向量的加法与减法
向量的加减乘除运算
向量的加减乘除运算向量是数学中的重要概念，它在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用。
在进行向量运算时，我们常常需要进行加减乘除的操作。
本文将详细介绍向量的加减乘除运算及其相关概念。
一、向量的表示方式向量可以用不同的表示方式进行表达，最常见的有坐标表示和向量表示方法。
1. 坐标表示：在二维直角坐标系中，向量可以表示为(x,y)，分别代表向量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，向量可以表示为(x,y,z)，分别代表向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 向量表示：向量可以用箭头进行表示，箭头的长度代表向量的模，箭头的方向代表向量的方向。
二、向量的加法运算向量的加法运算是指将两个向量合并为一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量A和向量B，它们的加法运算表示为：A + B = C，C为结果向量。
向量的加法运算可以使用坐标相加的方法或三角形法则进行计算。
三、向量的减法运算向量的减法运算是指从一个向量中减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以看作是加法的逆运算。
设有向量A和向量B，它们的减法运算表示为：A - B = D，D为结果向量。
向量的减法运算可以使用将被减向量取相反数，然后进行加法运算的方式进行计算。
四、向量的数乘运算向量的数乘运算是指将向量的每个分量与一个数相乘。
数乘可以改变向量的长度和方向。
设有向量A和一个实数k，向量的数乘运算表示为：k * A = E，E为结果向量。
在坐标表示中，向量的数乘可以直接将向量的每个分量与数k相乘。
在向量表示中，向量的数乘可以通过改变箭头的长度来表示。
五、向量的除法运算向量的除法运算并没有一个直接的定义和运算规则。
在向量运算中，我们通常使用乘法的逆运算来代替除法运算。
设有向量A和一个非零实数k，向量的除法运算可以用乘法的逆运算表示为：A / k = (1/k) * A。
六、向量的加减乘除综合运算在实际问题中，我们往往需要对向量进行多种运算的组合。
向量的加减乘除运算
向量的加法OB+OA=OC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=的反向量为0向量的减法AB-AC=CB.即“共同起点,指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.当λ＞0时,λa与a同方向；向量的数乘当λ＜0时,λa与a反方向；向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）；(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；向量的数量积的性质a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b ∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.向量的向量积运算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.。
2 向量的加法与减法
2向量的加法与减法一、基础知识：1．向量加法：求两个向量和的运算，2．向量加法运算律：（1）交换律：a b b a +=+；（2）结合律：（)()c b a c b a ++=++。
3．向量加法运算的几何方法：(1)三角形法则：以O 起点，作a OA =，再以A 为起点作向量b AB =，则以O 为起点的边OA 就是b a 与的和，这种作两个向量和的方法叫做三角形法则；(2)平行四边形法则：以同一A 为起点的两个已知向量a ，b 为相邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线AC 就是b a 与的和，这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则。
4．向量减法：求两个向量差的运算，5．向量减法运算的几何方法：(1)三角形法则：注：方向指向被减向量。
(2)平行四边形法则：二、基本题型：1.在△ABC 中，点M 满足MA MB MC ++=0 ，若 AB AC m AM ++=0，则实数m 的值为 ．2.已知向量p 的模是2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π4，q p a 23+=，q p b -=， 则以a 、b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是 ．3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则 。
（填上正确的序号） ①0PA PB += ；②0PC PA += ；③0PB PC += ；④0PA PB PC ++= 。
4．已知O ，N ，P 在A B C ∆所在平面内，且||||||OC OB OA ==，0=++NC NB NA ， 且PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则点O ，N ，P 依次是A B C ∆的 心、 心、 心。
5．化简下列各式（1）CA BC AB ++；（2）CD BD AC AB -+-；（3）AD OD OA +-；（4）MP QP MN NQ +++结果是零向量的个数是 。
6．已知8||=AB ，5||=AC ，则||BC 的取值范围是 。
向量的加法与减法
数能进行运算，因为有了运算而使数的 威力无穷. 与数的运算类比 ,向量是否也能进 行运算呢？ 人们从向量的物理背景和数的运 算中得到启发，引进了向量的运算. 下面我们就来学习向量的线性运算.
