第六章 有限元法解平面问题
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有限元 第3讲补充_平面问题-整体刚度矩阵
式中： Fi ——①号单元中第i（i=1,2,3）节点所受力。 表示，即 为了便于组装整体刚度矩阵，将上式以整体节点位移 y
(1) F1(1) K11 (1) (1) F2 K 21 (1) (1) F3 K 31 0 0 0 0 (1) K12 (1) K 22 (1) K 32 (1) K13 (1) K 23 (1) K 33
x
6
o
整体刚度矩阵
对于3单元，有
0 0 0 F (3) 0 K (3) 2 22 (3) (3) F 0 K 3 32 0 0 0 (3) (3) F 0 K 5 52
(3)
0
(3) K 23 (3) K 33
0
0
0
0 1 0 2 (2) 0 3 K 0 4 0 5
式中： Fi (2) ——②号单元中第i（i=1,3,4）节点所受力；
K (2) ——②号单元的扩大刚度矩阵。
y
4 ④ ② ① 1 2 3③ 5
K13 K 23 K 33 K 43 K 53
K14 K 24 K 34 K 44 K 54
K15 K 25 K 35 K 45 K 55
(1) (2) K13 K13 (1) (3) K 23 K 23 (1) (2) (3) (4) K 33 K 33 K 33 K 33 (2) (4) K 43 K 43 (3) (4) K 53 K 53
6-用有限单元法解平面问题
注： cos ( x j xi ) / l sin ( y j yi ) / l
1 [cos (u j ui ) sin (v j vi )] l AE N AE [cos (u j ui ) sin (v j vi )] l
单元刚度矩阵 其元素的含义 为，如kii为在i 节点产生水平 位移为1时在i节 点所需的水平 力
2019/2/24
cos sin sin 2 cos sin sin 2
cos 2 cos sin cos 2 cos sin
cos sin u xi sin 2 v yi cos sin u xj 2 sin v yj
2019/2/24
土木工程与力学学院 蒋一萱
6
§6.1
有限元法基本思想
有限单元法(FEM-Finite Element Method)基本思想：
1)将一个物体划分成数目有限的小块体(单元)，彼此之间只 在数目有限的指定点(结点)处相互连接，用单元的集合体来代 替原来的连续体；由于单元能按照不同的联结方式进行组合， 且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟几何形状非常复 杂的求解体。 2)有限元法利用在每一个单元内假设的的近似函数(形函数) 来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函 数由未知场函数在单元的各个节点的数值和其插值函数来表达。
弹性力学—第六章—用有限单元法解平面问题
位移列阵：
运用几何方程的应变列阵：
平面应力状态下的物理方程的矩阵表示：
有限元法的量
对于平面应变问题，在D中做如下变换： 换为 换为
有限元法的基本方程
有限元法的基本方程
在有限单元法中，作用于弹性体的各种外力常以作用于 某些点的等效集中力来代替。这些点上的集中力以及它 们相应的虚位移可用列阵表示为：
不考虑位移边界条件的情况下：
III IV II 4 5
3
6
结构整体分析（11）
j
I II IV
1N/m
i
III i
m
1
I
m
j
2
III IV II 4 5
3
6
考虑边界条件，去掉零位移对应的结点载荷：
至此，结构的整体结构刚度矩阵以及整体载荷列 阵都已经得到，下面根据平衡方程 求解 结点位移。
结构整体分析（12）
单元的结点力列阵与劲度矩阵（1）
：单元劲度矩阵
单元的结点力列阵与劲度矩阵（2）
单元的结点力列阵与劲度矩阵（3）
单元刚度矩阵的特点：
1. 单元刚度矩阵取决于单元的形状和弹性常数，与单元位 臵无关，与单元的大小无关。
2. 单元刚度矩阵是对称矩阵。
单元的结点力列阵与劲度矩阵（4）
- 举例
j
a y i, j, m可交替轮换
有限元分析——平面问题
μ=μ(x,y)=α1+α2x+α3y
Y
ν3
节点3(x3,y3)
μ3
