二次函数增减性与对称性(可编辑修改word版)

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数学二次函数的性质

数学二次函数的性质一、引言数学二次函数是数学中一个重要的概念，它是指由二次方程所确定的函数关系。

二次函数具有许多特殊的性质，对于我们理解函数的形态和特征有着重要的作用。

通过深入学习和探究二次函数的性质，我们能够更好地应用它们于实际问题的解决。

二、二次函数的表达式二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。

其中，系数a决定了函数的开口方向，系数b影响了函数的对称轴，而常数项c则决定了函数的纵轴截距。

三、二次函数的对称性1. 对称轴：二次函数的对称轴是一个与纵轴平行的直线，它通过抛物线的顶点。

对称轴的方程可以通过求抛物线的对称点得出，它与x 轴的交点就是抛物线的顶点的横坐标。

2. 对称中心：对称轴与抛物线的交点也是抛物线的对称中心，它具有特殊的几何意义，也是抛物线的一个重要特征。

四、二次函数的增减性与极值点1. 增减区间：二次函数的增减性是指函数在定义域内的变化趋势。

通过求导数或观察二次函数的开口方向，我们可以确定函数的增减区间。

2. 极值点：二次函数的极值点是指函数图像上的最高点或最低点。

由于二次函数的抛物线形态，极值一定存在，并且也可以通过对称轴和顶点来确定。

五、二次函数的零点与根数1. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点。

通过求解二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以找到二次函数的零点，进而了解函数的根数。

2. 判别式：判别式是决定二次函数零点个数的一个重要工具，它可以通过计算b² - 4ac来得到。

如果判别式大于0，则函数有两个不同的实数根；如果判别式等于0，则函数有两个相等的实数根；如果判别式小于0，则函数没有实数根。

六、二次函数的图像与应用1. 几何形态：通过改变二次函数的系数，我们可以观察到函数图像的不同变化。

a的正负决定了函数的开口方向，a的绝对值决定了抛物线的瘦胖程度。

2. 实际应用：二次函数在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。

二次函数的对称性

(一)、教学内容1.二次函数得解析式六种形式①一般式y＝ax2 +bx+c(a≠0)②顶点式（a≠０已知顶点)③交点式(a≠0已知二次函数与X轴得交点）④y=ax２(ａ≠0）（顶点在原点）⑤y=ax２＋c(a≠0) (顶点在y轴上)⑥ｙ=ax2 +ｂx (a≠０) (图象过原点)2.二次函数图像与性质对称轴:顶点坐标:与y轴交点坐标(0,c)增减性:当a＞0时，对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,ｙ随x增大而增大ﻩ当a<０时,对称轴左边，y随x增大而增大;对称轴右边，y随x增大而减小☆二次函数得对称性二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴:与抛物线y=ax2 ＋ｂx+c(a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y=ａx２-bｘ+c(a≠0)与抛物线y=ax2 +ｂx+c(a≠0）关于x轴对称得函数解析式:y=-ax2–bx-c(a≠0）当a>0时，离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大；当a＜０时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大;【典型例题】题型 1 求二次函数得对称轴1、二次函数y＝－ｍx+3得对称轴为直线x=３,则m=_＿_____＿。

2、二次函数得图像上有两点(３，-８)与(－5，-8）,则此拋物线得对称轴就是( ) (A) (Ｂ） (C) (D)3、y=２ｘ－４得顶点坐标为___ ___＿_，对称轴为___＿__＿___。

4、如图就是二次函数y＝ａx２+bx＋c图象得一部分,图象过点Ａ(－3,0)，对称轴为x=-１.求它与x轴得另一个交点得坐标( , )5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( )A、 B、C、或D、或6、如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(3,0),则得值为 ( ）A、0B、－1C、 1D、２题型2 比较二次函数得函数值大小1、、若二次函数,当x取，(≠)时，函数值相等,则当x取＋时,函数值为( )(A)a＋c （B）a-c （C)-ｃ (D)ｃ2、若二次函数得图像开口向上,与x轴得交点为(4,0),(-2,0）知,此抛物线得对称轴为直线x=1,此时时,对应得y1 与ｙ２得大小关系就是( )Ａ．y1 <ｙ2Ｂ、 y１=y２Ｃ、 y1＞y２Ｄ、不确定点拨:本题可用两种解法yxO–1 13O–1 331解法1:利用二次函数得对称性以及抛物线上函数值y随x得变化规律确定:a>0时，抛物线上越远离对称轴得点对应得函数值越大;a<0时,抛物线上越靠近对称轴得点对应得函数值越大解法2:求值法:将已知两点代入函数解析式,求出a,b得值再把横坐标值代入求出ｙ1 与y２得值,进而比较它们得大小变式１：已知二次函数上两点,试比较得大小变式２:已知二次函数上两点，试比较得大小变式3:已知二次函数得图像与得图像关于y轴对称,就是前者图像上得两点，试比较得大小题型3 与二次函数得图象关于x、y轴对称:二次函数就是轴对称图形，有这样一个结论:当横坐标为x1，x２其对应得纵坐标相等那么对称轴：与抛物线y＝ax2 +bx+c（a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y＝ａx２-bｘ＋ｃ(a≠０)与抛物线y=aｘ2+bx+ｃ（a≠0)关于x轴对称得函数解析式:y=-aｘ2 –bx-c(a≠０)１、把抛物线y＝-2x2+4x＋３沿x轴翻折后，则所得得抛物线关系式为____ __＿＿2、与y＝ -3x+关于Ｙ轴对称得抛物线_＿_＿_____＿_____＿3、求将二次函数得图象绕着顶点旋转１80°后得到得函数图象得解析式。