阅读教材回答问题：何为向量的加法运算？
一、向量的加法：
(1)、定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。
OA OC OB OD ,
A B
M
OA OB OD OC ,
BA CD , // CD ∴ BA
D C
故四边形ABCD为平行四边形.
O
.
结论: | a b || a | | b |
思考二： | a b | 与 | a |, | b | 有什么关系呢？
（ 1 ）当a ， b 不共线时,
当a， b 不共线时，则| a | | b || a b |
a b a (b)
即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
图示：
b b b
O .
a
b b b b
b
a a
A
a
a
a
a B
a a
a-b
说明： 连接两个向量的终点， 且箭头指向被减的向量 ，
这样得到的向量就是这 两个向量的差 .
(1) 上图中， 如果从 a 的终点到b 的终点作向量， 想一想：
（2）当 a ， b 共线时,
向量的计算方法
向量的计算方法向量是数学中一个非常重要的概念，它不仅在数学上有着广泛的应用，同时也在物理、工程等领域中起着重要的作用。
本文将介绍向量的计算方法，包括向量的加法、减法、数量积和向量积等内容。
首先，我们来看向量的加法。
对于两个向量a和b，它们的加法运算可以表示为a+b。
具体而言，如果a=(a1, a2)和b=(b1, b2)，那么a+b=(a1+b1, a2+b2)。
这意味着，向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
接下来，我们来讨论向量的减法。
对于两个向量a和b，它们的减法运算可以表示为a-b。
具体而言，如果a=(a1, a2)和b=(b1, b2)，那么a-b=(a1-b1, a2-b2)。
同样地，向量的减法就是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
除了加法和减法，我们还需要了解向量的数量积。
向量的数量积也称为点积，它的计算方法是将两个向量的对应分量相乘并相加。
具体而言，对于两个向量a和b，它们的数量积可以表示为a·b=a1b1+a2b2。
数量积的结果是一个标量，它表示了两个向量之间的夹角和长度关系。
最后，我们来讨论向量的向量积。
向量的向量积也称为叉积，它的计算方法是利用行列式来计算。
具体而言，对于两个向量a和b，它们的向量积可以表示为a×b=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)。
向量积的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量，并且长度由两个向量的夹角和长度决定。
综上所述，本文介绍了向量的计算方法，包括向量的加法、减法、数量积和向量积。
通过学习这些内容，我们可以更好地理解和运用向量，为解决实际问题提供更多的数学工具和方法。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
向量坐标加减公式
向量坐标加减公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：向量是线性代数中一个非常重要的概念，它是具有大小和方向的量。
在三维空间中，一个向量可以用坐标表示，常见的形式是（x，y，z）。
向量之间的加减运算是线性代数中的基本操作，也是很多数学问题中常见的计算方法。
本文将介绍向量坐标的加减公式及其相关知识。
在向量的加减运算中，主要涉及到向量之间的加法和减法两种运算。
向量的加法是将两个向量的对应分量分别相加，而向量的减法则是将第二个向量的对应分量取反后再进行加法运算。
下面分别介绍向量的加法和减法公式。
1. 向量的加法公式设向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，则这两个向量的和向量C = A + B = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
也就是说，向量的加法是将两个向量的对应分量相加并得到新的向量。
举例来说，如果我们有向量A = (1, 2, 3)和向量B = (4, 5, 6)，那么它们的和向量C = A + B = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)。
2. 向量的减法公式设向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，则这两个向量的差向量C = A - B = (x1-x2, y1-y2, z1-z2)。
