2019高考数学二轮复习”一本“培养优选练小题模拟练1 理

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2019高考数学(文)”一本“培养优选练：小题模拟练4(含答案)

小题模拟练(四)(建议用时：40分钟)一、选择题1．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋12－x ≥0，B ＝{－1,0,1,2}则A ∩B ＝( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1,2}C ．{－1,0,1,2}D ．{1,2}A[由题意得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＋12－x ≥0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≤0＝{x |－1≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{－1,0,1}．选A.] 2．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图50所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为()图50A ．30B ．31C ．32D ．33B [阅读茎叶图可知乙组的中位数为：32＋342＝33，结合题意可知：甲组的中位数为33，即m ＝3，则甲组数据的平均数为：24＋33＋363＝31. ]3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝4x －3y 的最大值为( )A ．3B ．9C ．12D ．15C [由图知，画出可行域如图所示，过(3,0)时，z ＝4x －3y 取得最大值为12.故选C.]4．一个四面体的三视图如图51所示，则该四面体的体积是( )图51A.12B.13C.23D ．1B [根据题意得到原图是底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故得到体积为：13×12×2×1×1＝13.故答案为B.]5．已知a ＞0，b ＞0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为( )A ．16B ．9C ．5D ．4A [∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1b＝1.∴a ＋9b ＝(a ＋9b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝10＋a b ＋9ba ≥10＋2a b ·9b a＝16，当且仅当a b＝9b a且1a ＋1b＝1，即a ＝4，b ＝43时等号成立．选A.] (教师备选)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －2|－12的图象大致为( )A BC DC [f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|－x ＋2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|－x －2|－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋2|－12＝f (x )，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除A 、D ，当x ＝2时，f (2)＝916＞0，排除B ，故选C.]6．将曲线C 1：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π2个单位长度，得到曲线C 2：y ＝g (x )，则g (x )在[－π，0]上的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6B [由题意g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－π6＝－sin2x －π6，2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，k ＝－1时，－2π3≤x ≤－π6，故选B.]7．(2018·湘中名校联考)执行如图52所示的程序框图，如果运行结果为5 040，那么判断框中应填入( )图52A ．k ＜6?B ．k ＜7?C ．k ＞6?D ．k ＞7?D [执行程序框图，第一次循环，得S ＝2，k ＝3；第二次循环，得S ＝6，k ＝4；第三次循环，得S ＝24，k ＝5；第四次循环，得S ＝120，k ＝6；第五次循环，得S ＝720，k ＝7；第六次循环，得S ＝5 040，k ＝8，此时满足题意，退出循环，输出的S ＝5 040，故判断框中应填入“k ＞7？” .]8．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4 035是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log6a 2 018＝( )A ．1B ．2C ．－1D.2A [令f ′(x )＝x 2－8x ＋6＝0，故x 1＋x 2＝8＝a 1＋a 4 035，x 1·x 2＝6＝a 1·a 4 035＝a 22 018，故log 6a 2 018＝log 6a 22 018＝log 66＝1.]9．|AB →|＝1，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0，点D 在∠CAB 内，且∠DAB ＝30°，设AD →＝λAB →＋μAC →(λμ∈R )，则λμ＝( )A ．3B.33C.233D ．23D [以点A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则点B (1,0)，C (0,2)，直线AD ：y ＝33x ，又AD →＝(λ，2μ)，则2μλ＝33，λμ＝23，故选D.](教师备选)(2018·泉州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 是双曲线C 的右焦点，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点D ，E ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(2，＋∞)C ．(2，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，62 B [法一：由题意知，直线l ：y ＝－ab(x －c )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ab x －c b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2，得⎝⎛⎭⎪⎫b 2－a 4b 2x 2＋2a 4cb 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c 2b 2＋a 2b 2＝0，由x 1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c 2b 2＋a 2b 2b 2－a 4b2＜0得b 4＞a 4，所以b 2＝c 2－a 2＞a 2，所以e 2＞2，得e ＞ 2.法二：由题意，知直线l 的斜率为－a b ，若l 与双曲线左，右两支分别交于D ，E 两点，则－a b＞－b a，即a 2＜b 2，所以a 2＜c 2－a 2，e 2＞2，得e ＞ 2.]10．如图53所示，四边形EFGH 为空间四面体A BCD 的一个截面，若截面为平行四边形，AB＝4，CD ＝6，则截面平行四边形的周长的取值范围为( )图53A ．(4,6)B ．(6,10)C ．(8,12)D ．(10,12)C [因为四边形EFGH 为平行四边形，所以EF ∥HG ，因为HG ⊂平面ABD . 所以EF ∥平面ABD ，因为EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，所以EF ∥AB . 同理EH ∥CD ，设EF ＝x (0＜x ＜4)，CFBC ＝EFAB ＝x4，则FG 6＝BFBC＝BC －CF BC＝1－x4.从而FG ＝6－32x .所以四边形EFGH 的周长l ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋6－32x ＝12－x ，又0＜x ＜4，则有8＜l ＜12.即四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．] 二、填空题11．已知复数z ＝1＋4i1－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．－32[z ＝1＋4i 1－i ＝1＋4i 1＋i 2＝－3＋5i 2，所以复数z 的实部为－32.]12．已知圆Ω过点A (5,1)，B (5,3)，C (－1,1)，则圆Ω的圆心到直线l ：x －2y ＋1＝0的距离为________． 55[由题知，圆心坐标为(2,2)，则d ＝15＝55.] 13．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若C ＝2B ，则cb的取值范围是________．(2，3) [因为C ＝2B ，所以sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，∴c ＝2b cos B ，cb＝2cos B ，因为锐角△ABC ，所以0＜B ＜π2，0＜C ＝2B ＜π2，0＜A ＝π－C －B ＝π－3B ＜π2，∴π6＜B ＜π4，∴cos B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，32，c b ∈(2，3)．]14．已知函数f n (x )＝[x [x ]]，x ∈(n ，n ＋1)(n ＝1,2,3，…)，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－2.1]＝－3，[－3]＝－3，[2.5]＝2.函数f n (x )的值域中元素个数记为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则满足a n S n ＜500的最大正整数n 等于________．9 [当x ∈(n ，n ＋1)时，[x ]＝n ，则x [x ]＝nx ∈(n 2，n 2＋n )，∴[x [x ]]可取到的值分别为n 2，n 2＋1，n 2＋2，…，n 2＋n －1，共有n 个数，即a n ＝n .∴S n ＝n n ＋12，a n S n ＝n 2n ＋12，当n ＝9时，a 9S 9＝8102＝405＜500.当n ＝10时，a 10S 10＝102×112＝550＞500，∴满足a n S n ＜500的最大正整数n 等于9.。

2019高考数学(文)”一本“培养优选练：小题模拟练1(带答案)

小题模拟练(一)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知复数z 满足(1－i)z ＝2＋i ，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [∵(1－i)z ＝2＋i ，∴(1－i)(1＋i)z ＝(2＋i)(1＋i)，2z ＝1＋3i ，z ＝12＋32i ，z ＝12－32i ，z 的共轭复数在复平面内对应点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.]2．设集合M ＝{x |x 2＜36}，N ＝{2,4,6,8}，则M ∩N ＝( ) A ．{2,4} B ．{4,6} C ．{2,6}D ．{2,4,6}A [M ＝(－6,6)，故M ∩N ＝{2,4}．]3．如图44中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是( )图44A.12 B.13 C.4π－1D ．2－4πC [令圆的半径为1，则P ＝S ′S＝π－2π－2π＝4π－1，故选C.] 4．函数f (x )＝cos xx －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3π2，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，3π2的图象大致是( )A B C DC [由f (－x )＝－f (x )可得函数f (x )为奇函数，图象关于原点对称，可排除A ，B ，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )＞0，故选C.](教师备选)如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为( )A.323π B.643π C ．32πD.6423πD [由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同．由底面边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面三角形外接圆的半径为r ＝2，由棱柱高为4，可得OO 2＝2，故外接球半径为R ＝22＋22＝22，故外接球的体积为V ＝43π×(22)3＝6423π.选D.]5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (0,4)，AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y ＋3＝0C ．x －2y －3＝0D ．x －2y ＋3＝0D [线段AB 的中点为M (1,2)，k AB ＝－2，∴线段AB 的垂直平分线为：y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0.∵AC ＝BC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，因此△ABC 的欧拉线方程为：x －2y ＋3＝0.故选D.] (教师备选)执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．4 097B ．9 217C ．9 729D ．2 0481B [阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：S ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋10×29，则2S ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋10×210，以上两式作差可得：－S ＝20＋21＋22＋…＋29－10×210＝1－2101－2－10×210，则S ＝9×210＋1＝9 217.]6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为6π，且其图象向右平移2π3个单位后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9 B.2π9 C.π6D.π3B [由最小正周期公式可得：2πω＝6π，∴ω＝13，函数的解析式为：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ，将函数图象向右平移2π3个单位后得到的函数图象为：g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，据此可得：φ－2π9＝2k π，∴φ＝2k π＋2π9(k ∈Z )，令k ＝0可得φ＝2π9.]7．已知实数a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ＜cB [法一：∵b －a ＝ln 33－ln 22＝2ln 3－3ln 26＝ln 9－ln 86＞0，∴b ＞a ；又a －c ＝ln 22－ln 55＝5ln 2－2ln 510＝ln 32－ln 2510＞0，∴a ＞c ，∴b ＞a ＞c ，即c ＜a ＜b .选B.法二：设f (x )＝ln xx，∴f ′(x )＝1－ln x x2， ∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．又∵a ＝ln 22＝ln 44，∴ln 55＜ln 44＜ln 33. 即c ＜a ＜b ，故选B.]8．如图45所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点，点P 是底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面EFDB ，则tan ∠APA 1的最大值是( )图45A.22 B ．1 C.2D ．22D [由题意可得，点P 位于过点A 且与平面EFDB 平行的平面上，如图所示，取A 1D 1，A 1B 1的中点G ，H ，连接GH ，AH ，AG ，GE ，由正方形的性质可知：EF ∥GH ，由ABEG 为平行四边形可知AG ∥BE ，由面面平行的判定定理可得：平面AGH ∥平面BEFD ，据此可得，点P 位于直线GH 上，如图所示，由AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1可得AA 1⊥A 1P ，则tan ∠APA 1＝AA 1A 1P，当tan ∠APA 1有最大值时，A 1P 取得最小值，即点P 是GH 的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时tan ∠APA 1的值是2 2. ]9．经过双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点作倾斜角为60°的直线l ，若l 交双曲线M 的左支于A ，B ，则双曲线M 离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1,2)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)B [由题意，b a＜3，得b 2＝c 2－a 2＜3a 2，所以ca＜2，即离心率的范围是(1,2)，故选B.]10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，e 为自然对数的底数．若f ′(x )ln x ＞f x x，则( )A ．f (2)＜f (e)ln 2,2f (e)＞f (e 2)B ．f (2)＜f (e)ln 2,2f (e)＜f (e 2)C ．f (2)＞f (e)ln 2,2f (e)＜f (e 2)D ．f (2)＞f (e)ln 2,2f (e)＞f (e 2)B [设F (x )＝f xln x，则f ′(x )＝f ′x ln x －f x xln x 2，则由条件知f ′(x )＞0，所以F (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以F (2)＜F (e)＜F (e 2)，即f 2ln 2＜f eln e＜f e 2ln e 2，即f (2)＜f (e)ln 2,2f (e)＜f (e 2)，故选B.]二、填空题11．已知向量a ＝(12，k )，b ＝(1－k,14)，若a ⊥b ，则实数k ＝________. －6 [由题意，12(1－k )＋14k ＝0，则k ＝－6.] 12. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________． 75° [由3(a cos C －c cos A )＝b ，根据正弦定理得3(sin A cos C －sin C cos A )＝sin B ，即3sin(A －C )＝32，sin(A －C )＝12，A －C ＝30°，又∵A ＋C ＝180°－B ＝120°，∴2A ＝150°，A ＝75°.] 13．已知直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)过点A (53，5)，若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋nx －3y ≥0y ≥0的外接圆直径为20，则n ＝________.103 [由题意知可行域为图中△OAB 及其内部，解得B (n,0)，|AB |＝n －532＋25，又tan ∠AOB ＝33，则∠AOB ＝30°，由正弦定理得|AB |＝2R sin ∠AOB ＝20×sin 30°＝10，解得n ＝103.]14．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x－e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)，所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.]。

