勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别

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黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别

黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是用来求解函数在某一区间上的定积分，但是它们的定义和性质有着很大的区别。

黎曼积分是一种传统的积分方法，它把定积分的计算问题转化
为一个求和问题，即将区间分成若干小段，然后对每一小段的函数
值乘以对应小段的长度求和来逼近定积分的值。

黎曼积分只适用于
满足黎曼可积条件的函数，也就是说，被积函数必须满足有界且在
有限区间上几乎处处连续。

勒贝格积分则是一种广义积分方法，它是将区间上的函数分解
成上下两个函数，然后利用这两个函数的极限逼近来计算定积分的值。

因为勒贝格积分的定义更加宽松，所以相比较于黎曼积分，它
能够处理诸如反常积分这样的更加复杂的积分问题。

此外，黎曼积分和勒贝格积分的性质也有所不同。

例如，黎曼
积分在加积分区间时是可交换的，而勒贝格积分则不具有这种性质。

此外，勒贝格积分对于不满足黎曼可积条件的函数，也有一定的处
理能力，而黎曼积分则无法计算这些函数的积分。

综上所述，黎曼积分和勒贝格积分都是求解定积分问题的方法，但是它们的定义和性质有很大的不同。

黎曼积分只适用于黎曼可积
的函数，而勒贝格积分则更加广泛适用于各种类型的函数。

黎曼积分与勒贝格积分的区别

黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分学中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。

在实际应用中，常常会遇到黎曼积分和勒贝格积分这两种不同的积分方式。

本文将从定义、性质和应用等方面对黎曼积分与勒贝格积分进行比较，以便更好地理解它们之间的区别。

1. 定义黎曼积分是由德国数学家黎曼提出的，是微积分中最基本的积分形式。

对于一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上的黎曼积分定义为：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi其中，Σ f(xi)Δxi表示对区间[a, b]进行分割，取各子区间上任意一点xi，然后求和得到的黎曼和，当分割数n趋于无穷大时，这个黎曼和的极限就是函数f(x)在区间[a, b]上的黎曼积分。

而勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格提出的，是对黎曼积分的一种推广。

勒贝格积分的定义更加一般化，可以处理更广泛的函数类。

勒贝格积分的定义涉及到测度论的概念，需要引入测度空间的概念，因此比黎曼积分更加抽象和复杂。

2. 性质黎曼积分和勒贝格积分在性质上也有一些区别。

黎曼积分对函数的要求相对较高，需要函数在有限闭区间上有界且可积。

而勒贝格积分对函数的要求较低，只需要函数是可测的即可进行勒贝格积分。

此外，黎曼积分是通过分割区间并取极限的方式定义的，因此对分割的精细程度有一定要求，而勒贝格积分则是通过测度的概念来定义的，更加灵活和一般化。

3. 应用在实际应用中，黎曼积分和勒贝格积分各有其优势和适用范围。

黎曼积分在初等数学和物理等领域有着广泛的应用，例如计算曲线下面积、求定积分等。

而勒贝格积分则在测度论和概率论等领域有着重要的应用，能够处理更加复杂的函数和集合。

总的来说，黎曼积分是微积分中最基本的积分形式，适用于一般函数的积分计算；而勒贝格积分是对黎曼积分的推广，更加抽象和一般化，适用范围更广，能够处理更加复杂的函数和集合。

综上所述，黎曼积分和勒贝格积分在定义、性质和应用等方面存在一定的区别，各有其特点和适用范围。

黎曼积分与勒贝格积分

黎曼积分与勒贝格积分积分是微积分中重要的概念之一。

在实际问题中，我们常常需要求解一个区间内函数的面积或者体积。

这个过程就称为积分。

积分有很多种，今天我想和大家聊一聊黎曼积分和勒贝格积分。

一、黎曼积分黎曼积分最早是由德国的数学家黎曼提出的。

它是积分的一种基本形式，从历史上来看，黎曼积分是最早被人们所接受的一种积分形式。

黎曼积分的定义非常简单，假设有一个区间[a，b]，f(x)是[a，b]上的一个函数，我们将区间[a，b]进行分割，得到n个小区间[a1，b1]，[a2，b2]，……，[an-1，bn-1]，然后在每个小区间内分别取一点xi（ai≤xi≤bi），然后求出每个小区间上函数f(x)的取值和小区间长度之积的和，即∑f(xi)Δxi（i=1，2，……，n），当分割越来越细，n越来越大时，和式∑f(xi)Δxi的极限值就是函数f(x)在区间[a，b]上的黎曼积分。

