。

从简单的数学模型到复杂的实际问题，分段函数都能够提供有力的分析工具。

在本文中，我们将深入探讨分段函数的定义、性质以及在日常生活中的具体应用，并结合个人观点来全面了解这一概念。

二、分段函数的定义和性质1. 分段函数的定义分段函数是指在定义域的若干个子区间内，其函数值由不同的函数式子来定义的函数。

一般来说，分段函数可以分为线性分段函数、二次分段函数等不同类型。

当x≥0时，y=x；当 x<0 时，y=-x。

这就是一个简单的分段函数的定义。

2. 分段函数的性质分段函数的性质包括函数值的连续性、导数的计算以及函数图像的绘制等方面。

在任意一给定区间，分段函数都具有各自的函数式子和定义域，因此在计算导数和绘制函数图像时需要考虑到这一点。

这些性质对于从简单到复杂的分段函数来说都是通用的。

三、分段函数在日常生活中的应用1. 交通流量模型在城市交通规划中，常常需要通过分段函数来模拟不同时间段内的车辆流量。

早晚高峰期和平常时间的车辆密度就可以用分段函数来描述。

这对于优化交通信号灯的设置和道路设计都有着重要的指导意义。

2. 财务风险评估在金融领域，分段函数也经常被用来评估某个金融产品或投资组合的风险。

通过将不同的市场情况划分为不同的区间，可以更准确地评估风险的发生概率和程度，为投资决策提供科学依据。

3. 健康体能评估体育锻炼中，训练强度和时长的关系也可以用分段函数来描述。

通过分段函数模型，可以帮助运动员或普通人更合理地安排训练计划，避免过度或不足的训练对身体造成的不利影响。

四、个人观点和理解作为一种常见的数学模型，分段函数在解决实际问题中具有广泛的应用价值。

从数学原理到实际应用，我深刻认识到了分段函数的重要性。

通过深入学习和实际应用，我相信分段函数将对我的学习和工作产生深远的影响。

五、总结与回顾分段函数不仅仅是数学中的一个抽象概念，更是一个具有深刻应用价值的数学工具。

考点04 分段函数(解析版)

考点4 分段函数以及应用一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.（3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。

