勾股定理全章分类练习题及答案
八年级数学上册 勾股定理 章节综合复习练习(附答案)
勾股定理章节综合复习练习
一、探索勾股定理
【知识点1】勾股定理
定理内容：在RT△中，
勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角
典型题型
1、对勾股定理的理解
（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（）
A、c²- a²=b²
B、c²- b²=a²
C、a²- c²=b²
D、a²+b²= c²
（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）
A、BC²- AB²=AC²
B、BC²- AC²=AB²
C、AB²+AC²= BC²
D、AC²+BC²= AB²
2、应用勾股定理求边长
（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.
（4）在直角△中，若两直角边长为a、b
，且满足
，则该直角三角形的斜边长为．
3、利用勾股定理求面积
（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。
（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为。（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=,y=。
（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（）
A、6
B、8
C、10
D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S
12
、、
S S S S S S
341234
、，则+++=_____________。
【知识点2】勾股定理的验证
新人教版数学八年级勾股定理练习题及答案(共6套)
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新人教版数学八年级第十七章<勾股定理>
勾股定理课时练（1）
1.在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2
2
2AC
BC+
+的值是（ A ）
A.2
B.4
C.6
D.8
2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）.
3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__13_____．
4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？
解：∵
5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.
6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?
7.如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.
8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长.
9.如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长.
10.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
勾股定理练习题及答案
勾股定理练习题及答案
问题一：
已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
解答一：
根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和。设斜边的长度为c，则有：
c^2 = 3^2 + 4^2
c^2 = 9 + 16
c^2 = 25
取平方根得到c = 5cm。
所以，斜边的长度为5cm。
问题二：
已知直角三角形的斜边长度为10cm，一条直角边的长度为6cm，求另一条直角边的长度。
解答二：
设另一条直角边的长度为a。根据勾股定理，可得：
a^2 + 6^2 = 10^2
a^2 + 36 = 100
a^2 = 100 - 36
a^2 = 64
取平方根得到a = 8cm。
所以，另一条直角边的长度为8cm。
问题三：
已知直角三角形的一条直角边的长度为5cm，另一条直角边的长度为12cm，求斜边的长度。
解答三：
设斜边的长度为c。根据勾股定理，可得：
c^2 = 5^2 + 12^2
c^2 = 25 + 144
c^2 = 169
取平方根得到c = 13cm。
所以，斜边的长度为13cm。
问题四：
已知直角三角形的斜边长度为15cm，一条直角边的长度为9cm，求另一条直角边的长度。
解答四：
设另一条直角边的长度为a。根据勾股定理，可得：
a^2 + 9^2 = 15^2
a^2 + 81 = 225
a^2 = 225 - 81
a^2 = 144
取平方根得到a = 12cm。
所以，另一条直角边的长度为12cm。
问题五：
已知直角三角形的一条直角边的长度为7cm，另一条直角边的长度为24cm，求斜边的长度。
解答五：
人教版数学八年级下册：勾股定理练习题及答案(共6套)
新人教版数学八年级第十七章<勾股定理>
勾股定理课时练（1）
1.在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2
2
2AC
BC+
+的值是（）
A.2
B.4
C.6
D.8
2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）.
3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？
5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.
6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?
7.如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长.
9.如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长.
10.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
勾股定理经典例题
勾股定理全章类题总结
类型一：等面积法求高
【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，
C D ⊥AB 于D 。
（1） 求AB 的长； （2）求CD 的长。
类型二：面积问题
【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,
则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2
。
【练习1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。 （2）求∠ADC 的度数。
【练习2】如图，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥BE ，且AE =3，BE =4，阴影部
分的面积是______.
