高二数学双曲线的几何性质的应用
人教版高中数学选修(2-1)-2.3《双曲线的简单几何性质》参考教案
双曲线的简单几何性质
一、教材分析
二、教法学法
三、教学程序
）看图可知其范围是什么？ ）类比椭圆如何研究其范围？
轴，对称中心为坐标原点，半虚轴长b
),0(),,2b B b -不叫双曲线的顶点？椭圆的短轴与虚轴有什么不同？
人教版选修21第二章双曲线双曲线的几何性质讲义
案例（二）——精析精练
课堂 合作 探究
重点难点突破
知识点一双曲线的几何性质 (1)范围、对称性
由标准方程12222=-b y a x 可得2
2a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，
x 都有实数值。这说明从横的方向来看，直线a x a x =-=,之间没有图象，从纵的方向来看，
随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。 (2)顶点
顶点：()()0,,0,21a A a A -，特殊点：()()b B b B ,0,,021-。
实轴：21A A 长为a 2，a 叫做半实轴长；虚轴：21B B 长为b 2，b 叫做虚半轴长。
如右图所示，在双曲线方程122
22=-b
y a x 中，令0=y 得a x ±=，
故它与x 轴有两个交点()0,1a A -，()0,2a A ，且x 轴为双曲线
12
2
22=-b y a x 的对称轴，所以()0,1a A -与()0,2a A 其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点
间的线段21A A 叫做双曲线122
22=-b
y a x 的实轴长，它的长是a 2。
在方程12222=-b
y a x 中，令0=x ，得2
2b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和
y y 轴没有交点。
但y 轴上的两个特殊点()()b B b B ,0,,021-，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是b 2，要特别注意不要把虚轴与椭圆的
双曲线标准方程及其几何性质的应用
求∆F1PF2的面积。 略解：由双曲线的定义及余弦定理得
2 16 |PF1||PF2|= 4 16 1 1 cos 1 3 2 1 S F1PF2 | PF1 || PF2 | sin 16 3 2 3 2b 2
源自文库
引申：已知点P为双曲线 上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点， 若∠F1PF2= ，则∆F1PF2的面积为
2 2 x y 它们的渐近线都为 0 a 2 b2
例3.P为双曲线 x y 1的右支上一点，M,N分别是 9 16 圆(x+5)2+y2=4和圆(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|
的最大值为A ( (A)9 ) (C)7 (D)6
2
2
(B)8
略解：即|PM|的最大值减去|PN|的最小值 也即(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=(|PF1|-|PF2|)+3=6+3=9
S F1PF2
b
2
tan
2
b cot
2
2
x2 y2 例2.求与双曲线 1 有共同渐近线且 9 16
经过点M(-3, 2 3） 的双曲线的标准方程
x2 y2 1 答案： 9 4 4
x2 y2 引申：与双曲线 共渐近 1 a 2 b2 x2 y2 线的双曲线系为 k ( k 0) a 2 b2
双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期
3.2.2双曲线的简单几何性质
（基础知识+基本题型）
知识点一 双曲线的性质
根据双曲线的标准方程22
221(0,0)x y a b a b
-=>>研究它的几何性质．
1．范围
,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．
双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由22
2211y x b a
--≥-，得y R ∈. 提示
双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.
2．对称性
双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示
（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关
于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.
（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双
曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.
（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中
心是双曲线的对称中心.
3．顶点与实轴、虚轴
【红对勾】人教A版高中数学选修2-1课件：2-3-2-2 双曲线几何性质的应用
y1－ y2 y1＋ y2 即 · ＝ 3. x1－ x2 x1＋ x2 所以直线 AB 的斜率 y1－ y2 3 x1＋x2 kAB＝ ＝ x1－ x2 y1＋y2 3×4 3× 2 ＝ ＝ ＝ 6. 2 1 所以直线 AB 的方程为 6x－ y－11＝ 0.