ν=ν(x,y)=α4+α5x+α6y
将三个节点的位移代入，整理得
α1=
1 2A
u1 u2
x1 x2
y1 y2
u 3 x3 y3
ν1
μ1
ν2
节点1(x1,y1)
μ2 节点2(x2,y2)
O
X
图3 三节点三角形单元
1
α2=
1 2A
1
u1 u2
K(1) 12
K(1) 22
K(1) 32
K K12((1133))12 K3(13)3
为了便于组装整体刚度矩阵，将上式以整体节点位移表示，即
FFF132(((111)))
0
0
KK12((1111)) K03(11)
0
K(1) 12
K(1) 22
K(1) 32 0
0
K(1) 13
K(1) 23
Y
江西五十铃发动机有限公司
图2 平面应变问题
技术中心 5 /33
根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与 平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
第二节(1) 平面问题的有限单元法
]
wk.baidu.com
(3-14)
而子矩阵
bi 1 Bi ] = [ 0 2∆ ci 0 ci （i , j , m轮换） bi
(3-15)
由于∆和bi 、bj 、bm 、ci 、cj 、cm 等都是常量，所以矩阵 [B]中的诸元素都是常量，因而单元中各点的应变分量也都 是常量，通常称这种单元为常应变单元。
{δ }
e
=δ
[
T i
δ
T j
δ
T T m
] = [u
i
vi
T
uj
vj
um
vm
]
T
(3-7)
其中的子矩阵
{δ i } = [ui
vi ]
（i，j，m 轮换） (a)
式中 ui、vi 是节点i在x轴和y轴方向的位移。
返回
选择一个单元位移模式，单元内各点的位移可按此位移 模式由单元节点位移通过插值而获得。线性函数是一种 最简单的单元位移模式，故设
(
)
对于平面应变问题，只要将 (i) 式中的E换成E/1-µ2 ，µ 换成 µ /1-µ，即得到其弹性矩阵
1 E (1 − µ ) µ [ D] = 1 + µ 1 − 2 µ 1 − µ ( )( ) 0 对 1 0 称 1 − 2µ 2(1 − µ )
平面问题的有限元分析
ai x j ym y j xm
bi y j ym
ci xm x j
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析
1）用面积坐标建立单元位移场——面积坐标与直角坐标之间的关系
面积坐标用直角坐标表示的矩阵表达式为
Li Lj
Lm
1 2A
ai
a
j
am
bi bj bm
ci cj
由于应变矩阵是常数矩阵，若 单元厚度h也是常数。
K e BTDBhA
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 3）单元刚度矩阵
K e BTDBhA
代入 应变矩阵式 平面应力问题的弹性矩阵
平面应力问题中常应变三角形单元的刚度矩阵为
Kii Kij Kim
Ke
K
ji
K jj
K
jm
Kmi Kmj Kmm
《有限元基本理论及应用》
平面问题的有限元分析
有限元分析实质是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且
按一定方式相互连接在一起的子域(单元)，利用在每一个单元内假设 的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。
1）问题及求解域定义。 根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。
2）求解域离散化。 将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有
限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网格划分。 单元越小(网格越细)则离散域的近似程度越好，计算结果
平面问题有限元解法(公式推导讲解)
由y轴平衡条件，得：
py mx\ylxy
28.12.2020
h
18
几何方程
经过弹性体内的任意一点P，沿x
轴和y轴的正方向取两个微小长度
v
的线段PA＝dx和PB＝dy。假定弹
性体受力后，P,A,B三点分别移动
到P’,A’,B’.
