数形结合的思想

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数形结合思想

■小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案.如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形.另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示.如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等.换句话说，就是形也离不开数.因此，数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大.
四下18页，位置与方向
六上2、3页，位置（坐标）
三下42、43页，用数据进行统计分析、推断
三下82、83页，数形结合解决面积单位进率
四上89、90页，借助数直线解决小数意义及大小比较
四下50、51页，借助数直线进一步理解小数的意义
四下58页借助数直线理解小数的性质
四下62、63页用数形结合帮助学生理解小数点移动引起小数大小变化的规律
借助直观图形，初步感受归一的基本模式
师：下面这个图形的黄色部分表示多少？生：少条件的，应该告诉一份是多少？师追问：非要告诉一份是多少吗？我们一起来看看到底告诉了什么已知条件？能不能求出黄色部分是多少？出示：红色部分表示180. 学生独立思考，尝试解答.有的先分步：180÷3＝60，60×5＝300，教师引导用综合算式解答：180÷3×5＝60×5＝300，特别强调：先算哪步，表示什么？师补充：如果已知的是整个图形表示480呢？生列式计算：480÷8×5＝60×5＝300. 师引导学生反思：刚才是怎样求出黄色部分的，我们一起来回顾一下，为了比较的方便，可以用表格把相应的数据整理在一起.

数形结合思想解析.讲义

“数形结合思想”解析

（一）“数形结合”思想的内涵诠释

“数形结合”的本质是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行思考，使“数”与“形”各展其长，优势互补，实现抽象思维与形象思维的结合，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，起到优化解题途径的目的。

“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中，书中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。“数形结合”是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法。我们在研究抽象的“数”的时候，往往要借助于直观的“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。通过“数”与“形”的结合，我们对事物、规律的把握就能既容易又细微、深刻。

（二）“数形结合思想”在教学中的作用。

数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性，此时，“数”是手段。

1.以“形”助“数”。“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。

a.数学概念的建立借助“形”的直观。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。

数形结合思想

一、线段图例1 某校参加数学竞赛预赛的学生有164人，赛后，男生的3/5、女生的3/8获得决赛权。已知，被淘汰的男女生人数相等，问获得决赛权的男生有多少人？ 2 分析： 5 男生女生
男生的2/5等于女生的5/8，男生人数为女生的：
5 2 25 8 5 16
25 164 女生人数： (1 ) 64 （人） 16
练习：
1.一些人共同分担购买小船的费用，如果其中10人后来决定不参加，余下的人就要每人多分担100元，当实际付款时，又有15人退出，最后余下的人，每人又多负担200元，原先同意购船的人数是多少人？ 2.哥哥和弟弟各摘了一批柿子，如果哥哥给弟弟8只，他们就一样多，如果弟弟给哥哥8只，哥哥的柿子是弟弟的两倍，哥哥和弟弟原来各摘了多少柿子？ 3．100人要到80千米外的某地参观，只有一辆可乘50人、时速为50千米的汽车，若人步行的速度为每小时10千米，最少用多长时间可使他们全部同时到达？（上下车时间、车转向时间忽略不计） 4.甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行100 千米，乙车每小时行96千米，它们相遇时距A、B两地的中点处16千米，求A、B两地的距离？
3 获得决赛权的男生人数： 164 64) 60 （人） ( 5
例2在郊外上班的张工程师，每天在某一时刻乘火车到达P站，然后乘准时到达P站接他的汽车到工厂上班。有一天，张工程师提前55分钟到P站，就向工厂走去，在路上遇到了接他的汽车，就乘车去工厂，结果比平时提前10分钟到达。问汽车速度是张工程师步行速度的几倍？分析：本题目条件比较隐蔽，根据题意，线段图标示如下：

数形结合的思想

著名数学家华罗庚说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微”，指明研究数学问题要注意数形结合。数形结合就是把抽象的數学语言和直观的图形结合起来，以便化抽象为直观，化繁为简，化难为易，启迪思维探求解题思路。如何使学生建立起数形结合的思想是初中数学的重要任务，通过多年的教学实践发现要建立数形结合的思想应该从初一开始训练。重点做好数与线段，减法与线段，代数与几何的理解和过渡。

