温江书朗教育初高中数学课衔接专用资料蒋

温江书朗教育初高中数学课衔接专用资料第1课时 数与式(一)一、绝对值 |a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ＞0，0，a ＝0，－a ，a ＜0．绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．绝对值的性质：两个互为相反数的绝对值相等．即|a |＝|－a |．两个数的差的绝对值的几何意义：|a －b |表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1 解方程：（1）|x －1|＝2． （2）|x －1|＋|x －3|＝4．练 习1．填空：(1)若|x |＝5，则x ＝_________；若|x |＝|－4|，则x ＝_________．(2)如果|a |＋|b |＝5，且a ＝－1，则b ＝________；若|1－c |＝2，则c ＝________．3．化简：|x －5|－|2x －13|(x ＞5)．4．解方程：(1)|x －2|＝1； (2)|x ＋2|＋|x －1|＝4； (3)|x －2|＋|2x ＋3|＝6．二、乘法公式(1)立方和公式： (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3；(2)立方差公式： (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3；(3)三数和平方公式 (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ；(4)两数和立方公式 (a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3；(5)两数差立方公式 (a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3．例1 化简：(x －1)(x +1)(x 2－x ＋1)(x 2＋x ＋1)．图1－1(1)图1－1(2)图1－2(1)图1－2(2)例2 若x ＋1x ＝3，求x 2＋1x 2和x －1x的值． 例3 已知a ＋b ＋c ＝4，ab ＋bc ＋ca ＝4，求a 2＋b 2＋c 2的值．练 习1． (1)19a 2－14b 2＝(12b ＋13a )( )； (2)(4m ＋ )2＝16m 2＋4m ＋( )； (3)(a ＋2b －c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋( )．2．(1)若x 2＋12mx ＋k 是一个完全平方式，则k 等于 ( ) (A)m 2 (B)14m 2 (C)13m 2 (D)116m 2 (2)不论a ，b 为何实数，a 2＋b 2－2a －4b ＋8的值( )(A)总是正数 (B)总是负数(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数三、二次根式1．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程2．二次根式a 2的意义 a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ＞0，0，a ＝0，－a ，a ＜0．也可以写成a 2＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0． 例1 将下列式子化为最简二次根式：(1)12b ；(2)a 2b (a ≥0)；(3)4x 6y (x ＜0)．例2 计算：3÷(3－3)．例3 试比较下列各组数的大小：(1)12－11和11－10；(2)26＋4和22－6． 例 4 化简：(1)9－45；(2)x 2＋1x2－2(0＜x ＜1)． 练习1．(1)1－31＋3＝________________；(2)若(5－x )(x －3)2＝(x －3)5－x ，则x 的取值范围是_______；(3)424－654＋396－2150＝______________；(4)若x ＝52，则x ＋1－x －1x ＋1＋x －1＋x ＋1＋x －1x ＋1－x －1＝_________．2．等式2-x x ＝2-x x 成立的条件是 ( )(A)x ≠2 (B)x ＞0 (C)x ＞2 (D)0＜x ＜23．若b ＝a 2－1＋1－a 2a ＋1，求a ＋b 的值．4．比较大小：2－4(填“＞”，或“＜”)．5．(1)(2＋3)18(2－3)19＝________；(2)若(1－a )2＋(1＋a )2＝2，则a 满足的条件是____；(3)11＋2＋12＋3＋13＋4＋14＋5＝_______．第2课时 数与式(二)一 、分式例1 若对于一切不为0且不为－2的实数x ，5x ＋4x (x ＋2)＝A x ＋B x ＋2，求常数A ，B 的值． 例2 (1)试证：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1(其中n 是正整数)；(2)计算：11×2＋12×3＋…＋19×10；(3)证明：对任意大于1的正整数n ，有12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＜12；例3 设e ＝c a，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．练 习1．对任意的正整数n ，1n (n ＋2)＝ (1n －1n ＋2)．2．若a ＝12，b ＝13，则3a 2－ab 3a 2＋5ab －2b 2＝_______．3．若x 2＋xy －2y 2＝0，xy ≠0，则x 2＋3xy ＋y 2x 2＋y 2＝______．4．正数x ，y 满足x 2－y 2＝2xy ，求x －y x ＋y的值．5．计算：(1)11×2＋12×3＋…＋199×100；(2)11×3＋12×4＋…＋19×11．6．试证：对任意的正整数n ，有11×2×3＋12×3×4＋…＋1n (n ＋1)(n ＋2)＜14．二、分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：(1)x 2－3x ＋2； (2)x 2＋4x －12； (3)x 2－(a ＋b )xy ＋aby 2； (4)xy －1＋x －y ．2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：(1)x 3＋3x 2＋3x ＋9； (2)2x 2＋xy －y 2－4x ＋5y －6．3．关于x 的二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就可分解为a(x－x1)(x－x2)．