023等差数学列和等比数列(2)

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等差数列与等比数列专题辅导（小编推荐）

等差数列与等比数列专题辅导（小编推荐）第一篇：等差数列与等比数列专题辅导（小编推荐）等差数列与等比数列专题辅导(1)在等差数列｛an｝中, a7=9, a13=-2, 则a25=()A-22B-24C60D64(2)在等比数列｛an｝中, 存在正整数m, 有am=3，am+5=24, 则am+15=()A864B1176C1440D1536(3)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列, 则a2=()A–4B–6C–8D–10(4)设数列{an}是等差数列，且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n 项和，则()AS4>S3BS4=S2CS6(5)已知由正数组成的等比数列｛an｝中,公比q=2, a1·a2·a3·…·a30=245, 则a1·a4·a7·…·a28=5101520A 2B2C2D2(6)若{an}是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003.a2004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是：()A．4005B．4006C．4007D．4008(7)在等比数列｛an｝中, a1<0, 若对正整数n都有anAq>1B0a1(3n-1)(8)设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1=__________.2(9)等差数列｛an｝的前m项和为30, 前2m项和为100, 则它的前3m项和为_________.(10)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列, 且a1=2, 公和为5,那么a18的值为_______,这个数列的前21项和S21的值为.(11)已知等差数列｛an｝共2n+1项, 其中奇数项之和为290, 偶数项之和为261,求第n+1项及项数2n+1的值.(12)设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S10=110且a1，a2，a4成等比数列.（Ⅰ）证明a1=d；（Ⅱ）求公差d的值和数列{an}的通项公式.(13)已知等比数列｛an｝的各项都是正数, Sn=80, S2n=6560, 且在前n项中, 最大的项为54, 求n的值.(14)ΔOBC的三个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）, 设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n, Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn), an=（Ⅰ）求a1,a2,a3及an;（Ⅱ）证明yn+4=1-(Ⅲ)若记bn=y4n+41yn+yn+1+yn+2.2yn,n∈N*;4-y4n,n∈N*,证明{bn}是等比数列.答案:1-7 BDBDA BB8.29.21010.3, 5211.29, 1912.(2)d=2 an=2n13.n=414.(1)an=2(2)(3)证明略第二篇：等差数列与等比数列等差数列与等比数列⎧>0,递增数列⎪一、等差数列的定义：an+1-an=d（d：公差）（常数）⎨=0，常数列，⎪<0,递减数列⎩1．证明数列{an}为等差数列：（1）定义：an+1-an=d（常数）（2）等差中项：2an+1=an+an+2注：(1)不可用a2-a1=a3-a2=a4-a3=Λ=“常数”证(2)a1=⎨例1．