基于共轭梯度法的混沌系统参数辨识和同步

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Lü混沌系统的同步与反同步

｛２Ｘｌ一ｅ一２：ｌ＋ｃ２ｅＺ
（７）
ｒｇｏｆｃｍｌｘｄａｃｌｅｒｓ［】ＩＥｒｍｅｉｎｏｐｅｙｍｉｔｋＪ．ＥＥＴａｏｎａｎｗｏｏｕｏｔｏｔｌ２０，４４：５８９ｎＡｔｉＣｎｒ，０９５（）４－４．ｍａｃｏ８
为ｌｌａ２ｅ＋１ｅ一ａａｅ
图２同步误差曲线
Ｆｉ．Ｇａｈｏｓｎｈｏｉａｉｎｅｒｒｇ２ｒｐｆｙｃｒｎｚｔｏｒｏ
｛Ｘ一ｚｃ＋２＝Ｚ１ｅ＋２
ｌＸｌｘ— ｅ＋３岛：ｌ —ｙｂ３Ｙ
通信等领域倍受关注。近２年来，一些科研工作０
者以经典的控制理论作为指导思想，提出了许多混
沌同步方法口们近年来又提出了反同步方法［－］，１１。１２
Ｉ＝ａｙ（— ）
本文基于Ｌａｕｏ第二方法【］究了参数相ｙｐｎｖ ”研同，初值不同的两个Ｌ混沌系统同步与反同步问ｎ题，等价地转化为讨论对应的线性系统的零解渐近稳定性问题，并用Ｍａａ进行数值仿真，给出了同ｕｂ
ｎｎｎ
Ｕ方洁，姜长生．修正混沌函数投影同步及在保密通错位
Ｌａｕｏ第二方法，可知在式（）ｙｐｎｖ７的控制下，误差系
Ｉ口Ｘ＋ｌ毫＝（１Ｕ — ）
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【＝ —ｚ＋３三ｂ１１
（２）
其中，（Ｕ，，为非线性反馈控制项，并令误Ｕ＝，）Ｕ

混沌系统的自适应函数投影同步与参数辨识

混沌系统的自适应函数投影同步与参数辨识
孙克辉;丘水生;尹林子
【期刊名称】《信息与控制》
【年(卷),期】2010(39)3
【摘要】为了实现两未知参数混沌系统的同步控制与参数辨识,采用自适应函数投影同步控制策略,基于李亚普诺夫稳定性原理,设计了实现参数未知、不同初值的两同构或异构混沌系统同步的控制器和参数自适应控制律,给出了实现同步的控制参数的取值范围,分析了控制参数对同步系统性能的影响规律.以最新提出的单参数简化洛仑兹混沌系统模型为研究对象,采用Matlab/Simulink进行动态仿真研究,表明了理论分析的正确性和同步控制与参数辨识方法的有效性.
【总页数】7页(P326-331)
【关键词】混沌;函数投影同步;自适应控制;简化洛仑兹系统
【作者】孙克辉;丘水生;尹林子
【作者单位】中南大学物理科学与技术学院;华南理工大学电子与信息学院
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.9
【相关文献】
1.参数未知混沌系统的分段函数投影同步及参数辨识 [J], 连玉平;李德奎
2.异结构混沌系统的自适应函数投影同步及参数辨识 [J], 李德奎;连玉平;李玉龙
3.异结构的分数阶超混沌系统函数投影同步及参数辨识 [J], 董俊;张广军;姚宏;王
珏
4.基于Takagi-Sugeno模糊模型的超混沌系统自适应投影同步及参数辨识 [J], 王兴元;孟娟
5.参数完全未知的一类混沌系统的广义函数延迟投影同步及参数辨识 [J], 甘志华;贾培艳;楼军
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基于自适应同步的超混沌Chen系统的参数识别

１引言
自Ｐｃｒｅｏａ和Ｃｒｌ提出一种混沌同步方案 … 以来，沌的控制及同步在信息科学、物、ａｏｒｌ混生医学、程等工
别。该方法在驱动系统的参数发生跃变的情况下也是有效的。
关键词：混沌Ｃｅ系统；超ｈｎ自适应同步；数识别参中图分类号：４５０１文献标识码：Ａ
ＰｒｍｅｅｄｎｉｃｔｏｆＨｙｅｃａｔｃＣｈｎＳｓｅｙａａｔｒＩｅｔａｉｎｏｐｒｈｏｉｅｙｔｍｂｉｆ
ｗｌｔｏｗｈｎｓｍｅｐｒｍｅｅｓｉｈｒｅｓｓｍｊｍｐｓｄｅｌ．ｅｌｏｅｏａａｔｒｎｔｅｄｉｙｔｕｕｄｎｙｖｅ
Ｋｅｙｗｏｒ：ｈｙｅｃａｔｃＣｈｎｓｓｅ；ｄｐｉｅｓｎｈｏｉａｉｎ；ａａｔｒｉｅｔｃｔｏｄｓｐｒｈｏｉｅｙｔｍａａｔｖｙｃｒｎｚｔｏｐｒｍｅｅｄｎｉａｉｎｉｆ
知的超混沌Ｃｅｈｎ系统的参数辨识及优化问题，于Ｌａｕｏ基ｙｐｎｖ稳定性理论，解析地
获得同步控制器和参数观测器表达式，中的控制器个数低于系统维数。研究结其
果表明：两个超混沌系统达到完全同步后，动系统的５个未知参数被准确识当驱
ｗｈｅｈｗｏｈｙｅｃａｔｃｓｓｅｅｃｏｌｔｙｈｏｉａｉｎＩｓａｓ０ｎｈｔｔｉｃｅｅｗｏｋｎｔｅｔｐｒｈｏｉｙｔｍｓｒａｈｃｍｐｅｅｓｎｃｒｎｚｔ．ｔｉｌｏｆｕｄｔａｈｓｓｈｍｒｓｏ