函数的增减性与对称性

函数的增减性与对称性介绍在数学中，函数的增减性和对称性是研究函数特性的重要方面。

本文将简要介绍函数的增减性和对称性的概念以及它们在数学分析中的应用。

函数的增减性函数的增减性是指函数在定义域内的取值随自变量的增大或减小而呈现出的趋势。

函数可以是增函数、减函数或不变函数。

增函数是指函数在自变量增大的情况下，对应的函数值也随之增大。

具体来说，如果对于定义域内任意的自变量$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数为增函数。

是指函数在自变量增大的情况下，对应的函数值也随之增大。

具体来说，如果对于定义域内任意的自变量$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数为增函数。

减函数是指函数在自变量增大的情况下，对应的函数值随之减小。

具体来说，如果对于定义域内任意的自变量$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数为减函数。

是指函数在自变量增大的情况下，对应的函数值随之减小。

具体来说，如果对于定义域内任意的自变量$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数为减函数。

不变函数是指函数在定义域内的取值不随自变量的增大或减小而改变。

具体来说，如果对于定义域内任意的自变量$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) = f(x_2)$，则称函数为不变函数。

是指函数在定义域内的取值不随自变量的增大或减小而改变。

具体来说，如果对于定义域内任意的自变量$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) = f(x_2)$，则称函数为不变函数。

函数的增减性可以通过函数的导数来确定。

当导数大于零时，函数为增函数；当导数小于零时，函数为减函数；当导数等于零时，函数为不变函数。

二次函数的对称性

二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标y 相等，那么对称轴122x x x +=其可以变形为：x 1 = x 2 =例、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）三点，则该二次函数的对称轴为__________变形：已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴为直线x=3,点A （1，2）与点B 关于对称轴对称，则点B 的坐标为____________变形：已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴为直线x=3,点A （3，2）与点B 关于对称轴对称，则点B 的坐标为____________练习、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点A （-1，2），B （3，2），C （5，7）三点，则该二次函数的对称轴为__________练习、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点A （-1，2），B （3，2），C （5，7）三点，则点C 关于二次函数的对称轴的对称点D 的坐标为__________练习、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点A （-3，3），B （-5，3），C （1，6）三点，则点C 关于二次函数的对称轴的对称点D 的坐标为__________练习、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴为直线x=3,点A （1，2）与点B 关于对称轴则二次函数y=ax 2+bx+c 的的对称轴为____________,在x=2时，y=___________．在y=-5时，x=____________增减性在对称中的应用已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象过点A（-1，2），B（3，2）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（0，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为__________已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象过点A（-1，2），B（3，2）．若点M（2，y1），N（4，y2），K（3，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为__________已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象过点A（-1，2），B（3，2）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（0，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为__________已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象过点A（-1，2），B（3，2）．若点M（2，y1），N（4，y2），K（3，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为__________例2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（-2，练习1、已知点（-2，y1），（-1，y2），（3，y3）都在函数y=x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关2、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过A（-3，0）、O（1，0）、B（-5，y1）、C（5，y2）四点，则巩固作业：则二次函数y=ax2+bx+c的的对称轴为____________,顶点坐标为___________在x= 4时，y=___________．在y= -8时，x=____________2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，-2）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______________________3、已知点（-2，y1），（-1，y2），（5，y3）都在函数y=(x-1)2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是________________________4、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过A（-3，0）、O（1，0）、B（-5，y1）、C（5，y2）四点，则(2)二次函数图象的对称变换：①两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于 x 轴对称，a 的符号相反；②两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称，a 的符号不变；(3)二次函数图象的旋转：开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反．抛物线y＝－（x+1）2 +2关于x轴对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝－（x+1）2 +2关于y轴对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝－（x+1）2 +2关于原点对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝－（x+1）2 +2饶顶点旋转180°后的直线的解析式为：________________________练习、抛物线y＝－（x+1）2 -2关于x轴对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝（x-1）2 +2关于y轴对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝－2（x-1）2 +2关于原点对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝－（x+1）2 -2饶顶点旋转180°后的直线的解析式为：________________________1、在下列二次函数中,其图象的对称轴为直线x= - 2的是()A.y=(x+2)2B.y=2x2-2C.y=-2x2-2D.y=2(x-2)22、二次函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标为_ ( )___________3、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x= -1,下列结论:①abc<0;①2a+b=0;①a-b+c>0;①4a-2b+c<0.其中正确的是()A.①①B.只有①C.①①D.①①4、如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,－3),该图象与x轴相交于点A、其中点A的横坐标为1. 求该二次函数的表达式;5、次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(3,0)和(0,2),求其函数关系式，并写出其顶点坐标。

二次函数的对称性与单调性

二次函数的对称性与单调性二次函数是一种重要的数学函数，在数学建模、物理学等领域都有广泛的应用。

掌握二次函数的基本性质，对于理解和解决实际问题具有重要意义。

本文将重点讨论二次函数的对称性与单调性。

一、二次函数的对称性二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

根据对称性的不同，可以分为以下几种情况。

1. 关于y轴对称当a为偶数时，二次函数关于y轴对称。

即若f(x)为二次函数，则有f(-x) = f(x)。

例子：考虑二次函数f(x) = x² - 2x + 1，将x改为-x，则有f(-x) = (-x)² - 2(-x) + 1 = x² + 2x + 1 = f(x)，因此该二次函数关于y轴对称。

2. 关于x轴对称当c = 0时，二次函数关于x轴对称。

即若f(x)为二次函数，则有f(x) = f(-x)。

例子：考虑二次函数f(x) = x² - 4，将x改为-x，则有f(-x) = (-x)² - 4 = x² - 4 = f(x)，因此该二次函数关于x轴对称。

3. 关于原点对称当b = 0时，并且a、c异号，二次函数关于原点对称。

即若f(x)为二次函数，则有f(-x) = -f(x)。

例子：考虑二次函数f(x) = -x²，将x改为-x，则有f(-x) = -(-x)² = -x²= -f(x)，因此该二次函数关于原点对称。

二、二次函数的单调性二次函数的单调性表示函数在定义域上的增减性。

根据二次函数的a值的正负，可以判断其单调性。

1. 当a > 0时，二次函数在定义域上单调递增。

对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，如果a > 0，则对于任意x₁、x₂，若x₁ < x₂，有f(x₁) < f(x₂)，即函数在定义域上单调递增。

