公式法(完全平方公式)

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公式法之完全平方公式

完全平方公式是解一元二次方程的重要工具，它的形式可以表示为：

\[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\]

其中，\(a\)和\(b\)都是实数。

完全平方公式的应用很广泛，特别是在解二次方程和因式分解中起着

重要的作用。下面我们将详细介绍完全平方公式的推导和应用。

一、完全平方公式的推导：

假设我们要解方程\(x^2+6x+9=0\)。

这个方程左边的三个项\(x^2\)、\(6x\)和\(9\)构成了一个完全平方，可以写成\[(x+3)^2=0\]。

通过观察可以发现，\(x+3\)是一个完全平方的形式。现在我们来验

证一下。

将\((x+3)\)展开进行乘法运算，得到的结果为

\[x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9\]。

可以看出，它们的确是相等的。

由此我们可以得到，当一个二次方程 \(x^2 + bx + c = 0\) 可以写

成 \((x + \frac{b}{2})^2 = 0\) 的形式时，就可以应用完全平方公式

来求解它。

进一步来推导完全平方公式的一般形式。

我们假设一个一元二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(a

\neq 0\)。

首先，我们将方程两边同时除以 \(a\)，得到：\[x^2 +

\frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\]。

然后，我们观察到 \(\frac{b}{a}x\) 这一项和 \(\frac{c}{a}\) 是关于 \(x\) 的一个完全平方，即：\[(x + \frac{b}{2a})^2 -

15.4.2完全平方公式法

§15．5．3．2 公式法（二）

教学目标

（一）教学知识点

用完全平方公式分解因式

（二）能力训练要求

1．理解完全平方公式的特点．

2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．

3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．

4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．

（三）情感与价值观要求

通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．教学重点

用完全平方公式分解因式．

教学难点

灵活应用公式分解因式．

教学方法

探究与讲练相结合的方法．

教具准备

投影片．

教学过程

Ⅰ．复习旧知

问题1：前面我们学习了因式分解，请大家回忆一下，到目前为止，我们学习了因式分解的方法有几种

问题2：把下列各式分解因式。

(1)8a2b2-12ab3

(2)4y2-x2

(3)(x+y)2-9

(4)5ax2-20ay2

[师]叫学生起来回答。

[师]今天我们就来学习另外一种公式来分解因式．

问题3：学生思考，在我们学过的整式乘法公式当中，除了平方差公式以外，还学了哪些公式？

学生回忆平方差公式，

(a+b)2= a2+2ab+b2

(a-b)2= a2-2ab+b2

[生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．

[师]现在我们把这个公式反过来

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

[师] （1）a2+2ab+b2

（2）a2-2ab+b2

叫做完全平方式，能不能用语言叙述呢？

1434公式法完全平方公式

分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解； (2)中，将 a ＋ b看作一个整体，设a ＋ b =m，则原式化为完全平方式m 2 － 12m ＋ 36.
解：(1)3 ax2＋ 6axy ＋ 3ay2 =3a (x2 ＋ 2xy ＋ y2) = 3a(x ＋ y) 2;
(2) (a ＋ b) 2 －12(a ＋ b) ＋ 36 = (a ＋ b) 2 －2 • (a ＋ b) • 6+6 2 = (a ＋ b － 6) 2 .
16x2 ＋ 24x ＋ 9 = (4x) 2 ＋ 2 • 4x • 3 ＋ 32.
a2 ＋ 2 • a • b ＋ b2
知2－讲
解：(1)16x2 ＋ 24x ＋ 9 = (4x) 2 ＋ 2 • 4x • 3 ＋ 32 =(4 x ＋ 3) 2;
(2) － x2 ＋ 4xy － 4y2 = － (x2 － 4xy ＋ 4y2 ) = －[x2 － 2 • x • 2y ＋ (2 y) 2] = － (x － 2y) 2.
是( C )．
①4x2－4xy－y2；②x2＋ 2 x＋ 1 ；③－1－
a－
a2 4
5 25
；④m2n2＋4－4mn；⑤a2－2ab＋
来自百度文库
4b2；⑥x2－8x＋9.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

完全平方根公式

完全平方根公式是数学中常用的一个公式，它用于求解一元二次方程的根。一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。完全平方根公式可用于求解这个方程的解。

完全平方根公式的表达式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。其中，±表示两个解，一个为正根，一个为负根。这个公式的推导和证明可以通过配方法、求平方、因式分解等多种方法得到。