（1）已知数列{an}为等差数列，求证：数列{an+an+1}为等差数列；变式：①已知数列{an}为等差数列，求证：数列{an+t}（t为常数）为等差数列；②已知数列{an}为等差数列，求证：数列{tan}（t为常数）为等差数列；③已知数列{an}、{bn}均为等差数列，求证：数列{an+bn}为等差数列（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，求证：数列{an}为等差数列；变式：①已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+1，求：an②已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an2+bn，求：an ③已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an2+bn+c，求：an（3）已知数列{an}满足：a1=1,an+1=数列；（4）已知数列{an}，a1=1，an+1=为等差数列（5）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：数列{an}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列⎧S1,n=1⎩Sn-Sn-1,n≥2an1,且bn=，求证：数列{bn}为等差an+1ann1an+，且bn=nan，求证：数列{bn}n+1n+1Sn=n(a1+an)22．证明数列{an}为单调数列：an+1-an=f(n)⎨⎧>0,递增数列递减数列⎩<0，注：（1）求数列{an}中an的极值也可采用此方法（2）已知数列{an}为等差数列ⅰ.若a1<0,d>0，则Sn有最小值；解法：①令an≤0{bn}②Snⅱ.若a1>0,d<0，则Sn有最大值；解法：①令an≥0②Sn例2．已知an=(11-2n)2n，求数列{an}的最大项例3．（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且an=10-2n,求Sn的最大值；(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且an=2n-13,求Sn的最小值；3．叠加法：已知a1=a，an+1-an=f(n)，求an例4．（1）已知数列{an}为等差数列，首项为a1，公差为d,求an；（2）已知数列{an}，a1=1,an+1=4．通项公式：an=a1+(n-1)d（1）an=am+(n-m)d（2）an是关于n的一次函数，且n的系数为公差d.例5．已知数列{an}为等差数列，a5=-3，a9=13，求an5．等差中项：若a、b、c成等差数列，则b=（1）若数列{an}为等差数列，则2an+1n+11an+，求an nna+c称为a、c的等差中项2=an+an+2；（2）若已知三个数成等差数列，且其和为定值，则可设这三个数为a-d、a、a+d；（3）若数列{an}为等差数列，且公差d≠0,则am+an=ap+aq⇔m+n=p+q(4)在有穷等差数列{an}中,与首尾两项距离相等的两项的和等于首尾两项的和.即：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=Λ=ak+an-k+1例6．（1）已知：等差数列中连续三项的和为21，平方和为179，求这三项（2）在3与19之间插入3个数后成等差数列，求这三个数（3）已知：a、b、c成等差数列求证：①b+c、a+c、a+b成等差数列；②a(b+c)、b(a+c)、c(a+b)成等差数列；③a-bc、b-ac、c-ab 成等差数列（4）已知：a、b、c成等差数列，求证：2222111成等差数列 b+ca+ca+blg(a-c)、lg(a+c-2b)成等差（5）已知：成等差数列，求证：lg(a+c)、数列（6）若方程a(b-c)xb(c-a)x+c(a-b)=0有相等实根，求证：成等差111abc111abc数列例7．在等差数列{an}中，(1)若a5+a10=12,求S14；(2)若a8=m,求S15；(3)若a4+a6+a15+a17=50,求S20；(4)若a2+a4=18,a3+a5=32,求S6；(5)若a2+a5+a12+a15=36,求S16；(6)若a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8(7)若等差数列{an}的各项都是负数，且a32+a82+2a3⋅a8=9，则其前10项和S10= ____________(8)在等差数列{an}中，若a3+a15=a5+an，则n=_______6．数列{an}的前n项和Sn=注：（1）倒序法求和；（2）等差数列{an}的前n项和Sn是关于自然数n的二次函数，且n的系数为n(a1+an)n(n-1)n(n-1)=na1+d=nan-d 222d，2常数项为零，即：Sn=An2+Bn（当A=0时数列{an}为常数列）；（3）①S2n-1=(2n-1)an（可以将项与和之间进行相互转化）。

