高二数学抛物线的简单几何性质(1)教学案新人教A版

合集下载

高二数学最新教案-抛物线的简单几何性质(一) 精品

抛物线的简单几何性质（一）【自学导引】1．已知抛物线的标准方程y 2＝2px(p ＞0)，则抛物线上的点(x ，y)的横坐标x 的取值范围是 x ≥0．2．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1．3．在抛物线y 2＝2px(p ＞0)中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为),2(),,2(p pp p ，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p ．【思考导学】1．椭圆、双曲线都有中心，它们均可称为有心圆锥曲线．抛物线没有中心，称为无心圆锥曲线．2．平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点．【典例剖析】［例1］已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(3，－23)，求它的标准方程．解：∵抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(3，－23)，∴可设它的标准方程为x 2＝－2py(p ＞0)．又∵点M 在抛物线上，∴(3)2＝－2p(－23)，即p ＝43．因此所求方程是x 2＝－43y ．点评：本题关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法即可求出其标准方程．［例2］给定抛物线y 2＝2x ，设A(a ，0)，a ＞0，P 是抛物线上的一点，且｜PA ｜＝d ，试求d 的最小值．解：设P(x 0，y 0)，(x 0≥0)，则y 02＝2x 0， ∴d ＝|PA|＝12)]1([2)()(200202020-+-+=+-=+-a a x x a x y a x ．∵a ＞0，x 0≥0，∴(1)当0＜a ＜1时，1－a ＞0，此时当x 0＝0时，d 最小＝12)1(2-+-a a ＝a ．(2)当a ≥1时，1－a ≤0，此时当x 0＝a －1时，d 最小＝12-a ．点评：虽然d 的目标函数f(x 0)是根号下关于x 0的二次函数，但由于x 0和a 都有限制条件，必须分类讨论求最小值，否则会出错．［例3］已知抛物线y 2＝6x ，过点P(4，1)引一弦，使它恰在点P 被平分，求这条弦所在的直线方程．解法一：设直线上任意点坐标为(x ，y)，弦的两个端点为P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)． ∵P 1、P 2在抛物线上，∴y 12＝6x 1，y 22＝6x 2，两式相减得：(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2) ①∵y 1＋y 2＝2，代入①得k ＝1212x x y y --＝3．∴直线的方程为y －1＝3(x －4)．即3x －y －11＝0．解法二：设所求方程为y －1＝k(x －4)．由方程组⎩⎨⎧+-==1462k kx y xy 得ky 2－6y －24k ＋6＝0．设弦的两端点P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝k6． ∵P 1P 2的中点为(4，1) ∴k6＝2，∴k ＝3， ∴所求直线方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0．点评：解法一是求与中点有关问题常用的“作差法”，解法二没有求出P 1、P 2的坐标，而是运用韦达定理直接写出P 1P 2中点坐标，这也是解题中常用的方法．【随堂训练】1．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线，过点(－2，3)，则它的方程是( )A ．x 2＝－29y 或y 2＝34xB ．y 2＝－29x 或x 2＝34y C ．x 2＝34y D ．y 2＝－29x 解析：∵抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴， ∴抛物线的方程为标准形式．当抛物线的焦点在x 轴上时， ∵抛物线过点(－2，3)，∴设抛物线的方程为y 2＝－2px(p ＞0)， ∴32＝－2p(－2)，∴p ＝49． ∴抛物线的方程为y 2＝－29x ．当抛物线的焦点在y 轴上时， ∵抛物线过点(－2，3)，∴设抛物线的方程为x 2＝2py(p ＞0)． ∴(－2)2＝2p ·3，∴p ＝32． ∴抛物线的方程为x 2＝34y ．答案：B2．以x 轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y解析：∵通径长为8，∴2p ＝8．∵抛物线的轴为x 轴，∴抛物线的方程为y 2＝±8x ．答案：C3．抛物线x 2＝－4y 的通径为AB ，O 为抛物线的顶点，则( ) A ．通径长为8，△AOB 的面积为4 B ．通径长为－4，△AOB 的面积为2 C ．通径长为4，△AOB 的面积为4 D ．通径长为4，△AOB 的面积为2解析：在抛物线x 2＝－4y ，∴2p ＝4即通径的长为4．△AOB 的面积为214212221=⨯⨯=⨯⨯p p ．答案：D4．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px(p ＞0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没有公共点解析：∵直线y ＝kx －k 过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y 2＝2px 的内部．∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．答案：C5．若抛物线y 2＝2px(p ＞0)上一点P 到准线及对称轴的距离分别为10和6，则P 的横坐标为______，p 的值为______．解析：∵点P 到对称轴的距离为6，∴设点P 的坐标为(x ，6)．(或(x ，－6))∵点P 到准线的距离为10，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=102262px px，∴⎩⎨⎧==29p x ． ∴点P 的横坐标为9，p 的值为2．答案：9 26．过(0，－2)的直线与抛物线y 2＝８x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则｜AB ｜＝______．解析：设直线方程为y ＝kx －2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)由⎩⎨⎧=-=xy kx y 822得k 2x 2－４(k ＋2)x ＋４＝0 ∵直线与抛物线交于A 、B 两点 ∴Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＞0 即k ＞－1 又221)2(22kk x x +=+＝2 ∴k ＝2或k ＝－1(舍) ∴2122122124)(21||1||x x x x x x k AB -+⋅+=-+=152)44(52=-=．答案：215【强化训练】1．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px(p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2解析：∵抛物线的轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，∴由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°．由方程组⎩⎨⎧==pxy xy 22得⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧==py px 22．∴A 、B 两点的坐标分别为(2p ，2p)和(2p ，－2p)． ∴｜A Ｂ｜＝4p ，∴S △AOB ＝21×4p ×2p ＝4p 2．答案：B2．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A 、B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝63x B ．y 2＝－63x C ．y 2＝±63x D ．y 2＝±33x 解析：∵△AOB 为边长等于1的正三角形，∴O 到AB 的距离为23，A 或B 到x 轴的距离为21．当抛物线的焦点在x 轴的正半轴上时，设抛物线的方程为y 2＝2px(p ＞0)． ∵抛物线过点(21,23)， ∴,232)21(2⋅=p ∴632=p．∴抛物线的方程为y 2＝63x ．当抛物线的焦点在x 轴的负半轴上时，设抛物线的方程为y 2＝－2px(p ＞0)． ∵抛物线过点(－21,23)， ∴)23(2)21(2-⋅-=p ，∴2p ＝63． ∴抛物线的方程为y 2＝－63x ．答案：C3．已知点(x ，y)在抛物线y 2＝4x 上，则z ＝x 2＋21y 2＋3的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．0解析：∵点(x ，y)在抛物线y 2＝4x 上，∴x ≥0， ∵z ＝x 2＋21y 2＋3＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2 ∴当x ＝0时，z 最小，其值为3．答案：B4．过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线，分别交准线于P 、Q 两点，又过P 、Q 分别作抛物线对称轴OF 的平行线，交抛物线于M 、N 两点，则M 、N 、F 三点( )A ．共圆B ．共线C ．在另一抛物线上D ．分布无规律解析：设M(x 1，y 1)，Ｎ(x 2，y 2)，设抛物线方程为y 2＝2px ．则F(2p ，0)，准线x ＝－2p ， ∴P(－2p ，y 1)，Ｑ(－2p，y 2) 由PF ⊥QF 得py p y -⋅-21＝－1，∴y 1y 2＝－p 2221122222221111222222p y pyp p y y p x y k p y py x y k NFMF -=-=-=-=-=∴k MF ＝k NF ∴M 、N 、F 共线．答案：B5．抛物线顶点在坐标原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为______．解析：∵过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，∴抛物线的焦点在y 轴上，且2p ＝16．当抛物线的焦点在y 轴的正半轴上时，抛物线的方程为x 2＝16y ．当抛物线的焦点在y 轴的负半轴上时，抛物线的方程为x 2＝－16y ．答案：x 2＝－16y 或x 2＝16y6．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(m ，－2)到焦点的距离等于4，则m 的值为______．解析：由于点(m ，－2)在抛物线上，所以抛物线开口向下，设其方程为x 2＝－2py ，则2＋2p＝４，∴p ＝４．抛物线方程为x 2＝－８y ，把点(m ，－2)代入得m ＝±4．答案：±47．抛物线x 2＝2y 上距离点A(0，a)(a ＞0)最近的点恰好是抛物线的顶点，求a 的取值范围．解：设P(x ，y)为抛物线上任意一点，则|PA|＝222222)1(222)(a y a y a ay y y a y x +--=+-+=-+12)]1([2-+--=a a y∵a ＞0，∴a －1＞－1由于y ≥0，且|PA|最小时，y ＝0 ∴－1＜a －1≤0∴0＜a ≤1．8．过定点A(－2，－1)，倾斜角为45°的直线与抛物线y ＝ax 2交于B 、C ，且｜BC ｜是｜AB ｜、｜AC ｜的等比中项，求抛物线方程．解：设A(－2，－1)、B(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)在x 轴上的射影分别为A ′(－2，0)、B ′(x 1，0)、C ′(x 2，0)∵｜BC ｜2＝｜AB ｜·｜AC ｜，∴｜B ′C ′｜2＝｜A ′B ′｜·｜A ′C ′｜于是有｜x 1－x 2｜2＝(x 1＋2)(x 2＋2) ① 直线AC 的方程为y ＝x ＋1．代入y ＝ax 2并整理得ax 2－x －1＝0∴x 1＋x 2＝a 1，x 1x 2＝－a1②把②代入①得，a ＝1或a ＝－41．当a ＝1时，方程ax 2－x －1＝0根的判别式Δ＞0；当a ＝－41时，Δ＝0，B 、C 重合，不合题意，舍去． ∴抛物线方程为y ＝x 2．9．过抛物线y 2＝４x 的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M 、N 两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN 为直径的圆经过抛物线的焦点．解：抛物线y 2＝４x 的准线与对称轴的交点为(－1，0)．设直线MN 的方程为y ＝k(x ＋1)由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0 ∵直线与抛物线交于M 、N 两点．∴Δ＝４(k 2－2)2－４k ４＞0即k 2＜｜k 2－2｜，k 2＜1，－1＜k ＜1设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，抛物线焦点为F(1，0)． ∵以线段MN 为直径的圆经过抛物线焦点． ∴MF ⊥NF ∴112211-⋅-x yx y ＝－1 即y 1y 2＋x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0又x 1＋x 2＝－22)2(2kk -，x 1x 2＝1 y 12y 22＝16x 1x 2＝16且y 1、y 2同号∴22)2(2k k -＝－6解得k 2＝21，∴k ＝±22 即直线的倾斜角为arctan22或π－arctan 22时，以线段MN 为直径的圆经过抛物线的焦点．【学后反思】1．抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它无中心，也没有渐近线．2．抛物线y 2＝－2px(p>0)及x 2＝2py(p>0)、x 2＝－2py(p>0)的几何性质即范围、顶点、对称性、离心率同样重要．。

