勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别

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黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别

黎曼积分和勒贝格积分都是用来求解函数在某一区间上的定积分，但是它们的定义和性质有着很大的区别。

黎曼积分是一种传统的积分方法，它把定积分的计算问题转化

为一个求和问题，即将区间分成若干小段，然后对每一小段的函数

值乘以对应小段的长度求和来逼近定积分的值。黎曼积分只适用于

满足黎曼可积条件的函数，也就是说，被积函数必须满足有界且在

有限区间上几乎处处连续。

勒贝格积分则是一种广义积分方法，它是将区间上的函数分解

成上下两个函数，然后利用这两个函数的极限逼近来计算定积分的值。因为勒贝格积分的定义更加宽松，所以相比较于黎曼积分，它

能够处理诸如反常积分这样的更加复杂的积分问题。

此外，黎曼积分和勒贝格积分的性质也有所不同。例如，黎曼

积分在加积分区间时是可交换的，而勒贝格积分则不具有这种性质。此外，勒贝格积分对于不满足黎曼可积条件的函数，也有一定的处

理能力，而黎曼积分则无法计算这些函数的积分。

综上所述，黎曼积分和勒贝格积分都是求解定积分问题的方法，但是它们的定义和性质有很大的不同。黎曼积分只适用于黎曼可积

的函数，而勒贝格积分则更加广泛适用于各种类型的函数。

黎曼积分与勒贝格积分的区别

积分是微积分学中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。在实际应用中，常常会遇到黎曼积分和勒贝格积分这两种不同的积分

方式。本文将从定义、性质和应用等方面对黎曼积分与勒贝格积分进

行比较，以便更好地理解它们之间的区别。

1. 定义

黎曼积分是由德国数学家黎曼提出的，是微积分中最基本的积分

形式。对于一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上的黎曼积分定义为：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi

其中，Σ f(xi)Δxi表示对区间[a, b]进行分割，取各子区间上

任意一点xi，然后求和得到的黎曼和，当分割数n趋于无穷大时，这

个黎曼和的极限就是函数f(x)在区间[a, b]上的黎曼积分。

而勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格提出的，是对黎曼积

分的一种推广。勒贝格积分的定义更加一般化，可以处理更广泛的函

数类。勒贝格积分的定义涉及到测度论的概念，需要引入测度空间的

概念，因此比黎曼积分更加抽象和复杂。

2. 性质

黎曼积分和勒贝格积分在性质上也有一些区别。黎曼积分对函数

的要求相对较高，需要函数在有限闭区间上有界且可积。而勒贝格积

分对函数的要求较低，只需要函数是可测的即可进行勒贝格积分。

此外，黎曼积分是通过分割区间并取极限的方式定义的，因此对

分割的精细程度有一定要求，而勒贝格积分则是通过测度的概念来定

义的，更加灵活和一般化。

3. 应用

在实际应用中，黎曼积分和勒贝格积分各有其优势和适用范围。

黎曼积分在初等数学和物理等领域有着广泛的应用，例如计算曲线下

黎曼积分与勒贝格积分

积分是微积分中重要的概念之一。在实际问题中，我们常常需

要求解一个区间内函数的面积或者体积。这个过程就称为积分。

积分有很多种，今天我想和大家聊一聊黎曼积分和勒贝格积分。

一、黎曼积分

黎曼积分最早是由德国的数学家黎曼提出的。它是积分的一种

基本形式，从历史上来看，黎曼积分是最早被人们所接受的一种

积分形式。

黎曼积分的定义非常简单，假设有一个区间[a，b]，f(x)是[a，b]上的一个函数，我们将区间[a，b]进行分割，得到n个小区间[a1，b1]，[a2，b2]，……，[an-1，bn-1]，然后在每个小区间内分别取

