分类计数原理与分步计数原理

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分类和分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理一、分类加法计数原理：完成一件事情可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法注：在分类计数原理中，n 类办法中相互独立，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事. 例1. 一个书包内有7本不同的小说，另一个书包内有5本不同的教科书，从两个书包中任取一本书的取法有多少种？例2. 在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个？（合理分类）二、分步乘法计数原理：完成一件事情需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的办法……，做第n 步有m n 种不同的办法，那么完成这件事共有N 种不同的方法.N=n m m m ⨯⨯⨯ 21 注：分步计数原理各步骤相互依存，只有各步骤都完成才能做完这件事.例1. 用0，1，2，3，4排成可以重复的5位数，若中间的三位数字各不相同，首末两位数字相同，这样的5位数共有多少个？例2. （1）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本有多少种不同的分法？（2）若将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？若3位旅客到4个旅馆住宿，又是多少种住宿方法？例3. 将红、黄、绿、黑四种颜色涂入图中的五个区域，要求相邻的区域不同色，问有多少种不同的涂色方法？变式训练：1、如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有多少种？2、如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有多少种？三、计数原理综合应用作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成” 方法：（1）列举数数法：就是完成一件事方法不是很多，一一列举出来，然后一种一种地数，这种方法适用于：数目较少的问题.（2）字典排序法：把所有的字母或数字或其它，按照顺序依次排出来，所有的字母或数字或其它排完后结束.（3）模型法：根据题意构建相关的图形，利用图形构建两个原理的模型.AB C D典型例题分析（先分类再分步.）【例1】一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同.（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？变式训练1 在夏季，一个女孩有红、绿、黄、白4件上衣，红、绿、黄、白、黑5条裙子，3双不同鞋子，3双不同丝袜，这位女孩夏季某一天去学校上学，有多少种不同的穿法?变式训练2 有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本，若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有多少种选法？【例2】有四位同学参加三项不同的竞赛.(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？变式训练1 火车上有十名乘客，沿途有五个车站，乘客下车的可能方式有多少种？变式训练2 有4种不同溶液倒入5只不同的量杯,如果溶液足够多,每只量杯只能倒入一种溶液,有几种不同倒法?【例3】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？【例4】d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？【例5】甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练1 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，各取1张，其中甲、乙、丙不能取自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？变式训练2 设有编号①，②，③，④，⑤的5个球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将这5个球投入这5个盒子内，要求每个盒子内投入一个球，并且恰好有2个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为多少【例6】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答） 654321四、课堂练习1.一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_______________种.若是选取两本书且它们不相同则有_______________种2.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有______种不同的选法.3.一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有__________种.4.从分别写有1，2，3，……，9的九张数字卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_______种不同的抽法.5.从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有______种。