高考数学二轮复习”一本“培养优选练小题模拟练2理

小题模拟练(二)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a ∈R ，i 是虚数单位，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( )A ．1B ．－1C ．4D ．－4A [z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝2＋a i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝2－2a 5＋a ＋45i ，因为z 1z 2为纯虚数，所以2－2a5＝0，a ＋45≠0，所以a ＝1.故z 1z 2的虚部为1.]2．(2018·衡水中学七调)设集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{x |x ＞a }，全集U ＝R ，若A ⊆∁U B ，则有( )A ．a ＝0B ．a ≤2C ．a ≥2D ．a ＜2C [A ＝(－2,2)，∁U B ＝{x ≤a }，所以a ≥2，故选C.]3．若2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( ) A ．－33B.32C.233D ．2 3B [由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ，即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32，故选B.]4．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1与e 1＋2e 2垂直，则e 1，e 2的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°C [设e 1，e 2的夹角为θ，因为e 1与e 1＋2e 2垂直，所以e 1·(e 1＋2e 2)＝0，即e 21＋2|e 1||e 2|cos θ＝0，即1＋2cos θ＝0，即cos θ＝－12，又因为0°＜θ＜180°，所以θ＝120°.故选C.]5．下列函数在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 2sin xB ．f (x )＝－x |x ＋1|C ．f (x )＝lg 1＋x1－xD ．f (x )＝π－x－πxC [A 选项中，函数为奇函数，但由f (x )＝0，得sin x ＝0⇒x ＝k π，k ∈Z ，∴该函数有无穷多个零点，故不单调；B 选项中，函数满足f (－1)＝0，f (1)＝－2，故既不是奇函数又不是增函数；C 选项中，函数定义域是(－1,1)，并且f (x )＋f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＋lg 1－x 1＋x ＝0，∴函数是奇函数，设g (x )＝1＋x1－x，那么当－1＜x 1＜x 2＜1时，g (x 1)－g (x 2)＝2x 1－x 21－x 11－x 2＜0，∴函数g (x )是增函数，由复合函数单调性知，函数f (x )＝lg1＋x1－x 是增函数；D 选项中，函数是奇函数且是减函数，故选C.]6．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(即176两)，问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤(即176两)，问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图33所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为( )图33A ．90,86B ．94,82C ．98,78D ．102,74C [执行程序：x ＝86，y ＝90，s ≠27；x ＝90，y ＝86，s ≠27；x ＝94，y ＝82，s ≠27；x ＝98，y ＝78，s ＝27，故输出的x ，y 分别为98,78，故选C.]7．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q两点，若∠F 1PQ ＝60°，|PF 1|＝|PQ |，则椭圆的离心率为( )A.33 B.23 C.233 D.13A [∵∠F 1PQ ＝60°，|PF 1|＝|PQ |，∴△F 1PQ 为等边三角形，∴直线PQ 过右焦点F 2且垂直于x 轴，∴△F 1PF 2为直角三角形．∵|F 1P |＋|F 1Q |＋|PQ |＝4a ，∴|F 1P |＝43a ，|PF 2|＝23a ，由勾股定理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋(2c )2，即a 2＝3c 2，∴e ＝ca ＝33.] 8．(2018·安庆市高三二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y ＝f (x )的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称 C ．关于直线x ＝π12对称D ．关于直线x ＝－π12对称A [由题意得T 2＝π2，∴T ＝π，ω＝2πT ＝2，因为函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位后，得到的图象关于y 轴对称，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ关于y 轴对称，即2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π6.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称，选A.]9．已知n ＝sin x d x ，则(x ＋1)n (x －1)5的展开式中x 4的系数为( )A ．－15B ．15C ．－5D ．5D [由题意得，n ＝sin x d x ＝－cos x＝－(cos π－cos 0)＝2，故求(x ＋1)2(x－1)5的展开式中x 4的系数．∵(x ＋1)2＝x ＋2x ＋1，(x －1)5展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5x 5－r，r ＝0,1,2,3,4,5.∴展开式中x 4的系数为(－1)2C 25＋(－1)·C 15＝10－5＝5.选D .]10．(2018·广东七校联考)给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )甲乙丙丁A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙D [①f (x )＝x ，这个函数可使f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )成立，∵f (x ＋y )＝x ＋y ，x ＋y ＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，故①－丁．②寻找一类函数g (x )，使得g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)具有这种性质，令g (x )＝a x，g (y )＝a y，则g (x ＋y )＝ax ＋y＝a x ·ay＝g (x )·g (y )，故②－甲．③寻找一类函数h (x )，使得h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，对数函数具有这种性质，令h (x )＝log a x ，h (y )＝log a y ，则h (x ·y )＝log a (xy )＝log a x ＋log a y ＝h (x )＋h (y )，故③－乙．④令m (x )＝x 2，这个函数可使m (xy )＝m (x )·m (y )成立，∵m (x )＝x 2，∴m (x ·y )＝(xy )2＝x 2y 2＝m (x )·m (y )，故④－丙．故选D.]11．(2018·东莞二调)如图34，网格纸上的小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长棱与最短棱所成角的余弦值为( )图34A.2929B.12C.23D.22929D [该几何体为四棱锥，如图所示：其中四边形BCDE 为矩形，AB ⊥平面BCDE ，BC ＝2，BE ＝3，AB ＝4，最长棱为AD ＝22＋32＋42＝29，最短棱为ED ＝2，∵AB ⊥平面BCDE ，∴AB ⊥DE ， ∵四边形BCDE 是矩形． ∴DE ⊥BE ，又AB ∩BE ＝B ， ∴DE ⊥平面ABE ， ∴DE ⊥AE .∴AD 与DE 所成角的余弦值为DE AD＝229＝22929.]12．(2018·孝义二模)已知函数f (x )＝ln x ＋x －b2x(b ∈R )，若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得f (x )＞－x ·f ′(x )，则实数b 的取值范围是( )A ．(－∞，－2) B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，94 D ．(－∞，3)C [由题意，得f ′(x )＝1＋2x x －b －ln x －x －b2x 2，则f (x )＋xf ′(x )＝ln x ＋x －b2x＋1＋2x x －b －ln x －x －b2x＝1＋2x x －b x .若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得f (x )＞－x ·f ′(x )，则1＋2x (x －b )＞0，所以b ＜x ＋12x .设g (x )＝x ＋12x ，则g ′(x )＝1－12x 2＝2x 2－12x 2，当12≤x ≤22时，g ′(x )≤0；当22≤x ≤2时，g ′(x )≥0，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上单调递增，所以当x ＝2时，函数g (x )取最大值，最大值为g (2)＝2＋14＝94，所以b ＜g (x )max ＝94，故选C.]二、填空题13．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是______．35[“男生甲被选中”记作事件A ，“男生乙和女生丙至少有一个被选中”记作事件B ，则P (A )＝C 26C 7＝15C 7 ，P (AB )＝C 14＋C 14＋1C 7＝9C 7 ，由条件概率公式可得P (B |A )＝P AB P A ＝35.]14．设{a n }是公差为2的等差数列，b n ＝a 2n ，若{b n }为等比数列，则b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝________.124 [∵{a n }是公差为2的等差数列， ∴a n ＝a 1＋2(n －1)＝a 1＋2n －2， ∵{b n }为等比数列，b n ＝a 2n ，∴b 22＝b 1b 3， ∴(a 4)2＝a 2·a 8.因此(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，解之得a 1＝2. 从而b n ＝a 2n ＝a 1＋2(2n －1)＝2n ＋1，所以b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝22＋23＋24＋25＋26＝124.]15．已知点A (a,0)，点P 是双曲线C ：x 24－y 2＝1右支上任意一点，若|PA |的最小值为3，则a ＝________.－1或25 [设P (x ，y )(x ≥2)，则|PA |2＝(x －a )2＋y 2＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫x －45a 2＋15a 2－1，当a >0时，x ＝45a ，|PA |的最小值为15a 2－1＝3，解得a ＝25；当a <0时，2－a ＝3，解得a ＝－1.]16. 球内有一个圆锥，且圆锥底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为3π，已知球的半径R ＝2，则此圆锥的体积为________．3π或π [设圆锥底面半径为r ，由πr 2＝3π得r ＝ 3. 如图所示，O 为球心，O 1为圆锥底面圆的圆心，设O 1O ＝x ，则x ＝R 2－r 2＝4－3＝1，所以圆锥的高h ＝R ＋x ＝3或h ＝R －x ＝1，所以圆锥的体积V ＝13×3π×3＝3π或V ＝13×3π×1＝π.]。