等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

新教材2023_2024学年高中数学第一章数列3等比数列3.1等比数列第2课时等比数列的性质及应用分

8
b5+b9=
.
解析由等比数列的性质,得 a3a11=72 ,∴72 =4a7.
∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=a7=4.
再由等差数列的性质知b5+b9=2b7=8.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
10.已知数列{an}是等差数列,Sn为其前n项和,a4=9,S4=24.
( C )
A.12
B.13 C.14 D.15
解析设数列{an}的公比为 q,由 a1a2a3=4=13 q3 与 a4a5a6=12=13 q12,可得
q9=3,an-1anan+1=13 q3n-3=324,因此 q3n-6=81=34=q36,所以 n=14,故选 C.
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19.在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,则
1 024
a41a42a43a44=
.
解析设等比数列{an}的公比为 q,
a1a2a3a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=14 ·q6=1,①
a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=14 ·q54=8,②
列,D正确.
故选ABD.
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5.(多选题)[2023黑龙江哈尔滨三中阶段练习]已知等差数列{an}的公差d和
首项a1都不等于0,且a3,a5,a8成等比数列,则下列说法正确的是( BC )

高中数学第二章数列 2.4 等比数列(二)课件新人教A版必修5

根据等比数列的性质 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log10.
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
1234
课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16，由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3，或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，

人教A版高中数学必修五2.4《等比数列(二)》

解析：∵数列{an}成等比数列， ∴a6·a15＝a9·a12， ∴a6·a15＝15， ∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10 ＝1510.
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…； a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
已知等比数列an
满足
an＞0，n＝1,2，…，
且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…
＋log2a2n－1＝
()
A．(n－1)2
B．n2
C．(n＋1)2
D．n(2n－1)
错解：易得 an＝2n，且 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝1＋3＋ …＋(2n－1)＝1＋22n－1(2n－1) ＝n(2n－1)．从而错选 D 错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没数清．
即aa1122－＋22aa11aa55＋＋aa5522＝＝330422，，两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64，又 a5＞a1，故 a3＝8. 答案：A
2．在等
比数列an
中，
a8
是
a4
与________的等比中项
A．a9
B．a10
C．a11
() D．a12

等差数列与等比数列的求和

等差数列与等比数列的求和等差数列与等比数列的求和是数学中常见的问题。

它们在数学和应用数学的许多领域中都具有重要的作用。

本文将分别介绍等差数列与等比数列的概念，并详细讲解它们的求和公式和求和方法。

一、等差数列的求和等差数列是指数列中相邻的两项之差是一个常数的数列。

常用的求和符号为∑（sigma），表示将数列中的所有项相加。

等差数列的求和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示数列的前n项和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。

举例来说，若等差数列的首项为a1，公差为d，共有n项，则数列的前n项和可以表示为：Sn = (a1 + a1 + d + a1 + 2d + ... + a1 + (n - 1)d)= (n / 2) * (a1 + an)= (n / 2) * (2a1 + (n - 1)d)其中，第一个等号是将等差数列展开后相邻的项相加，第二个等号是根据等差数列的性质进行化简得到的。

二、等比数列的求和等比数列是指数列中相邻的两项之比是一个常数的数列。

常用的求和符号同样为∑（sigma）。

等比数列的求和公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示数列的前n项和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。

举例来说，若等比数列的首项为a1，公比为q，共有n项，则数列的前n项和可以表示为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，分子的1 - q^n是根据等比数列的求和性质进行的化简。

三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列的求和公式在实际应用中有广泛的用途。

它们在经济学、物理学、统计学等领域中都有应用。

1. 经济学中，等差数列可以用来表示资金的增长或减少等情况。

通过求和公式，可以方便地计算出一段时间内资金的总和。

2. 物理学中，等差数列可以用来表示物体的运动情况。

通过求和公式，可以计算出一段时间内物体的位移或速度。

2,等差数列和等比数列的基本运算(一)

§3.2等差数列与等比数列的基本运算（一）【复习目标】1．掌握等差、等比数列的定义及通项公式。

会由定义判定一个数列是否为等差、等比数列。

2．掌握等差、等比数列的前n项和n S公式，并会运用公式和解方程技能处理五个基本量关系。

3．掌握等差中项、等比中项的定义，并会利用其性质解决一些简单数列问题。

【重点难点】处理掌握等差、等比数列的五个基本量关系【课前预习】1．等差数列的定义的数学表达式是 .等比数列的定义的数学表达式是 .2．已知等差数列{}na中，13d=-，78a=，则1a=。

3．已知等比数列{}na中，218a=，48a=，则q= 。

4．在数列{}na中，若15n na a+=+（*n N∈），1a=2，58na=-，则n=。

5．等差数列{}na的公差为d，前n项和为nS，若5a=10，3S=3，则1a= ，d= 。

6．等比数列{}na中，若1a=1，n a=512-，前n项和n S=341-，则公比q= ，项数n= 。

【典型例题】实用文档例例2 在公差不为零的等差数列{}na中，1a，2a为方程234x a x a-+=的根，求通项公式n a.例3 有四个数，前三个数成等比数列，后三个成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数。

