【2020】最新九年级数学上册第1章二次函数1-4二次函数的应用第2课时利用二次函数解决距离、利润最值问题同

合集下载

数学(浙教版)九年级上册第1章 1.4.2二次函数的实际应用(距离和利润问题)(解析版)

二次函数的实际应用(距离和利润问题)知识讲解用二次函数知识解决实际问题时，通常是将实际问题转化为数学问题．其步骤一般为：(1)寻找实际问题中两个变量之间的等量关系，并用字母表示这两个变量；(2)用含自变量的代数式表示相关的量；(3)根据给出的数据确定函数的表达式；(4)利用二次函数的有关知识求解；(5)检验结果的合理性．典型例题例：某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．(1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？(2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？解答：(1)(30－20)×[105－5×(30－25)]＝800(元)，即一个月可获利800元．(2)设售价为每件x元时，一个月的获利为y元．由题意，得y＝(x－20)×[105－5(x－25)]＝－5x2＋330x－4600＝－5(x－33)2＋845.∵a＝－5<0，∴当x＝33时，y取得最大值，为845.故当售价定为每件33元时，一个月的获利最大，最大利润是845元．同步练习一、选择题1．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是(C)A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值2．当m 在取值范围内取不同的值时，代数式27－4m ＋2m 2的最小值是( B )A ．0B ．5C ．33D ．91. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( A )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米2. [2018·连云港]已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h (m)与飞行时间t (s)满足函数表达式h ＝－t 2＋24t ＋1.则下列说法中正确的是( D )A ．点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相同B ．点火后24 s 火箭落于地面C ．点火后10 s 的升空高度为139 mD ．火箭升空的最大高度为145 m【解析】 A ．当t ＝9时，h ＝－81＋216＋1＝136，当t ＝13时，h ＝－169＋312＋1＝144，升空高度不相同，故A 选项说法错误；B.当t ＝24时，h ＝－576＋576＋1＝1，火箭的升空高度是1 m ，故B 选项说法错误；C.当t ＝10时，h ＝－100＋240＋1＝141，故C 选项说法错误；D.根据题意，可得最大高度为4ac －b 24a ＝－4－576－4＝145(m)，故D 选项说法正确，故选D.3. 如图，小强在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h ＝3.5t －4.9t 2(t 的单位：s ，h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间约是( D )A ．0.71 sB ．0.70 sC ．0.63 sD ．0.36 s【解析】 ∵抛物线h ＝3.5t －4.9t 2的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫514，58，而514≈0.36，∴他起跳后到重心最高时所用的时间约为0.36 s ．故选D.6．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( C )A ．50 mB ．100 mC ．160 mD ．200 m二、填空题1. 函数y ＝x 2－2x ＋3(－2≤x≤2)的最小值为_2_______，最大值为_11_______．2. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）关于水平距离x （m ）的函数表达式为 y ＝－112（x －4）2＋3（如图所示），由此可知铅球推出的距离是 10 m.3．[2018·武汉]飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数表达式是y ＝60t －32t 2.在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是__24__m.【解析】 ∵y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，滑行到最大距离600 m 时停止；当t ＝16时，y ＝576，所以最后4 s 滑行24 m.4. 竖直上抛的小球离地高度是关于它运动时间的二次函数，小军相隔1 s 依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t （s ）时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t ＝ 1.6 Ｗ.【解】设各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度为h ，则小球的高度y ＝a （t －1.1）2＋h . 由题意，得a （t －1.1）2＋h ＝a （t －1－1.1）2＋h ，解得t ＝1.6.5. 如图，线段AB ＝10，点P 在线段AB 上，在AB 的同侧分别以AP ，BP 为边长作正方形APCD 和正方形BPEF ，M ，N 分别是EF ，CD 的中点，则MN 的最小值为 5 Ｗ.【解】过点M 作MG ⊥DC 交DC 的延长线于点G .设MN ＝y ，PC ＝x .根据题意，得GN ＝5，MG ＝10－2x .在Rt △MNG 中，由勾股定理，得MN 2＝GN 2＋MG 2，即y 2＝52＋（10－2x ）2. ∵0<x <10，∴当10－2x ＝0，即x ＝5时，y 2最小，为25，∴y 最小＝5，即MN 的最小值为5.三、解答题1. 水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图1所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x 月满足函数表达式式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图2所示．(1)求y 2的表达式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意，得函数y 2的图象经过两点(3,6)，(7,7)，∴⎩⎨⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎨⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的表达式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b .∵函数y 1的图象过两点(4,11)，(8,10)，∴⎩⎨⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的表达式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元，则w ＝y 1－y 2＝⎝⎛⎭⎫－14x ＋12－⎝⎛⎭⎫18x 2－x ＋638＝－18x 2＋34x ＋338＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)．∴当x ＝3时，w 取最大值214.故第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大，最大利润是214元/千克．2.某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t 个月该新型药的月销售量为P （单位：t ），P 与t 之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P ＝120t ＋4（0＜t ≤8）的图象与线段AB 的组合.设第t 个月销售该新型药每吨的毛利润为Q （单位：万元），Q 与t 之间满足如下关系：Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋8（0<t ≤12），－t ＋44（12<t ≤24）.（1）当8＜t ≤24时，求P 关于t 的函数表达式. （2）设第t 个月销售该新型药的月毛利润为w （单位：万元）. ①求w 关于t 的函数表达式.②该药厂销售部门分析认为，336≤w ≤513是最有利于该新型药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P 的最小值和最大值.【解】（1）当8＜t ≤24时，设P ＝kt ＋b ，将点A （8，10），B （24，26）的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋b ＝10，24k ＋b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝2，∴P ＝t ＋2.（2）①当0＜t ≤8时，w ＝（2t ＋8）·120t ＋4＝240；当8＜t ≤12时，w ＝（2t ＋8）（t ＋2）＝2t 2＋12t ＋16；当12＜t ≤24时，w ＝（－t ＋44）（t ＋2）＝－t 2＋42t ＋88.综上所述，w ＝⎩⎪⎨⎪⎧240（0＜t ≤8），2t 2＋12t ＋16（8＜t ≤12），－t 2＋42t ＋88（12＜t ≤24）.②当8＜t ≤12时，w ＝2t 2＋12t ＋16＝2（t ＋3）2－2，∴当8＜t ≤12时，w 随t 的增大而增大，当2（t ＋3）2－2＝336时，解得t 1＝10，t 2＝－16（不合题意，舍去），当t ＝12时，w 取得最大值，最大值为448，此时月销量P ＝t ＋2在t ＝10时取得最小值12，在t ＝12时取得最大值14.当12＜t ≤24时，w ＝－t 2＋42t ＋88＝－（t －21）2＋529，当t ＝12时，w 取得最小值448，解－（t －21）2＋529＝513，得t 1＝17，t 2＝25（不合题意，舍去），∴当12＜t ≤17时，448＜w ≤513，此时P ＝t ＋2的最小值为14，最大值为19.综上所述，此范围所对应的月销售量P 的最小值为12 t ，最大值为19 t.3. (2018·湖北)绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出.如图，线段EF ，折线ABCD分别表示该有机产品每千克的售价y 1(元)，生产成本y 2(元)与产量x (kg)之间的函数关系. (1)求该产品的销售价y 1(元)与产量x (kg)之间的函数表达式. (2)直接写出生产成本y 2(元)与产量x (kg)之间的函数表达式.(3)当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？【解析】 (1)设y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝kx ＋b ，把点(0，168)，(180，60)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝168，180k ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35，b ＝168.∴产品的售价y 1(元)与产量x (kg)之间的函数表达式为y 1＝－35x ＋168(0≤x ≤180).(2)当0≤x ≤50时，y 2＝70；当130≤x ≤180时，y 2＝54；当50＜x ＜130时，设y 2与x 之间的函数表达式为y 2＝mx ＋n ，把点(50，70)，(130，54)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧50m ＋n ＝70，130m ＋n ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－15，n ＝80，∴当50＜x ＜130时，y 2＝－15x ＋80.综上所述，生产成本y 2(元)与产量x (kg)之间的函数表达式为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧70（0≤x ≤50），－15x ＋80（50＜x ＜130），54（130≤x ≤180）.。