二次函数增减性与对称性的应用举例

（１）当２口＋ｂ＝０即２ａ＝一ｂ ≠０时，原方程的解为：４；
（＋５）（一３）（＋１）＝０，
‘
．
．Ｉ＝一５，２＝３，３１．４＝５．
所以原方程的解为。＝０，２：３，屯＝５．
・．
．
一３．
萼ｍ，ＢＦ＝３－ｍ则譬ｍ＋ｍ＋ｎ＋ｎ＝＋３，１￣Ｉｍ＋＝３．
ｓ最大＝２（３／３－－３－寻）＋号＝９９ — ５
，＇
所以原方程的解为＝手，ｚ＝一手
２．解：原方程（一８ｘ４－１５）＝０．
（一３）（一５）＝０．
’ ．
８．解：原方程（２＋３）（３ｘ＋５）（３６ｘ＋８４ｘ＋５７）
练习题答案
方程一＋ｌ＝０没有实数解，
，＝一２，：＝一
１．解：原方程６一１ｌｘ一１０：０，
（２ｘ一５）（３＋２）＝０．
５ ‘ ・２ Nhomakorabea・ｌ：＿，２：一＿，
所以原方程的解为Ｘ１：一２，：一
．
。＋
．．
．．
．．
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．・
．
Ｓ：／／／，２＋ｎ２＝２（ｍ一 ÷） ◆ 数毒ｌ＇大世界。．１．－；。
．
・．
・
△Ａｃ为正三角形．ＡＥ＝ＢＦ＝

二次函数含参问题(可编辑修改word版)

二次函数含参问题本质：解决二次函数含参问题就是解决对称轴与定义域的问题。

课堂例题：1.若函数f (x) =x 2-ax -a 在区间[0, 2]上的最大值为1，则实数a =；2.若函数f (x) =x 2- 3x ，在[0, m]上的值域为⎡-9 ,0⎤，则m 的取值范围为；⎣⎢ 4 ⎥⎦当堂练习：1.若函数y =ax 2- 2ax(a ≠ 0) 在区间[0,3] 上有最大值3 ，则a 的值是；2.已知函数f (x) =x 2- 2ax +a 2+ 2 (x ∈[-1,3]) 有最大值18，则实数a 的值为；2 在区间课堂例题：1.若函数f(x) = 41x‒2 - a·2x+27 [0,2]上的最大值为 9，求实数a 的值；当堂练习：1. 已知函数f (x) =-3x 2- 3x + 4b 2+9(b > 0) 在区间[－b, 1－b]上的最大值为 25，求b 的值；42.已知函数f (x) = 4x 2- 4ax +a 2- 2a + 2 在区间[0,2]上有最小值 3，求实数a的值；家庭作业：1.函数y =x 2- 3x - 4 的定义域为[0, m]，值域为⎡-25 ,-4⎤，则实数m 的取值范围是.⎣⎢ 4 ⎥⎦2.若函数f (x) =x 2- 2x +1在区间[a, a + 2]上的最大值为4，则a 的值为；3.已知函数 f (x) =x 2- 2x + 3 在闭区间[0, m]上的最大值为 3，最小值为 2，则m 的取值范围为；4.若函数y =x2- 4ax +a2- 2a + 2 在[0, 2] 的最小值是2，则a 的值为；5.若三条抛物线y =x 2+ 4ax - 4a + 3 ，y =x 2+ (a -1)x +a 2，y =x 2+ 2ax - 2a 中至少有一条与x 轴有交点，则a 的取值范围是；2 课堂例题：1. 不等式(2 ‒ α)x 2 ‒ 2(a ‒ 2)x + 4 > 0对于一切实数 x 都成立，求α的取值范围；2. 若不等式x 2 - 2αx + a 2 - a > 0，当 x ∈[0, 1]时恒成立，求 α 的取值范围；当堂练习：1. 求对于 - 1 ≤ α ≤ 1，不等式 x 2 + (α ‒ 2)x + 1 ‒ a > 0恒成立的 x 的取值范围；2. 若不等式x 2+ αx + 1 ≥ 0对于一切 x ∈(0，1)恒成立，则α的取值范围是多少；3. 不等式αx 2 + 2x + 1 > 0 在 x ∈[ - 2，1]上恒成立，求实数α的取值范围；4.设不等式αx2- 2x- a+ 1 < 0对于满足|α| ≤ 2的一切值都恒乘以，求 x 的取值范围；家庭作业：1. 函数f(x) = αx2‒ 2x + 2 (a∈ R)，对于满足1 < x < 4 的一切 x 值都有f(x) > 0，求实数α的取值范围；2. 已知f(x)是定义在区间[ - 1,1]上的函数，且f(1) = 1，若 m，n∈[ - 1,1]，m + n ≠ 0时，f(m) + f(n)> 0 对任有m+ n 意x∈[ - 1,1]，f( - x) = - f(x)都成立。