实用文档例4（1）等差数列{}na中，若3456750a a a a a++++=，求258a a a++的值；（2）等比数列{}na中，各项都是正数，且6103541a a a a⋅+⋅=，484a a⋅=，求48a a+例5 在四个正数中，前三个成等差数列，其和为48，后三个成等比数列，最后一个数为25，求这四个数。

【巩固练习】1．一个三角形的三内角既成等差数列，又成等比数列，则三内角的公差为。

2．设2a=3,2b=6,2c=12，则数列a,b,c （）A.是等差但不是等比数列B.是等比但不是等差数列C.既是等差又是等比数列D.既不是等差数列又不是等比数列3．在等比数列{an }中，a1+a2+a3+a4+a5=31,a2+a3+a4+a5+a6=62，则此数列的通项公式an是 .【本课小结】【课后作业】实用文档实用文档1．在等差数列中，69121520a a a a +++=，求20S .2．在1与100之间能被7整除的数有多少个？并求它们的和。

等差数列与等比数列基本公式PPT课件

例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,
使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.
(1)求p
(2)证明{an}成等差数
列
(2)根据已求得的p=1/2 Sn=(1/2)nan,
由等差数列定义,满足an-an-1=d(常数) 的数列是等差数列
所以第一步求通项,第二步“作差”.
证明: n≥2时,an=Sn-Sn-1=(1/2)nan-(1/2)(n-1)an-
习题分析:
7.数列{an}各项均为正数,前n项和为An,数列{bn}的前n项和为Bn,且满足Bn=-n(n-1),bn=log2an,求An.
42
22
cos(A C) 1 A C
故 A=B=C, 公差 d=0.
例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列: ak1 , ak2 , ak3 ,......., akn 恰好为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求 k1+k2+.....+kn
已知三数和为19=>
a d 2 a d a
19
a
四数为: 9,6,4,2或 25,-10,4,18.
归纳
为了便于解方程，应该充分分析条件的特征,尽量减少未知数的个数, 用最少的未知数表达出数列的有关项的数量关系，促使复杂的问题转化为较简单的问题，获得最佳的解决方法。
解(: AS)190,0S2(0-BS)1-0,9S030-S(20C,).1.1..0...(.D,)S1-110-1S0100成等差数列,公差
(S10 S20

Sa110aa211...a..1.2a.1.0.... 10a(2a0121a01(0a)1125(a22a01)

等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1nn a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a qa -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。

证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=。

证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d=0时，显然命题成立当d≠0时，∵111111n n n na a d a a++⎛⎫=-⎪⎝⎭∴再证充分性：∵122334111a a a a a a++⋅⋅⋅1111n n nna a a a++++=⋅⋅………①∴122334111a a a a a a++⋅⋅⋅11212111n n n n nna a a a a a++++++++=⋅⋅⋅………②②﹣①得：12121111n n n nn na a a a a a+++++=-⋅⋅⋅两边同以11n na a a+得：112(1)n na n a na++=+-………③同理：11(1)n na na n a+=--………④③—④得：122()n n nna n a a++=+即：211n n n na a a a+++-=-{}n a为等差数列例2.设数列}{na的前n项和为n S，试证}{na为等差数列的充要条件是)(,2)(*1NnaanS nn∈+=。

等比数列与等差数列知识点

＝
．
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2．等比数列前 n 项和的性质公比不为﹣1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n 仍成等比数列，
其公比为 qn． 8．数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法： ①等差数列前 n 项和公式：Sn＝na1+ n（n﹣1）d 或 Sn＝ ②等比数列前 n 项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前 n 项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：
，
∴＝
，
＝1，＝
，＝
，
∵数列{ }也为等差数列，
∴
＝+，
∴
＝1+
，
解得 d＝2．
∴Sn+10＝（n+10）2，
＝（2n﹣1）2，
∴
＝
＝
，
由于
为单调递减数列，
∴
≤ ＝112＝121，
故选：D． 2．等差数列的性质【等差数列】
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如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差
∴an＝
，
把 n＝1 代入 2n﹣1 可得 1≠2， ∴{an}不是等差数列
考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中 an 的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下． eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为 a﹣1，2a+1，a+7 则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{an}的前三项分别为 a﹣1，2a+1，a+7， ∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得 a＝2． ∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9， ∴数列 an 是以 1 为首项，4 为公差的等差数列， ∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．