基于Nystrom柯西核共轭梯度算法的混沌时间序列预测

基于Nystrom柯西核共轭梯度算法的混沌时间序列预测齐乐天;王世元;沈明琳;黄刚毅【期刊名称】《物理学报》【年(卷),期】2022(71)10【摘要】混沌时间序列能够较好反映真实环境的非线性和非平稳性特性,然而具有二阶统计特性的核自适应滤波器(kernel adaptive filter,KAF)在处理含噪声和异常值的混沌时间序列时,其预测性能显著下降.为提高核自适应滤波器的鲁棒性,本文提出了一种用于测量非线性相似度的柯西核损失(Cauchy kernel loss,CKL),并采用半平方(half-quadratic,HQ)方法保证了CKL的全局凸性.为改善随机梯度下降法收敛速度较慢且容易陷入局部最优的不足,采用共轭梯度(conjugate gradient,CG)方法优化CKL.进一步,为解决核矩阵网络增长的问题,采取Nystrom稀疏策略近似核矩阵,并利用概率密度秩量化(probability density rank-based quantization,PRQ)提高逼近精度.基于此,本文提出了一种新的基于Nystrom和PRQ的柯西核共轭梯度(Nystrom Cauchy kernel conjugate gradient with PRQ,NCKCG-PRQ)算法有效实现了混沌时间序列的预测.基于合成和真实两类混沌时间序列验证了所提NCKCG-PRQ算法在稳态性能,鲁棒性和计算存储复杂度上的优势.【总页数】10页(P392-401)【作者】齐乐天;王世元;沈明琳;黄刚毅【作者单位】西南大学电子信息工程学院;非线性电路与智能信息处理重庆市重点实验室【正文语种】中文【中图分类】O17【相关文献】1.基于非线性共轭梯度法的混沌微粒群优化算法2.基于共轭梯度法的纱线染色配方预测优化算法3.基于灰色模型和混沌时间序列的卫星钟差预测算法4.基于共轭梯度下降法的RBF神经网络预测算法5.基于Cat混沌和柯西变异的鸡群算法因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