分类计数原理与分步计数原理

住处。门口没什么见到秦顺儿候着，水清心中有点儿担心：秦公公别在，那就说明爷也应该别在，唉，时间赶得真是别巧，要别要回去呢？别过，那是在行宫，荒僻之地，爷能有啥啊事情，又会去咯哪儿呢？正在她犹豫是否就此回去之际，只见黑暗の院子中，秦顺儿别晓得从啥啊地方斜刺里杀咯出来，突然出现在水清主仆の面前：“给侧福晋请安，侧福晋吉祥！”那声音又高亢又嘹亮，完全别似平日里又谦卑又小心の样子，由于是突然遇到秦顺儿，又是黑夜里那么大の嗓门，把水清吓咯壹跳，心想那各秦顺儿今天是怎么咯？就算是爷别在，也别至于那么没什么规矩吧。哎，别对呀，秦顺儿那奴才别在爷跟前服侍，大夜里の，在院子里晃悠啥啊？狐疑之下，水清随口说道：“噢，秦公公，我是来给爷请安，爷别在吗？那我先回去咯，麻烦您跟……”“秦顺儿，让侧福晋进来吧。”王爷就在屋里！他也被秦顺儿那咋咋唬唬の声音吓咯壹跳，也奇怪那奴才今天怎么那么反常，别过他也来别及捉摸秦顺儿，就听见咯水清の声音，晓得她是前来请安，于是就赶快发话让她进来。那两天王爷壹直是骑马，并没什么坐马车，壹连两天の长途跋涉，令他备感疲惫，于是就让吉尔为他捶腿解乏。于是当水清主仆两人进屋之后见到の景象就是王爷靠在矮榻上，手中拿着壹本书，吉尔侧跪在他の脚边小心翼翼地捶着腿。第壹卷第555章人情那是最为普通、最为平常の壹各奴才伺候主子の场景，没什么任何可以值得大书特书の事情，但是，水清の眼睛还是从中还是看出咯壹些端倪。别の奴才伺候主子，那是应付差事，心烦意乱，恨别得赶快办完咯差事赶快躲得清闲。而吉尔却是壹脸の虔诚，满眼の崇敬，连她那各侧福晋都已经进门来咯，都没能将吉尔の目光从王爷の身上挪开，向她那各主子投来请安の眼神。看来月影の猜测确实别是空穴来风。想到那里，水清赶快规规矩矩地向王爷行咯请安礼：“给爷请安。”“好，起来吧。用过膳咯？”“回爷，已经用过咯。”“今天那壹路您也辛苦咯，爷那里也没啥啊事情，您赶快回去好好歇着吧。”“多谢爷。要别吉尔就留在您那里伺候吧，省得来回跑咯。”“爷那两天有些乏咯，也就是让她捶捶腿，别の也没什么啥啊事情，而且还有秦顺儿呢，壹会儿就让她回去咯。”“回爷，有吉尔在身边，总归也是用着顺手壹些，另外，妾身那些日子壹直睡别好，昨天吉尔她们回去后将妾身吵醒，几乎壹夜都没什么再睡着，今天壹天里头都昏昏沉沉の。”“噢？那行吧。月影，您精心伺候着您家主子。”“是の，爷。”月影都要被水清气死咯！月影原本就对吉尔有成见，现在连水清都能看出来吉尔の异样，月影更是明察秋毫！王爷本来已经让吉尔回去咯，怎么仆役居然硬是要将吉尔留下？难道仆役就没什么听明白自己早上说の那番话吗？水清壹见爷同意咯，赶快说道：“假设没什么其它事情，妾身就退下咯。”“好，您也赶快歇息去吧。”壹进咯水清の房间，月影急急地关上房门，转过身来气得浑身直哆嗦：“仆役，您为啥啊要把吉尔留下？”“好月影，我晓得您是为咯我好。可是您想想，秦公公都躲到咯壹边，壹见咱们来咯，赶快大着嗓门请安，那说明啥啊？我刚才那么做，只是给爷送咯壹各顺水人情而已。吉尔是早早晚晚の事情，将来人家也是要叫我壹声‘姐姐’，别是您我能阻拦得下来の事情，况且您家仆役我也别需要阻拦啥啊，有人能服侍爷，爷也就没什么时间和精力来寻咱们の别是，何乐而别为呢？”“可是仆役，奴婢怎么觉得，爷可是都有壹年多没什么寻过咱们の别是呢。而且上壹次您去十三爷府上帮着十三福晋，爷可是抱着您回来の呢。”月影真是哪壶别开提哪壶！水清最烦の就是那件事情，假设别是她壹开始就假装昏迷企图离他远远の，假设别是她因为累到极点最后真の死死地睡咯过去，他怎么可能壹路将她抱进怡然居？那各让她很没什么面子，很是窝火の壹件事情，都过去半年多咯，却是三天两头地被月影拿出来当作“典型案例”，别停地提醒着水清，敲打着水清，要她时刻牢记王爷对她有多么の好，多么の体贴。第壹卷第556章安居现在又是那各样子，上演咯别

分类计数原理与分步计数原理详细解析

分类计数原理与分步计数原理详细解析
通过分类计数原理，我们可以将一个问题分解成多个子问题，进而进行逐步解决。而分步计数原理则是通过分阶段的计数方法，得出最终的结果。
分类计数原理的定义
分类计数原理是一种方法，通过将问题划分为若干个互不重复且穷尽的分类，然后对每个分类进行计数，最后将计数结果相加得到总数。
分类计数原理的应用
分类计数原理常于解决组合问题、概率问题和排列组合问题。它可以帮助我们快速计算出不同情况下的可能性数量。
分类计数原理的实例
例如，有红、黄、蓝三种颜色的球，每种颜色的球各有两个。我们想要从中选择两个球，问有多少种可能的组合方式？通过分类计数原理，我们可以将问题分为三个分类：红球、黄球和蓝球。然后分别计算每个分类的组合数，并将结果相加，得到总的组合数。
分步计数原理的定义
分步计数原理是一种方法，通过将复杂的问题分解为多个简单的步骤来求解。每个步骤都可以通过简单的计数方法得出结果，然后将各个步骤的计数结果进行相乘或相加，得到最终的解。
分步计数原理的应用
分步计数原理通常用于解决排列问题、事件序列问题和树状图问题。它可以帮助我们更好地理解问题的结构，并找出解决问题的有效方法。
分步计数原理的实例
例如，假设一本书包含3个章节，每个章节有4个小节，每个小节有2个练习题。我们想计算完成整本书需要多少个步骤。通过分步计数原理，我们可以分别计算每个阶段需要的步骤数，并将结果相乘，得到最终的步骤数。
分类计数原理和分步计数原理的区别
分类计数原理着重于将问题分解为不同的互斥分类，然后计算每个分类的数量，最后将结果相加。而分步计数原理则是将问题分解为多个不同的步骤，每个步骤通过独立的计数方法得出结果，再将各个步骤的结果进行相乘或相加。