一点xi（ai≤xi≤bi），然后求出每个小区间上函数f(x)的取值和小

区间长度之积的和，即∑f(xi)Δxi（i=1，2，……，n），当分割越

来越细，n越来越大时，和式∑f(xi)Δxi的极限值就是函数f(x)在区

间[a，b]上的黎曼积分。

黎曼积分的优点是在实际计算中比较简单，但它也有一些局限性，比如说不是所有的函数都可以积分，例如在非连续点处黎曼

积分是没有定义的。

二、勒贝格积分

勒贝格积分是20世纪初期法国的数学家勒贝格提出来的。它

是通过使用类似度量论的概念，对几乎处处连续的函数进行积分，从而将积分的适用范围扩展到了更广泛的函数上。

具体来说，假设有函数f（x），它在[a，b]上几乎处处连续，

记E为f（x）在[a，b]上所有不连续点的集合。我们可以在每个不连续点处定义一个容许误差，使得在这个误差以内f（x）可以任

意变化，而在误差以外随着分割越来越细，误差的贡献趋近于0。于是我们就得到了函数在[a，b]上的勒贝格积分。

(完整版)黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

数学系1302班第五组

07 樊萌

12 韩鸿林

19 兰星

21 李鸿燕

45 王堃

51 武相伶

54 许小亭

57 杨莉

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

1、黎曼积分定义：设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<==Λ10,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i n

i i x x m s

()11

-=-=∑i i n

i i x x M S ,若有

dx s dx S b

b a

⎰⎰=

则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积.

2、勒贝格积分定义：,

0>∀δ,作M y y y m n =<<=Λ10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i Λ,2,1=若i n

i i mE y ∑=-→110

lim δ存在,则()x f 勒贝格可积.

3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E 上可测,若记()(){}0,m ax x f x f

，

()(){}0,m in x f x f

-=-

,则有()()()x f x f

x f -+

,若()dx x f E

+⎰

,()dx x f

⎰不同时为∞,则

()x f 在E 上的积分确定且

()()()dx x f dx x f dx x f E

黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别

黎曼积分和勒贝格积分都是函数积分的一种。它们的定义很相似，但在某些意义上有所不同。

首先，黎曼积分是指函数在某一闭区间上的积分，其公式如下：

$$\int _a^ b f(x)dx=\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^nf

\left(x_i\right)\Delta x_i$$

其中，$a、b$为积分的上下限，$x_i$为每个子区间的位置，$\Delta x_i$为每个子区间的长度。

而勒贝格积分可以看作是黎曼积分的一种特殊情况，其定义如下：

其中，$x_k=a+\frac{k(b-a)}{n}$。

从定义来看，黎曼积分是考虑分割区间的情况，其子区间不一定都相同，而勒贝格积分只考虑等分子区间的情况，所以勒贝格积分只是黎曼积分的特例。

此外，在实际应用中，由于勒贝格积分只考虑子区间的等分情况，进行计算时不需要考虑子区间的长度，即$\Delta x_k$可以直接取1，因此计算量相较于黎曼积分少。但需要注意的是，如果子区间的宽度稍有不同，勒贝格积分可能会产生较大的误差。

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

分类号O172.2

编号2012010644

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本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。

本声明的法律责任由本人承担。

论文作者签名：年月日

论文指导教师签名：

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

摘要: 介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念，通过对两类积分存在条件、基本性质、可积函数类以及相关结论的分析,结合具体实例,说明了黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系.

关键词：黎曼积分;勒贝格积分；可测函数；可积函数。

The Differences and Relations Between the Riemann Integral and Lévesque Integral

Abstract: In this paper，the definitions of the Riemann integral and Lévesque integral are introduced，Compared with the existences of conditions, the elementary properties, the classes of the integral function and the associated conclusions of the two integrals, The differences and relations between the Riemann integral and Lévesque integral are given。Meanwhile，the example corresponding to each conclusion is also resented。Keywords：Riemann integral; Lévesque integral; measurable function; integral function

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

数学系1302班第五组

07 樊萌

12 韩鸿林

19 兰星

21 李鸿燕

45 王堃

51 武相伶

54 许小亭

57 杨莉

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

1、黎曼积分定义：设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<== 10,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i n

i i x x m s

()11

-=-=∑i i n

i i x x M S ,若有

dx s dx S b

b a

⎰⎰=

则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积.

2、勒贝格积分定义：,

0>∀δ,作M y y y m n =<<= 10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i ,2,1=若i n

i i mE y ∑=-→110

lim δ存在,则()x f 勒贝格可积.

