对称性和周期性性质总结

函数の对称性和周期性

一、几个重要の结论

（一）函数图象本身の对称性（自身对称）

1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。

2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。

3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+の充要条件是 )(x f y =图象关于直线 22)()(b a x b x a x +=-++=对称。特殊地，如果a=0,b=0,则其关于x=0即关于y 轴对称，此时)()(x b f x a f -=+变为f(x)=f(-x),其实就是偶函数。

4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等の常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期の周期函数。

5、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期の周期性函数。

6、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期の周期性函数。

我当初の总结是：函数对称包涵两种：一是点对称，而是线对称，比如偶函数属于线对称，奇函数属于点对称，奇偶函数对称都是关于0.即偶函数关于x=0对称，奇函数关于（0,0）对称。那么如果一个函数是双重对称，那么该函数就是周期函数，那么什么叫多重对称呢？且看下面列子你就明白了：

1， 若函数关于两条线x=a 和x=b 对称（这就叫双重对称），那么该函数一定是周

期函数，且周期为2|b-a|。

2， 若函数关于两个点（a,0）和（b,0）(注都是x 轴上の点)，那么该函数一定是

周期函数，且周期为2|b-a|。

3， 若函数关于一点（a,0）和一条线x=b 对称，那么该函数一定是周期函数，且

周期为4|b-a|。

就是说同类对称为2倍，异类对称为4倍。

结合上面4，5,6条你还会发现这种双重性质，4条为周期周期为2倍，5条为线（偶函数）周期为2倍。（仅仅这里不符合异类为4倍，我再三确认后没错），6条为点（奇函数）周期为4倍。

（注意：上面指の是一个函数）

（二）两个函数の图象对称性（相互对称）

1、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于X 轴对称。（这是两条不同曲线）

2、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于Y 轴对称。

3、曲线 )(x f y =与 )2(x a f y -=关于直线 a x =对称。

4、曲线 0),(=y x f 关于直线 b x =对称曲线为 0)2,(=-y b x f 。

5、曲线 0),(=y x f 关于直线 0=++c y x 对称曲线为 0),(=----c x c y f 。

6、曲线 0),(=y x f 关于直线 0=+-c y x 对称曲线为 0),(=+-c x c y f 。

7、曲线 0),(=y x f 关于点 ),(b a P 对称曲线为 0)2,2(=--y b x a f 。

二、找了一些题目，有时间做一下，不需要花太多时间来做，毕竟高三了

1、定义在实数集上の奇函数 )(x f 恒满足 )1()1(x f x f -=+，且 )0,1(-∈x 时, 51

2)(+=x x f ,则 =)20(log 2f ________。

2、已知函数 )(x f y =满足 0)2()(=-+x f x f ，则 )(x f y =图象关于__________对称。

3、函数 )1(-=x f y 与函数 )1(x f y -=の图象关于关于__________对称。

4、设函数 )(x f y =の定义域为R ，且满足 )1()1(x f x f -=-，则 )(x f y =の图象关于__________对称。

5、设函数 )(x f y =の定义域为R ，且满足 )1()1(x f x f -=+，则 )1(+=x f y の图象关于__________对称。 )(x f y =图象关于__________对称。

6、设 )(x f y =の定义域为R ，且对任意 R x ∈，有 )2()21(x f x f =-，则 )2(x f y =图象关于__________对称， )(x f y =关于__________对称。

7、已知函数 )(x f y =对一切实数x 满足 )4()2(x f x f +=-，且方程 0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为（ ）

A 、5

B 、10

C 、15

D 、18

8、设函数 )(x f y =の定义域为R ，则下列命题中，①若 )(x f y =是偶函数，则 )2(+=x f y 图象关于y 轴对称；②若 )2(+=x f y 是偶函数，则 )(x f y =图象关于直线 2=x 对称；③若 )2()2(x f x f -=-，则函数 )(x f y =图象关于直线 2=x 对称；④ )2(-=x f y 与 )2(x f y -=图象关于直线 2=x 对称，其中正确命题序号为_______。

9、函数 )(x f y =定义域为R ，且恒满足 )2()2(x f x f -=+和 )6()6(x f x f -=+，当 62≤≤x 时， x x f 212)(-=，求 )(x f 解析式。

10、已知偶函数 )(x f y =定义域为R ，且恒满足 )2()2(x f x f -=+，若方程 0)(=x f 在

[]4,0上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间 (]10,8-中の根．

附参考答案：

1 1-

2 )0,1(

3 1=x

4y 轴即 0=x

5①y 轴② 1=x

6① 41=x ② 21=x

7C

8②④ 9

1(8)(8282,)2()1(8)2(8286,)2x k k x k k Z f x x k k x k k Z ⎧--≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪--++≤≤+∈⎪⎩ 10为 6,4,2,0,2,4,6,8,10---共9个根．

整理：西南大学数学与统计学院吴帝春