浙教版数学九年级上册《1.4二次函数的应用》说课稿2

浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》说课稿2一. 教材分析浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质的基础上进行的一节应用性课程。

本节课的主要内容是让学生掌握二次函数在实际问题中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材通过举例说明了二次函数在几何、物理、化学等学科中的应用，让学生体会数学与其它学科的密切联系。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象与性质有一定的了解。

但是，学生在应用二次函数解决实际问题时，往往由于对实际问题的理解不深，无法将实际问题转化为二次函数问题。

因此，在教学过程中，教师需要帮助学生建立实际问题与二次函数之间的联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 说教学目标1.让学生掌握二次函数在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

2.培养学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

3.让学生体会数学与其它学科的密切联系，提高学生的学习兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数在实际问题中的应用。

2.教学难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何运用二次函数解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.采用案例教学法，通过具体的实际问题，引导学生运用二次函数知识进行分析。

2.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数在实际问题中的应用。

3.利用多媒体教学手段，展示二次函数图象，帮助学生更好地理解实际问题与二次函数之间的关系。

六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何运用二次函数知识解决问题。

2.新课导入：介绍二次函数在几何、物理、化学等学科中的应用。

3.案例分析：分析具体的实际问题，引导学生将实际问题转化为二次函数问题。

4.学生探究：让学生分组讨论，运用二次函数知识解决实际问题。

5.总结提升：对二次函数在实际问题中的应用进行总结，强调关键步骤。

九年级数学上册第1章二次函数1.4二次函数的应用第3课时二次函数与一元二次方程导学课件新版浙教版

三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后复习30分钟。
图 1－4－5
1.4 二次函数的应用
筑方法
类型一二次函数与一元二次方程的关系
例1 [教材例5针对练] 利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－ 10＝0的近似解(精确到0.1)．
【解析】欲估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的解，必须先画出函数y＝ x2＋2x－10的图象，确定解的大致范围，再进一步估算．
1.4 二次函数的应用
【解析】对于(1)，爆竹离地15米，就是求h＝15时t的值；(2)利用二次函数的增减性判断．
解：(1)∵g＝10，v0＝20，∴h＝20t－5t2. 当h＝15时，15＝20t－5t2，解得t＝1或t＝3. 又0<t≤2，∴t＝1.即这种爆竹在地面点燃后，经过1秒，离地面15米． (2)上升．理由：∵h＝20t－5t2＝－5(t－2)2＋20， ∴当t＝2时，爆竹达到最高点，即在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，爆竹处于上升阶段．
2019/5/27
精选最新中小学教学课件
thank
you!
2019/5/27
精选最新中小学教学课件
1.4 二次函数的应用
类型三一元二次方程在二次函数中的应用
例3 [教材补充例题] 某种爆竹点燃后，其上升高度h(米)和时间t(秒)之间的关系符合表达式：h＝v0t－gt2(0<t≤2)，其中重力加速度g以10米/ 秒2计算．这种爆竹点燃后以v0＝20米/秒的初速度上升． (1)这种爆竹在地面点燃后，经过多长时间离地面15米？ (2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升还是下降，并说明理由．