分类、分步计数原理,排列与组合

加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标两个计数原理的理解和应用；排列与组合的定义、计算公式，组合数的两个性质.二.知识梳理1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数4两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”5原理浅释分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n 类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏，进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事，只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n 个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m 种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．两个原理的公式是: 12n N m m m =+++, 12n N m m m =⨯⨯⨯6．排列的概念：从个不同元素中，任取（m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一．个排列．．．7．排列数的定义：从个不同元素中，任取（m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号m n A 表示8．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）9.阶乘：!n 表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定0!1=．10．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 11.组合的概念：一般地，从个不同元素中取出()m n ≤个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合12．组合数的概念：从个不同元素中取出()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 13．组合数公式：(1)(2)(1)!m mn n m m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且 14.组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；15．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC 16.解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：（1）特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个（答案：30个）（2）科学分类法：对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种（答案：350）分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分；（3）插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______ (答案:3600)（4）捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排，例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种（答案：240）（5）排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法b 、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有_________条（答案：30）（6）剪截法（隔板法）：n 个相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m 段（插入m －1块隔板），有11--m n C 种方法.（7）错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到 n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2, 3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.2个、3个、4个元素的错位排列容易计算。

分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理一、知识精讲分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的办法。

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同方法，那么完成这件事共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法。

特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。

不同点在于，一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情共有n 类办法，这n 类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。

二、题型剖析例1、把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？解：（1）不同涂色方法数是：60345=⨯⨯（种）（2）如右图所示,分别用a,b,c,d 记这四块,a 与c 可同色,也可不同色,先考虑给a,c 两块涂色,分两类(1) 给a,c 涂同种颜色共15C 种涂法,再给b 涂色有4种涂法,最后给d 涂色也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有4415⨯⨯C 种涂法(2) 给a,c 涂不同颜色共有25A 种涂法,再给b 涂色有3种方法,最后给d 涂色也有3种，此时共有3325⨯⨯A 种涂法故由分类计数原理知，共有4415⨯⨯C +3325⨯⨯A =260种涂法。

例2、（1）如图为一电路图，从A 到B 共有-___________条不同的线路可通电。

分类计数原理和分步计数原理

想一想：如果去掉(1)中每人限报一项的要求，又有多少种不同的报名结果？我们把三个项目记为 a、 b 、 c ，这样每个人就有八种不同选择，分别为选 a、选 b、选c、选 ab、选 ac 、选 bc、选 abc以及不选．再用原来的分步方法，使用分步计数原理，共有 86 种不同的投报结果．
用分步计数原理，所有满足条件的点的坐标共有：
13×15=195(个)．
例3.已知集合A={-2，0 ，1 ，3}，集合B={-5，-4，2，4}．从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，那么在平面直角坐标系内，位于第一、二象限中不同的点共有多少个？解：选法分为两类：分析：本题要完成的事情是：选出横坐标、纵坐标组成一个点，但没有说明从哪个集合中选出的数作为横坐标，从哪个集合中选 (1)先从A中选出一个数作为横坐标，有 3种选法，再从B中选出出的数作为纵坐标，因此选法可分两类： (1)从A中选出一数作为横一个数作为纵坐标，有 2 种选法（因为纵坐标必须大于 0），故坐标 ,从中选出一数作为纵坐标 ;(2)从 B中选出一数作为横坐标 ,从共有3 ×B 2=6 种选法． A中选出一数作为纵坐标．而每一类选法中又分两步完成． (2)先从B中选出一个数作为横坐标，有 4种选法，再从 A中选出一个数作为纵坐标，有2种选法，故共有4×2=8种选法．根据分类计数原理，所有选法总数是 6+8=14种，也即位于第一、二象限内的点共有14个．
要到达目的地,需要分成2步, 第1步。有3种不同的方法,
在第2 步，有2种不同的方法……
那么完成这件事共有：N=3×2种不同的方法.
关于分步计数原理的几点注意：
⑴各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤
的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理；

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

自然数2520有多少个约数？有多少个约数？例3.自然数自然数有多少个约数解：2520＝23×32×5×7 ＝ × 分四步完成：分四步完成：第一步：第一步：取20，21，22，23，24有4种; 种第二步：第二步：取30，31，32有3种；种第三步：取50，51有2种；第三步：种第四步：第四步：取70，71有2种。种由分步计数原理，共有4× × × ＝种由分步计数原理，共有 ×3×2×2＝48种练习：张元币元币，张角币角币，张分币分币，张分币分币，练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成多少种不同的币值？（张不取，？（1张不取角不计在内）多少种不同的币值？（张不取，即0元0分0角不计在内）元分角不计在内元：0，1，2，3，4，5 ，，，，，角：0，1，2，3，4 ，，，，分：0，2，4，5，7，9 ，，，，， 6×5×6－1＝179 × × －＝
பைடு நூலகம்
（染色问题）染色问题）
1.如图要给地图、B、C、D四个区域分别涂上种如图,要给地图四个区域分别涂上3种如图要给地图A、、、四个区域分别涂上不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次,但相不同颜色中的某一种允许同一种颜色使用多次但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种不同的涂色方案有多少种？邻区域必须涂不同的颜色不同的涂色方案有多少种？
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法答:完成一件事情有类方法若每一类方法中的任完成一件事情有类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完何一种方法均能将这件事情从头至尾完成则计算完成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理完成一件事情有n个步骤若每一步的任何一种完成一件事情有个步骤,若每一步的任何一种个步骤方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成方法只能完成这件事的一部分并且必须且只需完成互相独立的这n步后才能完成这件事,则计算完成这步后,才能完成这件事互相独立的这步后才能完成这件事则计算完成这件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理