二次函数图表总结

【最新】二次函数图表总结二次函数图表总结y＝a_图象2a>0ay＝a_+k图象2a>0a0开口对称性顶点k0ky＝a(_-ｈ)2图象a>0a0开口对称性顶点增减性h0hy＝a(_-ｈ)+k2a>0a0,k>0h>0,k0,kh0顶点是最低点左右平移y=a_2+k上下平移y=a(_h)2+k上下平移y=a(_h)2左右平移y=a_2一般地,抛物线y=a(_-h)+k与y=a_2的形状相同,位置不同.2y=a_2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k扩展阅读:二次函数单元总结二次函数单元总结【知识归纳和总结】一.知识网络二次函数的定义ya_2b_c(a0)ya_2(a0)二次函数的图像ya(_m)2k(a0)ya_2b_c(a0)二次函数二次函数的性质开口方向.对称轴.顶点坐标.增减性,二次函数与一元二次方程的关系二次函数的应用最大面积.利润等二.知识要点分布1.二次函数的定义:形如ya_2b_c(a.b.c为常数,a0〕的函数叫二次函数.任何一个二次函数的表达式都可以化为ya_2b_c的形式,这就是二次函数的一般形式.2.二次函数表达式的几种形式:〔1〕y=a_2;〔2〕y=a_2+k;〔3〕y=a(_+h)2;〔4〕〔5〕y=a_2+b_+c(a0).y=a(_+h)2+k;3.二次函数表达式的形式及对称轴.顶点坐标.〔1〕一般式:ya_b_c(a.b.c为常数,a0〕,其对称轴为直线_=-2b,顶点2ab4ac-b2坐标为-,.2a4a〔2〕顶点式:y=a(_+h)+k(a.h.k为常数,a0〕,其对称轴为直线_=-h,顶点坐标为-h,k.〔3〕交点式:y=a_-_1_-_2,其中a0,_1._2是抛物线与_轴两个交点的横坐标,即一元二次方程a_-_1_-_2=0的两个根.4.二次函数图像之间的平移关系1向上〔k>0〕或向下〔k0〕或向下〔k0〕或向下〔k0a对称轴顶点坐标直线_=-b2a 直线_=-b2ab4ac-b2-,2a4a当_-小;当_-大;b4ac-b2-,2a4a当_-大;性质增减性b 时,y随_的增大而减2ab时,y随_的增大而增2ab时,y随_的增大而增2ab时,y 随_的增大而减2a当_-小;最值当_=-b时,y有最小值,2a当_=-b时,y有最大值,2a4ac-b2y最小值=4a〞,〞p〞:{“h〞:19.298,〞w〞:9.111,〞_〞:407.786,〞y〞:455.644,〞z〞:象而具体了.7.抛物线的平移与解析式的变化.抛物线上最重要的点是它的顶点,最重要的线是它的对称轴,抛物线的平移首先表现为对称轴和顶点的平移.在抛物线y=a_-h+k中,令_-h=0易得对称轴为直线_=h,抛物线向右〔左〕平移那么对称轴也向右〔左〕平移,h的值将随之增大〔减小〕,反之也成立;抛物线上〔下〕平移,对称轴不会改变,即顶点的横坐标h的值不变,但顶点的纵坐标k的值将随之增大〔减小〕,反之也成立.抛物线的平移不会改变抛物线的形状,即a不变.在抛物线y=a_2+b_+c中研究平移是很不方便的,要先将y=a_2+b_+c的形式转化成2y=a(_-h)2+k再研究.抛物线平移的题型一般有以下几种:〔1〕抛物线的解析式,求平移后抛物线的解析式.例1将抛物线y=-3(_-1)2-3先向左平移2个单位,再向上平移5个单位,所得抛物线的解析式为.〔2〕平移后抛物线是解析式,求原抛物线的解析式.例2将抛物线y=a(_-h)2+k先向左平移5个单位,再向下平移4个单位后所得抛物线为y=-12_+2-3,那么原抛物线的解析式为.222〔3〕平移前后抛物线的解析式,求平移的方式.例3将抛物线y=-2_-2-5经过怎样的平移,可得抛物线y=-2_+4+3?8.图像共存问题的解法解决此类问题的关键是分析两函数的解析式有什么共同的特点,从这些特点入手,在利用抛物线的顶点位置和开口方向.双曲线所在象限.直线所在象限加以判断,决定取舍.例函数y=a_与函数y=a_+a在同一直角坐标系中的图像大致为〔〕A.B.C.D.29.抛物线的对称性的妙用.二次函数的图像是一条抛物线,其具有轴对称性.假设设抛物线上两个对称点的坐_+_标为_1,y1._2,y2,那么一定有y1=y2,且该抛物线的对称轴为直线_=12,利用它2可以简便.快捷地解决相关问题.例:二次函数y=a_2+b_+c的局部对应值如下表:_y……-37-200-81-93-557……二次函数y=a_2+b_+c的图形的对称轴为直线_=;_=2对应的函数值y=.【典型例题分析】题型一利用图像求二次函数y=a_2+b_+c的增减性例1二次函数y=-12_+_+4.2〔1〕试确定抛物线的开口方向.顶点坐标和对称轴;〔2〕_为何值时,y有最大〔小〕值?〔3〕求出抛物线与两坐标轴的交点;1〔4〕画出函数图形的草图,并说明该图像是y=-_2经过怎样的平移得到的; 2〔5〕根据图像答复,当_取何值时,y>0?y=0?y题型三二次函数与几何知识的综合应用例3如下图,某场地为一直角三角形,∠C=90°,AC=6m,BC=12m,现在要对四边形ABPQ进行装修,装修费为50元/m,且四边形ABPQ的边AQ为PC的一半,问怎样设计四边形ABPQ才能使装修费最少?2B例4如下图,二次函数y=-_2+a_+b的图形与_轴交于PCQA1A-,0.B2,0两点,且与y轴交于点C,求该抛物线的解析2式,并判断△ABC 的形状.题型四二次函数与其他函数的综合应用例5二次函数y=a_+b_+c的图像如下图,反比例函数y=在同一坐标系中的大致图像可能是〔〕2a与正比例函数y=b+c__A.B.C.D.题型五二次函数在生活.生产中的应用例6王亮同学善于改良学习方法,他发现对解题过程进行回忆反思,效果会更好.某一天他利用30分钟时间进行自主学习.假设他用于解题的时间_〔单位:分钟〕与学习收益量y的关系如图甲所示,用于回忆反思的时间_〔单位:分钟〕与学习收益量y的关系如图乙所示〔其中OA是抛物线的一局部,A为抛物线的顶点〕,且用于回忆反思的时间不超过用于解题的时间.〔1〕求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间_的函数解析式,并写出自变量_的取值范围;〔2〕求王亮回忆反思的学习收益量y与用于回忆反思的时间_之间的函数解析式;〔3〕王亮如何分配解题和回忆反思的时间,才能使这30分钟的学习收益总量最大?〔学习收益总量=解题的学习收益量+回忆反思的学习收益量〕y4O2_甲例7甲车在弯路做刹车试验,收集到的数据如下表所示:速度_/〔kmh〕10510152025…刹车距离y/m034215416354…〔1〕请用上表中的各对数据〔_,y〕作为点的坐标,在如图所示的坐标系中画出刹车距离y〔m〕与速度_〔kmh〕的函数图像,并求函数的解析式;〔2〕在一个限速为40kmh的弯路上,甲.乙两车相向而行,同时刹车,但还是相撞了,事后测得甲.乙两车刹车距离分别为12m和10.5m,又知乙车刹车距离y〔m〕与速度_〔km/h〕满足函数y析相撞原因.11_,请你就两车速度方面分4题型六二次函数与图形变换相结合例8如下图,在矩形ABCD中,BC=acm,AB=bcm,ab,且a.b是方程8-4_2_+3+=1的两个根.P是BC上一动点,动点Q在PC或_(_+5)_+5其延长线上,BP=PQ,以PQ为一边的正方形为PQRS.点P从B点开始沿射线BC方向运动.设BP=_cm,正方形PQRS与矩形ABCD重叠局部的面积为ycm. 〔1〕求a.b的值;〔2〕分别求出0_2和2_4时,y与_之间的函数关系式.2SADRBPCQ。

