第3章薛定谔方程及应用简例2(势阱 势垒 谐振子)
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势阱中的粒子
∆En En
≈
h2 2n 2 8ma 2 h2 n 8ma2
=
2 n
随着n的增加成反比地 可见能级的相对间隔 ∆En随着 的增加成反比地 减小。 减小。当
n →∞
∆E 时 ， n 较之 En
En要小的多。这时， 要小的多。这时，
能量的量子化效应就不显著了， 能量的量子化效应就不显著了，可认为能量是连续的 ，经典图样和量子图样趋与一致。所以，经典物理可 经典图样和量子图样趋与一致。所以， 时的极限情况。 以看作是量子物理中量子数 n → ∞时的极限情况。
例题2试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 例题 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 值的 位置。 位置。 解： 一维无限深势阱中粒子的概率密度为
2 φn (n) = a sin2 nπ x a 2
n = 1,2,3,L
将上式对x求导一次， 将上式对 求导一次，并令它等于零 求导一次
d φn ( x ) dx
2
x=0
m π π = 4a2π sin na x cos na x = 0
π 0 < x < a , sin na x ≠ 0
因为在阱内， 因为在阱内，即 只有
π cos na x = 0
于是
nπ a
x = (2N + 1) π 2
N = 0,1,2,L, n − 1 x = (2N + 1) 2an
18.0 薛定谔方程及其应用
−2
h2 2 2 −15 E=n = n × 3.77 ×10 eV 2 8ma h2 近似于连续） ∆E ≈ 2n = n × 7.54×10−15 eV （近似于连续） 2 8ma
能量分立） 当 a = 0.10nm 时, ∆E ≈ n × 75.4eV（能量分立）
五
一维方势垒 隧道效应
Ep (x)
n =4
2 2 nπ ψ ( x) = sin x a a 2 ψn
2
16E1
n =3 n =2
n =1 x =0
a2
9 E1 4 E1
a
x =0
a2
a
E1
Ep = 0
四
对应原理 在某些极限的条件下，量子规律可以转化 极限的条件下 转化为经 在某些极限的条件下，量子规律可以转化为经 典规律 . 2 能量
ψ (x )
ψ1
ψ2 ψ3
o
a
x
来源于微观粒子的波粒二相性 .
应用 1981年宾尼希和罗雷尔 年宾尼希和罗雷尔 利用电子的隧道效应制成了扫描遂 穿显微镜 ( STM ), 可观测固体表面 原子排列的状况 . 1986年宾尼希又 年宾尼希又 研制了原子力显微镜. 研制了原子力显微镜
量子围栏照片
2 2 2 2
8π 2 m 2 ∇ ψ + 2 ( E − Ep )ψ = 0 h
h2 2 2 −15 E=n = n × 3.77 ×10 eV 2 8ma h2 近似于连续） ∆E ≈ 2n = n × 7.54×10−15 eV （近似于连续） 2 8ma
能量分立） 当 a = 0.10nm 时, ∆E ≈ n × 75.4eV（能量分立）
五
一维方势垒 隧道效应
Ep (x)
n =4
2 2 nπ ψ ( x) = sin x a a 2 ψn
2
16E1
n =3 n =2
n =1 x =0
a2
9 E1 4 E1
a
x =0
a2
a
E1
Ep = 0
四
对应原理 在某些极限的条件下，量子规律可以转化 极限的条件下 转化为经 在某些极限的条件下，量子规律可以转化为经 典规律 . 2 能量
ψ (x )
ψ1
ψ2 ψ3
o
a
x
来源于微观粒子的波粒二相性 .
应用 1981年宾尼希和罗雷尔 年宾尼希和罗雷尔 利用电子的隧道效应制成了扫描遂 穿显微镜 ( STM ), 可观测固体表面 原子排列的状况 . 1986年宾尼希又 年宾尼希又 研制了原子力显微镜. 研制了原子力显微镜
量子围栏照片
2 2 2 2
8π 2 m 2 ∇ ψ + 2 ( E − Ep )ψ = 0 h
《薛定谔方程》课件
对于谐振子势，薛定谔方程是一个复杂的 偏微分方程，需要使用分离变量法或数值 方法求解。
能级
波函数
在谐振子势中，粒子的能级也是离散的， 但能级间隔和能级数与势阱的形状和维度 有关。
波函数描述了粒子在空间中的概率分布， 在谐振子势中，波函数具有明显的振动模 式。
氢原子模型
01
描述
氢原子模型是一个经典的三维问 题，用于描述电子绕着质子运动
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质， 如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函 数，通常表示为Ψ(r,t)，其中r是 位置向量，t是时间。
02
波函数的性质
03
波函数的归一化
波函数具有波动性和粒子性，可 以描述微观粒子的位置和动量等 性质。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的 求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问 题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如 具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的 运动，其中势能只在有限区域内存在。
大学物理-薛定谔方程
若 m、a、( U0 – E ) 越小，则穿透率 T 越大。
实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。 例如，★ 放射性核的 粒子衰变
★ 扫描隧穿显微镜
* 怎样理解粒子通过势垒区?