一：数与线段的理解与转化。

初一开始引进负数与数轴，负数引进后，数有两部分构成，即符号和绝对值。在数轴上，符号决定位置，绝对值是数对应的点到原点的线段的长度。学习平面直角坐标系后，坐标也一样，符号决定点的位置，即所在的象限。绝对值是到纵轴和横轴的距离。例如：直线y=x就是点的符号一样，到纵轴与横轴的距离一样，联系角平分线的判定，就能迅速解释直线y=x是一三象限的角平分线。

练习题：

1：如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B，直线AZSujZ539WZXgQbvMTD4UANISjB2FCRW+jJRkKoMZ34=经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分.

（1）求△ABO的面积;

（2）若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式.

二：减法与线段长度的理解与转化。

在学习有理数的减法时，借助数轴理解减法与线段长度的关系。例如：8-（-3）=？，可以通过加减法之间的关系得出结论。也可以借助数轴得出结论。在借助数轴得结论时，建立起到A点的距离，就是数与A点表示数的差。当大数减去小数时，差即为线段的长度，小数减去大数时，差的相反数即为线段的长度。

数形结合思想

【解析】由题意可知，f(x)是以 2 为周期，值域为[0,1] 的函数．
图2
又 f(x)＝lgx，当 x∈(0,10]时，f(x)＝lgx≤1，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数，由图象可知共 9 个交点．
【答案】 C
热点之四利用数形结合解决线性规划问题解决线性规划问题的关键是准确画出线性约束条件的可行域． x－y－2≤0，【例 4】设实数 x、y 满足x＋2y－4≥0， 2y－3≤0， y 则的最大值是________． x
2.数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来．关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．
【例 5】过点 A(1， 2)的直线 l 将圆(x－2) ＋y ＝4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 l 的斜率 k＝ ________.
2
2
【解析】由草图可知点 A(1， 2)在圆(x－2) ＋y ＝4 的内部，圆心为 M(2,0)，要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线 l⊥MA， 1 1 2 所以 kl＝－＝－＝ . kMA － 2 2

数形结合思想

提要

数形结合是研究数学问题的有效途径和重要策略，它体现了数学的和谐美，统一美。数，式能反映图形的准确性，图形能增强数，式的直观性。我国著名数学家华罗庚曾概况：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”

知识全解

一．数形结合思想的概念

数形结合思想是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。

将“数”字化为图“形”，或能从“图”形中获取有用的解题“数”字，是数形结合思想的关键所在。

二．数形结合思想的解题策略

利用数学结合思想解题的关键是明确“数”，“形”之间的紧密联系，“数”问题可利用“形”去解决，“形”的问题可利用“数”去解决。

注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。

三．学法指导

类型1 利用数轴将代数问题转化成几何图形问题

例1 已知a>0，b<0，且lbl>a，试比较a,-a,b,-b的大小

【解析】若直接比较上述4个数的大小有一定的难度；若用特殊值法，是可以比较它们的大小关系的；若把它们在数轴上表示出来，利用数轴的直观性，它们的大小关系将一目了然。

∵a>0,b<0，∴在数轴上表示数a,b的点分布在原点的右边和左边∵lbl>a，∴表示数a的点到原点的距离小于数b的点到原点的距离

数形结合数学思想

数形结合思想

数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

数形结合思想解决的问题常有以下几种：

(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．

(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．

(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．

(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．

(5)构建立体几何模型研究代数问题．

(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．

(7)构建方程模型，求根的个数．

(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．

应注意以下几点：

(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．

(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，

然后作出两个函数的图象，由图求解．

热点一利用数形结合思想讨论方程的根

例1(2014·山东)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()

A．(0，

2) B．(

2，1) C．(1,2) D．(2，＋∞)

