第六章 有限元法解平面问题
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第6章 用有限元法解平面问题
2. FEM的特点
（1）具有通用性和灵活性。
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程序， 应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。
3. FEM简史
FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展 和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。
简史
1956年，特纳等人提出了FEM。
§6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性
FEM是取结点位移
题是如何求应变、应力。
位移模式
δi 为基本未知数的。问
e T δ ( δ δ δ 首先必须解决：由单元的结点位移 i j m T 来求出单元的位移函数 d (u ( x, y ) v ( x, y ) 。
应用插值公式，可由
Fjx ,u* j
Fix ,ui*
--结点虚位移; --对应的虚应变。
o
x
图6-1
在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡 微分方程，后者不再列出。
FEM的概念
§6-2 有限单元法的概 念
• FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度 • 的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由 • 度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数 • 值计算方法。 • 其理论基础是分片插值技术与变分原理。
应变
• 应用几何方程，求出单元的应变列阵：
u ε( x v y v u T ) x y ui vi 0 （ a） u cm j Bδe。 vj bm um v m
bi 1 0 2A ci
• 第八节
• 第九节 计算成果的整理 • • 第十节 计算实例 • 第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程
6-用有限单元法解平面问题
2、有限单元的基本思想
3、有限单元法的基本步骤
4、有限单元法的基本术语
5、有限单元法的特点 6、有限单元法的分类 7、有限单元法的发展方向
2019/2/24
土木工程与力学学院 蒋一萱
3
§6.1
有限元法基本思想
1.有限单元的发展：
有限单元法是一种数值计算方法，是1960年 Clough在分析飞机结构时提出并命名的，并 在弹性力学中得到广泛应用
注： cos ( x j xi ) / l sin ( y j yi ) / l
1 [cos (u j ui ) sin (v j vi )] l AE N AE [cos (u j ui ) sin (v j vi )] l
土木工程与力学学院 蒋一萱
Байду номын сангаас
fi k ii ui k ij uj
22
§6.2 有限元的直观方法
fi k ii ui k ij uj
节点平衡方程： Fi
e= j,m,p
k u k u
ii i e j , m, p ie
e
把所有节点平衡方程组成系统方程组
2.整体刚度矩阵
Fxi、Fyi是作用在 节点i上的节点力
根据节点力平衡 节点i的平衡
Fe Ke Ue
以杆ij为例
fi k ii Fe f , K e k j ji
2019/2/24
k ij ui , Ue k jj u j
KU = F
整体刚度 矩阵
土木工程与力学学院 蒋一萱 23
2019/2/24
弹性力学—第六章—用有限单元法解平面问题
- 在整体刚度矩阵中引入边界条件
1
需求解的结点还剩：
2
I III IV II 4 5 3
因此关于这六个零分量的六个平衡方程不 用建立，须将整体刚度矩阵的第1，3，7， 8，10，12以及同序列的各列去掉。最后 得到：
6
结构整体分析（10）
- 结点载荷
j
I II IV
1N/m
i
III i
m
1
I
m
j
2
例如，设单元 ij 边上受有x方向上的均布面力q，试求等效 结点载荷
载荷向结点移臵（7）
结构整体分析（1）
对于每个单元，我们已经知道了如何计算单元的劲度矩 阵以及载荷列阵：
结构整体分析（2）
根据虚功原理，我们也推导了结点力与结点位移的关系：
对于 i 点, 一个单元上的结点力为:
i 点的力平衡要求围绕 i 点的各单元产生的结点力与各单 元分配到 i 点的结点载荷相等。
3
6
结构整体分析（15）
1. 有限元法的求解步骤： 2. 划分有限元， 3. 利用已知的结点坐标以及结构的物理特性写出单元劲度 矩阵， 4. 利用整体编码与局部编码的关系写出整体刚度矩阵以及 力列阵， 5. 在整体刚度矩阵以及力列阵中将对应于零位移的行与列 划去，得到引入边界条件后的平衡方程组。 6. 求解平衡方程组，得到结点位移，并由此分析应力分布。
有限单元法的单元划分（2）
当结构具有凹槽或孔洞时，为了正确地描述应力集中效 应，必须把该处的网格画得很密。
当计算容量不允许时，可以分两次计算。第一次计算时， 将需要细化网格的目标区域的网格画得稀疏一点，甚至 和其他区域的网格大致相同，第二次计算时，将需要细 化的部分区域（区域边界上的结点位移是第一次计算后 的已知值）取出，利用第一次计算的计算结果，就可以 计算分析网格很密的目标区域了。
1
需求解的结点还剩：
2
I III IV II 4 5 3
因此关于这六个零分量的六个平衡方程不 用建立，须将整体刚度矩阵的第1，3，7， 8，10，12以及同序列的各列去掉。最后 得到：
6
结构整体分析（10）
- 结点载荷
j
I II IV
1N/m
i
III i
m
1
I
m
j
2
例如，设单元 ij 边上受有x方向上的均布面力q，试求等效 结点载荷
载荷向结点移臵（7）
结构整体分析（1）
对于每个单元，我们已经知道了如何计算单元的劲度矩 阵以及载荷列阵：
结构整体分析（2）
根据虚功原理，我们也推导了结点力与结点位移的关系：
对于 i 点, 一个单元上的结点力为:
i 点的力平衡要求围绕 i 点的各单元产生的结点力与各单 元分配到 i 点的结点载荷相等。
3
6
结构整体分析（15）
1. 有限元法的求解步骤： 2. 划分有限元， 3. 利用已知的结点坐标以及结构的物理特性写出单元劲度 矩阵， 4. 利用整体编码与局部编码的关系写出整体刚度矩阵以及 力列阵， 5. 在整体刚度矩阵以及力列阵中将对应于零位移的行与列 划去，得到引入边界条件后的平衡方程组。 6. 求解平衡方程组，得到结点位移，并由此分析应力分布。
有限单元法的单元划分（2）
当结构具有凹槽或孔洞时，为了正确地描述应力集中效 应，必须把该处的网格画得很密。
当计算容量不允许时，可以分两次计算。第一次计算时， 将需要细化网格的目标区域的网格画得稀疏一点，甚至 和其他区域的网格大致相同，第二次计算时，将需要细 化的部分区域（区域边界上的结点位移是第一次计算后 的已知值）取出，利用第一次计算的计算结果，就可以 计算分析网格很密的目标区域了。
平面问题的有限元分析
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 1）用面积坐标建立单元位移场——面积坐标的定义
Ai Apjm Aj Apmi Ak Apij
恒等关系：
A Ai Aj Am Aijm
P点位置可由3个比值来确定：
p(Li , Lj , Lm )
其中面积坐标：
Li Ai / A Lj Aj / A Lm Am / A
4)：单元推导。 对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中
包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元 各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵(结构力学中称刚度阵或 柔度阵)。
对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约
束。 5)总装集成。 将单元总装形成离散域的总矩阵方程(联合方程组)，反映对近似
0
Nm
Ni
I22
单元内任意一点的位移可由节点位移表示为：
N j I22
d
u
v
Nδe
e ui vi u j v j um
Nm I22
T
vm
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析
2）单元应变和单元应力
d
u
v
Nδe
代入
ε
x y
u / x v / y
xy
u / y v / x
其中
K rs
BrT DBshA
Eh
4(1 2 ) A
brbs
1
2
crcs
crbs
1
2
brcs
brcs
1
2
crbs
crcs
1
2
brbs
4.1 三角形常应变单元
平面问题的有限元法
ym
1
在节点j、m上，
Ni x j , y j
1 2
ai bi x j ci y j
0
Ni xm
,
ym
1 2
ai
bi xm
ci
ym
0
(a)
(b) (c)
返回
类似地有
N j xi , yi 0 , N j x j , y j 1 , N j xm , ym 0 Nm xi , yi 0 , Nm x j , y j 0 , Nm xm , ym 1
由（3-19）、（3-20）式不难看出，[S]中的诸元素都
是常量，所以每个单元中的应力分量也是常量。
可见，对于常应变单元，由于所选取的位移模式是线
性的，因而其相邻单元将具有不同的应力和应变，即在单
元的公共边界上应力和应变的值将会有突变，但位移却是
连续的。
返回
第三节
形函数的性质
在上节中，提出了形函数的概念，即
x j xm
（i , j , m轮换） (3-9)
v
1 2
ai
bi x ci yvi
aj
bjx cj y
vj
am bm x cm yvm
(f)
若令
Ni
1 2
ai
bi x
ci y
（i , j , m轮换） (3-10)
这样，位移模式 (e) 和 (f) 就可以写为
返回
u Ni ui N j u j N mum v Nivi N jv j Nmvm
, v j 4 5xi 6 yi
uj 1 2xj 3yj , vj 4 5xj 6yj
um 1 2 xm 3 ym , vm 4 5 xm 6 ym
有限元法求解平面问题
一般写成：
ai
业 大
xj yj 1 xj 1 y , xm ym bi 1 y j , ci 1 x (i, j, m) m m
学
第三节 单元位移模式 解的收敛性
用矩阵形式表示：
有 限 元 分 析
ui vi u 1 ai bi x ci y 0 a j bj x c j y 0 am bm x cm y 0 u j vj v 2A 0 ai bi x ci y 0 a j bj x c j y 0 am bm x cm y u m Ni 0 N j 0 N m 0 e N [ ]e vm [ ] 0 Ni 0 N j 0 N m 1 1 2 ai bi x ci y (i, j, m) u 1 这里： N i 形函数 2A [d ] e x y 0 0 0 3 v 4 N 形函数矩阵 则：[d ] 0 0 0 1 x y N
限 元 分 析
2A 1 y 4 m[a a j v j am vm ] ximviym 2A 1 5 [bi vi j bx v jy bm vm ] j j j 2A xi yi i 1 6 [ci vi c j v j cm vm ] x 2A
合 肥 工
1
业 大 学
D 题弹性矩阵：
平面应变问
有 限 元 分 析
第二节 结构离散化
合
肥
工
业
大
学
第二节 结构离散化 将连续体变换为离散化结构：将连续体划分为有限多个、有限大小的 单元，并使这些单元仅在一些节点处连接，构成所谓“离散化结构”。
有限元平面问题三角形实例
有限元平面问题三角形实例有限元法是一种常用的计算方法，可以用来解决各种工程问题。
其中，有限元平面问题是有限元法的一种应用，常用于分析三角形结构。
在有限元平面问题中，我们通常会将结构划分成许多小的单元，每个单元由节点和单元刚度矩阵组成。
而三角形结构则是有限元平面问题中常用的一种单元形状。
三角形结构的特点是简单而且易于处理，因此广泛应用于各种领域，如土木工程、机械工程、航空航天等。
下面我们就以一个实际的例子来说明如何应用有限元平面问题分析三角形结构。
假设我们要分析一个三角形钢板在受力作用下的变形情况。
首先，我们需要将钢板划分为许多小的三角形单元。