2019高考数学(文)”一本“培养优选练：小题模拟练6(带答案)

小题模拟练(建议用时：40分钟)（教师备选）一、选择题1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x －1|＜1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |1≤x ＜4}C [由题意得A ＝{x ||x －1|＜1}＝{x |－1＜x －1＜1}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 2x －5x －1≥1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －4x －1≥0＝{x |x ＜1或x ≥4}， ∴∁U B ＝{x |1≤x ＜4}，∴A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}．选C.]2．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x ＝π时，e i π＋1＝0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，e 4i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C [由已知有e 4i ＝cos 4＋isin 4，因为π＜4＜3π2，所以4在第三象限，所以cos 4＜0，sin 4＜0，故e 4i 表示的复数在复平面中位于第三象限，选C.]3．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为15，则途中直角三角形中较大锐角的正弦值为( )A.55B.255C.15D.33B [设小正方形的边长为1，直角三角形的直角边分别为x,1＋x ，x 21＋x 2，由几何概型可得1x 21＋x 2＝15，解得x ＝1，x ＝－2(舍)，所以直角三角形边长分别为1,2，5，直角三角形中较大锐角的正弦值为25＝255，选B.]4．下列命题中：①“x ＞1”是“x 2＞1”的充分不必要条件；②定义在[a ，b ]上的偶函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 最小值为5；③命题“∀x ＞0，都有x ＋1x ≥2”的否定是“∃x 0≤0，使得x 0＋1x 0＜2”；④已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x 的定义域为[0,1]．正确命题的个数为( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个C [①x 2＞1⇒x ＞1或x ＜－1，所以“x ＞1”是“x 2＞1”的充分不必要条件；②因为f (x )为偶函数，所以a ＝－5，因为定义区间为[a ，b ]，所以b ＝5，因此f (x )＝x 2＋5，最小值为5； ③命题“∀x ＞0，都有x ＋1x ≥2”的否定是“∃x 0＞0，使得x 0＋1x 0＜2”；④由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ∈[0，2]，8－2x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ∈[0，1]，x3]，∴x ∈[0,1]；因此正确命题的个数为①②④，选C.]5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(即176两)，问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤(即176两)，问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为( )A ．90,86B ．94,82C ．98,78D ．102,74C [执行程序：x ＝86，y ＝90，s ≠27；x ＝90，y ＝86，s ≠27；x ＝94，y ＝82，s ≠27；x ＝98，y ＝78，s ＝27，故输出的x ，y 分别为98,78.故选C.]6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.16＋24π3B.16＋16π3C.8＋8π3D.16＋8π3D [由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分为侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体，所以该几何体的体积是13×2×4×2＋14×43×π×23＝16＋8π3，故选D.]7．(2018·湖南长沙一模)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，3y ≥x ，x ＋y ≤4表示的平面区域为Ω1，不等式(x ＋2)2＋(y －2)2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M 和Ω2中的任意一点N ，|MN |的最小值为( )A.22 B.24C.2D ．32C[不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，3y ≥x ，x ＋y ≤4表示的平面区域Ω1和不等式(x ＋2)2＋(y －2)2≤2表示的平面区域Ω2如图，对于Ω1中的任意一点M 和Ω2中的任意一点N ，|MN |的最小值就是点(0,0)与圆(x ＋2)2＋(y －2)2＝2的圆心(－2,2)连线的长度减去半径，即为2－022－02－2＝ 2.故选C.]8．设ω＞0，函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π7－1的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.32B.23C.43D.34A [将y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π7－1的图象向右平移4π3个单位后对应的函数为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω⎝⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π7－1＝2cos ωx ＋π7－4ωπ3－1，∵函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π7－1的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，∴4ωπ3＝2k π(k ∈Z )，即ω＝3k 2，又∵ω＞0，∴k ≥1，故ω＝3k 2≥32，故选A.] 9．已知函数f (x )与其导函数f ′(x )的图象如图，则满足f ′(x )＜f (x )的x 的取值范围为( )A ．(0,4)B ．(－∞，0)∪(1,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 D ．(0,1)∪(4，＋∞)D [根据导函数与原函数的关系可知，当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，当f ′(x )＜0时，函数f (x )单调递减，由题图可知：当0＜x ＜1时，函数y ＝f ′(x )的图象在y ＝f (x )图象的下方，满足f ′(x )＜f (x )；当x ＞4时，函数y ＝f ′(x )的图象在y ＝f (x )图象的下方，满足f ′(x )＜f (x )；所以满足f ′(x )＜f (x )的解集为{x |0＜x ＜1或x ＞4}，故选D.]10．若正项递增等比数列{a n }满足1＋(a 2－a 4)＋λ(a 3－a 5)＝0(λ∈R )，则a 6＋λa 7的最小值为( ) A ．－2 B ．－4C ．2D ．4D [∵1＋(a 2－a 4)＋λ(a 3－a 5)＝0，∴1＋λq ＝1a 4－a 2(q ＞1)，∴a 6＋λa 7＝a 6(1＋λq )＝a 6a 4－a 2＝q 4q 2－1＝q 2－1＋12q 2－1＝(q 2－1)＋2＋1q 2－1≥2＋2q 2－11q 2－1＝4，当且仅当q ＝2时取等号，即a 6＋λa 7的最小值为4，选D.]11．设正三棱锥P ABC 的高为h ，且此棱锥的内切球的半径R ＝17h ，则h 2PA 2＝( )A.2939B.3239C.3439D.3539D [取线段AB 中点D ，设P 在底面ABC 的射影为O ，连接CD ，PD ，设AB ＝a ，则OD ＝32a ×13＝36a ，设PD ＝ma ，则正三棱锥P ABC 的表面积3×12a ×ma ＋34a 2，由体积得，V ＝13×34a 2h ，∴R ＝3V S ＝17h ，∴m ＝3，h ＝PD 2－OD 2＝3512a 2，∵PA ＝132a ，∴h 2PA 2＝3539，选D.] 12．已知f (x )＝x 2·e x ，若函数g (x )＝f 2(x )－kf (x )＋1恰有三个零点，则下列结论正确的是( ) A ．k ＝±2B ．k ＝8e 2C ．k ＝2D ．k ＝4e 2＋e 24D [f ′(x )＝e x (x 2＋2x )，可知函数f (x )在区间(－∞，－2)单调递增，在(－2,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增，如图，f (－2)＝4e 2，f (0)＝0，f (x )≥0，令t ＝f (x )，则t 2－kt ＋1＝0，因为g (x )要有三个零点，∴t 2－kt ＋1＝0有解，设为t 1，t 2，由t 1t 2＝1＞0，根据图象可得：当t 1≠t 2时，t 1＝4e 2，t 2＝e 24＞4e 2，符合题意，此时k ＝t 1＋t 2＝4e 2＋e 24，当t 1＝t 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2时，可求得t 1＝t 2＝1＞4e 2，不符合题意．综上所述，k ＝4e 2＋e 24，故选D.]二、填空题13．向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝________.12[由|a －b |＝32可得(a －b )2＝34，即a 2－2a ·b ＋b 2＝34，代入|a |＝1可得1－2×1×|b |×12＋|b |2＝34，整理可得(2|b|－1)2＝0，解得|b |＝12.] 14．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，点A (6,3)，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则△PAF 周长的最小值为________．13 [由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF 等于这点到准线的距离d ，即FP ＝d .所以周长l ＝PA ＋PF ＋AF ＝PA ＋d ＋AF ＝PA ＋d ＋5≥13.]15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，且c ＝4，则△ABC 面积的最大值为________．43 [由已知有a 2＋b 2－c 2＝ab ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab2ab ＝12，由于C ∈(0，π)，sin C ＝32，又16＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ，则ab ≤16，S △ABC ＝12ab sin C ≤12×16×32＝43，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立．故△ABC 面积的最大值为43.]16．过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于2b 2a(a 、b分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长)．已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，若点M 是双曲线C 上位于第四象限的任意一点，直线l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ ⊥l 于点Q ，且|MQ |＋|MF 1|的最小值为3，则双曲线C 的通径为________．2 [如图所示：连接MF 2，由双曲线的定义知|MF 1|－|MF 2|＝2a ，∴|MQ |＋|MF 1|＝|MF 2|＋|MQ |＋2a ≥|F 2Q |＋2a ，当且仅当Q ，M ，F 2三点共线时取得最小值3，此时，由F 2(c,0)到直线l ：y ＝－b a x ＝－1a x 的距离|F 2Q |＝c 1＋a 2，∴c 1＋a2＋2a ＝3⇒c c ＋2a ＝3⇒a ＝1，由定义知通径等于2b 2a ＝2.]。

2019高考数学(文)”一本“培养优选练：小题模拟练4(带答案)

