常微分方程 二阶线性微分方程习题课
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常微分方程二阶线性微分方程习题课
7
二阶线性微分方程
例7 求微分方程 yy y2 y2 ln y 的通解.
解： y
0,
y
yy y2
y2
ln
y,
y
ln yx
y ,方程改写为： y
ln y
ln y,
令 z ln y z z 0，二阶常系数齐次线性方程
特征方程 2 1 0， 特征根 1.
通解 z C1e x C2e x ln y C1e x C2e x .
(3n 1)!
y( x)
x
x4
x7
x3n2
4! 7!
(3n 2)!
20
二阶线性微分方程
解 (2) 相应的齐次微分方程
y y y ex y(0) 1，y(0) 0
y y y 0, 特征方程 2 1 0
特征根
1,2
1 2
3 i, 2
非齐次方程的特解： y Ae x
将y, y, y 代入方程 A 1 ,
特征根的情况
通解的表达式
实根 1 2
实根 1 2
复根 1，2 i
y C1e1x C2e2 x y (C1 C2 x)e1x y e x (C1 cos x C2 sin x)
2
二阶线性微分方程
例2 求方程 y 4 y 4 y 0 的系数线性非齐次方程
f ( x) 2e x . 1.
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2 3 2 0,
特征根 1 1，2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x
14
二线性微分方程
例10 设函数 y y( x)满足微分方程 y 3 y 2 y 2e x ,
例6 求 y(5) y(4) 2 y 2 y y y 0 的通解. 解 特征方程 5 4 2 3 2 2 1 0
二阶线性微分方程
例7 求微分方程 yy y2 y2 ln y 的通解.
解： y
0,
y
yy y2
y2
ln
y,
y
ln yx
y ,方程改写为： y
ln y
ln y,
令 z ln y z z 0，二阶常系数齐次线性方程
特征方程 2 1 0， 特征根 1.
通解 z C1e x C2e x ln y C1e x C2e x .
(3n 1)!
y( x)
x
x4
x7
x3n2
4! 7!
(3n 2)!
20
二阶线性微分方程
解 (2) 相应的齐次微分方程
y y y ex y(0) 1，y(0) 0
y y y 0, 特征方程 2 1 0
特征根
1,2
1 2
3 i, 2
非齐次方程的特解： y Ae x
将y, y, y 代入方程 A 1 ,
特征根的情况
通解的表达式
实根 1 2
实根 1 2
复根 1，2 i
y C1e1x C2e2 x y (C1 C2 x)e1x y e x (C1 cos x C2 sin x)
2
二阶线性微分方程
例2 求方程 y 4 y 4 y 0 的系数线性非齐次方程
f ( x) 2e x . 1.
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2 3 2 0,
特征根 1 1，2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x
14
二线性微分方程
例10 设函数 y y( x)满足微分方程 y 3 y 2 y 2e x ,
例6 求 y(5) y(4) 2 y 2 y y y 0 的通解. 解 特征方程 5 4 2 3 2 2 1 0
第8章 常微分方程—8-8(习题课)
习题5
求解
y a y 2 0 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令 则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C2 . 再解 dx 1 ax
y y x,
xπ 2
y 4 y 0 , x π 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ满足条件
处连续且可微的解. 例4 设函数 数, 且 内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
dp f ( x, p ) dx
2. 二阶线性微分方程的解法
• 常系数情形 • 欧拉方程
齐次
非齐次
代数法
x 2 y p x y q y f ( x) d t 令 x e ,D dt t y D( D 1) pD q f (e )
例3 求微分方程
利用 y x 0 0, y x 0 0, 得
处的衔接条件可知,
解满足
y 4 y 0
其通解:
y C1 sin 2 x C2 cos 2 x
) cos 2 x, x y 1 sin 2 x ( 1 2 2 2
定解问题的解: 故所求解为
y 1 ) cos 2 x , sin 2 x ( 1 2 2
高等数学A
第8章 常微分方程
习 题 课
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
微分方程习题课
§4.4.2二阶常系数线性微分方程复习题
1
3 7
9
.