(完整版)等差数列及等比数列的性质总结

等差数列与等比数列总结一、等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示；等差中项，如果2ba A +=，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数；等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=；等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-；等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n）a a （n 1⨯+=d 2）1-n （n na 1⨯+= 中12na n ）2d-a （n ）2d （=⨯+⨯；【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n +=【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ⋯⋯++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =⋯⋯==+++4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ⋯⋯成等差数列，公差为d n 2【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+⋯⋯+++⋯⋯++=++，）a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+⋯⋯+++⋯⋯++=++++⋯⋯=，d n 25、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=⇔+【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，n S =d 2）1-n （n na 1⨯+= n ）2d -a （n ）2d （12⨯+⨯ 6、若数列}{a n 是等差数列，则}{c n a为等比数列，c>0【说明】d a-a a ac c cc 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2nS -S 奇偶⨯=当n 为奇数时，n a S 中n ⨯=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶⨯=+⋯⋯++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+⋯⋯++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=⨯++⨯+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a 项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a += 9、1-d ，0a ），则q p （p a ，q a q p q p ==≠==+q --p a ），则q p （p S ，q S q p q p =≠==+ 0a ），则q p （S S q p q p =≠=+【说明】0q -q qd a a ，1-d q -p d ）q -p （a -a p q p q p ==+==⇒==+ 2-a a p -q 2）q -p ）（a a （）a a （S S p 1q p 1q p 1q q p =+⇒=+=+⋯⋯+=-+++q --p 2）q p ）（a a （2）q p ）（a a （S p 1q q p 1q p =++=++=+++二、等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用小写字母q 表示；等比中项，如果ab G 2=，那么G 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等比数列，那么等差中项的平方等于另两项的积；等比数列}{a n 的通项公式：）N n （q a a 1-n 1n *∈=；等比数列}{a n 的递推公式：）2n （q a a 1n n ≥=-；等比数列}{a n 的前n 项和公式：n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠==1q ，q -1q a -a q -1）q -1（a 1q ，na n 1n 11 【等比数列的性质】 1、m -n m n q a a ⋅=【说明】n 1-n 1m -n 1-m 1m -n m a q a q q a q a =⋅=⋅⋅=⋅ 2、若m 、n 、k 、l *∈N ，且l k n m a a a a ，l k n m ⋅=⋅⋅=⋅【说明】l k 2-l k 212-n m 21n m a a q a q a a a ⋅===⋅++ 3、m m 2k m k k q ，成等比数列，公比为、a 、a 、a ⋯⋯++ 【说明】m mk m 2k k m k q a aa a ==+++ 4、k ）1-n （nk k 23k k k 2k S -S S -S 、S -S 、S ⋯⋯成等比数列，公比为nq【说明】n n21n22n 1n n n n 2q a a a a a a S S -S =+⋯⋯+++⋯⋯++=++ 5、数列}{a n 成等比数列）1-q （A S ，q p a ，a a a nn n n 1n 1-n 2n =⋅=⋅=⇔+【说明】）1-q （1-q a q -1）q -1（a S ，q q a qa a n 1n1n n 11-n 1n ==⋅=⋅= 6、若数列}{a n 是等比数列，则0a 为等差数列，}a {log n n c > 【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n42奇偶=+⋯⋯+++⋯⋯++=；当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ⋅=当n 为偶数时，n中奇中偶奇2n奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=； n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =⋯⋯⋅⋅=⋅⋯⋯⋅⋅=。

