对数函数单调区间和值域
对数函数
C）
y
y = logb x y = log a x
O
A.0 < a < b < 1 < c < d
B .0 < b < a < 1 < d < c
x y = logd x
y = logc x
C .0 < d < c < 1 < b < a
D .0 < a < b < 1 < d < c
比较下列各组数中两个值的大小： 例2比较下列各组数中两个值的大小： 比较下列各组数中两个值的大小
o
1
7
x
∴ log 2 7 ＞ log 5 7
（5）log 6 7 与 log 7 6 ） 解：∵ log 67 ＞log 66= 1 且log 76＜log 77= 1 ＜ ∴ log 6 7 ＞ log 7 6 （6） log 3π 与 log 20.8 ） 解：∵ log 3π＞log 31= 0 ＞ 且 log 2 0 . 8 ＜ log 2 1 = 0 ∴ log 3 π ＞ log 2 0 . 8
(4) 0<x<1时, y>0; 时 x>1时, y<0 时
在 上是减函数 (5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数 上是增函数 (6) 非奇非偶 (6) 非奇非偶
的取值变化图象如何变化？有规律吗？ 的取值变化图象如何变化？有规律吗？
y 规律： 规律：在第一 2 x 象限内， 象限内，图象 1 按逆时针方向 1 1 42 越靠近y轴， 0 越靠近 轴 1 2 3 4 底数越小！ 底数越小！ -1 -2
注: （5）（ ）是利用对数函数的增减性比较两个对 ）（6） ）（ 数的大小. 当不能直接进行比较时,可在两个对数中间 数的大小 当不能直接进行比较时 可在两个对数中间 个已知数(如 或 等 间接比较上述两个对数的 插入一 个已知数 如1或0等),间接比较上述两个对数的 大小. 大小
对数函数的定义与性质
对数函数的定义与性质1. 定义对数函数是指可以将正实数映射到实数集上的函数。
常用的对数函数有自然对数函数和常用对数函数。
自然对数函数以数学常数e为底的对数函数，通常以ln(x)表示，其中x为正实数。
常用对数函数以10为底的对数函数，通常以log(x)表示，其中x为正实数。
2. 性质2.1 对数函数的定义域和值域自然对数函数ln(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
常用对数函数log(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
2.2 对数函数的性质（1）对数函数的图像：自然对数函数ln(x)和常用对数函数log(x)的图像都是单调递增的曲线。
（2）基本性质：对数函数具有以下基本性质：•ln(1) = 0，即自然对数函数ln(x)在x=1处的函数值为0。
•ln(e) = 1，即自然对数函数ln(x)在x=e处的函数值为1。
•log(1) = 0，即常用对数函数log(x)在x=1处的函数值为0。
•log(10) = 1，即常用对数函数log(x)在x=10处的函数值为1。
（3）对数函数的性质：对数函数具有以下性质：•ln(x y) = ln(x) + ln(y)，即自然对数函数ln(x y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的和。
•ln(x/y) = ln(x) - ln(y)，即自然对数函数ln(x/y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的差。
•ln(x^n) = n * ln(x)，即自然对数函数ln(x^n)等于n乘以自然对数函数ln(x)。
•log(x y) = log(x) + log(y)，即常用对数函数log(x y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的和。
•log(x/y) = log(x) - log(y)，即常用对数函数log(x/y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的差。
•log(x^n) = n * log(x)，即常用对数函数log(x^n)等于n乘以常用对数函数log(x)。
对数函数单调区间和值域
y t 4t 3 2 (t 2) 1，t [0,2], y [1,3],
2
函数的值域为[1,3]。
小结：
题型一、形如y log a f ( x)的单调性。 (1)求定义域。 (2)同增异减的原理。
题型二、形如y loga f ( x)的值域。 换元法：令t f ( x) (注意元的范围)。
解: y=log 2t在(0, )上单调递增，
a 0
变式训练
1、求函数y log0.5 ( x 4 x 3)的单调
2
区间。
2、函数y log 2 ( x ax 2)在(,1)上
2
单调递减，求a的取值范围。
1、求函数y log 0.5 ( x 4 x 3)的
增函数
减函数
练一练
1、比较大小（用“>”“<”或“=”）号填空。
（1） log0.7 1.6 （2）
＞
log0.7 1.8
同底直接利用单 调性进行比较
log4 1
＝
log0.4 1
log0.9 0.8
不同底，找中间 桥梁
（3） log3 0.9
＜
2、函数 y
1 A、 ) [0, 3
log 1 (1 3 x) 的定义域是（ A ）