也就是说，向量的减法是将第二个向量的对应分量取反后再进行加法运算得到新的向量。
举例来说，如果我们有向量A = (1, 2, 3)和向量B = (4, 5, 6)，那么它们的差向量C = A - B = (1-4, 2-5, 3-6) = (-3, -3, -3)。
通过向量的加减公式，我们可以很方便地计算任意两个向量之间的加减运算。
这在几何学、物理学以及工程学等领域中都有着广泛的应用。
例如，在几何学中，可以通过向量的加减运算来求解线段的长度、方向及等相关问题；在物理学中，可以通过向量的运算来描述物体的位移、速度以及加速度等运动相关问题；在工程学中，可以通过向量的运算来解决力的合成与分解、力矩及力的平衡等静力学问题。
向量的加减法课件
题目2
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 1,2)$，求$overset{longrightarrow}{a} overset{longrightarrow}{b}$。
进阶练习题
题目3
三角形法则的几何解释
向量减法的三角形法则可以理解为两个向量在起点和终点之间形成的闭合三角形，减数向量是三角形的一条边。
向量减法的向量场意义
向量场
向量场是由一组有序的向量所组成的集合，每个向量都有一个起点和一个终点。
向量场中向量的加减法
在向量场中，向量的加减法可以通过将减数的起点移动到被减数的起点来实现，然后按照向量的加法 法则进行计算。
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02 向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本运算法则之一，它 基于平行四边形的性质，将两个向量相加得到一个新的向量 。
详细描述
向量加法的平行四边形法则是通过构造一个平行四边形，其 中两个相邻的边分别表示要相加的向量，然后连接对角线来 表示这两个向量的和。
详细描述
在向量场中，向量加法运算可以看作 是将一个向量从一个点平移到另一个 点，这种平移过程可以用来描述物体 在空间中的运动和力的作用。
03 向量减法的几何意义
向量减法的三角形法则
三角形法则
向量减法可以通过作平行四边形并取对角线来实现，也可以通过连接两个向量的起点，并作与减数平行的向量来 实现。
答案3
$2overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (5,5)$
向量的加法与减法
向量的加法与减法在数学学科中，向量是一个重要的概念。
它不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学和工程学等领域中发挥着重要的作用。
向量的加法与减法是我们学习向量的基础，掌握了这一点，我们就能更好地理解和应用向量。
一、向量的加法向量的加法是指将两个或多个向量相加得到一个新的向量。
在向量的加法中，我们需要注意以下几个要点。
首先，向量的加法满足交换律。
即无论向量的顺序如何，它们相加的结果都是一样的。
例如，向量a和向量b相加的结果与向量b和向量a相加的结果是相等的。
其次，向量的加法满足结合律。
即无论向量的加法顺序如何，它们相加的结果都是一样的。
例如，向量a、向量b和向量c相加的结果与向量a和向量b相加的结果再与向量c相加的结果是相等的。
最后，向量的加法可以通过平行四边形法则进行计算。
即将两个向量的起点相连，然后从第一个向量的终点出发，沿着第二个向量的方向走到终点，这条线段就是两个向量相加的结果。
举个例子来说明向量的加法。
假设有一个向量a，它的起点为A，终点为B；还有一个向量b，它的起点为B，终点为C。
我们可以通过平行四边形法则计算出向量a和向量b的和，即向量a + 向量b。
首先，将向量a的起点A和向量b的起点B相连，得到一条线段；然后，从A出发，沿着向量b的方向走到C，这条线段就是向量a + 向量b的结果。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去得到一个新的向量。
在向量的减法中，我们需要注意以下几个要点。
首先，向量的减法可以看作是向量的加法的逆运算。
即向量a - 向量b的结果等于向量a + (-向量b)的结果，其中-向量b表示向量b的反向。
其次，向量的减法可以通过平行四边形法则进行计算。
即将向量a的起点和终点分别与向量b的起点和终点相连，然后从向量b的终点出发，沿着向量a的反方向走到起点，这条线段就是向量a - 向量b的结果。
举个例子来说明向量的减法。
假设有一个向量a，它的起点为A，终点为B；还有一个向量b，它的起点为C，终点为D。
向量的加法与减法总结
向量的加法与减法总结在数学中，向量是一个有向线段，表示具有大小和方向的量。