解先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx

数形结合的思想

３．时ｙ３２（２＝．一此￣－ｘ－）７（）２ｘ５时，＝５）（＋）２当一＜＜）（ — ＋２，
－．时ｙ＝．７此，７ｍ
数Ｉ＿３ｌｙｋ的图象，原方＋与－２－
程的解就是此两函数图象交点的横坐标．因此．可根据两函数图象的交点情况来确定原方程解的情况．
分析：题可用 “ 点分段法 ” 本零分
是数轴上的动点Ｐ与两个定点Ａ．曰之间的距离之和的最小值．因此．当
类讨论去掉绝对值符号．可作此分也
数形结合思想就Байду номын сангаас在解决数学问题的过程中，注意把数形结合起来考查．根据问题的条件和结论之间的内在联系，使几何问题借助于数的推演提示其形的特征，使代数问题借助于几何直观地揭示其数之间的联系．它将抽象的语言与直观的图形结合起来．将抽象思维与形象思维结合起
－
Ｖ
／３
Ｄ
１．
，
作此分段函数的图象如图１所示，由图象知此函数的最小值为 ‰
、一／、
图３
例３求由方程ｆｆｆｆ１＋Ｙ－所确
定的曲线围成的图形面积．

数形结合思想

“数形结合”是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质:另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。我国著名数学家华罗庚学说过:“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。利用数形结合，可把复杂的问题变得简明、形象、有助于探索解决问题的思路，预测结果:可以帮助学生直观理解数学，在整个学习过程中都发挥着重要的作用.

我们在数学中渗透数形结合的思想，这有助于培养学生的发散思维和创新思维，也为数学学习打好基础，例如:在学习平面坐标系中，用数对表示平面图形上的点，点的平移引起了数对的变化，而数对变化也对应了不同的点。此外，正反比例学习中，让学生通过描点连线来表示正比例函数的图象，发现成只要是正比例关系的式子，画在坐标图中是就一条直线，从而体会到图形与函数之间密不可分的关系。

当然，数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。学生只要掌握了这一方法，就可通过同一个题目或同一个问题，借助图解，寻求“题多解”或“一题多变”，通过独立思考，提出新的解题思想。于的方法、新的问题、达到融会贯通、举一反三的目的，从而提高解决问题的灵活性和应变能力。

总之，在数学教学中，渗透数形结合思想和方法。可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化。不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生徐门兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使学习收到事半功倍的效果。

数形结合思想总结

数形结合思想，即数学与几何的相互结合，是一种抽象思维方式，可以帮助我们理解和解决问题。在现实生活中，我们经常会遇到需要进行量化和图像表示的情况，数形结合思想就可以发挥非常重要的作用。

首先，数形结合思想可以帮助我们更好地理解数学概念。数学是一门抽象的学科，有时很难理解其中的概念。但是，通过将数学问题与几何图形相结合，我们可以用图形的形式来直观地表示和理解抽象的数学概念。例如，在学习几何题目时，我们经常使用图形来表示给定条件，然后通过数学方法来求解未知量。这样，就可以更加直观地理解和应用数学概念。

其次，数形结合思想可以在解决实际问题时发挥重要作用。在现实生活中，我们常常需要通过数学方法来解决各种实际问题。然而，有些问题很难用纯数学方法解决，因为涉及到很多具体的情况和变量。这时，数形结合思想就可以帮助我们将问题转化为几何图形，从而更加直观地分析和解决问题。通过将问题用图形表示，我们可以更好地观察问题的特点和规律，从而找到解决问题的方法。

另外，数形结合思想在培养创造力和创新思维方面也是非常有益的。数学和几何本质上都是一门创造性的学科，通过将数学和几何相结合，我们可以激发学生的创造力和创新思维。通过探索不同的数学问题和几何图形，学生可以学会思考和解决问题的方法，培养他们的创新思维能力。数形结合思想可以帮助学生发现问题的多种解决途径，从而提高他们的思维灵活性和

创造性。

此外，数形结合思想对于培养学生的空间想象能力也非常重要。在学习几何和立体几何时，学生需要通过观察和分析图形，并将其转化为数学表达式。这就要求学生具备一定的空间想象能力。数形结合思想可以帮助学生在思维中形成几何的空间感，从而提高他们的空间想象能力。通过不断练习和探索，学生可以逐渐提高他们的空间想象能力，从而更好地理解和应用几何以及其他相关的数学概念。