v v dy
y
线段PA的线应变是： x
u
u x
dx
dx
u
u x
u
x
x
yx
y
fx
0
y
y
xy
x
fy
0
(1-1)
根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程：
x u x, y u y, xy x v u y
(1-2)
根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程：
x E 1 (x y ) ,y E 1 (y x ) ,x y 2 ( 1 E )x y
xy
从弹性体中取出一个微小的正平行六面体， x
它在x和y方向的尺寸分别为dx和dy，在z方
向的尺寸为一个单位长度。
以x为投影轴，列出投影的平衡方程：
Fx 0
y
yx
C
fx
x
x
x
dx
fy
xy
xy
x
dx
第六章 有限元法基础
第六章 有限元法概述
第一节 单元分析简例
1、单元分析的主要任务：
求出单元节点位移和节点力之间的转换关系。在推导此关系时规定：力和位移的方向若和坐标轴正方向一致者为正。
先举一个简单例子，图1示一拉压弹簧，弹簧系数为常量c ，其轴线和x 坐标轴重合，令此弹簧为一个单元，则弹簧的两端点i , j 是此单元的两个节点。设在节点i , j 上分别有轴向力j i U U ,和轴向位移
j
i
u
u ,。则当节点对单元有j i U U ,的作用力时，单元对节点有大小相
等、方向相反的反作用力，
节点力：
这节点和单元之间的作用力和反作用力都称为节点力，对单元来讲节点力是作用于单元之力。
2、节点力和节点位移的关系 。图1可分解为两步
1）设节点j 被固定，节点i 产生正位移i u ，则此时节点i 作用在单元上的力是i i cu U ='
而节点j 作用在单元上的力是i i cu U -='
2）是设节点i 被固定，节点j 产生正位移1u ，此节点j 对单元的作
用力是i i
cu U =''
i U i
u i
y
j u j
U j
x
节点i 对单元的作用力是
i
i
cu U -=''
将两式合并，就得到
⎪⎩⎪⎨
⎧+-=''+'=-=''+'=j i j
j i j
i i i i cu cu U U U cu cu U U U 由式可以看出一个节点上的节点力不仅决定于本节点的位移，而
且也决定于本单元其他节点的位移。
设以{}e F 表示单元节点力向量：
{}
⎭⎬⎫⎩⎨⎧=j i e
U U F 以{}e δ表示节点位移向量：
{}
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=j i e
第六章 有限元法基础1
第六章 有限元法概述
第一节 单元分析简例
1、单元分析的主要任务：
求出单元节点位移和节点力之间的转换关系。在推导此关系时规定：力和位移的方向若和坐标轴正方向一致者为正。
先举一个简单例子，图1示一拉压弹簧，弹簧系数为常量c ，其轴线和x 坐标轴重合，令此弹簧为一个单元，则弹簧的两端点i , j 是此单元的两个节点。设在节点i , j 上分别有轴向力j i U U ,和轴向位移
j
i
u u ,。则当节点对单元有j
i
U U ,的作用力时，单元对节点有大小相
等、方向相反的反作用力，
节点力：
这节点和单元之间的作用力和反作用力都称为节点力，对单元来讲节点力是作用于单元之力。
2、节点力和节点位移的关系 。图1可分解为两步
1）设节点j 被固定，节点i 产生正位移i u ，则此时节点i 作用在单元上的力是i i cu U ='
而节点j 作用在单元上的力是i i cu U -='
2）是设节点i 被固定，节点j 产生正位移1u ，此节点j 对单元的作用力是i i cu U =''
i U i
u i
y
j u j
U j
x
节点i 对单元的作用力是
i
i
cu U -=''
将两式合并，就得到
⎪⎩⎪⎨
⎧+-=''+'=-=''+'=j
i j j i j
i i i i cu cu U U U cu cu U U U 由式可以看出一个节点上的节点力不仅决定于本节点的位移，而且也决定于本单元其他节点的位移。
设以{}e
F 表示单元节点力向量：
{}
⎭⎬⎫⎩⎨⎧=j i e
U U F 以{}e
δ表示节点位移向量：
{}
⎭⎬⎫⎩⎨⎧=j i e
工程硕士第六章有限单元法解平面裂纹问题2006
第六有限单元法解平面裂纹问题应力强度因子
第1节 有限元素法简介 1. 基本步骤
（1）结构离散化, 将作为分析对象的弹性体离散化为有限个单元；
（2）元素分析，对每个单元, 形成连接结点位移和结点载荷的刚度矩阵； （3）全结构平衡，建立总刚度矩阵及全结构刚度方程； （4）边界条件处理；
（5）求解刚度方程， 确定结点位移； （6）求解应变、应力。 2. 基本公式
将连续体离散化后，根据收敛准则给定收敛的位移函数，各元素的内位移为：
{}[]{}αQ u = (6-1-1)
{}Q 为基底函数矩阵，{
}α为广义位移列阵。 位移函数可以多种函数形式, 最常用的是多项式。
例如：(1) 杆元：
x a a x u 21)(+=
即:
{}[]⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=21,1a a x u
(2) 平面四结点矩形板元：
xy