（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数.（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.（7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.（11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.（12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.二、题型与相关高考题解读 1.分段函数求值1.1考题展示与解读例1.（2017山东文9）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【命题意图探究】本题考查了分段函数求值及分类整合思想是中档试题. 【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【解题能力要求】分析问题能力、分类整合思想【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 1.2【典型考题变式】1.【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧≥+-<<+2,8220,2x x x x x ，若)2()(+=a f a f ，则)1(a f =（）A.165 B. 2 C.6 D.217【答案】B【解析】由2x ≥时()28f x x =-+是减函数可知,若2a ≥,则()()2f a f a ≠+,所以02a <<,由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++,解得1a =,则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,故选B.2. 【变式2：改编结论】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()12f a =,则a = （）B.41 B. 45 C. 41或45D. 2【答案】C【解析】由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧=<<2110a a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-≥21)1(21a a ，解得14a =或45=a ，故选C【变式3：改编问法】已知f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=（）A ．B ．C ．1D ．﹣1【答案】C ．【解析】∵f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=﹣f （）=﹣f （）=﹣log 2=1，故选C ．【变式4：函数迭代】已知a ∈R ，函数()24,2,3, 2.x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a = ．【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值．【解析】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2． 2.分段函数的最值与值域2.1考题展示与解读例2【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.【命题意图探究】本题主要考查分段函数的最值及分类整合思想、数形结合思想. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =-是函数()g x 的极大值点，①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．【解题能力要求】分类整合思想、数形结合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】先根据各段函数的图象与性质求出各段函数在相应区段上的值域，这些值域的并集就是函数的值域. 2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】设函数的最小值是1，则实数a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，4]B ．[4，+∞）C ．（﹣∞，5]D ．[5，+∞）【答案】B【解析】由题知，当x ＜1时，f （x ）=x 2﹣4x+a=（x ﹣2）2+a ﹣4，且为减函数，可得f （x ）＞f （1）=a ﹣3，由x≥1时，f （x ）递增，可得f （x ）的最小值为f （1）=1，由题意可得a ﹣3≥1，即a≥4，故选B ．【变式2：改编结论】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩，讨论)(x f 的值域.【答案】当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞；当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞；当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【解析】如图作出函数3()3h x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33h x x =-，知1x =-是函数()h x 的极大值点，1=x 是函数()h x 的极小值点，当1-<a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为)2(33a a a --- =0)1)(1(<-+a a a ，所以a a a 233-<-，所以函数)(x f 的值域为)2,(a --∞；当21≤≤-a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]2,(-∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为22≤-a ，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞；当2>a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为a a a 323-<-，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞；综上所述，当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞；当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞；当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[﹣，1] B ．[，] C ．[，] D ．[，2] 【答案】B【解析】当x ∈[0，]时，y=﹣x ，值域是[0，]；x ∈（，1]时，y=，y′=＞0恒成立，故为增函数，值域为（，1]．则x ∈[0，1]时，f （x ）的值域为[0，1]，当x ∈[0，1]时，g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），为增函数，值域是[2﹣2a ，2﹣]，∵存在x 1、x 2∈[0，1]使得f （x 1）=g （x 2）成立，∴[0，1]∩[2﹣2a ，2﹣]≠∅，若[0，1]∩[2﹣2a ，2﹣]=∅，则2﹣2a ＞1或2﹣＜0，即a ＜，或a ＞．∴a 的取值范围是[，]，故选B ．3.分段函数的解析式3.1考题展示与解读例3．（2021年高考天津卷9）设a ∈R ，函数()()()22cos 22,,215,x a x a f x x a x a x aπ-π<⎧⎪=⎨-+++≥⎪⎩，若函数()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（）A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B ．7511,2,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．711,2,344⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【解题能力要求】本题主要考查分段函数、函数零点、数形结合思想、转化与化归思想，是难题. 【答案】A【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a π-π=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出．【解析】()222150x a x a -+++=最多有2个根，()cos 220x a ∴π-π=至少有4个根，由22,2x a k k ππ-π=+π∈Z 可得1,24k x a k =++∈Z ，由1024k a a <++<可得11222a k --<<-．（1）x a <时，当15242a -≤--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；当16252a -≤--<-，()f x 有5个零点，即91144a <≤；当17262a -≤--<-，()f x 有6个零点，即111344a <≤．