高中数学必修四北师大版 3.2.3两角和与差的正切函数作业1 含答案

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北师大版必修4 第3章 2.3 两角和与差的正切函数作业

第三章三角恒等变形 §2 两角和与差的三角函数 2.3 两角和与差的正切函数课后拔高提能练一、选择题1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17，则sin α＝( )A ．35 B ．45 C ．－35D ．－45解析：选A tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－11＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17－11＋17＝－34，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α＝35，选A ． 2．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．1318 B ．1323 C ．723D ．16解析：选C tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35－141＋35×14＝723. 3．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为( )A ．32B ．－32C ．23D ．－23解析：选C 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2知， tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝2－11＋2＝13. 又12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝106＋9＝23. 4．若tan α＝lg 10m ，tan β＝lg m ，且α－β＝π4，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．110 C ．1或110D ．1或10解析：选C ∵tan α＝lg 10m ＝1＋lg m ，tan β＝lg m ，又α－β＝π4， ∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝1＋lg m －lg m 1＋(1＋lg m )lg m＝1，∴lg m (lg m ＋1)＝0，∴lg m ＝0或lg m ＝－1， ∴m ＝1或110. 二、填空题5．(2017·江苏卷)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.解析：解法一：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝16，即6tan α－6＝1＋tan α，∴tan α＝75. 解法二：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75. 答案：756．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________. 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan 5π41＋tan α·tan5π4＝tan α－11＋tan α＝15，解方程得tan α＝32.答案：327．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝12－131＋12·13＝17. 答案：17 三、解答题8．已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．解：∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33.∴tan(A ＋B )＝－33. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6. 又∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3， ∴tan B ＋33＋3×33tan B ＝ 3. ∴tan B ＝33，∴B ＝π6，从而A ＝2π3.∴△ABC 是等腰钝角三角形．9．若tan α，tan β是关于x 的方程mx 2－(2m －3)x ＋m －2＝0的两个实根． (1)求m 的取值范围； (2)求tan(α＋β)的取值范围．解：(1)∵tan α，tan β是方程mx 2－(2m －3)x ＋m －2＝0的两实根，且tan α∈R ，tan β∈R ，∴只需⎩⎨⎧ m ≠0，Δ≥0，即⎩⎨⎧m ≠0，(2m －3)2－4m (m －2)≥0. 得m ≤94且m ≠0.∴m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94.(2)∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，且tan αtan β＝m －2m ，tan α＋tan β＝2m －3m ， ∴tan(α＋β)＝2m －32＝m －32.∵m ≤94且m ≠0，∴tan(α＋β)≤34，且tan(α＋β)≠－32.。

高中数学必修四北师大版两角和与差的正切函数课时作业含答案

两角和与差的正切函数课时作业北师大版必修4一、选择题1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3D ．13[答案] D[解析] tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.2．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3，则tan α等于( ) A ．－2 B ．－12C ．12 D ．2[答案] B[解析] tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝tan π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1＋tan π4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－12.3．若tan α＝2，tan β＝3，且α，β∈(0，π2)，则α＋β的值为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．225° [答案] C[解析] ∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2＋31－2×3＝－1,0<α＋β<π，∴α＋β＝135°.4．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为( )A ．43B ．－43C ．－7D ．－17[答案] C[解析] 因为sin α＝45，α是第二象限角，所以cos α＝－35.所以tan α＝－43.因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，所以1＝－43＋tan β1＋43tan β，解得tan β＝－7.5．若∠A ＝22°，∠B ＝23°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值是( ) A ． 3 B ．2C ．1＋ 2D ．2(tan A ＋tan B )[答案] B[解析] 因为原式＝1＋tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1＋tan A tan B ＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝1＋tan A tan B ＋tan45°(1－tan A tan B )＝2＋tan A tan B －tan A tan B ＝2. 6．若tan28°tan32°＝m ，则tan28°＋tan32°的值为( ) A ．3m B ．3(1－m ) C ．3(m －1) D ．3(m ＋1) [答案] B[解析] ∵tan(28°＋32°)＝tan28°＋tan32°1－tan28°tan32°，∴tan28°＋tan32°＝tan60°(1－tan28°tan32°)＝3(1－m )．二、填空题 7.tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°＝________.[答案]3[解析] 原式＝tan(23°＋37°)＝tan60°＝ 3.8．设sin α＝35(π2<α<π)，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝________.[答案]724[解析] sin α＝35(π2<α<π)，则tan α＝－34.tan(π－β)＝12，则tan β＝－12，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－34＋121＋34×12＝－211，tan(α－2β)＝tan α－β －tan β1＋tan α－β tan β＝－211＋121＋211×12＝724.三、解答题9．计算下列各式的值． (1)tan15°＋tan75°； (2)tan41°＋tan19°1－tan41°tan19°. [分析] 观察各式的特点，设法化为特殊角的和、差正切公式计算．[解析] (1)tan15°＋tan75°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋30°)＝1－tan30°1＋tan30°＋1＋tan30°1－tan30°＝1－331＋33＋1＋331－33＝3－11＋3＋1＋33－1＝4. (2)原式＝tan(41°＋19°)＝tan60°＝ 3.10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．已知点A，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．[解析] (1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝210，cos β＝255. 因为α为锐角，故sin α>0，从而sin α＝1－cos 2α＝7210. 同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan α＋β ＋tan β1－tan α＋β tan β＝－3＋121－－3 ×12＝－1.又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4.一、选择题1．△ABC 中，tan A ·tan B >1，则△ABC 为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定[答案] A[解析] ∵tan A ·tan B >1>0.∴tan A >0且tan B >0(否则A 、B 同为钝角，不可能)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B <0，∴90°<A ＋B <180°，∴0°<C <90°.2．已知sin2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π，tan(α＋β)＝－2，tan(α－β)的值为( ) A ．12 B ．－12C ．－211D ．211 [答案] A。

北师大版必修4《两角和与差的正切函数》练习含解析

∴cosφ＝sinφ.
又0<φ< ，∴tanφ＝1，∴φ＝ .
24两角和与差的正切函数
时间：45分钟满分：80分
班级________姓名________分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．设tanα＝，tanβ＝，且α、β角为锐角，则α＋β的值是( )
A. B. 或
C. D.
答案：C
解析：由tanα＝，tanβ＝，得tan(α＋β)＝＝＝1.又α、β均是锐角，
答案：A
解析：由tanAtanB>1得角A，B均为锐角，然后切化弦，得sinAsinB>cosAcosB，即cos(A＋B)<0，∴cos(π－C)<0，∴－cosC<0，∴cosC>0，∴角C为锐角，∴△ABC是锐角三角形，故选A.
6．设tanα和tanβ是方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，则tan(α＋β)的最小值是( )
解析：因为tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，
所以tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1，
tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝＝＝－，
所以tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)＝tan2α＋tan2β＝－1－＝－ .
12．已知向量a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1))，且a，b共线，其中θ∈ .
A. B.
C．－ D．不确定
答案：C
解析：∵tanα和tanβ是mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，
∴
∴m≤ ，且m≠0.tan(α＋β)＝＝＝＝－m＋ .
∴当m＝时，tan(α＋β)的最小值为－ .

【精讲优练】高中数学北师大必修四练习：3.2.3 两角和与差的正切函数(含答案解析)