(完整word版)二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质1。

二次函数的图像与性质：2.抛物线的平移法则：（1）抛物线k ax +=2y 的图像是由抛物线2y ax =的图像平移k 个单位而得到的。

当0>k 时向上平移;当0>k 时向下平移。

（2）抛物线2)(h x a y +=的图像是由抛物线2y ax =的图像平移h 个单位而得到的.当0>h 时向左平移；当0<h 时向右平移.（3）抛物线的k h x a y ++=2)(图像是由抛物线2y ax =的图像上下平移k 个单位，左右平移h 个单位而得到的。

当0>k 时向上平移；当0>k 时向下平移；当0>h 时向左平移；当0<h 时向右平移.3.二次函数的最值公式:形如c bx ax y ++=2的二次函数。

时当0>a ，图像有最低点，函数有最小值ab ac y 442-=最小值；时当0<a ，图像有最高点，函数有最大值,a b ac y 442-=最大值;4。

抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标是(0，c ）5。

抛物线的开口大小是由a 决定的，a 越大开口越小。

6.二次函数c bx ax y ++=2的最值问题:(1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。

(2）自变量的取值范围不是一切实数：自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴abx 2-=,把他与取值范围相比较，再进行求最值.6.二次函数与一元二次方程的关系：(1)抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标的横坐标方程02=++c bx ax 的两根。

（2）抛物线与x 轴的交点个数是由ac b 42-=∆决定的：当0>∆时抛物线与x 轴有两个交点；当0=∆抛物线与x 轴有一个交点；当0<∆时抛物线与x 轴没有点。

0≥∆时抛物线与x 轴有交点。

(此定理的逆定理也成立。

)7.二次函数的三种常用形式:（1）一般式：k h x a y ++=2)( （2）顶点式：c bx ax y ++=2（3）两根式：))((21x x x x a y --=8.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法;（4)因式分解法；（5）图像法。

二次函数的性质总结

二次函数的性质总结二次函数是数学中重要的一类函数，其一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，并且a不等于零。

在本文中，我们将总结二次函数的几个主要性质。

1. 对称性：二次函数的图像关于一个对称轴对称。

该对称轴是一个垂直于x轴的直线，其方程可通过求解二次函数的顶点坐标得到。

具体而言，对于函数y = ax^2 + bx + c，对称轴的方程为x = -b/2a。

2. 开口方向：二次函数的开口方向由二次系数a的正负决定。

当a > 0时，二次函数的图像开口向上；当a < 0时，二次函数的图像开口向下。

3. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即使得y = 0的x值。

二次函数的零点可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0获得。

若二次方程有实数解，则函数与x轴有两个交点；若二次方程有两个相等的实数解，则函数与x轴有一个切点；若二次方程无实数解，则函数与x轴没有交点。

4. 极值点：二次函数的极值点是函数图像的最高点或最低点，又称顶点。

二次函数的顶点的x坐标为 -b/2a，y坐标为二次函数在该点的函数值。

当二次函数的开口向上时，顶点为函数的最小值；当二次函数的开口向下时，顶点为函数的最大值。

5. 函数增减性：二次函数在开口的两侧具有不同的增减性。

当二次函数的开口向上时，函数在顶点左侧递减，在顶点右侧递增；当二次函数的开口向下时，函数在顶点左侧递增，在顶点右侧递减。

6. 对称轴划分：对称轴将二次函数的图像分为两个对称部分。

通过对称性质，我们可以根据其中一部分的特征来得到另一部分的性质。

7. 图像与平移：对于给定的二次函数y = ax^2 + bx + c，通过平移可以得到一族相关的二次函数。

平移的方式包括上下平移和左右平移，改变二次函数的顶点位置和图像的位置。

综上所述，二次函数具有对称性、开口方向、零点、极值点、函数增减性、对称轴划分和图像与平移等性质。

2024年中考数学总复习第一部分中考考点探究微专题(三)二次函数的对称性、增减性问题

－4＜a＜1
.
类型三
对称轴已知，利用所给范围求参数的值或取值范围
典例6 已知二次函数y＝ax2－2ax＋3（a＞0），当0≤x≤m时，3－
a≤y≤3，则m的取值范围是（
A. 0≤m≤1
B. 0≤m≤2
C. 1≤m≤2
D. m≥2
C ）
典例7 已知二次函数y＝x2－2x＋2，当t≤x≤t＋1时，函数的最小值为t，
y2，y3的大小关系为（
B ）
A. y1＞y2＞y3
B. y2＞y1＞y3
C. y3＞y1＞y2
D. y2＞y3＞y1
典例3 已知二次函数y＝ax 2 ＋bx＋5，函数y与自变量x的部分对应值
如下表.
x
…
－1
…
2
…
y
…
10
…
1
…
设m≥2，且A（m，y1），B（m＋1，y2）两点都在该函数的图象上，试
第一部分
福建中考考点探究
微专题（三）
三函数
二次函数的对称性、增减性问题
方法指导：将抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）上任意一点到其对称轴的距
离记为d.结论：d相等，y的值相等；a＞0时，d越大，y的值越大，d越
小，y的值越小；a＜0时，d越大，y的值越小，d越小，y的值越大.
如图①②，当d2＝d3时，点B，C关于抛物线的对称轴对称，yB＝yC；如
y3）都在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（
A. y3＞y1＞y2
B. y3＜y2＜y1
C. y3＞y2＞y1
D. y3＜y1＜y2
D
）
典例2 在抛物线y＝ax2－2ax－3a（a≠0）上有A（－0.5，y1），B（2，