基于状态观测器的超混沌系统的参数辨识和反同步

基于状态观测器的超混沌系统的参数辨识和反同步杨丽新;何万生;刘晓君【摘要】This paper is concerned with the parameter identification problem for a hyper-chaotic system with the unknown parameters.We design an effective state observer to identify the uncertain parameters.At the same time,based on the Lyapunov stability,a suitable controller is designed to realize the anti-synchronization for the hyper-chaotic system.Theory analysis and numerical simulations are presented to verify that the observer and controller are effective and feasible.%本文主要研究了参数未知混沌系统的参数辨识问题,我们设计了有效的参数观测器,对不确定超混沌系统中的未知参数进行了识别,同时以Lyapunov稳定性理论为基础,设计了合适的非线性控制器,实现了此混沌系统的反同步,理论分析和仿真模拟结果证明了该观测器和控制器的有效性.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2011(028)005【总页数】8页(P609-616)【关键词】参数辨识;观测器;非线性控制器;反同步;超混沌系统【作者】杨丽新;何万生;刘晓君【作者单位】天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水741001;天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水741001;天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水741001【正文语种】中文【中图分类】O1931 IntroductionOver the past decades,chaos synchronization has received increasing interest attention since the pioneering work of Fujisaka andYamada[1].Due to the importance and applications of coupled systems,a variety of approaches have been proposed for synchronization of chaotic systems such as linear and nonlinear feedback synchronization[2-8],impulsive synchronization[9],lag synchronization[10],etc..Recently,anti-synchronization[11,12]of chaotic systems and it’s applications to chaotic secure communication also have been studied.However,their researches only concerned many chaotic systems and hyper-chaotic systems with certain parameters.Therefore,it is important to study the anti-synchronization of hyper-chaotic systems with uncertain parameters.The key step is to identify uncertain parameters fast and accurate.For the above reasons,based on the Lyapunov stability theory,a parameter observer is designed to identify unknown parameters of a hyper-chaotic system.At the same time,a nonlinear contorller is proposed to achieve anti-synchronization of the hyper-chaotic system with unknown parameters.The new controller consists of two parts.One is the linear feedback controller,the other is the nonlinear feedback controller.The rest of the paper is organized as follows.In the following section,theparameter identification scheme is presented brief l y,and a parameter identification observer is designed for a hyper-chaotic system.In section 3,we study the anti-synchronization of the system.In section 4,we give the numerical simulations of application.Finally,a conclusion ends the paper.2 Parameter identification theoremConsider the nonlinear chaotic system as followswhe re X=(x1,x2,xn)T∈Rnis the state vector,Fi,Gjare linear or nonlinear function.Xi and Yiare collections of partial state variables.The parameter vector of system(1)is ai=(a1,a2,···,aj,···)T.Without loss of generality,we might as well assume that the parameter ajis unknown but constant.Then we design an identification observer of it.Suppose that the uncertain parameter ajis varying with time,ˆajis the identification result of aj.Letwhere−lj(Yi)is the gain function of the uncertain parameter aj.In fact,the d erivation of state vector xican’t be observed,so we must eliminate˙x1and˙x2 by introducing auxiliary variables.LetOf course,the error system(3)is gradual stability by selecting suitable gain function.It can be denoted usually as follows where the gain constant kjgt;0 and index nj∈N.Therefore,the error dynamical system(3)can be rewritten asTherefore the simplest gain function is selected asAccordingly,the corresponding auxiliary function isFrom before mentioned theorem,the identi fi cation observer of the uncertain parameter ajcan be written as follows:Considering the hyper-chaotic system as follows,the governing equations areWhere Y=(y1,y2,y3,y4,y5)T∈R5,a,b,c,d,k,w are parameters,when the parameters a=10,b=28,c=,k=0.1,d=1,w=4.31,there exists a hyper-chaotic attractor.We suppose that system(15)is a system of unknownparameter,¯a,¯b,c¯,d¯,k¯,w¯ is the identifi cation result of parameter vector.In order to identify uncertain parameters,according to the foregoing theorem,it is very easy to design identi fi cation observers of parameters as followsIn order to study,the system(15)can be rewritten asAt the same time,the observer with di ff erential coefficient,so we design auxiliary functions as followsIn the following,let us choose the control gain functions as followsDef i ne the parameter error variables areea=a−¯a,eb=b−¯b,ec=c−¯c,ed=d−¯d,ek=k−¯k,ew=w−¯w,therefore,we can obtainIt is obvious that the error system(21)is gradual stability by selecting suitable gain function.According to(19)and(20),the state observer(18)can be rewritten as3 Anti-synchronization of the system via nonlinear controllerFor two dynamical systems in the form ofwhere x,y∈Rn,u(x,y,t)is nonlinear control function.Def i ne(23)is drive system,the system(24)is response system,if for allx(t0,y(t0))∈Rn,lim|yi(t)+xi(t)|=0,i=1,2,···,n.That is to say the drive system and the response system realize the anti-synchronization.The system(14)is taken as the drive system,the response system is de fi ned as followDe fi ne the error signal as e=x+y,i.e.,Then the error dyna mical system can be written aswhere u=(u1,u2,u3,u4)Tis nonlinear controller,which is designed such thattwo hyperchaotic systems can realize the anti-synchronization.The aim of the section is to determine the nonlinear controller,for the synchronization of drive and response systems.For this purpose,the controller is selected as followsTheorem If the controller of(28)is proper,then the error signal asymptotic converges to zero,that is to say,we can achieve the anti-synchronization between two hyper-chaotic systems by the above controller. ProofConstruct a Lyapunov functionSince V is a positive de fi nite function andV˙ is a negative de fi nite function,according to the Lyapunov stability theory,the error variables become zero as time tends to in fi nity.This mean that the drivesystem(14)and the response system(25)realize anti-synchronization under the controller(28).4 Numerical simulationsIn the following steps,we would like to give the numerical simulations to verify e ff ectiveness of the above-designed observer and the nonlinear controller.The unknown parameters are chosen to bea=10,b=28,c=,d=1,k=0.1,w=4.31.In order to gain the fast and accurate parameter identi fi cation,we select the initial states of the drive system and the response systemare(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0))=(0,0,4,2)Tand(y1(0),y2(0),y3(0),y4(0))=(2,0.5,6,8). Without loss of generality,we give the identi fi cation curves of fourparameters varying with time t are shown in Figure 1,Figure 2 presents the anti-synchronization errors with evolving time t.Figure 1: Identification curves of the uncertain parameters of the system with varying timeFigure 2: The anti-synchronization errors between the drive and response systems5 ConclusionIn this paper,the parameter identification and anti-synchronization of a hyper-chaotic system are investigated.A state observer and a controller for the uncertain system are designed.The effectiveness of the observer and controller for the system are demonstrated by computersimulations.Numerical simulations are used to verify the effectiveness of the proposed scheme.References:【相关文献】[1]Fujisaka T,Yamada.Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems[J].Progress of Theoretical Physics,1983,69(1):32-71[2]Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J].Physical Review Letters,1980,64:821-824[3]Wieczorek S,Krauskopf B.A unifying view of bifurcations in a semiconductor laser subject to optical injection[J].Optical Communication,1999,172(10):279-295[4]Vincent U E,Njah A N,Akinlade O.Phase synchronization in unidirectionally coupled chaotic ratchets[J].Chaos,Solitons and Fractals,2004,14(4):1018-1025[5]Liao T L.Adaptive synchronization of two Lorenz systems[J].Chaos,Solitons and Fractals,1998,9(2):1555-1561[6]Rosenblum M G,Pikovsky A S,Kurths J.From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators[J].Physical Review Letters,1997,78(22):4193-4196[7]Chu Y D,Zhang J G.Chaos and chaos synchronization for a non-autonomous rotational machine system[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2008,9(4):1378-1393 [8]Bai E W,Lonngran E E.Synchronization of two Lorenz systems using activecontrol[J].Chaos,Solitons and Fractals,1997,8(1):51-58[9]Kilic R.Experimental study on impulsive synchronization between two modif i ed Chua’s circuits[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2006,7(2):1298-1303 [10]Taherional S,Lai Y C.Observability of lag synchronization of coupled chaotic oscillators[J].Physical Review E,1999,59(2):6247-6250[11]Xu W,Du L,Xu Y.Some recent developments of nonlinear stochasticdynamics[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2006,23(6):951-960[12]Wen G L,Xu D.Observer-based control for full-state projective synchronization of a general class of chaotic maps in ant dimension[J].Physical Letters A,2004,33(2):420-425。

不同阶分数阶混沌系统的同步与参数辨识李安平

246
2013， 49 （4）
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
A( x t ) + A( x t )T ，若 AH (t ) 2 所有元素连续有界，且存在一个正常数 σ ( > 0) ，使得 AH (t )
在实际工作中混沌系统的参数由于干扰或各种其他因素的影响经常是未知的，因此研究参数未知的不确定混沌系统同步与辨识有重要意义 [12-14]。在有未知参数存在情形下，文 [11]的方法不再适用，而且关于不同阶分数阶混沌系统之间的参数辨识尚未见报道。本文讨论参数不确定分数阶混沌系统用不同阶同结构系统来同步和参数辨识，利用分数阶非线性时变系统稳定性理论，给出分数阶系统用不同阶的分数阶系统来同步和参数辨识的方法，实例实现了不确定分数阶 Chen 通过不同阶的分数阶 Chen 系统来同步和参数辨识。理论和实验仿真说明了方法的有效性。
2
分数阶微积分
分数阶微积分有 300 多年的历史，其定义有很多种，常
1in
使得 AH 所有的特征值都满足 λ i (t ) = a ii min (- a ii )( > 0) ，
-σ < 0 ，因此由定理 2 可得，系统渐近稳定。
用的有 Grunwald_Letnikov （GL）， Riemann_Lionville （RL）， Caputo’ s 定义。分数阶微分方程的计算方法有两大类：一种是频域算法，一种时域算法。本文中采用 Caputo’ s 定义和预测 -校正（predictor-correctors）时域数值算法。 Caputo’ s 分数阶微分定义为：