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课时提升作业(二十五)两角和与差的正切函数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若tan=3,则tanα的值为()A.-2B.-C.D.2【解析】选B.tanα=tan===-.【一题多解】选B.由tan==3得3tanα+3=1-tanα,所以tanα=-.2.(2015·宿州高一检测)的值为()A. B.C.1D.-【解析】选B.原式==tan(45°-15°)=tan30°=.3.若tanα=2,tanβ=3,且α,β∈,则α+β的值为()A.30°B.45°C.135°D.225°【解析】选C.因为tan(α+β)===-1,0<α+β<π,所以α+β=135°.4.(2015·上饶高一检测)若∠A=22°,∠B=23°,则(1+tanA)(1+tanB)的值是()A. B.2C.1+D.2(tanA+tanB)【解析】选B.因为原式=1+tanA+tanB+tanAtanB=1+tanAtanB+tan(A+B)(1-tanAtanB)=1+tanAtanB+tan45°(1-tanAtanB)=2+tanAtanB-tanAtanB=2.【补偿训练】已知tanα+tanβ=2,tan(α+β)=4,则tanα·tanβ等于()A.4B.2C.1D.【解析】选D.因为tan(α+β)=,又tanα+tanβ=2,tan(α+β)=4,所以4=,所以tanαtanβ=.5.(2015·西安高一检测)在△ABC中,若0<tanBtanC<1,则△ABC是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不能确定【解析】选B.由条件知,tanB>0,tanC>0,因为0<tanBtanC<1,所以1-tanBtanC>0,根据两角和的正切公式可得tan(B+C)=>0.所以B+C为锐角,从而A为钝角.故选B.【一题多解】选B.因为0<tanBtanC<1,所以B,C均为锐角,所以<1,所以cos(B+C)>0,所以cosA<0,所以A为钝角.故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)6.的值为________.【解析】原式===tan(30°-75°)=tan(-45°)=-1.答案:-1【补偿训练】=________.【解析】原式=tan(51°-6°)=tan45°=1.答案:17.(2015·阜阳高一检测)已知A,B都是锐角,且tanA=,sinB=,则A+B=________.【解析】因为B为锐角,sinB=,所以cosB=,所以tanB=,所以tan(A+B)===1.因为0<A+B<π,所以A+B=.答案:8.(2015·九江高一检测)已知tan=,tan(β-)=-,则tan=________. 【解析】tan=tan===.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知sin(π+θ)=-,tanφ=,θ为第二象限角,求tan(θ-φ)的值.【解题指南】首先利用诱导公式求出sinθ,然后利用sin2θ+cos2θ=1,求出cosθ,进而求出tanθ,最后利用tan(θ-φ)=求解.【解析】因为sin(π+θ)=-sinθ=-,所以sinθ=,又因为θ是第二象限角,所以cosθ=-=-,所以tanθ==-,又tanφ=,所以tan(θ-φ)===-2.10.已知tanα与tan是方程x2+px+q=0的两根,且tanα∶tan=3∶2,求p和q的值.【解析】由已知tanα∶tan=3∶2得tanα∶=3∶2,所以2tan2α+5tanα-3=0,解得tanα=或tanα=-3.当tanα=时,tan=,此时tanα+tan=-p,tanαtan=q,所以p=-,q=.当tanα=-3时,tan=-2,p=-=5,q=tanαtan=6.所以p=-,q=或p=5,q=6.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·南昌高一检测)设A,B,C是△ABC的三个内角,且tanA,tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是()A.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】选D.由题意知,tanA+tanB=,tanAtanB=.所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=-=-<0.所以<C<π.所以△ABC为钝角三角形.2.(2015·汉中高一检测)已知a=(cosx,2),b=(2sinx,3),且a∥b,则tan=()A.7B.-7C.D.-【解析】选A.因为a=(cosx,2),b=(2sinx,3),且a∥b,故3cosx=4sinx,即tanx=,所以tan===7.【补偿训练】已知α+β=π,则(1-tanα)(1-tanβ)=()A.2B.-2C.1D.-1【解析】选A.-1=tan(α+β)=,所以tanα+tanβ=-1+tanαtanβ.所以(1-tanα)(1-tanβ)=1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.化简=________.【解析】因为tan(α+β)=,所以tan(α+β)(1-tanαtanβ)=tanα+tanβ,即tan(α+β)-tanα-tanβ=tan(α+β)tanαtanβ,所以原式=tanβ.答案:tanβ【补偿训练】的值为________.【解析】原式===-tan(45°+15°)=-tan60°=-.答案:-4.(2015·景德镇高一检测)已知α,β,γ都是锐角,且tanα=,tanβ=,tanγ=,则α+β+γ的值为________.【解析】因为tan(α+β)===,tan[(α+β)+γ]===1.由已知可推得γ<β<α,又因为0<tanα<<,所以0<γ<β<α<,即0<α+β+γ<.故α+β+γ=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·西安高一检测)一元二次方程mx2+(2m-3)x+(m-2)=0的两根为tanα,tanβ,求tan(α+β)的最小值.【解析】因为mx2+(2m-3)x+(m-2)=0有两根tanα,tanβ,所以解得m≤,且m≠0,由一元二次方程的根与系数的关系得tanα+tanβ=,tanα·tanβ=,所以tan(α+β)====-m≥-=-.故tan(α+β)的最小值为-.【误区警示】解答本题时易忽视Δ≥0且m≠0,即实数m的取值范围求错而致误.6.(2015·榆林高一检测)已知tanα=-,cosβ=,α,β∈(0,π).(1)求tan(α+β)的值.(2)求函数f(x)=sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.【解析】(1)tanα=-,cosβ=,β∈(0,π),所以sinβ=,所以tanβ=2.所以tan(α+β)===1.(2)因为tanα=-,α∈(0,π),所以sinα=,cosα=-,所以f(x)=(sinxcosα-cosxsinα)+cosxcosβ-sinxsinβ=-sinx-cosx+cosx-sinx=-sinx.所以f(x)的最大值为.关闭Word文档返回原板块。

2021年高中数学北师大版必修4学案： 3.2.3 两角和与差的正切函数(含解析)

2.3 两角和与差的正切函数Q 情景引入ing jing yin ru某电视塔建在一座高山上(如图)，小明自A 点观测山顶C 的仰角为45°，塔顶P 点的仰角为75°，AB ＝500米．需求电视塔顶距地面的高度即PB ，显然75°＝45°＋30°；如果能找到tan 75°与tan 45°，tan 30°的关系，PB 便容易求出！这就是本节所要研究的问题．X 新知导学in zhi dao xue1．两角和的正切公式 tan (α＋β)＝__tan α＋tan β1－tan αtan β__2．两角差的正切公式tan (α－β)＝__tan α－tan β1＋tan αtan β__(其中α≠k π＋π2(k ∈Z )，β≠k π＋π2(k ∈Z )，α±β≠k π＋π2(k ∈Z ))．[知识点拨]正切公式的逆用及变形用 (1)注意公式的逆用，比如：tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝tan [(α＋β)－α]＝tan β，又如1＋tan α1－tan α＝tan45°＋tan α1－tan45°tan α＝tan (45°＋α)．(2)除了公式的正用、逆用外，还要注意公式的变形应用 tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)，如tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan (α＋β)， tan (α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan (α＋β)，1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan (α＋β).1＋tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β).Y 预习自测u xi zi ce1．tan (－165°)的值是( B ) A ．2＋3 B ．2－3 C ．－2＋3D ．－2－ 3[解析] 原式＝tan (－180°＋15°) ＝tan 15°＝tan (45°－30°) ＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝2－ 3. 2．tan α＝3，tan β＝43，则tan (β－α)＝( B )A ．－3B ．－13C ．3D ．13[解析] tan (β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝－13.3．tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)的值等于( B ) A ．13B ．1C ．3D ． 6[解析] ∵tan10°＋tan20°1－tan10°tan20°＝tan 30°＝33，∴tan 10°＋tan 20°＝33(1－tan 10°tan 20°)． ∴原式＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.4．若α，β∈(0，π2)且tan α＝12，tan β＝13，则tan (α＋β)＝__1__.[解析] tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－16＝1.H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨公式的直接应用典例1 已知sin (π＋θ)＝－35，tan φ＝12，θ为第二象限角，求tan (θ－φ)的值．[思路分析] 首先利用诱导公式求出sin θ，然后利用sin 2θ＋cos 2θ＝1，求出cos θ，进而求出tan θ，最后利用tan (θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ求解．[解析] ∵sin (π＋θ)＝－sin θ＝－35，∴sin θ＝35，又∵θ是第二象限角， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－34，又tan φ＝12，∴tan (θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ＝－34－121＋⎝⎛⎭⎫－34×12＝－2.『规律总结』该题属于给值求值题，解答此题的关键在于先用T α±β公式分析一下待求的问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知的向已知进行转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角．〔跟踪练习1〕已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝12，tan β＝15，tan γ＝18，求α＋β＋γ的值．[解析] 因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋151－12×15＝79，tan [(α＋β)＋γ]＝tan (α＋β)＋tan γ1－tan (α＋β)tan γ＝79＋181－79×18＝1.由已知可推得γ<β<α，又因为0<tan α＝12<33，所以0<γ<β<α<π6，即0<α＋β＋γ<π2.故α＋β＋γ＝π4.命题方向2 ⇨公式的逆用与变形应用典例2 求下列各式的值：(1)1－tan75°1＋tan75°； (2)(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)； (3)tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°.[思路分析] 尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值． [解析] (1)原式＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°＝tan (45°－75°)＝－33.(2)因为(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 1°＋tan 44°＋tan 1°×tan 44°＝2，同理(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝2，…，所以原式＝222.(3)∵tan 60°＝tan (25°＋35°)＝tan25°＋tan35°1－tan25°tan35°＝3，∴tan 25°＋tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°) ∴tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝ 3.『规律总结』 1.“1”的代换：在T α±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的．2．若α＋β＝π4＋k π，k ∈Z ，则有(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.3．若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan (α±β)的变形公式．〔跟踪练习2〕求下列各式的值 (1)3－tan15°1＋3tan15°； (2)tan (18°－x )tan (12°＋x )＋3[tan (18°－x )＋tan (12°＋x )]．[解析] (1)3－tan15°1＋3tan15°＝tan60°－tan15°1＋tan60°tan15°＝tan (60°－15°)＝tan 45°＝1.(2)∵tan [(18°－x )＋(12°＋x )]＝tan (18°－x )＋tan (12°＋x )1－tan (18°－x )·tan (12°＋x )＝tan 30°＝33∴tan (18°－x )＋tan (12°＋x ) ＝33[1－tan (18°－x )·tan (12°＋x )] 于是原式＝tan (18°－x )tan (12°＋x )＋3·33[1－tan (18°－x )·tan (12°＋x )]＝1.X 学科核心素养ue ke he xin su yang公式的综合应用典例3 已知在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，3tan A ＋3tan B＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．[思路分析] 利用tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)将所给的等式变形． [解析] 由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )＝tan (B ＋C )(1－tan B tan C )．若tan B tan C ＝1则tan B ＝cot C ，故在△ABC 中，B ＝π2－C ，故B ＋C ＝π2，A ＝π2，tan A 无意义，与题设矛盾，∴tan B tan C ≠1，∴tan (B ＋C )＝3，∴B ＋C ＝60°. 同理，由3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，得3(tan A ＋tan B )＝－(1－tan A tan B ) ＝3tan (A ＋B )(1－tan A tan B )， ∴tan (A ＋B )＝－33，∴A ＋B ＝150°.又由A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝C ＝30°，A ＝120°，△ABC 为等腰三角形．『规律总结』本题主要考查两角和的正切公式在三角形中的应用．证明与三角形有关的问题时，一要注意三内角和等于180°；二要注意创设条件，使之能运用两角和与差的三角函数公式；三要注意应用两角和与差正切公式的变形．〔跟踪练习3〕在△ABC 中，已知tan A 与tan B 是方程2x 2＋9x －13＝0的两个根，求tan C 的值．[解析] 由题意知⎩⎨⎧tan A ＋tan B ＝－92，tan A ·tan B ＝－132，∴tan C ＝tan [π－(A ＋B )]＝－tan (A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ＝－－921＋132＝915＝35.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi典例4 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，若α，β∈(－π2，π2)，求α＋β的值．[错解] 因为tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.又α，β∈(－π2，π2)，所以－π<α＋β<π，所以α＋β＝π3或－2π3.[辨析] 求解时要注意题中的隐含条件tan α＋tan β＝－33<0，tan αtan β＝4>0，即tan α<0，tan β<0，错解中忽视了这点，只根据α，β∈(－π2，π2)，推出－π<α＋β<π，从而产生错解．[正解] 同上可得，tan (α＋β)＝ 3. 由tan α＋tan β＝－33且tan αtan β＝4，可知tan α<0，tan β<0，又α，β∈(－π2，π2)，所以α，β∈(－π2，0)，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－2π3.〔跟踪练习4〕已知tan α，tan β都是关于x 的一元二次方程mx 2＋(2m －3)x ＋(m －2)＝0的两根，求tan (α＋β)的最小值．[解析] 由题意得⎩⎨⎧m ≠0Δ＝(2m －3)2－4m (m －2)≥0，解得m ≤94且m ≠0.且tan α＋tan β＝－2m －3m ，tan αtan β＝m －2m .∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2m －3m 1－m －2m＝32－m .又m ≤94且m ≠0，∴tan (α＋β)的最小值为32－94＝－34.K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan (α－π4)等于( D )A ．17B ．7C ．－17D ．－7[解析] ∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，tan α＝－34.∴tan (α－π4)＝tan α－11＋tan α＝－34－11－34＝－7.2．tan 17°tan 43°＋tan 17°tan 30°＋tan 30°tan 43°的值为( B ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－ 3[解析] 原式＝tan 17°·tan 43°＋tan 30°(tan 17°＋tan 43°)＝tan 17°tan 43°＋33·tan 60°(1－tan 17°tan 43°)＝tan 17°tan 43°＋1－tan 17°tan 43°＝1.3．已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝17，则tan β的值为__3__.[解析] tan β＝tan (α＋β－α)＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17＋21－27＝3.4．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为__－3__.[解析] 因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，而tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3.。