【高中数学】3.3.2 抛物线的简单几何性质高二数学新教材配套学案(人教A版选择性必修第一册)

3.3.2 抛物线的简单几何性质【学习目标】1．抛物线的几何性质⎛⎫p ⎛⎫p ⎛⎫p ⎛⎫p 2.直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝ . 3．直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：、和．设直线y ＝kx ＋m 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，将y ＝kx ＋m 代入y 2＝2px ，消去y 并化简，得k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0. ∈k ＝0时，直线与抛物线只有交点；∈k ≠0时，Δ＞0∈直线与抛物线 ∈有公共点． Δ＝0∈直线与抛物线 ∈只有公共点．Δ＜0∈直线与抛物线∈ 公共点．【小试牛刀】1．抛物线关于顶点对称．()2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．() 3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．() 4．抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p．()5．抛物线y＝－18x2的准线方程为x＝132．()【经典例题】题型一抛物线性质的应用把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于23，则抛物线的方程为________．(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．[跟踪训练]1 已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是∈OAB 的重心，求∈OAB的周长．题型二直线与抛物线的位置关系直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切．例2已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．[跟踪训练]2若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA∈OB.题型三中点弦及弦长公式“中点弦”问题解题方法例3已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，[跟踪训练]3 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．题型四抛物线的综合应用例4 求抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的最小距离．[跟踪训练]4 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点为坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB 的斜率为定值．【当堂达标】1．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)D ．(2，±42)2．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y3．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．184．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A的坐标是()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)5．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.7．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．8．已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当∈AOB的面积等于10时，求k的值．9.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．(1)若|AB|＝10，求实数m的值；(2)若OA∈OB，求实数m的值．10.已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．【参考答案】【自主学习】x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p2 x 轴 y 轴 (0,0) 1 x 1＋x 2＋p 相离相切相交一个相交两个相切一个相离没有【小试牛刀】 × √ √ √ × 【经典例题】例1 (1)y 2＝3x 或y 2＝－3x [根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，3)或(－1，3)，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .](2)[解] 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∈BCD ＝30°，在Rt∈ACE 中，∈|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∈2|AE |＝|AC |，∈4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∈BD ∈FG ，∈43p ＝23，p ＝2.因此抛物线的方程是y 2＝4x .[跟踪训练]1 解 (1)抛物线y 2＝8x 的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x 的范围分别为(0,0)，(2,0)，x ＝－2，x 轴，x ≥0.(2)如图所示，由|OA |＝|OB |可知AB ∈x 轴，垂足为点M ，又焦点F 是∈OAB 的重心，则|OF |＝23|OM |. 因为F (2,0)，所以|OM |＝32|OF |＝3，所以M (3,0)．故设A (3，m )，代入y 2＝8x 得m 2＝24；所以m ＝26或m ＝－26，所以A (3,26)，B (3，－26)，所以|OA |＝|OB |＝33，所以∈OAB 的周长为233＋4 6. 例2 解联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x＝14，∈y ＝1，∈直线l 与C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )．∈当Δ>0，即k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；∈当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ∈当Δ<0，即k >1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离．综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点；当k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点；当k >1时，l 与C 没有公共点．[跟踪训练]2 [证明] 由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∈直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∈可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.∈OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∈OA →∈OB →，即OA ∈OB .例3 解由题意知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ∈x 轴，则|AB |＝2p ≠52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2.所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2·y 1－y 22＝1＋1k 2·y 1＋y 22－4y 1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p ，解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为2x －y －p ＝0或2x ＋y －p ＝0.[跟踪训练]3 [解] 法一：(点差法)设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∈(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝2，∈y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝4，∈k AB ＝4. ∈AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.法二：由题意知AB 所在直线斜率存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 所在直线的方程为y＝k (x －4)＋1.联立⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k x －4＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标．由根与系数的关系得y 1＋y 2＝8k .又y 1＋y 2＝2，∈k ＝4.∈AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0. 例4 解方法一设A (t ，－t 2)为抛物线上的点，则点A 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎪⎫t －232－43＋8 ＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43. 所以当t ＝23时，d 有最小值43.方法二如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎨⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0，∈Δ＝16＋12m ＝0，∈m ＝－43. 故最小距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.[跟踪训练]4 [解] (1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)证明：因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1. 【当堂达标】1.D [抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有⎩⎨⎧y 2＝16x ，x 2＋y 2＝x －42＋y 2∈⎩⎨⎧ y 2＝16x ，x ＝2∈⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2.所以符合题意的点为(2，±42)．] 2. C 解析设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px 得|y |＝p ，∈2|y |＝2p ＝8，p ＝4. ∈抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .3.A [线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.]4.B [由题意知F (1,0)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0，由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∈点A 的坐标为(1，±2)，故选B.]5. B 解析当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条；当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.6. 8解析因为直线AB 过焦点F (1,0)，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.7.158 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14.∈|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∈y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158.] 8.解过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，由方程组⎩⎨⎧x ＝－y 2，y ＝k x ＋1，消去x 整理得ky 2＋y －k ＝0，Δ＝1＋4k 2>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1·y 2＝－1. 设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1,0)． ∈S ∈OAB ＝S ∈OAN ＋S ∈OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|， ∈S ∈AOB ＝12×1×y 1＋y 22－4y 1y 2＝12×1k 2＋4＝10，解得k ＝±16.9.解由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.由Δ＝(2m －8)2－4m 2＝64－32m >0，得m <2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716，经检验符合题意．(2)因为OA ∈OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8或m ＝0(舍去)．所以m ＝－8，经检验符合题意．10.[解] 当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的方程为y ＝x －p 2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过点A ，B 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A 1，点B 1，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝6， ∈x 1＋x 2＝6－p .∈ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px 消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∈x 1＋x 2＝3p ，代入∈式得3p ＝6－p ，∈p ＝32.∈所求抛物线的标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x .高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

