7静电场问题破解之道——六种方法包万象(解析版)

静电场问题破解之道——六种方法包万象通览近几年各地高考卷中的电场类选择题，考题可以说是千变万化，但使用的方法却都基本相同。

用到的方法主要有对称法、等效法、割补法、微元法、整体隔离法和极端思维法等，这正是“年年岁岁法相似，岁岁年年题不同”。

本文结合几道相关的试题加以赏析，感受一下静电场选择题的破解之道。

下面分别举例说明。

一、对称法【例1】（高考江苏卷）如图所示，一圆环上均匀分布着正电荷，x轴垂直于环面且过圆心O。

下列关于x轴上的电场强度和电势的说法中正确的是（）A．O点的电场强度为零，电势最低B．O点的电场强度为零，电势最高C．从O点沿x轴正方向，电场强度减小，电势升高D．从O点沿x轴正方向，电场强度增大，电势降低解析：因为圆环上均匀分布着正电荷，根据对称性可知在圆心O点产生的电场的合场强为零，且在垂直于x轴方向上分量的矢量和为0，所以x轴上O点右侧场强方向向右，O点左侧场强方向向左，又因为沿电场线方向电势降低，所以O点电势最高，所以A选项错误，B选项正确；均匀分布着正电荷的圆环可看成由无数对关于圆心O点对称的带正电的点电荷组成，x轴正好位于这对点电荷的中垂线上，由等量正点电荷中垂线上的电场特点和电场叠加原理可知，从O点沿x轴正方向，电场强度先变大后变小，所以CD选项错误。

答案 B点评：解决本题的关键就是运用了对称法确定了圆环中心O和x轴上圆环左右两侧电场强度的大小和方向特点，从而使问题得解。

【例2】（山东卷）直角坐标系xOy 中，M 、N 两点位于x 轴上，G 、H 两点坐标如图所示，M 、N 两点各固定一负点电荷，一电量为Q 的正点电荷置于O 点时，G 点处的电场强度恰好为零。

静电力常量用k 表示。

若将该正点电荷移到G 点，则H 点处场强的大小和方向分别为（ ）A ．243a kQ，沿y 轴正向 B ．243a kQ ，沿y 轴负向 C ．245a kQ ，沿y 轴正向 D ．245a kQ ，沿y 轴负向解析：由于G 点的场强为0，根据电场叠加原理可得，M 、N 两点固定的负点电荷在G 点处产生的场强与O 点的正点电荷在G 点处产生的场强大小相等，方向相反，根据等效性，M 、N 两点固定的负点电荷在G 点处产生的场强可以等效为O 点的正点电荷在G 点处产生的场强，但方向相反，所以M 、N 两点固定的负点电荷在G 点处产生的场强为点处产生的场强可以等效为O 点的正点电荷在G 点处产生的场强，这样通过等效，将未知两点电荷电量大小和距离的场强问题等效为已知电量大小和距离的点电荷场强问题，从而使问题得解。

【针对训练2】均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。

如图4所示，在半球面AB 上均匀分布正电荷，总电荷量为q ，球面半径为R ，CD 为通过半球顶点与球心O 的轴线，在轴线上有M 、N 两点，OM =ON =2R 。

已知M 点的场强大小为E ，则N 点的场强大小为（ ）A ．22R kq B ．E R kq-22 C ．E R kq -24 D ． E R kq+24【例3】（安徽卷）如图5所示，半径为R 均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P （坐标为x ）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=212212x R xk E σπ，方向沿x 轴。

现考虑单位面积带电量为0σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r 的圆板，如图6所示。

则圆孔轴线上任意一点Q （坐标为x ）的电场强度为（ ）A ．()21222xrxk +σπ B ．()21222xrrk +σπC ．2πκ0σr x D ．2πκ0σxr 解析：根据割补法将挖去的半径为r 的圆板补上则得到一个无限大均匀带电平板，由公式()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=212212x R xk E σπ得，当R ∞→时得圆孔轴线上任意一点Q 的场强大小为012σπk E Q =；补上去的半径为r 的圆板在Q 点产生的场强大小为()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=2122212x r xk E Q σπ；则挖去一半径为r 的圆板后则圆孔轴线上任意一点Ｑ场强()2122212xrxk E E E Q Q +=-=σπ，所以A 选项正确。

答案：A点评：解决本题的关键就是利用割补法将挖去的半径为r 的圆板补上得到一个无限大均图5图6匀带电平板，利用公式求出场强1Q E ，再将补上去的半径为r 的圆板在Ｑ点产生的场强２Q E 减去，这样通过割补法将不可求的不规则形状物体的场强问题转化成了两个规则物体场强差问题，从而使问题得解，这是利用割补法中“补”法。