故原方程的特解为 y
1x 7 39
。
例 2．求方程 y 4y e2x 的通解。
解：∵特征方程为r 2 4 0 ，r1 2, r2 2 ，
∴对应齐次方程的通解为 Y C1e2x C2e2x 。
∵ f (x) e2x ，属f (x) Pm (x)eax 型（m 0, a 2 ），
∴设特解y ex (Ccos2x Dsin 2x) ， 则有
(y) ex[(C 2D)cos2x (D 2C)sin 2x] ，
(y ) ex [(4D 3C) cos 2x (4C 3D) sin 2x] ，
代入原方程有 (10D C) cos 2x (D 10C) sin 2x cos 2x ，
2 2i
2 2i
P(x)e(aib)x P(x)e(aib)x
f (x)P(x)e(aib)x P(x)e(aib)x ,
其中 P(x) Pm Pn Pm Pn i ，P(x) Pm Pn Pm Pn i ，
2 2i 2 2
2 2i 2 2
是互成共轭的L 次 多项式,而L max{m, n} 。
aQ(x) (2aa b)Q(x) (aa2 ba c)Q(x) Pm (x) ④
（3）当aa2 ba c 0 且2aa b 0 时，即a 是方程 的二重特征根时，④式成为
aQ(x) Pm (x)
Q(x) 应为m 次多项式， Q(x) 应为m 2 次多项式。 故可设 Q(x) x 2Qm (x) ，
而 a 2 是特征根，
∴设 y Axe 2x ，代入原方程解得A 1 ， 4
故原方程的通解为
y
Y
y
C1e 2 x
二阶微分方程习题课市公开课一等奖市赛课金奖课件
原方程相应旳齐次方程为 y 3y 2 y 0 ，其通解为 Y C1ex C2e2x
因为λ＝1是特征方程 r2－3r＋2＝0旳单根, 所以设原方程旳一种 特解为 y* = axex , 代入方程中, 求得 a＝－2, 故原方程旳通解为
y(x) C1ex C2e2x 2xex
其次拟定初始条件，由所给条件知，在点(0,1)处所求曲线与已知
(a
1 1) 2
ex
当a＝－1时, 特征方程为λ2－2λ＋1＝0, λ ＝1是二重特征
根, 所以特解
y x2aex ax2ex
即
y ax2ex 将 y, y, y 代入原方程，比较同类项系数，得 a 1 ，故特解为
2 y 1 x2ex
2
4b2 0
0 常数项
对应
x项 x2项
2c 1
e 2 x项
由上述方程组解得
b0
2, b1
4, b2
3, C
1 2
于是求得一种特解为 y 2x2 4x 3 1 x2e2x 2
故原微分方程旳通解为
yY y
e2x
(C1
C2 x
1 2
x2
)
2x2
4x
3
例3 求常系数齐次线性方程 y y 2 y 0; y(0) 0, y(0) 3
。且0及±2i均不是特征方程旳根；2是特征方程旳二重根, 故设特解
为
并求出
y (b0 x2 b1x b2 ) Cx2e2x
y 2b0 x b1 2Cxe2x 2Cx2e2x
y 2b0 2Ce2x 8Cxe2x 4Cx2e2x
代入原方程中, 比较等式两端同类项系数, 则有
2b0 4b1 4b80b0 8 4b1
因为λ＝1是特征方程 r2－3r＋2＝0旳单根, 所以设原方程旳一种 特解为 y* = axex , 代入方程中, 求得 a＝－2, 故原方程旳通解为
y(x) C1ex C2e2x 2xex
其次拟定初始条件，由所给条件知，在点(0,1)处所求曲线与已知
(a
1 1) 2
ex
当a＝－1时, 特征方程为λ2－2λ＋1＝0, λ ＝1是二重特征
根, 所以特解
y x2aex ax2ex
即
y ax2ex 将 y, y, y 代入原方程，比较同类项系数，得 a 1 ，故特解为
2 y 1 x2ex
2
4b2 0
0 常数项
对应
x项 x2项
2c 1
e 2 x项
由上述方程组解得
b0
2, b1
4, b2
3, C
1 2
于是求得一种特解为 y 2x2 4x 3 1 x2e2x 2
故原微分方程旳通解为
yY y
e2x
(C1
C2 x
1 2
x2
)
2x2
4x
3
例3 求常系数齐次线性方程 y y 2 y 0; y(0) 0, y(0) 3
。且0及±2i均不是特征方程旳根；2是特征方程旳二重根, 故设特解
为
并求出
y (b0 x2 b1x b2 ) Cx2e2x
y 2b0 x b1 2Cxe2x 2Cx2e2x
y 2b0 2Ce2x 8Cxe2x 4Cx2e2x
代入原方程中, 比较等式两端同类项系数, 则有
2b0 4b1 4b80b0 8 4b1
第七章 常微分方程习题课
7
x3
2
Cx3 .