使用完全平方根公式求解一元二次方程的步骤如下：

1. 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0。

2. 根据公式，计算出判别式D = b^2 - 4ac的值。

3. 判断判别式的值：

- 若D > 0，方程有两个不相等的实根。

- 若D = 0，方程有两个相等的实根。

- 若D < 0，方程无实根，但有两个共轭复根。

4. 根据判别式的值，代入公式计算出方程的根。

下面通过一个具体的例子来说明完全平方根公式的应用：

例题：求解方程2x^2 + 5x - 3 = 0的根。

解：根据公式，我们可以得到a = 2，b = 5，c = -3。代入完全平

方根公式，可得：

x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)

化简得：

x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4

x = (-5 ± √49) / 4

x = (-5 ± 7) / 4

因此，方程2x^2 + 5x - 3 = 0的根为：

x1 = (-5 + 7) / 4 = 1/2

x2 = (-5 - 7) / 4 = -3

公式法—完全平方公式 ppt课件

9 5.当x＝1，y＝− 13时，代数式x2＋2xy＋y2的值是___4_____．
6.因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2.
乘法公式
①平方差公式 ②完全平方公式
新课讲授把乘法公式 (a+b)2= a2+2ab+b2 ， (a-b)2=a2-2ab+b2 反过来，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2 ， a2-2ab+b2=(a-b)2
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.
观察这两个式子： a2+2ab+b2
首2 2首尾尾2
口诀： “首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍中间放.
典例精析例4 把下列各式因式分解（1）3ax2＋6axy＋3ay2 解：(1)原式=3a(x2 ＋2xy ＋y2)
= 3a(x＋y) 2
若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进
一步分解因式。
（2） -x2-4y2＋4xy 解：(2)原式=-（x2+4y2-4xy ）

14.3.2.2 公式法——完全平方公式

拼出图形为：
a
a²
a
ab a ab a
b b
b²b
b
b
ab a²
b² ab b
这个大正方形的面积可以怎么求？
a
（a+b）2 = a2+2ab+b2
a
将上面的等式倒过来看，能得到： a2+2ab+b2
=
（ a +b ） 2
观察这两个式子： a2+2ab+b2 （1）每个多项式有几项？
a2－ 2ab+b2 三项
（1）a2－4a+4; （3）4b2+4b-1; 是不是（2）1+4a² ; 不是（4）a2+ab+b2; 不是
分析：（2）因为它只有两项；
（ 3） 4b² 与-1的符号不统一；
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
P118 例2 分解因式：
（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
是第一项和第三项底数的积的±2倍
a 2 2ab b 2
完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.

4.3.2分解因式——公式法(完全平方)

完全平方
分解因式——公式法
五华县城镇中学 ——戴恒辉
完全平方公式:（a＋b）2=a2＋2ab＋b2 （a－b）2=a2－2ab＋b2
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
多项式为：首平方，加尾平方，首尾两倍中间放，符号还看中间项。
1 x2 (__2_x_y_) y2； 2 4a2 9b2 _1_2_a_b__； 3 x2 _(__4_y_) 4 y2；
4 a2 (__a__b_) 1 b2；
4
5 x4 2x2 y __y_2__．
(1)x2 14x 49
(2)4a2 12ab 9b2
再进一步分解因式。
小结
1、利用完全平方分解因式的公式是什么？ 2、什么是完全平方式？ 3、式子前有负号要先把负号提出来，有公因式要先提公因式。
解:原式 x2 2 7 x 72 解：原式 (2a)2 2 2a 3b (3b)2
(x 7)2
(2a 3b)2
找到完全平方式中的 “头”和“尾”，确定中间项的符号。
(3)(m n)2 6(m n) 9 完全平方式中的“头”
和“尾”，可以是数
(m n) 32
字、字母，也可以是
(m n 3)2

新人教版八年级数学上4.3.2 公式法---完全平方公式

四、巩固提升
1、基础练习
（1）填空 __2_5_x2_+10xy+y2 =(__5_x +_y_)2
这些等式只给了两个已知项，你能完成这些填空吗？
x2-_6_x_y__+ _9_y_2_=( _x_-3y )2
_9_x_2+_2_4_x_y+16y2= (3x +__4_y ) 2
8_1_m__2 -36mn+_4_n_2=(_9_m_ - 2n)2
例6 分解因式
(1) 3ax2+6axy+3ay2
分析：3ax2+6axy+3ay2中，都有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解。
解：3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2
(2) (a+b)2-12(a+b)+36 分析：只要把a+b看成一个整体,(a+b)212(a+b)+36 就是一个完全平方式。即 (a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×(a+b)×6+62
a 1 0 b 2 0
ba