（2）当x a ≥时，()()22215f x x a x a =-+++，()()()22Δ414582a a a =+-+=-，当2a <时，∆<0，()f x 无零点；当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点；当2a >时，令()()22215250f a a a a a a =-+++=-+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点；∴若52a >时，()f x 有1个零点．综上，要使()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则应满足7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩，则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦．【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况．【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题，常转化为对应方程解得个数问题，再通过移项、局部分离等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题，再转化为这两个函数的交点个数问题，画出对应函数的函数的图象，利用数形结合思想求解. 3.2【典型考题变式】【变式1：改变条件】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) （A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩，所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.【变式2：改编条件】已知函数f（x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}【答案】D【解答】函数f（x）=，可得f（1﹣x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，即为f（1﹣x）=kx﹣k+有三个不同的实根，作出y=f（1﹣x）和y=kx﹣k+的图象，当直线y=kx﹣k+与曲线y=（x≤1）相切于原点时，即k=时，两图象恰有三个交点；当直线y=kx﹣k+与曲线y=（x﹣2）2（1＜x＜2）相切，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k=2（m﹣2），且km﹣k+=（m﹣2）2，解得m=1+，k=﹣2，即﹣2＜k≤0时，两图象恰有三个交点；综上可得，k的范围是（﹣2，0]∪{}，故选D．【变式3：改编结论】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若方程()()=0f x g x - 恰有2个不同的解，则b 的取值范围是( ) （A ）()72,{}4+∞⋃ （B ）()2,+∞ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩，所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()(2)0f x f x b +--=有2个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知2b >或47=b ，故选.A.【变式4：改编问法】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =x x 42-，则方程2)(-=x x f 解的个数为 . 【答案】3【解析】当0<x 时，0>-x ，所以x x x f 4)()(2+-=-，因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-=x x 42+，所以x x x f 4)(2--=，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥-<--=0,404)(22x x x x x x x f ，，所以2)()(+-=x x f x g =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+--0,250,2522x x x x x x ，由)(x g y =的图象知，)(x g y =有3个零点，所以方程2)(-=x x f 解的个数为3.4.分段函数图像4.1考题展示与解读例4．（2021高考上海卷14）已知参数方程[]334,1,12x t t t y ⎧=-⎪∈-⎨=⎪⎩，下列选项的图中，符合该方程的是（）【答案】B【解析】当0,0,0,t x y ===∴过原点，排除A ；当1t =时1,0x y =-=，排除C 和D ；当31230,340,0,,22x t t t t t =-===-=时，1230,,22y y y ==-=，故选B ． 4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，g （x ）=f （x ）+x +a ．若g （x ）存在2个零点，则a的取值范围是（） A ．[﹣1，0）B ．[0，+∞）C ．[﹣1，+∞）D ．[1，+∞）【命题意图探究】本题主要考查利用分段函数图像解含参数函数零点问题，是难题. 【答案】C【解析】由g （x ）=0得f （x ）=﹣x ﹣a ，作出函数f （x ）和y =﹣x ﹣a 的图象如图，当直线y =﹣x ﹣a 的截距﹣a ≤1，即a ≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g （x ）存在2个零点，故实数a 的取值范围是[﹣1，+∞），故选C ．【解题能力要求】数形结合思想、转化思想、分类整合思想、运算求解能力【方法技巧归纳】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为()0F x >的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.【变式2：改编条件】已知函数()22,0,{ ,0x x f x x x ≤=>，若函数()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是A. ()(),14,-∞-⋃+∞B. ][(),14,-∞-⋃+∞ C. [)()1,04,-⋃+∞ D. [)[)1,04,-⋃+∞【答案】C【解析】()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，等价于()y f x =与()1y k x =-有两个交点，同一坐标系，画出()y f x =与()1y k x =-的图象，直线过()0,1时， 1k =-，直线与()20y xx =≥，相切时4k =，由图知， [)()1,04,k ∈-⋃+∞时，两图象有两交点，即k 的取值范围是[)()1,04,-⋃+∞，故选C.【变式3：改编结论】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，则函数||)(x x f y -=零点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】A【解析】函数||)(x x f y -=零点个数，即为方程||)(x x f =解得个数，即为函数)(x f y =与函数||x y =交点个数，画出函数()f x 的图象与函数||x y =，由图像知，函数)(x f y =与函数||x y =交点个数0，所以函数||)(x x f y -=零点个数为0，故选A.【变式4：改编问法】已知函数，则函数f (x )的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数，当x ＜0时，函数是二次函数，开口向下，对称轴为x=﹣1，排除选项B ，C ；当x≥0时，是指数函数向下平移1单位，排除选项A ，故选D ．5.分段函数性质5.1考题展示与解读例5【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}【命题意图探究】本题主要考查分段函数的性质及函数方程解的个数问题，考查数形结合思想、运算求解能力，是中档题. 【答案】C【解析】由()f x 在R 上递减可知43020131a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，解得1334a ≤≤，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123[,]{}334，故选C.【解题能力要求】数形结合思想、分类整合思想、运算求解能力. 【方法技巧归纳】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，] B ．[，+∞）C ．[，]D ．（，）【答案】C【解析】由于函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，2a≥e ﹣a ，解得a≥．排除A ，D ，当a=2时，x=1可得e x ﹣2x 2=e ﹣2；2a+lnx=4＞e ﹣2，显然不成立，排除B ，故选C ．【变式2：改编结论】已知()2243,0,23,0,x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩不等式()()2f x a f a x +>-在上恒成立，则实数的取值范围是（） A. B.C.D.【答案】A【解析】二次函数243x x -+的对称轴是2x =，所以该函数在(],0-∞上单调递减； 2433x x ∴-+≥，同样可知函数223x x --+， 2233x x ∴--+<，在()0,+∞上单调递减， ()f x ∴在R 上单调递减，；，所以由()()2f x a f a x +>-得到2x a a x +<-，即2x a < , 2x a ∴<在[],1a a +上恒成立，()21;2a a a ∴+<∴<-，所以实数a 的取值范围是(),2-∞-，故选A.