3
1 1 D、 , ) ( ( B、 , ) C、 , 0] ( 3 3
新授课1、求对数型函数的单调区间题型
例 、函数y log2 ( x 4x 3)的单调区间。 1
2
解：令y log2 u, u 0, u x 4x 3，
2
u x2 4x 3 y
x x 2、求y log 2 log 2 , x [1, 4]的值域。 2 8
对数函数及其性质
在对金融风险进行评估时，对数函数也起着重要作用。例如 ，在计算投资组合的风险时，可以使用对数函数来简化计算 过程。
利用对数函数解决物理问题
声波传播
在物理学中，声波的传播距离与时间的关系可以使用对数函数来表示。在声 音传播过程中，声波的强度会逐渐减弱，而对数函数可以描述这种衰减现象 。
电路分析
VS
对数公式
loga(xy) = loga(x) + loga(y)， loga(x/y) = loga(x) - loga(y)，换底公式 ：logb(x) = logc(x) / logc(b)
对数函数的基本性质
定义域
x>0
值域
y∈R
函数图像
在直角坐标系中，以直线y = loga(x)为渐近线的双曲线
02
化学领域
物理领域
在物理领域中，对数函数被广泛应 用于声学、光学、电磁学等领域。
在化学中，对数函数被用于描述 化学反应速率与反应物浓度的关 系等。
04 生物学领域
在生物学中，对数函数被用于描述 生物种群增长等。
04
复合对数函数及其性质
复合对数函数的定义和公式
定义
$log_{a}(b\cdot c) = log_{a}(b) + log_{a}(c)$
换底公式的证明
设$x=\log_a(b)$，则$a^x=b$，将等式两边同时取以$c$为底的对数，有 $x\log_c(a)=\log_c(b)$，即$\log_c(b)/\log_c(a)=x=\log_a(b)$。
换底公式的基本应用
1 2
将不同底的对数化为同底的对数
利用换底公式，可以将不同底的对数化为同底 的对数，以便进行计算和比较。
对数函数的定义与性质
对数函数的定义与性质一、引言对数函数作为高等数学中的重要概念之一，具有广泛的应用。
本文将对对数函数的定义和性质进行详细的说明。
二、对数函数的定义对数函数是指满足某些特定条件的函数，它与指数函数是互为逆运算的关系。
对数函数的定义如下：对于任意正实数x和正实数a（a≠1），满足a^x=x的函数y=loga(x)称为以a为底的对数函数。
三、对数函数的性质1. 定义域与值域对数函数的定义域为正实数集(0, +∞)，值域为实数集(-∞, +∞)。
2. 单调性当底数a>1时，对数函数随着自变量的增大而增大；当0<a<1时，对数函数随着自变量的增大而减小。
3. 对数函数的图像对数函数的图像在底数a>1时，为增长趋向正无穷的曲线；在0<a<1时，为递减趋向于负无穷的曲线；而对于特殊的底数a=1，对数函数为常值函数y=0。
4. 对数函数的性质（1）对数函数满足对数的加法公式：loga(MN) = logaM + logaN。
（2）对数函数满足对数的减法公式：loga(M/N) = logaM - logaN。
（3）对数函数满足对数的幂公式：loga(M^p) = p*logaM。
（4）对数函数满足换底公式：logaM = logbM/logba。
（5）特别地，当底数为自然对数e时，称其为自然对数函数，记为ln(x)，其中ln(x)=logex。
四、对数函数的应用对数函数在实际问题中有着广泛的应用，以下列举几个例子：1. 财务学中，对数函数常用于复利计算和利率转换。
2. 物理学中，对数函数常用于描述指数衰减和增长的过程。
3. 统计学中，对数函数常用于处理大数据和缩小数据的范围。
4. 信息论中，对数函数常用于测量信息的度量。
五、总结对数函数是一种重要的数学函数，在数学和实际应用中都起着重要的作用。
通过本文的介绍，我们对对数函数的定义和性质进行了详细的阐述，希望读者能够对对数函数有更深入的理解和应用。
对数单调性、奇偶性
a>1 0<a<1
图
像
定义域 值域 定点 单调性 奇偶性
（0，+ ∞ ） R （1，0）
单调递增 非奇非偶
单调递减 非奇非偶
四、对数类型函数单调性的判断
2、求（ f x）＝log0.2 （2x－）的单区间。 1
说明：利用对数函数性质判断函数单调性时 ，首先要考察函数的定义域，再利用复合函 数单调性的判断方法来求单调区间。
1 x 1 x f ( x) f ( x) log 1 log 1 1 x 1 x 4 4 1 x 1 x log 1 0 log 1 1 4 4 1 x 1 x 所以,函数 y = f(x)是定义在 (1, 1) 上的奇函数.
2
2
五、奇偶性
1、判断下列函数的奇偶性： 2 (1) f ( x) log 1 1 4 1 x 解： 回忆：用定义判断函数奇偶性的步骤：
① 先求 f(x)定义域，看是否关于原点对称； • 判断 f(-x)= - f(x) 或 f(-x)= f(x)是否恒成立，得出结论.
1 x 先变形为 f ( x) log 1 定义域为 (1, 1) 4 1 x 1 x 奇函数 f ( x) logx 解： 变形为 f ( x) log 1 定义域为 (1, 1) 4 1 x 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么
lg x 1 x x 1 x
lg 1 0
所以,函数 y = g(x)是奇函数.
f ( x) 的单调性?