3.3.2抛物线的简单几何性质(一)课件高二上学期数学人教A版选择性

2
p=2.
故抛物线的标准方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1.
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为
与抛物线方程联立,得
=
4
y= (x-1).
3
4
(-1),
3
2 = 4,
消去 y,整理得 4x2-17x+4=0,
17
25
由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p= +2= .故线段
2
轴正半轴上, 设抛物线的标准方程为x 2 2 py( p 0), 由题知, 抛物线的
p
准线方程为y 5, 所以 5, 得p 10, 抛物线的标准方程为x 2 20 y .
2
(3) 准线在y轴的右侧, 顶点到准线的距离是 4;
(4) 焦点F 在y轴负半轴上 , 经过横坐标为16的点P , 且FP 平行于准线.
顶点、
对称轴
离心率
x轴
y2=-2px
(p>0)
向左
x≤0,y∈R
O(0,0),
e=1
标准方程
x2=2py
(p>0)
图形
开口
方向
范围
向上
x∈R,y≥0
顶点、
对称轴
离心率
y轴
x2=-2py
(p>0)
向下
x∈R,y≤0
O(0,0),
e=1
例3 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点, 并且经过点M (2, 2 2),
解：易知F (1,0), 直线l的方程为y x 1,
将y x 1代入y 4 x,
y
2
整理得x 2 6 x 1 0,

高中数学抛物线和简单几何性质教案新人教A版选修1-1

抛物线和简单几何性质一、教课目的( 一)知识教课点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．( 二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，进而培育学生剖析、概括、推理等能力．( 三)学科浸透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系观点的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材剖析1．要点：抛物线的几何性质及初步运用．( 解决方法：指引学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．( 解决方法：经过几个典型例题的解说，使学生掌握几何性质的应用．)3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．( 解决方法：指引学生证明并加以记忆．)三、活动设计发问、填表、解说、演板、口答．教课过程【情境设置】由一名学生回答，教师板书．问题抛物线的标准方程是如何的？答为：抛物线的标准方程是．与椭圆、双曲线同样，经过抛物线的标准方程能够研究它的几何性质．下边我们依据抛物线的标准方程：来研究它的几何性质．【探究研究】1．抛物线的几何性质（ 1）范围由于，由方程可知，因此抛物线在轴的右边，当的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无穷延长．（ 2）对称性以代，方程不变，因此抛物线对于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．（ 3）极点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的极点，在方程中，当时，因此抛物线的极点就是坐标原点．（ 4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知其余三种标准方程抛物线的几何性质可近似地求得，教师用小黑板给出来表让学生填写．再向学生提出：与、双曲的几何性比，抛物的几何性有什么特色？学生和教共同小：（1）抛物只位于半个坐平面内，然它也能够无穷延长，但没有近；（2）抛物只有一条称，没有称中心；（3）抛物只有一个点、一个焦点、一条准；（4）抛物的离心率是确立的， 1．【例剖析】例 1 已知抛物对于称，它的点在座原点，而且点，求它的准方程，并用描点法画出形．求准方程，一名学生演板，教予以正．画可由教解，步如下：由求出的准方程，形，依据算抛物在的范内几个点的坐，得01234⋯⋯01 2.8 3.54⋯⋯描点画出抛物的一部分，再利用称性，就能够画出抛物的另一部分（如）．而后明利用抛物的通性，能方便地画出反应抛物基本特色的草．例 2 探照灯反射的截面是抛物的一部分，光源位于抛物的焦点．已知灯口的直径，灯深，求抛物的准方程和焦点地点．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内成立直角坐标系，使反光镜的极点（即抛物线的极点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．抛物线的标准方程为，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：，因此所求抛物线的标准方程为，焦点坐标是.（三）随堂练习1．求合适以下条件的抛物线方程①极点在原点，对于轴对称，而且经过点②极点在原点，焦点是③极点在原点，准线是④焦点是，准线是2．一条地道的顶部是抛物拱形，拱高是 m，跨度是 m，求拱形的抛物线方程答案：1．①②③④2．( 要选成立坐标系 )（四）总结提炼抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差异较大．它的离心率等于 1；它只有一个焦点、一个极点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．（五）部署作业1．极点在原点、焦点在轴上，且过点的抛物线方程是（）A．B．C．D．2．若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为（）A．1B．2C．4D．63．若垂直于轴的直线交抛物线于点，且，则直线的方程为 __________.4．抛物线形拱桥，当水面宽时，水面离拱顶为，若水降落，则此时水面宽为 ___________.5．抛物线的极点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左极点，求抛物线方程．6．若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别是 10 和 6，求的横坐标及抛物线方程．答案：1．B2．C3．4．5． 6 ．9，（六）板书设计教课设计评论：本节课第一设置情境，让学生利用类比的思想，探究、概括、总结出与椭圆、双曲线近似的性质，并与椭圆、双曲线的性质比较，便于学生掌握这三种曲线的性质。