浙教版数学九年级上册《1.4二次函数的应用》说课稿

浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》说课稿一. 教材分析浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》这一节，主要介绍了二次函数在实际生活中的应用。

教材通过具体的例子，让学生了解二次函数在解决实际问题中的重要性。

这部分内容是学生在学习了二次函数的基本性质和图象后，进一步深入理解和运用二次函数的知识点。

教材内容紧密联系生活实际，激发学生的学习兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识和图象，对于二次函数的概念、性质和图象有一定的了解。

但学生在解决实际问题中的应用能力还有待提高。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的已有知识基础，通过实例分析，引导学生将二次函数知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

2.过程与方法：通过实例分析，培养学生将二次函数知识应用于解决实际问题的方法。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极面对数学问题的态度，提高学生的自信心。

四. 说教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。

2.难点：如何将二次函数知识灵活运用于解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用实例分析法、问题驱动法、小组合作法等，引导学生主动探究、积极参与。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件、网络资源等现代教学手段，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次函数在实际中的应用。

2.知识讲解：讲解二次函数在实际问题中的具体应用，引导学生理解并掌握相关知识点。

3.实例分析：分析几个典型的实际问题，让学生运用二次函数知识解决问题。

4.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自解决问题的方法和思路，互相学习，共同提高。

5.总结提升：对二次函数在实际问题中的应用进行总结，提炼关键知识点，引导学生形成系统化的知识结构。

【精品推荐】2020年秋九年级数学上册第一章二次函数1.4二次函数的应用第2课时b课件新版浙教版

1≤x＜50 50≤x≤90
x＋40
90
200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每
天利润为y元
巩教固学提目升
标
(1) 求出y与x的函数关系式
(2) 问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ (3) 该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果
（2）教学方程的意义，突出概念的内涵与外延。 “含有未知数”与“等式”是方程意义的两点最重要的内涵。“含有未知数”也是方程区别于其他等式的关键特征。在第1页的两道例题里，学生陆续写出了等式，也写出了不等式；写出了不含未知数的等式，也写出了含有未知数的等式。这些都为教学方程的意义提供了鲜明的感知材料。教材首先告诉学生：像x+50=150、2x=200这样含有未知数的等式叫做方程，让他们理解x+50=150、2x=200的共同特点是“含有未知数”，也是“等式”。这时，如果让学生对两道例题里写出的50+50=100、x+50＞100和x+50＜200不能称为方程的原因作出合理的解释，那么学生对方程是等式的理解会更深刻。教材接着安排讨论“等式和方程有什么关系”，并通过“练一练”第1题让学生先找出等式，再找出方
课教堂学小目结
标
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 :
求出函数解析式和自变量的取值范围
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。
谢谢观看，敬请指导
天平两臂平衡，表示两边的物体质量相等；两臂不平衡，表示两边物体的质量不相等。让学生在天平平衡的直观情境中体会等式，符合学生的认知特点。例1在天平图下方呈现“=”，让学生用等式表达天平两边物体质量的相等关系，从中体会等式的含义。教材使用了“质量”这个词，是因为天平与其他的秤不同。习惯上秤计量物体有多重，天平计量物体的质量是多少。教学时不要把质量说成重量，但不必作过多的解释。例2继续教学等式，教材的安排有三个特点：第一，有些天平的两臂平衡，有些天平两臂不平衡。根据各个天平的状态，有时写出的是等式，有时写出的不是等式。学生在相等与不等的比较与感受中，能进一步体会等式的含义。第二，写出的四个式子里都含有未知数，有两个是含有未知数的等式。这便于学生初步感知方程，为教学方程的意义积累了具体的素材。第三，写四个式子时，对学生的要求由扶到放。圆圈里的关系符号都要学生填写，学生在选择“=”“＞”或“＜”时，能深刻体会符号两边相等与不相等的关系；符号两边的式子与数则逐渐放手让学生填写，这是因为他们以前没有写过含有未知数的等式与不等式。

【2020】最新九年级数学上册第1章二次函数1-2二次函数的图象第2课时二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)的图象及

【2020】最新九年级数学上册第1章二次函数1-2二次函数的图象第2课时二次函数y=a（x-m）2+k（a≠0）的图象及特征同步练习（新版）浙教版
编辑：__________________
时间：__________________
第2课时二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及特征
知识点一二次函数y＝a(x－m)2(a≠0)的图象及其特征
(1)题中出现顶点坐标和另一点的坐标；
(2)已知对称轴和两个点的坐标；
(3)已知最值和两个点的坐标．
二次函数y＝a(x－m)2的图象与二次函数y＝a(x－m)2＋k的图象有何联系？
详解详析
【学知识】
知识点一 (m，0) x＝m 向上向下
1．[答案]D
知识点二 (m，k) x＝m 向上向下
2．[答案] (2，5)
C．开口向下
D．顶点坐标是(2，0)
知识点二二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及其特征ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图象特征：抛物线y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的顶点
坐标为________，对称轴为直线________；抛物线y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的开口方向：当a>0时，开口________，当a<0时，开口_________．
2．抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是_____________．
3．把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的函数表达式为____________．
类型一利用函数图象的平移规律解题
例1 [教材补充例题]已知一条抛物线的开口方向及形状与抛物线y＝3x2相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2的顶点相同．