例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)x2＋2x－1；(2)x2＋4xy－4y2．练习1．多项式2x2－xy－15y2的一个因式为( )(A)2x－5y(B)x－3y(C)x＋3y(D)x－5y2．分解因式：(1)x2＋6x＋8；(2)8a3－b3；(3)x2－2x－1；(4)4(x－y＋1)＋y(y－2x)．3．分解因式：(1)a3＋1；(2)4x4－13x2＋9；(3)b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；(4)3x2＋5xy－2y2＋x＋9y－4．4．在实数范围内因式分解：(1)x2－5x＋3；(2)x2－22x－3；(3)3x2＋4xy－y2；(4)(x2－2x)2－7(x2－2x)＋12．5．△ABC三边a，b，c满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判定△ABC的形状．6．分解因式：x2＋x－(a2－a)．第3课时 一元二次方程一、一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有当△＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝－b ±b 2－4ac 2a； (2)当△＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a； (3)当△＜0时，方程无实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a 为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根．(1)x 2－3x ＋3＝0； (2)x 2－ax －1＝0；(3)x 2－ax ＋(a －1)＝0； (4)x 2－2x ＋a ＝0．二、根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1＋x 2＝－b a ；x 1x 2＝c a． 特别地，对于一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例2 已知方程5x 2＋kx －6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．(1)求| x 1－x 2|的值；(2)求1x 21＋1x 22的值；(3)求x 31＋x 32的值．说明 设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，则|x 1－x 2|＝＝b 2－4ac |a |＝△|a |． 例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．练习：1．若关于x 的方程mx 2＋(2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是___________2．(1)若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1x 1＋1x 2＝ ． (2)方程mx 2＋x －2m ＝0(m ≠0)的根的个数情况是 ．(3)以－3和1为根的一元二次方程是 ．3．已知a 2＋8a ＋16＋|b －1|＝0，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．设方程x2－3x－1＝0的两根分别为x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；2．顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )．3．零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．例1 已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点(3，－1)，求二次函数的解析式．例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．练习1．函数y ＝－x 2＋x －1的图象与x 轴的交点的个数是_________．2．(1)已知二次函数的图象与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该函数的解析式可设为y ＝a (a ≠0)．(2)二次函数y ＝－x 2＋23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ．3．根据下列条件，求二次函数的解析式．(1)图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；(2)当x ＝3时，函数有最小值5，且函数的图象经过点(1，11)；(3)函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．习题：1．(1)已知某二次函数的图象与x 轴交于A (－2，0)，B (1，0)，且过点C (2，4)，则该二次函数的表达式为 ．(2)已知某二次函数的图象过点(－1，0)，(0，3)，(1，4)，则该函数的表达式为 ．2．已知某二次函数图象的顶点为A (2，－18)，它与x 轴两个交点之间的距离为6，求该二次函数的解析式．3．某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5km 以内，票价2元；(2)5km 以上，每增加5km ，票价增加1元(所增加的里程，不足5km 的按5km 的按5km计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距1km ，如果沿途(包括起点站和终点站)有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数图象．4．已知二次函数y ＝a (x －12)2＋25的最大值为25，且方程a (x －12)2＋25＝0两根的立方和为19，求函数表达式．例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象．练习：1．下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 ( )(A)y ＝2x 2 (B)y ＝2x 2－4x ＋2(C)y ＝2x 2－1 (D)y ＝2x 2－4x2．