数列的概念和应用

数列的概念和应用一、数列的概念1.数列的定义：数列是由按照一定顺序排列的一列数组成的。

2.数列的表示方法：用大括号“{}”括起来，例如：{a1, a2, a3, …, an}。

3.数列的项：数列中的每一个数称为数列的项，简称项。

4.数列的项的编号：数列中每个项都有一个编号，通常表示为n，n为正整数。

5.数列的通项公式：用来表示数列中第n项与n之间关系的公式称为数列的通项公式，例如：an = n^2。

6.数列的类型：(1)等差数列：数列中任意两个相邻项的差都相等，记为d（d为常数）。

(2)等比数列：数列中任意两个相邻项的比都相等，记为q（q为常数，q≠0）。

(3)斐波那契数列：数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

二、数列的应用1.等差数列的应用：(1)等差数列的求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)。

(2)等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。

(3)等差数列的第n项公式：an = a1 + (n-1)d。

2.等比数列的应用：(1)等比数列的求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。

(2)等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。

(3)等比数列的第n项公式：an = a1 * q^(n-1)。

3.斐波那契数列的应用：(1)斐波那契数列的性质：斐波那契数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

(2)斐波那契数列的通项公式：Fn = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]。

4.数列在实际生活中的应用：(1)计数：数列可以用来表示一些有序的集合，如自然数集、整数集等。

(2)计时：数列可以用来表示时间序列数据，如一天内的每小时气温变化。

(3)排队：数列可以用来表示排队时的人数，以及每个人的位置。

(4)数据分析：数列可以用来表示一组数据的分布情况，如成绩分布、经济发展水平等。

第1章数列(单元复习课件)高二数学(湘教版2019选择性必修第一册)

(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
由(1)可得an＝4n－1，an＋1＝4n，所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n) ＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n) ＝4n－3 1＋nn2＋1.
⑧(－1)nlog3[n(n＋1)]＝(－1)n[log3n＋log3(n＋1)]；
⑨(－1)n2n－14n2n＋1＝(－1)n2n1－1＋2n1＋1.
【例7】已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
设等比数列{an＋1}的公比为q，其前n项和为Tn，
A.4
B.5
C.6
D.7
设等差数列的公差为d，则a＝1＋d，b＝19－d，从而a＋b＝20，
由题意知，d>0，故a>0，b>0，所以(a＋b)1a＋1b6＝1＋16＋ba＋1b6a≥17＋2 ba·1b6a＝25，即1a＋1b6≥2250＝54，当且仅当ba＝1b6a，即b＝4a时取“＝”，又a＝1＋d，b＝19－d，解得d＝3，所以19＝1
题型突破
题型一：等差数列的有关计算
等差数列的计算技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为 d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可解决等差数列的有关问题.另外亦可用等差中项及性质找到项与项之间的关系进行解题，此种解法计算量较小. (2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7 项、…时，可同理设出. (3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出.

专题二：等差等比数列对比性质表

一．等差数列和等比数列的性质对照表7二、数列的通项公式各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

总结出几种求解数列通项公式的方法。

1.定义法：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.2.公式法：已知n S 求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。

（合并的一定要合并，不能合并的分开写）。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。

3.作商法：已知)(21n f a a a n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

例3.数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______ ；4.累加法：若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

例4. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

如已知数列{}n a 满足11a =，nn a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =________ ；5.累乘法：已知1()n na f n a +=求n a ，用累乘法：例5. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。

如已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，求n a6.已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。

板块2 核心考点突破拿高分专题2 第1讲数列、等差数列与等比数列(小题)