2024年浙教版数学九年级上册1.4《二次函数的应用--二次函数与一元二次方程》教学设计

2024年浙教版数学九年级上册1.4《二次函数的应用–二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数的应用–二次函数与一元二次方程》是2024年浙教版数学九年级上册第1章第4节的内容。

本节课主要介绍了二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何利用二次函数图象解决一元二次方程的问题。

教材通过实例引导学生探究二次函数图象与一元二次方程解之间的关系，培养学生的数形结合思想，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图象和性质，对二次函数有一定的认识。

但部分学生可能对一元二次方程的解法还不够熟练，对数形结合的思想还缺乏深刻的理解。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知差异，引导他们通过观察、操作、思考、探究等活动，掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握利用二次函数图象解决一元二次方程问题的方法。

2.培养学生的数形结合思想，提高解决问题的能力。

3.激发学生的学习兴趣，培养合作、探究的精神。

四. 教学重难点1.重点：二次函数与一元二次方程之间的关系，利用二次函数图象解决一元二次方程问题。

2.难点：对二次函数与一元二次方程关系的深入理解，以及数形结合思想的运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生发现数学问题，激发学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生观察、思考、探究，培养学生的独立思考能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。

4.数形结合法：利用二次函数图象，直观地展示一元二次方程的解法。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例和问题，以便引导学生探究。

2.制作课件，展示二次函数图象和一元二次方程的解法。

3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活实例引入二次函数与一元二次方程的关系，激发学生的学习兴趣。

例如，假设一个物体从地面上抛，其高度与时间之间的关系可以表示为一个二次函数。

1.4 二次函数的应用九年级上册数学浙教版

设每平方米小番茄产量为千克.由题意，得，当时，取最大值，最大值为12.5.答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克.
知识点2 建立二次函数模型求解实际问题的常见类型重难点
1.图形面积的最值问题
求图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，通常是根据图形中线段的关系，找到相应线段的长与面积之间的函数关系，将其转化为二次函数问题，就可以用二次函数的图象与性质来解决.
4.会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解.
5.在解题过程中体会数形结合思想和函数建模思想的应用.
知识点1 建立函数模型解决最值问题的基本步骤重点
对于某些实际问题，如果其中的变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究.建立函数模型解决最值问题的基本步骤如下：
（1）求每天所获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式.
解：由题意，得当这款文化衫的销售单价为（元）时，每天可售出件，即件.根据题意，得解得 .
（2）当销售单价定为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大？并求出最大利润.
，当时，取得最大值，最大值为，当销售单价定为55元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1250元.
典例3 原计划2022年举办的杭州2022年亚运会，即第19届亚洲运动会，将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州市举办.某网络经销商购进了一批以亚运会为主题，且具有中国风范、杭州韵味的文化衫进行销售.文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件.为了扩大销售，增加盈利，该网络经销商决定采取适当的降价措施，经调查发现：若销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价）.若设这款文化衫的销售单价为（元），销售这款文化衫每天所获得的利润为（元）.

浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》教案

浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》教案一. 教材分析浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》这一节主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，通过实例让学生掌握二次函数的图像和性质，从而解决一些实际问题。

教材通过生活中的实例，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为数学问题，二次函数的应用能力有待提高。

此外，学生的数学思维能力和解决问题的能力也亟待提高。

三. 教学目标1.了解二次函数在实际生活中的应用。

2.掌握二次函数的图像和性质，提高解决实际问题的能力。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用。

2.难点：将实际问题转化为数学问题，以及如何运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法和小组合作法。

通过生活实例，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的问题分析能力和数学应用能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。

2.准备多媒体教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，引出二次函数的应用。

例如，假设一家工厂生产的产品，其成本函数为c(x)=2x2+3x+1，其中x表示生产的产品数量。

问当工厂生产多少产品时，成本最低？2.呈现（10分钟）呈现教材中的相关实例，让学生观察二次函数的图像和性质，引导学生理解二次函数在实际生活中的应用。

同时，让学生尝试解决教材中的问题，巩固二次函数的知识。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数的知识解决。