(1)二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n＝ ．(2)已知二次函数y ＝x 2＋(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点．(3)函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ．3．用配方法把下列函数式化成k h x a y +-=2)(的形式，并指出开口方向，对称轴和顶点坐标：（1）342--=x x y （2）x x y 422+-=4．画出下列函数的大概图象，并说出x 为何值时y 随x 增大而增大，x 为何值时，y 随x 增大而减小．（1）322+-=x x y ； （2）13212++-=x x y （3）y ＝x 2－2x －3； （4）y ＝1＋6 x －x 2．例2求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．例3求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线x ＝－1；（2）直线y ＝1．练习：1．把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为_____________________．2．把函数y＝－2(x＋3)2＋3的图象关于直线x＝－1对称后，所得图象对应的函数解析式为_____________________．3．把函数y＝2(x－3)2＋3的图象关于直线y＝2对称后，所得图象对应的函数解析式为_____________________．4．把二次函数y＝－2x2+43x＋1的函数图象向平移单位后，得到的图象所对应的解析式为y＝－2x2＋7；再向平移个单位后，得到的图象所对应的解析式为y＝－2x2＋1；再将其关于对称后得到的图象所对应的函数解析式为y＝2x2＋5．例4某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？第6课时 一元二次不等式观察图1，可以看出，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象(抛物线)位于x 轴上方的点所对应的 所有的x 值．因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与x 轴的交点坐标，再根据图象写出不等式的解．例1 解下列不等式：(1)x 2－7x ＋12＞0； (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1＜0； (4)x 2－2x ＋2＜0．例2 解下列不等式：(1)2x 2－5x ＋3＜0； (2)3x 2－x －4＞0； (3)2x 2＋4x ＋3＞0； (4)9x 2－6x ＋1≤0．例3 解关于x 的不等式x 2－(a ＋3)x ＋3a ＜0．练习：1．解下列不等式：（1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0； （3）x 2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x 2≤0．2．解关于x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2≤0（a 为常数）．例4 已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为区间(－1，3)，你能分别写出下列不等式的解集吗？如果能，你能说出你这样写的理由吗？(1)ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为_______________________； (2)ax 2－bx ＋c ＞0的解集为_______________________； (3)cx 2＋bx ＋a ＞0的解集为_______________________．练习： 已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0（a ≠0）的解是2,3x x <>或求不等式bx 2＋ax ＋c ＞0的解．例5 不等式3x 2＋bx ＋2≥0的解为全体实数，求b 的取值范围．例6 解不等式(x ＋2)(x ＋1)2(x －1)2(x －2)≤0．第7课时 函数综合应用例1 已知反比例函数y ＝6x 与一次函数y ＝kx ＋3的图象相交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．（1）求k 的取值范围；（2）试用k 表示| x 1－x 2|；（3）若x 12＋x 22＝5，求k 的值和A ，B 两点的坐标．练习：已知反比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝－x ＋6的图象相交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且2x 1－x 2＝6．（1）求k 的值；（2）求△AOB 的面积．小结：（1）函数与方程；（2）待定系数法．例2 在同一坐标系中，利用描点法画出下列函数图象． （1）y ＝2x ；（2）y ＝2x －2；（3）y ＝xx －2．练习：利用图象平移画出函数y ＝2＋1x ＋1的草图．小结：（1）平移变换规律；（2）函数y ＝ax ＋bcx ＋d 的草图．例3 如图所示，在边长为2的正方形ABCD 的边上有一个动点P ，从点A 出发沿折线ABCD 移动一周后，回到A 点．设点A 移动的路程为x ，ΔP AC 的面积为y ．（1）求函数y 的解析式；（2）画出函数y 的图像；（3）求函数y 的取值范围．练习：某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5km 以内，票价2元；（2）5km 以上，每增加5km ，票价增加1元（所增加的里程，不足5km 的按5km 的按5km 计算）． 已知两个相邻的公共汽车站间相距1km ，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数图象．小结：分段函数的概念．练习：1．已知函数2,2,24,2x x y x x ->⎧=⎨-+≤⎩ 则当x ＝4时，y ＝ ；当x ＝－4时，y ＝ ．2．作出函数y ＝|x －2|(x ＋1)的图象．3．