a y a x a a y x v xy
a y a x a a y x u 87654321),(),(+++=+++=
即:
{}⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=82111),(),(a a a xy y
x
xy
y x y x v y x u u 由位移边界条件：
{}[]{}αδC e = (6-1-2)
{}e δ为元素在局部坐标系中位移列阵。 C 为位移变换矩阵。
例如: 图6-1-1所示杆元
l
x
u i u j i j
图6-1-1 局部坐标系中的杆元素
边界条件为:
0=x , i u u =)0( l x =, j u l u =)(
即:
{}[]{}αδc a a l u u j i e =⎭
弹性力学平面问题的有限元法
按照形状分类
有限元可以分为一维、二维和三维有限元，分别适用于线弹性、平面应力和空间应力等问题。
按照未知量分类
有限元可以分为位移法和力法，其中位移法是最常用的一种方法。
03
CHAPTER
弹性力学平面问题的有限元法
离散化方法
弹性力学平面问题的离散化
将连续的弹性力学平面问题划分为有限个小的单元，每个单元具有特定的形状和大小。
边界条件和载荷
描述物体所受的外部力和约束条件。
弹性力学的基本概念
03
02
01
平衡方程
描述物体内部各点的应力分布情况，根据力的平衡原理建立。
几何方程
描述物体内部的应变分布情况，根据应变与位移的关系建立。
本构方程
描述应力与应变之间的关系，根据材料的弹性特性建立。
弹性力学的基本方程
只在平面内受力的情况，不考虑厚度方向的应力。
编程实现过程中，需要将连续的弹性力学问题离散化为有限个单元，并建立单元的力学模型和数学模型，然后通过编程语言实现单元分析、整体分析、边界条件处理等计算过程。
编程实现有限元法需要掌握一定的计算机编程语言和数值计算方法，同时需要具备弹性力学和有限元法的基本理论知识。
有限元法的编程实现
有限元法的软件应用是指利用已经开发好的有限元分析软件进行弹性力学问题的求解。
软件应用有限元法需要掌握相关软件的使用方法和操作技巧，同时需要具备一定的弹性力学和有限元法的基本理论知识。
有限元可以分为一维、二维和三维有限元，分别适用于线弹性、平面应力和空间应力等问题。
按照未知量分类
有限元可以分为位移法和力法，其中位移法是最常用的一种方法。
03
CHAPTER
弹性力学平面问题的有限元法
离散化方法
弹性力学平面问题的离散化
将连续的弹性力学平面问题划分为有限个小的单元，每个单元具有特定的形状和大小。
边界条件和载荷
描述物体所受的外部力和约束条件。
弹性力学的基本概念
03
02
01
平衡方程
描述物体内部各点的应力分布情况，根据力的平衡原理建立。
几何方程
描述物体内部的应变分布情况，根据应变与位移的关系建立。
本构方程
描述应力与应变之间的关系，根据材料的弹性特性建立。
弹性力学的基本方程
只在平面内受力的情况，不考虑厚度方向的应力。
编程实现过程中，需要将连续的弹性力学问题离散化为有限个单元，并建立单元的力学模型和数学模型，然后通过编程语言实现单元分析、整体分析、边界条件处理等计算过程。
编程实现有限元法需要掌握一定的计算机编程语言和数值计算方法，同时需要具备弹性力学和有限元法的基本理论知识。
有限元法的编程实现
有限元法的软件应用是指利用已经开发好的有限元分析软件进行弹性力学问题的求解。
软件应用有限元法需要掌握相关软件的使用方法和操作技巧，同时需要具备一定的弹性力学和有限元法的基本理论知识。
有限元法求解平面问题
求解三元一 次方程组
1
um xm ym 1 xi yi 1 xj yj 1 xm y m
u 1 2 x 3 y ui xi yi 4 j 5 x 6 y uv j xj y
4 5 xm 6 ym vm
m xm ym
j xj yj
限 元 分 析
2A 1 y 4 m[a a j v j am vm ] ximviym 2A 1 5 [bi vi j bx v jy bm vm ] j j j 2A xi yi i 1 6 [ci vi c j v j cm vm ] x 2A
节点载荷：作用在节点上的载荷（外力）。
[FL ]e [FLi FLj FLm ]T [FLi x FLi y FLj x FLj y FLmx FLm y ]T
单元位移：单元内位移分布（u(x,y), v(x,y)）
合 肥 工 业 大 学
d u v
T
第二节 结构离散化
2 单元类型
合 肥 工 业 大 学
复习:
虚位移：在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量。
数学意义：位移函数变分 u, v 2. 弹性力学能量原理
有 限 元 分 析
位移变分方程
U f x u f y v dxdy
A
平面问题有限元例题
u2 u3 v3 v4 T q / 3E q / 3E q / E q / ET
所以
q / E0 0 1/ 3 0 1/ 3 1 0 1T
返回
例3-2 图3-16所示为一平面应力问题离散化以后的结构图，
其中图（a）为离散化后的总体结构，图（b）为单元1，
2，3，4的结构，图（c）为单元3的结构。用有限元法计
0 0
1 0
1 0