2020-2021学年数学北师大版必修4课时作业：3-2-3 两角和与差的正切函数

课时作业24 两角和与差的正切函数时间：45分钟满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分) 1．求值：1－tan15°1＋tan15°＝( C )A ．12B ． 3C ．33D ．32解析：1－tan15°1＋tan15°＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33.故选C ．2．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则tan α等于( C )A ．12 B ．－12 C ．2D ．－2解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝13， ∴tan α＝2.3．若A ＝15°，B ＝30°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( B ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：∵tan(A ＋B )＝tan45°＝1，∴tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝1.∴tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B ．∴(1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝2.4．△ABC 中，tan A ·tan B >1，则△ABC 为( A ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定解析：∵tan A ·tan B >1>0.∴tan A >0且tan B >0(否则A 、B 同为钝角，不可能)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B <0，∴90°<A ＋B <180°，∴0°<C <90°.5．若tan(α＋β)＝34，tan(β－π4)＝12，那么tan(α＋π4)的值等于( A ) A ．211 B ．411 C ．12D ．2解析：∵α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)， ∴tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan (α＋β)－tan (β－π4)1＋tan (α＋β)tan (β－π4)＝34－121＋34×12＝14118＝211. 6．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β＝( C ) A ．43 B ．－43 C ．－7D ．－17解析：因为sin α＝45，α为第二象限角，所以cos α＝－35，所以tan α＝－43. 因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，所以1＝－43＋tan β1＋43tan β，解得tan β＝－7. 7．已知tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2＋6x ＋2＝0的两个实数根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝( C )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：∵tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2＋6x ＋2＝0的两个实数根，∴tan α＋tan β＝－6，tan α·tan β＝2.则sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝－61＋2＝－2.8．已知tan110°＝a ，求tan10°的值，那么以下四个★★★★答案★★★★中：①a ＋31－3a ；②a ＋33a －1；③a ＋a 2＋1；④a －a 2＋1正确的是( D )A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析：tan110°＝－tan70°＝－sin70°cos70°＝－cos20°sin20°＝－1tan20°＝－1tan (10°＋10°)＝－1－tan 210°2tan10°＝a ，则tan 210°－2a tan10°－1＝0， ∴tan10°＝a ±a 2＋1，由于tan110°<0，∴a <0，而tan10°>0， ∴tan10°＝a ＋a 2＋1，故③正确．又tan10°＝－tan170°＝－tan110°＋tan60°1－tan110°tan60°＝－a ＋31－3a ＝a ＋33a －1，故②正确．二、填空题(每小题5分，共15分)9．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C ＝π3.解析：由已知得tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )， ∴tan(A ＋B )＝－ 3.∵A ，B 均为△ABC 的内角，∴0<A ＋B <π. ∴A ＋B ＝2π3.∴C ＝π3.10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝1.解析：tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)，∵α，β均为锐角，∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4， ∴tan(α＋β)＝tan π4＝1.11．已知tan(α＋β＋γ)＝m tan(α－β＋γ)，且sin2(α＋γ)＝5sin2β，则实数m ＝32.解析：设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ．因为sin2(α＋γ)＝5sin2β，所以sin(A ＋B )＝5sin(A －B )，所以sin A cos B ＋cos A sin B ＝5(sin A cos B －cos A sin B )，所以6cos A sin B ＝4sin A cos B ，所以2tan A ＝3tan B ．故m ＝tan A tan B ＝32.三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)如图，△ABC 中，∠BAC ＝45°，BC 边上的高AD 将BC 分成2 cm 和3 cm 两段，求△ABC 的面积．解：设∠BAD ＝α，∠CAD ＝β，AD ＝x .在Rt △ADB 中，tan α＝BD AD ＝2x . 在Rt △ADC 中，tan β＝DC AD ＝3x . tan45°＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝2x ＋3x 1－2x ·3x ＝1，即5xx 2－6＝1. 解这个方程，得x ＝6或x ＝－1(舍)．故S △ABC ＝12×5×6＝15(cm 2)．13．(13分)在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．解：由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )．若tan B tan C ＝1，则tan B ＝1tan C . 故在△ABC 中，∠B ＝π2－∠C ， ∴∠B ＋∠C ＝π2，即∠A ＝π2，此时tan A 无意义，与题设矛盾． ∴tan B tan C ≠1， ∴tan B ＋tan C1－tan B tan C＝tan(B ＋C )＝ 3.又∵∠B ＋∠C ∈(0，π)， ∴∠B ＋∠C ＝π3.同理，∵3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33.∵∠A ＋∠B ∈(0，π)， ∴∠A ＋∠B ＝56π. 又∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， ∴∠A ＝23π，∠B ＝∠C ＝π6， ∴△ABC 为等腰三角形．——能力提升类——14．(5分)已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若sin A ＋3cos Acos A －3sin A ＝tan 5π6，则sin(B ＋C )＝( B )A ．32B ．1C ．12D ．22 解析：由sin A ＋3cos A cos A －3sin A＝tan 5π6，得sin (A ＋π3)cos (A ＋π3)＝tan 5π6，所以tan(A ＋π3)＝tan 5π6，所以A ＋π3＝k π＋5π6，k ∈Z ，所以A ＝π2＋k π，k ∈Z .因为角A 为三角形的内角，所以A ＝π2，所以sin(B ＋C )＝1，故选B ．15．(15分)是否存在锐角α和β，使α＋2β＝2π3①，且tan α2tan β＝2－3②，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解：存在．解法一：由①得α2＋β＝π3.∴tan(α2＋β)＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 将②代入得tan α2＋tan β＝3－ 3.∴tan α2，tan β是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根．解得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，则与α为锐角矛盾．∴tan β＝1，tan α2＝2－3，∴β＝π4，代入①得α＝π6，满足tan α2＝2－ 3.解法二：由①得α2＝π3－β，代入②得： tan(π3－β)·tan β＝2－ 3 ⇒3－tan β1＋3tan β·tan β＝2－ 3 ⇒tan 2β－(3－3)tan β＋2－3＝0， tan β＝1或2－ 3.若tan β＝1，则β＝π4，α＝π6.若tan β＝2－ 3.代入②得tan α2＝1.不合题意．故存在α＝π6，β＝π4，使①②同时成立．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