黎曼积分的优点是在实际计算中比较简单，但它也有一些局限性，比如说不是所有的函数都可以积分，例如在非连续点处黎曼积分是没有定义的。

二、勒贝格积分勒贝格积分是20世纪初期法国的数学家勒贝格提出来的。

它是通过使用类似度量论的概念，对几乎处处连续的函数进行积分，从而将积分的适用范围扩展到了更广泛的函数上。

具体来说，假设有函数f（x），它在[a，b]上几乎处处连续，记E为f（x）在[a，b]上所有不连续点的集合。

我们可以在每个不连续点处定义一个容许误差，使得在这个误差以内f（x）可以任意变化，而在误差以外随着分割越来越细，误差的贡献趋近于0。

于是我们就得到了函数在[a，b]上的勒贝格积分。

勒贝格积分相对于黎曼积分而言，可以积分更多的函数，也避免了因非连续点而产生的积分误差。

但是它在实际计算上会稍稍麻烦一些。

三、总结黎曼积分和勒贝格积分是积分的两种基本形式。

黎曼积分在实际计算中比较简单，但不是所有函数都能够使用黎曼积分。

勒贝格积分是一种更加通用的积分形式，它可以积分更多的函数，但相对于黎曼积分而言，计算会有一些复杂。

勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别

勒贝格积分的若干简介我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。

首先介绍一下在有界函数围，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：⑴R 积分与极限可交换的条件太严。

⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。

⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间对函数进行积分。

⑷缺乏单调收敛。

鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。

1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。

那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。

在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。

首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。

其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。

下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。

关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较1.1勒贝格积分的定义[3]:定义1：设)(x f 是n R E ⊂()∞<mE 上的非负可测函数.我们定义)(x f 是E 上的Lebesgue 积分()()()sup ():()x Eh x f x E E f x dx h x dx h x ∈≤⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰⎰是n R 上的非负可测简单函数}，这里的积分可以是+∞;若∞<⎰Edx x f )(,则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积的。

设)(x f 是n R E ⊂上的可测函数,若积分⎰+E dx x f )(，⎰-Edx x f )(中至少有一个是有限值,则称⎰⎰⎰-+-=EE E dx x f dx x f dx x f )()()(为)(x f 是E 上的Lebesgue 积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称)(x f 是E 上是Lebesgue 可积的。

Lebesgue积分与黎曼积分的区别

Riemann 积分与Lebesgue 积分的区别（一）存在性狭义Riemann 积分只能定义在有界集上，而Lebesgue 积分无此限制，并且存在Riemann 线积分、曲面积分而无Lebsgue 式的这些积分，因为曲线长度和曲面面积是基于一定的连通集而非从可测点集出发定义的。

Lebesgue 可测无界集上的Lebesgue 积分不能看作是Riemann 广义积分的推广，Riemann 瑕积分存在且有限也不能保证相应的Lebesgue 积分存在。

（二）函数连续性 Riemann 积分对于函数的连续性要求过高。

一般来说，对于有界函数函数，Riemann 积分要求函数的不连续点所成集合为一零测集，并且这一条件还是充要的；而对于Lebesgue 积分，只需要函数在上可测，并且即可。

当然我们知道有限维狭义Riemann 可积蕴含Lebesgue 可积且积分值相等。

有限维实向量值狭义Riemann 积分收敛的充要条件借助于Lebesgue 积分有漂亮的解决。

（三）积分与极限的换序运算 Riemann 积分对于积分与极限运算的要求过高：函数序列满足，且在上，一致收敛到，则Riemann 可积，并且而对于Lebesgue 积分来说，根据Beppo Levi 非负渐升列的积分定理，对于定义在上渐升的非负可测函数列：且有，则这其中有著名的依测度型控制收敛定理，即，且在上依测度收敛于，若存在，使得则，且有f (x )f (x )E ∣f (x )∣d x <∫E ∞{f (x )}n f (x )∈n C [a ,b ][a ,b ]f (x )n f (x )f (x )f (x )d x =∫a b n →∞lim n f (x )d x =∫a b f (x )d xn →∞lim ∫abE f (x )⩽1f (x )⩽2⋯⩽f (x )⩽k ⋯,lim f (x )=k →∞k f (x ),x ∈E f (x )d x =k →∞lim ∫E k f (x )d x∫Ef (x )∈k L (R )(k =n 1,2,⋯)f (x )k R n f (x )F ∈L (R )n ∣f (x )∣⩽k F (x ) (k =1,2,⋯;a .e . x ∈R )n f ∈L (R )n ∫∫ 如果我们只要求函数列是上的非负可测函数列，则根据Fatou 引理，我们有（四）完备性 Riemann 积分所构成的空间不完备，考虑连续函数族上，定义范数为连续函数列在Riemann 积分的度量意义下不一定收敛到某一连续函数，因而中函数列的极限运算不再是封闭的，即使是对于一个几乎处处连续的函数列，在其度量下收敛到某一函数，此函数也不一定是几乎处处连续的。