教师巡回指导，解答学生遇到的问题。

4.巩固（10分钟）选取几组学生的成果，进行讲解和分析，让学生加深对二次函数应用的理解。

同时，引导学生总结解决实际问题的方法和步骤。

2020-2021浙教版数学九年级上册 1.4 二次函数的应用第2课时

拓展训练2020年浙教版数学九年级上册 1.4 二次函数的应用第2课时基础闯关全练1．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）处竖直向上摆放一无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行的最大高度OM =5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．(1)当竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？(2)当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？2．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2m，则水面宽度增加__________m.3．某大学的校门（如图所示）是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，你能计算该大学校门的高吗？则下列判断中正确的是( ) x ... -1 0 1 3 ...y ... -5 1 3 -5 ...A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=4时，y＞0D．方程ax²+bx+c=0的正根在2与3之间5．二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax²+bx+c=0的两个根；(2)写出不等式ax²+bx+c＞0的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程ax ²+bx+c=k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．能力提升全练1．利用学过的绝对值知识可将函数y=x ²-3|x|+2转化为则下列结论中正确的为 ( )①当x ＞2时，y 随x 增大而增大； ②此函数图象有两条对称轴；③函数图象中两个最低点之间的距离为3；④当x ²-3|x|+2＜0时，x 的取值范围是-2＜x ＜-1或1＜x ＜2． A ．①②③ B ．①③④ C ．①③ D ．③④2．如图，一块铁片边缘是由抛物线和线段AB 组成的，测得AB= 20 cm ，抛物线的顶点到AB 边的距离为25 cm.现要沿AB 边向上依次截取宽度均为4 cm 的矩形铁皮，从下往上依次是第一块，第二块，……，已知截得的铁皮中有一块是正方形，则这块正方形铁皮是第_____块.3．如图①，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线354101y 2+-=x x 的绳子．(1)求绳子最低点离地面的距离；(2)因实际需要，在离AB 3米的位置用一根立柱MN 撑起绳子（如图②），使左边抛物线F ₁的最低点距MN 为1米，离地面1.8米，求MN 的长；(3)将立柱MN 的长度提升为3米，通过调整MN 的位置，使抛物线F ₂对应函数的二次项系数始终为41，设MN 离AB 的距离为m 米，抛物线F ₂的顶点离地面的距离为k 米，当2≤k ≤2.5时，求m 的取值范围．三年模拟全练一、选择题 1．（2019浙江温州质检，8，★☆☆）羽毛球运动是一项很好的健身项目，小龙击球时羽毛球的运动路线可以看作是一条如图①所示的抛物线，不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系9109892y 2++-=x x ，如图②，则羽毛球飞出的水平距离是( )A.1 mB.2 mC.5 mD.6 m二、填空题 2．（2019浙江金华质检，15，★☆☆）如图，已知二次函数y ₁=ax ²+bx+c(a ≠0)与一次函数y ₂=kx+n （k ≠0）的图象相交于点A （-2，4），B(8，2)，则能使y ₁＞y ₂成立的x 的取值范围是__________.3．(2018浙江温州瑞安四校第一次联考，15．★★☆)如图是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为10401y 2+-=x ，为保护廊桥的安全，在该廊桥上与水面AB 之间的距离为8米的点E 、F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是________米．三、解答题4．（2019浙江温州质检，22，★★☆）2017年苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛的比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线cbx x ++-=241y 的一部分(如图)，其中出球点B 离地面O 点的距离是1 m ，球落地点A 到O 点的距离是4m ．(1)羽毛球在最高处时，离地面的高度为多少米？(2)距离O 点1.6 m 处是球网，网高1.53 m ，该羽毛球能过网吗？五年中考全练一、选择题 1．（2015浙江金华中考，8，★☆☆）如图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线16)80(4001y 2+--=x ，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，且AC ⊥x 轴，若OA= 10米，则桥面离水面的高度AC 为 ( )图① 图②A.40916米 B.417米 C.40716米 D.415米二、解答题 2．（2018浙江衢州中考．23．★★☆）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式;(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．3．（2017浙江金华中考，21，★★☆）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1 m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y( m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a （x-4）²+h ，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55 m ．(1)当241a -=时，①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网；(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点P 的水平距离为7m ，离地面的高度为512m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．核心素养全练（2016浙江衢州中考）已知二次函数y=x ²+x 的图象如图所示．(1)根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x ²+x=1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x ²+x=1的根（精确到0.1）； (2)在同一直角坐标系中画出一次函数的图象，观察图象，写出自变量x 取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数y=x ²+x 的值；(3)点P 是坐标平面上的一点，并在网格的格点上．请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P 点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P 是否在函数的图象上，请说明理由．第2课时球类运动路线及桥拱问题基础闯关全练 1．解析 (1)不能．以点O 为原点，直线AB 为x 轴，直线OM 为y 轴建立直角坐标系（如图），则M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，D ⎪⎭⎫⎝⎛023，，设抛物线的表达式为y = ax ²+k(a ≠0)， ∵抛物线过点M 和点B ，∴k=5，45a -=，∴抛物线的表达式为545y 2+-=x ，∴当x=1时，415y =；当23x =时，1635y =， ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛4151P ，，⎪⎭⎫⎝⎛163523Q ，在抛物线上．当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高为235103=⨯米， ∵41523<且163523< ∴网球不能落入桶内．