小题模拟练(四)(建议用时：40分钟)一、选择题1．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋12－x ≥0，B ＝{－1,0,1,2}则A ∩B ＝( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1,2}C ．{－1,0,1,2}D ．{1,2}A[由题意得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＋12－x ≥0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≤0＝{x |－1≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{－1,0,1}．选A.] 2．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图50所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为()图50A ．30B ．31C ．32D ．33B [阅读茎叶图可知乙组的中位数为：32＋342＝33，结合题意可知：甲组的中位数为33，即m ＝3，则甲组数据的平均数为：24＋33＋363＝31. ]3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝4x －3y 的最大值为( )A ．3B ．9C ．12D ．15C [由图知，画出可行域如图所示，过(3,0)时，z ＝4x －3y 取得最大值为12.故选C.]4．一个四面体的三视图如图51所示，则该四面体的体积是( )图51A.12B.13C.23D ．1B [根据题意得到原图是底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故得到体积为：13×12×2×1×1＝13.故答案为B.]5．已知a ＞0，b ＞0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为( )A ．16B ．9C ．5D ．4A [∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1b＝1.∴a ＋9b ＝(a ＋9b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝10＋a b ＋9ba ≥10＋2a b ·9b a＝16，当且仅当a b＝9b a且1a ＋1b＝1，即a ＝4，b ＝43时等号成立．选A.] (教师备选)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －2|－12的图象大致为( )A BC DC [f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|－x ＋2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|－x －2|－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋2|－12＝f (x )，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除A 、D ，当x ＝2时，f (2)＝916＞0，排除B ，故选C.]6．将曲线C 1：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π2个单位长度，得到曲线C 2：y ＝g (x )，则g (x )在[－π，0]上的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6B [由题意g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－π6＝－sin2x －π6， 2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，k ＝－1时，－2π3≤x ≤－π6，故选B.]7．(2018·湘中名校联考)执行如图52所示的程序框图，如果运行结果为5 040，那么判断框中应填入( )图52A ．k ＜6?B ．k ＜7?C ．k ＞6?D ．k ＞7?D [执行程序框图，第一次循环，得S ＝2，k ＝3；第二次循环，得S ＝6，k ＝4；第三次循环，得S ＝24，k ＝5；第四次循环，得S ＝120，k ＝6；第五次循环，得S ＝720，k ＝7；第六次循环，得S ＝5 040，k ＝8，此时满足题意，退出循环，输出的S ＝5 040，故判断框中应填入“k ＞7？” .]8．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4 035是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log6a 2 018＝( )A ．1B ．2C ．－1D.2A [令f ′(x )＝x 2－8x ＋6＝0，故x 1＋x 2＝8＝a 1＋a 4 035，x 1·x 2＝6＝a 1·a 4 035＝a 22 018，故log 6a 2 018＝log 6a 22 018＝log 66＝1.]9．|AB →|＝1，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0，点D 在∠CAB 内，且∠DAB ＝30°，设AD →＝λAB →＋μAC →(λμ∈R )，则λμ＝( )A ．3B.33C.233D ．23D [以点A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则点B (1,0)，C (0,2)，直线AD ：y ＝33x ，又AD →＝(λ，2μ)，则2μλ＝33，λμ＝23，故选D.](教师备选)(2018·泉州质检)已知双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 是双曲线C 的右焦点，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点D ，E ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(2，＋∞)C ．(2，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，62 B [法一：由题意知，直线l ：y ＝－ab(x －c )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ab x －c b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2，得⎝⎛⎭⎪⎫b 2－a 4b 2x 2＋2a 4cb 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c 2b 2＋a 2b 2＝0，由x 1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c 2b 2＋a 2b 2b 2－a 4b2＜0得b 4＞a 4，所以b 2＝c 2－a 2＞a 2，所以e 2＞2，得e ＞ 2.法二：由题意，知直线l 的斜率为－a b ，若l 与双曲线左，右两支分别交于D ，E 两点，则－a b＞－b a，即a 2＜b 2，所以a 2＜c 2－a 2，e 2＞2，得e ＞ 2.]10．如图53所示，四边形EFGH 为空间四面体A BCD 的一个截面，若截面为平行四边形，AB ＝4，CD ＝6，则截面平行四边形的周长的取值范围为( )图53A ．(4,6)B ．(6,10)C ．(8,12)D ．(10,12)C [因为四边形EFGH 为平行四边形，所以EF ∥HG ，因为HG ⊂平面ABD . 所以EF ∥平面ABD ，因为EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，所以EF ∥AB . 同理EH ∥CD ，设EF ＝x (0＜x ＜4)，CFBC ＝EFAB ＝x4，则FG 6＝BFBC＝BC －CF BC＝1－x4.从而FG ＝6－32x .所以四边形EFGH 的周长l ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋6－32x ＝12－x ，又0＜x ＜4，则有8＜l ＜12.即四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．] 二、填空题11．已知复数z ＝1＋4i1－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．－32[z ＝1＋4i 1－i ＝1＋4i 1＋i 2＝－3＋5i 2，所以复数z 的实部为－32.]12．已知圆Ω过点A (5,1)，B (5,3)，C (－1,1)，则圆Ω的圆心到直线l ：x －2y ＋1＝0的距离为________． 55 [由题知，圆心坐标为(2,2)，则d ＝15＝55.]13．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若C ＝2B ，则cb的取值范围是________． (2，3) [因为C ＝2B ，所以sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，∴c ＝2b cos B ，cb＝2cos B ，因为锐角△ABC ，所以0＜B ＜π2，0＜C ＝2B ＜π2，0＜A ＝π－C －B ＝π－3B ＜π2，∴π6＜B ＜π4，∴cos B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，32，c b∈(2，3)．]14．已知函数f n (x )＝[x [x ]]，x ∈(n ，n ＋1)(n ＝1,2,3，…)，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－2.1]＝－3，[－3]＝－3，[2.5]＝2.函数f n (x )的值域中元素个数记为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则满足a n S n ＜500的最大正整数n 等于________．9 [当x ∈(n ，n ＋1)时，[x ]＝n ，则x [x ]＝nx ∈(n 2，n 2＋n )，∴[x [x ]]可取到的值分别为n 2，n 2＋1，n 2＋2，…，n 2＋n －1，共有n 个数，即a n ＝n .∴S n ＝n n ＋12，a n S n ＝n 2n ＋12，当n ＝9时，a 9S 9＝8102＝405＜500.当n ＝10时，a 10S 10＝102×112＝550＞500，∴满足a n S n ＜500的最大正整数n 等于9.。

2019届高考数学(理)”一本“培养优选练单科标准练2(解析版)