7
20
例3 求 dy dx
x
y y2 cos
的通解 y
解：将原方程写成
dx 1 x y cos y dy y
x
e
1 y
dy
(
y cos
y
)e
1 y
dy
dy
C
y
(
y
cos
y)
1 y
dy
C
y(C sin y)
21
例4
求通解
2x
y2 3x2
dx
dy 0.
y3
y4
3
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解法 作变量代换 u y x
4
(3) 可化为齐次的方程
形如 dy f ( ax by c )
通解：y Y y*
求特解的方法 待定系数法
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根
设特解 y* xkexQm (x) k 1 是单根 ,
2 是重根
15
(2)
f
(
x)
ex
[
Pl
(1)
(
x)
cos
x
P(2) n
(
x)
sin
x]
型
设特解
y*
xkex[Rm(1) (x) cosx
由
2 解得
4b 0，
a 1，
8 b 0，
《常微分方程》全套课件(完整版)
捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结 果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规 律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自 然规律的一种最为自然的数学语言.
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
微分方程课后习题答案
微分方程课后习题答案微分方程是数学中的重要分支，它研究的是描述自然现象中变化规律的方程。
在学习微分方程的过程中，课后习题是巩固知识、提高技能的重要途径。
本文将为大家提供一些微分方程课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握微分方程的知识。
1. 一阶线性微分方程题目：求解微分方程 dy/dx + y = 2x解答：这是一个一阶线性微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
首先，将方程改写为 dy/dx = 2x - y设 y = u(x) * v(x)，其中 u(x) 是未知函数，v(x) 是待定函数。
将 y = u(x) * v(x) 带入方程，得到 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) = 2x - u(x) * v(x)整理得 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) - u(x) * v(x) = 2x根据乘积法则，有 (u(x) * v(x))' = 2x对上式两边同时积分，得到 u(x) * v(x) = x^2 + C，其中 C 是常数。
然后，我们需要求解 u(x) 和 v(x)。
由于 v(x) 是待定函数，我们可以选择 v(x) = e^(-x)，这样 v'(x) = -e^(-x)。
将 v(x) = e^(-x) 带入 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) - u(x) * v(x) = 2x，得到 u'(x) * e^(-x) = 2x对上式两边同时积分，得到 u(x) * e^(-x) = x^2 + C将 u(x) * e^(-x) = x^2 + C 代入 y = u(x) * v(x)，得到 y = (x^2 + C) * e^x所以，原微分方程的通解为 y = (x^2 + C) * e^x，其中 C 是常数。
2. 二阶线性常系数齐次微分方程题目：求解微分方程 d^2y/dx^2 + 2dy/dx + 2y = 0解答：这是一个二阶线性常系数齐次微分方程，我们可以使用特征方程法来求解。
高等数学 第十二章 常微分方程 习题课
(5)式n的 个根 (3)之 对通 应 n项 解 : 的
1 4x41 2x2y21 4y4
(0,0) (x,0)
1 4x41 2x2y21 4y4c 为原方程的隐式通解.
例 5. (x3x2y)dx(x2yy3)dy0
又.解dy dx
x3xy2 x2yy3
1
y x
y2
x2 y3 x3
齐次方程
设 u x y,则 y x u ,d d x y u x d d u x .