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系数学系1302班第五组07 樊萌12 韩鸿林19 兰星21 李鸿燕45 王堃51 武相伶54 许小亭57 杨莉黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系黎曼积分和勒贝格积分定义的比较1、黎曼积分定义：设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<== 10,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s()11-=-=∑i i ni i x x M S ,若有dx s dx S bab a⎰⎰=则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积.2、勒贝格积分定义：,0>∀δ,作M y y y m n =<<= 10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i ,2,1=若i ni i mE y ∑=-→110lim δ存在,则()x f 勒贝格可积.3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E 上可测,若记()(){}0,m ax x f x f=+，()(){}0,m in x f x f-=-,则有()()()x f x fx f -+-=,若()dx x f E+⎰,()dx x fE_⎰不同时为∞,则()x f 在E 上的积分确定且()()()dx x f dx x f dx x f EEE-+⎰⎰⎰-=.4、简单函数的勒贝格积分定义:设()x f 是可测集E 上的非负简单函数,于是有对E 的划分i E ,n i 2,1=,()x f 在i E 上的取值为i c ,则()i E ni i c x f χ∑==1,定义()x f 的勒贝格积分为()ini iEmE c dm x f ∑⎰==1,若()∞<⎰dm x f E,则称()x f 在E 上勒贝格可积.5、非负可测函数的勒贝格积分定义:取E 上的非负简单函数列()x f n ,对任意的E x ∈,()x f n 都收敛于()x f ,则()x f 在E 上勒贝格可积其积分为()()dm x f dm x f EEn n ⎰⎰=∞→lim .对一般的函数由于()()()x f x fx f -+-=,则()()()dm x f dm x f dm x f EEE⎰⎰⎰=--+.若左端的两个积分值都有限时,称()x f 在E 上勒贝格可积.勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较黎曼可积的条件㈠黎曼可积的条件必要条件定义在[]b a ,上的()x f 黎曼可积的必要条件是()x f 在[]b a ,上有界.注任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. ㈡黎曼可积的充分必要条件1、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设()x f 在[]b a ,上有界,{}b x x x a T n =<<<== 10为对[]b a ,的任一分割,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s ,()11-=-=∑i i ni i x x M S ,n i ,2,1=有dx s dx S bab a⎰⎰=.2、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()i i i ini i m M w xw -=<∆∑=ξ1.3、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()()ξ<-T s T S 成立.4、定义在[]b a ,上的函数()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的一切间断点构成一个零测度集.注这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件1、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为0>∀ξ,总存在E 的某一分割D ,使得ξ<∑iii mEw .2、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.3、设()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,则()x f 在[]b a ,上勒贝格可积的充要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,且有()[]()⎰⎰=ba ba dx x f dm x f ,. 4、设()x f n 为E 上的可测函数列,()x f n 在E 上的极限函数几乎处处存在,且()M dx x f En <⎰,则()x f 在E 上勒贝格可积.5、设()x f 是是定义在可测集E 上的连续函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.黎曼积分与勒贝格积分的性质比较黎曼积分的性质1、（线性性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积函数,则()()x g x f +,()()x g x f -,()()x g x f 也在[]b a ,上黎曼可积.注()()()()dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰+=+,但()()()()dx x g dx x f dx x f x g bab ab a⎰⎰⎰≠.2、（区域可加性）设有界函数()x f 在[]c a ,,[]b c ,上都黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()()dx x f dx x f dx x f bcc ab a⎰⎰⎰+=.3、（单调性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积,且()()x g x f ≤,则()()dx x g dx x f bab a⎰⎰≤.4、（可积必绝对可积）若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()dx x f dx x f bab a⎰⎰≤.注其逆命题不成立.5、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则在[]b a ,的任意内闭子区间[][]b a ,,⊂βα上也黎曼可积.且其积分值不会超过在[]b a ,上的积分值.6、若()x f 是[]b a ,上非负且连续的函数,若有()010=⎰dx x f ,则()x f 在[]b a ,上恒等于零.7、若()x f ,()x g 是[]b a ,上的黎曼可积函数,则()(){}x g x f M ,m ax = ,()(){}x g x f m ,m in =在[]b a ,上也黎曼可积.8、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,()x f 1在[]b a ,上有定义且有界,则()x f 1也在[]b a ,上黎曼可积.勒贝格积分的性质1、（有限可加性）设()x f 是有界可测集E 上的可积函数,K nk E E 1==,K E 等均可测且两两互不相交,则有()()()()d x x f dx x f dx x f d x f nEEEE⎰⎰⎰⎰+++=21x . 2、对于给定的可测函数()x f ,()x f 与()x f 的可积性相同且()()dx x f d x f EE⎰⎰≤x . 3、(单调性)若()x f ,()x g 在E 上勒贝格可积,且()()x g x f ≤几乎处处成立,则()()d x x g d x f EE⎰⎰≤x . 4、()x f 是E 上的非负可积函数,则()x f 在E 上是几乎处处有限的.5、()x f 是E 上的非负可测函数,若()x f 在E 上几乎处处等于0,则()0x =⎰d x f E.6、(零测集上的积分)若0=mE ,则()0=⎰dx x f E.7、()x f 是E 上的勒贝格可积函数,()0≥x f 在E 上几乎处处成立,则()0x ≥⎰d x f E.8、设()x f 在E 上可测,若存在非负函数()x g 在可测集E 上勒贝格可积,()()x g x f ≤几乎处处成立,则()x f 在可测集E 上勒贝格可积.9、()x f 在可测集E 上勒贝格可积,A 是E 的可测子集,则()x f 在A 上也勒贝格可积. 且其积分值不会超过在E 上的积分值.10、设()x f 在E 上可测,则()0x =⎰d x f E的充要条件是()0=x f 在E 上几乎处处成立.11、设()x f ,()x g 均在E 上勒贝格可积,则()(){}x g x f M ,m ax =,()(){}x g x f m ,m in =也在E 上勒贝格可积.12、若()x f 与()x g 在E 上几乎处处相等,则()x g 也可积,且()()d x x g dx x f EE⎰⎰=. 13、设()x f 在可测集E 上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数14、设()x f 为可测集E 上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数()x g ,使得()x g 导函数在E 上几乎处处等于()x f .黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较与黎曼积分相关的定理⒈若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数()x f 也在I 上连续.⒉（可积性）若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,()()dx x f dx x f ban n nb a n ⎰⎰∞→∞→=lim lim .⒊（可微性）设()x f n 为定义在[]b a ,上的函数列,若[]b a x ,0∈为()x f n 的收敛点,且()x f n 的每一项在[]b a ,上都有连续的导数,()x f n '在[]b a ,上一致收敛,则()()()x f dxdx f dx d n n n n ∞→∞→=lim lim . ⒋有界收敛定理设()x f n 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数. ⑴()[]()b a x n M x f n ,,2,1∈=≤ .⑵()x f 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数.且()()x f x f n n =∞→lim .则有()()dx x f dx x f bab an n ⎰⎰=∞→lim .与勒贝格积分相关的定理⒈（勒维定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件:()() ≤≤≤x f x f 210,()()x f x f n n =∞→lim ,则()x f n 的积分序列收敛于()x f 的积分()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()x f n 的极限存在,()()x f x f n n =∞→lim .⑵存在可积函数()x g 使得()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒊设∞<mE ,E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,,()x g 可积. ⑵()x f n 依测度收敛于()x f ,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒋设()x f n 是[]b a ,上的增函数列,且有()x f n n ∑∞=1在[]b a ,上收敛,则()()x f dxdx f dx d n n n n ∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11.--。

黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别

黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是函数积分的一种。

它们的定义很相似，但在某些意义上有所不同。

首先，黎曼积分是指函数在某一闭区间上的积分，其公式如下：
$$\int _a^ b f(x)dx=\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^nf
\left(x_i\right)\Delta x_i$$
其中，$a、b$为积分的上下限，$x_i$为每个子区间的位置，$\Delta x_i$为每个子区间的长度。

而勒贝格积分可以看作是黎曼积分的一种特殊情况，其定义如下：
其中，$x_k=a+\frac{k(b-a)}{n}$。

从定义来看，黎曼积分是考虑分割区间的情况，其子区间不一定都相同，而勒贝格积分只考虑等分子区间的情况，所以勒贝格积分只是黎曼积分的特例。

此外，在实际应用中，由于勒贝格积分只考虑子区间的等分情况，进行计算时不需要考虑子区间的长度，即$\Delta x_k$可以直接取1，因此计算量相较于黎曼积分少。

但需要注意的是，如果子区间的宽度稍有不同，勒贝格积分可能会产生较大的误差。

黎曼积分与勒贝格积分的区别

黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下面的面积、计算函数的平均值等。

在实际应用中，常常会遇到需要对不同类型的函数进行积分的情况。

而黎曼积分和勒贝格积分是两种常见的积分方法，它们在定义和适用范围上存在一些区别。

本文将详细介绍黎曼积分和勒贝格积分的区别。

一、黎曼积分黎曼积分是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，是最早被广泛应用的积分方法之一。

黎曼积分的定义是通过将区间[a, b]分成若干小区间，然后在每个小区间上取一个样本点，计算函数在这些样本点处的取值与小区间长度的乘积，再将这些乘积相加得到的极限值。

黎曼积分的计算公式如下：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，n是将区间[a, b]分成的小区间的个数，xi是每个小区间上的样本点，Δxi是每个小区间的长度。

黎曼积分的优点是定义简单，易于理解和计算。

但是，黎曼积分的适用范围有限，只能对一些特定类型的函数进行积分。

对于某些函数，黎曼积分可能不存在或者无法计算。

二、勒贝格积分勒贝格积分是由法国数学家勒贝格在20世纪初提出的，是对黎曼积分的一种推广。

勒贝格积分的定义是通过将函数的定义域分成若干个可测集，然后在每个可测集上计算函数的上积分和下积分，如果上积分和下积分相等，则称该函数是勒贝格可积的，其积分值即为上下积分的公共值。

勒贝格积分的计算公式如下：∫f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ+ -∫[a, b] f(x) dμ-其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，dμ是勒贝格测度，∫[a, b] f(x) dμ+和∫[a, b] f(x) dμ-分别是函数f(x)在积分区间上的上积分和下积分。