(2)将 y＝ 6x－ 11 代入 3x2－ y2＝ 3， 得 33x2－ 132x ＋ 124＝ 0. 由弦长公式 |AB|＝ 1＋ k2|x1－ x2| ＝ 1＋ k2 [x1＋ x22－ 4x1x2]得： |AB|＝ 1322－ 4· 33· 124 1＋ 36× ， 332
第二章
圆锥曲线与方程
2．3 双曲线
2.3.2 双曲线的简单几何性质
第2课时 双曲线几何性质的应用
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.掌握直线与双曲线位置关系． 2．掌握直线与双曲线有关的弦长，中点等问题，
会求与双曲线有关的简单的轨迹方程.
新 知 视 界 1．直线与双曲线的位置关系 一般地，设直线 l： y＝kx＋m(m≠ 0)① x2 y2 双曲线 C： 2－ 2＝ 1(a>0，b>0)② a b 把①代入②得 (b2－ a2k2)x2－2a2mkx－ a2m2－ a2b2＝ 0.
典 例 精 析 类型一 直线与双曲线的交点问题 y2 [例 1] 已知双曲线 x － ＝1， 过点 P(1,1)的直线 4
双曲线的几何性质及应用
第2课时 双曲线的几何性质及应用 学习目标 1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解弦长问题．
知识点一 直线与双曲线的位置关系
思考 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？
答案 不能．
梳理 设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①
双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，② 把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.
(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a
时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a
时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)． Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；
Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．
知识点二 弦长公式
若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则
|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭
⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].
(1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)
(2)过点A (1,0)作直线l 与双曲线x 2－y 2＝1只有一个公共点，这样的直线可作2条．(×)
(3)直线l ：y ＝x 与双曲线C ：2x 2－y 2＝2有两个公共点．(√)
双曲线简单几何性质应用
双曲线的简单几何性质应用
班级 姓名 学号
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32
x . (2)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)；
2．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34
x ，求此双曲线的离心率．
3．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．
4．已知斜率为2的直线被双曲线x 23－y 22
＝1所截得的弦长为4，求直线l 的方程．
5．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.
(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围．
(2)若直线l 与双曲线C 两支交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．
参考答案
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32
x . (2)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)；
[解] (1)设以y ＝±32
x 为渐近线的双曲线方程为 x 24－y 29
＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94
. 当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24
＝1. 解：(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知得a ＝3，
双曲线的简单几何性质(第2课时)课件高二上学期数学人教A版选择性
三、双曲线第二定义
类比椭圆的第二定义可给出双曲线的第二定义：
平面内的动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e(e>1),则动点M的轨迹是 双曲线。 定点F是双曲线的焦点，直线l是双曲线的焦点F对应的准线；常数e是双曲线的离心率。
y
l Hd M
F1 O
F2
x
双曲线第二定义：
三.双曲线第二定义
所以 a＝1，又 c＝2，所以 b＝ 3，所以双曲线方程为 x2－y2＝1. 3
五.达标训练
1.已知A, B两点的坐标分别是(6, 0),(6, 0),直线AM , BM相交于点M，
且它们的斜率之积是 2 . 求点M的轨迹方程,并判断轨迹的形状. 9
解 :设M( x,
y ),则k AM
x
y
6
,kBM
五.达标训练
3.直线y
2 3
x与双曲线
x2 a2
y2 8
1(a
0)相交于A, B两点,且A, B两点的横坐标
之积为 9,求离心率e.
解:联立
y 2 3
x2 a2
x
y2 8
,消去y可得 72 4a2 9
1
x2
8a2
0.
设A( x1 ,
y1 ), B( x2 ,
y2 ),则
x1 x2
72a 2 4a2 72 .