【变式3：改编问法】已知函数则下列结论错误的是（）A ．f （x ）不是周期函数B ．f （x ）在上是增函数C ．f （x ）的值域为[﹣1，+∞）D ．f （x ）的图象上存在不同的两点关于原点对称【答案】D 【解析】函数的图象如图所示，则f （x ）不为周期函数，A 正确；f （x ）在[﹣，+∞）递增，B 正确；f （x ）的最小值为﹣1，无最大值，则C 正确；由于x ＜0时，f （x ）=sinx ，与原点对称的函数为y=sinx （x ＞0），而sinx=x 在x ＞0无交点，则D 不正确，故选D ．6.分段函数的综合应用6.1考题展示与解读例2【2018全国卷Ⅰ】设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【命题意图探究】本题主要考查分段函数不等式及分类整合思想，是中档题. 【答案】D【解析】当0x ≤时，函数()2xf x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+<f x f x ，则需102021x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或1020x x +⎧⎨<⎩≥，所以0x <，故选D ．【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.6.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，则不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ）的解集是（）A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】函数f （x ）=，可得x≥0，f （x ）递增；x ＜0时，f （x ）递增；且x=0时函数连续，则f （x ）在R 上递增，不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ），可化为x+2＜x 2+2x ，即x 2+x ﹣2＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2，则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故选C ．【变式2：改编结论】．已知函数(),0{2,lnx x e f x lnx x e<≤=->，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（）A. ()2,e eB. ()21,e C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 21,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】作出)(x f 的图像，不妨设c b a <<，由图知，201a b e c e <<<<<<,由题知，|ln ||ln |b a =，即b a ln ln =-，所以0)ln(ln ln ==+ab b a ，所以ab =1,则c abc =),(2e e ∈,故选A.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数y=f （x ）﹣a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为（） A ．[4，5） B ．（4，5] C ．[4，+∞） D ．（﹣∞，4]【答案】A【解析】当x ＞0时，f （x ）=x+﹣3≥2﹣3=1，可得f （x ）在x ＞2递增，在0＜x ＜2处递减，由f（x ）=e，x≤0，当x ＜﹣1时，f （x ）递减；﹣1＜x ＜0时，f （x ）递增，可得x=﹣1处取得极小值1，作出f （x ）的图象，以及直线y=a ，可得e=e=x 3+﹣3=x 4+﹣3，即有x 1+1+x 2+1=0，可得x 1=﹣2﹣x 2，﹣1＜x 2≤0，x 3﹣x 4=﹣=，可得x 3x 4=4，x 1x 2+x 3x 4=4﹣2x 2﹣x 22=﹣（x 2+1）2+5，在﹣1＜x 2≤0递减，可得所求范围为[4，5），故选A ．三、课本试题探源必修1 P39页习题1.3 A 第6题：已知函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =)1(x x +.画出函数)(x f 的图象，并求出函数的解析式.【解析】当0<x 时，0>-x ，所以)1()(x x x f --=-，因为函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数，所以)1()()(x x x f x f --=-=-，所以)1()(x x x f -=，所以函数的解析式⎩⎨⎧≥+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f ，函数图象如下图所示：四．典例高考试题演练一、单选题1．（2021·四川成都零模（文））已知函数2log (2),1()e ,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则(2)(ln 4)f f -+=（） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【分析】分别求出()2f -和()ln 4f 的值再求它们的和，从而可得正确的选项. 【详解】()22log 42f -==，()ln4ln 44f e ==，故(2)(ln 4)6f f -+=，故选：C. 【点睛】易错点睛：本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的大小选择合适的解析式来计算，本题属于基础题.2．（2021·四川射洪模拟（理））定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，[2]2=.当*[))0,(x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A .记集合n A 中元素的个数为n a ，则2020211i i a =-∑的值为（） A ．40402021B ．20192021C ．20192020D ．20191010【答案】D【分析】先根据条件分析出当[)0,x n ∈时，集合n A 中的元素个数为222n n n a -+=，进而可得111211n a n n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再结合裂项相消法进行求和可得结果. 【详解】因为[][)[)[)[)0,0,11,1,22,2,3......1,1,x x x x n x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩，所以[][)[)[)()[)0,0,1,1,22,2,3......1,1,x x x x x x x n x x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩，所以[]x x 在各个区间中的元素个数分别为：1,1,2,3,4,......,1n -，所以当[)*0,,x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A ，集合n A 中元素个数为：()()2121123 (1122)n n n n n a n --+=+++++-=+=，所以()1112211n n a n n ⎛⎫=-≥ ⎪--⎝⎭，所以2020211111112019212...22112232019202020201010i ia =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，故选：D. 3．（2021·山东高三其他模拟）已知函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．()0,1a ∈B ．3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】C 【分析】将条件()()12120f x f x x x -<-等价于函数函数()f x 为定义域上的单调减函数，由分段函数的单调性要求，结合指数函数、一次函数的单调性得到关于a 的不等式组，求解即得. 【详解】由题意，函数()f x 对任意的12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，即函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩为R 上的减函数，可得0120,123a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩解得304a <≤，故选:C.4．（2021·江苏南京模拟（理））我们知道，任何一个正实数N 都可以表示成10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈.定义：(),00,0N n W N N n ≥⎧⎨<⎩的整数部分的位数＝的非有效数字的个数，如()()()2211.2103,(1.2310)2,3102, 3.001101W W W W --⨯=⨯=⨯=⨯=，则下列说法错误的是（）A ．当1,1M N >>时，()()()W M N W M W N ⋅=+B ．当0n <时，()W N n =-C ．当0,()1n W N n >=+D ．