3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E 上可测,若记()(){}0,m ax x f x f

，

()(){}0,m in x f x f

-=-

,则有()()()x f x f

x f -+

,若()dx x f E

+⎰

,()dx x f

⎰不同时为∞,则

黎曼积分与勒贝格积分的区别

积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下面的面积、计算函数的平均值等。在实际应用中，常常会遇到需要对不同类型的函数进行积分的情况。而黎曼积分和勒贝格积分是两种常见的积分方法，它们在定义和适用范围上存在一些区别。本文将详细介绍黎曼积分和勒贝格积分的区别。

一、黎曼积分

黎曼积分是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，是最早被广泛应用的积分方法之一。黎曼积分的定义是通过将区间[a, b]分成若干小区间，然后在每个小区间上取一个样本点，计算函数在这些样本点处的取值与小区间长度的乘积，再将这些乘积相加得到的极限值。黎曼积分的计算公式如下：

∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi

其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，n是将区间[a, b]分成的小区间的个数，xi是每个小区间上的样本点，Δxi是每个小区间的长度。

黎曼积分的优点是定义简单，易于理解和计算。但是，黎曼积分的适用范围有限，只能对一些特定类型的函数进行积分。对于某些函数，黎曼积分可能不存在或者无法计算。

二、勒贝格积分

勒贝格积分是由法国数学家勒贝格在20世纪初提出的，是对黎曼积分的一种推广。勒贝格积分的定义是通过将函数的定义域分成若干个可测集，然后在每个可测集上计算函数的上积分和下积分，如果上积分和下积分相等，则称该函数是勒贝格可积的，其积分值即为上下积分的公共值。勒贝格积分的计算公式如下：

∫f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ+ -

黎曼积分与勒贝格积分的区别

积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。

在实际应用中，人们常常会遇到黎曼积分和勒贝格积分这两种不同的

积分方式。本文将从定义、性质和应用等方面对黎曼积分与勒贝格积

分进行比较，以便更好地理解它们之间的区别。

1. 定义

黎曼积分是通过将区间分割成若干小区间，然后在每个小区间上

取样点，计算每个小区间上函数值与区间长度的乘积之和，然后取极

限得到的积分。黎曼积分的定义比较直观，适用于绝大多数函数。

而勒贝格积分则是通过将函数的定义域分解成可测集，然后在每

个可测集上定义一个测度，最后将函数值与测度的乘积进行积分。勒

贝格积分的定义更加抽象，适用范围更广，可以处理更多类型的函数。

2. 性质

黎曼积分的性质相对简单，满足线性性、可加性、保号性等基本

性质。但是对于某些特殊函数，比如间断函数或者无界函数，黎曼积

分可能无法定义。

勒贝格积分的性质更加丰富，不仅满足线性性、可加性等基本性质，还具有单调收敛性、控制收敛性等重要性质。勒贝格积分可以对

几乎所有的可测函数进行积分，包括无界函数和几乎处处不连续的函数。

3. 应用

在实际应用中，黎曼积分主要用于初等函数的积分计算，以及一些具有良好性质的函数的积分。在物理、工程等领域，黎曼积分也有着广泛的应用。

而勒贝格积分则更多地应用于测度论、概率论、泛函分析等数学领域，对于研究函数空间的性质、广义函数的积分等问题有着重要作用。勒贝格积分的广泛应用使得它成为现代数学中不可或缺的工具之一。

综上所述，黎曼积分与勒贝格积分在定义、性质和应用等方面存在着明显的区别。黎曼积分更加直观简单，适用于绝大多数函数的积分计算；而勒贝格积分更加抽象丰富，适用范围更广，可以处理更多类型的函数。在实际应用中，根据具体情况选择合适的积分方式，将有助于更好地解决问题并推动数学理论的发展。

勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别

勒贝格积分的若干简介

我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。

首先介绍一下在有界函数围，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：

⑴R 积分与极限可交换的条件太严。

⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。

⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间对函数进行积分。 ⑷缺乏单调收敛。

鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。

在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。

下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。

关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较

1.1勒贝格积分的定义[3]:

定义1：设)(x f 是n R E ⊂()∞<mE 上的非负可测函数.我们定义)(x f 是E 上

的Lebesgue 积分()()()sup ():()x E

h x f x E E f x dx h x dx h x ∈≤⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰⎰是n R 上的非负可测简单函

黎曼积分与勒贝格定理

积分是高中数学中常见的概念。但是，高中所学习的积分仅限于定积分和不定积分。定积分是将函数沿一个区间上的曲线围成的面积作为函数在该区间上的积分值；不定积分是给定函数，求出一个新的函数，它的导数就是原函数。然而，这两种积分方式都是基于实数集上的，无法处理某些函数在所有实数点处都没有定义的情况。因此，需要引入黎曼积分和勒贝格定理。