等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
na1＋an
nn－1
等差数列的求和公式：Sn＝ 2 ＝na1＋ 2 d；
等比数列的求和公式：Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq，q≠1， na1，q＝1.
2.等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q； (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列； (3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.
热点三等差数列、等比数列的综合问题
解决数列的综合问题的失分点
(1)公式an＝Sn－Sn－1适用于所有数列，但易忽略n≥2这个前提；
(2)对含有字母的等比数列求和时要注意
q＝1
或
q≠1
的情况，公式
a11－qn Sn＝ 1－q
只适用于 q≠1 的情况.
例3 (1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＋S5＝18，a5＝7.若a3，a6，am成等比数列，则m＝_1_5__.
跟踪演练3 (1)(2019·黄冈、华师附中等八校联考)已知公差不为0的等差数列{an}
的首项a1＝3，且a2，a4，a7成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2n(n∈N*)，
数列{cn}满足cn＝anbn(n∈N*)，则数列{cn}的前3项和为
A.31
√B.34
C.62
D.59
解析由于 a2，a4，a7 成等比数列，故 a24＝a2·a7，
解析数列an是正项等比数列且q≠1，由a6＝a5＋2a4，得q2＝q＋2，解得q＝2(负根舍去).

等比数列的概念课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

答案：由三个数 a ，G ，b 组成等比数列，那么 G 叫做与的等比中项.此时，
G2 = ab.
探究新知
问题2
你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
追问1 回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如
何推导通项公式？
答案： a2 = a1 q ， a3 = a2 q = a1 q q = a1 q2 ， a4 = a3 q = a1 q2 q = a1 q3 ，
⋯⋯
由此可得， an = a1 qn−1 n ≥ 2 .又 a1 = a1 q0 = a1 q1−1 ，
这就是说，当n = 1时上式也成立.
因此，首项为a1 ，公比为q的等比数列 an 的通项公式为an = a1 qn−1 .
探究新知
问题2
你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
追问2 除了归纳法以外，我们还可以用什么方法同样推导出等差数列的通
比都等于9.
探究新知
探究
9，92 ，93 ， ⋯ ，910 .
100，1002 ，1003 ， ⋯ ，10010 .
5，52 ，53 ， ⋯ ，510 .
1
2
1
1
1
1
， 4， 4 ， 4 ， 16 ，⋯.
2，4，8，16，32，64，⋯.
1 + ， 1 + 2 ， 1 + 3 ， 1 + 4 ， 1 + 5 .
的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
下面请看几个问题中的数列.
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
9，92 ，93 ， ⋯ ，910 ；
100，1002 ，1003 ， ⋯ ，10010 ；

2023届高三数学一轮复习专题数列累加法构造等比等递推公式求通项及常用求和方法讲义 (解析版)

数列求解通项的方法总结方法一、公式法当已知数列的类型（如已知数列为等差或等比数列）时，可以设出首项和公差（公比），列式计算。

1、等差数列通项公式： dn a a n )1(1-+=2、等比数列通项公式：例1、设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1=a 1，b 2=2，q=d ，S 10=100．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式（2）当d ＞1时，记c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．变式1、已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1=b 1=1，b 2+b 3=2a 3，a 5﹣3b 2=7．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．11-=n n q a a方法二、利用前n 项和与通项的关系已知数列{ a n }前n 项和S n ，求通项公式，利用 a n ＝{)1()2(11=≥--n S n S S n n 特别地，当n=1的值与S 1的值相同时，合并为一个通项公式，否则写成分段的形式。

例2、（1）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n+3．求{a n }的通项公式；（2）S n 为数列{a n }的前n 项和，己知a n ＞0，a n 2+2a n =4S n +3 （I ）求{a n }的通项公式.（Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和．变式2、（2015·四川）数列{a n }（n=1，2，3…）的前n 项和S n ，满足S n =2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n 项和为T n ，求T n ．方法三、利用递推关系式与通项的关系类型1、累加法形如)(1n f a a n n +=+例3、（2014·全国卷）数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式.变式3、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

数列的概念、等差与等比数列(考点串讲)高二数学上学期期中考点(湘教版2019选择性必修第一册)