若1002,lg 20.301N ≈＝，则()31W N = 【答案】A【分析】A ．理解()W N 的含义，举例分析即可；B ．根据0n <分析所表示数的特点，由此可得()W N 的结果；C ．根据0n >分析所表示数的特点，由此可得()W N 的结果；D ．先将N 化为10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈的形式，然后计算出()W N 的值.【详解】当[)0,100N ∈时，N 的整数部分位数为2，当[)100,1000N ∈，N 的整数部分位数为3，一般地，)()110,100,1,2,3,4,......n n N n +⎡∈=⎣时，N 的整数部分位数为1n +；当[)0.1,1N ∈时，N 的非有效数字0的个数为1，当[)0.01,0.1N ∈时，N 的非有效数字0的个数为2，一般地，)()110,101,2,3,4,5,......n n N n +⎡∈=-----⎣时，N 的非有效数字0的个数为n -，A ．取210,10M N ==，所以()()()()33,2,104W M W N W M N W ==⋅==，()()325W M W N +=+=，所以()()()W M N W M W N ⋅≠+，故错误；B ．当0n <时，)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣，N 的非有效数字0的个数为n -，所以()W N n =-，故正确；C ．当0n >时，)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣，N 整数部分位数为1n +，所以()1W N n =+，故正确； D ．因为1002N ＝，所以lg =100lg230.1N ≈，所以30.110N ≈，所以)303110,10N ⎡∈⎣，所以()30131W N =+=，故正确，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解()W N 的含义以及计算的方法，通过对10n N a =⨯的分析，首先判断n 与0的关系，然后决定采用哪一种计算方法（类似分段函数）.5．（2021·安徽皖江名校联考）已知函数()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，方程()10f x -=有两解，则a 的取值范围是（） A ．1(,1)2B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．()1,+∞【答案】B【分析】根据已知条件对a 进行分类讨论：01a <<、1a >，然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围，确定出方程()10f x -=有两解时a 所满足的不等式，由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，所以0a >且1a ≠，当01a <<时，()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递增，所以()()max 11f x f =-=；又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增，且()()12f x f a >-=，因为方程()10f x -=有两解，所以21a <，所以102a <<；当1a >时，()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递减，()()min 11f x f =-=；又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增，()()12f x f a >-=，因为方程()10f x -=要有两解，所以21a <，此时不成立. 综上可得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】方法点睛：根据方程解的个数求解参数范围的常见方法：方法（1）：将方程解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过图象直观解答问题；方法（2）：若方程中有指、对数式且底数为未知数，则需要对底数进行分类讨论，然后分析()f x 的单调性并求解出其值域，由此列出关于参数的不等式，求解出参数范围.6．（2021·山东济南模拟）若函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,1 B ．(]0,2C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得. 【详解】因函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则有2y ax =-在(,2]-∞上递增，()()32ln 1y a x =--在(2,)+∞上也递增，根据增函数图象特征知，点(2,22)a -不能在点(2,0)上方，于是得0320220a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩ ，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,1. 故选：A7．（2021·山西名校联考）已知函数()cos ()ln f x x g x x ==，用max{,}a b 表示a ，b 中的最大值，则函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>的零点个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】分1x >，1x =，01x <<三种情况讨论可得结果. 【详解】分三种情况讨论：① 当1x >时，()ln 0g x x =>，所以()()0h x g x ≥>，故()h x 无零点；② 当1x =时，(1)cos110f =-<，(1)0g =，所以(1)0h =，故1x =是()h x 的零点；③ 当01x <<时，()ln 0g x x =<，所以()f x 的零点就是()h x 的零点.显然，()cos f x x =(0,1)上单调递减，且(0)10=>f ，(1)cos110f =-<，故()f x 在(0,1)内有唯一零点，即()g x 在(0,1)内有唯一零点. 综上可知，函数()h x 在0x >时有2个零点. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：分1x >，1x =，01x <<三种情况讨论.8．（2021·北京市十一学校高三其他模拟）已知函数()22,0313,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a->-成立，则满足条件的整数a 的个数为（） A ．2 B ．3C ．4D ．无数【答案】C 【分析】作出f （x ）的函数图象，利用直线的斜率，根据不等式只有1整数解得出a 的范围．【详解】作出f （x ）的函数图象如图所示：()1f x x a--表示点(,())x f x 和点(,1)a 所在直线的斜率，即曲线上只有一个点(,())x f x 且x 是整数和点(,1)a 所在直线的斜率大于零.如图所示，动点(,1)a 在直线1y =上运动.因为(0)0,(1)3,(2)0f f f ===,当[1,0]a ∈-时，只有点(1,3)这个点满足()10f x x a ->-，当[1,2]a ∈时，只有点(0,0)这个点满足()10f x x a->-. 所以a ∈][1,01,2⎡⎤-⋃⎣⎦.所以满足条件的整数a 有4个.故选：C.【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的图像，考查直线的斜率，关键在于考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力. 二、多选题9．（2021·重庆高三三模）()f x 是定义在R 上周期为4的函数，且()(](]1,112,1,3x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，则下列说法中正确的是（） A ．f ()x 的值域为[]0,2B ．当(]3,5x ∈时，()f x =C ．()f x 图象的对称轴为直线4,x k k Z =∈D ．方程3f x x 恰有5个实数解【答案】ABD 【分析】画出()f x 的部分图象结合图形分析每一个选项即可. 【详解】根据周期性，画出()f x 的部分图象如下图所示，由图可知，选项A ，D 正确，C 不正确；根据周期为4，当(3,5]x ∈时，()(4)f x f x =-==B 正确.故选：ABD.10．（2021·辽宁铁岭二模）设函数()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 值域为[)1,-+∞C ．存在00x <，使得()()00f x f =D ．()f x 与()f x -具有相同的单调区间【答案】BC【分析】根据函数奇偶性的定义判断A ，由分段函数求值域确定B ，由余弦函数性质确定C ，由二次函数及余弦函数的单调性确定D.【详解】因为()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≤-=⎨>⎩.所以()()f x f x -≠，()f x 不是偶函数，故选项A 错误. 当0x ≥时，211x +≥，当0x <时，cos [1,1]x ∈-，所以()f x 值域为[)1,-+∞，故B 正确；因为()01f =，()21f π-=，选项C 正确.因为()f x 具有单调性的区间与()f x -具有单调性的区间不同，是数轴上关于原点对称的，选项D 错误(由()f x -表达式也可以看出).故选：BC 。