一、黎曼积分

黎曼积分的定义是：对于一个有界函数f(x)和定义域[a, b]的区间，将该区间分成n个小区间[a0, b0], [a1, b1], ..., [an-1, bn-1]，其中a=a0<b0<a1<b1<...<bn-1<b=n，将每个小区间分别乘以函数值的平均数，然后将所有小区间的积加起来，以这个和逼近该区间上的积分值。当小区间数量趋近于无穷时，黎曼积分的定义域就变为实数集，可以处理实数集上的所有有界函数，且黎曼积分是线性的、可加的、对称的。

二、勒贝格定理

然而，黎曼积分并不能处理某些非常规函数，如Dirichlet的函数。为了解决这个问题，勒贝格定理被提出。勒贝格定理的基本

思想是在分割区间上进行划分，使得区间长度越来越小，同时令

每个小区间上的函数差异越来越小。这个过程被称为分割区间的

细分。在勒贝格定理中，将函数的可积性定义为上积分和下积分

的差值不超过ε，ε为一个任意小的正数。上积分是将分段小函数

的函数值在一个区间上最大的点相乘，下积分是将分段小函数的

函数值在一个区间上最小的点相乘。勒贝格定理的唯一缺点是不

勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别

摘要

本文讨论勒贝格积分是与黎曼积分的联系与区别，勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类，降低逐项积分与交换积分顺序的条件。勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。

关键词：勒贝格可黎曼可积勒贝格积分黎曼积分

1、定义

1.1黎曼积分定义设)(x f 在[]b a,上有定义

1）分割分划，将()b a ,添加n-1个分点T ：n n x b x x x a x =<<<<=-1210Λ将[]b a,分成n 个小区间

[][][]n n x x x x x x ,,,12110-Λ

1x ∆ 2x ∆ Λ n x ∆

2）取近似[]()i i i i i x f t s x x ∆∀-ξξ..,,1 3）()i i n

i x f ∆∑=ξ1

4）取极限令{}i x T ∆=max —T 的细度，若()i n

i i T x f ∆∑=→1

0lim ξ存在

()()∑⎰=→∆=n

i i

T b

f dx x 1

0lim ξ

1.2勒贝格积分定义

设()x f 在有限可测集E 上有界

1）n E E E Λ21为E 的n 个互相不相交的可测子集且Y n

Riemann积分 Lebesgue积分

从Riemann 积分到Lebesgue 积

摘要积分是整个分析数学中最基本的概念，黎曼积分与勒贝格积分是两种非常重要的积分，它们之间既有区别又有联系。本文主要通过对黎曼积分和勒贝格积分定义的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系. 关键词黎曼积分;勒贝格积分;区别;联系

一、Lebesgue 积分的引入

1、R 积分的定义设

()f x 是定义在[],a b 上的有界函数，任取区间的一个划分

012n a x x x x b =<<<<=

将区间

[],a b 分成n 部分，在每个小区间1,i i x x -⎡⎤⎣⎦上任取一点ζi ,i =1,2,3,….作和

11(ζ)()

i i i i S f x x -==-∑

令

11max()

i i i n

r x x -≤≤=-，如果对任意的分发与

ζi 的任意取法，当0r →时，S 趋于有限

的极限，则称它为()f x 在[],a b 上的黎曼积分，记为

()b

I R f x dx

=⎰

如果设=sup{f(x):

};

=inf{f(x):

}

则有f （x ）在[a,b]上Riemann 可积

()lim n b

i i a

r i f x dx M x →=⇔=∆∑⎰=0

lim ()n

i i a

r i m x f x dx →=∆=∑⎰

⇔对任意的ε,η>0,总存在一个划分T ，使得对任意的划分，只要比T 更精细，则有所有振

幅≥ε的小区间的长度之和小于ε。

注：振幅为区间内任意两点距离的上确界。

2、Riemann 积分的局限性

勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别

1、定义

黎曼积分定义

设)(x f 在[]b a,上有定义

1）分割分划，将()b a ,添加n-1个分点T ：n n x b x x x a x =<<<<=-1210 将[]b a,分成n 个小区间

[][][]n n x x x x x x ,,,12110-

1x ∆ 2x ∆ n x ∆

2）取近似[]()i i i i i x f t s x x ∆∀-ξξ..,,1 3）()i i n

i x f ∆∑=ξ1

4）取极限令{}i x T ∆=max —T 的细度，若()i n

i i T x f ∆∑=→1

0lim ξ存在

()()∑⎰=→∆=n

i i

T b

f dx x 1

0lim ξ

勒贝格积分定义

设()x f 在有限可测集E 上有界

1）n E E E 21为E 的n 个互相不相交的可测子集且 n

i i E 1E ==称{}n E E E D 21=为E 的一

个L-分划

2）设{}n E E E D 21=，{}'