向量的加法和减法是两个基本的运算，用于组合和分解向量，求解实际问题。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加，得到一个新的向量。
向量的加法有以下几个特点：1. 加法顺序不变：无论A、B两个向量的顺序如何，A+B和B+A 的结果总是相同的。
即向量的加法满足交换律。
2. 平行四边形法则：将两个向量首尾相连形成一个平行四边形，向量的和等于对角线的向量。
3. 三角形法则：将两个向量首尾相接，从起点到终点形成一个三角形，向量的和等于第三边的向量。
例如，有向量A(2, 3)和向量B(4, -1)。
根据平行四边形法则，我们可以将A和B相加得到向量C(6, 2)。
表示A+B=C。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。
向量的减法有以下几个特点：1. 减法与加法的关系：A-B可以理解为A+(-B)。
即向量的减法可以转化为向量的加法。
2. 加法逆元：对于向量A，它的加法逆元记作-A，满足A+(-A) = 0，其中0为零向量，即长度为0的向量。
例如，有向量A(3, 2)和向量B(1, 1)。
根据减法与加法的关系，我们可以将A减去B得到向量C(2, 1)。
表示A-B=C。
三、向量的运算性质1. 结合律：(A+B)+C = A+(B+C)，即向量的加法满足结合律。
2. 分配律：k(A+B) = kA+kB，即向量与数的乘法满足分配律。
3. 相反向量的相加为零向量：A+(-A) = 0，即任何向量与其相反向量相加等于零向量。
四、应用举例向量加法和减法在几何和物理等领域得到广泛应用。
以下是一些典型的实际问题：1. 位移向量：根据物体的位置变化，求解位移向量，用于描述物体的移动情况。
2. 速度向量：根据物体的位移和时间变化，求解速度向量，用于描述物体的运动状态。
3. 力的合成与分解：根据多个力的作用，求解合力和分解力，用于分析物体受力情况。
向量的加法与减法最新版
在Rt ABC中， |AB|=2, |BC|=2 3
AC AB 2 BC 2
D
C
22 (2 3)2
4
tan CAB 2 3 3
2
CAB 60
A
B
答：船实际航行的速度 大小为 4km/h,
方向与流速间的夹角为 60。
向量加减法运算
向量加减法运算
向量加法满足和三角形法则。
向量加法的运算律有交换律：
a+b=b+a；：(a+b)+c=a+(b+c)。
向量减法的运算法则为：如果a、b是互为相反的向量，那么a-b=0。
在数学中，向量（也称为向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
向量定义是既有大小，又有方向的量叫做向量。
在几何上，向量用有向线段来表示，有向线段长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。
其实有向线段本身也是向量，称为几何向量。
在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。
由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。
在只讨论自由向量的约定下，向量可以平行移动，所以两个向量相等的定义如下：定义如果两个向量大小相等，且方向相同，我们就说这两个向量是相等的。
即：经过平行移动后能完全重合的向量是相等向量，或者说它们是同一个向量。
向量的加法与减法
向量的加法与减法向量是一个有向线段，由起点和终点确定。
在数学中，向量可以表示为一个有序对或是空间中的一个点，也可以表示为一个列向量或行向量。
向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足以下性质：1. 交换律：A + B = B + A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 加法单位元：存在一个零向量0，使得A + 0 = A4. 加法逆元：对于任意的向量A，存在一个唯一的向量-B，使得A + (-B) = 0向量的加法可以用三角形法则来解释，即把两个向量的起点对齐，然后将它们的终点相连，就可以得到它们的和向量。
除了三角形法则外，我们还可以用平行四边形法则来求两个向量之和。
将两个向量的起点对齐，然后将它们的终点连成一个平行四边形，那么对角线就是它们的和向量。
向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的减法可以转化为向量的加法，即A - B = A + (-B)。
向量的减法也可以用三角形法则来解释。
将B取反然后按照向量加法的方法相加，所得结果就是A - B。