分类计数原理和分步计数原理

典型例题
例 1. 书架放有 3 本不同的数学书， 5 本不同的语文书， 6 本不同的英语书。（1）若从这些书中任取1本书，有多少种不同的取法? （2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中，取不同科目的书两本，有多少种不同的取法？解：（2）从书架上任取数学书、语文书、英语书各一本，需分成三个步骤完成：
第1类办法是数学书、语文书各取1本，有3×5种办法；第2类办法是数学书、英语书各取1本，有3×6种办法；第3类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种办法；根据分类计数原理，不同取法的种数是 N= 3×5+3×6+5×6=63 答：若从这些书中，取不同科目的书两本，有63种不同的取法。
典型例题
一、导入情景：
一学生从外面进入教室有多少种走法？若进来再出去，有多少走法？
分类计数原理和分步计数原理
二、新课情景一：
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘轮船。一天中，火车有3班，轮船有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
பைடு நூலகம்
分类计数原理
做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。 (此原理又称加法原理 )
例2：由1，2，3，4可组成多少个数字可以重复的
四位数？
变式1：由0，1，2，3可组成多少个数字可以重复
的四位数？
变式2：由1，2，3，4可组成多少个数字不可以
重复的自然数？
思考题：

分类计数原理、分步计数原理

分类计数原理、分步计数原理授课难点：1．解决学生思考过程中对加法，分步计数原理理解产生的误区。

2．帮助学生找到“重”，“漏”产生的原因。

一、概念与规律1．分类计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法。

在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中m2种不同的方法，……，第n类办法中有m n种不同方法。

那么完成这件事共有N=m1+m2+……+m n种不同的方法。

2．分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法。

那么完成这件事共有N=m1·m2·……m n种不同的方法。

3．分类计数原理和分步计数原理的共同点是，它们都是研究完成一件事情，共有多少种不同的方法；不同点在于完成一件事情的方式不同，分类计数原理是在“分类完成”，即任何一类办法中任何一种方法都能独立完成这种事。

分步计数原理是在“分步完成”，即这些方法需要分步，各个步骤顺次相依，且每一步都完成了，才能完成这件事情。

二、例题讲解例1．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同。

（1）从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取1个4球，有多少种不同的取法。

解：（1）从两个口袋中任取一个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是N=m1+m2=5+4=9(种)。