双曲线的简单几何性质(匡伟)
课 题：双曲线的简单几何性质
台山一中 匡伟
教学目的：
1．使学生知道双曲线的有关几何性质
2．在解决问题的过程中，体会e c b a ,,,的几何意义以及双曲线性质的应用3．使学生进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的应用 教学重点：运用类比椭圆的学习方式来探讨双曲线的简单性质 教学难点：双曲线几何性质的应用教学过程：
一、 复习引入：
复习椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的几何性质。
二、讲解新课：
类比椭圆的几何性质并通过图象探讨双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的几何性质：
1．范围 ：x ≥a 或x ≤-a
2、对称性：关于x 轴，y 轴和原点对称
3．顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：
()b B b B ,0),,0(21- 4、焦点：()0,),0,(21c F c F -
5、实 轴：21A A 长为2a, a 叫做实半轴长
虚 轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长
6．离心率：)1(>=e a c e 7、渐近线：
a
b
y ±=三、讲解范例：
例1 求双曲线1441692
2
=-y x 的实半轴长、虚半轴长，焦点坐标，离心率和渐近线方程分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答
解：把方程化为标准方程13
422
22=-y x
由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3．
半焦距c=5 ，故焦点的坐标是(-5,0),(5,0)． 渐近线方程为x y 4
3±= 四、课堂练习：
1、 填表
2、已知双曲线实轴长为4，且过点（3，-4），焦点在y 轴上，则此双曲线的标准方程为： 。
高中数学_双曲线几何性质的应用教学设计学情分析教材分析课后反思
§2.3.2 《双曲线的简单几何性质》教学设计
数学组
一、教学目标
知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。 能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质
的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在
联系.
二、教学重、难点
1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；
2. 教学难点：双曲线的渐近线.
三、教学设想：
（一）复习式导入：
大家首先回顾一下双曲线的定义及其标准方程：（PPT ）……（师生共答）
在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。那么，你
认为应该研究双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的哪些性质呢？
生：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等. 回顾一下双曲线的简单几何性质
我们今天要共同学习的内容：双曲线几何性质的应用 （二）讲授新课：
我们先来回顾一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。
1双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的简单几何性质
（1）范围
（PPT ）从图形看，x 的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈
（2）对称性
（PPT ）从图形看，双曲线关于什么对称性？
生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的
那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？ 生：……（犹豫）
提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。
高中数学双曲线的标准方程及其几何性质
双曲线的标准方程及其几何性质
一、双曲线的标准方程及其几何性质.
1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线。两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示。
(1)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.
(3)若2a =2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线. (4)若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.
2.双曲线的标准方程：22
a x -22b
y =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线； 22a y -2
2b
x =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线.
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2
、y 2
的分母的大小，而是x 2
、y 2
的系数
的符号，焦点在系数正的那条轴上.
4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。
（1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点；⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点；⇔<∆0 直线与双曲线无交点．
（2）若得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．
双曲线的定理及应用
高中数学（新课标版· 理）
双曲线的定理及应用
精辟讲解版
高考调研
高中数学（新课标版· 理）
1． 双曲线定义： 平面内动点 P 与两个定点 F1、 2(|F1F2| F ＝2c>0)的 距离之差的绝对值 为常数 2a(2a<2c)，则点 P 的轨迹叫双曲线．
精辟讲解版
高考调研
高中数学（新课标版· 理）
精辟讲解版
高考调研
高中数学（新课标版· 理）
(2)∵l1 与双曲线右支有交点， 6mk 2>0 1－3k ∴ －3m2＋1 1－3k2 >0 ③ 由②、③、④得 m＞4. ④
精辟讲解版
高考调研
高中数学（新课标版· 理）
思考题 4 过点(0,2)的直线 l 与双曲线 x2－y2＝2 相 交于不同两点 E、F，若△OEF 的面积不小于 2 2，求直 线 l 的斜率的取值范围．
【答案】
A
精辟讲解版
高考调研
练习： （离心率）
高中数学（新课标版· 理）
x2 y2 4 1、已知双曲线 － ＝1 的一条渐近线方程为 y＝ x，则该双曲 3 m n 5 5 答案 或 线的离心率 e 为________． 3 4 x2 y 2 2、已知双曲线的方程为 2－ 2 ＝1(a>0，b>0)，双曲线的一个焦 a b 点到一条渐近线的距离为 A. 5 2 B. 3 2 5 c，则双曲线的离心率为( 3 3 5 C. 5 2 D. 3 )
高中数学双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质
【知识点1】双曲线22a x -2
2b y ＝1的简单几何性质
(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.
(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.
(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2
＝a 2
+b 2
.
(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a b
x ，或令双曲线标准方程22a x -2
2b y ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e ＝a c
＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.