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，CP讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，下面函数表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（y 越大，表明学生注意力越集中），y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋24t ＋100，0＜t ＜10240，10＜t ≤20，－7t ＋380，(20＜t ≤40)．（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？第8课时 分式方程与无理方程问题 甲乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个和乙做60个用到的时间相等，求甲乙每小时各做多少个？例1 解方程4x x 2－4＋22－x ＝1＋1x ＋2．例2 解下列分式方程：（1）x 2－3x x 2－1＋2＝11－x ； （2）x 2－3x ＋5＋6x 2－3x ＝0．练习：解下列分式方程：（1）6x 2－1－3x －1＝1； （2）2(x 2+1)x ＋1＋6(x ＋1)x 2＋1＝7．小结：解分式方程的步骤：例3解下列无理方程：（1）25－x 2＝x ＋1； （2）x 2＋4x ＋3＝x ＋1； （3）2x －1＋12x －1．练习：解下列无理方程：（1）12＋x －2－x －12＋x ＋2－x ＝1； （2）4－x ＝x ＋1．（3）2x －x 2＝2x ．小结：解无理方程的步骤：习题： 1．解方程 21421224x x x x +-=+--．2．解方程 2223()4011x x x x --=--．*3．解方程 23152x x ++=第9课时 三元一次和二元二次方程组的解法例1 解下列三元一次方程组：（1）⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＋z ＝13，x ＋y ＋2z ＝7，2x ＋3y －z ＝12． （2）⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4z ＝7，2x ＋3y ＋z ＝9，5x －9y ＋7z ＝8．练习：解方程组：（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，y ＋z ＝8，z ＋x ＝4． （2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝26，x －y ＝1，2x －y ＋z ＝18．例2解方程组⎩⎨⎧x 2＋4y 2－4＝0，x －2y －2＝0．例3解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝7，xy ＝12．练习：解下列方程组:（1） 225,625;y x x y =+⎧⎨+=⎩（2）3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩ （3） 221,543;x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩（4）2222,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩习题：1．在等式y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝－1时y ＝0；当x ＝2时，y ＝3；当x ＝5时，y ＝60．求a 、b 、c 的值．2．解方程组：⎩⎨⎧4x 2－9y 2＝15，2x －3y ＝5．第10课时 平行线分线段成比例定理引例： 已知线段AB ，求作：线段AB 的四等分点．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 例1在△ABC 中，D ，E 为边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，求证：AD AB ＝AE AC ＝DEBC ．结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 练习：1．如图，123////l l l ，下列比例式正确的是（ ） A ．AD CE DF BC = B ．AD BC BE AF = C ．CE AD DF BC = D.AF BEDF CE= 2．如图，//,//,DE BC EF AB 5,AD cm =3,2,DB cm FC cm ==求BF .3．如图，D 是△ABC 的边AB 上的一点，过D 点作DE //BC 交AC 于E .已知AD ：DB =2：3，则S △ADE ：S 四边形BCDE 等于__________．4．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.5．如图，已知△ABC 周长为1，连结△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为________________．例2如图，△ABO 中，点C 是B 关于点A 的对称点，点D 是靠近点B 的线段BO 的一个三等分点，DC ，AO 交于点E ．求OE ：OA ．例3在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，求证：AB AC ＝BDDC ．角平分线性质定理：角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）. 练习：1．如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点， 使BD =CE ，DE 延长线交BC 的延长线于F .求证：DF ACEF AB=.E A B DCO2．如图，BD 、CE 是△ABC 的中线，P 、Q 分别是BD 、CE 的中点， 则PQ ：BC ＝_______．3．如图，已知△ABC 中，AE ：EB =1：3，BD ：DC =2：1，AD 与 CE 相交于F ，则EF FC ＋AFFD的值为_______．4．如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF //AD ．（1）求证：OE =OF ；（2）求OE OEAD BC+的值；（3）求证：112AD BC EF+=.例4在△ABC 中，D ，E 为边AB ，AC 上的点，AD AB ＝AEAC，求证：DE ∥BC ．结论：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．