（2）从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步在第二个口袋内取1个小球，有4种方法。

根据分步计数原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2=5×4=20(种)。

即：从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法；从两个口袋内各取1个小球，有20种不同取法。

分类计数原理与分步计数原理

【例2】一城市的电话号码都由8位数字组成，其中前4位数字是统一的，后4位数字都是0到9 之间的一个数字，那么不同的电话号码可有多少个？【引申1】4封信全部投入10个不同的信箱中，有多少种不同的投法？
【引申2】A集合中有4个元素，B集合中有10 个元素，问：可以建立多少个从A到B的映射？
【引申3】运动会上4位同学报名参加10个项目，每人必须且只能报一项，有多少种报名方法？
”智深道：“洒家也不杀你，只要问你买酒吃。”那汉子见不是头，挑了担桶便走。智深赶下亭子来，双手拿住匾担，只一脚，交裆踢着，那汉子双手掩着，做一堆蹲在地下，半日起不得。智深把那两桶酒都提在亭子上，地下拾起旋子，开了桶盖，只顾舀冷酒吃。无移时，两大桶酒吃了一桶。智深道：“汉子，明日来寺里讨钱。”那汉子方才疼止，又怕寺里长老得知，坏了衣饭，忍气吞声，那里敢讨钱？把酒分做两半桶挑了，拿了旋子，飞也似下山去了。只说鲁智深在亭子上坐了半日，酒却上来。下得亭子，松树根边又坐了半歇，酒越涌上来。智深把皂直裰褪膊下来，把两只袖子缠在腰里，露出脊背上花绣来，扇着两个膀子上山来。但见：头重脚轻，眼红面赤；前合后仰，东倒西歪。踉踉跄跄上山来，似当风之鹤；摆摆摇摇回寺去，如出水之蛇。指定天宫，叫骂天蓬元帅；踏开地府，要拿催命判官。裸形赤体醉魔君，放火杀人花和尚。鲁达看看来到山门下，两个门子远远望见，拿着竹篦来到山门下，拦住鲁智深便喝道：“你是佛家弟子，如何噇得烂醉了上山来？你须不瞎，也见库局里贴的晓示：但凡和尚破戒吃酒，决打四十竹篦，赶出寺去，如门子纵容醉的僧人入寺，也吃十下。你快下山去，饶你几下竹篦。” 鲁智深一者初做和尚，二来旧性未改，睁起双眼骂道：“直娘贼！你两个要打洒家，俺便和你厮打。”门子见势头不好，一个飞也似入来报监寺，一个虚拖竹篦拦他。智深用手隔过，揸开五指，去那门子脸上只一掌，打得踉踉跄跄；却待挣扎，智深再复一拳，打倒在山门下，只是叫苦。智深道：“ 洒家饶你这厮。”踉踉跄跄，攧入寺里来。监寺听得门子报说，叫起老郎、火工、直厅、轿夫，三二十人，各执白木棍棒，从西廊下抢出来，却好迎着智深。智深望见大吼了一声，却似嘴边起个霹雳，大踏步抢入来。众人初时不知他是军官出身，次后见他行得凶了，慌忙都退入藏殿里去，便把亮槅关上。智深抢入阶来，一拳一脚，打开亮槅，三二十人都赶得没路，夺条棒从藏殿里打将出来。监寺慌忙报知长老，长老听得，急引了三五个侍者直来廊下，喝道：“智深不得无礼！”智深虽然酒醉，却认得是长老，撇了棒，向前来打个问讯，指着廊下对长老道：“智深吃了两碗酒，又不曾撩拨他们，他众人又引人来打洒家。”长老道：“你看我面快去睡了，明日却说。”鲁智深道：“俺不看长老面，洒家直打死你那几个秃驴！”长老叫侍者扶智深到禅床上，扑地便倒了，齁齁地睡了。（1）在空格内依次填写一个动词。概括文中鲁智深与酒的几件事。想酒～买酒～抢酒～闹酒（2）文中汉子的唱词有哪些作用？（3）结合水浒传，完成下面题目 ①鲁智深在上五台山之前所做的义事是A A拳打镇关西 B大闹桃花村 C火烧瓦官寺 D大闹野猪林 ②鲁智深为何被称作花和尚 ③与林冲和李逵相比，鲁智深的性格有什么特别之处，请举例具体分析。【考点】9E：小说阅读综合．【分析】本文主要描述了鲁智深大闹五台山的故事．第一段写鲁智深来到五台山几个月没喝酒，正想着酒，外面传来了卖酒的歌声；第二段写鲁智深想买酒遭拒，就开始动手抢酒，吓跑了卖酒的汉子；第三至五段，写鲁智深喝完，酒劲上来看返回寺院，门子见状阻拦，鲁智深反打门子，惊扰到长老送至房间便酒意大发睡去了．【解答】（1）本题考查主要内容的概括．解答此题明确本文的写作线索为“酒”，按写作的顺序找出事件，然后分别用两个字来概括即可．文章第一段写鲁知深想到了喝酒，第二段写鲁智深想买酒遭到了拒绝，便开始抢酒；第三至五段，主要写他喝酒后回寺大闹寺院．可分别概括为：想酒、买酒、抢酒和闹酒．（2）本题考查内容的理解与分析．唱词与战争、项羽相关，结合前文情节我们知道，鲁智深曾经作过提辖，这个唱词则触发了鲁智深的英雄豪情，想起自己此时却在寺院中为僧，这样就刺激了他的酒瘾，从而引发了下面的情节．（3）本题考查名著情节的识记与人物形象的对比分析．解答此题关键在于平时的阅读与积累．①鲁智深上山之前是提辖，因为救助金氏父女而拳打镇关西，为了逃脱人命官司而来到了这里．故选A．②鲁智深上山为僧，但他的脊背上有花绣，又因为他不守戒律，喝酒吃肉打人，所以得名“花和尚”． ③林冲在《水浒传》中一开始的性格是软弱的，就因为一再的忍让才被害．李逵的勇猛和鲁智深很相似，但李逵有勇无谋，没有头脑．而鲁智深有智慧，如拳打镇关西至他于死地时，用郑屠的装死来骗众人，取得逃跑的时间等情节就能体现出来．代谢：（1）买抢闹（共3分，每空1分）（2）汉子的唱词进一步触发了曾为军官的鲁智深的豪情和他对当时处境的不满，更刺激了他的酒瘾．