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 3
3 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 5 0 0 1 0 0 2 0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
0 00 0 0 00 0
1 3
4
1
1
2
33
称
1 3
0
3
返1回
由于单元2若按341对应单元1的123排码时,则这两个单元刚 度矩阵内容完全一样，故有:
3
4
1
1
0 1
1 1 0 3
1 1 1
1
3
0
3
33 3 3
K 2 66
9E 16
4 3 对
2 1 33
1 3
4
弹性力学第6章：用有限元法解平面问题(徐芝纶第五版)
FEM是取结点位移δi 为基本未知数的。问题
是如何求应变、应力。
首先必须解决：由单元的结点位移 δe (δi δ，j δm T 来求出单元的位移函数 d (u(x,y) v(x,y)T。
应用插值公式，可由 δ求e 出位移d 。
这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，因 此称为位移模式。
第六章 用有限单元法解平面问题
uj vj um vm
Bδe。（a）
第六章 用有限单元法解平面问题
应变
B ——称为应变矩阵，用分块矩阵表示，
B(Bi Bj Bm ),
(b)
பைடு நூலகம்
Bi
1 2 A
bi 0
ci
0
ci bi
。
(i, j,m)
(c)
再应用物理方程，求出单元的应力列阵：
σ DεDBδe
Sδe ,
(d )
S——称为应力转换矩阵，写成分块形式为
思考题
1. 桁架的单元为杆件，而平面体的单元为 三角形块体，在三角形内仍是作为连续体 来分析的。前者可用结构力学方法求解， 后者只能用弹性力学方法求解，为什么？
2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单 元形状，如四边形单元？
第六章 用有限单元法解平面问题
§6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性
位移模式
u v
Ni 0
有限元法及程序设计教案
离散化的目的是将复杂的连续系统简化为易于分析的离散系统，以便进行数值计算。
离散化的精度和复杂度可以根据实际需求进行调整，以满足不同的计算精度和效率 要求。
பைடு நூலகம்
插值函数与形函数
1
插值函数用于描述有限元的物理量（如位移、应 变等）与节点变量（有限元的顶点或边界点）之 间的关系。
2
形函数是插值函数的基函数，用于描述有限元的 几何特性和物理特性。
案例三：复杂结构的有限元分析
总结词：综合实践
详细描述：复杂结构的有限元分析是有限元法的综合实践，涉及多种材料、边界条件和载荷的组合。 通过此案例，学生可以全面掌握有限元法的应用技巧，提高解决实际工程问题的能力。
05 有限元法的扩展与展望
有限元法与其他数值方法的结合
有限元法与有限体积法结合
通过有限元法处理复杂的几何形状，有限体积法处理流体流动， 实现流固耦合问题的求解。
特点
有限元法具有广泛的适用性，可以用于求解各种类型的微分方程和积分方程，特别适合处理复杂几何形状和边界 条件的问题；同时，有限元法可以通过选择不同的单元类型和参数，灵活地处理各种物理现象和工程问题。
有限元法的历史与发展
历史
有限元法的思想起源于20世纪40年代，但直到20世纪60年代才由克拉夫（Clough）首次提出“有限元 法”这一名称。此后，有限元法得到了广泛的应用和发展，逐渐成为工程领域中一种重要的数值计算方法。
离散化的精度和复杂度可以根据实际需求进行调整，以满足不同的计算精度和效率 要求。
பைடு நூலகம்
插值函数与形函数
1
插值函数用于描述有限元的物理量（如位移、应 变等）与节点变量（有限元的顶点或边界点）之 间的关系。
2
形函数是插值函数的基函数，用于描述有限元的 几何特性和物理特性。
案例三：复杂结构的有限元分析
总结词：综合实践
详细描述：复杂结构的有限元分析是有限元法的综合实践，涉及多种材料、边界条件和载荷的组合。 通过此案例，学生可以全面掌握有限元法的应用技巧，提高解决实际工程问题的能力。
05 有限元法的扩展与展望
有限元法与其他数值方法的结合
有限元法与有限体积法结合
通过有限元法处理复杂的几何形状，有限体积法处理流体流动， 实现流固耦合问题的求解。
特点
有限元法具有广泛的适用性，可以用于求解各种类型的微分方程和积分方程，特别适合处理复杂几何形状和边界 条件的问题；同时，有限元法可以通过选择不同的单元类型和参数，灵活地处理各种物理现象和工程问题。
有限元法的历史与发展
历史
有限元法的思想起源于20世纪40年代，但直到20世纪60年代才由克拉夫（Clough）首次提出“有限元 法”这一名称。此后，有限元法得到了广泛的应用和发展，逐渐成为工程领域中一种重要的数值计算方法。
12 第六章用有限元法解平面问题童中华
§6+ 有限元法及软件介绍
弹性力学问题的解法
解析方法：无穷小单元满足平衡微分方程、相容方程， 边界上满足应力和位移边界条件。问题转化成定义在连 续体上的偏微分方程问题。 有限元法：有限大单元满足平衡方程、临近单元位移连 续，边界上满足应力和位移边界条件。问题转化成定义 在有限多个单元上的代数方程问题。