P y(xys(xiyyn ) syi(y x n )2 coy)s
Q x
例 6. dy3(x1)2(y1)2 dx 2(x1)(y1)
解 .令 u x 1 ,v y 1 ,
则dyd(v1) d v dx d(u1) d u
dv 3u2 v2 du 2uv
3
2
v u v u
x
du dx
1 cosu
,
cousdudxx, xcesinxy .
例 3.(cx o )d dx s yysixn 1 解 . d dx y(tax)n ysexc 一阶线性方程
ye ta xd nx se xe c ta xd nd x x c
e lc n x o ss x e e lc c n x d o c s x
uxd du x1 u u u2 3, xd d u x 1 2 u u 2 u 3 u 4 1 u u 2, 1uduu2 dxx, 1 2ln 1u (2) ln xln c,
ln 1 u (2 ) 2 ln x 2 lc n ,
x2(1u2)2c, x2y2c2.
例 5 .( x 3 x 2 ) d y ( x 2 y y 3 ) d 0 y 事 ,x ( x 实 2 y 2 ) d 上 y x ( x 2 y 2 ) d 0 y
1 4x41 2x2y21 4y4
(0,0) (x,0)
1 4x41 2x2y21 4y4c 为原方程的隐式通解.
例 5. (x3x2y)dx(x2yy3)dy0
又.解dy dx
x3xy2 x2yy3
1
y x
y2
x2 y3 x3
齐次方程
设 u x y,则 y x u ,d d x y u x d d u x .
P y(xys(xiyyn ) syi(y x n )2 coy)s
Q x
例 6. dy3(x1)2(y1)2 dx 2(x1)(y1)
解 .令 u x 1 ,v y 1 ,
则dyd(v1) d v dx d(u1) d u
dv 3u2 v2 du 2uv
3
2
v u v u
x
du dx
1 cosu
,
cousdudxx, xcesinxy .
例 3.(cx o )d dx s yysixn 1 解 . d dx y(tax)n ysexc 一阶线性方程
ye ta xd nx se xe c ta xd nd x x c
e lc n x o ss x e e lc c n x d o c s x
uxd du x1 u u u2 3, xd d u x 1 2 u u 2 u 3 u 4 1 u u 2, 1uduu2 dxx, 1 2ln 1u (2) ln xln c,
ln 1 u (2 ) 2 ln x 2 lc n ,
x2(1u2)2c, x2y2c2.
例 5 .( x 3 x 2 ) d y ( x 2 y y 3 ) d 0 y 事 ,x ( x 实 2 y 2 ) d 上 y x ( x 2 y 2 ) d 0 y
常微分方程课后习题答案
常微分方程课后习题答案常微分方程课后习题答案在学习常微分方程的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要环节。
通过解答习题，我们可以更好地理解和应用所学的概念和方法。
下面是一些常见的常微分方程习题及其答案，供大家参考。
一、一阶常微分方程1. 求解方程：dy/dx = 2x。
解：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解方程：dy/dx = x^2 - 1。
解：对方程两边同时积分，得到y = (1/3)x^3 - x + C，其中C为常数。
3. 求解方程：dy/dx = 3x^2 + 2。
解：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + 2x + C，其中C为常数。
二、二阶常微分方程1. 求解方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0。
解：首先求解特征方程：r^2 + 4r + 4 = 0，解得r = -2。
因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中C1和C2为常数。
2. 求解方程：d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = x^2。
解：首先求解特征方程：r^2 + 2r + 1 = 0，解得r = -1。
因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-x) + (1/6)x^2 - (1/2)x + (1/2)，其中C1和C2为常数。
3. 求解方程：d^2y/dx^2 + 3dy/dx + 2y = e^(-x)。
解：首先求解特征方程：r^2 + 3r + 2 = 0，解得r = -1和r = -2。
因此，方程的通解为y = (C1e^(-x) + C2e^(-2x)) + (1/3)e^(-x)，其中C1和C2为常数。
三、应用题1. 一个物体在空气中的速度满足以下方程：dv/dt = -9.8 - 0.1v，其中v为速度，t为时间。
求物体的速度随时间的变化情况。
解：这是一个一阶线性常微分方程。
将方程改写为dv/(9.8 + 0.1v) = -dt，再两边同时积分，得到ln|9.8 + 0.1v| = -t + C，其中C为常数。
常微分方程二阶线性微分方程习题课
y(0)4C14，
y(4C2x)e43x， 3C243C2xe43x 3x
y(0)2 C 21. 特解 y(4x)e4 . 6
二阶线性微分方程
例5 求方程 y(4)2y5y0的通解.