勒贝格积分的优点是适用范围广泛，可以对几乎所有的函数进行积分。

勒贝格积分的定义更加一般化，可以处理更复杂的函数和测度空间。

勒贝格积分和黎曼积分相等

勒贝格积分和黎曼积分相等勒贝格积分和黎曼积分这两个名字，一听就感觉挺高大上的，学起来也让人有点头大。

说实话，它们就像数学界的两个“好朋友”，看起来不太一样，但其实聊起天来有很多共同点。

我们今天就来瞅瞅，为什么说它们最终能握手言和，达成一致，互相认可。

你问我为什么有这种说法？哎，你看我们这些“数学老司机”不就爱聊这种事情嘛。

我们知道，黎曼积分早就登场了，简直是积分界的老大哥。

想象一下，黎曼积分就像你在学校时拿到的那种标准答案，简单明了，做起来很直观。

假设你要算一个函数的积分，黎曼的办法是把这个函数的区域划分成很多小块，然后把每一小块的面积加起来，最终算出整个图形的面积。

就像我们切蛋糕，先把蛋糕切成几块，然后一块一块地吃，最后大家就吃完了，谁也不落下。

但这个方法有个缺点，那就是对某些复杂的函数，黎曼的办法可能就有点力不从心了，或者说，不太靠谱。

毕竟，函数有时可能不太“乖”，特别是一些有着极端变化的函数，黎曼积分就没那么顺利了。

说到勒贝格积分，这可是一位新兴的“数学小鲜肉”。

它的出现，就像给数学世界带来了一阵清风。

勒贝格积分不拘泥于黎曼积分那种划分区域的方式。

勒贝格就聪明了，它不再按照小块的划分来求和，而是直接从整个函数的“角度”来理解，简直是从另一种视角，给你打开了一扇全新的大门。

这就像你不再单纯地看蛋糕切成几块，而是从蛋糕的整体味道来感受，像吃蛋糕不怕掉渣子那样，享受每一口的同时，不失去整体的美感。

所以，勒贝格积分的优势在于，它能处理一些黎曼积分无法处理的复杂情况，特别是那些在一些特定点变化剧烈的函数，勒贝格总是能稳稳地搞定。

可是，你总会发现，虽然两者看起来各有各的好，可偏偏黎曼积分的简单和直观，又让很多人不愿意放弃。

听起来是不是像我们挑选工作一样，想要安稳点的工作（黎曼）和挑战极限的工作（勒贝格），我们总是会在这两者之间徘徊，犹豫不决。

好在有一天，数学界的智者们发现了它们俩之间的关系。

用一个简单的比喻来说，勒贝格积分和黎曼积分就像两位古老的武侠，一开始互看不顺眼，互相看不起，但最终在某次江湖争斗中，达成了共识，决定放下成见，携手合作了。

黎曼积分与勒贝格定理

黎曼积分与勒贝格定理积分是高中数学中常见的概念。

但是，高中所学习的积分仅限于定积分和不定积分。

定积分是将函数沿一个区间上的曲线围成的面积作为函数在该区间上的积分值；不定积分是给定函数，求出一个新的函数，它的导数就是原函数。

然而，这两种积分方式都是基于实数集上的，无法处理某些函数在所有实数点处都没有定义的情况。

因此，需要引入黎曼积分和勒贝格定理。

一、黎曼积分黎曼积分的定义是：对于一个有界函数f(x)和定义域[a, b]的区间，将该区间分成n个小区间[a0, b0], [a1, b1], ..., [an-1, bn-1]，其中a=a0<b0<a1<b1<...<bn-1<b=n，将每个小区间分别乘以函数值的平均数，然后将所有小区间的积加起来，以这个和逼近该区间上的积分值。