浅谈对分段函数的认识

浅谈对分段函数的认识分段函数在数学中是一个常见的概念，它在解决实际问题和数学推理中都有着重要的作用。

在高中数学课程中，分段函数是一个重要的内容，学生需要通过对分段函数的认识和运用来提高自己的数学能力。

本文将从什么是分段函数、分段函数的特点、分段函数的图像、分段函数的求解和应用等方面进行浅谈，希望能对分段函数有一个更深入的认识。

一、什么是分段函数分段函数是由两个或多个函数组合而成的复合函数，其定义域被划分为若干个不相交的区间，每个区间内用不同的函数来描述自变量和因变量的关系。

一般来说，分段函数的自变量x所在的区间是开区间或闭区间，每个区间内的函数定义可以是多种不同类型的，比如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

分段函数的表达形式可以写为f(x)={f1(x), x∈D1; f2(x), x∈D2; ...; fn(x), x∈Dn}，其中f1(x)、f2(x)、...、fn(x)分别表示在不同区间上的函数表达式，D1、D2、...、Dn分别表示不同的定义域。

二、分段函数的特点1. 非连续性：分段函数在不同的定义域上可能是不连续的，即在划分的区间交界处可能存在跳跃或断裂现象。

这是因为在不同的区间内使用了不同的函数表达式，导致了函数在交界处的值可能出现突变。

2. 多义性：分段函数在一个定义域上可能具有多个函数表达式，这使得它的值在相同的自变量处可能有多个取值。

这也是分段函数的独特特点之一，同时也是使用分段函数解决实际问题时需要注意的问题。

3. 可导性：分段函数的可导性取决于其组成函数在定义域内的可导性。

一般来说，分段函数在每个定义域内的函数表达式都是可导的，但在交界处的导数可能存在不连续或不存在的情况。

4. 易于应用：分段函数的特点使得它在解决实际问题时具有很强的灵活性和适用性，能够更好地描述一些复杂的实际关系。

分段函数的图像一般是由不同定义域上的函数的图像组合而成的。

在每个定义域上，函数的图像可能具有不同的特点，比如线性函数的图像是一条直线、二次函数的图像是一个抛物线等。

浅谈对分段函数的认识

浅谈对分段函数的认识分段函数，顾名思义，就是将一个函数分成若干不同的段，每一段的函数表达式可能不同。

这种函数通常在数学和物理学中应用广泛。

分段函数在不同的区间内具有不同的形式和特点，具有一定的复杂性和灵活性，处理潜在问题具有非常大的便捷性。

因此，现在我们就开始浅谈对分段函数的认识。

首先，分段函数的定义是非常明确的，就是在一个区域内显示不同特征的函数。

这种定义首先证明，它是具有非常强的实用性的，在许多实际应用领域都有应用，如经济学、物理学、自然科学等。

通过对函数的划分，我们可以更好地描述函数的行为特征，帮助我们更好地理解函数的性质。

因此，分段函数是实现函数实用性的极好方式。

其次，分段函数的图像表现出分母为零和定义域的奇点，具有不连续性和方向性，同时具有不同的凸起和凹陷区域。

这种非线性的可见性让我们可以更加便捷地处理各种函数表达。

但是，它的非线性特质也意味着在分段函数的处理上将需要更精致的技术和方法。

我们应该熟悉不同分段函数的特征，让我们可以更好地优化函数表达式，更为适合不同的应用场景。

通过以上两点，我们可以看出分段函数之于数学上的总体价值，它为我们带来了实用性和便捷性，在函数绘制和数学处理方面具有重要价值。

但是，分段函数的复杂性和不断变化的特征也让我们认识到，在处理过程中，我们需要务必保持对函数的敏感性和细致性，这样我们才能更好地利用分段函数来解决问题和实现应用。

在完善以上认识的基础上，我们还需要学习如何掌握分段函数的处理技巧。

在实际处理过程中，我们需要了解一些重要的步骤，如定性分析、分类讨论等，以便更好地划分函数段和描述函数性质。

同时，我们还需要建立系统的函数处理体系，掌握常用的函数处理方程和求解方法，以便更好地在实际数学应用中实现分段函数。

综上所述，分段函数是数学中一种非常重要的函数形式，其具有实用性和便捷性，具有多种表现形式，具有不同的凸起和凹陷区域。

通过对其认识的深化，我们可以更好地掌握它的特征和复杂性，在实际应用和数学处理中实现其全面价值。

浅谈对分段函数的认识

浅谈对分段函数的认识分段函数是数学中的一类函数，其定义域被分成多个不同的区间，在每个区间中，函数可以有不同的表达式。

分段函数常见于几何学、物理学和工程学等领域中。

在这里，我们将探讨分段函数的概念、性质和应用。

分段函数的概念分段函数是一种由几个不同函数组成的函数，每个函数都在定义域的一个特定区间内定义。

由于每个函数的表达式不同，因此函数在不同区间内的行为也会有所不同。

一个分段函数的定义形式通常为：其中，f(x)表示函数，x表示自变量，a < x < b是一个给定的区间，c和d分别是给定区间上的常数。

在对分段函数进行计算和分析时，有一些通用的性质需要知道。

这些性质包括：1. 定义域：分段函数的定义域是由不同的区间组成。

因此，要计算函数的定义域，必须将每个区间内的条件求出并合并。

2. 奇偶性：分段函数的奇偶性可能会因为在不同的区间内有不同的函数表达式而异。

3. 连续性：在一些区间内分段函数可能是连续的，而在另外一些区间内则可能存在跳跃。

4. 极限：当x趋向于一个特定的值时，分段函数的极限可能会受到某些区间内的函数表达式的影响。

5. 导数和积分：分段函数的导函数和积分可以通过计算每个区间内的函数表达式来确定。

分段函数最常见的应用之一是在几何学中。

例如，一个多边形可以被描述为具有许多边缘的分段函数。

每个边缘在不同的区间内描述为不同的线性函数。

在这种情况下，分段函数可以让我们确定多边形的性质（如周长、面积等）。

分段函数还可以用于描述动态过程。

例如，一个跳水运动员从一个跳板上跳下，并通过不同的技术动作落入水中。

这种过程可以被描述为一个分段函数，其中每个区间内的函数表达式描述了运动员在不同的阶段所采取的不同动作。

此外，分段函数还可以在投资和风险管理领域中广泛应用，其中大量分析依赖于对于复杂的市场变化模型的建模。

总结。

反函数和分段函数概念的解释和分析

反函数和分段函数概念的解释和分析一、反函数的概念1.反函数的定义：如果函数f(x)在某一区间上是一一对应的，那么它在这个区间上就有一个反函数，记作f^(-1)(x)。

2.反函数的性质：a)如果f(x)和f(-1)(x)的定义域和值域分别是D和R，那么D=R，且f(-1)(f(x))=x，f(f^(-1)(x))=x。

b)反函数的图象是原函数图象的镜像。

3.反函数的求法：a)如果f(x)是一次函数或二次函数，可以直接求出其反函数。

b)如果f(x)是复合函数，可以利用“反函数的复合函数”法则求出其反函数。

二、分段函数的概念1.分段函数的定义：分段函数是一种在定义域的不同部分上具有不同表达式的函数。

2.分段函数的表示方法：a)符号表示法：f(x) = { f1(x), x ∈ D1; f2(x), x ∈ D2; …; fn(x), x ∈Dn }b)图象表示法：在同一坐标系中画出各段函数的图象，并用不同颜色或标记区分。