(教师用书)高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质教案新人教A版选修1-1

2.3.2 抛物线的简单几何性质(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)理解抛物线的几何性质．(2)与抛物线有关的轨迹的求法，直线与抛物线的位置关系．2．过程与方法(1)灵活运用抛物线的性质．(2)培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)训练学生分析问题、解决问题的能力．(2)培养学生数形结合思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力．●重点、难点重点：(1)掌握抛物线的几何性质．(2)根据给出的条件求出抛物线的标准方程．难点：抛物线各个几何性质的灵活应用．(教师用书独具)●教学建议本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法．先通过多媒体动画演示，创设问题情境，在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高．学法上，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，结合教法和学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比——探索——应用”的探究式学习方法，增加学生参与的机会，使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维的能力及科学的学习方法，增强自信心．学法指导包括：联想法、观察分析法、练习巩固法．这样，本节课的重点与难点就迎刃而解了． ●教学流程提出问题：你能说出抛物线y 2＝2px p ＞的几何性质吗？⇒引导学生结合图象得出抛物线四种形式的几何性质，并对比它们的区别与联系.⇒通过引导学生回顾直线与椭圆的位置关系问题，引出直线与抛物线的位置关系知识.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握抛物线的性质及应用问题.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握抛物线的焦点弦问题.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第39页)类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y 2＝2px (p ＞0)的范围、对称性、顶点坐标吗？【提示】范围x ≥0，关于x 轴对称，顶点坐标(0,0)．续表1．直线与抛物线有哪几种位置关系？【提示】三种：相离、相切、相交．2．若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？【提示】不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．直线与抛物线的位置关系与公共点(对应学生用书第40页)图2－3－3是抛物线上的一点，其横坐标为4，且在x 轴的上方，点A 到抛物线的准线的距离等于5，过A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求直线MN 的方程．【思路探究】 (1)根据题意你能求出p 的值吗？ (2)M 点的坐标是多少？直线MN 的斜率呢？【自主解答】 (1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)，F (1,0)， ∴k FA ＝43.又MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34，则直线FA 的方程为y ＝43(x －1)，直线MN 的方程为y －2＝－34x ，即3x ＋4y －8＝0.研究抛物线的性质时要注意它们之间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，离心率不变总为1.已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．【解】由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l ：x ＝p2，∴A 、B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p ，∴|AB |＝2|p |. ∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2. ∴抛物线标准方程为y 2＝±42x .(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点？【思路探究】 (1)联立直线l 与抛物线C 的方程，得到的关于x 的方程是什么形式？(2)能直接用判别式法判断公共点的情况吗？【自主解答】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程变为－4x ＋1＝0，x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与C 只有一个公共点(14，1)，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，方程(*)是一个一元二次方程： Δ＝(2k －4)2－4k 2×1＝16－16k①当Δ＞0，即k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时l 与C 相交； ②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时l 与C 相切； ③当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时l 与C 相离．综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与C 有一个公共点； (2)当k ＜1，且k ≠0时，直线l 与C 有两个公共点； (3)当k ＞1时，直线l 与C 没有公共点．1．直线与抛物线的位置关系判断方法．通常使用代数法：将直线的方程与抛物线的方程联立，整理成关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，利用判别式解决．Δ＞0⇒相交；Δ＝0⇒相切；Δ＜0⇒相离．(2)当a ＝0时，方程只有一解x ＝－cb，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合． 2．直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线与直线是相交的．若过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 有两个公共点，求直线的斜率k 的取值范围．【解】设直线方程为y －2＝k (x ＋3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝kx ＋y 2＝4x消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0.①(1)当k ＝0时，方程①化为y ＝2，直线y ＝2与抛物线y 2＝4x 相交，有一个公共点，不合要求； (2)当k ≠0时，Δ＝16－4k (8＋12k )＞0. ∴－1＜k ＜13，因此－1＜k ＜13且k ≠0.综上可知，斜率k 的取值范围为{k |－1＜k ＜13且k ≠0}.已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4的直线l 被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程．【思路探究】 (1)焦点在x 轴上的抛物线方程如何设？(2)过焦点且倾斜角为π4的直线方程怎么求？它被抛物线截得的弦长问题能联系抛物线的定义吗？【自主解答】当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线标准方程是y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F (p 2，0)，直线l 为y ＝x －p2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A 、B 分别向抛物线的准线作垂线AA 1、BB 1，垂足分别为A 1、B 1.则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝(x 1＋p 2)＋(x 2＋p2)＝x 1＋x 2＋p ＝6，∴x 1＋x 2＝6－p .①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得(x －p2)2＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p ，代入①式得3p ＝6－p ，∴p ＝32.∴所求抛物线标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x .1．本题是通过抛物线的性质求其方程的典型例题，抛物线的方程有两种形式，解答时切勿漏掉．2．过焦点F 和抛物线相交的弦叫做抛物线的焦点弦，在解决与焦点弦有关的问题时，一是注意用焦点弦所在的直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数关系解题，二是注意抛物线定义的灵活运用，特别应注意整体代入的方法．本例中，若把直线的倾斜角改为135°，被抛物线截得的弦长改为8，其他条件不变，试求抛物线的方程．【解】如图，依题意当抛物线方程设为y 2＝2px (p ＞0)时，抛物线的准线为l ，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.于是x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2. 故所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上所述，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .(对应学生用书第41页)忽略特殊直线致误求过定点P (0,1)，且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．【错解】设直线方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，解得y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，解得k ＝12，即直线y ＝12x ＋1与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求的直线方程为y ＝1或y ＝12x ＋1.【错因分析】本题直接设出了直线的点斜式方程，而忽视了斜率不存在的情况，从而导致漏解．【防范措施】在解直线与抛物线的位置关系时，往往直接把直线方程设成点斜式方程，这样就把范围缩小了，而应先看斜率不存在的情况是否符合要求，直线斜率为0的情况也容易被忽略，所以解决这类问题时特殊情况要优先考虑，画出草图是行之有效的方法．【正解】如图所示，若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y 2＝2x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，则由错解可知，y ＝1或y ＝12x ＋1为所求的直线方程．故所求的直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以求出抛物线的方程．2．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，求焦点弦长，一般不用弦长公式． 3．直线和抛物线的位置关系问题的通法与椭圆、双曲线一样，即联立方程消未知数，产生一元二次方程，用判别式Δ、根与系数关系解决问题．(对应学生用书第42页)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的对称轴为( ) A ．y 轴 B ．x 轴 C ．x ＝－a2D ．x ＝－a4【解析】形如y 2＝±2px (p ＞0)的抛物线的对称轴为x 轴．【答案】 B2．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程( ) A ．x 2＝±3yB ．y 2＝±6xC ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y【解析】依题意，p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为x 2＝±12y . 【答案】 C3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝－12，则a ＝________.【解析】抛物线方程可化为x 2＝1a y ，由题意14a ＝12，∴a ＝12.【答案】 124．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，求点P 的坐标．【解】根据题意可知：|PF |＝|PO |，其中O 为原点，F 为焦点，∴x P ＝x F 2＝18，∴y P ＝±18＝±122＝±24，∴P (18，±24).(对应学生用书第101页)一、选择题1．(2013·泰安高二检测)已知抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝8，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝±8xD ．x 2＝±8y【解析】由抛物线的定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝2p ＝8，∴p ＝4，故标准方程为y 2＝±8x .【答案】 C2．抛物线y ＝ax 2＋1与直线y ＝x 相切，则a 等于( ) A.18 B.14C.12D ．1【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋1，y ＝x ，消y 得ax 2－x ＋1＝0.∵直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2＋1相切， ∴方程ax 2－x ＋1＝0有两相等实根． ∴判别式Δ＝(－1)2－4a ＝0，∴a ＝14.【答案】 B3．(2013·长沙高二检测)过点M (2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线共有( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由于M (2,4)在抛物线上，故满足条件的直线共有2条，一条是与x 轴平行的线，另一条是过M 的切线，如果点M 不在抛物线上，则有3条直线．【答案】 B4．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反射镜顶点的距离是( )A ．11.25 cmB ．5.625 cmC ．20 cmD ．10 cm【解析】如图建立直角坐标系，则A (40,30)，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，将点(40,30)代入得p ＝454，所以p2＝5.625即光源到顶点的距离．【答案】 B5．若点P 在y 2＝x 上，点Q 在(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为( ) A.3－1 B.102－1 C ．2 D.112－1 【解析】设圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心为Q ′(3,0)，要求|PQ |的最小值，只需求|PQ ′|的最小值．设P 点坐标为(y 20，y 0)，则|PQ ′|＝y 20－2＋y 2＝y 202－5y 20＋9＝y 20－522＋114. ∴|PQ ′|的最小值为112，从而|PQ |的最小值为112－1. 【答案】 D 二、填空题6．(2013·台州高二检测)设抛物线y 2＝16x 上一点P 到对称轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF |＝______.【解析】设P (x,12)，代入到y 2＝16x 得x ＝9， ∴|PF |＝x ＋p2＝9＋4＝13.【答案】 137．设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0,2)，若线段FA 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________．【解析】由已知得点B 的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B (p4，1)将其代入y 2＝2px 得p＝2，则点B 到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝342.【答案】342 8．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．【解析】 ∵y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°，故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0，即3x 2－10x ＋3＝0. ∴x ＝13或x ＝3.又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3. ∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.【答案】 3三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，A (x 0，y 0)，由题知 M (0，－p2)．∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3，∵|AM |＝17， ∴x 20＋(y 0＋p2)2＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p (3－p2)，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知A ，B 两点在抛物线C ：x 2＝4y 上，点M (0,4)满足MA →＝λMB →(λ≠0)，求证：OA→⊥OB →.【证明】设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．∵MA →＝λMB →，∴M 、A 、B 三点共线，即直线AB 过点M . 设l AB ∶y ＝kx ＋4(易知斜率存在)，与x 2＝4y 联立得，x 2－4kx －16＝0，Δ＝(－4k )2－4×(－16) ＝16k 2＋64＞0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－16， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋4)(kx 2＋4) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋4k (x 1＋x 2)＋16＝(1＋k 2)·(－16)＋4k ·(4k )＋16＝0， ∴OA →⊥OB →.11．(2013·泰州高二检测)已知抛物线x 2＝ay (a ＞0)，点O 为坐标原点，斜率为1的直线与抛物线交于A ，B 两点．(1)若直线l 过点D (0,2)且a ＝4，求△AOB 的面积；(2)若直线l 过抛物线的焦点且OA →·OB →＝－3，求抛物线的方程．【解】 (1)依题意，直线l 的方程为y ＝x ＋2，抛物线方程x 2＝4y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x ＋2，消去y ，得x 2－4x －8＝0.则Δ＝16－4×(－8)＝48＞0恒成立．设l 与抛物线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＜x 2. ∴x 1＝2－23，x 2＝2＋2 3. 则|x 2－x 1|＝4 3.∴S △AOB ＝12·|OD |·|x 2－x 1|＝12×2×43＝4 3.(2)依题意，直线l 的方程为y ＝x ＋a4.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a 4，x 2＝ay ，⇒x 2－ax －a 24＝0，∵Δ＞0，设直线l 与抛物线交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－a 24.又已知OA →·OB →＝－3，即x 1x 2＋y 1y 2＝－3，∴x 1x 2＋(x 1＋a 4)(x 2＋a4)＝－3，∴2x 1x 2＋a 4(x 1＋x 2)＋a 216＝－3， ∵a ＞0，∴a ＝4.∴所求抛物线方程为x 2＝4y .(教师用书独具)已知抛物线y 2＝2x ，(1)设点A 的坐标为(23，0)，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．【解】 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|PA |2＝(x －23)2＋y 2＝(x －23)2＋2x＝(x ＋13)2＋13.∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增， ∴当x ＝0时，|PA |min ＝23，距点A 最近的点的坐标为(0,0)．(2)法一设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为 d ＝|x 0－y 0＋3|2＝|y 22－y 0＋3|2＝y 0－2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524，∴点P 的坐标为(12，1)．法二设与直线x －y ＋3＝0平行的抛物线的切线为x －y ＋t ＝0，与y 2＝2x 联立，消去x 得y 2－2y ＋2t ＝0，由Δ＝0得t ＝12，此时y ＝1，x ＝12，∴点P 坐标为(12，1)，两平行线间的距离就是点P 到直线的最小距离，即d min ＝524.已知抛物线y 2＝4x 与直线x ＋y －2＝0的交点为A 、B ，抛物线的顶点为O ，在AOB 上求一点C ，使△ABC 的面积最大，并求出这个最大面积．【解】设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为x ＋y －b ＝0，将它与抛物线方程y 2＝4x 联立，消去x 得方程y 2＝4(b －y )，即y 2＋4y －4b ＝0.由Δ＝42－4(－4b )＝0得b ＝－1，故切线为x ＋y ＋1＝0. 求得切点C (1，－2)．因直线x ＋y ＋1＝0与x ＋y －2＝0的距离d ＝|1＋2|2＝322.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y 2＝4x ，解得交点坐标为A (4＋23，－2－23)、B (4－23，－2＋23)． ∴|AB |＝4 6.于是S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×46×322＝6 3.所以当C 点为(1，－2)时，S△ABC的最大值为6 3.。