数学思想之数形结合思想概述

1.数形结合思想的涵义

“数”早期是古代的计数，现在表示数量的概念；“形”早期是古代的形状，现在表示空

间的概念。家欧几里得用自己毕生精力完成《几何原本》这一千古流芳的巨著，这是体现数形转化的文字资料。柏拉图说过，只有数学存在的实体才具备永恒的可理解性，任何科学都只有建立在几何学带来的概念和模式上，才可以解释现象表面背后的结构和关系。教育家波利亚也曾说：“画一个图，并用符号表示”。

数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等等。

2.数形结合思想的发展

数轴的建立使人们对数与形的统一有了跳跃式的认识，把实数集与数轴上的点集一一对应起来，数可以视为点，点也可以视为数，点在直线上的位置可以数量化，而数的运算，也可以几何化。

在此基础上，笛卡尔又把数轴拓展到了直角坐标系。在高中数学中几乎所有图形都是建立在直角坐标系中，奠基人笛卡儿的主要数学成果都集中在他的“几何学”中。当时的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。其核心内容是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种数学思想他创立

数形结合思想

运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．

(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．

(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．

数形结合思想解决的问题常有以下几种：

(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围． (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．

(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．

(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式． (5)构建立体几何模型研究代数问题．

(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题． (7)构建方程模型，求根的个数．

数形结合思想

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学．”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决．“数”与“形”是一对矛盾，华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合．如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系和单位圆来定义的．数形结合在解决集合运算、函数方程、不等式、解析几何、三角、向量等问题中均有广泛运用．

数形结合思想规律总结

数形结合思想是指通过对数学问题进行几何形式的推理和展示来深入理解和解决问题的一种思维方法。它将抽象的数学概念转化为具体的几何形状，使抽象的数学问题更加直观和有趣。通过数形结合思想，我们可以发现数学问题中的规律和性质，进一步推导出结论，并且可以通过几何图形来验证和证明这些结论。下面是对数形结合思想的规律总结。

1. 形状与数量的对应关系：

在一些几何问题中，我们可以通过观察形状与数量的对应关系来发现规律。例如，对于等差数列来说，我们可以将数列中的每个数字进行线段的长度表示，然后将这些线段连接起来，形成一个等差数列的图形。通过观察等差数列的图形，我们可以发现线段之间的对称性和等长性，从而进一步推导出等差数列的性质和公式。

2. 几何和代数的转化：

数形结合思想可以将代数问题转化为几何问题，反之亦然。例如，对于二次方程来说，我们可以构造一个平面上的抛物线，抛物线与x轴和y轴的交点就是二次方程的解。通过观察抛物线的形状和位置，我们可以直观地理解二次方程的根的性质。相反地，我们也可以通过代数方法解决几何问题，例如通过方程组求解平面上的几何问题，从而得到几何问题的具体解法。

3. 同分异构和异分同构：

同分异构是指在几何形状中不同的数学性质可以对应相同的数值关系。例如，正方形和圆形可以有相同的面积，尽管它们的

形状不同。异分同构则是指在数学关系中不同的几何形状可以对应相同的数值关系。例如，两个不同的数列可以具有相同的公式和递推关系，尽管它们的数值不同。通过使用数形结合思想，我们可以发现同分异构和异分同构的规律，并且可以利用这种规律来解决一些复杂的数学问题。

数形结合的思想方法

每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

一、解题方法指导

1．转换数与形的三条途径：

①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。

②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的

数形结合思想

练习 2.2 若实数 a,b,c,d 满足 (b ln a) 2 (c d 2) 2 0 ，则
(a c) 2 (b d ) 2 的最小值_________
题型三例3
数形结合解决方程的根个数及不等式问题
Hale Waihona Puke Baidu
已知函数 f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当 ( C )
数学思想方法
——数形结合思想
1.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想. 数形结合思想的应用包括以下两个方面： (1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质； (2)“以数辅形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
2.实现数形结合，常与以下内容有关：
（1）以几何为背景建立起来的概念，如绝对值、向量、复数、三角函数等；（2）等式或代数式的结构含有明显的几何意义（3）实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系
题型一
以几何背景建立起来的概念中的数形结合思想
例 1.(2011· 大纲全国)已知 a、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(a－c)· (b－c)＝0，则|c|的最大值是( C ) 2 A.1 B.2 C. 2 D. 2