单科标准练(二)(满分：150分时间：120分钟)(对应学生用书第148页)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M ＝{x |x ＜2}，N ＝{x |x 2－x ＜0}，则下列关系中正确的是( ) A ．M ∪N ＝R B ．M ∪(∁R N )＝R C ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∩N ＝MB [N ＝{x |0＜x ＜1}，∴M ∪N ＝{x |x ＜2}，∁R N ＝{x |x ≤0，或x ≥1}，M ∪(∁R N )＝R .故选B.]2．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足(x ＋2i)i ＝y －i ，则|x －y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D. 5D [∵(x ＋2i)i ＝y －i ，∴－2＋x i ＝y －i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2，则|x －y i|＝|－1＋2i|＝ 5.故选D.]3．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E 满足BC →＝2BE →，则AE →·AB →的值为( )A ．1B ．3C.10D.92A [由四边形ABCD 为矩形，由数量积几何意义知： AE →·AB→＝(AB →)2＝1.故选A.] 4．函数f (x )＝12x 2－x sin x 的大致图象可能是( )A BC DC [由f (－x )＝f (x )，x ∈R ，得函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫π62－π6×12＝π6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1＜0，因此结合各选项知C 正确，故选C.]5．甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利．甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利．”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是( )A ．吉利，奇瑞B ．吉利，传祺C ．奇瑞，吉利D ．奇瑞，传祺A [因为丁的猜测只对了一个，所以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的．否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾，“丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利，选A.]6．如图1，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为( )图1A ．8B ．12C ．18D ．24B [由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，是一个三棱锥与三棱柱的组合体，其中三棱锥的体积为V 1＝13×12×4×3×2＝4，三棱柱的体积为V 2＝2V 1＝2×4＝8，所以该几何体的体积为V ＝12，故选B.]7．甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( )A.29B.49C.23D.79D [由题得甲不跑第一棒的总的基本事件有C 13A 33＝18个，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有C 13A 33－A 12A 22＝14.由古典概型的概率公式得在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是P ＝1418＝79.故选D.]8．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≤2x －2y ＋2≥0x ＋y ＋2≥0，则z ＝x －5y 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，43B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，23 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C [作出的可行域为三角形(图略)，把z ＝x －5y 改写为1z ＝y －0x －5，所以1z 可看作点(x ，y )和(5,0)之间的斜率，记为k ，则－23≤k ≤43，所以z ∈－∞，－32∪34，＋∞.]9．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图2所示，即最终输出的x ＝0，则一开始输入x 的值为( )图2A.34B.78C.1516D.3132 C [i ＝1， (1)x ＝2x －1，i ＝2，(2)x ＝2(2x －1)－1＝4x －3，i ＝3， (3)x ＝2(4x －3)－1＝8x －7，i ＝4， (4)x ＝2(8x －7)－1＝16x －15，i ＝5，所以输出16x －15＝0，得x ＝1516，故选C.]10．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被抛物线y ＝4x 2所截得的弦长为32，则双曲线C 的离心率为( )A.14 B ．1 C ．2D ．4C [双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程不妨设为bx ＋ay ＝0，与抛物线方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧bx ＋ay ＝0y ＝4x 2，消去y ，得4ax 2＋bx ＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－b 4a x 1x 2＝0，所以所截得的弦长为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫b 216a 2＝32，化简可得bc 4a 2＝32，bc ＝23a 2，(c 2－a 2)c 2＝12a 4，e 4－e 2－12＝0，得e 2＝4或－3(舍)，所以双曲线C 的离心率e ＝2.]11．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＞0)的最小正周期为π，且f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，则下列说法不正确的是( )A ．f (x )的一个零点为－π8 B ．f (x )的一条对称轴为x ＝π8 C ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，5π8上单调递增D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8是偶函数C [由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，得2πω＝π，则ω＝2.又f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，即2×π8＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，得φ＝π4＋2k π，k ∈Z .故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2k π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，∴f (x )的一个零点为－π8，故A 项正确； ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝1，∴f (x )的一个对称轴为x ＝π8，故B 项正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，5π8时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，5π8上单调递减，故C 项错误；∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8是偶函数，故D 项正确．故选C.] 12．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D (－2，t )，则实数t 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,3]C ．(－∞，2－7]∪[2＋7，＋∞)D ．[2－7，2＋7]D [由题意可得直线AB 的方程为x ＝y ＋1，与y 2＝4x 联立消去x ，可得y 2－4y －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4，设E (x E ，y E )，则y E ＝y 1＋y 22＝2，x E ＝y E ＋1＝3，又|AB |＝x 1＋x 2＋2＝y 1＋1＋y 2＋1＋2＝8，所以圆E 是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，所以点D 恒在圆E 外．圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D (－2，t )，即圆E 上存在点P ，Q ，使得DP ⊥DQ ，设过D 点的两直线分别切圆E 于P ′，Q ′点，要满足题意，则∠P ′DQ ′≥π2，所以|EP ′||DE |＝4(3＋2)2＋(2－t )2≥22，整理得t 2－4t －3≤0，解得2－7≤t ≤2＋7，故实数t 的取值范围为[2－7，2＋7]，故选D.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2－x )(x －1)4的展开式中，x 2的系数是__________．16 [(x －1)4的展开式中，T 3＝C 24x 2(－1)2，T 2＝C 14x 1(－1)3，故x ，x 2的系数分别为－4,6，从而(2－x )(x －1)4的展开式中x 2的系数为2×6＋(－1)(－4)＝16.]14．奇函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，f (3)＝2，则f (1)＝__________. 2 [由题设得f (－x )＝－f (x )，f (2－x )＋f (x )＝0，从而有f (2－x )＝f (x )，f (x )为周期函数且周期为2，所以f (1)＝f (3)＝2.]15．已知圆锥的高为3，侧面积为20π，若此圆锥内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为________．256π81 [设圆锥的母线长l ，底面的半径为r ，则πrl ＝20π，即rl ＝20，又l 2－r 2＝9，解得l ＝5，r ＝4.当球的体积最大时，该球为圆锥的内切球，设内切球的半径为R ，则12(5＋5＋8)×R ＝12×3×8，故R ＝43，所以V max ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫433＝25681π.]16．已知a ，b ，c 是锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，b ＝3，且满足2c －ab cos B ＝cos A ，则a ＋c 的取值范围是________．(]3，23 [∵2c －ab cos B ＝cos A ，∴由正弦定理得 (2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0，即sin C (2cos B －1)＝0， ∵sin C ≠0，∴cos B ＝12. ∵B 为△ABC 的内角，∴B ＝π3. ∵b ＝3，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2， ∴a ＋c ＝2sin A ＋2sin C ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＋2sin C＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6，∵△ABC 是锐角三角形，∴π6＜C ＜π2，∴π3＜C ＋π6＜2π3， ∴a ＋c 的取值范围为(]3，23.]三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＋1＝3a 2n ＋2a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝3(a 3＋3)，其中n ∈N *.(1)证明：数列{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)由a 2n ＋1＝3a 2n ＋2a n a n ＋1，得a 2n ＋1－2a n a n ＋1－3a 2n ＝0，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－3a n )＝0，由已知a n ＞0，得a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1＝3a n .所以数列{a n }是公比为3的等比数列．由a 2＋a 4＝3(a 3＋3)，得3a 1＋27a 1＝3(9a 1＋3)，解得a 1＝3，所以a n ＝3n .(2)由(1)知，b n ＝na n ＝n ·3n ，则S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n＝3＋2×32＋3×33＋…＋(n －1)·3n －1＋n ·3n ，① 3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1，② ①－②得－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1 ＝3(1－3n )1－3－n ·3n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n ·3n ＋1－32.所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－14·3n ＋1＋34.18．(本小题满分12分)如图3(1)，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝23，BC ＝4，AD ＝6，E 是AD 上的点，AE ＝13AD ，P 为BE 的中点，将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，使得A 1C ＝4，如图3(2)．(1) (2)图3(1)求证：平面A 1CP ⊥平面A 1BE ； (2)求二面角B -A 1P -D 的余弦值．[解] (1)证明：∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°， AB ＝23，BC ＝4，AD ＝6，E 是AD 上的点，AE ＝13AD ， ∴BE ＝4，∠ABE ＝30°，∠EBC ＝60°，BP ＝2， ∴BP 2＋PC 2＝BC 2，∴BP ⊥PC ， ∵A 1P ＝AP ＝2，A 1C ＝4， ∴A 1P 2＋PC 2＝A 1C 2，∴PC ⊥A 1P ， ∵BP ∩A 1P ＝P ，∴PC ⊥平面A 1BE ，∵PC ⊂平面A 1CP ，∴平面A 1CP ⊥平面A 1BE ，(2)以P 为原点，PB 为x 轴，PC 为y 轴，过P 作平面BCDE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，A 1(－1,0，3)，P (0,0,0)，D (－4，23，0)，所以PB →＝(2,0,0)，P A 1→＝(－1,0，3)，PD→＝(－4，23，0)．设平面A 1PD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·P A 1→＝－x ＋3z ＝0，n ·PD →＝－4x ＋23y ＝0，取x ＝23，得n ＝(23，4,2)，平面A 1PB 的法向量n ＝(0,1,0)，设二面角B -A 1P -D 的平面角为θ，则cos θ＝－|m ·n ||m |·|n |＝－432＝－22.∴二面角B -A 1P -D 的余弦值为－22.19．(本小题满分12分)某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y (g)与尺寸x (mm)之间近似满足关系式y ＝c ·x b (b 、c 为大于0的常数)．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫e 9，e 7内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：(1)ξ的分布列和期望；(2)根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：(ⅰ)(ⅱ)已知优等品的收益z (单位：千元)与x ，y 的关系为z ＝2y －0.32x ，则当优等品的尺寸x 为何值时，收益z 的预报值最大？附：对于样本(v i ，u i )(i ＝1,2，…，n )，其回归直线u ＝b ·v ＋a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1 (v i －v )(u i －u )∑ni ＝1 (v i －v )2＝∑ni ＝1v i u i －n v u ∑n i ＝1v 2i －n v 2，a ^＝u －b ^v ，e ≈2.7182.[解] (1)由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫e 9，e 7内，即y x ∈(0.302,0.388)．则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数ξ＝0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03C 33C 36＝120，P (ξ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (ξ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (ξ＝3)＝C 33C 03C 36＝120，ξ的分布列为：E (ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.(2)对y ＝c ·x b (b ，c ＞0)两边取自然对数得ln y ＝ln c ＋b ln x . 令v i ＝ln x i ，u i ＝ln y i ，得u ＝b ·v ＋a ，且a ＝ln c . (ⅰ)根据所给统计量及最小二乘估计公式有： b ^＝∑ni ＝1v i u i －n v u ∑n i ＝1v 2i －n v 2＝75.3－24.6×18.3÷6101.4－24.62÷6＝0.270.54＝12， a ^＝u －b ^v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18.3－12×24.6÷6＝1，得a ^＝ln c ^＝1，c ^＝e ，所求y 关于x 的回归方程为y ＝e x 12. (ⅱ)由(ⅰ)可知y ＝e x 12，则z ^＝2e x －0.32x .令t ＝x ，则z ^(t )＝－0.32t 2＋2e t ＝－0.32⎝ ⎛⎭⎪⎫t －e 0.322＋e 20.32.由优等品质量与尺寸的比y ^x ＝e x 12x ＝e x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 9，e 7⇒x ∈(7,9)，即x ∈(49,81)．当t ＝x ＝e0.32≈8.5∈(7,9)时，z ^取最大值．即优等品的尺寸x ≈72.3(mm)，收益z ^的预报值最大．20．(本小题满分12分)如图4，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0 )的左、右焦点分别为F 1，F 2，MF 2⊥x 轴，直线MF 1交y 轴于H 点，OH ＝24，Q 为椭圆E 上的动点，△F 1F 2Q 的面积的最大值为1.图4(1)求椭圆E 的方程；(2)过点S (4,0)作两条直线与椭圆E 分别交于A ，B ，C ，D ，且使AD ⊥x 轴，如图，问四边形ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．[解] (1)设F (c,0)，由题意可得c 2a 2＋y 2b 2＝1，即y M ＝b 2a . ∵OH 是△F 1F 2M 的中位线，且OH ＝24， ∴|MF 2|＝22，即b 2a ＝22，整理得a 2＝2b 4. ①又由题知，当Q 在椭圆E 的上顶点时，△F 1F 2M 的面积最大，∴12×2c ×b ＝1，整理得bc ＝1，即b 2(a 2－b 2)＝1，② 联立①②可得2b 6－b 4＝1，变形得(b 2－1)(2b 4＋b 2＋1)＝0，解得b 2＝1，进而a 2＝2. ∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则由对称性可知D (x 1，－y 1)，B (x 2，－y 2)．设直线AC 与x 轴交于点(t,0)，直线AC 的方程为x ＝my ＋t (m ≠0)，联立⎩⎨⎧x ＝my ＋t x 22＋y 2＝1，消去x ，得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－2＝0，∴y 1＋y 2＝－2mtm 2＋2，y 1y 2＝t 2－2m 2＋2，由A ，B ，S 三点共线k AS ＝k BS ，即y 1x 1－4＝－y 2x 2－4，将x 1＝my 1＋t ，x 2＝my 2＋t 代入整理得 y 1(my 2＋t －4)＋y 2(my 1＋t －4)＝0，即2my 1y 2＋(t －4)(y 1＋y 2)＝0，从而2m (t 2－2)－2mt (t －4)m 2＋2＝0，化简得2m (4t －2)＝0，解得t ＝12，于是直线AC 的方程为x ＝my ＋12，故直线AC 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.同理可得BD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴直线AC 与BD 的交点是定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －ax －4ln x 的两个极值点x 1，x 2满足x 1＜x 2，且e ＜x 2＜3，其中e 为自然对数的底数．(1)求实数a 的取值范围； (2)求f (x 2)－f (x 1)的取值范围．[解] (1)f ′(x )＝a ＋a x 2－4x ＝ax 2－4x ＋ax 2，由题意知x 1，x 2即为方程ax 2－4x ＋a ＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4a ，x 1·x 2＝1，整理得a ＝4x 1＋x 2＝4x 2＋1x2＝4x 2x 22＋1.又y ＝x 2＋1x 2在(e,3)上单调递增，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫65，4e e 2＋1.(2)f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－a x 2－4ln x 2－ax 2＋ax 1＋4ln x 1，∵x1＝1x2，∴f(x2)－f(x1)＝ax2－ax2－4ln x2－ax2＋ax2＋4ln1x2＝2a⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x2－8ln x2，由(1)知a＝4x2x22＋1，代入得f(x2)－f(x1)＝8x2x22＋1⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x2－8ln x2＝8(x22－1)x22＋1－8ln x2，令t＝x22∈(e2,9)，于是可得h(t)＝8t－8t＋1－4ln t，故h′(t)＝16(t＋1)2－4t＝－4(t2－2t＋1)t(t＋1)2＝－4(t－1)2t(t＋1)2＜0，∴h(t)在(e2,9)上单调递减，∴f(x2)－f(x1)∈⎝⎛⎭⎪⎫325－8ln 3，－16e2＋1.请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝34＋3t，y＝a＋3t(t为参数)，圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l和圆C的极坐标方程；(2)若射线θ＝π3(ρ＞0)与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．[解](1)在直线l的参数方程中消去t可得，x－y－34＋a＝0，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入以上方程中，所以，直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－34＋a＝0.同理，圆C 的极坐标方程为 ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0.(2)在极坐标系中，由已知可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，π3. 联立⎩⎨⎧θ＝π3，ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，可得ρ2－(3＋33)ρ＋14＝0，所以ρ2＋ρ3＝3＋3 3.因为点M 恰好为AB 的中点，所以ρ1＝3＋332，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋332，π3. 把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋332，π3代入ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0，得3(1＋3)2×1－32－34＋a ＝0，所以a ＝94.23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知f (x )＝|mx ＋3|－|2x ＋n |.(1)当m ＝2，n ＝－1时，求不等式f (x )＜2的解集；(2)当m ＝1，n ＜0时，f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于24，求n 的取值范围． [解] (1)当m ＝2，n ＝－1时， f (x )＝|2x ＋3|－|2x －1|.不等式f (x )＜2等价于⎩⎨⎧x ＜－32，－(2x ＋3)＋(2x －1)＜2，或⎩⎨⎧－32≤x ≤12，(2x ＋3)＋(2x －1)＜2，或⎩⎨⎧x ＞12，(2x ＋3)－(2x －1)＜2，解得x ＜－32或－32≤x ＜0，即x ＜0. 所以不等式f (x )＜2的解集是(－∞，0)． (2)由题设可得，f (x )＝|x ＋3|－|2x ＋n |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋n －3，x ＜－3，3x ＋3＋n ，－3≤x ≤－n 2，－x ＋3－n ，x ＞－n 2，所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋n 3，0，B (3－n,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－n2，3－n 2. 所以三角形ABC 的面积为 12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－n ＋3＋n 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3－n 2＝(6－n )26. 由题设知，(6－n )26＞24，解得n ＜－6.。