当小区间数量趋近于无穷时，黎曼积分的定义域就变为实数集，可以处理实数集上的所有有界函数，且黎曼积分是线性的、可加的、对称的。

二、勒贝格定理然而，黎曼积分并不能处理某些非常规函数，如Dirichlet的函数。

为了解决这个问题，勒贝格定理被提出。

勒贝格定理的基本思想是在分割区间上进行划分，使得区间长度越来越小，同时令每个小区间上的函数差异越来越小。

这个过程被称为分割区间的细分。

在勒贝格定理中，将函数的可积性定义为上积分和下积分的差值不超过ε，ε为一个任意小的正数。

上积分是将分段小函数的函数值在一个区间上最大的点相乘，下积分是将分段小函数的函数值在一个区间上最小的点相乘。

勒贝格定理的唯一缺点是不能计算所有函数的积分值，但它可以保证对于所有可积函数，积分的解是唯一的。

三、黎曼积分和勒贝格定理的联系尽管黎曼积分和勒贝格定理的定义方式不同，但它们有很多相似之处。

首先，它们都可以处理有界函数；其次，都是线性、可加、对称的定理。

黎曼积分和勒贝格定理的区别在于它们如何处理不可数函数。

黎曼积分可以处理初等函数，但无法处理瑕积分。

Riemann积分 Lebesgue积分

从Riemann 积分到Lebesgue 积摘要积分是整个分析数学中最基本的概念，黎曼积分与勒贝格积分是两种非常重要的积分，它们之间既有区别又有联系。

本文主要通过对黎曼积分和勒贝格积分定义的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系. 关键词黎曼积分;勒贝格积分;区别;联系一、Lebesgue 积分的引入1、R 积分的定义设()f x 是定义在[],a b 上的有界函数，任取区间的一个划分T012n a x x x x b =<<<<=将区间[],a b 分成n 部分，在每个小区间1,i i x x -⎡⎤⎣⎦上任取一点ζi ,i =1,2,3,….作和11(ζ)()ni i i i S f x x -==-∑令11max()i i i nr x x -≤≤=-，如果对任意的分发与ζi 的任意取法，当0r →时，S 趋于有限的极限，则称它为()f x 在[],a b 上的黎曼积分，记为()baI R f x dx=⎰如果设=sup{f(x):};=inf{f(x):}则有f （x ）在[a,b]上Riemann 可积1()lim n bi i ar i f x dx M x →=⇔=∆∑⎰=01lim ()nbi i ar i m x f x dx →=∆=∑⎰⇔对任意的ε,η>0,总存在一个划分T ，使得对任意的划分，只要比T 更精细，则有所有振幅≥ε的小区间的长度之和小于ε。

注：振幅为区间内任意两点距离的上确界。

2、Riemann 积分的局限性a 、从Riemann 可积的充分必要条件可看出, 可积性涉及到分割小区间（1,i i x x -⎡⎤⎣⎦）的长度以及函数在其上的振幅（）。

若要函数可积, 则在r 趋于0的过程中（）不能缩小的那些对应项子区间的长度必须是无穷小。

也就是说, Riemann 函数的不连续点可用长度为任意小的区间簇覆盖, 粗略地说, Riemann 可积函数必须是“ 基本上是连续的”b 、积分运算不完全是微分运算的逆运算（微积分基本定理的条件太严）微积分基本定理在微积分理论中起的重要作用是不言而喻的。

勒贝格积分与黎曼积分的比较

Lebesgue积分与Riemann积分的比较449 陈佳龙 908 王珏 194 杜腾飞关键词：黎曼积分，勒贝格可测函数，勒贝格积分，示性函数，连续函数，测度论，几乎处处，零测集.正文一：黎曼积分与勒贝格积分定义比较 R积分创立于19世纪中叶，近半个世纪之后的1902年法国数学家勒贝格创立了勒贝格积分。

其初衷是试图寻找解决诸如量子物理中的物理量与一般随机量的数学期望值等课题。

事实上运用L 积分可以解决包括古典物理问题之外的更一般的问题。

基于勒贝格测度论定义的勒贝格积分对函数的限制更加宽泛，已经跳出了定义于R 上有界函数的范畴而上升到了广义可测实函数，因而其研究范围也由R 上有界闭区间延伸到了整个N R 的有界可测集E ，进而借助示性函数我们可以将L 积分定义在整个N R 空间。

这种优越性是基于测度论与可测函数相关理论而在其定义上便已显现出来了。

为更好地说明L 积分与R 积分的异同，我们有必要将R 积分的定义在此描述。

R 积分是这样定义的：定义设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义，用分点b x x x x a n =<<<<=K 210将区间[]b a ,分成n 个小区间。

令λ表示一切小区间长度()n k x x x k k k ≤≤-=∆-11中的最大者，即k nk x ∆=≤≤1max λ。

在每个小区间[]k k x x ,1-上任取一点()k k k k x x ≤≤-ξξ1，并且作和()k nk k x f ∆=∑=1ξσ.如果当0→λ时，和数σ不管分割如何取法，也不管k ξ如何取法，都有共同的极限I ，即 (),lim lim 1I x f k nk k =∆=∑=→→ξσλλ则称此极限I 为函数()x f 从a 到b 的黎曼积分，记作()dx x f I ba⎰=，关于勒贝格积分有多种等价表述形式，为了更好的的说明问题，我们选取了两种定义模式，当然还有其它的定义方式，如张喜堂老师编的《实变函数论的典型问题与法方》中，对L 积分的定义是先从有界函数的L 积分着手，即定义有限可测集E 的一个分划D ，进而定义于D 相关的小和数与大和数。

勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别

勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别摘要本文讨论勒贝格积分是与黎曼积分的联系与区别，勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。