8
安徽工业大学 建筑工程学院 《弹性力学》主讲：童中华 交流群： 213438710
第六章 用有限单元法解平面问题
§ 6+ 有限元法及软件介绍 § 6-1 基本量及基本方程的矩阵表示 § 6-2 有限单元法的概念
§ 6-3 单元的位移模式与解答的收敛性
9
安徽工业大学 建筑工程学院 《弹性力学》主讲：童中华 交流群： 213438710
5
x
习题图 4-1
安徽工业大学 建筑工程学院 《弹性力学》主讲：童中华 交流群： 213438710
习题4-1作业点评
=- =
q a
M 2
a
M 2
q
M 2
sin M ,
M 2
cos M
15
安徽工业大学 建筑工程学院 《弹性力学》主讲：童中华 交流群： 213438710
§6+ 有限元法及软件介绍
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简史
1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立， 并应用于工程问题。 1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学 问题和非线性问题，并得到迅速发展。 1970年后，FEM被引入我国，并很快地得 到应用和发展。
第六章 用有限单元法解平面问题
以下来导出FEM。 一. 结构离散化——将连续体变换为离散 化结构；
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
结力研究的对象是离散化结构。如桁架， 各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其 他联系（图（a））。
弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。
(a) 桁架
图 6-2
(b) 深梁（连续体）
第六章 用有限单元法解平面问题
F FLi
e L
FLj
FLm
T
(g)
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
(7) 对每一结点建立平衡方程。 作用于结点i上的力有：- Fi
各单元对i 结点的结点力
各单位移置到i 结点上的结点荷载FLi (h ) Fi FLi , (i 1,2,) 其中 表示对围绕i 结点的单元求和；
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 第一节 基本量及基本方程的矩阵表示
第二节
第三节
有限单元法的概念
单元的位移模式与解答的收敛性
第四节
第五节 第六节
单元的应变列阵和应力列阵
单元的结点力列阵与劲度列阵 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵
第六章 用有限单元法解平面问题
第七节
第八节 第九节
结构的整体分析结点平衡方程组
5 3
5 3
u u0 y, v v0 x,
可见刚体位移项在式（a）中均已反映。
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
对式（a）求应变，得
x 2 , y 6 , xy 3 5 , 可见常量应变也已反映。
（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。 在三角形单元内部，位移为连续； 在两单元边界ij 上， δ i 和δ j 之间均为线 性变化，也为连续。
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
为了保证FEM的收敛性，（1）和 （2）是必要条件，而加上（3）就为充 分条件。
第六章 用有限单元法解平面问题
思考题 1. 应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什 么必须从低次项开始选取？ 2. 试考虑：将结构力学解法引入到求解连续 体的问题时，位移模式的建立是一个关键性 工作，它使得单元(连续体)内部的分析工作 都有可能进行了。
(6-16)
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
u Ni d v 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
ui vi 0 u j N m v j u m v m
Nδ e。
(6-23)
导出方法
4. FEM的两种主要导出方法:
应用结力方法导出。 应用变分法导出。
5. 本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位 移求解的方法。且一般都以平面应力问 题来表示。
第六章 用有限单元法解平面问题
§6-1
基本量和基本方程的 矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
结构离散化
将连续体变换为离散化结构（图（c））： 即将连续体划分为有限多个、有限大小的单 元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结 起来，构成所谓‘离散化结构’。