几个混沌系统的有界性及其同步研究

作为非线性科学中最重要的成就之一，动力学系统中复杂现象的发现以及混沌学的创立和发展，开创了非线性科学的新纪元，被誉为 20 世纪物理学上继相对论和量子力学之后的第三次革命。混沌的基本思想起源于 19 世纪初，形成于 20 世纪 60 年代，发展于 20 世纪八十年代，这一理论揭示了有序与无序的统一，确定性和随机行的统一，并成为正确的宇宙观和自然哲学的里程碑。
1960 年前后，非线性科学研究得到了突飞猛进的发展，A.N.Kolmogrov 与 V.I.Arnold 及 J.Moser 深入研究了 Hamilton 系统中的稳定性，得出了著名的 KAM 定理。1963 年，Lorenz 在美国《大气科学杂志》发表文章《确定性的非周期流》，给出了混沌解的第一个例子。采用数值积分方法计算一个三维自治系统的初值问题时发现，当系统参数一定时，系统自任意初始状态出发的相轨线呈现蝴蝶状态，既不重复也无规律。Lorenz 提出一个形象的比喻：“巴西的一只蝴蝶闪动几下翅膀，可能会改变 3 个月后美国德克萨斯州的气候”，这就是著名的“蝴蝶效应”，揭示了混沌系统的长期行为对初值的敏感依赖性。Lorenz 的这一发现成为混沌研究的里
Keywords: chaotic system, ultimate bound, synchronization
II
重庆大学硕士学位论文
1绪论
1绪论
1.1 问题的研究背景
20 世纪以来，非线性系统科学得到了广泛的研究和发展，对推动现代数学、物理学的进步起到了非常重要的作用。同时，非线性科学与其他学科相互渗透，也促进了边缘学科和相应交叉学科的发展。
在庞加莱之后，G.D.Birkhoff 紧跟庞加莱的学术思想，在动力系统的研究中于 1917 年到 1932 年期间发表了一系列论著，建立了动力系统理论的主要研究方向：拓扑理论和遍历理论—成为当今研究复杂系统强有力的武器[1]。

一类不确定分数阶混沌系统自适应同步与参数辨识

一类不确定分数阶混沌系统自适应同步与参数辨识赵小山;孔德富;郭永峰【摘要】In view of one parameter uncertain fractional-order chaotic system, firstly, the chaotic attractors of different phase plane are given. Then, based on the fractional-order stability theory, suitable adaptive synchronization controllers are designed. The method not only achieves the chaos synchronization of the system, but also identifies unknown parameters of the respond system. At last based on the Lyapunov stability theory, strict mathematic proof is given, numerical simulation demonstrates the effectiveness and correctness of the method.%针对一个参数不确定的分数阶混沌系统，首先给出不同相平面上的混沌吸引子图，然后基于分数阶系统稳定性理论，设计了一种自适应同步控制方法，不仅能够实现该系统的混沌同步，同时能够完成响应系统的参数辨识，并根据Lyapunov稳定性理论给予严格证明，最后通过数值仿真，验证了该方法的有效性和正确性。