【练习3】如图字母B 所代表的正方形的面积是( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 类型三：距离最短问题
【例题】 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，
铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择
水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费
用是多少？
【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，
沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．
【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理全章知识点归纳及典型题分类
C
A B
D
勾股定理全章知识点归纳及典型题分类
一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2
）
要点诠释：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在
ABC 中，90C ，
则2
2
c a
b ，
2
2
b
c
a ，2
2
a
c
b ）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系
a 2
+b 2
＝c 2
，那么这个三角形是直角
三角形。要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；
（2）验证c 2
与a 2
+b 2
是否具有相等关系，若c 2
＝a 2
+b 2
，则△ABC 是以∠Ｃ为直
角的直角三角形
（若c 2
>a 2
+b 2，则△ABC 是以∠Ｃ为钝角的钝角三角形；若c 2
+b 2
，则△ABC
为锐角三角形）。
（定理中a ，b ，c 及2
2
2
a b c 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如
若三角形三边长a ，b ，c 满足222
a c
b ，那么以a ，b ，
c 为三边的三角形是直角三角形，但是
b 为斜边）
3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4：互逆命题的概念
(完整版)最新人教版第十七章勾股定理整理练习题及详细解析答案
题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．
（1）知6AC =，8BC =．求AB 的长。 （2）已知17AB =，15AC =，求BC 的长。 题型二：应用勾股定理建立方程
例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝__________ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为___________ ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为_______________
例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长
2
1E
D
C
B
A
例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
题型三：实际问题中应用勾股定理
例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m
A
B
C
D E
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为直角三角形。
① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，2
3
c =
例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =
勾股定理检测卷及答案(共4套)
数学：第18章勾股定理综合检测题检测试题（1）
（总分：120分，时间：90分钟）
一、认真选一选，你一定很棒！（每题3分，共30分）
1，分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，
41；⑤321，421，52
1
.其中能构成直角三角形的有（
）组 A.2
B.3
C.4
D.5
2，已知△ABC 中，∠A ＝
12∠B ＝1
3
∠C ，则它的三条边之比为（ ）
A.1∶1
B.1
∶2 C.1
D.1∶4∶1
3，已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ） A.52
B.3
4，如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ） A.12米 B.13米 C.14米 D.15米
5，放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（ ）
A.600米
B.800米
C.1000米
D.不能确定
6，如图1所示，要在离地面5•米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1＝5.2米，L 2＝6.2米，L 3＝7.8米，L 4＝10米四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（ ）
A.L 1
C.L 3
D.L 4
7，（2006年山西吕梁课改）如图
2，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ）
勾股定理全章测试
勾股定理全章测试
一、填空题
1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．
2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．
3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为______cm．
3题图
4．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．
4题图
5．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______cm．
5题图
6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．
6题图
7．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．
8．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．
8题图
二、选择题
9．下列三角形中，是直角三角形的是( ) (A)三角形的三边满足关系a ＋b ＝c (B)三角形的三边比为1∶2∶3 (C)三角形的一边等于另一边的一半 (D)三角形的三边为9，40，41
10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米
《勾股定理》专题复习(含答案)
第一章《勾股定理》专项练习
专题一：勾股定理
考点分析：
勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题
典例剖析
例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器
零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：m m ），计算两圆 孔中心A 和B 的距离为______m m ．
（2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，， 若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）
Ａ．4 Ｂ．6
Ｃ．16
Ｄ．55
分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．
解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得： AB 2
=902
+1202
=22500，所以AB=150（mm ）
（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ．
点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．
例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求
122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数．
解：连结
32A E ．32122222A A A A A E A E ==，，32212290A A E A A E ∠=∠=，
322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠．
由勾股定理，得：4532C E C E =
==
，4532A E A E ===，
图
1 图2
(完整版)最新人教版第十七章勾股定理整理练习题及详细解析答案
题型一：直接考查勾股定理 例 1 •在 ABC 中， C 90 •
(1) 知 AC 6 , BC 8 •求 AB 的长。 (2) 已知 AB 17，AC 15,求 BC 的长。 题型二：应用勾股定理建立方程
例 2 •⑴在 ABC 中， ACB 90 , AB 5 cm , BC 3 cm , CD AB 于 D , CD = ___________________ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为 3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ___________________ ⑶已知直角三角形的周长为 30 cm ，斜边长为13 cm ，则这个三角形的面积为 _____________________ C 90 , 1 2 , CD 1.5, BD 2.5，求 AC 的长
题型三：实际问题中应用勾股定理
例5•如图有两棵树，一棵高 8 cm ，另一棵高2 cm ，两树相距8 cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的 树梢，至少飞了 ____________ m
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 例6•已知三角形的三边长为 a , b , c ，判定 ABC 是否为直角三角形。
5
2
①a 「5, b 2，c 2・5
②a ；，b 1, c §
例7•三边长为a , b , c 满足a b 10 , ab 18 ,
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例 8•已知 ABC 中，AB 13 cm , BC 10 cm , BC 边上的中线 AD 12 cm ，求证： AB AC
勾股定理全章复习
答案： 四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化， 一个用来知二求一，最后一个建立方程.
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
2．解决折叠的问题. 例2:如图，将矩形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒
下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担
心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到
张大爷的房子吗？（ A ）
A．一定不会 B．可能会
C．一定会
D．以上答案都不对
思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基
本步骤是什么？ 答案：1.把实际问题转化成数学问题，找出相 应的直角三角形. 2.在直角三角形中找出直角边，斜边. 3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.