2019年高考数学(文科)一本“培养优选练”小题对点练1集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式

小题对点练(一)集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(建议用时：40分钟)一、选择题1．集合A＝{x∈N|－1＜x＜4}的真子集个数为()A．7B．8C．15 D．16C[A＝{0, 1,2,3}中有4个元素，则真子集个数为24－1＝15.]2．已知集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x||x|≤3} ，则A∩B＝()A．[3,4) B．(－4，－3]C．(1,3] D．[－3，－1)D[集合A＝{x|x2－3x－4＞0}＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x||x|≤3}＝{x|－3≤x≤3}．所以A∩B＝{x|－3≤x＜－1}＝[－3，－1)．故选D.]3．(2018·衡水模拟)设命题p：“∀x2＜1，x＜1”，则綈p为()A．∀x2≥1，x＜1 B．∃x20＜1，x0≥1C．∀x2＜1，x≥1 D．∃x20≥1，x0≥1B[因为全称命题的否定是存在性命题，所以綈p为∃x20＜1，x0≥1，应选答案B.]4．已知p：a＜0，q：a2＞a，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B[因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈q⇒綈p且綈pD⇒/ 綈q，所以綈p是綈q的必要不充分条件．]5．下列命题中假命题是()A．∃x0∈R，ln x0＜0 B．∀x∈(－∞，0)，e x＞x＋1C ．∀x ＞0,5x ＞3xD ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＜sin x 0D [令f (x )＝sin x －x (x ＞0)，则f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )＜f (0)，即f (x )＜0，即sin x ＜x (x ＞0)，故∀x ∈(0，＋∞)，sin x ＜x ，所以D 为假命题，故选D.]6．已知集合M ＝{x |x ≤a }，N ＝{x |－2＜x ＜0} ，若M ∩N ＝∅，则a 的取值范围为( )A ．a ＞0B ．a ≥0C ．a ＜－2D ．a ≤－2D [∵M ＝{x |x ≤a }，N ＝{x |－2＜x ＜0}，则M ∩N ＝∅，得a ≤－2，故选D.]7．已知a ，b 均为正实数，且a ＋b ＝3，则1a ＋1b 的最小值为( ) A.23 B.223 C.43D.423C [∵a ＋b ＝3，∴1a ＋1b＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＋b a ，∵a ，b 为正实数，∴a b ＋ba ≥2a b ×ba ＝2，∴13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＋b a ≥43，当且仅当a b ＝b a 时等号成立， ∴1a ＋1b 的最小值为43，故选C. ] 8．(2018·全国名校联考)已知e 为自然对数的底数，则曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝2e x －eD ．y ＝2e x －2C [因为y ＝x e x ，所以y ′＝e x ＋x e x ，曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线斜率k ＝e ＋1×e ＝2e ，切线方程为y －e ＝2e(x －1)，化简得y ＝2e x －e ，故选C.]9．函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )D [易知函数y ＝x 2ln|x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D.]10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C [法一：当a ＜0时，不等式f (a )＜1为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1为a ＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.法二：取a ＝0，f (0)＝0＜1，符合题意，排除A ，B ，D.]11．(2018·江西重点中学联考)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (3)，c ＝f (0)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜cA [∵函数f (x ＋1)是偶函数， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，b ＝f (3)，c ＝f (0)＝f (2)．又∵当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ， ∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f ′(x )＝cos x －1≤0，即f (x )＝sin x －x 在(1，＋∞)上为减函数， ∴b ＜a ＜c ，故选A.]12．(2018·秦皇岛模拟)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：放时长不少于30 min ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为( )A. 6,3B. 5,2C. 4,5D. 2,7A [依题意得⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝60x ＋25y ，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点M (6,3)处取得最大值．故选A.]二、填空题13．(2018·全国名校联考)命题“若x ＜0，则e x ＋x －1＜0”的逆否命题为________．若e x ＋x －1≥0，则x ≥0 [由题意得，该命题的逆否命题为：若e x ＋x －1≥0，则x ≥0.]14．(2018·淮南模拟)若2a ＋4b ＝1，则a ＋2b 的最大值为________．－2 [2a ＋4b ＝2a ＋22b ＝1≥22a ·22b ＝22a ＋2b ， ∴2a ＋2b ≤14，∴a ＋2b ≤log214＝－2，当a ＝－1，b ＝－12时取等号．]15．若变量x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y 的最大值是________．512 [作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，w ＝4x ·2y ＝22x ＋y ，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3，3)处取得最大值，t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x ·2y 的最大值为29＝512.]16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞) [由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13 x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1. ]。

2019年高考数学(理科)一本“培养优选练”小题模拟练3Word版含解析

小题模拟练(三)(建议用时：40分钟) (对应学生用书第132页)一、选择题1．(2018·安庆二模)已知集合A ＝{x |x ＜1}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＜1，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．{x |x ＜1}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＜0}D [因为B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＜1＝{x |x ＜0或x ＞1}，所以A ∩B ＝{x |x ＜0}．故选D.]2．(2018·上饶二模)设i 为虚数单位，若复数z 满足z1－i＝i ，其中z 为复数z 的共轭复数，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C.22 D ．2B [由题得z ＝i(1－i)＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴|z |＝12＋(－1)2＝ 2.故选B.] 3．(2018·惠州市高三4月模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，x 12，x ＞0，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D [法一：令x ＝0，f (0)＝0，不符合题意，排除A ，B ；令x ＝1，f (1)＝1，不符合题意，排除C.法二：当x 0≤0时，f (x 0)＝2－x 0－1＞1，即2－x 0＞2，解得x 0＜－1；当x 0＞0时，f (x 0)＝x 120＞1，解得x 0＞1.∴x 0的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故选D.]4.如图35，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝π3，若向扇形AOB 内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为( )图35A ．100B ．200C ．400D ．450C [如图所示，作CD ⊥OA 于点D ，连接OC 并延长交扇形于点E ，设扇形半径为R ，圆C 半径为r ，∴R ＝r ＋2r ＝3r ，∴落入圆内的点的个数估计值为600·πr 216π(3r )2＝400.]5．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1323，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 3 π，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．a ＜b ＜cD [已知b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，由指数函数性质易知⎝ ⎛⎭⎪⎫1323＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＜1，又c ＝log 3 π＞1，故选D.]6．在△ABC 中，|AB ＋AC |＝3|AB －AC |，|AB |＝|AC |＝3，则CB ·CA 的值为( )A ．3B ．－3C ．－92D.92D [由|AB ＋AC |＝3|AB －AC |，两边平方可得|AB |2＋|AC |2＋2AB ·AC ＝3|AB |2＋3|AC |2－6AB ·AC ，又|AB |＝|AC |＝3，∴AB ·AC ＝92，∴CB ·CA ＝(CA ＋AB )·CA ＝CA 2＋AB ·CA ＝CA 2－AB ·AC ＝9－92＝92.] 7．某几何体的三视图如图36所示，则该几何体的体积为( )图36A ．3πB ．2π C.5π3D.4π3C [由三视图可知，原几何体左边是半边圆柱，圆柱上面是14个球，几何体右边是一个半圆锥，且圆锥的顶点和球心重合．所以几何体的体积为π·122×2＋14×43π×13＋12×13×π×12×2＝53π.故选C.]8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C ＋33sin C ，a ＝2，c ＝263，则角C ＝( )A.3π4B.π3C.π6D.π4D [∵b ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C ＋33sin C ，∴sin B ＝sin A cos C ＋33sin A sin C ， ∴sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋33sin A sin C ，∴cos A sin C ＝33sin A sin C ，由sin C ≠0，可得sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝3，由A 为三角形内角，可得A ＝π3.∵a ＝2，c ＝263，∴由正弦定理可得sin C ＝c ·sin A a ＝22，∴由c ＜a ，可得C ＝π4，故选D.]9．(2018·济南市一模)某程序框图如图37所示，该程序运行后输出M ，N 的值分别为( )图37A ．13,21B ．34,55C ．21,13D ．55,34B [执行程序框图，i ＝1，M ＝1，N ＝1；i ＝2，M ＝2，N ＝3；i ＝3，M ＝5，N ＝8；i ＝4，M ＝13，N ＝21；i ＝5，M ＝34，N ＝55，结束循环，输出M ＝34，N ＝55，故选B.]10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2 B.32 C.355 D.52 B [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 的中点为N (12,15)，得x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2，则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a2，由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，∴4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54，双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝32，∴双曲线C 的离心率为32，故选B.]11．设f (x )＝e sin x ＋e －sin x ，则下列说法不正确的是( ) A ．f (x )为R 上的偶函数 B ．π为f (x )的一个周期 C ．π为f (x )的一个极小值点 D ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减D [f (x )＝e sin x ＋e －sin xf (－x )＝e sin(－x )＋e －sin(－x )＝e sin x ＋e －sin x ＝f (x )，即f (x )为R 上的偶函数，故A 正确；f (x ＋π)＝e sin(x ＋π)＋e －sin(x ＋π)＝e sin x ＋e －sin x ＝f (x )，故π为f (x )的一个周期，故B 正确；f ′(x )＝cos x (e sin x －e －sin x )，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2时，f ′(x )＞0，故π为f (x )的一个极小值点，故C 正确；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，故D 错误，故选D.]12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3)B [因为数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，所以1a n ＋1＝2a n ＋1，则1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等比数列，首项为2，公比为2，所以1a n＋1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1＝(n －λ)2n ，又b 1＝－λ，所以b n ＝(n －1－λ)2n －1(n ∈N *)．因为数列{b n }是递增数列，所以b n ＋1＞b n ，所以(n －λ)2n ＞(n －1－λ)2n。