解： 定义域为 {x | x 3或 x 1} 令 u x2 4 x 3 ( x 2)2 1 在 (3, ) 上递增 在 (, 1)上递减 由于 y log 1 u 为减函数,有
对数函数求值域的方法
对数函数求值域的方法在数学中，对数（logarithm）函数是一类特殊的函数，用来把乘法问题转换成加法问题。
它有一个别名叫“对数关系”，指的是一个数是另一个数的多少次方。
它可以用来求 log N，即以 N 为底数的对数值。
此外，它还可以用来求值域，即在特定的区间内的值的范围。
一般来说，求值域的方法可以分两类：一类是给定对数函数的值，求对数函数的定义域；另一类是给定对数函数的定义域，求对数函数的值。
具体来说，求一个对数函数的值域，可以用下面四步简单的步骤来实现：第一步：设定一个想要求的值域x，它的区间为[a, b]（a < b）。
第二步：把x的定义域映射到定义域中x的取值，使得对数函数取值y在[a, b]之间。
第三步：求出x的定义域中x的取值集合。
第四步：将x的取值集合映射到值域[a, b]之间，即求出x的值域。
具体来说，假如给定一个值域x，它的区间为[a, b]，且已知原函数可以表示成y=f（x），那么根据上面的定义，对数函数可以表示成y=logf（x），因此，只要把x的定义域映射成适当的取值集合，便可以求出x的值域。
例如，已知f（x）=2^x，值域x的定义域为[0,3]，则可以将[0,3]映射到x的取值集合{0,1,2,3}；这四个取值都可以被2^x映射，因此，x的值域可以表示成[log2^0, log2^3]，即[0,3]。
这样，我们就可以求出x值域为[0,3]的对数函数求值域的方法了。
此外，还有另一种求值域的方法，即给定对数函数的定义域，求对数函数的值。
具体来说，假如给定一个定义域[a, b]，且已知函数可以表示成y=f（x），那么根据上面的定义，对数函数可以表示成y=logf（x），则可以求出定义域[a, b]之间的对数函数值。
例如，已知f（x）=2^x，定义域x的定义域为[1,4]，则可以将[1,4]映射到x的取值集合{1,2,3,4}；这四个取值都可以被2^x映射，因此，x的值域可以表示成[log2^1, log2^4]，即[1,4]。
对数与对数函数
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa 就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象Oxyy = l o g x a ><a <a111( ))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.（2005年春季北京，2）函数f （x ）=|log 2x |的图象是1 11111 1xxxxy y y yOO OOABC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.（2004年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f－1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.（2004年天津，5）若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.42 B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是yyO x yO x yABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B.答案：C9.（2004年湖南，理3）设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.（2004年春季上海）方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1Oxy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f（x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是 A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47.（2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.（2004年苏州市模拟题）已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169. 小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
对数函数的定义和性质
对数函数的定义和性质对数函数（logarithmic function）是数学中的一类函数，它作为指数函数（exponential function）的逆运算，广泛应用于代数、几何、微积分、概率论等学科中。
本文将介绍对数函数的定义和性质，以期为读者对这一重要的数学函数有更深入的理解。
一、对数函数的定义在介绍对数函数的定义之前，先给出指数函数的定义。
指数函数以某个正常数a为底数，自变量为x，形式为：y=a^x指数函数具有下列基本性质：1. 当a>1时，指数函数是一个增函数；当0<a<1时，指数函数是一个减函数。
2. 当a=1时，指数函数是常函数y=1。
3. 当x=0时，指数函数的值为1，即a^0=1。
对数函数的定义就是指数函数的逆函数，即对数函数y=loga(x)满足下列条件：1. a^y=x，其中a为某个正常数，称为对数函数的底数。
2. 当y=loga1(x)，则a1^y=x。
由此可见，对数函数与指数函数是密切相关的，它们之间互为逆运算。
我们通常使用自然对数（即底数为e，其中e≈2.71828）和常用对数（即底数为10）。
二、对数函数的性质1. 对数函数的定义域和值域对数函数y=loga(x)的定义域是正实数集合R+，即x>0。
对于不同的底数a，对数函数的值域不同。
例如，当底数为e时，自变量趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷大；当自变量趋近于正无穷大时，对数函数的值趋近于正无穷大。
而当底数为10时，对数函数的值域为实数集合R。
2. 对数函数的图像对数函数y=loga(x)的图像具有以下特点：当底数a>1时，对数函数是一个增函数，它的图像呈现出从左下向右上的单调上升曲线；当0<a<1时，对数函数是一个减函数，它的图像呈现出从左上向右下的单调下降曲线。
当a=1时，对数函数的图像是一条水平直线y=0。
3. 对数函数的导数和积分对数函数的导数表示为：(d/dx)loga(x)=1/(xlna)对数函数的导数是正比与自变量的倒数，增函数的导数始终是正的，减函数的导数始终是负的。
对数函数与指数函数的基本概念与性质
对数函数与指数函数的基本概念与性质一、对数函数的基本概念与性质对数函数是指数函数的逆运算，用来描述指数运算的反向过程。
对数函数的基本概念与性质如下：1. 对数的定义对于任意正数a（a>0）且a≠1，对数函数y=logₐx表示以a为底数，x为真数的对数，其中x是正数。