高中数学第2章2.32.3.2抛物线的简单几何性质教师用书教案新人教A版选修1

2.3.2 抛物线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)1.借助直线与抛物线的位置关系，培养学生的直观想象和数学运算的素养.2.借助抛物线的几何性质解题，提升逻辑推理的素养.1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形性质焦点⎝⎛⎭⎫p2，0⎝⎛⎭⎫－p2，0⎝⎛⎭⎫0，p2⎝⎛⎭⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R性质对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝x1＋x2＋p.3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋b，y2＝2px解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4xC [由准线方程为x ＝－2，可知抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且p ＝4，所以抛物线的方程为y 2＝2px ＝8x .]2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4B [|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]3．直线y ＝2x －1与抛物线x 2＝12y 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2＝12y ，得2x 2－2x ＋1＝0，即Δ＝4－8<0， ∴y ＝2x －1与x 2＝12y 无交点，故选C ．]抛物线的几何性质求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．[解] 当焦点在x 轴的正半轴上时，设方程为y 2＝2px (p >0)．当x ＝p2时，y ＝±p ，由|AB |＝2p ＝8，得p ＝4.故抛物线方程为y 2＝8x ，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2. 当焦点在x 轴的负半轴上时，设方程y 2＝－2px (p >0)．由对称性知抛物线方程为y 2＝－8x ，焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2.抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，为p 2.[跟进训练]1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33x C ．y 2＝±36xD ．y 2＝±33xC [设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．又A ⎝⎛⎭⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .故选C ．]抛物线的焦点弦问题(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．[思路点拨] (1)设出l 的方程，与抛物线联立，消去y 得关于x 的一元二次方程，利用|AB |＝x A ＋x B ＋p 求解．(2)由代数法或几何法求解．[解] (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎫32，0.所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝5＋3＝8.(2)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.法二：如图，作AC ⊥l ，BD ⊥l ，ME ⊥l ，易知|ME |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝12×9＝92.1．已知AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2 θ(θ为直线AB 的倾斜角)； (3)S △ABO ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)；(4)1|AF |＋1|BF |＝2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p .[跟进训练]2．过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且A ，B 两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C 的方程．[解] 由于抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，故可设直线AB 的方程为x ＝my ＋p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2， ∴－p 2＝－4. 由p >0，可得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .直线与抛物线的位置关系1．过点(1,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个公共点的直线有几条？提示：两条，如图．2．借助直线与抛物线的方程组成的方程组解的个数能否说明直线与抛物线的位置关系？提示：不一定．当有两解或无解时，可以说明两者的关系，但只有一解时，需分清相交还是相切．【例3】已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有：(1)一个公共点？ (2)两个公共点？(3)没有公共点？ [思路点拨]联立方程组――→消元关于x 的方程――――――――――――→讨论x 最高项的系数再分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三类求解[解] 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离．综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点．直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k 2x 2＋(2kb －2p )x ＋b 2＝0.(1)若k 2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．(2)若k 2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．[跟进训练]3．求过定点P (0,1)，且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． [解] 如图所示，若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，设为k ，则过P 的直线方程为y ＝kx ＋1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0，当k ＝0时，得x ＝12，y ＝1.故直线y ＝1与抛物线相交，只有一个公共点．当k ≠0时，由直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，∴k ＝12，此时直线y ＝12x ＋1与抛物线相切，只有一个公共点．∴y ＝1或y ＝12x ＋1为所求的直线方程．故所求的直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ>0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ<0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．1．判断正误(1)在抛物线y 2＝2px (p >0)中，p 值越大，抛物线的开口越开阔，p 值越小，开口越扁狭．( ) (2)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形． ( ) (3)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上． ( ) (4)直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切． ( ) (5)直线与抛物线相交时，直线与抛物线不一定有两个公共点． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√2．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．18A [线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.]3.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝3xB ．y 2＝9xC ．y 2＝32xD ．y 2＝92xA [过A 、B 作l 的垂线，分别交l 于A 1、B 1点．因为|BB 1|＝|BF |，|BC |＝2|BF |，所以∠B 1BC ＝60°，所以∠A 1AF ＝60°，又因为|AA 1|＝|AF |，所以|A 1F |＝3，所以|O 1F |＝32＝p ，所以抛物线的方程为y 2＝3x .]4．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点的距离为6.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．[解] (1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p2，因为P (4，m )到焦点的距离等于P 到其准线的距离，所以4＋p2＝6，所以p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，消去y ，得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0.因为直线y ＝kx －2与抛物线相交于不同的两点A ，B ，则有k ≠0，Δ＝64(k ＋1)>0，解得k >－1且k ≠0. 又x 1＋x 22＝2k ＋4k2＝2，解得k ＝2或k ＝－1(舍去)，所以k 的值为2.。