(c) 深梁（离散化结构）
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。 图（c）与图（a）相比，两者都是离 散化结构；区别是，桁架的单元是杆件， 而图（c）的单元是三角形块体（注意：三 角形单元内部仍是连续体）。
第六章 用有限单元法解平面问题
思考题 1. 桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三 角形块体，在三角形内仍是作为连续体来 分析的。试考虑后者在用结构力学方法求 解时，将会遇到什么困难？ 2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单 元形状，如四边形单元？
第六章 用有限单元法解平面问题
位移模式
§6-3
(6-19)
A为三角形ijm的面积（图示坐标系中， i,j,m按逆时针编号），
1 xi 2A 1 xj 1 xm
yi y j 。 (6-20) ym
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
三结点三角形单元的位移模式，略去了 2 二次以上的项，因而其误差量级是o(x ); 且其中只包含了x, y 的一次项，所以在单元 中N i 的分布如图（a）所示， u和v 的分布如 图(b)、 (c) 所示。
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
二.应用结构力学方法(位移法)进行求解: 仿照桁架的结力位移法，来求解图 （c）的平面离散化结构。其中应注意， 三角形单元内部仍是连续体，应按弹力方 法进行分析。 分析步骤如下：
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
（1）取各结点位移 δi (ui v i )T (i 1,2,为基 ) 本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理 量,并均用 δi (i 1,2,) 来表示。 （2) 应用插值公式, 由单元结点位 T ，求单元的位移函数 移 δe ( δ i δ i δ m)
T
Fix
Fiy vi
i
Fiy
——单元对结点 的作用力，与Fi 数 值相同,方向相反， 作用于结点。
y v j Fjy j o
i
uj
Fjx
ui Fix
vm
Fmy
m x
um
Fmx
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
（6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功
等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
y
Fiy ,vi*
i
* Fjy ,v j
j
Fjx ,u* j
(6-15)
Fix ,ui*
其中
δ ——结点虚位移，
*
o
x
图6-1
ε
*
——对应的虚应变。
在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分 方程，后者不再列出。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2
有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：用结力方 法求解弹力问题。即 1. 将连续体变换为离散化结构。 2.再应用结力方法进行求解。
第六章 用有限单元法解平面问题
基本物理量
一.基本物理量： 体力 面力
f ( fx f y ) 。
T
(6-1) (6-2) (6-3) (6-4)
T
f ( fx f y ) 。
T
应力
应变 位移函数 结点力
ζ (σ x σ y τ xy )T 。
ε (ε x ε y γxy )T 。
T
d (u ( x, y ) , v( x, y )) 。 (6-5)
m
um
vm
vi
i m
ui
i j
m
vj
j
1 i (a)
uj
(b)
j
(c)
图 6-5
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
FEM中以后的一系列工作，都是以位
移模式为基础的。
所以当单元趋于很小时，即 x, y 0
时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了
保证FEM收敛性,位移模式应满足下列
条件：
第六章 用有限单元法解平面问题
F ( Fix Fiy Fjx Fjy )T 。
结点位移列阵 δ (ui vi u j v j ) 。
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
二. FEM中应用的方程： 1. 几何方程
u v u v ε x y x y
T
(6-6) (6-8)
2. 物理方程
σ Dε
其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是