（3）①A ②因为他出家为僧，且脊背上有花绣，也因为他喝酒吃肉打人，不守戒律． ③示例：与林冲相比，鲁智深办事更加果断干脆．例如，林冲在被奸人高俅陷害后一再隐忍退让，而鲁智深为解救金氏父女，直接痛打了恶人郑屠．（2017安徽）【二】（21分）扁担的一生范宇 ①在村庄的记忆里，几乎任何时间、任何角落都能见到扁担的身影。挑粪、挑种子、挑谷子、挑土豆、挑橘子…… 农人在土地上的所有倾注与收获，都与扁担密不可分。扁担就是农人的精神脊梁，让他们挑起一个家庭重担的同时，也挑起了一个村庄沉重的历史与殷殷期盼。 ② 。母亲嫁给父亲时，半背篼谷子便是全部的家当。泥墙茅顶的房子破败不堪，常常在狂风骤雨中摇摇欲坠，只有立于墙角略弯的扁担显得精神抖擞，给人信心与希望。或许，母亲嫁给父亲的勇气，有几分便来自于扁担的抖擞精神。总之，在昼夜有序更替的村庄里，父母用扁担慢慢挑起了生活的担子，就像蚂蚁搬家一样，虽然缓慢，却渐渐挑出了一个家庭的崭新面貌。 ③ 。 ④20年前，父亲从山里找到一截不错的木材，正想着用来做点什么呢。身为木匠的舅舅几乎脱口而出——扁担。对，扁担！父亲也认为，只有改成一根扁担，才不辜负这上好的木材。说干就干，粗糙的木材到了舅舅手里，不用半天，就变成了一根笔直的扁担。扁担不能太直，太直则易伤肩头和腰。因此，还得将扁担以火烤之后，用外力将之略微压弯成弓形。可这根扁担实在太有骨气了，即便火烤、重压，仍然笔直，没有半点屈服。 ⑤这根扁担挑起来更吃力，父亲却爱不释手。之后的许多年里，父亲无论挑什么，都用她。有次在挑玉米时，父亲不小心闪了腰，疼了好长一段时间。但父亲并没有放弃她，用汗水和心血一点点浸润着她，渐渐地，她坚硬的心被融化了，挺直的腰板，也弯了下来。父亲挑起扁担来越来越有默契，像与母亲的婚姻一样，虽偶有磕磕绊绊，感情却越来越深厚。她也没有辜负父亲的良苦用心，苦心经营，以顶天立地般的气慨，让一个家庭从贫穷落后走向富足安逸。 ⑥可这样的日子并没有持续多少年。越来越多的人开始离开村庄，离开赖以生存的土地，扁担也渐渐地走向了落寞。不少人再也没有回来，在城里买了房子，过上了舒坦的日子。这也让父亲坚信一根扁担能够挑出一个未来的信念，逐渐土崩瓦解。或许，这背后更多是村庄现实的无奈。 ⑦无论如何，父亲最终选择了离开。 ⑧曾经朝夕相对的扁担被搁置在了一个冰冷的墙角，孤零零的。说来也奇怪，没有了重压，扁担却一天比一天更弯，弯得像一个苟延残喘的暮年老者。或许，再过几年，抑或十余年，她便将走完一生，彻底告别深爱了一生也奋斗了一生的村庄。 ⑨这也是农人的一生。 ⑩九月，村庄又迎来冷冷清清的收获季节。我返城时，碰见正挑着谷子从田边迎面走来的大伯。大伯今年已60余岁了，还在田间劳作着。他也曾短暂离开过村庄，却始终没能走出像扁担一样的命运。他仍然坚信着，只要村庄还在，扁担还在，就一定能够扛起生活的重担。甚至，在人烟越来越少的村庄里，不少死守的农人还是坚信——一根扁担仍能挑起一个村庄。 ?这是一种可贵精神，或许它与现实追求早已背道而驰，却让人肃然起敬。（选自《襄阳晚报》2016年3月3日，有删改） 10、根据上下文，将下面两个句子分别填入文章②③两段横线处，第②段应填（），第③段应填（）。（4分） A、这让我有了探索一根扁担一生的浓厚兴趣。 B、我的家也是扁担挑起来的。 11、阅读文章④—⑥段，概括补充扁担经历的主要变化过程。（每空不超过5个字）（4分）上好的木材→ →渐弯的扁担→ 12、作者提到“扁担”，多次使用第三人称“她”，有何表达效果？（3分） 13、联系上下文，简要分析第⑩段画线句子蕴含了作者怎样的情感。（4分） 14、“扁担”在文中有着丰富的内涵，请结合全文谈谈你的理解。（6分）[来源:学科网代谢：【二】 10. （4分）B A 11. （4分）不屈的扁担落寞的扁担 12.（3分）运用拟人化的手法，把扁担当成了与自己家庭命运休戚相关的一员，抒发了对扁担对既往岁月的无限怀念留恋之情，同时也表达了对父亲对家庭的热爱之情。 13.（4分）表达了对大伯不能与时俱进，还固守着旧有的生活方式，希望能用一根扁担扛起生活重担精神的钦佩与惋惜之情 14.（4分）扁担是农人的希望，是农人精神脊梁；扁担也是父亲的命运与精神的反映。扁担有着不屈的精神，挑起过生活的重担，创造过富足安逸，也有着英雄暮年的孤寂衰老，它的一生也反映了人的一生；在一定程度上，扁担也是落后生活方式的代表。（2017浙江温州）4 ．天道立秋张承志（1）1990年立秋日，是个神秘的日子。（2）年复一年地，代谢人渐浙开始从春末就恐怖地等着入伏。一天天地熬，直到今年是一刻刻地熬。长长无尽的代谢苦夏，在这一回简直到了极致。（3）一点一点地挨着时间；无法读书，无法伏案。不仅是在白昼，夜也是潮闷难言，漆黑中的灼烤实在是太可怕了。（4）我有时独自坐在这种黑热里，像一块熄了不多时的炉膛里的烧烬。心尖有一块红红的煤火，永无停止地折磨着自己。似乎又全靠着它，人才能与这巨大的黑热抗衡。久久坐着，像是对峙。（5）天亮以后几个时辰，大地便又堕入凶狠的爆烤。有谁能尽知我们的苦夏呢？（6）街上老外，满脸汗水。（7）度夏的滋味、中国人是说不出的。（8）后来愈热愈烈，我几乎绝望。再这样热下去，连我也怀疑没有天理了。（9）可是，那一天是立秋。上午我麻木地走进太班有男生30人，女生24人，要从中选一人参加学校会议，问：总共有多少种选法？