抛物线的简单几何性质(第1课时)高中数学获奖教案

2.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；3.对通径、焦半径公式进行初步探索；4.进一步理解数形结合的思想方法在解析几何中的应用。

二、教学重难点1.教学重点：抛物线的简单几何性质、利用抛物线的几何性质求方程、对通径与焦半径公式的初步探究。

2.教学难点：利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究。

三、教学过程1.利用数形结合的思想探究抛物线的简单几何性质1.1 知识回顾，温故知新【学生活动】学生完成学案内容，对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习。

【设计意图】之前学过椭圆、双曲线的几何性质，都是通过图形和方程两方面进行研究的，因此引导学生对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习，有利于对抛物线性质的进一步探索。

1.2 数形结合，类比探究问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。

我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。

【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法研究抛物线的几何性质进行铺垫。

问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？【预设答案】在方程中，并无限制，因此。

而因为，且，所以。

【设计意图】让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。

问题4：观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？【预设答案】学生观察图形容易得到开口向右的抛物线关于轴对称，没有对称中心。

人教A版高中数学选修1-1 2.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)教学设计

课题：2.3.2抛物线的简单几何性质（第1课时）教学目标：知识和技能目标：理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．过程与方法目标：能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论情感态度与价值观目标：培养合作学习的意识，通过对抛物线几何性质的讨论体会成功，注意数与形的结合与转化的喜悦。

教学重点、难点重点：能够推导抛物线的性质并掌握抛物线性质的应用难点：利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程及解决其它问题教学模式：启发探究式教学辅助手段：多媒体辅助教学教学过程（一）、提出问题我们已经学习了椭圆及双曲线的几何性质，请同学们回忆一下，是从哪几个方向研究的？（二）、新课教学探究：类比椭圆、双曲线几何性质，探究抛物线的几何性质以y2=2px（p>0）为例推导抛物线的简单几何性质，其余3种情况由学生推导（三）、思考交流1、抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的几何性质有什么区别？2、椭圆的圆扁程度，双曲线的张口大小用离心率e来刻画，那么抛物线的开口大小由什么决定？（在同一坐标系中画出抛物线比较开口）（四）、基本例题分析例1、已知抛物线以x轴为对称轴，顶点是坐标原点，并且经过点M（2,-22），求抛物线的准线方程。

变式1：已知顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点M（2,-22），求抛物线方程。

规律方法：从方程形式上看，求抛物线标准方程只需确定一个待定系数p ，但在实际问题中要根据草图对开口方向和p 进行讨论。

例2、已知抛物线y 2=4x ，过焦点F 且垂直于对称轴的直线交抛物线于A 、B 两点，求AB 。

补充说明2p 的几何意义：2p 是通径的长度变式1：斜率为1的直线l 经过抛物线x y 42=的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长。

结论：直线l 经过抛物线px y 22=（0>p ）的焦点交抛物线于A （11,y x ）、B ()22,y x 两点，则线段AB 的长度为（用含p x x ,,21的式子表达）。

【数学】2.3.2 抛物线的简单几何性质课件1(人教A版选修1-1)

解法3
F1(1 , 0), l的方程为：y x 1
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
⇒x1 +x2 = 6, x1x2 =1
|AB |= |AF|+ |BF |
= |AA1 |+ |BB1 |
y
6
A1
5
4
A
3
2
1
=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8
x
x2 = 2py （p＞0） y
F
x2 = -2py （p＞0） y
x
l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
x
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称
顶点
离心率
（0,0） e=1
（标准方程中2p的几何意义）补充（1）通径：
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
x1 3 2 2 x2 3 2 2 或 y1 2 2 2 y2 2 2 2
2 2 AB = (x1 -x2 ) +(y1 -y2 ) = 8
解法2
x y
0 0.25 1 2.25 4 0 1 2 3 4
6.25 … 5 …
o
描点及连线：
思考:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点 M(2， 2 2 )的抛物线有几条?求出它们的标准方程. 解：因为抛物线关于对称轴对称，它的顶点在原点，

【新教材精创】3.3.2 抛物线的简单几何性质(1) 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质（1）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习抛物线的简单几何性质《抛物线的简单几何性质》是人教A 版选修2-1第二章第四节的内容。

本节课是在是在学习了椭圆、双曲线的几何性质的基础上，通过类比学习抛物线的简单几何性质。

抛物线是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。

坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学.重点：抛物线的简单几何性质及其应用难点：直线与抛物线位置关系的判断多媒体O(0,0)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋1x －1，y 2＝ax 只有一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，即(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0 ①.(ⅰ)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(ⅱ)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程．令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－45.所以原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45.三、达标检测1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18A [线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.]2．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )A ．(42，±2)B ．(±42，2)C ．(±2,42)D ．(2，±42)D [抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝16x ，x 2＋y 2＝x －42＋y 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2.所以符合题意的点为(2，±42)．]3．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是________．158 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14. ∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158.]4. 已知抛物线y 2=8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x 的范围; (2)以坐标原点O 为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB ,|OA|=|OB|,若焦点F 是△OAB 的重心,求△OAB 的周长. 解:(1)抛物线y 2=8x 的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x 的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x 轴,x ≥0.(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知AB ⊥x 轴,垂足为点M , 又焦点F 是△OAB 的重心,则|OF|=23 |OM|. 因为F (2,0),所以|OM|=32 |OF|=3,所以M (3,0).故设A (3,m ),代入y 2=8x 得m 2=24, 所以m=2√6或m=-2√6 ,所以A (3,2√6 ),B (3,-2√6 ),所以|OA|=|OB|=√33 ,所以△OAB 的周长为2√33+4√6.5．已知点P (1，m )是抛物线C ：y 2＝2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF |＝2，直线l ：y ＝k (x －1)与抛物线C 相交于不同的两点A ，B . (1)求抛物线C 的方程； (2)若|AB |＝8，求k 的值．[解] (1)抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，由|PF |＝2得：1＋p2＝2，得p ＝2.所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16＞0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.∵直线l 经过抛物线C 的焦点F ， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，解得k ＝±1，所以k 的值为1或－1.五、课时练学生已熟悉和掌握椭圆和双曲线的几何性质，有亲历体验、发现和探究的兴趣；具有一定的动手操作和逻辑推理的能力；有分组讨论、合作交流的习惯。

人教版数学高二年级《抛物线的简单几何性质(一)》教学设计[1]

人教版数学高二年级《抛物线的简单几何性质(一)》教学设计[1]抛物线的简单几何性质教学目标:掌握抛物线的几何性质，能够根据抛物线的几何性质画出和抛出目标线图，并利用抛物线的几何性质解决相关问题教学重点:抛物线的几何性质教学过程:1。

点评:1。

抛物线和四个标准方程的定义:2。

抛物线焦点弦的性质:设置通过焦点F和抛物线y2的直线(x2，y2)，然后①x1x2？p2？2px？p？0？相交于a (x1，y1)，b4。

②y1y2？？p2；③路径长度为2P；④焦点弦长|AB|=x1+x2+p2.新奖项:1。

抛物线y2？2px？p？0？几何性质:1)范围:x≥0，y轴右侧抛物线；当x的值增加时，|y|也增加，抛物线无限延伸到右上角和右下角。

2)对称性:抛物线y2？2px？p？0？关于x轴对称性抛物线的对称轴称为抛物线轴3)顶点:抛物线与其轴的交点称为抛物线的顶点抛物线y2？2px？p？0？的顶点是坐标的原点。

4)偏心率:抛物线上的点m和焦点之间的距离与其到准线的距离之比称为抛物线的偏心率表示为e根据抛物线的定义，e=1其他三个标准方程的抛物线的几何性质可以类似地得到:标准方程图顶点的对称轴y？2px2焦线偏心率？p？0？(0，0) x轴(p2，0p) x？？p2p e？1 e？1 e？1 e？1 y？？2pxx？2分钟？？2py222？p？0？？p？0？？p？0？(0，0) x轴(？(0，0 0) y轴2，0) x？y。