高中数学 3.2.3两角和与差的正切函数课时作业北师大

两角和与差的正切函数一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·南昌高一检测)tan10°tan20°+(tan10°+tan20°)等于( )A. B.1 C. D.【解析】选B.原式=1-+(tan10°+tan20°)=1-(tan10°+tan20°)+(tan10°+tan20°)=1.2.已知tan(α-β)=,tan=-,则tan的值为( )A.-B.C.D.-【解题指南】α+可以表示为α-β与β+和的形式.【解析】选B.分析题中角度之间的关系可知,tan=tan===.3.(2014·合肥高一检测)在△ABC中,已知tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tanC等于( )A.2B.-2C.4D.-4【解题指南】根据根与系数的关系求得tanA+tanB与tanAtanB,再求ta n(A+B)=-tanC.【解析】选 A.由于tanA,tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根,那么根据根与系数的关系,有tanA+tanB=-,tanA·tanB=-.则tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=-=2.4.在△ABC中,若0<tanBtanC<1,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不能确定【解析】选B.由条件知,tanB>0,tanC>0,因为0<tanBtanC<1,所以1-tanBtanC>0,根据两角和的正切公式可得tan(B+C)=>0.所以B+C为锐角,从而A为钝角.故选B.【一题多解】选B.因为0<tanBtanC<1,所以B,C均为锐角,所以<1,所以cos(B+C)>0,所以cosA<0,所以A为钝角.故选B.5.已知sinα=且α为锐角,tanβ=-3且β为钝角,则角α+β的值为( )A. B. C. D.【解析】选B.sinα=,且α为锐角,则cosα=,tanα=,所以tan(α+β)===-1,又α+β∈,故α+β=.6.(2014·安庆高一检测)已知tanα和tan是方程ax2+bx+c=0的两个根,则a,b,c的关系是( )A.b=a+cB.2b=a+cC.c=a+bD.c=ab【解析】选C.tanα+tan=-,tanαtan=,所以tan==1.所以-=1-.所以-b=a-c,所以c=a+b.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·抚州高一检测)的值为.【解析】原式==tan(105°-60°)=tan 45°=1.答案:1【变式训练】计算:= .【解析】原式==·tan30°=.答案:8.已知tanα=,tan(α-β)=,则tanβ= .【解析】tanβ=tan[α-(α-β)]===-.答案:-9.(2013·宁波高一检测)若tanα+tanβ-tanαtanβ+1=0,α,β∈,则α+β为. 【解析】tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),因为tanα+tanβ-tanαtanβ+1=0,所以1-tanαtanβ=-tan(α+β)(1-tanαtanβ),所以tan(α+β)=-1,又因为α,β∈,所以π<α+β<2π,所以α+β=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·长春高一检测)已知角α的终边经过点P(-3,-4),求tan的值.【解析】由已知得OP==.由三角函数的定义得sinα==-,cosα==-,tanα==.tan===-.11.(2014·西安高一检测)已知tanα与tan是方程x2+px+q=0的两根,且tanα∶tan=3∶2,求p和q的值.【解析】由已知tanα∶tan=3∶2得tanα∶=3∶2,所以2tan2α+5tanα-3=0,解得tanα=或tanα=-3.当tanα=时,tan=,此时tanα+tan=-p,tanαtan=q,所以p=-,q=.当ta nα=-3时,tan=-2,p=-=5,q=tanαtan=6.所以p=-,q=或p=5,q=6.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·南昌高一检测)的值为( )A.2+B.C.2-D.【解析】选C.分析角度关系,可知sin6°=sin(15°-9°)=sin15°cos9°-cos15°sin9°,cos6°=cos(15°-9°)=cos15°cos9°+sin15°sin9°,所以原式=tan15°=tan(45°-30°)==2-.2.(2014·合肥高一检测)已知cos=-,且x是第三象限角,则的值为( )A.-B.-C.D.【解题指南】先求tan,再逆用公式Tα+β即得.【解析】选D.由cos=-,且x是第三象限角知sin=-.所以tan==,所以==tan=.3.若tan 28°·tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°= ( )A.mB.(1-m)C.(m-1)D.(m+1)【解析】选B.tan(28°+32°)=tan 60°===,所以tan 28°+tan 32°=(1-m).4.(2014·汉中高一检测)已知a=(cosx,2),b=(2sinx,3),且a∥b,则tan=( )A.7B.-7C.D.-【解析】选A.因为a=(cos x,2),b=(2sinx,3),且a∥b,故3cosx=4sinx,即tanx=,所以tan===7.【变式训练】已知α+β=π,则(1-tanα)(1-tanβ)=( )A.2B.-2C.1D.-1【解析】选A.-1=tan(α+β)=,所以tanα+tanβ=-1+tanαtanβ.所以(1-tanα)(1-tanβ)=1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若锐角α,β满足(1+tanα)(1+tanβ)=4,则α+β= .【解析】因为(1+tanα)(1+tanβ)=4,所以1+(tanα+tanβ)+3tanαtanβ=4,即tanα+tanβ=(1-tanαtanβ).所以tan(α+β)===.又因为0<α+β<π,所以α+β=.答案:6.(2014·宝鸡高一检测)计算:tan(18°-x)tan(12°+x)+[tan(18°-x)+tan(12°+x)]= . 【解析】因为tan[(18°-x)+(12°+x)]==tan30°=,所以tan(18°-x)+tan(12°+x)=[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]于是原式=tan(18°-x)tan(12°+x)+·[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]=1.答案:1【变式训练】计算:= .【解析】由tan60°=tan(18°+42°)==,得到tan18°+tan42°=-tan18°tan42°,则===-1.答案:-1三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·西安高一检测)一元二次方程mx2+(2m-3)x+(m-2)=0的两根为tanα,tanβ,求tan(α+β)的最小值.【解析】因为mx2+(2m-3)x+(m-2)=0有两根tanα,tanβ,所以解得m≤,且m≠0,由一元二次方程的根与系数的关系得tanα+tanβ=,tanα·tanβ=,所以tan(α+β)====-m≥-=-.故tan(α+β)的最小值为-.【误区警示】解答本题时易忽视Δ≥0且m≠0,即实数m的取值范围求错而致误.8.是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=.(2)tan·tanβ=2-同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,说明理由.【解析】假设存在锐角α,β,使得(1)α+2β=.(2)tan·tanβ=2-同时成立.由(1)得+β=,所以tan==.又tan tanβ=2-,所以tan+tanβ=3-.因此tan,tanβ可以看成是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根. 解得x1=1,x2=2-.若tan=1,则α=,这与α为锐角矛盾.所以tan=2-,tanβ=1,所以α=,β=.所以满足条件的α,β存在,且α=,β=.。