(2)设竖直摆放圆柱形桶m 个时网球可以落入桶内，由题意得415m 1031635≤≤，解得2112m 2477≤≤， ∵m 为整数，∴m 的值为8，9，10，11，12，∴当竖直摆放圆柱形桶8，9，10，11，12个时，网球均可以落入桶内． 2．答案 ()424-解析建立如图所示的平面直角坐标系：则点C(0，2)，A （-2，0），设抛物线的表达式为y=ax ²+2(a ≠0)，把A （-2，0）代入得21a -=，即221y 2+-=x ，令y=-2，得2x 2122+-=-，解得22x ±=，所以水面宽度比原先的宽度增加了()424-米．3．解析以拱门所在平面与地面的交线为x 轴，以拱门的对称轴为y 轴建立直角坐标系（如图所示），D 、E 为铁环所在位置．则 A(-4，0)，B(4，0)，D(-3，4)，E(3，4). 设抛物线的解析式为y= ax ²+c(a ≠0)， ∵A （-4，0），D( -3，4)在抛物线上，∴⎩⎨⎧=+=+.49.0a 16c a c 解得∴76474y 2+-=x ，∴当x=0时，764y =， ∴764OC =，即校门的高为764米． 4．D ∵由题中表格可以得出当x=-1或x=3时，y=-5，可以得出此函数图象的对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，3)，∴二次函数的解析式为y=a( x-1) ²+3，将(0，1)代入得1=a+3，解得a=-2，∴y=-2(x-1)²+3，∵a ＜0，∴抛物线开口向下，故A 错误；∵y=-2（x-1）²+3= -2x ²+4x+1，其图象与y 轴的交点坐标为(0，1)，故抛物线与y 轴交于正半轴，故B 错误；∵当x=4时，y= -15＜0，故C 错误；令-2x ²+4x+1=0，△=16 -4×（-2）×1= 24＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，且正根在2和3之间，故选D ．5．解析(1)由图象可知，方程ax ²+bx+c=0的两个根为x ₁=1，x ₂=3． (2)由图象可知，不等式ax ²+bx+c ＞0的解集为1＜x ＜3．(3)由图象可知，y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围为x ＞2．(4)方程ax ²+bx+c=k 有两个不相等的实数根，即直线y=k 与函数y= ax ²+bx+c 的图象有两个交点．观察图象可知，当k ＜2时，此情况成立，故k 的取值范围是k ＜2．能力提升全练1.B ∵y=x ²-3x+2图象的对称轴为直线23x =，∵1＞0，∴当23x >时，y 随x 增大而增大，∵图象的对称轴为直线23x -=，∵1＞0，∴当23x ->时，y 随x 增大而增大，∴当x ＞2时，y 随x 增大而增大，故①正确；此函数图象有一条对称轴（y 轴），故②错误；∵抛物线y= x²-3x+2的顶点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-4123，，抛物线y=x ²+3x+2的顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--4123，，∴函数图象中两个最低点之间的距离为32323=⎪⎭⎫⎝⎛--，故③正确；由x ²-3x+2=0解得x=1或x=2，由x ²+3x+2=0解得x=-1或x=-2，∴当x ²-3|x|+2＜0时，x 的取值范围是-2＜x ＜-1或1＜x ＜2，故④正确，故选B ． 2．答案 6解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线的顶点为点C ，过C 作CN ⊥AB 于点N ，矩形MDEF 的边MF 交CN 于点K.∵抛物线的顶点到AB 边的距离为25 cm ，且AB= 20 cm ，∴此抛物线的顶点坐标为C( 10，25)，与x 轴的交点坐标为A(0，0)，B( 20，0)， ∴可设抛物线的解析式为y=a （x-10）²+25(a ≠0)， ∴0= 100a+25，解得41a -=，∴抛物线的解析式为25)10(41y 2+--=x ，由题意知，当截得的铁皮中有一块是正方形时，该正方形的边长一定是4 cm ．∴当四边形DEFM 是正方形时，DE=EF=MF=DM=4 cm ， ∴M 点的横坐标为AN-MK= 10-2=8，将x=8代入25)10(41y 2+--=x ，得y=24，∴KN= 24 cm ，∵24÷4=6，∴这块正方形铁皮是第6块．3．解析 (1)∵0101>，∴抛物线的顶点为最低点， ∵57)4(101354101y 22+-=+-=x x x ， ∴绳子最低点离地面的距离为57米．(2)由(1)可知，对称轴为直线x=4，则BD=8米，令x=0，得y=3，∴A(0，3)，C(8，3)，由题意可得，抛物线F ₁的顶点坐标为(2，1.8)，设F ₁的解析式为y=a （x-2）²+1.8(a ≠0)，将(0，3)代入得4a+1.8=3，解得a= 0.3． ∴抛物线F ₁的解析式为y=0.3（x-2）²+1.8，当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1， ∴MN 的长度为2.1米． (3)∵MN=DC=3米，∴根据抛物线的对称性可知抛物线F ₂的顶点在线段ND 的垂直平分线上，∴抛物线F ₂的顶点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+k ,4m 21， ∴抛物线F ₂的解析式为k m x +--=2)421(41y ，把C(8，3)代入得34218412=+⎪⎭⎫⎝⎛--k m ，解得3)214(41k 2+--=m ，∴3)8(161k 2+--=m ，∴k 是关于m 的二次函数，又∵m ＜8，∴k 随m 的增大而增大，∴当k=2时，238-m 1612=+-）（，解得m ₁=4，m ₂=12（不符合题意，舍去），当k= 2.5时，5.238-m 1612=+-）（，解得228m 1-=，228m 2+=（不符合题意，舍去）， ∴m 的取值范围是228m 4-≤≤．三年模拟全练一、选择题1.C 当y=0时，91098x 9202++-=x ，解得x ₁=-1（舍去），x ₂=5．故羽毛球飞出的水平距离为5 m.二、填空题2．答案x ＜-2或x ＞8解析由题图可以看出，当x ＜-2或x ＞8时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，∴能使y ₁＞y ₂ 成立的x 的取值范围是x ＜-2或x ＞8． 3．答案 58解析由题意可知，E 、F 两点的纵坐标均为8．把y=8代入10401y 2+-=x ，得54x ±=，∴两盏灯的水平距离为58米. 三、解答题4．解析 (1)将A(4，0)，B(0，1)代入c bx x ++-=241y ，可得43b =，c=1，故14341y 2++-=x x ．则16254ac 42=-a b . ∴羽毛球在最高处时，离地面的高度为1625米．(2)当x=1.6时，y=1.56＞1.53，故该羽毛球能过网．五年中考全练一、选择题1．B ∵AC ⊥x 轴，OA= 10米，∴点C 的横坐标为-10，当x=-10时，，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--41710C ，．∴桥面离水面的高度AC 为417米，故选B ．二、解答题2．解析 (1)设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a （x-3）²+5(a ≠0)，将(8，0)代入y=a （x-3）²+5，得25a+5=0．解得51a -=∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为)80(5)3(512<<+--=x x y ． (2)当y= 1.8时，8.153x 512=+--）（，解得x ₁=-1（舍），x ₂=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．(3)当x=0时，5165)30(51y 2=+--=．设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为51651y 2++-=bx x ∵该函数图象过点(16，0)，∴516b 16165102++⨯-=，解得b=3， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为20289)215(51516351y 22+--=++-=x x x ． ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为20289米．3．解析 (1)①当241a -=时，hx +--=2)4(241y ，将点P(0，1)带入，得1h 16241=+⨯-，解得35h =. ②由①可得35)4(241y 2+--=x ．把x=5代入35)4(241y 2+--=x ，得625.135)45(241y 2=+-⨯-=，∵1.625＞1.55，∴此球能过网。