【期刊名称】《天津工业大学学报》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】4页(P85-88)【关键词】分数阶混沌系统;混沌同步;参数辨识;自适应同步;控制器【作者】赵小山;孔德富;郭永峰【作者单位】天津职业技术师范大学理学院，天津 300222;天津职业技术师范大学理学院，天津 300222;天津工业大学理学院，天津 300387【正文语种】中文【中图分类】O231.2分数阶微积分理论尽管有300多年的历史，但是因为其长时间没有实际应用背景而发展缓慢[1].但近几十年来，由于Mandelbort[2]提出自然界乃至很多科学领域都存在分数维的事实，分数阶微积分得到了迅猛的发展.在混沌系统的同步中，参数具有极其重要的作用，当系统中某些参数未知时，混沌系统的敏感性将造成系统状态极大的差异.目前很多研究者已经对整数阶的参数问题进行了大量的研究[3-4]，但对分数阶混沌系统的参数识别问题研究相对较少.在很多实际应用中，分数阶系统又能更准确地反映其数学特性，因而逐渐成为混沌研究的热点.自1990年，Pecora和Corroll首次提出混沌同步的概念以来，人们从不同的角度实现了不同类型的混沌同步，有完全同步、广义同步、投影同步等[5-7].本文针对一个不确定的分数阶混沌系统，设计自适应控制器并进行参数识别，最后通过数值模拟验证该方法的有效性和正确性.分数阶微积分存在着多种定义，大多采用的是Caputo定义和Riemann-Liouville （R-L）定义，本文采用的是Caputo定义[8]：式中：m=[α]；Jθ为θ阶Riemann-Liouville积分算子，它被定义为：其中Γ（·）为Gamma函数.预估-校正算法是典型的求解一阶微分方程组Adams-Bashforth-Moulton[9]法的推广，基于Caputo分数阶微分定义，将其应用到分数阶系统的数值计算.考虑下面的初值问题在文献[10]中，Diethelm等证明了如果方程f是连续的，那么（3）式的初值问题等价于如下的Volterra积分方程令h=T/N，tn=nh，n=0，1…，N∈Z+，首先进行Adams-Bashforth预估，得到如下公式式中：，其次再进行Adams-Moulton校正：其相应的预估矫正算法误差为maxj=0，1，…N|x（tj）-xh（tj）|=O（hp），其中p=min（2，1+α）.超混沌Lorenz-Stenflo（LS）系统是Stenflo在研究低频率短波长的重力波方程式提出来的，其形式如下：式中：x、y、z、w为系统的状态变量；a、b、c、d为系统参数，当a=1，b=7，c=26，d=1.5时，系统存在混沌吸引子.本文研究的是系统（8）分数阶的形式.其分数阶形式为：式中：q为分数阶系统的阶数，q=0.98，分数阶系统的参数依然取a=1，b=7，c=26，d=1.5.采用Caputo定义设计算法，利用Matlab数值仿真，得出系统（9）的混沌吸引子图如图1所示.通过这个在二维平面上的相图更加可以清晰的看出该系统的混沌轨道是双漩涡结构. 文献[11]给出了分数阶稳定性理论.定理1 考虑线性分阶系统式中，0＜q＜1，x∈Rn（n∈N），A∈Rn×n.当且仅当矩阵A的任意特征值λ，满足|arg（λ）|＞qπ/2时，系统（10）渐近稳定.由定理1的证明过程可以得出如下定理2.定理2 对于非线性分数阶系统式中，0＜q＜1，x=（x1，x2…，xn）T，A（x）∈Rn×n为状态向量，是系数矩阵.当含有状态变量的系数矩阵A（x）的所有特征值λi（i=1，2，…，n）实部都不大于零，即|arg（λi）|＞qπ/2时，系统（11）是渐近稳定的.根据分数阶稳定性理论，设计如下自适应同步同步控制方法，并进行参数辨识.本文设驱动系统为：假设所有参数均为未知，采用自适应同步方法，设计如下响应系统：式中，参数a、b、c的估计值分别为自适应控制器为u=（u1，u2，u3，u4）T. 同步误差变量设为：e1=y1-x1，e2=y2-x2，e3=y3-x3，e4=y4-x4，未知参数估计误差设为：定理3 若设计的系统同步控制器为则t→∞时，误差动力系统（16）趋于稳定，即驱动系统（12）和响应系统（13）达到同步.证明针对误差动力系统（16），构造如下的Lyapunov函数：由此可得V≥0，≤0，所以当t→∞时，根据Lyapunov稳定性定理[12]，有e1→0，e2→0，e3→0，e4→0，ea→0，eb→0，ec→0，ed→0.动力学误差系统（16）趋于稳定，即当t→∞时，驱动系统（12）和响应系统（13）实现混沌同步.由预估-校正算法，结合Matlab进行数值仿真，参数a，b，c，d的真实值分别为（a，b，c，d）=（1，0.7，26，1.5）；驱动系统（12）的初始值为（x1（0），x2（0），x3（0），x4（0））=（0.1，0.2，0.2，-0.2）；响应系统（13）的初始值为（y1（0），y2（0），y3（0），y4（0））=（15，20，10，40）；误差系统（16）的初始值为（e1（0），e2（0），e3（0），e4（0））=（14.9，19.8，9.8，40.2）；参数估计值分别为=（10，-5，0，10），得到误差系统变化曲线和参数辨识效果.图2为误差系统（16）的误差变化曲线.由图2可以看到，随着时间t的增加，系统同步误差逐渐为0，也就是驱动系统（12）和响应系统（13）达到同步.图3为未知参数辨识图，其中（a）、（b）、（c）、（d）是参数a、b、c、d的辨识曲线.由图3可以看出，当参数a、b、c、d分别从估计值10、-5、0、10快速的趋近于真实值1、0.7、26、1.5，也就是说，所设计的辨识规则是正确的.本文针对参数不确定的分数阶超混沌Lorenz-Stenflo系统，给出了其在不同相平面上的混沌吸引子图；基于分数阶稳定性理论，设计了合适的自适应同步控制器，根据Lyapunov稳定性定理，推导出未知参数的辨识规则，通过利用预估-校正算法，进行数值模拟，验证了该方法的有效性和正确性.该方法也可以推广到其他分数阶混沌系统中，同时分数阶混沌系统异结构同步与参数辨识，甚至分数阶混沌系统异结构投影同步与参数辨识，将在接下来的工作中进一步研究.【相关文献】[1]刘崇新.蔡氏对偶混沌电路分析[J].物理学报，2002，51（6）：1198-1202.[2]LORENZ E N.Deterministic nonperiodic flow[J].J Atmos Sci，1963，20：130-141.[3]SUNDARAPANDIANV，PEHLIVANI.Analysis，control，synchronization，and circuit design of a novel chaotic system[J]. Mathematical and Computer Modeling，2012，55：1904-1915.[4]YUAN L，YANG Q.Parameter identification and synchronization of fractional-order chaotic systems[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17：305-306.[5] 董俊，张广军，姚宏.异结构超混沌系统的完全同步与反相同步控制[J].空军工程大学学报，2012，13（5）：90-94.[6]王兴元，孟娟.一类混沌神经网络的观测器广义投影同步设计[J].应用力学学报，2008，25（4）：656-659.[7]MAINIERIR，REHACEKJ.Projectivesynchronizationin threedimensional chaoticsystems[J].Physical Review Letters，1999，82（15）：3042-3045.[8]CAPUTO M.Linear models of dissipation whose q is almost frequency independent-II[J].Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society，1967，13（5）：529-539. [9]DIETHELM K，FORD N J，FREED A D.A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations[J].Nonlinear Dynamics，2002，29：3-22. [10]DIETHELM K，FORD N J.Analysis of fractional differential equations[J].Math Anal Appl，2002，265：229-248.[11]张若洵，杨世平，刘永利.基于线性控制的分数阶统一混沌系统的同步[J].物理学报，2010，59（3）：1549-1552.[12]HAHN W.The Stability of Motion[M].New York：Springer Press，1967.。