另外，我们还可以用平行四边形法则来求两个向量之差。
将A和-B的起点对齐，然后将它们的终点连成一个平行四边形，那么对角线就是它们的差向量。
应用向量的加法与减法在数学中有着广泛的应用。
在物理学中，向量的加法常常用于求两个力的合力。
在航空航天领域，向量的减法常常用于求两个物体之间的相对速度。
此外，在计算机图形学中，向量的加法和减法非常重要。
向量可以表示一个点在空间中的位置或者是它在一个坐标系中的位置。
通过向量的加法和减法我们可以方便地计算两个点之间的距离和方向。
总结向量的加法与减法是数学中非常基本且重要的概念。
通过它们，我们可以方便地求出力的合力、计算物体之间的相对速度、以及在计算机图形学中计算两个点之间的距离和方向。
掌握了向量的加法与减法，可以帮助我们更好地理解和应用它们。
向量的加法与减法
向量的加法与减法在数学中，向量是一种具有大小和方向的量。
向量的加法和减法是两个基本操作，用于将多个向量组合在一起或从一个向量中减去另一个向量。
本文将介绍向量的加法和减法的定义、性质以及应用。
一、向量的加法向量的加法是将两个向量合并成一个新的向量。
假设有两个向量A 和A，表示为A = (A₁, A₁)和A = (A₂, A₂)。
向量的加法定义如下：A + A = (A₁ + A₂, A₁ + A₂)通过上述公式，我们可以将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
向量的加法有许多应用，例如在物理学中，当我们需要计算多个力的合力时，就需要使用向量的加法。
另外，在几何学中，向量的加法可以用来计算多边形的边向量和对角线向量。
二、向量的减法向量的减法是将一个向量从另一个向量中减去得到一个新的向量。
假设有两个向量A和A，表示为A = (A₁, A₁)和A = (A₂, A₂)。
向量的减法定义如下：A - A = (A₁ - A₂, A₁ - A₂)通过相应分量相减，我们可以得到一个新的向量。
向量的减法没有交换律，即A - A≠ A - A，但满足结合律。
向量的减法也有许多实际应用。
例如在导航系统中，我们可以使用向量的减法来计算两个位置之间的位移向量，从而确定行进方向和距离。
总结：向量的加法和减法是数学中常见的操作，可以将多个向量合并或从一个向量中减去另一个向量得到新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律，而减法仅满足结合律。
这些操作在物理学、几何学以及导航系统等领域都有广泛的应用。
掌握向量的加法和减法的概念和应用将有助于我们更好地理解和解决相关问题。
【注意：根据题目要求，文章直接回答标题，不再重复题目或其他无关内容。
】。
向量加减法的原理
向量加减法的原理
向量加减法是在向量空间中对向量进行操作的一种方法。
向量是有方向和大小的量，可以表示为一组有序数。
在加减法中，我们对向量的对应分量进行相加或相减。
假设有两个向量A和B，可以表示为：
A = (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ)
B = (b₁, b₂, b₃, ..., bₙ)
其中a₁, a₂, ..., aₙ和b₁, b₂, ..., bₙ是向量的对应分量。
向量加法的原理是将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量C：
C = A + B = (a₁+ b₁, a₂+ b₂, a₃+ b₃, ..., aₙ+ bₙ)
向量减法的原理是将第二个向量的对应分量取相反数，然后与第一个向量相加，得到一个新的向量C：
C = A - B = (a₁- b₁, a₂- b₂, a₃- b₃, ..., aₙ- bₙ)
向量加减法遵循向量的代数运算性质，例如，满足交换律和结合律。
这些性质使
得向量加减法在物理学、几何学、计算机图形学等领域中得到广泛应用。
需要注意的是，两个向量进行加减法的前提是它们的维度相同，即两个向量拥有相同的分量个数。
否则，加减法操作是没有定义的。
向量的加法与减法运算
向量的加法与减法运算向量是物理学中非常重要的概念，它用来描述有大小和方向的物理量。
在进行向量的运算时，我们需要掌握向量的加法和减法运算规则。
本文将详细介绍向量的加法和减法运算方法，并通过实例进行说明。
一、向量的加法运算向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。
向量的加法运算需要满足以下规则：1. 两个向量相加的结果是一个新的向量，该向量的大小等于两个向量大小的和，并且方向与两个向量之间的夹角相同。
2. 如果两个向量的方向相同，则它们的加法运算非常简单，只需将两个向量的大小相加即可。