高中数学必修四北师大版两角和与差的正切函数课时训练含答案

双基限时练(二十七) 两角和与差的正切函数一、选择题1.sin15°＋cos15°sin15°－cos15°的值为( ) A.33 B.2＋64 C.2－64 D ．－ 3解析sin15°＋cos15°sin15°－cos15°＝tan15°＋1tan15°－1＝－tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝－tan60°＝－ 3.答案 D2．若A 、B 为锐角三角形的两个内角，则tan A ·tan B 的值( ) A ．不大于1 B ．小于1 C ．等于1D ．大于1解析 tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＞0，又tan A ＋tan B ＞0，∴1－tan A tan B ＜0，即tan A ·tan B ＞1.答案 D3．若tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.1318B.1322C.322D.16解析 tan(α＋π4)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322. 答案 C4．若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos(A ＋B )的值为( ) A ．－22 B.22 C ．±22D ．±12解析由于tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B 且tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，∴tan(A ＋B )＝－1.∴cos(A ＋B )＝±22. 答案 C5．tan20°tan50°＋tan20°tan60°－tan60°tan50°等于( ) A ．1 B ．－1 C. 3D ．－ 3解析原式＝tan20°(tan50°＋tan60°)－tan60°tan50°＝tan20°tan110°(1－tan50°tan60°)－tan60°tan50°＝tan20°(－tan70°)(1－tan50°tan60°)－tan50°tan60° ＝－(1－tan50°tan60°)－tan50°tan60° ＝－1. 答案 B6．设tan θ和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则p ，q 之间的关系是( )A ．p ＋q ＋1＝0B ．p －q ＋1＝0C ．p ＋q －1＝0D ．p －q －1＝0解析由韦达定理得tan θ＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－p ， tan θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝q .又tan π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＋θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＋tan θ1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θtan θ＝－p1－q＝1，∴－p ＝1－q . ∴p －q ＋1＝0. 答案 B 二、填空题7．若sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°＝________.解析原式＝sin15°cos8°－cos15°sin8°＋cos15°sin8°cos15°cos8°＋sin15°sin8°－sin15°sin8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－ 3.答案 2－ 38．已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝________.解析 ∵α为第三象限的角，则2k π＋π≤α≤2k π＋3π2，∴4k π＋2π≤2α≤4k π＋3π(k ∈Z )．又cos2α＝－35，∴sin2α＝45，tan2α＝－43，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝1＋tan2α1－tan2α＝－17. 答案－179．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3的值为__________ 解析依题意，tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－1.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝tan θ＋tan π31－tan θtan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3.答案 2－ 310．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α，∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 答案 1 三、解答题 11．化简下列各式． (1)1＋cot15°1－tan75°；。

北师大版必修4高中数学323《两角和与差的正切函数》课后训练

"【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 3、2、3 两角和与差的正切函数课后训练北师大版必修4 "1。

若tan α＝3，则13tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ）. A 。

－2 B.2 C.12 D.12- 2.已知tan （α＋β)＝25,1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（）。

A.1318 B 。

322 C.1322 D.3183.在△ABC 中，∠C ＝120°,tan A ＋tan B ＝233，则tan A t an B 的值为( ）。

A.14 B.13 C.12 D.53 4。

若A ＝15°，B ＝30°，则（1＋tan A ）(1＋tan B )的值为（ )。

A 。

1 B.2 C.－1 D.－25.设A ，B ,C 是△ABC 的三个内角，且tan A ,tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( ).A.等边三角形B 。

等腰直角三角形C 。

锐角三角形D 。

钝角三角形6.在△ABC 中,tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ,则C ＝__________。

7。

tan 20tan 501tan20tan50(-)--＝__________。

8.已知tan =24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求212sin cos cos ααα+的值. 9.如图，两座建筑物AB ,CD 的高度分别是9 m 和15 m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝45°,求建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD .10。

设一元二次方程mx 2＋(2m －1）x ＋(m ＋1)＝0的两根为tan α，tan β,求tan （α＋β）的取值范围。

参考答案1答案：A2答案：B3答案:B4答案:B5答案:D6答案：3π7答案:38答案：2 39答案：18 m10答案：(－∞,－1）∪31,4⎛⎤--⎥⎝⎦。

2016秋数学北师大版必修4练习：3.2.3 两角和与差的正切函数含解析

[A基础达标]1．若tan错误!＝3，则tanα的值为( ）A．－2 B．－错误!C。

错误!D．2解析:选B。

tanα＝tan错误!＝错误!＝错误!＝－错误!。

2．设α、β∈错误!，且tanα＝错误!，tanβ＝错误!，则α－β等于( ）A。

错误!B.错误!C。

错误!πD．－错误!解析:选D.tan（α－β）＝错误!＝错误!＝－1.因为tanα〈tanβ且α，β∈错误!，所以α<β。

所以α－β＝－错误!。

3．直线l1：x－2y＋1＝0,倾斜角为α,直线l2：x＋3y－1＝0,倾斜角为β，则β－α＝（）A。

错误!B。

错误!C．－错误!D．－错误!解析：选B。

由题意可知，tanα＝错误!,tanβ＝－错误!，所以0<α〈错误!，错误!〈β〈π.所以0〈β－α〈π，所以tan(β－α）＝错误!＝错误!＝－1。

所以β－α＝错误!.4．在△ABC中，C＝120°,tan A＋tan B＝错误!，则tan A tan B＝( )A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!解析：选B.因为C＝120°，则A＋B＝60°，又tan(A＋B）＝错误!，故错误!＝错误!,所以tan A tan B＝错误!。

5．在△ABC中,若sin A－3cos A＝0,sin2B－sin B cos B－2cos2B＝0，则角C为( ）A。

错误!B.错误!C.错误!D。

错误!解析:选B。

由sin A－3cos A＝0得tan A＝3.由sin2B－sin B cos B－2cos2B＝0得tan2B－tan B－2＝0，解得tan B ＝2或tan B＝－1，当tan B＝2时,tan C＝－tan（A＋B）＝1，由C∈(0,π）得C＝错误!；当tan B＝－1时，tan C＝－tan(A＋B)＝－错误!，此时B、C均为钝角不合题意,舍去，综上所述C＝错误!。

6．若A＝18°，B＝27°，则（1＋tan A）(1＋tan B）的值是________．解析:原式＝tan A＋tan B＋tan A tan B＋1＝tan（18°＋27°）·（1－tan18°tan27°)＋tan18°·tan27°＋1＝2。

2020-2021学年北师大版数学必修4学案：3.2.3 两角和与差的正切函数 Word版含解析

2.3两角和与差的正切函数考纲定位重难突破1.能利用两角和(或差)的正、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．2.掌握公式Tα±β及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题.重点：两角和与差的正切公式及其应用．难点：两角和与差的正切公式的推导及变形应用.授课提示：对应学生用书第62页[自主梳理]两角和与差的正切公式[双基自测]1．若α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2且tan α＝12，tan β＝13，则tan(α＋β)＝()A．－1B．1 C.32D．－32解析：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝12＋131－12×13＝1.答案：B2．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于()A．－3 B．－13C．3 D.13解析：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝535＝13.答案：D3．tan 75°＝________.解析：tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°·tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.答案：2＋ 3授课提示：对应学生用书第62页探究一利用两角和与差的正切公式求值[典例1]已知sin(π＋θ)＝－35，tan φ＝12，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．[解析]∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－35，∴sin θ＝35，又θ是第二象限角，∴cos θ＝－1－sin2θ＝－45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－34，又tan φ＝12，∴tan(θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ＝－34－121＋(－34)×12＝－2.若已知α，β的正弦、余弦的值，求α±β的正切的方法有两种：①是先求α±β的正弦、余弦而后应用商数关系；②是先求tan α，tan β，而后应用α±β的正切公式．若已知α，β的正切值，则直接应用正切公式求解即可．1．求下列各式的值．(1)tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°；(2)3－tan 15°1＋3tan 15°；(3)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解析：(1)原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3. (2)原式＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1.(3)原式＝tan(15°＋30°)(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1－tan 15°tan 30°＋tan 15°tan 30°＝1.探究二利用和与差的正切公式求角[典例2] 已知tan α＝13，tan β＝－2，且0<α<π2<β<π，求(1)tan(α－β)的值．(2)角α＋β的值． [解析] (1)若tan α＝13，tan β＝－2，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13＋21－23＝7.(2)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1，因为0<α<π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝3π4.(1)求值．计算待求角的正切函数值．(2)求范围．借助已知角的范围及题目隐含信息，求相关角的范围，注意角的范围越小越好．(3)求角．借助角的范围及角的三角函数值求角．2．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈(－π，π)，求α＋β的值．解析：由韦达定理，得tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.又∵α，β∈(－π，π)，∴α＋β∈(－2π，2π)， ∴α＋β＝－53π，－23π，π3，43π.探究三综合应用问题[典例3] 在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tanA tanB ，判断△ABC 的形状．[解析] tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C ) ＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝3－3tan B tan Ctan B tan C －1＝－3，而0°＜A ＜180°，∴A ＝120°.而tan C ＝tan [π－(A ＋B )]＝tan A ＋tan B tan A tan B －1＝tan A ＋tan B 3tan A ＋3tan B ＝33.而0°＜C ＜180°，∴C ＝30°.∴B ＝30°. ∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形．利用和差角公式判断三角形形状：首先应考虑借助同名三角函数之间的关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，其次注意三角形内角和A ＋B ＋C ＝180°这一隐含条件的运用．3．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．解析：假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2tan β＝2－3同时成立．由(1)得α2＋β＝π3，所以tan ⎝⎛⎭⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 又因为tan α2tan β＝2－3，所以tan α2＋tan β＝3－ 3.因此tan α2，tan β可以看成是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两个根．解该方程得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，则α＝π2，这与α为锐角矛盾．所以tan α2＝2－3，tan β＝1，所以α＝π6，β＝π4.所以满足条件的α，β存在，且α＝π6，β＝π4.给值求角中的易错误区[典例] 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________.[解析] 由于tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)·tan β＝12－171＋12×17＝13，且α∈(0，π)，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π4 又由tan β＝－17，且β∈(0，π)，得β∈(π2，π)，所以2α－β∈(－π，0)．而tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝12＋131－12×13＝1，所以2α－β＝－34π.[答案] －3π4[错因与防范] (1)解答本题常会得到2α－β的值为π4，5π4这样错误的结果，原因在于没能依据题设条件进一步缩小角α、β的范围，导致计算角2α－β的范围扩大而出错．(2)为了防范类似的错误，应该 ①树立函数择优意识选择运算该角的哪个三角函数值，会直接影响角的解的个数，如本例选择公式T α±β较方便快捷，且不易产生增解．②注意题设隐含条件的挖掘个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)”来进一步限定角α，β的范围．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