3.分段函数的性质：a)分段函数在每段的定义域上连续。

b)分段函数在整个定义域上可能不连续。

c)分段函数在整个定义域上可能没有极限。

4.分段函数的求导：分段函数的导数在每个连续区间上可以分别求导，但在分段点处可能不存在。

三、反函数与分段函数的关系1.如果一个分段函数在每个连续区间上都是一一对应的，那么它可以有两个以上的反函数，分别对应于每个连续区间。

2.分段函数的反函数可能是分段函数，也可能是单个函数。

这取决于原函数在每个连续区间上是否是一一对应的。

3.在求分段函数的反函数时，需要分别求出每个连续区间上的反函数，并在分段点处进行衔接。

综上所述，反函数和分段函数是数学中的重要概念。

了解它们的定义、性质和求法，对于提高中学生的数学水平和解决实际问题具有重要意义。

习题及方法：1.习题：求函数f(x) = 2x + 3的反函数。

方法：将f(x) = y，解出x，得到y = 2x + 3。

然后交换x和y的位置，解出y，得到x = (y - 3) / 2。

浅谈对分段函数的认识

浅谈对分段函数的认识分段函数，顾名思义就是一个函数在定义域的各个区间内的表达式不同，即分为多个段。

分段函数常见的形式有多项式函数、三角函数、指数函数等。

分段函数的定义域可以是实数集的一个或多个区间。

在定义域的每个区间内，函数可以有不同的表达式，所以它的图像可能不是一条连续的曲线，而是由多条线段组成的。

分段函数的定义可以使用符号来表示，比如：f(x) = {x^2, x≥0;-x, x<0}上述的分段函数f(x)在x≥0时的表达式是x^2，在x<0时的表达式是-x。

这个函数在x=0处有一个切点，图像由两条线段组成，形成一个“拐角”。

分段函数的性质与一般的函数相同，可以进行加、减、乘、除等运算，也可以求导和求积分。

由于每个区间内的表达式不同，导数和积分的表达式也会相应地有所不同。

对分段函数的认识需要注意以下几个方面：1. 定义域的划分：分段函数在定义域的每个区间内有不同的表达式，因此需要明确定义每个区间。

在定义域的两个区间之间可能有一个或多个分界点，需要对这些点进行分类讨论。

2. 函数值的计算：在计算分段函数的函数值时，需要根据自变量的取值范围选择相应的表达式进行计算。

在上述例子中，当x=1时，函数的值为1；当x=-1时，函数的值为1。

在拐角的位置，函数的值需要用左右极限进行讨论。

3. 图像的绘制：分段函数的图像通常由多条线段组成，形成直线和折线的组合。

在绘制图像时，需要根据每个区间的表达式和定义域内的点进行绘制。

还需要注意拐角的位置和导数的连续性。

4. 导数与积分：分段函数的导数和积分的计算需要分别在每个区间内进行。

在每个区间的内部，可以使用常规的导数和积分法则进行计算。

对于分界点处的导数和积分，需要使用左右导数和积分的定义进行讨论。

分段函数是数学中常见的一种函数形式，它可以用来描述一些复杂的实际问题。

在实际应用中，常常遇到需要根据不同的条件来确定函数表达式的情况，这时就可以使用分段函数来进行描述。

浅谈对分段函数的认识

浅谈对分段函数的认识分段函数在数学上是指由不同的公式在不同的区间内描述的函数，它在不同的区间内可以有不同的定义域和值域。

分段函数是很重要的一类函数，其在数学和实际问题中都有着广泛的应用。

在这篇文章中，我将对分段函数进行简单的介绍和探讨。

首先，分段函数的定义通常是这样的：对于定义在实数集上的函数f(x)，如果它在某一区间[a,b]内具有不同的解析式，那么我们称f(x)在这一区间内为一分段函数。

像这种形式的函数可以用数学符号表示为：f(x) = {f1(x), a ≤ x < b{f2(x), b ≤ x ≤ c{f3(x), c < x ≤ d…其中，f1(x)，f2(x)，f3(x)等为该函数在不同区间内的定义式。

分段函数的定义包含了区间的概念，因此它描述的是针对不同的自变量（x）取值范围所分别定义的函数值。

例如，考虑如下的分段函数：这是一个用解析式表示的分段函数，对于不同的自变量x，它的函数值在不同的区间内有不同的表达式。

例如，当x小于-1时，函数f(x)等于x+1；当x不小于-1但不大于0时，函数f(x)等于x^2-1，而当x大于0时，函数f(x)等于x-1。

分段函数的讨论需要考虑它在不同区间的性质。

具体来说，我们通常需要考虑以下几个方面：1. 奇偶性和周期性：当分段函数在某个区间内是偶函数或奇函数时，有助于简化计算和证明结论。

在某些情况下，还需要探讨它是否有周期性。

2. 连续性和可导性：分段函数在不同区间内的连续性和可导性也是很重要的性质。

对于某些分段函数，例如绝对值函数，它在分段处不连续但在其他地方是连续的。

在计算导数时，我们还需要讨论分段函数的可导性。

3. 定义域和值域：分段函数的定义域和值域是很重要的性质，它们通常需要在具体的问题中求出。

当分段函数的定义域和值域较为特殊时，意味着它有着特殊的性质。

4. 图像和性质：分段函数的图像对于理解它的性质也是很有帮助的。

在绘制图像时，我们需要考虑分段函数在不同区间内的表达式和定义域、值域的限制等。

浅谈对分段函数的认识

浅谈对分段函数的认识
分段函数，又称为分段定义的函数，是指一个函数在定义域上根据不同的条件表现出不同的规律，即分为两个或多个部分，每一部分都有特定的定义域和解析式。