在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类，降低逐项积分与交换积分顺序的条件。

勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。

它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。

它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。

关键词：勒贝格可黎曼可积勒贝格积分黎曼积分1、定义1.1黎曼积分定义设)(x f 在[]b a,上有定义1）分割分划，将()b a ,添加n-1个分点T ：n n x b x x x a x =<<<<=-1210Λ将[]b a,分成n 个小区间[][][]n n x x x x x x ,,,12110-Λ1x ∆ 2x ∆ Λ n x ∆2）取近似[]()i i i i i x f t s x x ∆∀-ξξ..,,1 3）()i i ni x f ∆∑=ξ14）取极限令{}i x T ∆=max —T 的细度，若()i ni i T x f ∆∑=→10lim ξ存在()()∑⎰=→∆=ni iiT baxf dx x 10lim ξ1.2勒贝格积分定义设()x f 在有限可测集E 上有界1）n E E E Λ21为E 的n 个互相不相交的可测子集且Y ni i E 1E ==称{}n E E E D Λ21=为E 的一个L-分划2）设{}n E E E D Λ21=，{}''2'1'D n E E E Λ=均为E 的一个L-分划，若对''D E ∈∀存在j i j E E t s DE ⊂∈'..称D 比'D 细（D D 是'的加细）3）设{}n E E E D Λ21=为E 的一个L-分划，()()x f B x f b iiE x i E x i sup inf ,∈∈==称 ()i ni i mE b f D s ∑==1',在划分D 下()x f 的小和()∑==n i i i mE B f 1D,S 在划分D 下()x f 的大和2黎曼积分和勒贝格积分的联系对于定义在[]b a ,上的函数f ，如果它是黎曼可积的，则它勒贝格可积的，而且有相同的积分值，故我们平时解题算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那么就先化为黎曼积分求解，因为我们在学数分时，已经熟悉了黎曼积分。

黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别

黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别黎曼积分和勒贝格积分是微积分中的重要概念，它们的联系与许多定理有着密不可分的关系，这篇文章首先将简要介绍它们的概念，然后讨论它们之间的联系和区别。

黎曼积分指定义在定义域上函数及其导数组成的可积函数，它的定义源于数学家黎曼的研究，主要包括类连续型函数及其衍生物的积分，这样的积分的计算可以方便的由柯西积分和分部积分来实现。

勒贝格积分（Leibniz Integral）又称作定积分，是微积分中极为重要的概念，它可以用来对被积函数与定义域范围内的某一点（通常作为积分上限）上的值作出定义，从而计算出函数在定义域内满足某种约束条件时的定量结果。

它是科学家勒贝格早期研究的体现，这类积分具有可积性、同参数性等特征。

黎曼积分和勒贝格积分之间的联系非常密切，它们最主要的区别在于它们的定义方式。

首先，它们各自的定义条件是不同的，前者要求函数及其导数连续，而后者则要求函数及其定义域范围内某一点上的值作出定义。

其次，在实际计算上，勒贝格积分更加困难一些，因为在函数的定义域范围内的某一点上的值的定义需要更多的计算才能得出，而黎曼积分则只要求函数及其导数的连续性，因此，计算上较为简单。

它们之间的联系也非常密切，首先，黎曼积分也可以用于计算勒贝格积分，它们都可以把复杂的积分分解为一系列更简单的积分
从而求得最终结果；其次，黎曼积分和勒贝格积分之间也存在多种比较关系，比如黎曼积分是微分方程的特殊形式，勒贝格积分也可用于定义解决特殊的积分问题。

总的来看，黎曼积分和勒贝格积分都是微积分中非常重要的概念，它们之间存在着一定的联系，而且在计算上也相互交互。

正是因为它们之间的联系，使得它们在实际计算中经常运用到一起，这样就可以更好地求解复杂的积分问题。

(完整版)黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

3 Ex,xfn都收敛于xf,则xf在E上勒贝格可积其积分为 dmxfdmxfEEnnlim. 对一般的函数由于xfxfxf,则 dmxfdmxfdmxfEEE. 若左端的两个积分值都有限时,称xf在E上勒贝格可积. 勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积. 黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较黎曼可积的条件㈠黎曼可积的条件必要条件定义在ba,上的xf黎曼可积的必要条件是xf在ba,上有界. 注任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. ㈡黎曼可积的充分必要条件 1、设xf是定义在ba,上的有界函数,则xf黎曼可积的充分必要条件为xf在ba,上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设xf在ba,上有界,bxxxaTn10为对ba,的任一分割,其中令 iixxxfM,sup,iixxxfm,inf,iiixxx1,11iiniixxms,11iiniixxMS,ni,2,1有 dxsdxSbaba. 2、设xf是定义在ba,上的有界函数,则xf黎曼可积的充分必要条件为0,总存在某一分割T,使得
4 iiiiniimMwxw1. 3、设xf是定义在ba,上的有界函数,则xf黎曼可积的充分必要条件为0,总存在某一分割T,使得 TsTS成立. 4、定义在ba,上的函数xf黎曼可积的充分必要条件为xf在ba,上的一切间断点构成一个零测度集. 注这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件 1、设xf是定义在可测集E上的有界函数,则xf在E上勒贝格可积的充要条件为0,总存在E的某一分割D,使得 iiimEw. 2、设xf是定义在可测集E上的有界函数,则xf在E上勒贝格可积的充要条件为xf在E上勒贝格可测. 3、设xf在ba,上的黎曼反常积分存在,则xf在ba,上勒贝格可积的充要条件为xf在ba,上的黎曼反常积分存在,且有 babadxxfdmxf,. 4、设xfn为E上的可测函数列,xfn在E上的极限函数几乎处处存在,且MdxxfEn,则xf在E上勒贝格可积. 5、设xf是是定义在可测集E上的连续函数,则xf在E上勒贝格可积的充要条件为xf在E上勒贝格可测. 黎曼积分与勒贝格积分的性质比较黎曼积分的性质