【针对训练3】一半径为R 的绝缘球壳上均匀地带有电荷量为＋Q 的电荷，另一电荷量为＋q 的点电荷放在球心O 处。

由于对称性，点电荷受力为零。

现在球壳上挖去半径为r (R r <<)的一个很小的圆孔，则此时置于球心处的点电荷（ ）A ．受力大小为零B ．受力大小为2R kqQ，方向由圆孔指向球心 C ．受力大小为424R kqQr ，方向由圆孔指向球心D ．受力大小为424RkqQr ，方向由球心指向圆孔四、微元法【例4】半径分别为R 和r (r R >)的两个同心圆环，带电荷量分别为Q +和Q -，电荷量在两圆环上均匀分布（如图7所示），则圆环轴线正半轴方向上距圆心O 点距离为d 的P 点的电场强度E 的大小和方向正确的为（ ）A ．()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+2232211d R d r kQd 沿x 轴负方向 B ．()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+2232211d R d r kQd 沿x 轴正方向 C ．()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++2232211dR d r kQd 沿x 轴负方向 D ．()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++2232211d RdrkQd 沿x 轴正方向 解析：从半径为R 的圆环上取一微元电荷q ∆，微元电荷到P 点连线的距离为图722d R L +=，设微元电荷和P 点连线与x 轴正方向夹角为θ，则该微元电荷q ∆在P 点产生的场强222222d R qk d R q k L q k E +∆=+∆=∆=０，方向与x 轴正方向夹角为θ，如图8所示。

图8Q +可以分成无数个这样的微元电荷q ∆，每个微元电荷q ∆在P 点产生的场强大小都为22dR qk E +∆=０且方向与x 轴正方向夹角为θ，根据对称性可得各个微元电荷q ∆在垂直于x 轴方向上的合场强为０，所以Q +在P 点产生的场强１E 为各个微元电荷q ∆在P 点产生的场强０E 在x 轴方向的分量之和，即为()()32232222220cos dRkQdq dRkddR d d R q k E E +=∑∆+=++∆∑=∑=θ１，方向沿x轴正方向；同理可得Q －在P 点产生的场强()322drkQdE +=２，方向沿x 轴负方向；有r R >得21E E <，则P 点的合场强()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+=-=3223221211d RdrkQd E E E ，方向沿x 轴负方向，所以B 选项正确。

答案：B点评：解决本题的关键就是通过微元法在半径为R 和r 的均匀带电圆环取一微元电荷q ∆，将求解非点电荷的电场强度问题转化成了求解点电荷的电场强度问题，从而使问题得解。

【针对训练4】如图9所示，一个均匀的带电圆环，带电荷量为Q ，半径为R ，放在绝缘水平桌面上。

圆心为O 点，过O 点作一竖直线，在此线上取一点A ，使A 到O 点的距离为R ，在A 点放一检验电荷＋q ，则＋q 在A 点所受的电场力为（ ）A ．2RkQq，方向向上B ．242R kQq，方向向上 C ．24R kQq，方向水平向左D ．不能确定五、整体隔离法【例5】（浙江卷）如图所示，用两根长度相同的绝缘细线把一个质量为kg 1.0的小球A 悬挂到水平板的MN 两点，A 上带有C 100.36－＝⨯Q 的正电荷。

两线夹角为120°，两线上的拉力大小分别为1F 和2F 。

A 的正下方m 3.0处放有一带等量异种电荷的小球B ，B 与绝缘支架的总质量为kg 2.0（重力加速度取2s /m 10=g ；静电力常量229C /m N 1009⋅⨯=-．k ，AB 球可视为点电荷）则（ ）A ．支架对地面的压力大小为2.0NB ．两线上的拉力大小N 9121．＝＝F F C ．将B 水平右移，使M 、A 、B 在同一直线上，此时两线上的拉力大小为N 01N 225121．＝，．＝F FD ．将B 移到无穷远处，两线上的拉力大小N 866021．＝＝F F解析：取B 和支架整体为研究对象，受力分析得地面的支持力N 119.0N 22．－＝=-=N rq q kG F B A B N ，所以A 选项错误；隔离A 受力分析，A 受竖直向下的重力，竖直向下的库仑力和两线上的拉力，如果将重力和库仑力等效为一个力F ，则N 91N 9.0N 12．＝＝＝++rq q kG F B A A ，等效后，等效力F ，两线拉力这三力夹角正好图9为0120，所以三力大小相等，所以两线上的拉力N 9121．＝＝＝F F F ，所以B 选项正确；将B 水平右移，使MAB 在同一直线上，由几何关系得两小球的距离变为m 6030sin 3.00．=='r ，此时将拉力1F 和库仑力等效为一个力，等效力、拉力2F 和重力A G 这三力夹角正好也为0120，所以三力大小相等，有221F G r q q kF A BA ＝＝－' ，解得N .01N 225121．＝，．＝F F ，所以C 选项正确；将B 移到无穷远处则库仑力为0，则两线上拉力大小N 0121．＝＝＝A G F F ，所以D 选项错误。

答案：BC点评：解决本题的关键就是先用整体法选B 和支架为研究对象得到了地面的支持力，再利用隔离法选取A 球为研究对象，然后受力分析，再根据平衡条件从而使问题得解。

【针对训练5】用等长的两根轻质细线把两个质量相等的带电小球a 、b 悬挂起来，a 带正电，b 带负电，两电荷电荷量关系为b a q q 3=，平衡时如图11中左图所示，如果加一水平向右的匀强电场，最后达到平衡状态，设加匀强电场前后ab 之间的绳始终处于拉伸状态。

则达到平衡状态的图可能是图中的（ ）六、极端思维法【例6】（福建卷）物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需要通过一定的分析就可以判断结论是否正确。

如图12所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为1R 和2R 的圆环，两圆环上的电荷量均为q （q >0），而且电荷均匀分布。

两圆环的圆心1O 和2O 相距为2a ，联线的中点为O ，轴线上的A 点在O 点右侧与O 点相距为r （r <a ）。