分段函数通常以if-then的形式来表示，即如果某一条件成立，则函数采用第一种解析式，否则采用第二种解析式。

分段函数在我们日常生活和学习中都有广泛的应用。

例如，对于某一商品，可以针对不同的价格区间采取不同的促销策略，这就可用分段函数来描述；在数学上，分段函数可以用于引入定义域的边界值，确保函数在边界处的连续性。

对于分段函数，我们需要注意以下几点：
1.定义域的确定。

分段函数在每个部分都有特定的定义域，因此需要注意每一部分的定义域必须排除其他部分的干扰。

若每一部分的定义域都相同，那么分段函数的定义域就是所有部分定义域的交集。

2.解析式的确定。

每一部分的解析式应当与定义域保持一致，并且要保证函数在每个分段的交界处连续，即函数的值在交界处左右两侧应当相等。

3.分段点的处理。

分段点是指函数在定义域上不连续的点，需要对分段点进行特殊处理。

例如，在分段点处对左右极限分别求值，取得的值相等，则分段函数在该点连续。

总之，分段函数是一种比较灵活的数学表达式，能够描述一些复杂的现实问题。

尽管这类函数在计算中可能会显得有些复杂，但在多种实际问题中，它s通常是不可或缺的。

因此，我们应当在学习中重视对分段函数的认识，以应对不同的数学和实际情况。

浅谈对分段函数的认识

浅谈对分段函数的认识分段函数是指在定义域上由两个或多个不同的公式组合而成的函数。

在数学和实际问题中，分段函数被广泛应用，因为它能够更准确地描述复杂的现象和关系。

对于初学者来说，分段函数可能有些抽象和复杂，但只要理解其基本概念和特点，就能够掌握它的应用和解题方法。

在本文中，将从定义、图像、性质和应用等方面对分段函数进行简要的探讨，并对其认识进行浅谈。

我们来看一下分段函数的定义：分段函数是由多个函数组合而成的函数。

它在定义域上以不同的规则表达，通常是用若干个不同的函数公式来表示。

当自变量 x 的取值在某个范围内时，函数 f(x) 的表达式是一个函数，而在另一个范围内时，它又是另一个函数。

这种函数表达形式能够更精确地描述某些规律和关系，因此在数学建模和实际问题中有着重要的应用价值。

我们来了解一下分段函数的图像特点：分段函数的图像是由若干个函数图像组合而成的。

在分段函数的定义域上，当自变量 x 的取值在某个范围内时，函数的图像呈现出某种规律，而在另一个范围内时，图像又表现出另一种规律。

分段函数的图像通常是由多个不相连的部分组成的。

在绘制分段函数的图像时，需要将各个部分的图像按照定义域上的规则进行组合，从而得到整体的图像。

这些不同的部分图像在定义域上呈现出不同的特征，能够直观地展现分段函数的性质和规律。

除了上述的定义和图像特点外，分段函数还有一些特殊的性质和应用。

分段函数的定义域是由多个部分组成的，因此在求解分段函数的定义域时，需要分别考虑各个部分的定义域，并取它们的交集作为最终的定义域。

分段函数在实际问题中有着广泛的应用。

在经济学中，用分段函数来描述收入和消费的关系；在物理学中，用分段函数来描述物体在不同时间段内的运动规律。

通过分段函数的运用，能够更准确地描述复杂的现象和规律，为问题的分析和研究提供了有力的数学工具。

分段函数是数学中一个重要且富有应用价值的概念。

通过掌握其定义、图像特点、性质和应用，能够更好地理解和应用分段函数，从而更好地解决实际问题和展现数学的美妙。

浅谈对分段函数的认识

浅谈对分段函数的认识分段函数是指由多个不同的函数组成的函数，根据不同的自变量取值范围，采用不同的函数来计算函数值。

分段函数在数学中具有广泛的应用，特别是在描述现实生活中存在明显划分的情况下，常常使用分段函数来建立模型。

对于一个分段函数来说，首先要确定自变量的取值范围。

然后，根据自变量的取值范围，确定相应的函数表达式。

根据不同的自变量取值范围，可以采用不同的函数表达式，这就是分段函数的核心思想。

分段函数通常用符号表示，如y = f(x)，其中f(x)表示一个分段函数。

根据自变量x 的取值范围，可以将整个定义域划分为多个区间，并在每个区间内定义不同的函数表达式。

举个例子，考虑一个简单的分段函数f(x) = { x, x<0; 2x+1, x>=0}。

这个函数在x<0时等于x，在x>=0时等于2x+1，这就是一个分段函数。

在x<0时，函数图像为一条直线，斜率为1；在x>=0时，函数图像为一条直线，斜率为2。

两条直线在x=0处连接，形成一个角点，这就是分段函数的特点。

分段函数的图像通常是由多条线段组成。

这些线段在定义域中的连接点上通常是不光滑的，因为在连接点处的函数值通常会突变。

这是因为在不同的自变量取值范围内，采用不同的函数表达式计算函数值。

分段函数的优点在于可以更精确地描述现实生活中存在明显划分的情况。

在描述货物运输的费用时，可能根据货物的重量范围来分段计算运输费用。

在描述人的所得税率时，也可能根据不同的收入水平来分段计算税率。

分段函数也存在一些问题。

在定义域中的连接点上，其函数值通常是不连续的。

这意味着在连接点附近，分段函数可能存在间断点。

分段函数的计算可能会比较复杂。

由于分段函数在不同的自变量取值范围内采用不同的函数表达式，因此需要根据自变量的取值范围来判断使用哪个函数表达式，这可能增加计算的复杂性。