对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。
2. 对数的性质（1）对数的底数必须是正数且不等于1，即a>0且a≠1。
（2）对数的真数必须是正数，即x>0。
（3）对数函数的图像是一条曲线，称为对数曲线。
（4）对数函数的图像在x轴上有一个垂直渐近线，即x=0，对应于logₐ1=0。
（5）对数函数的图像在y轴上有一个水平渐近线，即y=0，对应于logₐa=1。
3. 对数函数的性质（1）对数函数的单调性：当0<a<1时，对数函数是递减的；当a>1时，对数函数是递增的。
（2）对数函数的奇偶性：当a>1时，对数函数是奇函数；当0<a<1时，对数函数是偶函数。
（3）对数函数的定义域：对数函数的定义域是正实数集，即x>0。
（4）对数函数的值域：对数函数的值域是实数集。
二、指数函数的基本概念与性质指数函数是以一个固定的正数为底数，自变量为指数的函数。
指数函数的基本概念与性质如下：1. 指数的定义指数函数y=aˣ表示以a为底数，x为指数的指数函数，其中a是正数且a≠1，x是实数。
指数函数的定义域是实数集，值域是正实数集。
2. 指数的性质（1）指数的底数必须是正数且不等于1，即a>0且a≠1。
（2）指数函数的图像是一条曲线，称为指数曲线。
（3）指数函数的图像在x轴上有一个水平渐近线，即y=0，对应于a⁰=1。
（4）指数函数的图像在y轴上有一个垂直渐近线，即x=0，对应于1ˣ=1。
3. 指数函数的性质（1）指数函数的单调性：当0<a<1时，指数函数是递减的；当a>1时，指数函数是递增的。
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解21---对数函数的概念(解析版)
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解21 对数函数的概念1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是_____________．温馨提示：(1)对数函数y＝log a x是由指数函数y＝a x反解后将x、y互换得到的．(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1.2．对数函数的图象及性质注意：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．3．当底数不同时对数函数图象的变化规律作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.答案：x (0，＋∞)题型一 对数函数的定义域和值域 1．函数2ln 2()||x f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠， 又()()()2222ln ()||ln x x x f x f x x x x---===---， 所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，C ； 又因为11()2ln 024f =<，故排除D.故选：B题型二 对数函数的图像问题2．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数x y a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C.题型三 对数函数的单调性3．函数()12log f x x =的单调递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．[)1,+∞D ．()0,∞+【答案】C【解析】由112211222log ,01log ,01()log log ,1log ,1x x x x f x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪===⎨⎨-≥⎪⎪≥⎩⎩，而对数函数12log y x=在()0,1上是减函数，2log y x =在[)1,+∞上是增函数，所以函数()f x 单调递增区间为[)1,+∞． 故选：C题型四 对数函数的最值及参数问题4．已知()()2ln 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则()()min min f x g x ≥.由于函数()()2ln 1f x x =+在区间[]0,3上为增函数，则()()min 00f x f ==，由于函数()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]1,2上为减函数，则()()min 124g x g m ==-，所以，104m -≤，解得14m ≥.故选：D.5．在b ＝log 3a －1(3－2a )中，实数a 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭∪23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】要使式子b ＝log 3a －1(3－2a )有意义， 则310,311,320,a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩解得1233a << 或 2332a <<.故选：B ．6．已知函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，3]B ．（1，3）C ．（0，1）D ．[3，+∞） 【答案】A【解析】由函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数， 可得函数6t ax =-在（0，2）上大于零，且t 为减函数，1a >，故有1620a a >⎧⎨-≥⎩，解得13a故选：A ．7．若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1B ．－1 C ．2D ．无法确定 【答案】B【解析】函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-. 故选：B.8．下列不等号连接不正确的是（ ） A ．0.5 0.5 log 2.2log 2.3>B ．36log 4log 5> C ．35log 4log 6>D ．log log e e ππ> 【答案】D【解析】对于选项A ：因为0.5log y x =在()0,∞+单调递减，2.2 2.3<，所以0.50.5log 2.2log 2.3>，故选项A 正确；对于选项B ：33log 4log 31>=，6660log 1log 5log 61=<<=，即3log 41>，6log 51<， 所以36log 4log 5>，故选项B 正确；对于选项C ：33333444log 4log 3log 3log 1log 333⎛⎫=⨯=+=+ ⎪⎝⎭，55555666log 6log 5log 5log 1log 555⎛⎫=⨯=+=+ ⎪⎝⎭，因为33546log log log 3565>>，所以3541log log 3615+>+， 故选项C 正确；对于选项D ：log log 1e πππ<=，log log 1e e e π>=，所以log log e e ππ<，故选项D 不正确； 所以只有选项D 不正确， 故选：D9．