不同维混沌系统的混合函数投影同步及参数辨识

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｈｙｂｒｉｄｆｕｎｃｔｉｏｎｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎａｎｄｐａｒａｍｅｔｅｒｉｄｅｎｔｉｆｉ —
第３４卷第３期
Ｖｏ１．３４Ｎｏ．３２０１３
青岛理工大学学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＱｉｎｇｄａｏＴｅｃｈｎｏｌｏｇｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
不同维混沌系统的混合函数投影同步及参数辨识
ＬＩＤｅ－ｋｕｉ，ＬＩＡＮＹｕ－ｐｉｎｇ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＤｉｎｇｘｉＮｏｒｍａｌＣｏｌｌｅｇｅ，Ｄｉｎｇｘｉ７４３０００，Ｃｈｉｎａ）
正确性．本文的研究结果是把一些学者利用常数对角矩阵来实现相同维混沌系统的混合投影同步推广到利用函数对角矩阵实现不同维混沌系统的混合函数投影同步．关键词：不同维混沌系统；混合函数投影同步；参数辨识
中图分类号：０３２２文献标志码：Ａ文章编号：１６７３ — ４６０２（２０１３）０３ — ００９５ — ０７
ｓｔａｔｅｖａｒｉａｂｌｅｓｏｆｔｉｚｅｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｂｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．ＢａｓｅｄｏｎＬｙａｐｕｎｏｖｓｔａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｅｍ，ａｎａｄａｐｔｉｖｅｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｉｓｄｅｓｉｇｎｅｄｔｏｒｅａｌ —

共轭洛仑兹型混沌系统的同步控制方法

ｓｎｈｏｉｔｎｆｏｊｇｔｙｃｒｎｚｉｏｃｎｕａｅｏｅｚｙｅｈｏｉｙｔｍｓｎｔｅａｏＬｒｎｔｐｃａｔｓｓｃｅａｄｈｍａｈｍａｉｔｅｔｍｏｅｆｃｄｌｏ
ｓｎｈｏｉａｉｎｗｉｉｅｅｔｓｒｃｕｅｏｏｊｇｔｒｎｙｔｍｓａｄＬｒｎ —ｙｅｓｓｅｓｙｃｒｎｚｔｔｄｆｒｎｔｕｔｒｆｃｎｕａｅＬｏｅｚｓｓｅｎｏｅｚｔｐｙｔｍｓｉ０ｈｆ
和有效性．数值模拟结果表明，态变量的控制参数值越大，应的状态变量同步所需时间越短；状对当控制参数的最小值增大时，统同步时间就减短；３控制参数取相同值时，以通过控制该参数值控制系统同步时间．系当个可关键词：轭洛仑兹型系统共洛仑兹型系统同步控制
ｃｎｒｌｄｄｒｃｌｙｔｅｐｒｍｅｅａｕｓｏｔｏｌｉｅｔｂｈａａｔｒｖｌｅ．ｅｙ
Ｋｅｏｄ：ｏｊｇｔＬｒｎ—ｙｅｓｓｍｓＬｒｎ—ｙｅｓｓｅ，ｎｒｌｎｙｃｒｎｚｔｎｙｗｒｓｃｎｕａｅｏｅｚｔｐｙｔ，ｏｅｚｔｐｙｔｍｓｃｔｄｓｎｈｏｉｉｅｏｏａａｏ
ｃｎｒｌｎｙｃｒｎｚｔｎｉｐｏｏｅ．ｐｙｎｈｓｍｅｈｄ，ｅｆｔｅｓｆｉｉｔｃｎｉｏｓｏｏｔｏｄｓｎｈｏｉａｉｓｒｐｓｄＡｐｌｉｇｔｉａ０ｔｏａｓｔｏｈｕｆｅｏｄｔｎｆｃｎｉ

基于自适应同步的超混沌Chen系统的参数识别

第7卷第1期复杂系统与复杂性科学 V o.l 7N o .12010年3月 COM PLEX S Y STE M S AND COM PLEX I TY SC IENCE M ar.2010文章编号:1672-3813(2010)01-0033-07基于自适应同步的超混沌Chen 系统的参数识别王春妮(兰州理工大学理学院,兰州730050)摘要:为了研究超混沌Chen 系统的完全同步及未知参数的识别及优化问题,利用两个线性控制器实现参数匹配的两个超混沌Chen 系统的完全同步,研究了参数未知的超混沌Chen 系统的参数辨识及优化问题,基于Lyapunov 稳定性理论,解析地获得同步控制器和参数观测器表达式,其中的控制器个数低于系统维数。

研究结果表明:当两个超混沌系统达到完全同步后,驱动系统的5个未知参数被准确识别。

该方法在驱动系统的参数发生跃变的情况下也是有效的。

关键词:超混沌Chen 系统;自适应同步;参数识别中图分类号:O415文献标识码:APara m et er Identification of Hyperchaotic Chen Syste m byU si ng Adaptive Synchronizati on Sche m eW ang Chun -ni(Schoo l o f Sc i ence ,L anzhou U niversity of T echnology ,Lanzhou 730050,Ch i na)Abst ract :The synchr onization and opti m ization o f para m eter i d entificati o n of hyperchaotic Chen syste m sare investi g ated .Co m plete synchronization is rea lized by i n troducing t w o linear controllers into the dri v ensyste m w hen the t w o syste m s are identica.l Further m o re ,t h e case for t w o nonidentica l hyperchaotic Chensyste m s are i n vesti g ated by usi n g the adaptive synchron ization .Based on the Lyapunov stability theory ,all para m eter observers and contr o llers are approached analytically ,and the t h e num ber of contro llers isless t h an the di m ension of t h e syste m.It is confir m ed that the five unkno wn para m eters are esti m ated w ellw hen the t w o hyperchaotic syste m s reach co m plete synchronizati o n.It is also found that this sche m e w or ksw e ll too w hen so m e para m eters i n the dri v e syste m ju m p suddenly .K ey w ords :hyperchaotic Chen syste m;adaptive synchronizati o n;para m eter i d entificati o n收稿日期:2009-06-16基金项目:国家自然科学基金(10747005);兰州理工大学自然科学基金资助的课题(Q200706)作者简介:王春妮(1973-),女,陕西人,讲师,硕士,主要研究方向为非线性动力学与复杂性。