？y。

22p2 (0，)，2p2pp (0，0) y轴(0，？)2。

示例:案例1。

众所周知，抛物线是关于X轴对称的，它的顶点在坐标原点，并通过点M(2？解决方案2:略例2。

探照灯反射镜的轴向截面是抛物线的一部分。

光源位于抛物线的焦点处。

已知灯开口圆的直径为60厘米，灯深度为40厘米。

求解抛物线的标准方程和焦点位置。

解决方案:略3。

做练习:第122页的问题1和2。

概要:抛物线的几何性质2)，找到它的标准方程，并用描点的方法画一个图。

高二数学选修2-1课件抛物线的简单几何性质1新人教A版1.ppt

B
由xy2k4xy b消去y,得x2 4kx 4b 0.
A
o
x
x1 x2 4k, x1x2 4b. 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 4
化简得b
1 1 k2
k2.
②显然点M到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，由y 0,故| y | y.
2k b y y1 y2 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2
归纳方法：
1.联立方程组，并化为关于x或y的一元方程； 2.考察二次项的系数是否为0，
①若为0，则直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线有且仅有一个交点；
②若不为0，则进入下一步. 3.考察判别式 ⊿<0 直线与抛物线相离.
⊿=0 直线与抛物线相切；
⊿>0 直线与抛物线相交；
例4.已知抛物线：y2=4x,直线l:2x–y+4=0, 求抛物线上的点P到直线l的最短距离.
法1：利用点到直线距离公式
法2：平移至相切
y
75 10
OF
x
l l1
例5.已知正方形ABCD的一边CD在直
线yAB=CDx+4上,顶点A 、B在抛物线y2=x
上，CD 求正方形的边长. y x4
A 、B y2 x
3 2, or5 2
练习 1.已知ΔABC的三个顶点都在抛物线y2 = 32x上，顶点A(2,8),三角形的重心恰好是抛物线的焦点，求BC
1、抛物线的几何性质： y2 = 2px（p>0）
（1）范围：x≥0,y∈R.
y
l
（2）对称性：
抛物线关于x轴对称. 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
OF
x
3、抛物线的几何性质: y2 = 2px（p>0）

2024-2025学年高中数学3.3.2抛物线的简单几何性质教案新人教A版选择性必修第一册

b. 学生对抛物线几何性质的理解，是否能够准确描述和运用。
c. 学生解决实际问题时，是否能够将问题抽象为抛物线模型，并正确运用所学知识。
2. 针对存在的问题，给出以下改进建议：
a. 对于标准方程掌握不足的学生，建议加强基础知识的复习，特别是椭圆、双曲线与抛物线之间的联系。
b. 对于几何性质理解不深的学生，建议通过绘制图像、实际操作等方式，加强直观认识。
c. 对于实际问题解决能力不足的学生，建议多参与小组讨论、实验活动等，提高将理论知识应用于实际的能力。
3. 定期对学生的作业情况进行总结，及时调整教学方法，以提高教学效果：
a. 根据作业完成情况，调整课堂教学的节奏和深度，确保学生能够跟上教学进度。
b. 对于普遍存在的问题，可以在课堂上进行集中讲解，帮助学生克服难点。
2024-2025学年高中数学 3.3.2 抛物线的简单几何性质教案新人教A版选择性必修第一册
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教学内容
2024-2025学年高中数学 3.3.2 抛物线的简单几何性质教案，本节内容选自新人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线3.3抛物线部分。具体内容包括：
情感升华：
结合抛物线内容，引导学生思考数学与生活的联系，培养学生的社会责任感。鼓励学生分享学习抛物线的心得和体会，增进师生之间的情感交流。
（六）课堂小结（预计用时：2分钟）
简要回顾本节课学习的抛物线简单几何性质，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的抛物线内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
4. 数学运算：在解决抛物线相关问题时，培养学生熟练运用数学公式和运算方法，提高数学运算能力。

高中数学人教A版选修1-1第2章2.3.2抛物线的几何性质1教学设计

2.3.2 抛物线的简单几何性质1【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。

【教学目标】：（1）知识与技能：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。

（2）过程与方法：重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。

（3）情感、态度与价值观：培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。

【教学重点】：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。

【教学难点】：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质及其应用。

【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：三、例题讲解例1 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点A（4,23），求这条抛物线的准线方程。

解：⑴若抛物线开口向右，设抛物线的标准方程为22(0)y px p=>∵()22324p=∴32p=∴抛物线的标准方程为34x=-⑵若抛物线开口向上，设抛物线的标准方程为22(0)x py p=>∵24223p=∴433p=∴抛物线的标准方程为233y=-例2 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处。

已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点距离是多少？让学生运用抛物线的几何性质，写出符合条件的抛物线的准线方程。

三、例题讲解分析：依标准方程特点和几何性质建系，由待定系数法求解，强调方程的完备性。

解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．抛物线的标准方程为22(0)y px p=>，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：230240p=，254p=所以所求抛物线的标准方程为2452y=，焦点坐标是.例3 过抛物线pxy22=的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜运用抛物线的几何性质解决现实生活中的问题，提高学生学习数学的兴趣和综合解题能力。

人教A版高中数学选修高二新课程抛物线的简单几何性质教案新(1)

1、抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点到焦点的距离是6，则抛物线的方程为___________
2、抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标为___________
3、求抛物线上的点到到直线的距离的最小值，并求取得最小值时抛物线上点的坐标.
4、经过抛物线的焦点且和抛物线的对称轴成的直线交两点，求的值
潮阳市西元中学数学科教案
上课时间
第周星期第节
课型
课题
2.3.2 抛物线的简单几何性质（二）
教学目的
通过本节的学习,掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解பைடு நூலகம்与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.
教学设想
教学重点：能运用性质解决与抛物线有关的问题.
教学难点：数形结合的思想在解决有关抛物线问题中的应用.
5、作业：教材P70 B组第1题.
（教师讲思路→学生板演→小结方法）
② 练习：过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程.
③出示例2：过抛物线的顶点做互相垂直的二弦 .
（1）、求中点的轨迹方程（2）证明：与轴的交点为定点
④ 练习：求过点，且与抛物线有一个公共点的直线方程）
3、小结：直线与抛物线的位置关系.
教
学
过
程
三、巩固练习：
教
学
过
程
1、提问：回顾抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系.
2、已知抛物线的焦点是 ,准线是 ,求它的标准方程.
二、讲授新课：
1、教学直线与抛物线的位置关系
设直线 ,抛物线 ,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组解的个数,也等价于方程解的个数
1当时,
当时,直线和抛物线相交,有两个公共点;

人教版数学高二年级《抛物线的简单几何性质(一)》教学设计[1]

第十五节：抛物线的简单几何性质（一）教学目标：掌握抛物线的几何性质、能根据抛物线的几何性质画出抛物线图形，能利用抛物线的几何性质解决有关问题。

教学重点：抛物线的几何性质。

教学过程：一、复习：1、抛物线的定义及四个标准方程：2、抛物线焦点弦的性质：设直线过焦点F 与抛物线()022>=p pxy 相交于A（x 1,y 1）,B （x 2,y 2）两点，则：①4221px x =；②221p y y -=；③通径长为2p ；④焦点弦长|AB|=x 1+x 2+p 。

二、新授：1．抛物线()022>=p pxy 的几何性质：1) 范围：x ≥0，抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，抛物线向右上方和右下方无限延伸。

2) 对称性：抛物线()022>=p pxy 关于x 轴对称。

抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。

3) 顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。

抛物线()022>=p pxy 的顶点是坐标原点。

4) 离心率：抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。

用e 表示。

由抛物线的定义可知，e =1。

其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得：2.举例：例1、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（2，2），求2它的标准方程，并用描点法画出图形。