函数()f x ）A ．[)1,+∞B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题可得，()13320log 320x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得213x <≤．所以函数()f x 的定义域是2,13⎛⎤⎥⎝⎦．故选：D ．12．已知0a >，且1a ≠，函数x y a =与()log a y x =-的图象只能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当1a >时，函数x y a =与()log a y x =-的大致图象如图所示：当01a <<时，函数x y a =与()log a y x =-的大致图象如图所示：根据题意，所以正确的是B ． 故选：B ．13．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数， 故③④为对数函数， 所以共有2个. 故选：B14．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是________． 【答案】(5，＋∞)【解析】函数f (x )＝|lg x |定义域为()0,∞+，图象如下：因为f (a )＝f (b )，且0<a <b ，所以0<a <1<b ，且－lg a ＝lg b ， 即1b a=，所以a ＋4b ＝a ＋4a ，令g (a )＝a ＋4a ，易知对勾函数g (a )在(0，1)上为减函数，所以g (a )>g （1）＝1＋41＝5，即a ＋4b 的取值范围是(5，＋∞)． 故答案为：(5，＋∞)．15．已知24log 02x +⋅≤. （1）求x 的取值的集合A ；（2）x A ∈时，求函数()1342x x f x ++=-的值域；（3）设()21,032,2,20,x x g x x x ⎧-≤≤=⎨+-≤<⎩若()y g x a =-有两个零点1x ､2x (12x x <)，求1ax 的取值范围.【答案】（1）{}|25A x x =-≤≤；（2）[]4,3840-；（3）[]1,0-.【解析】（1）由24log 02x +⋅≤得， ()()222log 41log 4log 90x x +-+-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，∴()221log 4log 9x ≤+≤，∴25x -≤≤， 故{}|25A x x =-≤≤为所求.（2）当x A ∈时，()1342x x f x ++=-()()2242824214x x x =⋅-⋅=--，∵25x -≤≤，∴12324x ≤≤，∴()43840f x -≤≤，即为()f x 的值域. （3）作出函数()g x 的图象，∵()y g x a =-有两个零点1x ､2x 且12x x <， ∴120x -≤<，02a ≤<， 且()112a f x x ==+，∴()()()2111111211ax f x x x x x ==+=+-， ∵120x -≤<， ∴110ax -≤≤即1ax 的取值范围为[]1,0-.。
对数函数图象及性质——单调性
练习．判断函数 f(x)＝ln(x＋ x2＋1)的奇偶性．
解：f(x)是奇函数．
∵ x2＋1>|x|≥－x，∴x∈R.
∵f(－x)＝ln(－x＋ －x2＋1)
＝ln(
x2＋1－x)＝ln
1 x2＋1＋x
＝－ln( x2＋1＋x)＝－f(x)，
∴函数 f(x)＝ln(x＋ x2＋1)为奇函数．
1－x>x＋2，
解得－2<x<－12. 答案：{x|－2<x<－12}
• 练习2： 已知loga(2a＋1)<loga3a，求a的取 值范围．
• 解：(1)当a>1时，原不等式等价于
a2a＋1<3a，解得a 2a＋1>0
(2)当 0<a<1 时，
原不等式等价于20a<＋a 1>3a， 3a>0
解得 0<a<1. 综上所述，a 的范围是 0<a<1 或 a>1.
• 1．对数函数的单调性要结合其图象理解和记忆．
• 2．对数值大小的比较是对数函数的单调性、特殊点 的具体应用．
• 3．和对数函数有关的值域问题，也是利用了对数函 数的单调性．
• 4．复合函数y＝f[φ(x)]的单调性研究，遵循一般步 骤和结论，即：分别求出y＝f(u)与u＝φ(x)两个函数 的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单 调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则 复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复 合后结果为减函数．为何有“同增异减”？我们可 以抓住“x的变化→u＝φ(x)的变化→y＝f(u)的变化” 这样一条思路进行分析．
当 0<a<1 时，若 x>1，则 f(x)＝loga(3x2－2x－1)为 减函数；若 x<－13，则 f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
对数函数的运算法则
对数函数的运算法则对数函数是数学中常用的一种函数，它在计算和分析复杂问题时具有重要的作用。
对数函数的运算法则是指对数函数在运算中满足的一些基本规律和性质，下面将详细介绍这些运算法则。
一、对数函数的定义对数函数是指以一个固定底数为基，将一个正数作为函数的自变量，得到的函数值为其对数的函数。
通常我们使用以e为底的自然对数函数ln(x)，以及以10为底的常用对数函数logx。
二、对数函数的基本性质1.对数函数的定义域：对数函数的自变量必须是正数，所以其定义域为正实数集合。
(0,+∞)2.对数函数的值域：对数函数的函数值可为任何实数。
3.对数函数的奇偶性：对数函数是无论基数是正数还是负数，都是奇函数，即具有对称中心点(1,0)。
4. 对数函数的单调性：对数函数以底数大于1时是递增函数；以底数小于1时是递减函数。
即logx(loga(x))的值在[0,+∞)区间上递增；在(0,1]区间上递减。
这也是由定义可得。
三、对数函数的运算性质1. 对数的对数：loga(logb(x)) = logb(a)logb(x)这个性质是对数函数运算中的一个重要性质，可以帮助我们将一个对数函数转化为另一个对数函数来简化问题。
2. 对数的乘方：loga(x^k) = kloga(x)这个性质可以帮助我们简化对数函数中的乘方运算，将其转化为对数与乘法的关系。
3. 底数的换底公式：loga(x) = logb(x)/logb(a)当我们需要将一个对数函数以底数a的形式表示为以底数b的对数函数时，可以使用换底公式将其转化为以底数b的对数函数来表示。
4. 对数与指数的关系：loga(x) = y 与 a^y = x 互为逆运算这是对数函数和指数函数之间的基本关系，对数和指数运算可以互相转化，相互补充。