经典物理： 从能量守恒的角度看是不可能的。
量子物理： 粒子有波动性，遵从不确定关系，
粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。
概率密度的特点：
U(x)
En
n很大 n 2
E2 E1 E0
0
2 2 1 2
0 2
x
(1) 概率在E < U 区仍有分布 —— 隧道效应
(2) n小时，概率分布与经典谐振子完全不同
例如基态位置概率分布在 x = 0 处最大，
W0( x) 0( x) 2
e 2 x2
0 2 n0
经典振子在x = 0处概率最小。
（4）它是非相对论形式的方程。
二 .定态薛定谔方程
常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间 t 无关的稳定的势场问题，这称为定态问题。 例如：
自由运动粒子…………U = 0
氢原子中的电子…… Ur 1 e2
4 0 r
这时波函数 可以用分离变量法分离为
一个空间坐标的函数和一个时间函数的 乘积。
sin x, aa
en
2 cos n x, aa
n 0,
第3章薛定谔方程及应用简例
薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖3
一、自由粒子薛定谔方程的引进 1.自由粒子满足的方程 自由粒子波函数 ( x,t )
i ( Px x E t) Ae
薛定谔给出自由粒子波函数满足的 微分方程是
2 i ( x, t ) ( x, t ) 2 t 2m x
i Ent e
2 nπ n sin x a a
( n 1,2,3,)
（驻波解）
38
7. 概率密度
Pn
*
*
2 2 nπ sin x a a
n 1,2,
π 2 2 2 2 πn En n n sin x 2 2ma a a
39
π 2 2 2 2 πn En n n sin x 2 2ma a a 2 2 nπ Pn sin x n 1,2, a a 小结：本征能量和本征函数的可能取值
20
§3 无限深方势阱中的粒子 一、 一维无限深方形势阱 二、薛定谔方程和波函数 三、旧量子论的半经典解释
21
举几个小例
1 )说明量子力学解题的思路
2 )了解量子力学给出的一些重要的结论
22
一、量子力学解题的一般思路
1.由粒子运动的实际情况
正确地写出势函数U(x)
第三章 量子力学初步
1）振子的振动频率；
2）绝对零度时一摩尔HCL气体的总振动能量。
2、一维无限深势阱
目的：了解势井中量子状态的特点， 分立能级、零度能等。 II • 如图，Ⅰ中，势能为0； V • Ⅱ、Ⅲ中，势能为∞ 不分区的哈密顿方程
d 2 ( x) V ( x) E ( x) 2 2m dx
2）与经典粒子不同的第二点。由
E
2
2 2
2m a
nБайду номын сангаас
2
量子粒子的 最小能量为：
E1 0 2 2m a
2 2
这符合不确定关系，因为量子粒子在有限空间内运动，其速度 不可能为零，而经典粒子可能处于静止的能量为零的最低能态
3）由粒子的能量公式，可得到势阱中粒子的动量:
pn 2mE n n
n ( ) H n ( )e
其通式为：
1 2 2
Hn ( ) : 厄米多项式
n d n 2 H n ( ) (1) e e n d
2
n 0,1,2,
前5个厄米多项式为：
H0 ( ) A0
H1 ( ) A1
H2 ( ) A2 (1 2 2 ) H3 ( ) A3 (3 2 3 ) H4 ( ) A4 (3 12 2 4 4 ) H5 ( ) A5 (15 20 3 4 5 )
第三章 一维势场中的粒子 讲义 2
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第4页
x= ±a/2处的边界条件
时
边界条件为，
若要等式成立
令， 条件变为，
，则边界
第3章
一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第5页
由k和k’的表达式可知，
联立以上两式，即可解出能谱。可
用图解法求解在ξ—η平面上，以
,得到Ψ′的跃变
Fang Jun 第27页
方程的解具有形式e±βx,。由于V(-x) = V(x)，则束缚能量本征态具有确定 宇称。
A. 偶宇称态
考虑到束缚态条件，偶宇称波函数 应表为:
为 特征长度。 归一化的波函数表示为
按Ψ′跃变条件，可得
|x|>L区域 中找到粒 子的几率 为
粒子能量本征值为
利用归一化条件
经典粒子如何运动？