数学北师大版必修4 3.2两角和与差的正切函数含解析

备课资料备用习题1.已知A 、B 、C 是斜△ABC 的三个内角,求证:(1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; (2)tan2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 2.设关于x 的一元二次方程mx 2+(2m-1)x+(m+1)=0的两个实根为tanα与tanβ,求tan(α+β)的取值范围. 3.求tan70°+tan50°-3tan50°tan70°的值. 4.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=m m -+11tanα. 5.化简AB A sin )2sin(+-2cos(A+B). 6.已知5sinβ=sin(2α+β).求证:2tan(α+β)=3tanα.参考答案:1.解:(1)∵A 、B 、C 是斜△ABC 的内角,∴A+B+C=π,即A+B=π-C.由题意可知,A 、B 、C 都不为2π,因此有tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC. ∴BA B A tan tan 1tan tan -+=-tanC,去分母,移项,整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.(2)∵2A +2B +2C =2π,∴2A +2B =2π-2C . ∴tan(2A +2B )=tan(2π-2C ). ∴2tan 12tan 2tan 12tan 2tanC B A B A =-+.去分母,移项,整理可得 tan2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 2.解:由题设可知m≠0,且Δ=(2m -1)2-4m(m+1)≥0.① 由①解得m ∈(-∞,0)∪(0,81］. 根据韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=++=∙,2112tan tan ,1tan tan m m m m m m βαβα 则tan(α+β)=mm m m1121tan tan 1tan tan +--=-+βαβα=2m-1.∵m ∈(-∞,0)∪(0,81］,∴2m-1≤2×81-1=-43,且2m-1≠-1. ∴tan(α+β)的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,-43］. 3.解:原式=tan(70°+50°)(1-tan70°tan50°)-3tan50°tan70° =-3(1-tan70°tan50°)-3tan50°tan70° =-3+3tan70°tan50°-3tan50°tan70°=-3. ∴原式的值为-3.4.证明:由sinβ=ｍsin(2α+β)⇒sin ［(α+β)-α］=ｍsin ［(α+β)+α］⇒sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=ｍ［sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα］⇒(1-ｍ)·sin(α+β)cosα=(1+ｍ)·cos(α+β)sinα⇒tan(α+β)=mm -+11tanα. 点评:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β 可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理.此方法是综合法,利用综合法证明恒等式时,必须有分析的基础,才能顺利完成证明. 5.解:原式=AA B A A B A A A B A A B A sin sin )cos(cos )sin(sin sin )cos(])sin[(+-+=+-++ AB A A B A sin sin sin ])sin[(=-+= 点评:本题中三角函数均为弦函数,所以变形的问题只涉及角.一般来说,三角函数式的化简问题首先考虑角,其次是函数名,再次是代数式的结构特点.6.解:∵β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α,∴5sin ［(α+β)-α］=sin ［(α+β)+α］,即5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.∴2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα.∴2tan(α+β)=3tanα.点评:注意到条件式的角是β和2α+β,求证式中的角是α+β和α,显然“不要”的角β和2α+β应由要保留下来的角α+β与α来替代.三角条件等式的证明,一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代,然后选择恰当的公式变形.三角变换中经常要化复角为单角,化未知角为已知角.因此,看准角与角的关系十分重要.哪些角消失了,哪些角变化了,结论中是哪些角,条件中有没有这些角,在审题中必须对此认真观察和分析.常见的变角方式有:α=(α+β)-β;2α=(α+β)+(α-β);2α-β=(α-β)+α.当然变形的方式不唯一,应因题而异,要具体问题具体分析.(设计者:郑吉星)。

2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：3.2.3 两角和与差的正切函数 Word版含答案

2.3 两角和与差的正切函数明目标、知重点 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.生疏两角和与差的正切公式的常见变形，并能机敏应用．1．两角和与差的正切公式 (1)T α＋β：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(2)T α－β：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T α＋β的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)． tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).(2)T α－β的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)． tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1.[情境导学] 某城市的电视放射塔建在市郊的一座小山上．小山的高BC 约为30米，在地平面上有一点A ，测得A 、C 两点间距离约为67米，从点A 处观测电视放射塔的视角(∠CAD )约为45°.求这座电视放射塔的高度．解设电视放射塔的高CD ＝x ，∠CAB ＝α，则sin α＝3067.在Rt △ABD 中， tan(45°＋α)＝x ＋3030tan α，于是x ＝30tan (45°＋α)tan α－30.如何能由sin α＝3067求得tan(45°＋α)的值呢？或者说能不能用sin α把tan(45°＋α)表示出来呢？虽然我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，但是使用这些公式明显不能直接解决上述问题．我们有必要得到两角和与差的正切公式．探究点一两角和与差的正切公式的推导思考1 你能依据同角三角函数基本关系式tan α＝sin αcos α，从两角和与差的正弦、余弦公式动身，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试．答当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β.当cos αcos β≠0时，分子分母同时除以cos αcos β，得 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.依据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得 tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.思考2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？答在公式T α＋β，T α－β中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )．探究点二两角和与差的正切公式的变形公式思考两角和与差的正切公式变形形式较多，例如： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.这些变形公式在解决某些问题时是格外便利的．请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习．练习直接写出下列式子的结果： (1)tan 12°＋tan 33°1－tan 12°tan 33°＝； (2)tan 75°＝； (3)1－tan 15°1＋tan 15°＝ . 答案 (1)1 (2)2＋3 (3)33例1 求下列各式的值： (1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.反思与感悟公式T α＋β，T α－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．跟踪训练1 求下列各式的值： (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°. 解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°＝－ 3.例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β的值．解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1， ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α＋β∈(π，2π)． ∴α＋β＝7π4.反思与感悟此类题是给值求角题，解题步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值，(2)确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加争辩，范围争辩的程度过大或过小，会产生增解或者漏解．跟踪训练2 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β.解由已知得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－33tan α·tan β＝4，∴tan α、tan β均为负，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∵－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3. 例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试推断△ABC 的外形．解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33. 又∵0<A ＋B <π， ∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6，∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33，∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰钝角三角形．反思与感悟三角形中的问题，A ＋B ＋C ＝π确定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它查找角之间的关系削减角的个数．跟踪训练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角．求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 证明 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C . ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－tan C .∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .1．若tan(π4－α)＝3，则tan α的值为( )A ．－2B ．－12C.12 D ．2答案 B解析 tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤π4－⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan ⎝⎛⎭⎫π4－α1＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－31＋3＝－12.2．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．不确定答案 B解析 (1＋tan A )·(1＋tan B )＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.3．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝ .答案 π4解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55， ∴cos B ＝255，∴tan B ＝12，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝13＋121－13×12＝1.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.4．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ . 答案 17解析 tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＋tan ⎝⎛⎭⎫β－α21－tan ⎝⎛⎭⎫α－β2tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝12＋⎝⎛⎭⎫－131－12×⎝⎛⎭⎫－13＝17.[呈重点、现规律]1．公式T α±β的适用范围、结构特征和符号规律(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．(2)公式T α±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． (3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 2．公式T α±β的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要留意常值代换．如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特殊留意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T α±β的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有机敏应用公式T α±β的意识，就不难想到解题思路．一、基础过关1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7答案 A2．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1323 C.723 D.16 答案 C解析 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4＝35－141＋35×14＝723. 3．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4答案 C4．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角． 5.1＋tan 75°1－tan 75°＝ .答案－36．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为．答案 23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α ＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 7．求下列各式的值：(1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.(2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.二、力气提升8．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．tan 10° D.3tan 20°答案 A解析原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10° ＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°) ＝3×33＝1. 9．设θ为其次象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝ . 答案－105解析由于tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝12，所以tan θ＝－13，由于θ为其次象限角，所以cos θ＝－11＋tan 2θ＝－31010，sin θ＝1－cos 2θ＝1010，则sin θ＋cos θ＝1010－31010＝－105. 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝ .答案 1解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1.11．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1.证明 ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴A 2＋B 2＋C2＝90°.∴A ＋B 2＝90°－C 2.∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－C 2＝1tanC 2. ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2·tan C2＝1. ∴⎝⎛⎭⎫tan A 2＋tan B 2tan C21－tan A 2tanB2＝1，∴tan A 2tan C 2＋tan B 2tan C 2＝1－tan A 2tan B 2.即tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1.12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. 求：(1)tan(α＋β)的值； (2)α＋2β的大小．解由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.三、探究与拓展13．已知tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，试求 sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．解由已知有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－(－3)＝34.∴sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β) ＝sin 2(α＋β)－3sin (α＋β)cos (α＋β)－3cos 2(α＋β)sin 2(α＋β)＋cos 2(α＋β)＝tan 2(α＋β)－3tan (α＋β)－3tan 2(α＋β)＋1＝(34)2－3×34－3(34)2＋1＝－3.。