5. 对数的乘法公式：loga(x×y) = loga(x) + loga(y)这个公式可以帮助我们将对数函数的乘法运算转化为加法运算。
对数函数的定义域值域
(2) y log2 x (x 1)
(3) y log2 x (0 x 1)
3.对数函数与二次函数的复合函数问题。
【例3】求下列函数的定义域，单调区间及值域。
(1) y log 2 (x2 2x 5)
(2) y log 1 (x2 4x 5)
①底数部分大于0且不等于1 ②真数部分大于0
【例1】求下列函数的定义域 (1) y log2 (4 x) (2) y loga x 1(a 0且a 1) (3) y log 2x (x 3)
2.对数函数的值域
（利用对数函数的图像或者单调性）
【例2】求下列函数的值域。
3
【例4】求函数 y (log 2 x)2 2 log2 x 1, x [1,8]的值域。
总结：
• 对数函数的定义域，值域 • 含对数的复合函数的定义域，单调区间，
值域
作业：
• 教学案变式训练
对数函数的定义域和值域
复习回顾
1.对数函数的定义：
y loga x(a 0且a 1)
2.对数函数的图像性质：
对数函数y=logax的图像性质
a>1
0<a<1
图
像
定义域 值域 定点
单调性
奇偶性
（0，+ ∞ ）
R
（1，0）
单调递增
单调递减
非奇非偶
非奇非偶
1、对数函数的定义域
求对数函数的定义域的两个要点：
对数函数
log 7 6 ＜1 小结：若底数不同，真数也 不同的两个对数比较大小时， 先作相对应的函数图进行估 值，再采用插入中间变量“0” 或“1”来确定两对数值得大 小。
练习2：
（1）㏒0.30.7 ， ㏒2.12.9
解：㏒0.30.7＜㏒0.30.3=1
㏒2.12.9＞㏒2.12.1=1 ㏒0.30.7 ＜ ㏒2.12.9
y
o
x
解 析 式
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
a>1 图 象
o y (1, 0) x y o
0<a<1
（1, 0)
x
性
(1) 定义域： (0,+∞) (2) 值域：R (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 0<x<1时, y<0; (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0 x>1时, y>0
质
(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
探究一：底数相同的两个对数比较
例1 比较下列各组数中两个值的大小： (1) log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) 解 ⑴考察对数函数 y = log 2x,因为它的底数2＞1, 所以它在(0,+∞)上是增函数,于是 log 23.4＜log 28.5 ⑵考察对数函数 y = log 0.3 x,因为它的底数0.3, 即0＜0.3＜1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是 log 0.31.8＞log 0.32.7
高中数学对数和对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：a b=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a（MN）=log a M+log a N.②log aMN=log a M－log a N.③logaM n=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN= l oglogaaNb（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义:log a a=1；如果a=1或=0那么log a a就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yyy =l ogxa>(1)a1O1xOxy =l o g a x (<a <1) 0底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算） 1．求下列各式的值． （1）35 log ＋25log2－1 21 50log － 514 log ；（2）log5 2 1 25 ×lo g 3 1 8 ×lo g 5 1 9. 练习题1．计算：lg 1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log 89·log 278；3.log535＋21log2－log51502 －log514；3.log2125×log318×log519.1loglog4log3 4.399222．5.lg5lg2lg41(6).log24lglog27lg2log33222 7.2lg2lg3111lg0.36lg823例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.(1)求证：2x＋1y＝2z；(2)试比较3x、4y、6z的大小．练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数fxlog22xx1aax的定义域为集合A，关于x的不等式22 的解集为B，若AB，求实数a的取值范围．2．设函数2ylog(ax2x2)定义域为A．2（1）若AR，求实数a的取值范围；（2）若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．2练习题1．已知函数2 fxlgax2x1（1）若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；（2）若fx的值域是R，求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及性） 例题1．已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(1 log24)的值． 2 4.已知f （x ）=l o g 1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域.3 5.已知y =l o g a （3－a x ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的围.4．已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).（Ⅰ）求函数yf(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数yf(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f(m2)f(m)，求m的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围2．