解 特征方程 423520, 2(225)0.
设 y * x k [ P l ( x ) cx o Q l ( x s ) sx i ] e x n
10
二阶线性微分方程
例8 求方 y2y 程 3ye 3x的.通解
解 f(x)e3x. 3.
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2230
特征根 1 3 ， 21
特征根 120和 3,412i.
所求通解:
yC 1C 2x e x (C 3 c2 o x s C 4 s2 ix n )
7
二阶线性微分方程
例6 求 y (5 )y (4 ) 2 y 2 y y y 0 的.通
解 特征方程 5 4 23 22 1 0
yx(1x1)e2x
2
原方程通解： yYy
C 1exC 2e2xx(12x1)e2x 14
Байду номын сангаас阶线性微分方程
例10 设函 yy(x 数 )满足微 y3y 分 2y 方 2ex,程
其图(形 0,1)处 在的 点切y线 x2与 x1 曲 在线 该点处的切线重合, 求函数y的解析表达. 式
17
二阶线性微分方程
微分方程 y 3 y 2 y 3x 2ex 的特解 y (D).
A.(aexb)ex C.(axb)cex
B.(aexb)xex D.(axb)cxxe
解 对应的齐次微分方程 y 3 y 2 y 0
二阶微分方程应用习题课
t
LE Q
∼
R2
Em
2 L2
(R
sin
t
L cos
t)
解的意义: 令 arctan L ,则
R
i(t)
LEm R2 2L2
e
Rt L
Em sin( t ) R2 2L2
暂态电流
稳态电流
练习题 设有一个电阻 R , 自感L,电容C 和电源E串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,
d2 dt
x
2
2n
dx dt
k
2x
h
sin
pt
2）在无外力作用下做自由运动, 设t = 0 时物体的位置
为
初始
求物体的运动规律
解 由1） 知, 位移满足的定解问题为
d2x dt2
xt
2n 0
dx dt x0 ,
k2 dx dt
x
t0
0
v0
O
① 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )
x
方程:
B
)
ln
m
g B k m g B
v
例3 有一电路如图所示, 其中电源
R
电阻 R 和电
感 L 都是常量, 求电流强度
LE Q
解 列方程 . 由回路电压定律:
∼
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0.
已知经过电阻 R 的电压降为R i ;
经过 L的电压降为
L di , dt
因此有
E L di R i 0 , 即 di R i Em sin t
非齐次特解形式: x a sin p t b cos pt
x
代入④可得:
高等数学课件微分方程D12习题课(2)
2019/2/7
例2.
且满足方程
求 f ( x) .
f ( x) sin x
x ( x t ) f (t ) d t 0 x x f (t ) d t t 0 0
提示: f ( x) sin x x
f (t ) d t , 则
f ( x) cos x 0 f (t )d t x f ( x) x f ( x) f ( x) sin x f ( x)
思考 若问题改为求解 y
则求解过程中得
2019/2/7 高等数学课件
x 0
0,
问开方时正负号如何确定?
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P327 题8 设函数
内满足拉普拉斯方程 二阶可导, 且
在r>0
u x2
2
u
2
y 2 z 2 试将方程化为以 r 为自变
u
2
解初值问题: 则原方程化为
通解: 利用初始条件得特解:
2019/2/7
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y y x , x 2 例1. 求微分方程 y 4 y 0 , x 2
满足条件
处连续且可微的解.