(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2
(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.
(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -2
2b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注
意方程的表达形式.
注意：（1）与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -2
2b y ＝λ(λ≠0且λ为待定常数) （2）与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2
-λ＞0时
为椭圆， b 2
＜λ＜a 2
时为双曲线)
（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c
(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2
高二数学双曲线的几何性质PPT课件
b2
a2
渐近线为:
yx ba
0 可化为：x y
ab
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线
(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0) 它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’),
∵ c a2 b2 c a2 b2 ∴c=c' 所以四个焦点F1, F2, F3, F4在同一个圆 x2 y2 a2 b2上.
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率: e c 5
a4
渐近线方程:
x 3 y, 即
4
y 4x 3
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特殊的双曲线：
1、定义：实轴和虚轴等长的双曲线 叫做等轴双曲线。
2、等轴双曲线的标准方程：
1x2 y2 a2 2x2 y2 a2
所以 2c=800, c=400 b2=c2-a2=44 400 .
因为|PA|-|PB|=340×2=680 ，所以x>0. 因此炮弹爆炸点的轨迹的方程为
x2 y2 1(x 0) 115600 44400
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思考题:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证:
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y2 a2
x2 b2
1(a 0,b 0)
则c=4，c/a=2，b2=c2-a2，解得a2=4，b2=12，
所以所求的双曲线方程为 y2 x2 1
4 12
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伤兵罗雯依琦妖女细长的耳朵，此时正惨碎成海马样的暗白色飞丝，快速射向远方女伤兵罗雯依琦妖女怪嚷着狂鬼般地跳出界外，急速将细长的耳朵复原，但元气已受损伤砸壮扭公主：“哈哈！ 这位同志的风格极为迷离哦！非常有完美性呢！”女伤兵罗雯依琦妖女：“ 哎！我要让你们知道什么是疯狂派！什么是缠绵流！什么是温柔完美风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么 法术都弄出来瞧瞧！”女伤兵罗雯依琦妖女：“ 哎！我让你享受一下『白冰跳祖牙膏理论』的厉害！”女伤兵罗雯依琦妖女突然耍了一套，窜虾猪肘翻九千度外加猪哼菜叶旋一百周半的招数 ，接着又玩了一个，妖体鸟飞凌空翻七百二十度外加呆转十五周的冷峻招式。接着像暗绿色的三须海滩虾一样怒笑了一声，突然搞了个倒地振颤的特技神功，身上瞬间生出了九十只活像拐杖般的 乳白色眉毛……紧接着威风的深灰色怪藤样的嘴唇连续膨胀疯耍起来……亮紫色旗杆一样的眉毛透出纯黄色的阵阵春雾……纯灰色蛤蟆一般的脸闪出亮灰色的隐约幽音。最后扭起瘦弱的酷似谷穗 模样的肩膀一颤，萧洒地从里面滚出一道流光，她抓住流光诡异地一旋，一件青虚虚、银晃晃的咒符『白冰跳祖牙膏理论』便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边扭曲，一边发出“哼嗷”的猛 响。！