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，1f(x)logx.2 （1）求函数f(x)的解析式；（2）解不等式2f(x1)2；3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，1f(x)log(x1)．2 （Ⅰ）求f(0)，f(1)；（Ⅱ）求函数f(x)的表达式；（Ⅲ）若f(a1)1，求a的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是yy111x-11xOOAByy111x1xOOCD6.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2fa b2，求证：a·b＝1，a b2 ＞1.练习题：1．已知a0且a1，函数f(x)log(x1)a，1g(x)log a，记F(x)2f(x)g(x)1x（1）求函数F(x)的定义域及其零点；（2）若关于x的方程2 F2．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44xa?237.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于题型五：函数方程1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.5.已知函数f（x）= 1()2x,x4,则f（2+log23）的值为f(x1),x4,4．已知函数f(x)log a(axx)(a0,a1为常数）. （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若a2，x1,9,求函数f(x)的值域；（Ⅲ）若函数f(x)ya的图像恒在直线y2x1的上方，求实数a的取值范围.1xxyloglog(2x8).5．已知函数22242（Ⅰ）令tlog2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.8.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。
对数函数性质
对数函数性质对数函数是高中数学中的一个重要知识点，在许多数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。
在学习对数函数时，我们需要掌握对数函数的性质，在这里，我将为大家详细介绍对数函数的性质，希望能对大家的学习有所帮助。
一、对数函数定义及性质对数函数的公式为：y=loga x ，其中x、y、a都是实数，a>0，且a≠1。
1.定义域和值域（1）定义域：对数函数的定义域为正实数集R+（2）值域：对数函数的值域为实数集R2.奇偶性（1）当a>1时，对数函数是增函数，是奇函数。
（2）当0<a<1时，对数函数是减函数，是偶函数。
（3）对于任意的a，对数函数均不具有周期性。
3.单调性（1）当a>1时，对数函数是单调递增的；（2）当0<a<1时，对数函数是单调递减的；（3）对于任意的a，对数函数均单调。
4.对称轴当a>1时，对数函数的对称轴是y=x；当0<a<1时，对数函数的对称轴是y=-x。
5.渐近线当a>1时，对数函数的x轴渐近线是x轴；当0<a<1时，对数函数的y 轴渐近线是x轴。
二、对数函数在求解实际问题中的应用对数函数是一种用于描述关系紧密的现象的数学工具，它广泛应用于数学、物理、化学、生物等领域。
下面分别介绍对数函数在不同领域的应用。
1.经济学中的应用对数函数在经济学中有广泛的应用，例如在计算经济增长率和物价指数时常常用到对数函数。
（1）经济增长率的计算对数函数可以用来表示数据的增长趋势。
在经济学中，经济增长率是一个重要指标。
假设某国的国内生产总值（GDP）在2010年为100亿美元，在2011年增加到120亿美元，那么这个国家的GDP增长率为：所以，GDP的增长率为20%。
可以使用以下公式来计算增长率：增长率 = log10(120) - log10(100) = 0.0792。
因此，增长率为7.92%。
（2）物价指数的计算物价指数是描述物价水平的一个指标。
对数函数及其性质(1)
Ⅰ Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
2、对数函数的图象与性质：
函数 y = log a x ( a＞0 且 a≠1 ) 1
0 loga N 0 图象 0
底数
a N 0 ＜ a,＞ 1 (0,1)或a, N (1,a) ＜
y y
o
N 1 a, N中一个在(0,1),另一个在(1, )中
1
1
0.5
0
1
-0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
log0.3 1.8 log0.3 2.7
-1.5
-2
-2.5
（3） log 3 3.4, log 2
解：（3）
0 .5
3.4 0.5
（4）
1
log 2 1.5, log 3 8.5
3 2.5 2 1.5
log 3 log 3 0 log 2 log 2 0
求解对数函数定义域问题的关键是要 （2） y loga (4 x)
∴函数 y loga (4 x) 的定义域是 x | x 4 时，可将其看作一个整体单独提出来,
（３） y log (49 7 x ) 求其大于零的解集,即该函数的定义域.
( x1)
【练习】 求下列函数的定义域：
y log2 x
-1
3
2.5
2
1.5
因为它的底数2>1，所以它在 （0，+∞）上是增函数，于是
1 0
1
0.5
1
-0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
对数函数及其性质
3）
log
1.7 2.1
,log 0.3 log 3
7,
5
例2.求函数 y = log 2 ( 1－x 2 ) 的值域,单调区间.
解:∵ 1－x2＞0 且1－x2≤1 即 0＜ 1－x2≤1
∴y ≤0
故 函数的值域为 (－∞,0 ).
0<x<1时,y>0
x>1时,y<0
在(0,+上是增函数 在(0,+上是减函数
三.对数函数的性质: 现在我们同样利用描点法在同一坐标系
下作出 y = log2 x, y = log3 x 和
y = log 1 x, y = log 1 x
2 3
的图像，观察图像并
归纳总结性质.
y
4 3
y=log2x y=log3x
解：此函数的定义域为 (－1 , 1 ), 且 y = log 2 t 在(0,+ ∞)上是增函数. 又t=1－x2 在区间(－1,0]上单调递增 在区间[0,1)上单调递减. 故此函数的单调递增区间为 (－1,0 ] 单调递减区间为 [ 0 ,1 )
想一想：函数f(x)=log2 ( x2 ax 1)的定义域为R，
0<a<1
(1) log 25 和 log 27 (2) log 0.35 和 log 0.37 (3) log a5 和 log a7 (a>0且a≠1) 定义域： (0，+)
钥 匙
1.当底数相同时,利用对数函数 的单调性比较大小. 2.当底数不确定时,要对底数a 与1的大小进行分类讨论.