高中数学 3.2.3 两角和与差的正切函数课时训练北师大版必修4

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.3 两角和与差的正切函数课时训练北师大版必修4一、选择题1．已知α∈(－π2，0)，sin α＝－45，则tan(α＋π4)＝( )A ．－7B ．－17C.17D ．7【解析】 ∵α∈(－π2，0)，sin α＝－45，∴cos α＝35，∴tan α＝－4535＝－43，∴tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝1－431＋43＝－17.【答案】 B2．tan 20°tan 50°＋tan 20°tan 60°－tan 60°tan 50°等于( ) A ．1 B ．－1 C. 3D ．－ 3【解析】原式＝tan 20°(tan 50°＋tan 60°)－tan 60°tan 50°＝tan 20°tan 110°(1－tan 50°tan 60°)－tan 60°tan 50°＝tan 20°(－tan 70°)(1－tan 50°tan 60°)－tan 50°tan 60° ＝－(1－tan 50°tan 60°)－tan 50°tan 60° ＝－1. 【答案】 B3．(1＋tan 17°)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)(1＋tan 28°)的值是( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16【解析】 (1＋tan 17°)(1＋tan 28°)＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°，①又∵tan 45°＝tan(17°＋28°) ＝tan 17°＋tan 28°1－tan 17°tan 28°，∴①式＝1＋(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°＝2. 同理(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝2. ∴原式＝4.故选B. 【答案】 B4．在△ABC 中，tan A ＝13，tan B ＝－2，则角C 的值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2【解析】 C ＝π－(A ＋B )，∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－13－21＋13×2＝1，∴C ＝π4，故选B.【答案】 B5．设tan θ和tan(π4－θ)是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则p 、q 之间的关系是( )A ．p ＋q ＋1＝0B ．p －q ＋1＝0C ．p ＋q －1＝0D ．p －q －1＝0【解析】 ∵tan θ＋tan(π4－θ)＝－p ，tan θ·tan(π4－θ)＝q ，π4＝θ＋(π4－θ)， ∴tan π4＝tan[θ＋(π4－θ)]＝－p 1－q ＝1，∴p －q ＋1＝0. 【答案】 B 二、填空题6．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝________.【解析】 ∵α为第三象限的角，则2k π＋π≤α≤2k π＋3π2，∴4k π＋2π≤2α≤4k π＋3π(k ∈Z )．又cos 2α＝－35，∴sin 2α＝45，tan 2α＝－43，∴tan(π4＋2α)＝1＋tan 2α1－tan 2α＝－17.【答案】－177．已知α、β、γ都是锐角，且tan α＝12，tan β＝15，tan γ＝18，则α＋β＋γ＝________.【解析】 ∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋151－12×15＝79，tan(α＋β＋γ)＝tan α＋β＋tan γ1－tan α＋βtan γ＝79＋181－79×18＝1，由于tan α＝12＜33.且α为锐角，∴0＜α＜π6，同理0＜β＜π6，0＜γ＜π6∴0＜α＋β＋γ＜π2，∴α＋β＋γ＝π4.【答案】π48．若a ，b 是非零实数，且a sin π5＋b cosπ5a cos π5－b sinπ5＝tan 8π15，则ba ＝________.【解析】 ∵a sin π5＋b cosπ5a cos π5－b sinπ5＝tan π5＋b a 1－b a tan π5＝tan 8π15＝tan(π5＋π3)＝tan π5＋tanπ31－tan π5·tanπ3，∴b a ＝tan π3＝ 3. 【答案】 3三、解答题9．已知tan α，tan β是方程mx 2＋(2m －3)x ＋(m －2)＝0的两根，求tan(α＋β)的最小值．【解】由题设知，tan α＋tan β＝－2m －3m ，tan α·tan β＝m －2m.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3－2mm 1－m －2m＝32－m ，又Δ＝(2m －3)2－4m (m －2)≥0，∴4m 2－12m ＋9－4m 2＋8m ≥0，∴－4m ＋9≥0，即m ≤94，∴－m ≥－94，∴32－m ≥32－94＝－34，即tan(α＋β)≥－34.因此tan(α＋β)的最小值为－34.10．在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tanB ，判断△ABC 的形状．【解】由tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C ) ＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝3－3tan B tan Ctan B tan C －1＝－3，而0°<A <180°，∴A ＝120°.由tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝tan A ＋tan B tan A tan B －1＝tan A ＋tan B 3tan A ＋3tan B ＝33，而0°<C <180°，∴C ＝30°，∴B ＝30°，∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形． 11．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．【解】 (1)由cos β＝55，β∈(0，π)得sin β＝255，tan β＝2. 于是tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.(2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝1010，cos α＝－31010. f (x )＝2(sin x ·cos α－cos x ·sin α)＋cos x ·cos β－sin x ·sin β＝2(－31010·sin x －1010·cos x )＋55cos x －255sin x＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x＝－5sin x ，所以f (x )的最大值为 5.。

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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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10．设一元二次方程 mx2＋(2m－1)x＋(m＋1)＝0 的两根为 tan α，tan β，求 tan(α＋β)的取值范围．
参考答案
1 答案：A 2 答案：B 3 答案：B 4 答案：B 5 答案：D 6 答案：
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2 3
7 答案： 3 8 答案：
9 答案：18 m 10 答案：(－∞，－1)∪ 1, 4
1．若 tan α＝3，则 tan 4．若 A＝15° ，B＝30° ，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )． A．1 B．2 C．－1 D．－2 5．设 A，B，C 是△ABC 的三个内角，且 tan A，tan B 是方程 3x2－5x＋1＝0 的两个实数根，则△ABC 是( )． A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 6．在△ABC 中，tan A＋tan B＋ 3 ＝ 3 tan Atan B，则 C＝__________．
课后训练
13 )．的值为( 4 1 1 A．－2 B．2 C． D． 2 2 2 1 2．已知 tan(α＋β)＝， tan ，则 tan 的值等于( )． 5 4 4 4 13 3 13 3 A． B． C． D． 18 22 22 18 2 3 ，则 tan Atan B 的值为( 3．在△ABC 中，∠C＝120° ，tan A＋tan B＝ )． 3 1 1 1 5 A． B． C． D． 4 3 2 3
tan 20 tan50 1 7．＝__________． tan20 tan50 1 8．已知 tan =2 ，求的值． 2sin cos cos 2 4

高中数学 3.2.3 两角和与差的正切函数课后训练北师大

"【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 3.2.3 两角和与差的正切函数课后训练北师大版必修4 "1．若tan α＝3，则13tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( )． A ．－2 B ．2 C ．12 D ．12- 2．已知tan(α＋β)＝25，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于( )． A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．3183．在△ABC 中，∠C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A t an B 的值为( )． A ．14 B ．13 C ．12 D ．53 4．若A ＝15°，B ＝30°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( )．A ．1B ．2C ．－1D ．－25．设A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )．A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形6．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C ＝__________． 7．tan 20tan 501tan20tan50(-)--o o o o＝__________． 8．已知tan =24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求212sin cos cos ααα+的值． 9．如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9 m 和15 m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝45°，求建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD ．10．设一元二次方程mx 2＋(2m －1)x ＋(m ＋1)＝0的两根为tan α，tan β，求tan(α＋β)的取值范围．参考答案1答案：A2答案：B3答案：B4答案：B5答案：D6答案：3π7答案：38答案：2 39答案：18 m10答案：(－∞，－1)∪31,4⎛⎤--⎥⎝⎦。