3. 如果两个向量的方向相反，则它们的加法运算也很简单，只需将较大的向量大小减去较小的向量大小即可，并将结果的方向与较大的向量保持一致。
4. 如果两个向量不在同一直线上，则需要通过平行四边形法则进行计算。
首先，将两个向量的起点放在同一个点上，然后，按照两个向量的方向，将它们依次连接起来，形成一个平行四边形。
新向量的大小等于平行四边形对角线的大小，方向与对角线的方向相同。
下面通过实例来说明向量的加法运算方法：假设有两个向量A和B，它们的大小分别为|A|和|B|，方向分别为θ和φ。
根据上述规则，可以得出：1. 如果θ等于φ，则向量A和B的加法运算结果为新向量C，大小等于|A|+|B|，方向与θ或φ相同。
2. 如果θ等于180°-φ，则向量A和B的加法运算结果为新向量C，大小等于|A|-|B|，方向与θ或φ相同。
3. 如果θ和φ不相等，则向量A和B的加法运算结果为新向量C，大小等于平行四边形对角线的大小，方向与对角线的方向相同。
通过以上方法，我们可以简便而准确地求得向量的加法结果。
二、向量的减法运算向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。
向量的减法运算可以通过向量的加法运算来实现。
具体方法如下：1. 将减去的向量取反，即将向量的方向取反，并保持其大小不变。
2. 将取反后的向量与被减向量进行加法运算。
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向量的加法与减法综合训练卷（120分钟，满分150分） 一、选择题（每题 5分，共60分） 1 .下列命题中，正确的是（ ）A.冃& |=＞方=b B . p|＞|纠=77＞心A . 1B . 2C . 3D . 4 3. 若4卜h"'-[1，且I -，则匚的值是（）A .必小于5B .必大于10C .有可能为0D .不可能为0 4.若「，则’ 的取值范围是（）A . [3 , 8]B . （3, 8）C . [3 , 13]D . （3, 13）5.在平行四边形 ABCD中，若 二*九,则必有（）A . ABCD 是菱形B . ABCD 是梯形C . ABCD 是正方形 D . ABCD 是矩形 6. 把所有单位向量的起点平移到同一点 P ,各向量终点的集合构成什 么图形（）A .点PB .过点P 的一条直线C .过点P 的一条射线D .以点P 为圆心，1为半径的圆 7. 下列有关零向量的说法正确的是（ ） A. 零向量是无长度，无方向的向量 B. 零向量是无长度，有方向的向量 C. 零向量是有长度，无方向的向量 D. 零向量是有长度，有方向的向量&已知二 「，：'」U 工；D的取值范围是（ ）A . [2 , 12]B . （2, 12）C . [2 , 7]D . （2, 7）2.化简以下各式：（1）磧庇+氏；（2）牺讥+册~€1） ；（ ）A-0D+ADC a = b => a H bD .若—且-「，则「一（4-"H 。
结果为零向量的个数是（）9 .“」 '一 ” 是“ A , B , C 是三角形三个顶点的”的（ )A 充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件 D .既不充分又不必要条件10 .已知两个向量b ，则下列说法正确的是（）A .向量可以比较大小B .向量不可以比较大小，但是模可以比较大小C .当 ',是共线向量时，可以比较大小D •当 ',■■-两个向量中，有一个是零向量时，可以比较大小11. 一艘船从A 点出发以2 3km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶， 同时河水的流速为 2km/h 。
则船实际航行速度大小和方向 （用与流速间的夹 角表示）A .大小为4km/h ，方向与流速夹角为 60°B •大小为2 3km/h ，方向与流速夹角为 60°C .大小为4km/4，方向垂直于对岸D .大小为2 3km/ h ，方向垂直于对岸13. 如图 5— 5,在 ABCD 中，已知二: ：：：，则AD = AC == ______ , = ___________ °图5—5•—--- 丄在---14 .已知.为人与上一的和向量，且.= ，一 ：•则ABAD15. 把平行于直线I 的所有向量的起点移到I 上的点P ,则所有向量的12. 已知向量 口 的说法正确的是（）A .两者必不相等C .两者可能相等*______ 旦.------ -■,b,则下列有关 B — b 与a -b Ia |- |T|B .1 >D .无法比较大小 4分，共16分）终点构成图形________ 。
_j ―—+ V? I16. 已知a , b是非零向量，贝U °一10 J 丨|时，应满足条件__________ 。
