2012-2013学年第1学期大气科学专业流体力学第2章(流体运动的控制方程)

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表面力的特征：
（1）表面力是一种短程力：源于分子间的相互作用。表面力 随相互作用元素之间的距离增加而迅速减弱，只有在相互作 用元素间的距离与分子距离同量级时，表面力才显现出来。 （2）流体块内各部分之间的表面力是相互作用而相互抵消的。
（3）表面力也是一种分布力，分布在相互接触的界面上。
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定义单位面积上的表面力（即：表面应力）为：
对于沿流管的定常流动，设流速与截面垂直，且密度 和流速在任意截面内为定值，则沿流管的连续性方程：
v 常数
1v11 2 v2 2
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3、具有自由表面的流体连续性方程 通常把自然界中水与空气的交界面称为水面或水表面。 实际物理现象： 空气 水 当水面向某处汇集时，该处水面将被拥挤而升高；反之， 当该处有水向四周散开时，将使得那里的水面降低。 这种因流动而伴随出现的可以升降的水面，在流体力学中 称之为自由表面。
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具有自由表面的流体连续性方程的物理意义？
h V h h V 0 t
h (V h) t
h
它是讨论水面波动及简单的大气动力学问题所经常用到的。
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第二节 质量力 表面力 应力张量
1、作用于流体的力
分析对象： 流体中以界面
包围的体积为
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V t
对于流体的定常运动，有
0 t
流体的连续性方程可写为：
V 0

可知，在定常运动中，通过任意控制体封闭表面的流体质量 的净流入量等于零. 即单位时间内流出控制体表面的质量=流进控制体表面的质量。
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在定常运动中，单位时间内流出控制体表面的质量等 于流进控力
表面力
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质量力
1定义：质量力是指作用于所有流体质点的力。 如重力、万有引力、电磁力等。 2特征：
（1）质量力是一种长程力：质量力随相互作用的元素之 间的距离的增加而减小，但对于一般流体的特征运动距离 而言，质量力均能显示出来。
（2）质量力是一种分布力，分布于流体块的整个体积内 ，流体块所受的质量力与其周围有无其他流体无关。
pnx n x p xx n y p yx nz pzx pny n x p xy n y p yy nz pzy pnz n x p xz n y p yz nz pzz
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pnx n x p xx n y p yx nz pzx pny n x p xy n y p yy nz pzy pnz n x p xz n y p yz nz pzz
上式为作用于流体微元的应力矢量之间的相互关系。
n与 x， y， z的关系？
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z
n
C
n ( nx , n y , nz )
M y
y
n
M
P
x
B
n
P K
x
A
z
A x
考虑面元 x与 n 的关系：
x n cos n, i nx n
u xt 2 y (1) v xt 2 yt
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2、欧拉(Euler)观点下的流体连续性方程（一） 在空间上选取一无限小的控制体，如图所示。
单位时间内通过左侧面 流入控制体的流体质量为：
z
z
u y z
单位时间内通过右侧面 流出控制体的流体质量为：
[ u ( u ) x] y z x
通常情况下，作用于流体的质量力指的是重力。
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如果 F 表示单位质量的流体受到的质量力： F F lim m 0 m 不难看出， F 可以看做质量力的分布密度。
例如：对处于重力作用的物体而言，质量力的分布密度 就是重力加速度 g 。
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表面力
1定义：表面力是指流体内部之间或者流体与其他物 体的接触面上所受到的相互作用力。 如流体内部的黏性力和压力、流体与固体接触面上 的摩擦力等。
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交界面
考虑流体为不可压缩的。
具有自由表面的流体连续方程 h hV 0 t
欧拉型连续方程
h V h h V 0 t
V 0 t
水
h
空 气

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考虑流体为不可压缩的。
Lagrange 观点下质量守恒定律：某一流体块（流点）在 运动过程中，尽管其体积和形状可以发生变化，但其质 量是守恒不变的。
p lim
p
0

p 例如：流体受到的表面力为压力， 就是压强。
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质量力和表面力的比较
矢量 F 是质量力的分布密度，它是时间和空间点的函 数，因而构成了一个矢量场。 而矢量 p 为流体的应力矢量，它不但是时间和空间
点的函数，并且在空间每一点还随着受力面元的取向不同而变 化。
B
pn
z
p z pz
y
p x px
p y p y
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dV m F m pn n p x x p y y p z z dt
根据作用力与反作用力原理，方程可以写成如下形式：
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Lagrange 观点下连续性方程的物理意义
d V 0 dt ？
(1) 0 流体体积增大 d / dt 0 流体密度减小； V (2) 0 流体体积减小 d / dt 0 流体密度增大； V (3) 0 流体体积不变 d / dt 0 流体密度不变。 V
V t
单位体积的流体质量通量
(1) V） 0 有流体净流出 / t 0 流体局地密度减小； （ (2) V） 0 有流体净流入 / t 0 流体局地密度增大； （ (3) V） 0 流体无净流出或净流入 / t 0 流体局地密度不变。 （
引进应力张量：
p xx p xy p xz P p yx p yy p yz p p p zx zy zz
pn n P
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应力分量
pij 的物理含义：
¤ 对应力分量的下标作如下规定：第一个下标表示受 ¤
力面元的外法线方向；第二个下标表示面元受到的应 力矢量所投影的方向。
或者 ( V ) 0 t
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2、欧拉(Euler)观点下的流体连续性方程（二）
拉格郎日型连续方程
d V 0 dt
d V dt t
欧拉型连续方程
V 0 t
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欧拉型连续性方程的物理意义
d ( m) 0 dt
m h
d ( m) d ( h ) dh d ( ) h 0 dt dt dt dt
dh d ( ) h 0 dt dt dh h h 0 V dt
h V h h V 0 t

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n ( nx , n y , nz )
C
z
n
y
n
x
y B
x n cos n, i nx n 考虑各面元间的关系： cos n, j n y n y n z n cos n, k nz n
pn , p x , p y , p z
z
y
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z
C
n
M
n
dV m F m pn n p x x dt A p y y p z z
x 根据作用力与反作用力原理
根据牛顿第二定律，
y
x
dV m F m pn n px x p y y pz z dt
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dV m Fm pn n p x x p y y pz z dt
四面体体积取极限时：
pn n p x x p y y pz z
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对于不可压缩流体，它在流动过程中每 个流点的密度始终保持不变，此时流体 的连续性方程为：
d 0 dt
0 V
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例2-1-1判断下列流体运动是否为不可压缩？
u=y 2 2 xz (2) v 2 yz xyz 1 2 w xz x 3 y 4 2
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第二章
主要内容：
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
流体运动的控制方程
流体的连续性方程 质量力 表面力 应力张量 运动方程 能量方程 流体力学基本方程组
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第一节 流体的连续性方程
连续性方程是流体力学的基本方程之一，它 是在质量守恒定律在流体力学中的应用。
重点讨论几种不同表现形式的流体连续性方程。
所以要确定应力矢量 p ，必须考虑点的矢径 r 、该点受力 面元的方向（或者说面元的法线单位矢量 n ）以及时间 t。确 切地说应力矢是两个矢量（ r 、n ）和一个标量的函数 t。
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2、应力张量
取如图所示的流体四面体元，分析其受力情况。 质量为 m z C
质量力为 F m
表面力？？？
n
M
n
y
x
B
pn
A x
z
y
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z C
n
M
n
为了区分不同面元所 受到的表面力，将 应力矢量的下标取其 受力面元的外法线方 向，并且规定为来自 外法线方向的流体对 另一部分流体施加的 x 应力。
y
x
B
pn
A