由于没有无限远处波函数为零的约束，体系能量可以取任意值，组 成连续谱。这类问题属于粒子被势场散射问题，粒子从无限远处来， 经势场散射后又到无限远处去。在这类问题中，粒子能量是预先给 定的。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第13页
V(x) E V0 I II 0 a III
第二章 量子力学初步-3 薛定谔方程
4
a 2
3
2a 3
2 a
o
a
1 2a
一维无限深势阱结论总结：
能级
En n
2
2 2
2ma 2
能量是量子化的，
n =1, 2, 3, … （量子数）
存在最低能量（零点能)
E1 0 2 2ma
2 2
这是不确定关系要求的，是量子客体具有波粒二象性这 种固有属性所决定的。
第二章 量子力学的初步介绍--3
2.3 薛定谔方程
本讲主要内容： 一、薛定谔方程(Schrodinger equation)的建立 二、定态薛定谔方程
三、有限宽势垒和隧道效应
四、量子力学小结
2.3.1薛定谔方程的建立
1926年, 薛定谔介绍德布罗意波后, 德拜：‚有了波就应该 有一个波动方程。‛ 几周后 薛定谔找到（提出）了波函数满足的微分方程 － 薛 定谔方程 从而建立了描述微观粒子运动规律的学科—量子力学。 薛定谔方程是描述微观粒子的基本方程，同牛顿定律一样 是不能由其它基本原理推导出来的，它最初只是一个假定， 后通过实验检验了它的正确性。
二、一维无限深势阱
U(x) U=U0 U=U0 U→∞ 极 U(x) U→∞
E
U=0
E
U=0 Ⅰ 0 Ⅱ a Ⅲ 无限深方势阱
金属
x
a 2
3
2a 3
2 a
o
a
1 2a
一维无限深势阱结论总结：
能级
En n
2
2 2
2ma 2
能量是量子化的，
n =1, 2, 3, … （量子数）
存在最低能量（零点能)
E1 0 2 2ma
2 2
这是不确定关系要求的，是量子客体具有波粒二象性这 种固有属性所决定的。
第二章 量子力学的初步介绍--3
2.3 薛定谔方程
本讲主要内容： 一、薛定谔方程(Schrodinger equation)的建立 二、定态薛定谔方程
三、有限宽势垒和隧道效应
四、量子力学小结
2.3.1薛定谔方程的建立
1926年, 薛定谔介绍德布罗意波后, 德拜：‚有了波就应该 有一个波动方程。‛ 几周后 薛定谔找到（提出）了波函数满足的微分方程 － 薛 定谔方程 从而建立了描述微观粒子运动规律的学科—量子力学。 薛定谔方程是描述微观粒子的基本方程，同牛顿定律一样 是不能由其它基本原理推导出来的，它最初只是一个假定， 后通过实验检验了它的正确性。
二、一维无限深势阱
U(x) U=U0 U=U0 U→∞ 极 U(x) U→∞
E
U=0
E
U=0 Ⅰ 0 Ⅱ a Ⅲ 无限深方势阱
金属
x
量子力学习题
1 hc 2 m v m h A A 2 6.63 10 34 3 108 2.30 1.84[eV] 9 19 300 10 1.6 10
例1. 设有一个电子在宽为0.20nm一维无限深的方势阱
中， （1）计算电子在最低能级的能量；
（2）当电子处于第一激发态时，在势阱何处出 现的概率最小，其值为多少？
全同粒子：
全同粒子所组成的体系中，任意二全同粒子相互交 换位置，不引起体系物理状态的改变。
——全同性原理
全同粒子系的特征： 全同粒子系波函数具有的交换对称性。
14
2）原子中的电子分布 a.泡利不相容原理
在一个原子系统内，不可能有两个或两个以上的电子具有
相同的状态，亦即不可能具有完全相同的四个量子数。
l=0 (s) (2) n = 2 l=1 (p)
ml = 0 ml = -1 ml = 0 ml = 1
ms = 1/2 ms = 1/2 ms = 1/2 ms = 1/2 2n2 = 8 个 量子态
(3) 按照能量最低原理和泡利不相容原理在每个量子态 内填充1个电子, 得磷 (P)的电子排布 1s22s22p63s23p3。 1s, 2s, 3s 电子轨道角动量为 2p, 3p 电子轨道角动量为 在 z 方向的投影可以为
解：（1）一维无限深方势阱中粒子的可能能量
π En n 2 2ma
18-8势阱中的粒子势垒谐振子
一维无限深势阱
保守力与势能之间的关系： F dU (x) dx
在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的 力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概 率为0。
势阱内的一维定态薛定谔方程为：
解为：
2 2m
d2i
d x2
E i
k2
2mE 2
i (x) C sin(kx )
一维无限深势阱
由边界条件得： i (0) C sin 0
i (a) C sin ka 0 0
ka n , n 1,2,3