勾股定理 复习（1）
一．创设复习情境
同学们，请认真观察这四张图片中都有一种我 们学过的几何图形，它是哪种图形？
二. 基础知识运用
第一组练习: 勾股定理的直接应用
（一）知两边或一边一角型
1.在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）如果Hale Waihona Puke Baidu=3，b=4， 则c=
5；
（2）如果a=6，c=10， 则b=
人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理 章节综合练习 【含答案】
人教版八年级数学下册第17章勾股定理章节综合练习一．选择题
1．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（）
A．3，4，8B．5，6，10C．5，5，11D．5，12，13
2．传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（）
A．B．C．D．
3．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）
A．50B．16C．25D．41
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（）
A．2πB．3πC．4πD．8π
5．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（）
A．S1﹣S2B．S1+S2C．2S1﹣S2D．S1+2S2
6．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（）
A．14B．13C．14D．14
7．如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（）
A．25B．19C．13D．169
8．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）
第3章《勾股定理》 ：3.1 勾股定理(1)(含答案)
第3章《勾股定理》：3.1 勾股定理（1）
选择题
1．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
（第1题）（第2题）2．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）
A． 5 +1 B．- 5 +1 C． 5 -1 D． 5
填空题
3．如图，半圆的直径AB= ．
（第3题）（第4题）（第5题）4．如图，正方体的棱长为 2 cm，用经过A、B、C三点的平面截这个正方体，所得截面的周长是 cm．
（第6题）（第7题）（第12题）5．有一个与地面成30°角的斜坡，如图，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡成的∠1=度时，电线杆与地面垂直．
6．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠a=度．
7．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为．
（第13题）（第14题）（第15题）8．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为．9．已知等腰△ABC的腰AB=AC=10cm，底边BC=12cm，则△ABC的角平分线AD的长是 cm ．
10．已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 cm ．
11．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，BC=3cm，AB= cm ．
12．在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是度．
13．如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，
勾股定理题型分类(经典)
勾股定理全章复习
类型一：已知两边求第三边
例1：⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长
⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长
变式练习：已知两条线段的长分别为15和8，当第三条线段取整数_____时，这三条线段能围成一个直角三角形．
类型二：判断三角形形状
例1：下列线段不能组成直角三角形的是( )．
A. B. C. D. 2、若三角形的三边长为a ，b ，c ，且满足等式(a ＋b)2－c 2＝2ab ，则此三角形是______三角形．
变式练习1：判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．
（1）＝7，＝24，＝25；
（2）＝，＝1，＝；
（3），，()；
2、若边长为a 的正方形的面积等于长为b ＋c ，宽为b －c 的长方形的面积，则以a ，b ，c 为三边长的三角形是______三角形．
3、已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且a ＋b ＝7，ab ＝12，c ＝5，试判定△ABC 的形状．
类型三：勾股树及变形
例1：如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。 6,8,10a b c ===3,2,1===c b a 43,1,45===c b a 6,3,2===c b a a b c ，，a b c a 43b c 3
422a m n =-22b m n =+2c mn =0m n >> A B C D
7cm
15题 变式练习：如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等
勾股定理全章复习与巩固巩固练习
【牢固练习】一．选择题
1．在△ABC 中，假
定a n 21,b2n,c n 21，那么△ABC是
〔
〕
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形2．如图，每个小正方形
的边长为 1，A、B、C 是小正方形的极点，那么∠ ABC的度数为〔A． 90° B． 60°
C． 45° D．30°
〕
3．〔 2021 春西华县期末〕以下知足条件的三角形中，不是直角三角形的是〔
A．三内角之比为1： 2：3B．三边长的平方之比为1： 2： 3
C．三边长之比为3： 4： 5D．三内角之比为3： 4： 5
〕
4．如图，一牧童在 A 处牧马，牧童家在500m 和 700m ，且 C、D 两地的距离为B 处， A、 B 处距河岸的距离AC、 BD 的长分别为500m，天黑前牧童从 A 点将马牵引到河畔去饮水
后，再赶回家，那么牧童起码要走〔〕
A．2900m B． 1200m C． 1300m D． 1700m
5．直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，那么以下各式中总能建立的
是〔〕
A．ab=h 2
B． a
2
+b
2
=h
2C．
1
11D．111
a b h a2b2h2
6．如图， Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，CD⊥AB 于点 D，AB＝ 13，CD＝ 6，那么 (AC＋ BC)2等于
()
A． 25B． 325C． 2197D． 405
7．三角形的三边长为a、b、c ，由以下条件能组成直角三角形的是〔〕
A．a2
2
4m2 ,c2
2 m 1 ,b2m 1
B22
22
2
． a m1,b4m, c m1． a2m2,b22m, c2m2
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勾股定理
测试1 勾股定理(一)
学习要求
掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
课堂学习检测
一、填空题
1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．
2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；
(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；
(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；
(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．
3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．
4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．
二、选择题
6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．
(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )．
(A)4 (B)6 (C)8 (D)10
2
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．
(A)150cm2 (B)200cm2
(C)225cm2(D)无法计算
三、解答题
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别
为a、b、c．
(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；
(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；
(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；
(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；
(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．
综合、运用、诊断
一、选择题
10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．
(A)1个(B)2个
(C)3个(D)4个
二、填空题
11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．
12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．
三、解答题
13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．
拓展、探究、思考
14．如图，△ABC中，∠C＝90°．
(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S1＋S2与S3的关系；
图①
(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图
②)，探究S1＋S2与S3的关系；
图②
(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S1
＋S2与S3的关系．
图③
测试2 勾股定理(二)
学习要求
掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．
2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．
3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．
3题图
4．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．
4题图
二、选择题
5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )．
(A)5m (B)7m (C)8m (D)10m
6．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )．
(A)2
10
12(B)3
(C)5
8
6(D)5
三、解答题
7．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?
8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?
综合、运用、诊断
一、填空题
9．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为____
__米．
10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B
点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______(?取3)
二、解答题：
11．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．
12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度