由题意可知{ }为等差数列，
则数列首项1 = 2，公差 = 3，
所以 = 1 + − 1 = 2 + − 1 × 3 = 3 − 1，
1 +
(3−1+2)
由求和公式有 =
=
= 222，解得 = 12，
2
2
故选：C．
题型剖析
题型七
等比数列的定义
1
3
【例8】已知数列{ }中，1 = ，+1 =
=
．
举一反三
【变式】已知等差数列的前项和为，且28 = 56，则12 + 13 + 14 + 15 +
16 + 17 =
．
【答案】12
【解析】由28 =
1 +28 ×28
2
= 56，得1 + 28 = 4，
则12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 = 3 1 + 28 = 12．
天飞行任务．运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km，以
后每秒钟通过的路程都增加3km，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序．则
从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（）秒．
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】C
【解析】设出每一秒钟的路程为数列{ }，
技巧点拨
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）函数法，将数列视为函数，即当 ∈ ∗ 时所对应的一列函数值，
根据的类型作出相应的函数图象或利用求函数最值的方法，求出
的最值，进而求出数列的最大（小）项.

高三数学二轮复习：专题二数列

解答
(2)若数列an＋bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列{bn}的前 n 项和. 解因为数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＋bn＝2n－1，因为an＝2n－1，所以bn＝2n－1－(2n－1). 设数列{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)－[1＋3＋5＋…＋(2n－1)] ＝11－－22n－n1＋22n－1＝2n－1－n2，所以数列{bn}的前n项和为2n－1－n2(n∈N*).
热点一等差数列、等比数列的运算
1.通项公式等差数列：an＝a1＋(n－1)d；等比数列：an＝a1·qn－1. 2.求和公式等差数列：Sn＝na1＋ 2 an＝na1＋nn2－1d；等比数列：Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq(q≠1).
3.性质若m＋n＝p＋q，在等差数列中am＋an＝ap＋aq；在等比数列中am·an＝ap·aq.
板块三专题突破核心考点
专题二数列
第1讲等差数列与等比数列
[考情考向分析]
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现. 2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力.
内容索引
热点分类突破真题押题精练
热点分类突破
押题依据解析答案
2.在等比数列{an}中，a3－3a2＝2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则
{an}的公比等于
A.3
B.2或3
√C.2
D.6
押题依据等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性，是高考出题的重点.
押题依据解析答案
3.已知各项都为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，存在两项 am，an 使得 am·an＝4a1，则m1 ＋4n的最小值为

新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：等比数列的前n项和二课件

即ቊ
1 + = 4.
a = 1， a1 = 8，
解得ቊ 1
或ቊ
d=3
d = −4.
1
2
因此Sn＝ n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)．
方法归纳
在等差数列{an}中，通常把首项a1和公差d作为基本量，在等比数列
{bn}中，通常把首项b1和公比q作为基本量，列关于基本量的方程(组)
是解决等差数列和等比数列的常用方法．1−q来自3a1a
·qn＋ 1 ，
1−q
1−q
又∵等比数列前n项和公式为Sn＝－
1
3
1
3
∴Sn＝－ qn＋ .
方法归纳
求等比数列前n项和时，若公比不能确定，则要看其是否有等于1的
可能；若不等于1，它的前n项和可以看作关于n的函数，然后用函数
性质求解．
跟踪训练1 已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a＝(
A．－4
B．－1
C．0
D．1
)
答案：D
解析：解法一设等比数列为{an}，由已知得a1＝S1＝4＋a，a2＝S2－S1＝12，
a3＝S3－S2＝48， ∵ a22 ＝a1·a3，
即144＝(4＋a)×48，∴a＝－1.
解法二数列{an}是非常数列的充要条件是前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A，由此
可见a＝－1.
(1)求d，q的值；
(2)是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn＋b成
立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
方法归纳
(1)通过等差数列，等比数列的通项公式，建立方程组，求出d，q，
运用了方程的思想．
(2)对于存在性问题的解题规律是首先假设存在性成立，然后从其出