据归一化条件，得
a
0
(
x,
t)
2
d
x
0aC
sin
nx 2
a
d
x
1
C 2
a 得波函数表达式： i (x,t)
2 sin n xei Et
aa
一维无限深势阱
讨 论：
(1)粒子能量不能取连续值
由
K 2＝2mEn , K n
48个Fe原子形成
“量子围栏”， 围栏中的电子形成驻波。
3.谐振子
谐振子的势能为
U 1 kx2 1 m 2x2
22
薛定谔方程为
d2
d x2
2m 2
(
E
1 m 2x2 )
2
0
其能量本征值为
保守力与势能之间的关系： F dU (x) dx
在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的 力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概 率为0。
势阱内的一维定态薛定谔方程为：
解为：
2 2m
d2i
d x2
E i
k2
2mE 2
i (x) C sin(kx )
一维无限深势阱
由边界条件得： i (0) C sin 0
i (a) C sin ka 0 0
ka n , n 1,2,3
据归一化条件，得
a
0
(
x,
t)
2
d
x
0aC
sin
nx 2
a
d
x
1
C 2
a 得波函数表达式： i (x,t)
2 sin n xei Et
aa
一维无限深势阱
讨 论：
(1)粒子能量不能取连续值
由
K 2＝2mEn , K n
48个Fe原子形成
“量子围栏”， 围栏中的电子形成驻波。
3.谐振子
谐振子的势能为
U 1 kx2 1 m 2x2
22
薛定谔方程为
d2
d x2
2m 2
(
E
1 m 2x2 )
2
0
其能量本征值为
第3章薛定谔方程及应用简例1(薛定谔方程)
薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖3 年诺贝尔物理学奖
一、自由粒子薛定谔方程的引进 1.自由粒子满足的方程 自由粒子满足的方程 自由粒子波函数 Ψ ( x, t ) =
i ( Px x − E t) Ae ℏ
薛定谔给出自由粒子波函数满足的 微分方程是
∂ ℏ ∂ iℏ = − ∂t 2m ∂x 2
2 2
•令上述关系作用于波函数 Ψ ( x, t ) 令上述关系作用于波函数 •得到自由粒子满足的薛定谔方程 得到自由粒子满足的薛定谔方程 得到自由粒子满足的
2 ∂ ℏ ∂2 Ψ (x, t) iℏ Ψ (x, t) = − ∂t 2m ∂x2
6
有势场中粒子的薛定谔方程 二、有势场中粒子的薛定谔方程 1.一维有势场 一维有势场U(x,t) 中的粒子 一维有势场 •经典关系式 经典关系式 •替换后关系式 替换后关系式
2
7
2.三维有势场中粒子的薛定谔方程 三维有势场中粒子的薛定谔方程
∂Ψ ℏ2 ∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ = − ( 2 + 2 + 2 ) + U (r , t )Ψ iℏ ∂t 2m ∂x ∂y ∂z
利用
∂2 ∂2 ∂2 2 ∇ = + 2 + 2 2 ∂x ∂y ∂z
2 ∂ 2 写为 iℏ Ψ (r,t) =[− ℏ ∇ +U(r,t)]Ψ (r,t) ∂t 2m
原子物理 薛定谔方程
2
k1
2
2 mE
2
I
I A1 e
ik 1 x
A2 e
ik 1 x
入射波
反射波
右行波
II
B1e
k2 x
左行波
B2e
k2 x
II
第二项舍掉
衰减波
III
III
放大波
ik 1 x
C 1e
C 2e
ik 1 x
透射波
舍掉
隧道效应
(x)
从左方射入 的粒子，在各区 域内的波函数
2 2
2 m dx
mk / ） （
2
2 1/ 4
d
2
( ) 0
式中
H n (x )
2 mE
2 2
2E
n
(
2 n!
n
1
)2e
1 2 2 x 2
En ( n
1 2
)
n 0 ,1, 2 ,3 ,
d
2
i dT
1 2 （ V ） 常数 E T dt 2m
T T0 e
iEt /
令
2
2 ˆ V H
2m
ˆ H E
k1
2
2 mE
2
I
I A1 e
ik 1 x
A2 e
ik 1 x
入射波
反射波
右行波
II
B1e
k2 x
左行波
B2e
k2 x
II
第二项舍掉
衰减波
III
III
放大波
ik 1 x
C 1e
C 2e
ik 1 x
透射波
舍掉
隧道效应
(x)
从左方射入 的粒子，在各区 域内的波函数
2 2
2 m dx
mk / ） （
2
2 1/ 4
d
2
( ) 0
式中
H n (x )
2 mE
2 2
2E
n
(
2 n!