2019年高考数学(文科)一本“培养优选练”小题模拟练2Word版含解析

小题模拟练(二)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知命题p ：－1＜x ＜2，q ：log 2x ＜1，则p 是q 成立的什么条件( )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．既不充分也不必要D ．充要B [q ：log 2x ＜1⇒0＜x ＜2，因为(0,2)⊂(－1,2)，所以p 是q 成立的必要不充分条件，选B.]2．已知复数z 1＝1＋a i ，z 2＝3＋2i ，a ∈R ，i 是虚数单位，若z 1·z 2是实数，则a ＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.23A [复数z 1＝1＋a i ，z 2＝3＋2i ，z 1·z 2＝(1＋a i)(3＋2i)＝3＋2i ＋3a i －2a ＝(3－2a )＋(2＋3a )i.若z 1·z 2是实数，则2＋3a ＝0，解得a ＝－23.故选A.]3．下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．f (x )＝2x －2－xB ．f (x )＝x 2－1C ．f (x )＝log 12|x |D ．f (x )＝x sin xB [A 是奇函数，故不满足条件；B 是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故满足条件；C 是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件；D 是偶函数，但是在(0，＋∞)上不单调．故答案为B.]4．已知变量x ，y 之间满足线性相关关系y ^＝1.3x －1，且x ，y 之间的相关数据如下表所示：则m ＝( )A ．0.8B ．1.8C ．0.6D ．1.6B [由题意，x ＝2.5，代入线性回归方程y ^＝1.3x －1，可得y ＝2.25，∴0.1＋m ＋3.1＋4＝4×2.25，∴m ＝1.8，故选B.]5．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y ≥0，x －y ≥0，3x ＋y －4≤0，则3x ＋2y 的最大值是( ) A ．0 B ．2 C ．5 D ．6C [绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点A (1,1)处取得最大值，z max ＝3x ＋2y ＝3×1＋2×1＝5.选C.]6．已知等差数列{a n }的公差和首项都不为0，且a 1、a 2、a 4成等比数列，则a 1＋a 14a 3＝( )A ．2B ．3C ．5D ．7C [由a 1、a 2、a 4成等比数列得a 22＝a 1a 4，∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，∴d 2＝a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝a 1，a 1＋a 14a 3＝a 1＋a 1＋13d a 1＋2d＝15a 13a 1＝5，选C.] 7．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有( )A ．58B ．59C ．60D ．61C [小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.故选C.]8．如图46，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )图46A ．2＋42＋2 3B ．2＋22＋4 3C ．2＋6 3D ．8＋4 2A [由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥P -ABC ，其中三棱锥的高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，表面积为S ＝S △ABC ＋S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB ＝2＋22＋22＋23＝2＋42＋23，故选A.]9．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0＜θ＜π)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减 B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递减 C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增 D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递增 D [由题意得f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6， ∵函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋θ＋π6＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，又0＜θ＜π，∴θ＝5π6，∴f (x )＝－2sin 2x .对于选项A ，C ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，故函数不单调，A ，C 不正确；对于选项B ，D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，函数f (x )单调递增，故D 正确．选D.]10．已知A ，B 是函数y ＝2x的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－2)C ．(－1，＋∞)D ．(－2，＋∞) B [设A (a,2a )，B (b,2b )，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2b －12，因为a ≠b ，所以2a ＋2b ＝1，由基本不等式有2a ＋2b ＞2×2a ＋b ，故2×2a ＋b ＜1，所以a ＋b ＜－2，选B.]11．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1，2，a ，且长为a 的棱与长为2的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为( )A.212 B.312C.26 D.36A[如图所示，三棱锥A-BCD中，AD＝a，BC＝2，AB＝AC＝BD＝CD ＝1，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD看作底面，则当平面ABC⊥平面BCD时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高h＝22，△BCD是等腰直角三角形，则S△BCD＝12，综上可得，三棱锥的体积的最大值为13×12×22＝212. ]12．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，A，B为其左右顶点，以线段F1，F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠MAB＝30°，则双曲线的离心率为()A.212 B.213 C.193 D.192B[双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±ba x，以F1，F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，将直线y＝ba x代入圆的方程，可得：x＝aca2＋b2＝a(负的舍去)，y＝b，即有M(a，b)，又A(－a,0)，∵∠MAB＝30°，则直线AM的斜率k＝3 3，又k＝b2a，则3b2＝4a2＝3(c2－a2)，即有3c2＝7a2，则离心率e＝ca＝213，故选B.]二、填空题13．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c cos B＝2a＋b，则C＝________.120° [∵2c cos B ＝2a ＋b ，∴2c ×a 2＋c 2－b 22ac＝2a ＋b ，即a 2＋b 2－c 2＝－ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝120°.](教师备选)阅读程序框图如图，运行相应的程序，输出的结果为________．138[由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知：当x ＝1，y ＝1时，z ＝x ＋y ＝2＜20，x ＝1，y ＝2，运算程序依次继续：z ＝x ＋y ＝3＜20，x ＝2，y ＝3；z ＝x ＋y ＝5＜20，x ＝3，y ＝5；z ＝x ＋y ＝8＜20，x ＝5，y ＝8；z ＝x ＋y ＝13＜20，x ＝8，y ＝13；z ＝x ＋y ＝21＞20，y x ＝138，运算程序结束，输出138.]14．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝________.56[以AB →，AD →为基向量，则AE →·AF →＝(AB →＋λAD →)·(AD →＋μAB →)＝μAB →2＋λAD →2＋(1＋λμ)AB →·AD →＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1①.CE →·CF →＝(λ－1)BC →·(μ－1)DC →＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23②，由①②可得λ＋μ＝56.]。

2019年高考数学(理科)一本“培养优选练”小题对点练2集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(2)

小题对点练(二) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(2)(建议用时：40分钟) (对应学生用书第114页)一、选择题1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{－1,1}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，1)C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－1}D [A ＝{x |y ＝lg x }＝{x |x >0}，从而A 、C 项错，∁R A ＝{x |x ≤0}，故选D.] 2．设a ，b ∈R ，则“a ＋b >4”是“a >1且b >3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [显然“a >1且b >3”成立时，“a ＋b >4”一定会成立，所以是必要条件．当a >4，b >2时，“a ＋b >4”成立，但“a >1且b >3”不成立，所以不是充分条件．故选B.]3．(2018·肇庆市三模)f (x )是R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎨⎧f (x －1)，x ＞1log 2 x ，0＜x ≤1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝( ) A.12 B ．－12 C ．1D ．－1C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－log 2 12＝－log 2 2－1＝1.故选C.]4．函数y ＝ln(－x 2＋2x ＋3)的减区间是( ) A ．(－1,1] B ．[1,3) C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)B [令t ＝－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，故函数的定义域为(－1,3)，且y ＝ln t ，故本题即求函数t 在定义域内的减区间．利用二次函数的性质求得t ＝－(x －1)2＋4在定义域内的减区间为[1,3)，故选B.]5．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －2≤0，x ≥0，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．－4B ．－52C ．－1D ．－2D [作出可行域，如图所示：当直线y ＝x 2－z2过点D (0,1)时z 取到最大值，即z ＝－2，故选D.]6．(2018·安庆二模)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(﹁q )B ．(﹁p )∧qC ．p ∧qD ．(﹁p )∨qA [对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174>3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得2x 0＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧(﹁q )为真命题，故选A.]7．(2018·天津高考)已知a ＝log 2 e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [法一：因为a ＝log 2 e ＞1，b ＝ln 2∈(0,1)，c ＝log 1213＝log 2 3＞log 2 e ＞1，所以c ＞a ＞b ，故选D.法二：log 1213＝log 2 3，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2 x ，y ＝ln x 的图象，由图知c ＞a ＞b ，故选D.]8．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递增，且f (－2)＝1，则f (x －2)≤1的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．[0,4]D [由题意得f (x －2)≤f (－2)，由于函数f (x )是偶函数，所以x －2到原点的距离小于等于－2到原点的距离，所以|x －2|≤|－2|＝2，所以－2≤x －2≤2，解之得0≤x ≤4，故选D.]9．对于使f (x )≤M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做f (x )的上确界，若a >0，b >0且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A.92 B ．－92 C.14D ．－4B [－12a －2b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b (a ＋b )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋b 2a ＋2a b ≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2b 2a ×2a b ＝－92，当且仅当b 2a ＝2a b ，即b ＝2a ＝23时取等号，所以原式的上确界为－92，故选B.]10．(2018·衡水中学七调)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫lnx －1x ＋1的图象大致为( )A BC DB [由于x ≠0，故排除A 选项．又f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln －x －1－x ＋1＝－f (x )，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除C 选项．由f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 13＝－sin(ln 3)＜0，排除D 选项，故选B.]11．(2018·保定市一模)已知函数f (x )既是二次函数又是幂函数，函数g (x )是R 上的奇函数，函数h (x )＝g (x )f (x )＋1＋1，则h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝( )A．0 B．2 018 C．4 036 D．4 037D[因为函数f(x)既是二次函数又是幂函数，所以f(x)＝x2，∴h(x)＝g(x)x2＋1＋1，因此h(x)＋h(－x)＝g(x)x2＋1＋1＋g(－x)x2＋1＋1＝2，h(0)＝g(0)0＋1＋1＝1，因此h(2 018)＋h(2 017)＋h(2 016)＋…＋h(1)＋h(0)＋h(－1)＋…＋h(－2 016)＋h(－2 017)＋h(－2 018)＝2 018×2＋1＝4 037，选D.]12．已知函数f(x)＝x2e x，下列关于f(x)的四个命题：①函数f(x)在[0,1]上是增函数；②函数f(x)的最小值为0；③如果x∈[0，t]时，f(x)max＝4e2，则t的最小值为2；④函数f(x)有2个零点．其中真命题的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4C[∵函数f(x)＝x2e x，∴f′(x)＝x(2－x)e－x，∴令f′(x)＞0，得0＜x＜2，即函数f(x)在(0,2)上为增函数；令f′(x)＜0，得x＜0或x＞2，即函数f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上为减函数．∵函数f(x)＝x2e x≥0在R上恒成立，∴当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，且函数f(x)的零点个数只有一个．当x＞0时，f(x)max＝f(2)＝4e2，则要使x∈[0，t]时，f(x)max＝4e2，则t的最小。