解：略例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置。

解：略三、做练习：第122页第1、2题四、小结：抛物线的几何性质。

五、布置作业：习题8.6第1、2、3题。

抛物线的简单几何性质(教学设计)高二数学 (人教A版2019选择性必修第一册)

3.3.2 抛物线的简单几何性质教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第三章《圆锥曲线的方程》的第三节《抛物线》。

以下是本节的课时安排：学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。

本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。

1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养．2.能利用性质解决与抛物线有关的问题．3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养.重点：抛物线的标准方程及其推导过程难点：求抛物线标准方程（一）新知导入已知抛物线y2＝8x，其轨迹如图所示．(1)观察抛物线y2＝8x轨迹可知其上的点的坐标的范围是怎样的？(2)观察抛物线y2＝8x的轨迹有什么对称性？【提示】(1)抛物线上的点的横坐标x≥0，纵坐标y∈R.(2)关于x轴对称．（二）抛物线的几何性质知识点一抛物线的几何性质◆抛物线的几何性质向右向左向上向下【点睛】1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一;次项系数的绝对值的14(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.【思考】怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?【提示】开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.【做一做1】(教材P134例3改编)已知抛物线关于y轴对称，顶点在原点，且经过点P(23，－2 )，则抛物线的标准方程是()A．y2＝－6x B．x2＝－4yC．x2＝－6y D．x2＝6y解析：由题意，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．23，－2在抛物线上，所以12＝4p，解得p＝3.因为点P()∴抛物线的标准方程为x2＝－6y.答案：C知识点二抛物线的焦点弦长【探究2】斜率为k 的直线l 经过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，你能想到哪些求弦长|AB |的方法？【提示】法一：利用两点间的距离公式；法二：利用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|；法三：|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ◆焦点弦直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p .【做一做2】过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：B（三）典型例题1.利用抛物线的几何性质求标准方程例1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．[分析] 因为圆和抛物线都关于x 轴对称，所以它们的交点也关于x 轴对称，即公共弦被x 轴垂直平分，于是由弦长等于23，可知交点纵坐标为± 3.[解析] 如图，设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝2 3. 由对称性知y 2＝－y 1，∴y 1＝ 3. 将y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1，∴点(1，3)，(－1，3)分别在抛物线y 2＝2px ，y 2＝－2px 上．∴3＝2p 或3＝(－2p )×(－1)，p ＝32.故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .【类题通法】根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．【巩固练习1】1.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[解析] 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3， ∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ，其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3.2.已知A 、B 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |＝|OB |，且△ABO 的垂心恰是此抛物线的焦点F ，求直线AB 的方程．[解析] 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ∵抛物线关于x 轴对称，|OA |＝|OB |，∴△ABO 为等腰三角形． ∴A 、B 两点关于x 轴对称．设A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，∵△ABO 的垂心恰为抛物线的焦点，∴BF ⊥OA . 则k BF ·k OA ＝－1，即－y 0－0x 0－p 2·y 0x 0＝－1.又∵y 20＝2px 0，∴x 0＝52p .∴直线AB 的方程为x ＝5p2. 2.直线与抛物线的位置关系例2.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点F 的距离为5.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 与直线y ＝x －4相交于不同的两点A 、B ，求证：OA ⊥OB .[分析] (1)可转化为点P 到准线的距离． (2)OA ⊥OB ⇔OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. [解析] (1)解：由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p2，∵P (4，m )到焦点的距离等于P 到其准线的距离， ∴4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0，Δ>0，∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A 、B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16， ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16 ＝16＋16－4×12＋16＝0， ∴OA→⊥OB →，即OA ⊥OB . 轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y .【类题通法】将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．【巩固练习2】1.(多选题)过点(－2,1)作直线l ，与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则下列直线l 的方程满足条件的是( )A ．y ＝1B ．x ＋2y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －2y ＋4＝0解析：由题意知直线l 的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 的方程为y ＝1.当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．当Δ＝0时，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l 与抛物线只有一个公共点．此时直线l 的方程为y －1＝－1(x ＋2)或y －1＝12(x ＋2) 即x ＋y ＋1＝0或x －2y ＋4＝0. 答案：ACD2.已知A ，B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被M (2,1)所平分．(1)求抛物线E 的方程； (2)求直线AB 的方程．[解析] (1)由于抛物线的焦点为(1,0)，∴p2＝1，p ＝2，所求抛物线方程为y 2＝4x .(2)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，由②－①得(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝4(x 2－x 1)， ∴y 2－y 1x 2－x 1＝2，所以所求直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.法二：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －2)，k ≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －2)，y 2＝4x ，消去x 整理得ky 2－4y －8k ＋4＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，又M 点是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2，故直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.3. 抛物线的焦点弦例3.抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．[解析] 如图，依题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2，即x 1＋x 2＋p ＝8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎨⎧ y ＝－x ＋12p y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，将其代入①得p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x .∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .【类题通法】1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交所截得的弦叫作抛物线的焦点弦．2．对于抛物线的焦点弦，利用抛物线的定义，结合平面几何知识可以得出抛物线焦点弦的许多性质，应用起来非常方便．如图，已知线段AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点，过A ，B 两点分别作准线l 的垂线AC ，BD ，垂足分别为点C ，D ，点M 为线段AB 的中点，点M ′为线段CD 的中点．(1)几何性质①以过焦点F 的弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切于点M ′，∠AM ′B＝90°；②以线段CD 为直径的圆与弦AB 相切于点F ，∠CFD ＝90°；③通径(过抛物线的焦点且与轴垂直的弦)是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦．(2)代数性质①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)；③1|FA |＋1|FB |＝2p (定值)．【巩固练习3】如图，斜率为43的直线l 经过抛物线y 2＝2px 的焦点F (1,0)，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；(2)求线段AB 的长．[解析] (1)由焦点F (1,0)，得p 2＝1，解得p ＝2.所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．直线l 的方程为y ＝43(x －1)．与抛物线方程联立，得⎩⎨⎧ y ＝43(x －1)y 2＝4x ，消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝174＋2＝254.所以，线段AB 的长为254.（四）操作演练素养提升1.顶点在原点，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x2．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33xC．y2＝±36x D．y2＝±33x3．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．213 B．215C．217 D．2194．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝________.答案：1.C 2.C 3.B 4. 8【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

高二数学 抛物线的简单几何性质(1)教学案 新人教A版

高二数学最新教案-抛物线的简单几何性质(一) 精品

【高中数学】3.3.2 抛物线的简单几何性质高二数学新教材配套学案(人教A版选择性必修第一册)

3.3.2抛物线的简单几何性质(一)课件高二上学期数学人教A版选择性

高中数学抛物线和简单几何性质教案新人教A版选修1-1

(教师用书)高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质教案 新人教A版选修1-1

高中数学第2章2.32.3.2抛物线的简单几何性质教师用书教案新人教A版选修1

抛物线的简单几何性质(第1课时)高中数学获奖教案

人教A版高中数学选修1-1 2.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)教学设计

【数学】2.3.2 抛物线的简单几何性质 课件1(人教A版选修1-1)

【新教材精创】3.3.2 抛物线的简单几何性质(1) 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册

人教版数学高二年级《抛物线的简单几何性质(一)》教学设计[1]

高二数学选修2-1课件抛物线的简单几何性质1新人教A版1.ppt

2024-2025学年高中数学3.3.2抛物线的简单几何性质教案新人教A版选择性必修第一册

高中数学人教A版选修1-1第2章2.3.2抛物线的几何性质1教学设计

人教A版高中数学选修高二新课程抛物线的简单几何性质教案新(1)

人教版数学高二年级《抛物线的简单几何性质(一)》教学设计[1]

抛物线的简单几何性质(教学设计)高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)

高二数学抛物线的简单几何性质(1)教学案新人教A版

(教师用书)高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质教案新人教A版选修1-1

【数学】2.3.2 抛物线的简单几何性质课件1(人教A版选修1-1)

抛物线的简单几何性质(教学设计)高二数学 (人教A版2019选择性必修第一册)