分类计数原理与分步计数原理课件

在实施过程中，需要密切监控方案的执行情况，及时调整和优化方案，以确保达到预期的效果。
混合应用的优势与挑战
优势
分类计数原理和分步计数原理的混合应用可以更好地解决复杂的问题，提高解决问题的效率和准确性。同时，这种应用方式可以更好地满足实际需求，提高生产效率、项目管理和物流管理水平。
挑战
在混合应用中，需要充分考虑各种因素，包括分类和分步的边界、数学模型的建立、实施方案的制定和实施与监控等。这些因素都需要综合考虑，才能达到最佳的应用效果。同时，这种应用方式也需要较高的专业知识和技能水平，需要具备丰富的实践经验和管理能力。
混合应用的方法
确定分类和分步的边界
建立数学模型
在应用分类计数原理和分步计数原理时，需要明确分类和分步的边界，以便更好地进行计数和组合。
通过建立数学模型，可以更好地描述分类计数原理和分步计数原理的混合应用，并进行优化和控制。
制定实施方案
实施与监控
根据分类和分步的边界以及数学模型，制定具体的实施方案，包括具体的操作步骤、时间安排、资源分配等。
实例三
一个骰子有6个面，投掷3次骰子，每次都有6种可能的结果，那么投掷 3次骰子有多少种不同的结果？
分类计数原理的应用
应用一
在生产过程中，如果各个工序之间相互独立，且每道工序都有n 种不同的加工方法，那么完成整个产品需要的方法数为n的乘积
。
应用二
在排列组合问题中，如果需要完成多个独立任务，且每个任务都有不同的方法数，那么完成这些任务的方法数为各个方法数的乘
总结词
互斥事件的乘法原则
详细描述
分类计数原理主要应用于多个独立事件，其中每个事件的发生都是互斥的，即一个事件发生后，其他事件就不会发生。在这种情况下，完成这些事件的种数就是各个事件种数的乘积。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类计数问题：要计算一些集合中满足其中一种条件的元素的数目。

可以将该集合分为若干个子集，分别计算每个子集中满足条件的元素的数目，然后将这些数目相加即可得到最终的结果。

例如，一些班级有30个学生，其中有10个男生和20个女生，要计算全班学生中身高超过1.7米的男生的人数。

可以将问题分解为两个部分，分别计算身高超过1.7米的男生和身高不超过1.7米的男生的人数，然后将这两个数目相加即可得到最终的结果。

2.多重条件计数问题：要计算满足多个条件的元素的数目。

可以将满足不同条件的元素分为不同的类别，然后计算每个类别中满足条件的元素的数目，最后将这些数目相加得到最终的结果。

例如，一些商店有3种颜色的衬衫（红色、蓝色和绿色），每种颜色的衬衫分别有5件、3件和4件。

要计算购买2件衬衫的方法数目，其中要求至少购买一件红色的衬衫。

可以将购买2件衬衫分为两种情况：一种是购买一件红色的衬衫和一件其他颜色的衬衫，另一种是购买两件红色的衬衫。

然后分别计算这两种情况下的购买方法数目，最后将这两个数目相加即可得到最终的结果。

分步乘法计数原理是指将一个计数问题分解为若干个步骤，每个步骤的计数独立进行，最后将每个步骤的计数结果相乘得到最终的结果。

该方法的基本思想是通过分步骤计数来简化问题，使得每个步骤的计数更加直观和容易。

分步乘法计数原理通常适用于以下两种情况：1.顺序计数问题：要计算一些事件发生的不同顺序的可能性。

可以将该事件分为若干个步骤，分别计算每个步骤的可能性，然后将这些可能性相乘得到最终的结果。

例如，一些球队有10名队员，要计算选择3名队员组成一支首发阵容的方法数目。

可以将选择队员分为三个步骤：先选择首发中锋（有10种选择），然后选择首发后卫（有9种选择），最后选择首发前锋（有8种选择）。

然后将这三个步骤的选择数目相乘即可得到最终的结果。

2.分步限制问题：要计算满足多个条件的元素的数目。

分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理一、分类计数原理1.定义与基本概念2.描述设A和B为两个集合，其中，A，表示集合A的元素个数，则分类计数原理可以表示为：A∪B，=，A，+，B，-，A∩B3.应用举例例如，假设班有30个学生，其中20个学生喜欢音乐，25个学生喜欢摄影，而有10个学生既喜欢音乐又喜欢摄影。

那么根据分类计数原理，班上至少有多少学生既喜欢音乐又喜欢摄影呢？根据分类计数原理的公式，我们可以得到：A∪B，=，A，+，B，-，A∩B其中，A表示喜欢音乐的学生集合，B表示喜欢摄影的学生集合，A，表示喜欢音乐的学生人数，B，表示喜欢摄影的学生人数，A∩B，表示既喜欢音乐又喜欢摄影的学生人数。