高考数学二轮复习”一本“培养优选练小题模拟练1理

小题模拟练(一)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知集合A ＝{x |lg(x －2)＜1}，集合B ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则A ∪B ＝( ) A ．(2,12) B ．(－1,3) C ．(－1,12)D ．(2,3)C [A ＝{x |lg(x －2)＜1}＝{x |0＜x －2＜10}＝(2,12)，B ＝{x |x 2－2x －3＜0}＝(－1,3)，所以A ∪B ＝(－1,12)，选C.]2．设(1＋i)(x ＋y i)＝22i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2D [ (1＋i)(x ＋y i)＝x －y ＋(x ＋y )i ＝22i ， ∴x －y ＝0，x ＋y ＝22，∴x ＝y ＝ 2.则 |x ＋y i|＝22＋22＝2.]3．(2018·石家庄市一模)函数f (x )＝2x(x ＜0)，其值域为D ，在区间(－1,2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是( )A.12B.13C.14D.23B [函数f (x )＝2x(x ＜0)的值域为(0,1)，即D ＝(0,1)，则在区间(－1,2)上随机取一个数x ，x ∈D 的概率P ＝1－02－－1＝13.故选B.]4．今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织的布的尺数为(不作近似计算)( )A.12 B.815 C.1629D.1631C [由题意可知，该女每天的织布量成等差数列，首项是5，公差为d ，前30项和为390.根据等差数列前n 项和公式，有390＝30×5＋30×292d ，解得d ＝1629.]5. 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6，则y x的最大值是( )A ．－2B ．－1 C.12D ．2D [画出不等式组表示的平面区域，则y x表示的几何意义是区域内包括边界上的动点M (x ，y )与原点连线的斜率，故其最大值为O ，A 两点的连线的斜率，即k ＝2，故应选D.]6．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图32所示，则剩余部分的表面积等于( )图32A ．39πB ．48πC ．57πD ．63πB [由三视图可知剩余几何体是圆柱挖去一个圆锥的几何体，且圆柱底面圆的半径为3，母线长为4，则圆锥的母线长为5，所以剩余部分的表面积S ＝π×32＋2π×3×4＋π×3×5＝48π，故应选B.]7．以抛物线y 2＝20x 的焦点为圆心，且与双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线都相切的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－20x ＋64＝0 B ．x 2＋y 2－20x ＋36＝0 C ．x 2＋y 2－10x ＋16＝0D ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0C [∵抛物线y 2＝20x 的焦点F (5,0)，∴所求圆的圆心(5,0)，∵双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线分别为3x ±4y ＝0，∴圆心(5,0)到直线3x ±4y ＝0的距离即为所求圆的半径R ，∴R ＝155＝3，∴圆的方程为(x －5)2＋y 2＝9，即x 2＋y 2－10x ＋16＝0，故选C.] 8．已知0＜a ＜b ＜1，则( ) A.ln aln b＜1 B.a ln a ＞bln bC ．a ln a ＜b ln bD ．a a ＞b bB [因为0＜a ＜b ＜1，所以ln a ＜ln b ＜0，所以ln a ln b ＞1，故A 错误；又0＞1ln a ＞1ln b ，所以0＜－1ln a ＜－1ln b ，所以0＜－a ln a ＜－b ln b ，所以a ln a ＞bln b，B 正确；又－ln a ＞－ln b ＞0，所以－a ln a 与－b ln b 的大小不确定，故C 错误；由指数函数的单调性可知a a ＞ab ，由幂函数的单调性可知a b ＜b b ，所以a a ＞b b 的大小关系不确定，故D 错误．选B.]9．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B＝2，则△ABC 的外接圆的面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36πC [因为b cos A ＋a cos B ＝2，所以由余弦定理可得，b ×b 2＋c 2－a 22bc ＋a ×a 2＋c 2－b 22ac＝2，整理解得c ＝2，又cos C ＝223，可得sin C ＝1－cos 2C ＝13.设△ABC 的外接圆的半径为R ，则2R ＝csin C＝6，所以R ＝3，所以△ABC 的外接圆的面积S ＝πR 2＝9π.]10．已知角θ始边与x 轴的非负半轴重合，与圆x 2＋y 2＝4相交于点A ，终边与圆x2＋y 2＝4相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为C ，△ABC 的面积为S (θ)，则函数S (θ)的图象大致是( )A BC DB [由题意A (2,0)，B (2cos θ，2sin θ)，所以S (θ)＝12|BC ||AC |＝12(2－2cosθ)·2|sin θ|≥0，所以排除C ，D.又当θ＝3π4时，S (θ)＝2＋1＞2，综上可知，B 选项是正确的．]11．已知函数f (x )＝32sin ωx －12cos ωx (ω＞0)，将函数y ＝|f (x )|的图象向左平移π9个单位长度后关于y 轴对称，则当ω取最小值时，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π3，π2＋2k π3 (k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋4k π3，π2＋4k π3 (k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋2k π3，π2＋2k π3 (k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋4k π3，π2＋4k π3 (k ∈Z )D [函数f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6 (ω>0)，将函数y ＝|f (x )|的图象向左平移π9个单位长度后得到函数解析式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π9－π6，又图象关于y 轴对称，所以ωπ9－π6＝π2＋k π2，k ∈Z ，则当ω取最小值32时，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4，由2k π≤32x ＋π4≤2k π＋π，解得－π6＋4k π3≤x ≤π2＋4k π3，k ∈Z ，所以当ω取最小值时，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋4k π3，π2＋4k π3(k ∈Z )，故选D.]12．已知函数f (x )＝12e 2x ＋(a －e)e x－a e x ＋b (其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数)在x＝1处取得极大值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．[0，＋∞)C ．[－e,0)D ．(－∞，－e)D [由f (x )＝12e 2x ＋(a －e)e x－a e x ＋b 可得：f ′(x )＝e 2x ＋(a －e)e x －a e ＝(e x ＋a )(e x －e)，当a ≥0时，由f ′(x )＞0，可得f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增；由f ′(x )＜0，可得f (x )在区间(－∞，1)上单调递减，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，无极大值，不符合题意．当a <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝ln(－a )，只有当ln(－a )>1，即a <－e 时，由f ′(x )＞0，可得f (x )在区间(－∞，1)，(ln(－a )，＋∞)上单调递增；由f ′(x )＜0，可得f (x )在区间(1，ln(－a ))上单调递减，故f (x )在x ＝1处取得极大值，所以若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－e)．选D.] 二、填空题13．已知向量e 1与e 2不共线，且向量AB →＝e 1＋m e 2，AC →＝n e 1＋e 2，若A ，B ，C 三点共线，则mn ＝________.1 [因为A ，B ，C 三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得AB →＝λAC →，所以有e 1＋m e 2＝n λe 1＋λe 2，由此可得⎩⎪⎨⎪⎧1＝n λ，m ＝λ，所以mn ＝1.]14．已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＋a 5＝________. 20 [a 4是x 项的系数，由二项式的展开式得a 4＝C 33·C 12·2＋C 23·C 22·22＝16.a 5是常数项，由二项式的展开式得a 5＝C 33·C 22·22＝4.所以a 4＋a 5＝16＋4＝20.]15．(2018·德阳联考)已知点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F 1PF 2＝120°，且|PF 1|＝3|PF 2|，则椭圆的离心率为___________．134 [设|PF 2|＝x ，|PF 1|＝3x,2a ＝4x ，由余弦定理知(2c )2＝13x 2，所以c a ＝134.] 16．已知三棱锥A BCD 中，BC ⊥CD ，AB ＝AD ＝2，BC ＝1，CD ＝3，则该三棱锥的外接球的体积为________．4π3[因为BC ＝1，CD ＝3，BC ⊥CD ，所以BD ＝2，又AB ＝AD ＝2，所以AB ⊥AD ，所以三棱锥A BCD 的外接球的球心为BD 的中点，半径为1，所以三棱锥A BCD 的外接球的体积为4π3.]。