提示:
解满足
特征根 : r1,2 i , 设特解 : y Ax B, 代入方程定 A, B, 得
第十二章 习题课 (二) 二阶微分方程的 解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法
二、微分方程的应用
2019/2/7
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一、两类二阶微分方程的解法
D12习题课(2)-PPT精品文档31页
yyx,
y4y0,
x 2 x 2
满足条件
yx00, yx00,在x2 处连续且可微的解.
提示: 当x2时,解满足 特征根 : r1,2i,
yyx yx00, y x00
设特解 : yAxB,代入方程定 A, B, 得 y x
数, 且 y 0 ,xx(y)是 yy(x)的,函数
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程
dd2yx2(ysinx)(ddxy)30
变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)0,
y(0)
3 2
的解.
(03考研)
解:
(1)
由反函数的导数公式知
不考虑摩擦力时的数学模型为
o
20
d d
2x t2
2(x1) 0g
xt012,
dx dt
t0
0
x
摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为 x
20
d2x d t2
2(x1) 0g1g
xt012,
dx 0 d t t0
此时链条滑下来 所需时间为
t
10ln194 22(s)
故特征方程为 (r 1 )r( 2 ) 0 ,即 r23r20 因此微分方程为 y3 y2y0
P327 题3 求下列微分方程的通解
(6)yyy210, ( 7 )y 2 y 5 y s2 i x .n
提示: (6) 令 yp(y),则方程变为
g
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练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测
要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,
新编文档-常微分方程二阶线性微分方程习题课-精品文档
将 y,y,y 代入方程,
A 1 , y1xe3x
4
4
原方程通解： yYy
C 1e3xC 2ex
1 4
xe3
x
12
二阶线性微分方程
例9 求方 y3y 程 2yxe2x的通 . 解
解 f(x)xe2x，2
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2320
特征根 11 ， 22
对应齐次方程通解 YC 1exC 2e2x
(2) 求特征根，1,2
(3) 根据特征根的不同情况，得到相应的通解。
特征根的情况
通解的表达式
实根 12
y C 1 e 1 x C 2 e 2 x
实根 12
复根 1， 2i
y (C 1 C 2 x )e1 x
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
3
二阶线性微分方程
例2 求方 y4y程 4y0的.通解
解 特征方程 2440
特征根 2（二重根）
通解： y(C 1C 2方 y2y程 5y0的.通解
解 特征方程 2250
特征根 1,212i,
通解： y e x ( C 1 c2 o x C s 2 s2 ix ) n
5
二阶线性微分方程
例4
解初值问题
16y24y9y0, yx04, yx02.
的解, 求此方程的通解.
非齐次线性方程的两个特解之差
是对应 齐次方程的特解.
解
y2y1x2,y3y2ex，
x e
2 x
常数
x2,ex 线性无关.
齐次线性方程的通解：YC1x2C2ex，
非齐次方程的通解： yYy.
2
高等数学课件微分方程D12习题课2
习题课 (二)
第十二章
二阶微分方程的
解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法 二、微分方程的应用
2019/11/19
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一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
d2 y dx2
f
(x)
逐次积分求解
d2y dx2
f
(x,dy) dx
2019/11/19
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P327 题4(2) 求解
yay20
yx00,
y x01
提示: 令 yp(x),则方程变为 d p a p 2
dx
积分得
1 p
ax C1,
利用
px 0 yx 0 1得C11
再解
(x)ex(x)
(x)(x)ex
解初值问题: (0)0, (0)1
答案: (x)1ex(2x1)1ex
4
4
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例3. 设函数 yy(x)在 (, ) 内具有连续二阶导
数, 且 y 0 ,xx(y)是 yy(x)的,函数
x 2 y pxy qy f(x)
令xet ,D d dt
D (D 1 ) p D q y f (et)
练习题: P327 题 2 ;
3 (6) , (7) ;
4(2)； 8
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解答提示
P327 题2 求以 yC 1exC 2e2x为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 r11,r22,
第十二章
二阶微分方程的
解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法 二、微分方程的应用
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一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
d2 y dx2
f
(x)
逐次积分求解
d2y dx2
f
(x,dy) dx
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P327 题4(2) 求解
yay20
yx00,
y x01
提示: 令 yp(x),则方程变为 d p a p 2
dx
积分得
1 p
ax C1,
利用
px 0 yx 0 1得C11
再解
(x)ex(x)
(x)(x)ex
解初值问题: (0)0, (0)1
答案: (x)1ex(2x1)1ex
4
4
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例3. 设函数 yy(x)在 (, ) 内具有连续二阶导
数, 且 y 0 ,xx(y)是 yy(x)的,函数
x 2 y pxy qy f(x)
令xet ,D d dt
D (D 1 ) p D q y f (et)
练习题: P327 题 2 ;
3 (6) , (7) ;
4(2)； 8
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解答提示
P327 题2 求以 yC 1exC 2e2x为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 r11,r22,
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1, 2 1 2 i ,
y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
5
二阶线性微分方程
16 y 24 y 9 y 0, 例4 解初值问题 y x 0 4, y x 0 2.