值域：Ｒ 过点（1，0） 在(0,+) 在(0,+) 为增函数 为减函数
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t R,
y t 4t 3 (t 2) 1, t R,
2 2
y 1, 值域为[1, )。
例4、求函数y (log 2 x) 4log 2 x 3的值域。
2
小结：对于y a(log m x) b(log m x) c, c D
新授课1、求对数型函数的单调区间题型
例1、函数y log 2 ( x 4 x 3)的单调区间。
2
小结：形如y log a f ( x)的单调性。 (1)求定义域。 (2)同增异减的原理。
例2、当函数y log 2 (3 2ax)在[1, 2]上 单调递增，求a的取值范围。
新授课1、求对数型函数的单调区间题型
例1、函数y log 2 ( x 4 x 3)的单调区间。
2
解：令y log 2 t , t 0, t x 4 x 3，
2
t x2 4 x 3 y
3 2 0 1 3 x
y
y log 2 t
x
0
1
单调增区间为(3, ), 减区间为(,1)。
对数函数的单调区间和值域
本溪高级中学高一数学组：刘娟 2012.10.30
对数函数
底数
y
y log a x(a 0, 且a 1)
a 1
1
o x
0 a 1
y 1 x
图像
o
y log a x(a 1)
y log a x(0 a 1)
定义域
值域 固定点 单调性
(0, )
2
的值域的求法。
(1)令t log m x, 求出t在x D的取值范围E。
(2)题目转化为求y at bt c, t E时的值
2
域，此时利用y at bt c的性质求解。
2
1、求函数y log 0.5 (3 2 x x )的值域。
2
解: 3 2 x x 0, x (3,1)， 2 令t 3 2 x x
2
( x 1) 4, x (3,1)，
2
t (0, 4]， y log 0.5 t, t (0, 4]，
y 4
y 2，
函数的值域为[2, )。
0 -2
x
x x 2、求y log 2 log 2 , x [1, 4]的值域。 2 8 解： y (log 2 x 1)(log 2 x 3)
2、函数y log 2 ( x ax 2)在(,1)上
2
单调递减，求a的取值范围。
1、求函数y log 0.5 ( x 4 x 3)的单调区间。
2
解： x 4 x 3 0，
2
函数的定义域为(1,3)，
令u x 4 x 3 ( x 2) 1，
2 2
u x 2 4 x 3在(1, 2)上单调递增， 在(2,3)上单调递减，
y log 0.5 u在(0, )上单调递减，
y log 0.5 ( x 4 x 3)单调递减区间
2
为(1,2)，单调递增区间为(2,3)。
1、求函数y log 0.5 ( x 4 x 3)的
例3、求函数y log 0.5 (4 x )的值域。
2
解 4 x 0,函数的定义域为R，
2
令t 4 x , t [4, )，
2
y 2，
y log 0.5 t , t [4, )，
y 4 0 -2
函数的值域是(, 2]。
新授课2、求对数型函数的值域题型
例3、求函数y log 0.5 (4 x )的值域。
2
小结：对于y log a f ( x)的值域的求法 :
(1)先求函数的定义域D。
(2)令t f ( x), 求出t在x D的取值范围E。
(3)题目转化为求y log a t , t E时的值域， 此时利用对数函数的单调性求解。
2
函数的定义域是(,1) (3, )，
令u=x 4 x 3, 在(,1)上单调递减，
2
在(3, )上单调递增，
y log 2 u在(0, )上单调递增，
y log 2 ( x 4 x 3)单调减区间为
2
(-,1)，单调增区间为(3,+)。
跟踪练习
1、求函数y log 0.5 (3 2 x x )的值域。
2
x x 2、求y log 2 log 2 , x [1, 4]的值域。 2 8
例4、求函数y (log 2 x) 4log 2 x 3的值域。
2
解： 函数的定义域为(0,+),
令t log 2 x, x (0, ),
2
单调区间。
解：令y log 2 t , t 0, t x 4 x 3,
2
y
y log 2 t
x
y 1 3
0
-3
2
x
0
1
t x2 4x 3
单调增区间为(1, 2), 减区间为(2,3)。
2、函数y log 2 ( x ax 2)在(,1)上
＜
2、函数 y
1 A、 ) [0, 3log 1Βιβλιοθήκη (1 3x) 的定义域是（ A ）
3
1 1 ( ( B、 , ) C、 , 0] D、 , ) ( 3 3
新授课1、求对数型函数的单调区间题型
例1、求函数y log 2 ( x 4 x 3)单调区间。
2
解： x 4 x 3 0，
2
的值域。 换元法：令t log m x (注意元的范围)。
作业： 作业：
小结：
题型一、形如y log a f ( x)的单调性。 (1)求定义域。 (2)同增异减的原理。
题型二、形如y log a f ( x )的值域。 换元法：令t f ( x) (注意元的范围)。
题型三、形如y a (log m x ) b(log m x ) c, x D
t 3 2ax在[1, 2]单调递增，
且t>0,在x [1, 2]上恒成立。
2 a 0 , 3 2 a 0
解: y=log 2t在(0, )上单调递增，
a 0
变式训练
1、求函数y log 0.5 ( x 4 x 3)的单调
2
区间。
2
单调递减，求a的取值范围。
解： y=log 2t在(0, )上单调递增， t x ax 2在( ,1)单调递减，
2
且t>0,在x (-,1)上恒成立。
a 1 2 1 a 2 0
2 a 3
x
a 2
新授课2、求对数型函数的值域题型
R
(1,0) 即无论a取何值，当x 1时, y 0
增函数
减函数
练一练
1、比较大小（用“>”“<”或“=”）号填空。
（1） log0.7 1.6 （2）
＞
log0.7 1.8
同底直接利用单 调性进行比较
log 4 1
＝
log0.4 1
log0.9 0.8
不同底，找中间 桥梁
（3） log 3 0.9
(log 2 x) 4log 2 x 3, x [1, 4]，
2
令t log 2 x, x [1, 4], t [0, 2]，
y t 4t 3 2 (t 2) 1，t [0, 2], y [1,3],
2
函数的值域为[1,3]。