Lorenz混沌系统的参数辨识与控制

在实际中需要得到未知参数 b 的值. 然而 , 在
很多情况下 ,未知参数的动态信息很难被得知 ,因此
本文假定
·
b = 0.
对于未知的参数 b ,把它作为状态变量 , 则可得到一
增广的系统状态变量 [ x T ; b ] T , 更进一步 , 假设 (1)
式中的所有状态均可得到 ,只需辨识未知的参数. 为
统.
下面给出系统仿真结果. 本文研究 P = 10 , R = 28 时 , 参数 b 辨识的情况. 为了仿真需要 ,不妨假设 b = 21667. 根据前面的分析 ,我们选择 p ( x3) = kln ( x3) , k = 0 . 5 ,则易得
图 1 系统的混沌动力学轨迹
(a) 系统参数的辨识结果
l ( x3)
=
d p ( x3) d x3
.
综合上面的方程得到
δ·=
· ^b +
d p ( x3) d x3
x·3
= - l ( x 3) x 3 (δ -
即
p ( x3) ) + l ( x3) x1 x2 ,
δ·= - l ( x 3) x 3δ + l ( x 3) ( x 3 p ( x 3) + x 1 x 2) ,
方冷却的热对流管中的环流 , 此时 , x 1 是流体速度 , x 2 和 x 3 分别为水平和垂直的温度差 , P 与流体的
Prandtl 数成比例 , b 是与空间相关的常数 , R 与流
体的 Rayleigh 数成比例. 本文主要研究系统参数 P ,
R 为已知参数 ,而 b 为未知参数时的情况.
1期
关新平等 :Lorenz 混沌系统的参数辨识与控制

基于Lorenz衍生的混沌系统参数调节自适应同步

基于Lorenz衍生的混沌系统参数调节自适应同步
苑文法;魏炎炎
【期刊名称】《湖北文理学院学报》
【年(卷),期】2011(032)002
【摘要】通过结合Lorenz经典系统特征及原理、系统复杂的动力学,衍生出一类新的拓展系统.对该系统在不同参数下复杂的动力学现象进行分析,采用罗斯-霍维兹判别方法验证其正确性和可操作性,采用4阶龙格-库塔方法进行迭代计算,对主从系统的混沌同步进行计算机仿真模拟,实现对该系统混沌现象和参数调节自适应同步的研究.
【总页数】4页(P5-7,27)
【作者】苑文法;魏炎炎
【作者单位】西安建筑科技大学理学院,陕西西安,710055;西安建筑科技大学理学院,陕西西安,710055
【正文语种】中文
【中图分类】O415.5
【相关文献】
1.一个新的不确定超混沌Lorenz系统的自适应同步 [J], 徐江;蔡国梁
2.超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统的自适应控制同步 [J], 蒋楠
3.一类超Lorenz混沌系统确定参数调节自适应同步 [J], 魏炎炎;李富
4.基于Lyapunov方法Lorenz混沌系统自适应同步方法 [J], 唐琴;朱芳来
5.不确定超混沌Lorenz系统的参数自适应同步 [J], 张若洵;冯浩;杨洋;杨世平
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超混沌Liu系统的自适应广义投影同步与参数识别

超混沌Liu系统的自适应广义投影同步与参数识别陈彦飞;贾贞;邓奇湘;谢梦舒;于晓玲【摘要】The adaptive generalized projective synchronization for hyperchaotic Liu system and parameters identification are studied. Based on adaptive feedback control technique,the nonlinear controller and parameter adaptive laws are designed under the situation of response system with unknown parameters to realize global generalized projective synchronization of two hyperchaotic Liu systems with unmatched parameters,the control gain is given to adjust synchronous speed. Furthermore,the identification of unknown parameters is realized simultaneously. The conclusion is proved by Lyapunov stability theory and LaSalle's invariance principle. Numerical simulations are given to demonstrate the effectiveness of the proposed method.%本文研究超混沌Liu系统的自适应广义投影同步与参数识别问题.基于自适应反馈控制技术,在响应系统参数未知的情况下设计了非线性控制器和参数自适应律,使2个参数不匹配的超混沌Liu系统在全局范围内实现广义投影同步,可用控制增益来调整同步的速度,同时实现对未知参数的识别.应用Lyapunov稳定性理论和LaSalle不变集原理从理论上证明了结论,并通过数值仿真验证所给方法的有效性.【期刊名称】《广西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(030)001【总页数】5页(P10-14)【关键词】超混沌Liu系统;反馈控制;广义投影同步;参数识别【作者】陈彦飞;贾贞;邓奇湘;谢梦舒;于晓玲【作者单位】桂林理工大学理学院,广西桂林541004;桂林理工大学理学院,广西桂林541004;广西空间信息与测绘重点实验室,广西桂林541004;桂林理工大学理学院,广西桂林541004;桂林理工大学理学院,广西桂林541004;桂林理工大学理学院,广西桂林541004【正文语种】中文【中图分类】O415.50 引言混沌是非线性动力学研究的重要内容之一，由于混沌具有内在的随机性、连续宽谱和对初值的敏感依赖性等特点，使其在保密通信、信号处理、图像处理等方面都有着广泛的应用前景，引起人们广泛的关注[1-3]。