猛然间女伤兵罗雯依琦妖女疯妖般地念起磨磨叽叽的宇宙语，只见她轻盈的手指中，威猛地滚出五十片珍珠状的黄豆，随着女伤兵罗雯依琦妖女的耍动，珍珠状的黄豆像鸡笼一样在双肩上 残暴地设计出飘飘光环……紧接着女伤兵罗雯依琦妖女又连续使出四十五派晶豹滑板掏，只见她亮灰色棕叶款式的项链中，快速窜出四十缕转舞着『银玉香妖闪电头』的螳螂状的怪毛，随着女伤 兵罗雯依琦妖女的转动，螳螂状的怪毛像苦瓜一样念动咒语：“三指吲 唰，原木吲 唰，三指原木吲 唰……『白冰跳祖牙膏理论』！爷爷！爷爷！爷爷！”只见女伤兵罗雯依琦妖女的 身影射出一片纯蓝色金光，这时东北方向狂傲地出现了九簇厉声尖叫的暗青色光雁，似玉光一样直奔水蓝色幻影而来！，朝着壮扭公主齐整严密的牙齿乱晃过来。紧跟着女伤兵罗雯依琦妖女也狂 耍着咒符像缰绳般的怪影一样向壮扭公主乱晃过来壮扭公主突然来了一出，蹦鹏灯笼翻九千度外加雁乐烟囱旋一百周半的招数！接着又搞了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招 式！接着像灰蓝色的飞臂海湾鹏一样疯喊了一声，突然耍了一套倒立抽动的特技神功，身上忽然生出了九十只美如杠铃一般的暗黑色鼻子！紧接着圆润光滑、无忧无虑的快乐下巴奇特紧缩闪烁起 来……时常露出欢快光
定义 ||MF1|—|MF2||=2a (︱F1F2︱＞2a )
图象
y
y
双 曲
F2
线
F·1 o F·2 x
的
性
ox
质
F1
方程
x2 a2
-
y2 b2
=1
y2 a2
-
x2 b2
=
1
焦点
F（±C，0）
F（0，±C）
a.b.c 的关系
c2=a2+b2
㈡例题
例1、如果方程
x2 y2 1 m 1 2 m
x轴上的双曲线，求m的范围。
解：根据双曲线的性质有： m-1＞0 2-m＜0 解得：m＞2
表示焦点在
变形练习 1、若方程表示双曲线，求m的范围。
2、若表示焦点在x轴的椭圆时，求m的范围。
巩固练习一： 1、双曲线 2kx2-ky2=1的一个焦点是F（0，4），则 K为（ A ） （A）-3/32 （B）3/32 （C）-3/16 （D）3/16
由题意得
4 a2
1 b2
1
a 2 b 2 4 2
解之得a2=b2=3
所求双曲线的方程为
x2 y2 1 33
巩固练习二：
1、双曲线2 x2-y2=k的焦距是6，则 k 的值是（ B ）
（A）124 （B） 6 （C） 6 5 （D）3
5
2、双曲线 x2 y2 1 的焦点坐标是_(_o_,____4___k_)_ k4
3、若方程
x2 y2 1 m 1 2 m
表示双曲线，则实数m的取
值范围 是__-_1_<_m_<_1_,_或__m__>_2
例3、已知双曲线的焦点在 y轴上，并且双曲线上两点 P1、P2的坐标分别为（3，-4√2）、（9/4，5），求双 曲线的标准方程 。
解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标
双曲线的标准方程
高二备课组
定义 |MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|） ㈠
图象
y
· · F1 oF2 x
y
复
·F2
·o
x
F1
习 提 问 ： 椭
ຫໍສະໝຸດ Baidu
圆
方程
x2 a2
+
y2 b2
=1
y2 a2
+
x2 b2
=
1
的 性 质
焦点
F ( ±c,0)
F(0, ± c)
a.b.c的 关系
a2=b2+c2
准方程为
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
①
因为点P1，P2在双曲线 上，所以点P1，P2的坐标适合方程①。
将（3，-4√2）、（9/4，5）分别代入方程①中，得方程组
4 2
a2
2
32 b2
1
25 a2
9 / 4 2
b2
1
令m
1 a2
,n
1 b2
, 则方程组化为
32 m-9n=1 25m 81 n 1
16
解这个方程组，得，
m=1/16
n=1/9
即a2=16,b2=9.所以双曲线的标准方程为
y2 x2 1
16
9
巩固练习3： 已知双曲线与椭圆 x2 y2 1 的焦点相同，且他们
9 25
的离心率之和为14/5，求双曲线的方程。
参考答案：椭圆的焦点为（0，±4），离心率为4/5，所
以双曲线的离心率为2，设所求的双曲线方程为
2、方程 x2 y2 1 所表示 的曲线是双曲线，则
9k 4k
它的焦点坐标是
（C ）
( A ) 13 ,0 ( B ) 0 , 13
( C )( 13 , 0 )( D ) 0 , 13
例2：求与双曲线x2/4－y2/2=1有相同焦点且 过点P（2，1）的双曲线方程。
解：设所求的双曲线方程为x2/a2－y2/b2=1 （a＞0，b＞0）