九年级数学上册第1章二次函数1.4二次函数的应用1.4.2利用二次函数解决距离、利润最值问题练习浙

2018年秋九年级数学上册第1章二次函数1.4 二次函数的应用1.4.2 利用二次函数解决距离、利润最值问题同步练习（新版）浙教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第1章二次函数1.4 二次函数的应用1.4.2 利用二次函数解决距离、利润最值问题同步练习（新版）浙教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋九年级数学上册第1章二次函数1.4 二次函数的应用1.4.2 利用二次函数解决距离、利润最值问题同步练习（新版）浙教版的全部内容。

1。

4 第2课时利用二次函数解决距离、利润最值问题一、选择题1．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米,且时间与高度的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最大的是（)A．第8秒 B．第10秒C．第12秒 D．第15秒2．某民俗旅游村为解决游客的住宿需求，开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则租出床位相应地减少10张．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且所获租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( ）A．140元 B．150元 C．160元 D．180元二、填空题3．2016·台州竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1。

1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．4．2017·沈阳某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售,那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是________元时，才能在半月内获得最大利润.5．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如下表：科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃。

2022秋九年级数学上册第1章二次函数1.4 二次函数的应用2利用二次函数求实际问题中的最值应用

第1章二次函数
1.4 二次函数的应用第2课时利用二次函数求实际问题
中的最值应用
提示：点击进入习题
1B
5 见习题
2D
6 见习题
7 见习题
3
(1)y＝ 300＋20x(2)W＝－20x2＋100x＋6 000.
8
见习题
4C
9 见习题
答案显示
1．某工厂 2018 年产品的产量为 100 吨，该产品产量的年平均增长率为 x(x＞0)，设 2020 年该产品的产量为 y 吨，则 y 关于 x 的函数表达式为( B ) A．y＝100(1－x)2 B．y＝100(1＋x)2 C．y＝（11＋00x）2 D．y＝100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2
解：设每天扣除捐赠后可获得利润 w 元，则 w＝(x－20－a)(－ 10x＋500)＝－10x2＋(10a＋700)x－500a－10 000(30≤x≤38)．易知，此二次函数图象的对称轴为直线 x＝35＋12a，且 0＜a≤6，则 35＜35＋12a≤38，∴当 x＝35＋12a 时，w 取得最大值．∴(35 ＋12a－20－a)[－10(35＋12a)＋500]＝1 960 ，解得 a1＝2，a2＝ 58(不合题意，舍去)．∴a＝2.
(1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围．
解：q＝－x＋14，其中2≤x≤10.
日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【点拨】本题易将销售额当成销售利润，错得W＝x(－2x ＋160)．
(1)求y与x之间的函数关系式；解：设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx＋b(k≠0)，由题意得4448kk＋＋bb＝＝7624，，解得 k＝－2，b＝160，所以 y 与 x 之间的函数关系式是 y ＝－ 2x ＋ 160(40≤x≤80)．

