1.1.2弧度制(1)

圆心角α （弧度）
r r
1
2r r
2
3r r
3
2r
r
r
r
2

l r
l r
引申
若∠AOB为负角，且 l 2r ，∠AOB为多少弧度？ -2 rad l 公式 应该如何修改？ r
1.正角的弧度数 负角的弧度数 零角的弧度数
正数 负数 零
l 2. r
弧长公式：l
3.利用弧度制,使得弧长公式和扇形的面 积公式得以简化,这体现了弧度制优点.
作业：
P10 习题1.1 A组： 6，7，8，9，10.
练习 已知
则:
A B | 6 , 或0
A | 2 (2k 1) ( ) B | 6 6
1.1
任意角和弧度制 弧度制
1.1.2
问题提出 1.角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置 旋转到另一个位置所组成的图形，其中正角、负 角、零角分别是怎样规定的？ 2.在直角坐标系内讨论角,象限角是什么概念？ 3.与角α 终边相同的角的一般表达式是什么？ S={β|β=α＋k· 360°，k∈Z} 4.长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量, 物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的 单位制能给解决问题带来方便,以度为单位度量角的大 小是一种常用方法,为了进一步研究的需要,我们还需 建立一个度量角的单位制.
例2：请用弧度制表示下列角度所在区间。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}
直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°} 0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}
0,


2



2
, 2

[0,
写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：
| 2 ( ) 4、 终边与Y轴正半轴重合； 2 3 5.终边与Y轴负半轴重合； ( ) | 2 2 | ( ) 6、 终边与Y轴重合； 2
弧度化为角度: 2 rad＝ 360 , rad＝180 , 180 1 rad ＝( ) ≈57.30 ＝5718/．
例2 填 空: 角度制与弧度制的互化
17 17 0 0 (1) 180 255 12 12 ( 2)
5 5 0 180 8 8
0
112.5 112 30
1 ② 扇形面积公式 S lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为nº (αrad)，则
n 1 2 S R R 360 2
2
又 αR=l，所以
1 S lR 2
例4 已知扇形的周长为 , 面积为 cm2 , 8cm 4
求该扇形的圆心角的弧 . 度数
r
弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单
位制 （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆
1 心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心 360
角的大小； 1弧度≠1º
（3）以弧度和度为单位的角，都是一个与半
径无关的定值。
探究（二）：度与弧度的换算
0 0
5 (3) 100 100 180 9
0

10 (4) 600 600 180 3

思考3：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊 角对应的弧度数分别是多少？
角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 弧度 0
7 弧度 6
7、第一象限内的角； | 2k 2k ,( k )
2 8、第二象限内的角； | 2 2 2 9、第三象限内的角； | 2 2 3 2
10、第四象限内的角； | 2 3 2 2 2
解: 如图
2 6

0

6 2
当 2,3,时, 或当 1,2,时, 已 超 出 ( 6,6)的范围 .
例4 已知扇形的圆心角为720,半径等于20cm， 求扇形的弧长和面积；
1 1 l 2 S = lR = a R = 2 2 2a
思考6：在弧度制下,与角α 终边相同的角 如何表示?终边在坐标轴上的角如何表示?
2
2k (k Z ) 终边x轴上：k ( k Z ) 终边y轴上： k ( k Z )
2
小结作业 1.用度为单位来度量角的单位制叫做角 度制，用弧度为单位来度量角的单位制 叫做弧度制. 2.度与弧度的换算关系，由180°＝ rad进行转化，以后我们一般用弧度为 单位度量角.
探究1：弧度的概念 思考1:在平面几何中,10的角是怎样定义的？ 将圆周分成360等份,每一段圆弧所对的圆心角 就是10的角.
思考2：在半径为r的圆中,圆心角n0所对的 圆弧长如何计算？
2 r n r l n 360 180
思考3:如图,把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫 做1弧度的角,记作1rad,读作1弧度.那么.1弧度圆心角 的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？
思考1:一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度 为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的 换算关系？ 360＝2 rad 思考2：根据上述关系,10等于多少弧度？1rad等于 多少度？
角度化为弧度：
360＝2 rad,
180＝ rad,
1＝

≈0.01745 rad．
180
rad
B
A r r
B
1rad O
B l=r 1弧度 O r r A O
1弧度
l=r A
2.定义： 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
思考:
ห้องสมุดไป่ตู้
当AB弧的长度为2r、3r时， 正角∠AOB为多少弧度？ 一个周角的弧度数是多少？半个圆弧所对的圆心角 的弧度数是多少？ 弧长l 半径r
( ) ( )
( )
用弧度制表示弧长公式：
① 弧长公式： l r
l 由公式： l r r
nr 比公式 l 简单. 180
弧长等于弧所对的圆心角弧度的绝对值 与半径的积.
用弧度制表示扇形面积公式：
R L 解 : 设扇形半径为 , 弧长为 , 则由
2R L 8
1 LR 4 2
L
解得 R 2 L 4 故该扇形的圆心角 的弧度数为
L 4 2 R 2

R
思考5：已知一个扇形所在圆的半径为R，弧长为l，圆心 角为α （ 0 < a < 2p ）那么扇形的面积如何计算？
6
5 4
4
4 3
3
3 2
2
5 3
2 3 7 4
3 4 11 6
5 6

角度 210 225 240 270 300 315 330 360
2
今后用弧度制表示角时,“弧度”二字或“rad”通常略去不 写,而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.
2 )
小于90°角：{θ|θ＜90°}
试一试：教材P9 练习
( ,

2
)
例3
1、 终边与X轴正半轴重合； | 2k , k z | 2 ,( ) 2、 终边与X轴负半轴重合； 3、 终边与X轴重合； | k ,(k )