勒贝格积分和黎曼积分的比较

Lebesgue积分与Riemann积分的比较20141000449 佳龙20141003908 王珏20141000194 杜腾飞关键词：黎曼积分，勒贝格可测函数，勒贝格积分，示性函数，连续函数，测度论，几乎处处，零测集.正文一：黎曼积分与勒贝格积分定义比较 R 积分创立于19世纪中叶，近半个世纪之后的1902年法国数学家勒贝格创立了勒贝格积分。

其初衷是试图寻找解决诸如量子物理中的物理量与一般随机量的数学期望值等课题。

事实上运用L 积分可以解决包括古典物理问题之外的更一般的问题。

基于勒贝格测度论定义的勒贝格积分对函数的限制更加宽泛，已经跳出了定义于R 上有界函数的畴而上升到了广义可测实函数，因而其研究围也由R 上有界闭区间延伸到了整个N R 的有界可测集E ，进而借助示性函数我们可以将L 积分定义在整个N R 空间。

这种优越性是基于测度论与可测函数相关理论而在其定义上便已显现出来了。

为更好地说明L 积分与R 积分的异同，我们有必要将R 积分的定义在此描述。

R 积分是这样定义的：定义设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义，用分点b x x x x a n =<<<<= 210将区间[]b a ,分成n 个小区间。

令λ表示一切小区间长度()n k x x x k k k ≤≤-=∆-11中的最大者，即k nk x ∆=≤≤1max λ。

在每个小区间[]kk x x,1-上任取一点()k k k kx x ≤≤-ξξ1，并且作和()k nk k x f ∆=∑=1ξσ.如果当0→λ时，和数σ不管分割如何取法，也不管k ξ如何取法，都有共同的极限I ，即(),lim lim 1I x f k nk k =∆=∑=→→ξσλλ则称此极限I 为函数()x f 从a 到b 的黎曼积分，记作()dx x f I ba⎰=，关于勒贝格积分有多种等价表述形式，为了更好的的说明问题，我们选取了两种定义模式，当然还有其它的定义方式，如喜堂老师编的《实变函数论的典型问题与法方》中，对L 积分的定义是先从有界函数的L 积分着手，即定义有限可测集E 的一个分划D ，进而定义于D 相关的小和数与大和数。

Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别

Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：浅谈Lebesgue 积分与Riemann 积分的联系与区别有人说，Lebesgue 积分是Riemann 积分的推广。

然而对广义Riemann积分来说，Riemann 积分的可积性并不意味着Lebesgue 积分的可积性。

那么，他们之间有怎么样的联系和区别呢，首先，我们先来回顾一下两种积分的定义。

一、积分定义Riemann 积分定义假设)(x f y =是区间[]b a ,上的函数，若存在某个常数A ，使得对区间[]b a ,的任意分割：b x x x a n =<<<= 10及任意[],1,,1,0,,1-=∈+n i x x i i i ξ只要{},0max 110→-+-≤≤i i n i x x 就有A x xf i i n i i→-+-=∑)()(11ξ则称f 在[]b a ,上Riemann 可积。

Lebesgue 积分定义设n R E ⊂是测度有限的可测集，f 是定义在E 上的有界可测函数，即存在R ∈βα,,使{}).,()()(βα⊂∈=E x x f E f 若βα=<<<=n l l l D 10:是[]βα,得任一分点组，则记{}{}k k k k k l x f l x E E l l D ≤<=-=--)(,max )(11δ，对任意k k k k l l ≤≤-ξξ1,，作和式 ε<-A D S )(，则称f 在E 上是Lebesegue 可积的。

若)(x f 是E 上的可测函数，且∞<mE ，如果-+f f ,在E 上的积分至少有一个不为∞+，则称)(x f 在E 上有积分，并记.)()()(dx x f dx x f dx x f EEE⎰⎰⎰-+-=若⎰Edx x f )(为有限数，则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积。

黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别

浅谈R积分和L积分的联系与区别数学学院数学与应用数学（师范）专业 2009级某某指导老师某某摘要：积分在整个分析数学中有着重要的地位，现有的积分有两种形式：一种是作为研究数学分析中心内容的黎曼积分（简称R积分），一种是作为研究实变函数核心内容的勒贝格积分（简称L积分），这两类积分既有密切的联系，又有本质的区别。

本文主要是从黎曼积分和勒贝格积分的定义出发，进行分析和比较，利用实例来归纳总结出它们的联系与区别。

关键词：黎曼积分；勒贝格积分；联系；区别Abstract: Integral plays a critical role in the whole of Analytic Mathematics. And the current integration has two forms: one is the Riemann integral (R integral) which is regarded as the central content of the study of the mathematical analysis. The other one is the Lebesgue integral (L integral) which is regarded as the core content of the study of the real variable function. The two kinds of integral not only have the close relations but also have the essential differences. According to the definition of the Riemann integral and the Lebesgue integral ,this paper analyses and makes a comparison with the definitions, which uses some examples to summarize their relations and differences.Key words:Riemann integral; Lebesgue integral; relation; difference1 引言积分学的历史很早，它起源于求积问题。

最新勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别