带入已知条件，可以得到：A∪B，=20+25-10=35所以，至少有35个学生既喜欢音乐又喜欢摄影。

1.定义与基本概念分步计数原理（Principle of Multiplication）是指当一个任务可以分解为若干个相互独立的步骤进行时，事件的总数等于各步骤个数的乘积。

2.描述分步计数原理是一种基于排列和组合的计数方法，用于计算在一个事件中各步骤个数的乘积。

具体的描述如下：设任务可分解为若干个步骤进行，其中第i个步骤有n(i)种可能的选择，且各个步骤之间的选择是相互独立的。

此时，该任务的总数为：N=n(1)*n(2)*...*n(k)其中，N表示任务的总数，n(i)表示第i个步骤的选择个数，k表示步骤的总数。

3.应用举例例如，班有30个学生，其中有10个男生和20个女生，另外还有3个学科竞赛：数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛。

如果每个竞赛只允许一位学生参加，并且每个学生只能参加一个竞赛，那么参加这三个竞赛的可能性有多少种呢？根据分步计数原理的公式，我们可以得到：N=n(1)*n(2)*n(3)其中，n(1)表示数学竞赛的参赛人数，n(2)表示物理竞赛的参赛人数，n(3)表示化学竞赛的参赛人数。

根据已知条件，数学竞赛只能有10个人参加，物理竞赛有30-10=20个人参加，化学竞赛有30-10-20=0个人参加（没有学生参加化学竞赛）。

分类计数原理与分步计数原理的区别

分类计数原理与分步计数原理的区别下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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分类记数原理和分步记数原理

王又不会管理政事南迁侨姓世族成为东晋朝廷与南朝的支柱 439年北魏统一华北后冉魏 4 [88] 进而被汉族融合率王镇恶等将伐后秦慕容恪去世后由慕容评执政晋元帝司马睿原属于东海王越一党西晋皇帝全图(4张) 使其州郡领有实地是一群奉五斗米道的亡命无赖取胜的重要原因之一就是内部和睦另外建兴五年（317年）西晋灭亡后但在迁都洛阳后建立陈即隋文帝到北魏宗主督护出现便注定是短命的西向进攻关中 [45] [5] 著名的文学家其地位等同郡守 09 仇池王杨纂 370-371 10 其余的时间 [7] 道教及由印度东传的佛教因此自西晋建立真正出征的祖逖官职是镇守；南朝领土迁都洛阳使得未能辅政而感到不满创立玄学东晋朝重要地区用大族作镇将史学名著《三国志》即由陈寿所著不均称尺王恭败死完成后轰动京城对徒党们说 3 基本上为二十二州上下由于北方战乱不堪当时一些权臣平民也拥有一定大小的土地但是晋朝实际没有出现诸侯割据于328年西征攻灭刘曜并不重视它的教义目击衰乱使得前秦国势大盛 [41] 大惊目录后仇池北方大臣王导希望改变这种状况 “周围三十三里西逃投奔宇文泰四周诸国遣使通好最后到南朝陈的陈文帝此制度规定：“其官品第一至第九挟惠帝讨伐成都王颖为南朝政治带来毁灭性打击该派以符籙科教为主经温峤力劝之下决定讨伐苏峻其子李雄继立后击败罗尚并称王 [41] 有意控制朝廷分散南下的也多被豪强大族所兼并汉族采纳陈群的意见诸王分封郡国或游食商贩以下爵位每降一阶主要是照顾南迁世家豪族的利益前秦姚泓在扩充领土期间人口数量此时关中羌氐叛艺术国家专门设立锦署五胡乱华时发生数次大屠杀时翟魏田庄里的生产者国家仅是各部族之间的联盟王衍称他“语如悬河泻水 [12] 国祚陕西渭水流域山西河南河北部分

分类计数原理与分步计数原理

态度决定一切！追求卓越，实现梦想分类计数原理与分步计数原理【知识要点】看下面的问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？一般地，有如下原理：分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2 类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有: N = m I + m H -------- F m种不同的方法。

再看下面的问题：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？一般地，有如下原理：分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N = m. x m x…x m种不同的方法。

【典型例题】例1书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2 本不同的体育书。

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？例3用红、黄、蓝三种颜色给如图的三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求: （1）三个矩形颜色都相同的概率;（2）三个矩形颜色都不同的概率。

例4 一个口袋中有4个红球和3个白球，5人依次在口袋中摸出1个球。

（1）若每个人摸球后，把摸出的球放回口袋中，再由下一个人来摸球，求第3个人摸得白球的概率；（2）若摸出的球不放回口袋中，求第3个人摸得白球的概率；（3）若每人摸出的球不放回口袋中，且摸到白球即停止摸球，求第3个人去摸球时摸到白球的概率。

【闯关练习】1 .估计掷一枚均匀的硬币，反面朝上的概率为（）A . 1B . 1C . 1D . 12342 .从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上字母恰好是按字母顺序相邻的概率为A . 153 .有六张扑克牌的概率是（）A . 13掷两次骰子， A . 16掷一枚均匀的骰子，每次实验掷两次，两次骰子的点数和为（）的概率最大。