例5如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 为AB 的中点，分别连结AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于E ，DB 与MC 交于F ，（1）求证：EF ∥CD ；（2）若AB ＝2a ，CD ＝b ，求EF .第11课时 三角形例1如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC 为直角，AD ⊥BC 于D .求证：（1）AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝CD ·CB ； （2）AD 2＝BD ·CD ．注：该题结论称为射影定理．例2 在正方形ABCD 中，已知E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，求证：AE ⊥BF ．练习：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC ＝＝14BC ，求证：∠AFE ＝90°.三角形的“四心”：重心，内心，垂心，外心例3求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.例4 若三角形的内心与重心为同一点，求证：该三角形为等边三角形．概念：等边三角形四心合一，该点称为等边三角形的“中心”．例5已知等边三角形ABC 的边长为a ，求其外接圆半径R 和内切圆半径r ．例6已知等边三角形ABC 和其内部一点P ，设点P 到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为123,,h h h ，三角形ABC 的高为h ，求证：123h h h h ++=．思考：当点P在△ABC外的其它位置时，还有可能得到其它的结论?提醒：面积法．例7在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，求（1）△ABC的面积S△ABC及AC边上的高BE；（2）△ABC的内切圆的半径r；（3）△ABC的外接圆的半径R.练习：、、，则三角形的内切圆的半径是-1．若△ABC的面积为S，且三边长分别为a b c___________；、、（其中c为斜边长），则三角形的内切圆的半径是-2．若直角三角形的三边长分别为a b c___________，外接圆半径是___________；3．在△ABC中，G是重心，△ABC的面积为1，则△GBC的面积是___________；第12课时 圆一、直线与圆相交时研究弦的相关问题1．圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等． 推论2：直径所对的圆周角等于90°，90°的圆周角所对的弦为直径． 2．圆内接四边形的对角互补．例1 圆内接四边形ABCD 的三个内角∠A ：∠B ：∠C ＝3：2：7，求∠A ，∠B 的度数．3．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧． 垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．在Rt △OMA 中，OA 为圆的半径r ，OM 为圆心到直线的距离d ，MA 为弦长AB 的一半，根据勾股定理，有r 2－d 2＝(AB2)2．例2 如图，已知⊙O 的半径OB ＝5，弦AB ＝6，D 是弧AB 的中点，求弦BD 的长度．例2 已知圆的两条平行弦的长度为6和26，且这两条线的距离为3，求这个圆的半径． 练习1．圆内接四边形ABCD 的四个内角∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的可能取值是（ ） A ．1：2：3：4 B ．2：3：4：5 C ．5：4：3：1 D ．5：4：2：32．已知弓形弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为___________________． 3．在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为___________________．4．AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若BE =6，AE =4，则CD 等于_________． 5．如图，⊙O 的半径为17，弦AB ＝30，AB 所对的劣弧和优弧的中点分别为D ，C ，求弦AC 和BD 的长．6．如图，已知在RT △ACB ，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12以C 为圆心，CA 为半径的圆交斜边于D ，求AD ．7．已知四边形ABCD 是⊙O 的内接梯形，AB ∥CD ，AB ＝8，CD ＝6，⊙O 的半径等于5，求梯形ABCD 的面积．二、直线与圆相切1．当圆心到直线的距离d＞r时，直线和圆相离；当圆心到直线的距离d＝r时，直线和圆相切，当圆心到直线的距离d＜r时，直线和圆相交．2．切点与圆心的连线与圆的切线垂直，同时过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心．3相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等．4切割线定理：从圆外一点引圆的一条切线和一条割线，切线长是这一点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项．例3 如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝1，EB＝5，∠DEB＝60°，求CD的长．练习1．⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，若⊙O的半径为3，则CD的长为_________．2．如图，在⊙O中，E是弦AB延长线上的一点，已知OB＝10，OE＝12，∠OEB＝30°，求AB．三、圆与圆例4 设⊙O1与⊙O2的半径分别为3和2，O1O2＝4，A，B为两圆的交点，试求两圆公共弦AB的长度．例5 设⊙O1与⊙O2的半径分别为2和7，O1O2＝13，求⊙O1与⊙O2的外公切线长．练习1．设⊙O1与⊙O2的半径分别为3和8，O1O2＝13，求⊙O1与⊙O2的公切线长．第13课时分类讨论一、几何量的位置关系或数量关系不确定引起的分类讨论例1平面上A、B两点到直线k距离分别是2－3与2＋3，则线段中点C到直线k的距离是．二、数学概念和公式引起的分类讨论有些数学性质、公式或定理在不同条件下有不同的结论，或是结论在一定限制条件下才成立，这就要在教学的过程中逐步体现分类讨论思想。