北师大版必修4高中数学3.2.3《两角和与差的正切函数》练习题

【金榜教程】2018年高中数学 3.2.3两角和与差的正切函数检测试题北师大版必修4(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2018·邯郸高一检测)已知tan α=12，tan(α-β)=25-,那么tan(2α-β)的值为( )(A)34- (B)98 (C)98- (D)1122.已知α+β=34p,则(1-tan α)(1-tan β)的值等于( )(A)2 (B)-2 (C)1 (D)-1 3.已知实数a ，b 均不为零，asin bcos tan acos bsin a +a =b a -a ，且β－α=6p ，则ba等于( )4.(2011·承德高一检测) 设tan θ、tan(4p-q )是方程x 2+px+q=0的两个根，则p 、q 之间的关系为( )(A)p+q+1=0 (B)p-q+1=0 (C)p+q-1=0 (D)p-q-1=0二、填空题(每小题4分，共8分) 5.已知sin α=45，tan(α+β)=1，且α是第二象限的角，那么tan β的值等于________．6.已知△ABC tanAta nB-tanA-tanB=则∠C=_______.三、解答题(每小题8分，共16分)7.已知tan α与tan β是一元二次方程3x 2+5x-2=0的两个根，且0°＜α＜90°，90°＜β＜180°．求tan(α-β)的值.8.角α、β(0＜α＜β＜π)的终边与单位圆分别交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为10、5-.试求： (1)tan(α-β)；(2)α-2β. 【挑战能力】(10分)是否存在两个锐角α,β满足(1)α+2β=23p ；(2)tan tan 22ab =-α,β的值；若不存在，说明理由．答案解析1.【解析】选D.tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]tan tan()1tan tan()a +a -b =-a a -b12()12512121()25+-==--g . 2.【解析】选A.∵α+β=34p ,∴tan(α+β)= tan tan 1tan tan a +b -a b=-1, 则tan αtan β-tan α-tan β=1,(1-tan α)(1-tan β)=1-tan α-tan β+tan αtan β =1+tan αtan β-(tan α+tan β)=1+1=2. 3.【解析】选B. tan β=tan(α+6p) tan tantan 61tan tan 6p a +a +==p -a btan asin bcos a b acos bsin 1tan aa +a +a ==a -a -a.∴b a =. 4.【解析】选B.由题意及韦达定理可得：tan tan 4p tan tan()tan 41tan tan 2p-q p -=q+-q =q+p +q 2tan 11tan q+=+q， tan tan 4q tan tan()tan 41tan tan 4p-qp =q -q =q p +q g gg2tan tan 1tan q-q=+q， ∴22tan 1tan tan p q 11tan 1tan q+q-q-+=+=+q +q，∴p-q+1=0.5.【解析】sin α=45，α是第二象限的角， ∴cos α=35-，tan α=43-，∴41tan()tan 3tan tan[()]741tan()tan 13+a +b -a b =a +b -a ===+a +b a -－. 答案:-76.【解析】由题知tanA tanB1tanAtanB+=--又0＜A+B ＜π,∴A+B=23π,∴C=π-A-B= 3p.答案: 3p7.独具【解题提示】根据一元二次方程可以求出它的两个根，然后再根据角的范围确定tan α和tan β的值，从而可求tan(α-β)的值；也可以根据韦达定理写出tan α+tan β和tan αtan β的值，表示出tan α-tan β，再用公式求tan(α-β)的值. 【解析】方法一:一元二次方程3x 2+5x-2=0的两个根x 1=13,x 2=-2. ∵0°＜α＜90°， 90°＜β＜180°， ∴tan α=13,tan β=-2. ∴tan tan tan()1tan tan a -ba -b =+a b73721()3==+-.方法二：由一元二次方程根与系数的关系有: tan α+tan β=53-,tan αtan β=23-，∵(tan α-tan β)2=(tan α+tan β)2-4tan αtan β25249()4()339=--?=. ∵0°＜α＜90°，90°＜β＜180° ∴tan α-tan β＞0，∴tan α-tan β=73. ∴tan tan tan()1tan tan a -ba -b =+a b73721()3==+-.8.【解析】(1) 由已知条件及三角函数的定义可知， 0＜α＜2 ＜β＜π，cos α=10，cos β=5- . 因为α为锐角，故sin α＞0，从而sin a =，同理可得sin β=5，因此tan α=7，tan β=12-. 所以17tan tan 2tan()311tan tan 172+a -b a -b ===-+a b -?. (2)tan(α-2β)=tan[(α-β)-β]132111(3)()2-+==-+-?.又0＜α＜2p , 2p＜β＜π. ∴-2π＜α-2β＜2p-，得α-2β=54p-. 独具【误区警示】求解过程中，往往容易忽略对角范围的判断或者是范围判断不准确而导致出错.【挑战能力】【解析】由(1)得23a p +b =，tan tan2tan()21tan tan2a+ba+b=-b∴tan tan22tan tan32ìaïïb=-ïïíïaï+b=-ïïïî，∴tan22tan1ìaïï=-ïíïïb=ïîtan2tan12ìïb=-ïïíaï=ïïïî(∵024a p＜＜，∴ta n2a≠1，舍去)，∴64ìpïïa=ïïíïpïb=ïïïî为所求满足条件的两个锐角．独具【方法技巧】探索性问题的求解方法:本题属于条件探索性问题.求解时，先假设结论成立，采用执果索因的方式利用已有的知识建立等量关系，如本题中，应充分利用(1)、(2)两个条件，通过tan(2a+β)的公式建立2与β的等量关系进而求出α,β的值，最后下结论.。

高中数学第三章三角恒等变形 3.2.3 两角和与差的正切函数练习北师大版必修4-北师大版高一必

2.3 两角和与差的正切函数1.已知α∈,sin α=-,则tan=( )A.-7B.-C.D.7解析:∵α∈,∴cos α=,∴tan α=-.∴tan=-.答案:B2.(2016某某日照高二统考)已知tan(α+β)=,tan,那么tan=()A. B. C. D.-解析:因为α+=(α+β)-,所以tan=tan=,故选C.答案:C3.若A=15°,B=30°,则(1+tan A)(1+tan B)的值为()A.1B.2C.-1D.-2解析:由结论A+B=45°,则(1+tan A)(1+tan B)=2.答案:B4.(2016某某某某高三模拟)若tan α=lg(10a),tan β=lg,且α+β=,则实数a的值为()A.1B.C.1或D.1或10解析:tan α+tan β=lg(10a)+lg=lg 10=1,∵α+β=,∴tan=tan(α+β)==1,∴tan αtan β=0,则有tan α=lg(10a)=0或tan β=lg=0,∴10a=1或=1,即a=或1,故选C.答案:C5.若锐角α,β使α+2β=,tantan β=同时成立,则α+β的值为()A.B.C.D.解析:∵α+2β=,∴+β=,∴tan,即tan+tan β=,∴tan,tan β是x2-x+=0的两个根,解得tan=tan β=.又α,β均为锐角,∴=β=,故α+β=.答案:B6.已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则tan的值为.解析:依题意,tan θ==-1,∴tan=2-.答案:2-7.已知tan α=,tan(α-β)=,则tan β=.解析:因为tan α=,tan(α-β)=,所以tan β=tan[α-(α-β)]==-.答案:-8.导学号03070137(2015某某调研)已知α∈,且tan=3,则log5(sin α+2cos α)+log5(3sinα+cos α)=.解析:利用两角和的正切公式得tan=3,∴tan α=.∴log5(sin α+2cos α)+log5(3sin α+cos α)=log5=log5=log55=1.答案:19.已知tan α=3.(1)求tan的值;(2)求的值.解:(1)tan.(2)由tan α=3,得cos α≠0,所以=4.10.已知tan α=-,cos β=,α,β∈(0,π).(1)求tan(α+β)的值;(2)求函数f(x)=sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.解:(1)∵cos β=,β∈(0,π),∴sin β=,∴tan β=2,∴tan(α+β)==1.(2)∵tan α=-,α∈(0,π),∴sin α=,cos α=-,∴f(x)=(sin x cos α-cos x sin α)+(cos x cos β-sin x sin β)=-sin x-cos x+cos x-sin x=-sin x.又-1≤sin x≤1,∴f(x)的最大值为.11ABC中,求证:tantan+tantan+tantan=1.证明:左边=tan+tantan=tantan+tantan=tantan+tan·tan=tan+tantan=1=右边.故原等式成立.。

高中数学必修四北师大版 3.2.3两角和与差的正切函数 作业1 含答案

北师大版必修4 第3章 2.3 两角和与差的正切函数 作业

高中数学必修四北师大版 两角和与差的正切函数 课时作业 含答案