n
1
)2e
1 2 2 x 2
En ( n
1 2
)
n 0 ,1, 2 ,3 ,
d
2
i dT
1 2 （ V ） 常数 E T dt 2m
T T0 e
iEt /
令
2
2 ˆ V H
2m
ˆ H E
量子力学 一维无限深方势阱,线性谐振子,势垒贯穿
1 1 所以，U kxdx kx 2 U 0 m 2 x 2 U 0 。 2 2
若取平衡位置为势能零点，U 0 0 ，则，
U 1 m 2 x 2 2
第二章 波函数和薛定谔方程 2.7、 线性谐振子
2.7.1、谐振子模型
量子力学中 ，谐振子的能量本征值问题，就是在
U 1 求解体系的能级和波函数的问题。 m 2 x 2 的势场中， 2
x a x a
(2) (3)
第二章 波函数和薛定谔方程 2.6、 一维无限深方势阱
据波函数的连续性和有限性条件， （3）式的解为，
x 0 ， x a
(4)
从物理上考虑，因为势壁无限高，粒子不能透过势壁, 按照波函数的统计诠释， 阱壁上以及阱外波函数为 0。 为方便，令 ,则（2）式为，
据归一化条件： n ( x) n ( x)dx nn
*
2 2
(10) (11)
可得归一化系数，
Nn
n!2
n
(12)
第二章 波函数和薛定谔方程 2.7、 线性谐振子
2.7.2、 线性谐振子的能量本征值问题
其中 H ( ) 正交性公式，
H n ( ) H n ( )e d 2n n! nn
n0 n 1 n2
H 3 8 2 12， n 3
薛定谔方程及简单应用
同学们好!
§16.4 (§ 17.1) 薛定谔方程及应用
是波函数Ψ所遵从的方程— 量子力学的基本方程, 根据微观粒子的波动性(同光波比较) 得到自由粒子的波函数 考虑在势场中（保守场）——推广
薛定谔方程的建立 是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。
（一） 一维自由粒子的薛定谔方程
波函数
Ψ
n= 2 n= 1
ax
2) 粒子在势阱中的概率分布
经典： 势阱中U = 0，粒子匀速直线运动 粒子在势阱内各处出现的概率相等
量子：
振幅函数 ( x) 2 sin n x
a
a
波函数 (x,t) 2 sin nx ei Et
aa
(n 1,2,3,...)
概率密度 |Ψ (x, t) |2 | (x) |2 2 sin2 nx
（三） 一般形式薛定谔方程
(x, y, z,t)
哈密顿算符
Hˆ 2 2 U 2m
Hˆ i
t
本课程只要求定态问题：
一维： 三维：
d2
dx 2
2m 2
(E
U
)
0
2
2m 2
(E
U
)
0
薛定谔方程应用举例 (一维问题) 求解问题的思路：
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程 2. 用分离变量法求解
§16.4 (§ 17.1) 薛定谔方程及应用
是波函数Ψ所遵从的方程— 量子力学的基本方程, 根据微观粒子的波动性(同光波比较) 得到自由粒子的波函数 考虑在势场中（保守场）——推广
薛定谔方程的建立 是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。
（一） 一维自由粒子的薛定谔方程
波函数
Ψ
n= 2 n= 1
ax
2) 粒子在势阱中的概率分布
经典： 势阱中U = 0，粒子匀速直线运动 粒子在势阱内各处出现的概率相等
量子：
振幅函数 ( x) 2 sin n x
a
a
波函数 (x,t) 2 sin nx ei Et
aa
(n 1,2,3,...)