解 特征方程 16 2 24 9 0 3 (二重根) 特征根 4 3 x 方程的通解： y (C1 C 2 x ) e 4
2( 2 2 5) 0.
特征根 所求通解:
y C1 C2 x e x (C3 cos 2 x C4 sin 2 x )
1 2 0 和 3,4 1 2i .
7
二阶线性微分方程
求 y( 5) y( 4) 2 y 2 y y y 0 的通解. 例6
C1 1 y(0) 1，C1 2C2 1 C 2 0
y(0) 1, C1 C 2 1
x
y (1 2 x ) e
16
二阶线性微分方程
y ex 1的一个 特解。 ( B )是微分方程 y
A. ae b
x
B. axe b
其图形在点(0,1)处的切线与曲线 y x 2 x 1在
该点处的切线重合, 求函数y的解析表达式.
(2) 求非齐次方程的特解
1 1，2 2，
1 是单根.
设 y x A e x A 2
原方程通解： y C1e x C2e 2 x 2 xe x (3) 求原方程的特解
2 2
0 0 0 0
x (0) py (0) qy(0) e30 1 y(0) 1 y
19
二阶线性微分方程
设f ( x ) sin x
x ( x t ) f ( t )dt , 0
积分方程
其中f为连续函数 求f ( x ). , sin x x ( x t ) f ( t )dt 解 [ f ( x )] [ ]x 0
解 特征方程
5 4 2 3 2 2 1 0
( 1) ( 2 1)2 0
（单根） , 特征根 1 1
2, 3 i，共轭复根（二重） ,
所求通解:
y C1e x (C 2 C 3 x ) cos x (C4 C5 x ) sin x .
ln y ,
2 1 0， 特征根 1. 特征方程
通解 z C1e x C2e x ln y C1e x C2e x . dp 或: y f ( y , y )型. 设 y p, y p . dy
9
二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程
y p y q y Pm ( x )e x 设 y x k Qm ( x )e x
0 , k 1 2
不是根
是单根 是重根
py q y [ Am ( x ) cos x Bn ( x ) sin x ]ex y 设 y* x k [ Pl ( x ) cos x Ql ( x ) sin x ]e x
A. (ae b)e
x x
x
B. (ae b) xe
x
x
C . (ax b) ce
2
D. (ax b) cxe x
解 对应的齐次微分方程 y 3 y 2 y 0 特征方程 3 2 0 特征根 1, 2
y 3 y 2 y 3 x y 3 y 2 y 2ex
(3) 根据特征根的不同情况，得到相应的通解。 特征根的情况 实根 1 2 实根 1 2 复根 1， i 2 通解的表达式
y C1e1 x C2e2 x
y e x (C1 cos x C2 sin x )
3
y (C1 C2 x ) e
1 x
二阶线性微分方程
例2 求方程 y 4 y 4 y 0 的通解. 解 特征方程 2 4 4 0
特征根
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ通解：
2 （二重根）
y (C1 C 2 x )e 2 x
4
二阶线性微分方程
例3 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程 2 2 5 0 特征根 通解：
x
C . ae bx
x
D. axe bx
x
提示 根椐线性微分方程的性质,
y y e x， y1 xae x
y y 1，
y2 b
两个特解的和就是原方程的特解.