0 1 μ E D μ 1 0 1 μ2 0 0 1 μ 2
(6-9)
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
3. 虚功方程
(δ* )T F * T (ε ) ζdxdyt,
A
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
泰勒级数展开式中，低次幂项是最重 要的。∴三角形单元的位移模式，可取为 u 1 2 x 3 y , （a） v 4 5 x 6 y。 插值公式 （a）在结点 xi , yi (i, j, m), 应等 于结点位移值 ui , vi (i, j, m),由此可求出1 ~ 6。
e
e
e
FLi 为已知值, Fi是用结点位移表示的值。 通过求解联立方程(h)，得出各结点位移值， 并从而求出各单元的应变和应力。
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
归纳起来，FEM分析的主要内容：
1. 将连续体变换为离散化结构。 2.应用结构力学方法求解离散化结构, 对单元进行分析：求出 （1）单元的位移模式， （2）单元的应变和应力列阵， （3）单元的结点力列阵， （4）单元的结点荷载列阵。 整体分析： 建立结点平衡方程组，求解各结点 的位移。
单元的位移模式与 解答的收敛性
FEM是取结点位移 δi 为基本未知数的。但 其中每一个单元仍是连续体，所以按弹力公 式求应变、应力时，必须首先解决：如何由 单元的结点位移 δe (δi δ j δm T 来求出单元的 位移函数d (u( x, y) v( x, y)T 。 应用插值公式， 可由δ e 求出位移d。这个插值公式表示了单 元中位移的分布形式，因此称为位移模式。
解题的具体步骤 单元的划分 计算成果的整理
第十节
计算实例
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章
用有限单元法解 平面问题
概述
1.有限元法(Finite Element Method，简称 FEM) —是弹力的一种近似解法。首先将 连续体变换为离散化结构，然后再应用 结力方法或变分法进行求解。 2. FEM的特点 （1）具有通用性和灵活性。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程 序，应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。 3. FEM简史 FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发 展和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次在论文中提出了FEM的 概念。
第六章 用有限单元法解平面问题
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
其中 1 ~ 6 包含 xi , yi ,及ui , vi ,。 将式 （a） 按未知数ui , vi , 归纳，可表示为
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。 或用矩阵表示为
其中：N — 称为形（态）函数矩阵。
e — 称为节点位移列阵。
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
其中：Ni (ai bi x ci y ) 2 A ,
(i, j , m)
xj ai xm
1 yi yj , , bi 1 ym ym
1 xi ci .(i, j, m) 1 xm
收敛性条件
（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。 （2）位移模式必须能反映单元的常量应变。 因为当单元 0 时，单元中的位移和应 变都趋近于基本量——刚体位移和常量 位移。
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
将式（a）写成
u 1 2 x y y, (b) 2 2 5 3 5 3 v 4 6 y x x。 2 2 与刚体位移相比，
e
ζ Hale Waihona Puke Baiduδ 。
e
(d)
（5）应用虚功方程，由单元的应力 ζ，求出 单元的结点力，表示为
F (Fi F j Fm kδ 。 (f )
e e
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
Fi ( Fix Fiy T ——结点对单元的作用力，作用
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi ( Fix Fiy
d (u( x, y), v( x, y)) 。
T
这个插值公式称为单元的位移模式，表示为
d Νδe。
(b)
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
（3）应用几何方程，由单元的位移函数d， 求出单元的应变，表示为
(c) ε Bδ 。 （4）应用物理方程，由单元的应变 ε ，求 出 单元的应力，表示为