'1'D n E E E =均为E 的一个L-分划，若对''D E ∈∀存在j i j E E t s D

E ⊂∈'

..称D 比'D 细（D D 是'的加细）

3）设{}n E E E D 21=为E 的一个L-分划，()()x f B x f b i

E x i E x i sup inf ,∈∈==称 ()i n

i i mE b f D s ∑==1'

,在划分D 下()x f 的小和

()∑==n

i i i mE B f 1

勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别

系联的分积格贝勒和分积曼黎 2
4
xd 2 � x
n
1 ��R� � xd 2
� n� 故�积可曼黎上 n E 在 n�� x � f � 于由 �,2,1 � n � �n , 2 � � n E 取 � 1�
1
�
x
2
1
n
1
��R� = xd �� x� f � �
n
nE
n
�� x� f �
� � x �1 n 1� x � 2 1 n �x �0 1
� 1x , 0x�
间区小个义定有上 �b ,a� 在 )x ( f 设义定分积曼黎 1.1
1
x�
n 成分 �b ,a� 将 nx � b � 1�nx � � 2x � 1x � a � 0x �T 点分个 1-n 加添 � b ,a� 将�划分割分�1
义定、1
3
2�x�
3
3
n �1 1
数函截作�数函负非的上�2,1� 是 � x� f
的积可格贝勒是不上� � ,0� 在 f 而的
也以所�的积可曼黎是上 �b ,a� 在 f �的界有是上 �b ,a� 在 f 为因又�的续连处处乎几是上 �b ,a� 在 f 此因�集列可是多至点续连不的 f �数函调单界有的上 �b ,a� 间区是 f 设�1 例。积可格贝勒是。E 集并到加增调单� k I� 证保需只�系关有没择选的 k I 与法方算计且而

黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别

黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别黎曼积分和勒贝格积分是微积分中的重要概念，它们的联系与许多定理有着密不可分的关系，这篇文章首先将简要介绍它们的概念，然后讨论它们之间的联系和区别。

黎曼积分指定义在定义域上函数及其导数组成的可积函数，它的定义源于数学家黎曼的研究，主要包括类连续型函数及其衍生物的积分，这样的积分的计算可以方便的由柯西积分和分部积分来实现。

勒贝格积分（Leibniz Integral）又称作定积分，是微积分中极为重要的概念，它可以用来对被积函数与定义域范围内的某一点（通常作为积分上限）上的值作出定义，从而计算出函数在定义域内满足某种约束条件时的定量结果。它是科学家勒贝格早期研究的体现，这类积分具有可积性、同参数性等特征。

黎曼积分和勒贝格积分之间的联系非常密切，它们最主要的区别在于它们的定义方式。首先，它们各自的定义条件是不同的，前者要求函数及其导数连续，而后者则要求函数及其定义域范围内某一点上的值作出定义。其次，在实际计算上，勒贝格积分更加困难一些，因为在函数的定义域范围内的某一点上的值的定义需要更多的计算才能得出，而黎曼积分则只要求函数及其导数的连续性，因此，计算上较为简单。

它们之间的联系也非常密切，首先，黎曼积分也可以用于计算勒贝格积分，它们都可以把复杂的积分分解为一系列更简单的积分

从而求得最终结果；其次，黎曼积分和勒贝格积分之间也存在多种比较关系，比如黎曼积分是微分方程的特殊形式，勒贝格积分也可用于定义解决特殊的积分问题。

总的来看，黎曼积分和勒贝格积分都是微积分中非常重要的概念，它们之间存在着一定的联系，而且在计算上也相互交互。正是因为它们之间的联系，使得它们在实际计算中经常运用到一起，这样就可以更好地求解复杂的积分问题。