概率密度 |Ψ (x, t) |2 | (x) |2 2 sin2 nx
（三） 一般形式薛定谔方程
(x, y, z,t)
哈密顿算符
Hˆ 2 2 U 2m
Hˆ i
t
本课程只要求定态问题：
一维： 三维：
d2
dx 2
2m 2
(E
U
)
0
2
2m 2
(E
U
)
0
薛定谔方程应用举例 (一维问题) 求解问题的思路：
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程 2. 用分离变量法求解
薛定谔方程应用举例
STM样品必须具有一定程度的导电性； 在恒流工作模式下有时对表面某些沟 槽不能准确探测。任何一种技术都有 其局限性。
的三维图象
使人类第一次能够实时地观 测到单个原子在物质表面上 的排列状态以及与表面电子 行为有关的性质。在表面科 学、材料科学和生命科学等 领域中有着重大的意义和广 阔的应用前景。
空气隙
样品 STM工作示意图
利用光学中的受抑全反射理论，研制 成功光子扫描隧道显微镜（PSTM)。 1989年提出成象技术。 它可用于不导电样品的观察。
n (x)组成完备的集合。能量量子数n从1至
在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一
组完备的本征函数展开。这组完备集合满足正交性。
2
a
a 0
sin(
m
a
Biblioteka Baidu
x
)
s
in(
n
a
x
)dx
mn
mn 0, mn 1,
mn mn
所谓叠加态，就是各本征态以一定的几率、 确定的本征值、独立完整的存在于其中。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布；
利用STM可以分辨表面上 原子的台阶、平台和原子 探针 阵列。可以直接绘出表面
的三维图象
使人类第一次能够实时地观 测到单个原子在物质表面上 的排列状态以及与表面电子 行为有关的性质。在表面科 学、材料科学和生命科学等 领域中有着重大的意义和广 阔的应用前景。
空气隙
样品 STM工作示意图
利用光学中的受抑全反射理论，研制 成功光子扫描隧道显微镜（PSTM)。 1989年提出成象技术。 它可用于不导电样品的观察。
n (x)组成完备的集合。能量量子数n从1至
在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一
组完备的本征函数展开。这组完备集合满足正交性。
2
a
a 0
sin(
m
a
Biblioteka Baidu
x
)
s
in(
n
a
x
)dx
mn
mn 0, mn 1,
mn mn
所谓叠加态，就是各本征态以一定的几率、 确定的本征值、独立完整的存在于其中。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布；
利用STM可以分辨表面上 原子的台阶、平台和原子 探针 阵列。可以直接绘出表面
第三章 一维势场中的粒子 new 2(1) 量子力学教学课件
ψ(x)满足一维粒子的能量本征方程
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
我们想找出它在整个区间有限、 连续，可微的解。但这些解要 根据具体物理问题的边条件来
定出。
Fang Jun 第4页
能量本征方程解的一般性质
定理 1 设ψ(x)是方程（1）的一个解，对应的能量本征 值为E，则ψ*(x)也是方程（1）对应能量为E的解。 证明：
f(x) =ψ(x) +ψ(-x), g(x) =ψ(x) - ψ(-x) f(x), g(x) 具有确定宇称。
ψ(x)=[f(x) + g(x)]/2, ψ(-x)=[f(x) – g(x)]/2。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第10页
波函数ψ(x)及其各阶导数连续性
能量可视为连续改变。可见，量子性显著
表现在空间范围很小的微观尺度中。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第25页
节点数: 按定义，所谓节点，即本征函数的零点(端点除 外) Ψn具有n-1个节点。
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第16页
3.2.1 一维无限深方势阱
V→∞ V(x) V→∞
E
相关主题
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n n
i Ent ( x)e
i Ent e
2 nπ n sin x a a
( n 1,2,3,)
（驻波解）
18
7. 概率密度
Pn
*
*
2 2 nπ sin x a a
n 1,2,
π 2 2 2 2 πn En n n sin x 2 2ma a a
p h
粒子在阱外的波函数为零 2 0
由波函数的连续性
阱内的波函数在阱壁上的值也必为零 （驻波）
2a 允许的波长为: n n
n 1, 2, 3, . . .
粒子的动量
h 能量 Pn n 量子化 n 2a 23 h
允许的波长为:
2a n n
n 1, 2, 3, ...
x >0区 (E < U0) 粒子出现的概率 0
U0 x 概率
31
经典：电子不能进入E < U的区域(因动能 0) 量子：电子可透入势垒 若势垒宽度不大 则电子可逸出金属表面 在金属表面形成一层电子气
入射+反射
Ψ1
透射Ψ2
U0
E
Ⅰ区
0
Ⅱ区
x
32
二.有限宽势垒和隧道效应 U0 Ψ2
2
波动形式
d 2 ( x) 2 2 ( x) 0 x0 2 dx x x 通解 2 ( x) Ce De
指数增加和衰减
29
考虑物理上的要求
当x 时 2(x) 应有限 所以 D= 0
1 2 m (U 0 E ) x
于是 2 ( x) Ce x Ce
10
2.哈密顿量
ˆ d U ( x) H 2m dx 2
3.定态薛定谔方程
2
2
U ( x) 0
0
a
x
阱外： 2 d 2
2 ( x) E 2 ( x) 2 2m dx
2 d2 ( x) E1( x) 阱内： 2 1 2m dx
Ψ1
2 (a) C e Ψ3
隧道效应
a 2 m (U 0 E )
E
Ⅰ区 0 Ⅱ区 a
Ⅲ区
x
2 ( x) C e
x=a
1 2 m (U 0 E ) x
a 2 m (U 0 E )
33
2 (a) C e
Ψ1
U0 Ψ2
2 (a ) C e Ψ3
参考信号
扫描隧道显微镜示意图
41
某种型号的扫描隧道显微镜
42
1991年 恩格勒等用STM在镍单晶表面遂个移 动氙原子拚成了字母IBM，每个字母长5纳米，
43
44
基于STM工作原理或扫描成像方法的派生显微镜系列
原子力(AFM) 磁力 分子力显微镜 等等
用AFM得到的癌细胞的表面图象
“原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 P.98 图 4-8
3.势垒
U(x)
U(x)
梯形势 散射问题
势垒 隧道贯穿
U(x)
U(x)
6
4.其他形式
超晶格
谐振子
7
一.一维无限深方形势阱
U(x) U=U0 功函数 U=U0 极 U(x)
U→∞
U→∞
E
U=0Baidu Nhomakorabea
金属
E
a 0 x 无限深方势阱 （ potential well ） U=0
x
限
a
分子束缚 在箱子内 三维方势肼
11
4.分区求通解
2 d2 1)阱外 2 ( x) E 2 ( x) 2 2m dx
根据波函数有限的条件
阱外
2 ( x) 0
x a, x 0
12
2)阱内
2 d2 ( x) E ( x) 2m dx 2
为了方便将波函数脚标去掉
一.粒子进入势垒
二.有限宽势垒和隧道效应
三.隧道效应的应用
25
一.粒子进入势垒
1.势函数
U(x)
0 = U0
x<0
x>0
讨论入射能量 E <U0情况
U(x)
入射
U0
透射?