三、解答题（共74分）17. —辆火车向东行驶400km后，改变方向向北行驶400km，求火车行驶的路程及两次位移之和。
（10分）18. 飞机按东偏北25°从甲地飞行300km到达乙地，再从乙地按北偏西25°飞行400km到达丙地，求甲丙两地之间的距离。
（12分）19. 一艘船以7km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为3km/h。
求航船实际航行速度大小和方向。
（12分）20. 飞机从A地按北偏西75°的飞向飞行400km后到达B地，然后向C地飞行。
已知C地从A地西偏南30°的方向处，且 A , C两地相距为200. 2km，求飞机从B地向C地飞行的方向，及B , C两地的距离。
（12分）21 .已知O ABC的外心，H为垂心，求证：| 一U - - 1o （14分）22•在倾角为30°的斜面上有一块坚直放置的挡板，在挡板和斜面之间有一个重为20N的光滑圆球，求这个球对斜面的压力和对挡板的压力。
（14分）参考答案、1. C2. D3. D4. C5. D6. D7. D8. A9. B10. B11A . 12 . C13 .14 .-15 .直线16 .与：反向17 .火车两次行驶路程为800km ,因为位移是向量，则两次位移之和为40012 km，方向是东偏北4518 . 500km，甲、乙两地的连线与乙、丙两地连线垂直。
——719. 航船实际航速为.58km/h。
方向与河岸夹角为arctan 。
320. B地飞向C地方向为东偏南60°,距离为200.2km。
21. 略22. 球对斜面压力为4^V3N，对挡板的压力为巴灵N3 3［解题点拨］1.选项D中：当'= 时，对任意向量（非零）门，，都有J // , - // 但此时J与不一定平行。
3. 当A , B, C, D四点位置如图5—29所示时，「丨>5，排除A。
・- •"~・• ・ABC D图5—29当A , B , C, D四点如图5—30时：「' <10 ,排除B。
-------------- • ■ • ---------- • ・D A B C图5—30假设3 =0，则A、D两点重合，由「山J W'i 書I恳* 加1 =仙: !ft I - I .•.］小:.4. ・.・柠="-加当匸,-同向时，. =8-5=3 ;当人,"反向时，隊1=8+5=13 ;，当服，AC不平行时，3<肌1<13。
结上可知3< |BC|W 13.应选C注意：本题要根据问题的实际作好分类讨论，作到分类不漏不重。
7.零向量是特殊向量，符合向量的定义，零向量的长度为0,零向量的方向是任意的。
& (1)若口与厂共线：①W与一L同向时：也一亦「:蚀⑷②邓；与】」反向时：I込r.M - I也…"八==(2)若人与厂不共线，则由向量的可平移性及向量的三角形法则知：'■-11 •速度是向量，利用向量加法的平行四边形法则或三角形法则求解。
12.分“ 「与'共线与不共线”两种情况进行讨论，「与'共线时又分同向与异向进行讨论。
当一才与b共线且同向时：若I日》b I,则U - WL 口- I »。
以下16题类似求解。
14. 利用向量加、减法的三角形法则求解。
20.准确画出图形后，经分析、计算知：△ ACB是等腰直角三角形，故廉；二町二F 仏■21. 由图形可知，I与二，一，「厂之间不存在表面上的联系，要借助圆来找到它们的内在联系，由三角形法则可知匕=二+匚，而H总是△ ABC的垂心，说明AH与BC垂直，利用这一关系来寻找与,「厂间的联系。
△ ABC是圆0的内接三角形，可连接0B并延长它交圆于D点,由圆的知识可知DC与BC垂直，则L■一与-=1的方向相冋。
冋时由图可知匚与L的方向相同，四个点A, H , D, C可以构成平行四边形，与-方向相同，大小相等是相等向量, 而山=「厂—方向相反，大小相等是相反向量，=丁 + _。
通过图形的分析，可以找出四个向量之间的联系，可以解决问题。
本题在分析图形的基础上，借助向量的方法，解决几何问题，充分体现了数形结合的思想，是向量考查中的一个难点。
22．本题考查向量加法、减法在实际物理问题中的运用。
力是一个既有大小又有方向的量，它是一个向量。
力的分解也就是向量的分解。
已知了重力，即已知了两个向量的和，利用直角三角形求两个向量的大小。
先画出草图，利用平面几何的知识分析直角三角形的内角，再要求直角三角形中斜边与直角边的关系，求出两个分力的大小。
高考在考查向量加、减法的运算中，一般不会直接考查，会借助一些实际的应用问题来考查向量的加、减法。
沁园春•雪< 毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采;唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。