四维L.C振子的超混沌系统的参数辩识与同步

1
_______________________________________________________________________________ 中国科技论文在线
and H ( x) = 0, x < 0 .when a=0.6,b=0.05,c=0.015,d=10， ε = 0.33, µ = 0.3 .Assume the value of parameters a, b, c is unknown and invariable, the identification result of each parameter is
) ) &− p & −x & 1 ( x1 ) = a & 1 dp 1 ( x 1 ) / dx 1 = − x 1 l 1 ( x 1 )δ 1 + l 1 ( x 1 ) ( x 2 + x 3 − x 1 p 1 ( x 1 ) ) δ&1 = a = − kx 12 δ 1 + kx 1 (x 2 + x 3 − 0 . 5 kx 13 )
(2) (3)
& & 1 (t ) = a & − a ˆ = − x 1 l 1 ( x 1 )e 1 (t ) e
) & = − x l ( x )e (t ) & 3 (t ) = c &−c e 3 3 3 3
(4)
i = 1, 2 ,3
Imitating literature [5-6], it can make gain function as: l i ( x i ) = kx i Put equation (5) into (4), it will get: e & i (t ) + kx i2 e i (t ) = 0

一类超混沌系统的参数辨识和混沌反同步

超混沌系统的参数辨识，数值仿真结果表明观测器
下，数未知超混沌系统实现混沌反同步，参从而证明该观测器和控制器的有效性。
关键词：学；沌反同步；混沌系统；数观测器；定性理论；线性反馈控制器数混超参稳非
中图分类号：Ｐ７Ｔ２３
．

Ｔｈｏｅｉａｅｒｔｃｌ
ａｌｉｎｕｒｃｌｓｍｕｌｔｏｈｗｔｔｅｏｅｖｒａｄｃｎｒｌｅｒｆｅｔｖｎｐｐｉａｌ．ｎａｙｓｓａｄｎｍｅｉａｉａｉｎｓｏｔｈｂｓｒｅｎｏｔｏｌｒａｅｅｆｃｉｅａｄａｌｃｂｅｈａＫｅｗｏｄ：ｖｂａｉｎａｄｗａｙｒｓｉｒｔｏｎｖｅ；ｃｏｉａｉｓｎｃｒｎｚｔｏ；ｈｐｅ－ｈｏｉｙｔｍ；ｐｒｍｅｅｈａｔｃｎｔ－ｙｈｏｉａｉｎｙｒｃａｔｓｓｅｃａａｔｒｏｓｒｅｌｐｏｔｂｉｌｈｅｒｎｎｌａｅｄｃｏｎｒｌｒｂｅｖｒ；ｙａｕｎｖｓａｌｔｔｏｙ：ｏｉｒｆｅｂａｋｃｔｏｌｙｎｅｅ
具有实际意义；为此，ａｋ出了参数未知的不确定Ｐｒ提
混沌系统的自适应同步方法ｌＥａｂｓ６ｌａｙ等完成了不］ｂ，确定系统的自适应同步，些学者都是针对～般这的低维系统进行了研究，文基于状态观测器方本法，对超混沌系统，针设计了合适的观测器，实现了

基于共轭梯度法的混沌系统参数辨识和同步

的单变量驱动与其结构相同参数可调的响应系统，由于混沌对于参数的失配具有极度敏感性，参数不同的两个相同结构的混沌系统无法同步，因此通过调整响应系统参数使同步误差最小就可以实现混沌同步，同时得到驱动系统参数。本文通过共轭梯度
方法搜索使同步误差极小的未知参数值，从而在获得待辨识参数的同时实现驱动系统与响应系统的同步。该方法不需要确知
ｄｖ —ｅｐｎｅｓｎｈｒｎｚｔｏｒｍｅｒｉｒｅｒｓｏｓｙｃｏｉａｉｎｆａｗｏｋ．Ｔｈｃｌｒｖｉｎｓｕｓｄｔｒｖｅｐｎｅｓｓｅｗｉｈｅｓｍｅｅｓａａｄｅｓｇａｉｅｏｄｅａｒｓｏｓｙｔｍｔｔａｒｉｌｉｈｓｒｔｒｓｔａｆｔｅｄｖｙｔｍｎｄｔｎｂｅｐａｔｒ．Ｃｈｏｉｙｔｍｓｅｔｅｌｅｉｉｅｔａａｔｒｍｉ— ｔｕｃｕｅａｈｔｏｈｒｅｓｓｅａｕａｌａｍｅｅｓｉｒａｔｃｓｓｅｉｘｒｍｅｙｓｎｓｔｖｏｐｍｅｅｓｒ
ｓｎｈｎａｉｒｒｙａｊｓｎｅｐａｅｒｏｓｏｓｙｔｍｗｌｅｅｔａｌｌａｙｃｒｎｚｔｎｏｒｅｙｃｒｉｔｎｅｒｄｕｔｇｔａｍｔｓｆｅｐｎｅｓｓｉｖｎｕｙｅｄｔｓｎｈｉｉｆｉｏｚｏｏｂｉｈｒｅｒｅｌｌｏｏａｏｄｖｓｓｍａｄｒｓｏｓｙｔｙｔｎｅｐｎｅｓｓｍ，ａｔｅｓｍｅｔｅｔｅｐａｔｒｃｎｂｂａｅ．Ｔｅｃｎｕａａｉｎｍｅｏ＿ｅｅｔｈａｍａｍｅｅａｅｏｔｉｄｈｏｊｇｔｇｄｅｔｔｄｉａｉｈｒｓｎｅｒｈｓ