E
反射
Ⅰ区
ψ1
0 Ⅱ区 x ψ2
26
2. 定态薛定谔方程
I区
d 1 ( x) E 1 ( x) 2 2m dx
表面的微观结构（不接触、不破坏样品） 原理：利用量子力学的隧道效应
39
电子云重叠
U0
U0
U0
A
隧道电流i 探针 U
E
A
样品
d B
A d
d
B
i Ue
A——常量 ——样品表面平均势 垒高度（~eV） 。 d ~ 10A d变 i变 40 反映表面情况
显示器
压电 控制 加电压 反馈传 感器 隧道 电流
令
2
x0 x0
2m 2 E U 0 2
>0
d 2 ( x) 2 2 ( x) 0 2 dx
x0
28
3.薛定谔方程通解
d 21 ( x) 2 2 k 1 ( x) 0 2 dx
ikx
x0
ikx
通解 1 ( x) Ae Be
19
π 2 2 2 2 πn En n n sin x 2 2ma a a 2 2 nπ Pn sin x n 1,2, a a 小结：本征能量和本征函数的可能取值
n
1 2 3
En
π2 2 E1 2ma 2
n
2 π 1 sin x a a
P n
2 2πx P sin 1 a a
P2 E 2m
2 PΔP ΔE 2m
x = a很小时 P和E很大 E U0 E
37
三.隧道效应的应用 隧道二极管 金属场致发射 核的衰变…
U
4
1. 核的 衰变
238
U
234
35MeV
Th + He
4.25MeV
E 4.25 MeV <<势垒高度
粒子怎么过去的呢?
当 U 0 E 5eV 势垒宽度 a 约50nm 以上时 穿透系数会下降6个数量级以上
此时量子概念过渡到经典
36
2. 怎样理解粒子通过势垒区 经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的
量子物理： 粒子有波动性 遵从不确定原理 粒子经过II区和能量守恒并不矛盾 只要势垒区宽度x = a不是无限大 粒子能量就有不确定量E
3.3 无限深方势阱中的粒子 一. 一维无限深方形势阱 二. 薛定谔方程和波函数 三. 旧量子论的半经典解释
1
举几个小例
1 )说明量子力学解题的思路
2 )了解量子力学给出的一些重要的结论
2
一.量子力学解题的一般思路
1.由粒子运动的实际情况
正确地写出势函数U(x)
2.代入定态薛定谔方程
3.解方程
4.解出能量本征值和相应的本征函数
8
特点：
粒子在势阱内受力为零 势能为零
U→∞
U→∞
U(x)
在阱内自由运动 在阱外势能为无穷大 在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外
E
U=0
0
a
x
9
二.薛定谔方程和波函数 粒子在阱内自由运动
U ( x) 0
0
不能到阱外 1.势函数 阱内
阱外
a
x
U ( x) 0
( 0 x a)
U (x) ( x 0 x a)
•令 将方程写成 •通解
k2
2mE 2
( x) k 2 ( x) 0
( x) A coskx B sin kx
式中 A 和 B 是待定常数
13
5.由波函数标准条件和边界条件定特解
通解是
( x) A coskx B sin kx
1)解的形式
x 0 处 (0) 2 (0) 0 A 0
隧道效应
a 2 m (U 0 E )
E
Ⅰ区
0 Ⅱ区 a
Ⅲ区
x
波穿过势垒后
将以平面波的形式继续前进( 3 )
振幅为 2 (a ) 称为势垒穿透或隧道效应
34
隧道效应
• 经典
• 量子
1. 穿透系数
T 2 (a ) e
2
2a 2 m (U 0 E )
a T (U 0 E) T
入射+反射
Ψ1
透射Ψ 2
U0
E
Ⅰ区
0
Ⅱ区
x
30
4.概率密度 ( x > 0 区 )
本征波函数 2 ( x) Ce 概率密度
2
x
Ce
1 2 m (U 0 E ) x
2 ( x) e 2 x
| 2 ( x) | e
2
2 2 m (U 0 E ) x
E2 4E1
E3 9E1
2 2π 2 2 2π 2 sin x P2 sin x a a a a 2 3π 2 2 3π 3 sin x P3 sin x a a a a 20