九年级数学上册第1章二次函数 1.4 二次函数的应用第2课时利用二次函数解决距离、利润最值问题

第2课时利用二次函数解决距离、利润最值问题知识点一求含有根号的代数式的最值1．代数式x2＋4x＋10的最小值是________．知识点二利润问题的基本等量关系利润问题的基本等量关系：总利润＝总售价－________；总利润＝__________×__________．2．某商品的进价为8元/件，若销售价格定为10元/件时，则每天可卖出20件．已知销售单价每提高1元，则每天少卖出3件．设销售单价提高x元，则每天卖出________件，此时每天的销售收入为______________元，每天的销售利润为______________元．类型一用二次函数的最值解决有关“最近距离”的问题例1 [教材例2针对练] 如图1－4－4所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC ＝12 cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动；点Q从点B开始，沿BC 边向点C以2 cm/s的速度移动，设点P，Q同时出发，问：(1)经过几秒钟，点P，Q的距离最短？(2)经过几秒钟，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？图1－4－4【归纳总结】求y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型函数的最值的方法(1)利用勾股定理建立y＝ax2＋bx＋c型的函数表达式；(2)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值；(3)将(2)中求得的最值开根号，即得y＝ax2＋bx＋c型函数的最值．类型二用二次函数的最值解决有关“最大利润”的问题例2 [教材例3针对练] 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价多少元？【归纳总结】利用二次函数求最大利润问题的步骤(1)利用利润问题的等量关系建立利润与价格之间的二次函数表达式；(2)利用配方法或公式法求出函数的最大值，即得最大利润．类型三掌握自变量的取值范围对最值的影响例3 [教材补充例题] 某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的价格售出，每天可售出6台．假设这种品牌的彩电每台降价100x(x为正整数)元，每天可多售出3x台．(注：利润＝销售价－进价)(1)设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数表达式；(2)销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？【归纳总结】解答此类题时要注意审题(比如题中会说明x为正整数)，不能放过每一个细节．用二次函数解决实际问题时，若抛物线顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，应如何解决？详解详析【学知识】1．[答案] 6[解析] x 2＋4x ＋10＝（x 2＋4x ＋4）＋6＝（x ＋2）2＋6.∵(x＋2)2≥0，∴(x ＋2)2＋6≥6，∴当x ＋2＝0，即x ＝－2时，x 2＋4x ＋10有最小值，为 6.知识点二总成本每件商品所获利润销售数量2．[答案] (20－3x) (10＋x)(20－3x)(2＋x)(20－3x)【筑方法】例1 [解析] 设经过t s ，则AP ＝t ，BQ ＝2t ，0≤t ≤6.(1)在Rt △PBQ 中，利用勾股定理，得出PQ 的长与t 之间的函数表达式，求其最小值；(2)先求△PBQ 的面积与t 之间的函数表达式，再求其最大值．解：设运动时间为t s ，则AP ＝t cm ，BQ ＝2t cm ，0≤t ≤6.(1)在Rt △PBQ 中，PQ 2＝PB 2＋BQ 2，∴PQ ＝PB 2＋BQ 2＝（6－t ）2＋（2t ）2＝5t 2－12t ＋36＝5（t －65）2＋1445. ∵当t ＝65时，5(t －65)2＋1445有最小值1445， ∴当t ＝65时，PQ 的最小值为1255 cm. 答：经过65s ，点P ，Q 的距离最短． (2)设△PBQ 的面积为S ，则S ＝12BP·BQ＝12(6－t)·2t＝6t －t 2＝－(t －3)2＋9. ∴当t ＝3时，S 有最大值，最大值为9.答：经过3 s ，△PBQ 的面积最大，最大面积是9 cm 2.例2 解：设降价x 元后每天获利y 元．由题意得y ＝(135－100－x)(100＋4x)＝－4x 2＋40x ＋3500＝－4(x －5)2＋3600. ∵a ＝－4<0，∴当x ＝5时，y 有最大值，最大值为3600.答：每件降价5元，可使每天获得的利润最大．例3 解：(1)销售每台彩电获利3900－3000－100x ＝(－100x ＋900)元，每天的销售量为(6＋3x)台，所以y ＝(－100x ＋900)(6＋3x)＝－300x 2＋2100x ＋5400.(2)因为y ＝－300x 2＋2100x ＋5400＝－300(x －72)2＋9075，所以该函数图象的顶点坐标为(72，9075)．又因为x 为正整数，所以当x ＝3或x ＝4时，y 取得最大值，为9000元．所以销售该品牌彩电每天获得的最大利润是9000元．当x ＝3时，销售价为每台3600元，销售量为每天15台，营业额为3600×15＝54000(元)；当x ＝4时，销售价为每台3500元，销售量为每天18台，营业额为3500×18＝63000(元)．通过对比发现，当每台彩电的销售价为3500元时，彩电的销售量和营业额均较高．【勤反思】[小结] 每件商品利润销售量[反思] 利用二次函数解决实际问题时，若抛物线的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，这时，要结合二次函数的图象与性质，考虑自变量有意义的区域内的最值情况．。

浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》教学设计2

浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》教学设计2一. 教材分析浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象和性质的基础上进行的一节应用性较强的课程。

本节课主要让学生掌握二次函数在实际生活中的应用，例如：求最值问题、实际问题建模等。

教材通过具体的实例，引导学生将二次函数知识运用到实际问题中，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。

但在实际应用中，部分学生可能会对如何将实际问题转化为二次函数问题存在困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知差异，引导他们将所学知识与生活实际相结合，提高数学应用能力。

三. 教学目标1.理解二次函数在实际生活中的应用；2.学会将实际问题转化为二次函数问题，并运用二次函数求解；3.培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用；2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，并运用二次函数求解。

五. 教学方法1.案例教学法：通过具体的实例，引导学生了解二次函数在实际生活中的应用；2.问题驱动法：教师提出实际问题，引导学生运用二次函数知识解决；3.讨论法：学生在教师的引导下，分组讨论实际问题的解决方法。

六. 教学准备1.教学PPT：包含实例和实际问题；2.教学素材：相关实际问题的数据和图片；3.练习题：针对本节课内容的练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的实际问题引入本节课的主题，激发学生的兴趣。

例如：一个长方形的花园，占地面积为120平方米，若长和宽的和为18米，求长方形花园的长和宽。

2.呈现（10分钟）教师展示PPT，呈现实例和实际问题，引导学生将实际问题转化为二次函数问题。

例如：一个物体从地面上抛出，上升高度与时间的关系可以表示为二次函数。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用二次函数知识解决实际问题。

浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》教案2

浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》教案2一. 教材分析浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象和性质之后，进一步探究二次函数在实际生活中的应用。

本节内容主要包括二次函数在几何中的应用和二次函数在实际生活中的应用两个方面。

通过本节课的学习，学生能够更好地理解二次函数的实际意义，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图象和性质，对二次函数有一定的认识和理解。

但是，对于如何将二次函数应用于实际问题中，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解二次函数在几何中的应用，如圆的方程、抛物线的性质等。

2.掌握二次函数在实际生活中的应用，如物体运动、最优化问题等。

3.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的创新意识和实践能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在几何中的应用和二次函数在实际生活中的应用。

2.难点：如何将二次函数理论知识与实际问题相结合，解决实际问题。

五. 教学方法1.案例分析法：通过分析具体的实际问题，引导学生理解和掌握二次函数在实际中的应用。

2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。

3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，如物体运动、最优化问题等。

2.准备多媒体教学资源，如PPT、图片、视频等。

3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过抛出一个实际问题，如“一个物体从地面抛出，上升到最高点后再下降，求物体的最大高度”，引发学生的思考。

引导学生回顾二次函数的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示与二次函数相关的实际问题，如物体运动、最优化问题等。

引导学生分析问题，找出其中的二次函数关系。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同解决问题。