2024年中考数学复习课件---微专题2 二次函数的增减性、最值问题

函数y=ax2-2ax+3的图象上.当x=1时,y<3,则y1,y2,y3的大小比较正
确的是( C
A.y1<y2<y3
C.y2<y1<y3
)
B.y1<y3<y2
D.y2<y3<y1
1
2
微专题2 二次函数的增减性、最值问题
返回类型清单
2.已知二次函数y=ax2+4ax+c(a<0)的图象经过A(-5,y1),B(-3,y2),
微专题2
二次函数的增减性、最值问题
微专题2
二次函数的增减性、最值
问题
类
型
清
单
类型一
根据对称性和增减性比较函数值
类型二
当对称轴确定求最值或取值范围
类型三
对称轴不确定,求最值或取值范围
微专题2 二次函数的增减性、最值问题
类型一
返回类型清单
根据对称性和增减性比较函数值
方法指导
1.解析式已知时,用代入法比较,将各点的橫坐标代入解析式,求出
数).当自变量x的值满足-1≤x≤2时,与其对应的函数值y随x的
增大而增大,则m的取值范围是 m≤-1
.
6
7
其在-1≤x≤2的最小值为-4,则m的值为
0
.
3
4
5
微专题2 二次函数的增减性、最值问题
返回类型清单
5.(2022·遵义桐梓县一模改编)如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于
点A,B,交y轴于点C.当m-1≤x≤m时,函数有最小值2m,求m的值.
解:∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴抛物线顶点坐标为(1,-4).
对称轴在自

(word完整版)二次函数图像与性质完整归纳,推荐文档

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

二次函数的变形和性质的推理归纳

二次函数的变形和性质的推理归纳一、二次函数的基本形式1.一般形式：y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)2.顶点式：y = a(x - h)^2 + k3.标准式：y = a(x - m)^2 + n二、二次函数的变形1.横向平移：h → h + p，m → m + p2.纵向伸缩：a → k * a (k > 1 或 0 < k < 1)3.横向拉伸：a → k * a (k > 1 或 0 < k < 1)，m → m + p4.旋转：顶点(h, k) → (h + p, k + q)三、二次函数的性质1.开口方向：a > 0 时，开口向上；a < 0 时，开口向下2.顶点坐标：(-b/2a, c - b^2/4a)3.对称轴：x = -b/2a4.判别式：Δ = b^2 - 4ac5.Δ > 0：抛物线与x轴有两个交点6.Δ = 0：抛物线与x轴有一个交点7.Δ < 0：抛物线与x轴无交点四、二次函数的增减性1. a > 0 时：2.x < -b/2a 时，y随x增大而减小3.-b/2a < x < +∞ 时，y随x增大而增大4. a < 0 时：5.x < -b/2a 时，y随x增大而增大6.-b/2a < x < +∞ 时，y随x增大而减小五、二次函数的图像特点1.顶点：最小值（a > 0）或最大值（a < 0）2.开口：a > 0 时，向上；a < 0 时，向下3.交点：Δ > 0 时，与x轴有两个交点；Δ = 0 时，与x轴有一个交点；Δ < 0 时，与x轴无交点4.对称性：以直线x = -b/2a为对称轴六、二次函数的应用1.最值问题：求函数在定义域内的最大值或最小值2.交点问题：求函数与x轴的交点坐标3.范围问题：求函数值域4.几何问题：求抛物线与坐标轴围成的三角形面积等七、二次函数的变换规律1.横向平移：改变顶点横坐标2.纵向伸缩：改变函数值3.横向拉伸：改变顶点横坐标，同时改变函数值4.旋转：改变顶点坐标八、二次函数与现实生活的联系1.抛物线：如投篮、射击、跳伞等运动的轨迹2.二次函数模型：如物体运动、人口增长、商品销售等领域的数学模型以上是对二次函数的变形和性质的推理归纳的知识点总结，希望能对您的学习有所帮助。

二次函数专题训练之对称性及增减性完整版资料

2小、颖抛说物：线抛y物=a线(x被+1x)2轴+截2的得部的分线图段像长如为图2．所你示认，为该四抛人物的线说在法y轴中右，半正部确分的与有x(轴的) 交点坐标是（）
（A．A）(2A，a．+－1c个3 )（BB）B．．a2-(c2个，1（) CC．）3C-c个．(2（，D3D）)．c4个D．(3，2)
⑤当0<x1<x2<2时，y1>y2，你认为正确的个数是（）
02
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5
5、 6、
7、
练：抛物线y=-x2+bx+c的部分图像如图所示，若y>0,则x的取值范围是 .
练A．、(已 2，知－一3元) 二次B方．程(2，ax12)+bx+Cc=．3的(2，一3个) 根是D2．，(且3，二2次) 函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线顶点坐标是（）
Ｃ．4
Ｄ．5
A练．2、(2，老－师3出)示了B小．黑(2板，上1)的题后C．(如(2图，)，3)小华D说．：(3过，点2)(3，0)；
3练小、2彬、抛说物老：线师过y出=点示ax(了42，+小b3x黑)+；c板与上x轴的的题交后点(如横图坐)，标小是华-3说和：1，过则点抛(3物，线0)的；对称轴是。
练Ａ：．2、一 2老元师一出Ｂ次示．方了3程小y=黑a板x2上+b的x+题c的Ｃ后根．(如为4图x1)，,x2小且华x说Ｄ1+：．x2过5=4点，(3点，A0（)；3，-8）在二次函数y=ax2+bx+c上，则点A关于抛物线的对称轴对称的点
的练（Ａ练（坐2C．2A、、））标 2老老a（为+师师2c，出出Ｂ80示示。（、．）了了B3）小小a黑黑-c（板板D上上)（（的的C3题题），Ｃ后后-0c．）((如如4图图（))D，，）小小c华华说说Ｄ：：．过过5 点点((33，，00))；；