一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度
( x) 4 x
3 x
E4
4 x
L—阱宽
16
3)本征函数系 •由归一性质 定常数 B
( x) ( x)dx 1
* 0
a
B 2sin 2 kxdx 1
0
a
得
2 B a
( n 1,2,3,)
17
2 •本征函数 n ( x) sin nπ x a a
6.定态波函数
考虑到振动因子 e
i Ent
通过隧道效应出来的 对不同的核算出的衰变 概率和实验一致
0
R
r
38
2.扫描隧道显微镜（STM） （Scanning Tunneling Microscopy） 1986. Nob： 宾尼（G.Binning） 罗尔（Rohrer） 发明STM
鲁斯卡（E.Ruska） 1932发明 电子显微镜 STM 是一项技术上的重大发明 用于观察
2
n4
a 4 2
3 x
2
n3
E3
2a 3 3
2 x
2 x
E2
2
n2
2 a
x 2 1
1 2a
n1
1 x
E1
o
a
o
a21
n 时， 量子经典
Ψ | n|
2
n很大
玻尔对应原理
En
0
a
22
三.旧量子论的半经典解释 粒子在势阱内动量为
5.求出概率密度分布及其他力学量
3
二.几种势函数 U(x) 1.自由粒子 U( x) 0
2.方势阱
U(x)
U(x)
U( x) 0
U( x) 0
无限深方势阱 能级结构问题
4
方势阱
是实际情况的 极端化和简化
U(x)
U( x) 0
金属中的电子
分子束缚 在箱子内
三维方势阱
方势阱
5
操纵原子不是梦 “原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条
1994年中国科学院科学家“写”出的
平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米
“原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 插页彩图13
“扫描隧道绘画 ”
CO分子竖 在铂片上
分子人高 5nm
视频： 1.扫描隧道显微镜 2.显微镜 一氧化碳“分子人”
解的形式为 ( x) B sin kx
2)能量取值
x a 处 ( a) 2 ( a) 0
Bsin ka 0
14
B sin ka 0
A已经为零了 B不能再为零了 即 要求
B0
只能 ka 等于零
ka nπ
(k 0)
nπ k (n 1,2,3,) a 2 2 2＝2mEn n π k 2 2 a
2 2
x0
U(x)
令 方程为
2
2mE k 2
2
U0
E
Ⅰ区
d 1 ( x) 2 2 k 1 ( x) 0 2 dx
0 Ⅱ区
x
x0
27
II 区
2 d 2 2 ( x) U 0 2 ( x) E 2 ( x) 2 2m dx d 2 2 ( x) 2m 2 ( E U 0 ) 2 ( x) 0 2 dx
a 4 2
2a 3 3
p h 2 En n 2m 8m a2 h 2 2 2 h 4π 2π
2 n
2
π En n 2 2ma
2 2 2
n 1, 2,3,...
2 a
o
a
1 2a
能量量子化 是粒子的波动性和 边界条件的必然
24
3.4 势垒和隧道效应
“原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 P.151 图7-8
1993年美国科 学家移动铁原 子，铁原子距 离0.9纳米
“量子围栏”
48个铁原子排列在 铜表面
证明电子的波动性
3.5 一维谐振子 一.势函数 二.薛定谔方程及解
三.与经典谐振子的比较
49
谐振子不仅是经典物理的重要模型 也是量子物理的重要模型 如： 黑体辐射 场量子化
π 2 n (n 1,2,3,) 能量可能值 En 2 2ma
2 2
15
讨论
π 2 En n (n 1,2,3,) 2 2ma
2 2
•每个可能的值叫能量本征值 •束缚态 粒子能量取值分立 (能级概念) 能量量子化 •最低能量不为零 波粒二象性的必然结果
请用不确定关系说明 •当n趋于无穷时 能量趋于连续 2 2 π 2 •通常表达式写为 En n n 1,2, 2 2mL