1 2
∴ 2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3 =7

4.3.2 完全平方公式因式分解——公式法

给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。
高斯
奇妙的数学
6秒
第十四章因式分解
14.3.2 公式法
温故知新：我们已经学过哪些因式分解的方法？
提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) 公式法： ① a2-b2=(a+b)(a-b) 练习：分解因式
x2 12x 36
例1 分解因式：
（1）16x2+24x+9 （2）-x2-2xy-y2
针对练习：分解因式（1） x2 -12x+36 （2）-a2+4ab-4b2
例2：把下列各式分解因式：
(1) 3ax2-6axy+3ay2 (2) （a+b)2 -12(a+b)+36
课堂小结
1、本节课学习了哪些主要内容？ 2、因式分解时应注意什么？
( 1) x²+2x+1= ( x )²+2·( x )·( 1 )+( 1 )²=(x + 1 )2 ( 5)Leabharlann Baidum²-6m+9=( m)²- 2·(m) ·( 3 )+( 3 )²=(m - 3)2 ( 6) a²+4ab+4b²=( a )²+2·( a ) ·( 2b )+(2b )²=(a + 2b)2

公式法完全平方公式.ppt

练习P119
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2－4a+4;
(2)1+4a2;
(3) 4b2+4b－1 ;
(4)a2+ab+b2.
2.分解因式：(p119) (1) x2+12x+36; (3) a2+2a+1; (5) ax2+2a2x+a3;
(2) －2xy－x2－y2; (4) 4x2－4x+1; (6) －3x2+6xy－3y2.
=3a(x+y)2
=(a+b-6)2.
四、小结
1：如何用符号表示完全平方公式？
a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2(a-b)2． 2：完全平方公式的结构特点是什么？
完全平方式的特点： 1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.
1、回答：下列各式是不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否 5x2 x 1 是

完全平方公式(基础)知识讲解

完全平方公式（基础）

责编：杜少波

【学习目标】

1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.

2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；

3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.

【要点梳理】

要点一、公式法——完全平方公式

两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2

222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.

要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；

（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或

减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.

（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.

（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以

是单项式或多项式.

【高清课堂400108 因式分解之公式法知识要点】

要点二、因式分解步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；

（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；

（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项

（1）因式分解的对象是多项式；

（2）最终把多项式化成乘积形式；

（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．

【典型例题】

类型一、公式法——完全平方公式

1、下列各式是完全平方式的是（）．

A ．412+-x x

B ．21x +

C ．1++xy x

4.3.2公式法(完全平方公式)

课堂小结
公式完全平方公式特点分解因式
步骤
a2±2ab+b2=(a±b)2
（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
一提、二套、三查
课后作业
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( B )
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．3x(x＋2)(x－2)
D．3x(x－2) ²
(2)(a2＋4)2－16a2. 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2；
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2.
用完全平方公式分解因式练习
把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162.
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，
解：(1)原式=（100－99)²
=1. (2)原式＝(34＋16)2
＝2500.
用完全平方公式分解因式练习
已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
(2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2.

专题：完全平方公式,十字相乘法

分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
＝Biblioteka Baidu12＝121.
知识要点2
十字相乘法
十字相乘法公式：
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
11
(1)X2-7x+12 x x
(3)x2+8x+12
(2)x2-4x-12 (4)x2-11x-12
(5) 2x2-7x+3
(6) 5x2+6xy-8y2
a2-2ab+b2=(a-b)2
3
完全平方式: a 2 2ab b2
完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
典例精析
例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )

公式法之完全平方公式

综合运用 5. 分解因式：
综合运用
6.如下页图，流为I,电压为U,
三个电阻串联起来，线路AB上的电求U 的值．
综合运用
7.如图，在半径为R的圆形钢板上，挖去半径为r 的四个小圆，计算当R=7.8cm ,r=1.1cm时剩余部分的面积（π 取3.14 ）.
综合运用
8.如图，某小区规划在边长为x m的正方形场地上，修建两条宽为 2m的甬道，其余部分种草，你能用几种方法计算甬道所占的面积？
公式右边特点：
= =
待分解的多项式（完全平方式）三项平方符号相同中间项有2倍
分解的结果和或差的平方符号一致
完全平方式的判断
只有完全平方式，才能用完全平方公式分解因式
那怎么判断一个式子是不是完全平方式呢？
1．看项数： 2．看平方： 3．看乘积
必须是3项平方前的符号必须相同必须是两个平方内数或式的2倍
若答案：9或-7
是一个完全平方式，则m=______.
已知完全平方式求系数已知完全平方式怎么求系数？
公式法难题分解因式：
答案：4．
公式法难题分解因式：
标题公式法难题分解因式：
分组分解
分解因式提示：先考虑后三项答案：(a+b+1)(a-b-1)
分组分解法什么是分组分解法？如何利用分组分解法分解因式？