第3课时二次函数的对称性与增减性

第3课时二次函数的对称性与增减性【知识概述】1. 抛物线2y ax bx c =++是以直线2bx a=-为对称轴的轴对称图形，由此可以进一步得到如下性质： (1)抛物线上纵坐标相同的两点是对称点（特例：如果抛物线交x 轴于两点，那么这两点是对称点）； (2)抛物线上对称两点的纵坐标相等；(3)抛物线线上有两点12x m x m （，），（，），则抛物线的对称轴方程为直线12+2x x x =，进一步可推得1212++22b ba x x x ax =-⇒=-； 2. 对于二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ， (1) a ＞0时，当2b x a ≥-，y 随x 的增大而增大；当2bx a ≤-时，y 随x 的增大而减小； (2) a ＜0时，当2b x a ≥-，y 随x 的增大而减小；当2bx a≤-时，y 随x 的增大而增大. 【例题精选】例1 抛物线c bx ax y ++=2上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应如下，从表可知：下列说法: ①抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）；②函数的最大值为6 ；③抛物线的对称轴是直线12x =，④在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，正确的有____________________.(填序号) 思路点拨：根据表格先找出抛物线上的一对对称点，从而确定抛物线的对称轴位置.例2 已知二次函数2(2)y a x c =-+，图象过点（x 1， y 1），（x 2，y 2），若|x 1-2|＞|x 2-2|，则下列解析式中正确的是（）A ． y 1+y 2＞0B ． y 1-y 2＞0C ． a （y 1-y 2）＞0D ． a （y 1+y 2）＞0例3 二次函数221y x x =-+ 在3≤x ≤5范围内的最小值为________ .【配套练习】1. 若抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠ 0)过点A (2，m )， B (4，m )，则对称轴是直线．2. 已知二次函数的与的部分对应值如下表：则下列判断:①抛物线开口向上； ②抛物线与轴交于负半轴； ③当＝4时，＞0 ；④方程的正根在3与4之间. 其中判断正确的序号是___.3. 已知抛物线2222y ax ax a =+++（a 为常数）与x 轴交于点(-3，0)，那么该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为．4. 已知二次函数215322y x x =---，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，对应的函数值依次为123y y y ，，，当1233x x x -<<<时，123y y y ，，的大小关系是（）A ．321y y y >>B ．132 y y y >>C ．231y y y >>D ．321y y y <<5. 已知抛物线236y x x k =-+ （k 为常数）经过点A (0.85，y 1)，B (1.1，y 2), C (2，y 3),则有( ) A . y 1＜y 2＜y 3 B . y 1＞y 2＞y 3 C. y 3＞y 1＞y 2 D . y 1＞y 3＞y 26. 若二次函数2y ax bx c =++，当x 取x x x x ≠1212，（）时，函数值相等，则当12+x x x =时，函数值为（） A ．a +c B ．a -c C ． -c D ．c7. 已知关于x 的二次函数 y =a （x -h ）2+k (a ，h ，k 为常数)的图象经过（0，5)，（8，8)两点．若 a ＜0，0＜h ＜8，则下列值中 h 可能取的值是（）A ．1B ．3C ． 4D ．58. 已知一个二次函数图象经过P 1（-3，y 1），P 2（-1，y 2），P 3（1，y 3），P 4（3，y 4）四点，若y 3＜y 2＜y 4，则y 1，y 2，y 3，y 4的最值情况是（）A ．y 3最小，y 1最大B ．y 3最小，y 4最大C ．y 1最小，y 4最大D ．无法确定 9. 已知二次函数221y x mx =-+ （m 为常数），当自变量x 的值满足-1≤x ≤2时，与其对应的函数值y 的最小值为-2，则m 的值为． 10. 已知二次函数y ＝a （x +a ）（x +a -1）．（1）当a ＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a ＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．（3）当0＜x ＜3时，y 随着x 增大而增大，求a 的取值范围．c bx ax y ++=2y x y x y 02=++c bx ax第3课时二次函数的对称性与增减性参考答案例1 ①③④例2 若a ＞0时，则二次函数图象开口向上，∵|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|，∴y 1＞y 2，∴a （y 1﹣y 2）＞0，但无法确定y 1+y 2的正负情况；若a ＜0时，则二次函数图象开口向下，∵|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|，∴y 1＜y 2，∴a （y 1﹣y 2）＞0，但无法确定y 1+y 2的正负情况，综上所述，解析式正确的是a （y 1﹣y 2）＞0，故选C ．例3 抛物线221y x x =-+开口向上，对称轴是直线x =1，故当3≤x ≤5时，y 随x 的增大而增大，x =3时，y 有最小值4．【练习】1．x =3 2．④ 3．(1，0) 4．D 5．C 6．D 7．D 8．A 9．-2或 310．(1) 当a ＝2时，y ＝2（x +2）（x +1），∴二次函数的对称轴为直线x ＝-2-12＝－ 32(2) 由题知二次函数与x 轴的交点坐标为（﹣a ，0），（1﹣a ，0），∵a ＜0，∴﹣a ＞0，1﹣a ＞0，∴顶点横坐标112022a a a x -+--==>，当122a x -=时，=04a y >-，∴顶点坐标12)24a a--（，在第一象限． (3) 由(2) 知，二次函数的对称轴为直线x ＝1-2a2，∵当0＜x ＜3时，y 随着x 增大而增大， ∴当a ＞0时，1-2a 2≤0，a ≥12；当a ＜0时，1-2a 2≥3，a ≤－52． ∴a 的取值范围为a ≥12或a ≤－52．。