17
二阶线性微分方程
3 y 2 y 3 x 2ex 的特解 y (D ). 微分方程 y
8
二阶线性微分方程
y 2 y 2 ln y 的通解. 例7 求微分方程 yy
解： y 0,
y 2 yy
2
y y y y , 方程改写为： ln y ln y , ln y x y 令 z ln y z z 0，二阶常系数齐次线性方程
x x f ( x ) cos x [ x 0 f ( t )dt 0 t f ( t ) dt ]x x cos x [ 0 f ( t )dt x f ( x ) x f ( x )] x
cos x f ( t )dt
0
积分方程
两端再对x求导, f ( x ) sin x f ( x )
* * * * L( y1 ) f ( x ), L( y2 ) f ( x ) L( y1 y1 ) 0.
非齐次方程通解：y Y y . 定理4 定理5
* L[ y1 ] f1 ( x ),
* L[ y2 ] f 2 ( x )
1
* * L[ y1 y2 ] f1 ( x ) f 2 ( x ).
2 3 2 0
1 1，2 2
Y C1e x C2e 2 x
对应齐次方程通解
(2) 求非齐次方程的特解
2 是单根， 设 y*
x ( Ax B ) e 2 x
13
二阶线性微分方程
例9 求方程 y 3 y 2 y x e 2 x 的通解.
y(0) 4 C1 4，
y (4 C 2
3 x x)e 4
3 C2 3 C2 ，
4
3 4x x e
y(0) 2 C 2 1.
特解 y (4
3 x x)e4 .
6
二阶线性微分方程
求方程 y(4) 2 y 5 y 0 的通解. 例5 解 特征方程 4 2 3 5 2 0,
1 A , 4
1 3 x y xe 4
原方程通解： y Y y
C1e
3 x
C 2e
x 1 xe 3 x
4
12
二阶线性微分方程
例9 求方程 y 3 y 2 y x e 2 x 的通解.
解 f ( x ) x e 2 x， 2 (1) 求对应齐次方程的通解 特征方程 特征根
x , e 线性无关.
2 x
x2 e
x
常数
齐次线性方程的通解： C1 x 2 C2e x， Y 非齐次方程的通解：
y Y y .
2
二阶线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程 y p y q y 0
2 p q 0 (1) 相应的特征方程, (2) 求特征根，1 , 2
y ax b
y2 cxe x
18
1
二高阶线性微分方程
设 y y ( x )是二阶常系数微分方程 y py qy e3 x 满足初始条件 y(0) y (0) 0
ln(1 x 2 ) 的特解, 则当x 0时, 函数 的极限 y( x ) (A) 不存在. (B) 等于1. (C) 等于2. (D) 等于3. ln(1 x ) x 2x 解 lim lim lim x 0 x 0 y( x ) x 0 y ( x ) y( x ) 2 2 lim x 0 y( x )
解 二阶常系数线性非齐次方程
f ( x ) 2e .
x
1.
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2 3 2 0,
特征根
1 1，2 2，
15
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e 2 x
二线性微分方程
3 y 2 y 2e x , 例10 设函数 y y( x )满足微分方程 y
二阶线性微分方程
例1 已知 y1 3, y2 3 x , y3 3 x e
2 2
x
( x 2 2 x ) y ( x 2 2) y ( 2 x 2) y 6 x 6 都是方程:
的解, 求此方程的通解. 非齐次线性方程的两个特解之差 是对应 齐次方程的特解. 解 y2 y1 x 2 , y3 y2 e x，
C2e
x
( 3是单根)
11
设y x A e 3 x
二阶线性微分方程
例8
求方程 y 2 y 3 y e 3 x 的通解.
对应齐次方程通解 Y C1e 3 x C2e x
设y Axe 3 x
将y, y, y 代入方程,
10
二阶线性微分方程