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适用标准文档二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式： y ax 2的性质：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质0，0 x 0时，y 随x 的增大而增大；x0时，y 随向上y 轴x0时，y 有最小值0．x 的增大而减小；a0，0 x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随向下 y 轴x0时，y 有最大值0．x 的增大而增大；的绝对值越大，抛物线的张口越小。

yax 2c 的性质：上加下减。

a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a0，c x 0时，y 随x 的增大而增大；x0时，y 随向上y 轴x0时，y 有最小值c ．x 的增大而减小；a 00，c x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随向下y 轴x0时，y 有最大值c ．x 的增大而增大；3.yax 2h 的性质：左加右减。

a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a 0 向上 h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而增大； xh 时，y随x 的增大而减小； x h 时，y 有最小值0．a 0 向下 h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而减小； xh 时，y随x 的增大而增大； x h 时，y 有最大值0．4.yax 2hk 的性质：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a0h，k xh时，y随x的增大而增大；xh时，y向上X=hx h时，y有最小值k．随x的增大而减小；a0h，k xh时，y随x的增大而减小；xh时，y向下X=hx h时，y有最大值k．随x的增大而增大；文案大全适用标准文档二、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线分析式转变为极点式yaxh 2h ，k ；k ，确立其极点坐标 ⑵保持抛物线yax 2的形状不变，将其极点平移到h ，k 处，详细平移方法以下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0) 【或左(h<0) 】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．归纳成八个字“左加右减，上加下减” ．方法二：⑴y ax 2 bx c 沿y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变为yax 2 bx c m （或y ax 2 bx cm ）⑵y ax 2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，yax 2 bx c 变为ya(x m)2 b(x m) c （或y a(x m)2 b(x m) c ）三、二次函数yax h 2k 与y2bx c 的比较ax从分析式上看， y a x 2k 与y ax 2 bxc 是两种不一样的表达形式，后者经过配hb 24ac b 2b，k4ac b 2方能够获得前者，即y a x，此中h ．2a4a2a4a四、二次函数yax 2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax 2 bx c 化为极点式y a(x h)2k ，确立其张口方向、对称轴及极点坐标，而后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图.一般我们选用的五点为：极点、与 y 轴的交点0，c 、以及 0，c 对于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点x 1，0 ，x 2，0（若与x 轴没有交点，则取两组对于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：张口方向，对称轴，极点，与 x 轴的交点，与y 轴的交点.文案大全五、二次函数yax2bxc的性质1.当a0时，抛物线张口向上，对称轴为x b，极点坐标为b，4ac b2．2a2a4a当x b时，y随x的增大而减小；当x b时，y随x的增大而增大；当x b 2a2a2a 2时，y有最小值4acb．4a2.当a0时，抛物线张口向下，对称轴为x b，极点坐标为b，4ac b2．当2a2a4ax b时，y随x的增大而增大；当xb时，y随x的增大而减小；当x b时，y 2a2a2a 2有最大值4ac b．4a六、二次函数分析式的表示方法1.一般式：y ax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.极点式：y a(x h)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：y a(x x1)(x x2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的分析式都能够化成一般式或极点式，但并不是全部的二次函数都能够写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的分析式才能够用交点式表示．二次函数分析式的这三种形式能够互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，明显a0．⑴当a0时，抛物线张口向上，a的值越大，张口越小，反之a的值越小，张口越大；⑵当a0时，抛物线张口向下，a的值越小，张口越小，反之a的值越大，张口越大．总结起来，a决定了抛物线张口的大小和方向，a的正负决定张口方向，a的大小决定张口的大小．一次项系数b在二次项系数a确立的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的右边．2a文案大全⑵在a0的前提下，结论恰好与上述相反，即当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的左边．2a总结起来，在a确立的前提下，b决定了抛物线对称轴的地点．ab的符号的判断：对称轴xb0，在y轴左边则ab0，在y轴的右边则ab2a归纳的说就是“左同右异”总结：常数项c⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的地点．总之，只需a，b，c都确立，那么这条抛物线就是独一确立的．二次函数分析式确实定：依据已知条件确立二次函数分析式，往常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的分析式一定依据题目的特色，选择适合的形式，才能使解题简易．一般来说，有以下几种状况：已知抛物线上三点的坐标，一般采用一般式；已知抛物线极点或对称轴或最大（小）值，一般采用极点式；已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般采用两根式；已知抛物线上纵坐标同样的两点，常采用极点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，能够用一般式或极点式表达对于x轴对称y ax2bx c对于x轴对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y a x h 2yax h2 k对于x轴对称后，获得的分析式是k；对于y轴对称y ax2bx c对于y轴对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y a x h 2y ax h2 k对于y轴对称后，获得的分析式是k；文案大全适用标准文档对于原点对称y ax2bx c对于原点对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y ax h 2y a x h2k；k对于原点对称后，获得的分析式是4.对于极点对称（即：抛物线绕极点旋转180°）y ax2bx c对于极点对称后，获得的分析式是y ax2bx c b2；2ay ax h 2y a x h2k．k对于极点对称后，获得的分析式是5.对于点m，n对称y ax h 2y a x h22nk k对于点m，n对称后，获得的分析式是2m依据对称的性质，明显不论作何种对称变换，抛物线的形状必定不会发生变化，所以a永久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，能够依照题意或方便运算的原则，选择适合的形式，习惯上是先确立原抛物线（或表达式已知的抛物线）的极点坐标及张口方向，再确定其对称抛物线的极点坐标及张口方向，而后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参照：y=2x 2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=x2y=2x2y=2(x-4)2x2十y=2y=2(x-4)2-3一、y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2y=-2x2文案大全适用标准文档【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数y1x24x6的图象1x221(x2【解】y4x68x12)22 1[(x24)2-4]1(x24)2-222以x4为中间值，取x的一些值，列表以下：x-7-6-5-4-3-2-1y 53-2352222【例2】求作函数y x24x3的图象。

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