每个单元由三个节点组成，节点之间通过边连接。
在有限元分析中，我们需要对每个单元进行网格划分，并确定节点的坐标和边的长度。
然后，通过求解节点的位移和应力分布，可以得到钢板在受力作用下的变形情况。
具体来说，我们可以通过求解线性方程组来得到节点的位移。
而节点的应力则可以通过应变-位移关系来计算。
通过这种方式，我们可以得到钢板在受力作用下各个节点的位移和应力分布情况。
有限元平面问题的分析结果可以帮助我们了解结构的强度和刚度情况，为设计和优化提供依据。
例如，在钢板的设计中，我们可以通过有限元分析来确定合适的材料和尺寸，以满足结构的强度和刚度要求。
除了钢板，有限元平面问题还可以应用于其他类型的三角形结构。
例如，在土木工程中，我们可以使用有限元分析来分析三角形桥梁或者三角形支撑结构的变形和应力分布情况。
有限元平面问题是一种常用的分析方法，可以应用于各种三角形结构的分析。
通过对节点的位移和应力分布的求解，我们可以得到结构在受力作用下的变形情况。
这对于工程设计和优化至关重要，可以帮助我们提高结构的强度和刚度，确保其安全可靠。
弹性力学第6章：用有限元法解平面问题(徐芝纶第五版)
其中，
Ni (ai bi x ci y) / 2A。 (i, j, m)
第六章 用有限单元法解平面问题
应变
应用几何方程，求出单元的应变列阵 ：
ε ( u v v u )T x y x y
ui
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
vi
cm bm
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi (Fix Fiy T
－－单元对结点的 作用力，与 Fi 数值 相同,方向相反，作 用于结点。
Fiy vi
Fix i
ui
Fiy
y v j Fjy i
Fix
j
uj
F jx
vm Fmy
um
m Fmx
o
x
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
（5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2 有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度的离 散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的 考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计 算方法，其理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析； 3.整体分析。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 1.有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
Ni (ai bi x ci y) / 2A。 (i, j, m)
第六章 用有限单元法解平面问题
应变
应用几何方程，求出单元的应变列阵 ：
ε ( u v v u )T x y x y
ui
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
vi
cm bm
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi (Fix Fiy T
－－单元对结点的 作用力，与 Fi 数值 相同,方向相反，作 用于结点。
Fiy vi
Fix i
ui
Fiy
y v j Fjy i
Fix
j
uj
F jx
vm Fmy
um
m Fmx
o
x
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
（5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2 有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度的离 散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的 考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计 算方法，其理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析； 3.整体分析。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 1.有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
弹性力学平面问题有限元法61页PPT
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基Βιβλιοθήκη 谢谢！弹性力学平面问题有限元法
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
弹性力学平面问题的有限元法
形状函数
用于描述四节点四边形单元内任意一点的位移和 应力状态。
刚度矩阵
由四节点四边形单元的形状函数和弹性力学基本 公式构建，用于描述单元的刚度特性。
平面六面体八节点单元
六面体八节点单元
是一种三维有限元单元， 具有六个面和八个节点。
形状函数
用于描述六面体八节点 单元内任意一点的位移 和应力状态。
刚度矩阵
对复杂问题的处理能力有限
对于一些高度非线性或耦合问题，有限元法可能难以获得准确解，需要采用其他数值方法 或实验手段。
对高维问题的处理难度较大
随着问题维度的增加，有限元法的计算量和内存消耗会急剧增加，限制了其在高维问题中 的应用。
未来发展方向与挑战
高效算法设计
研究更高效的有限元算法，提高计算速度和精度，降低计算成本。
载荷向量的确定
根据边界条件和外力分布，确定每个节点的载荷 向量。
3
系统刚度矩阵与总载荷向量
将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组合起来，形 成系统刚度矩阵和总载荷向量。
求解线性方程组
线性方程组的求解
利用数值方法（如Gauss消去法、迭代法等）求解由 系统刚度矩阵和总载荷向量构成的线性方程组。
解的收敛性与稳定性
02 弹性力学基本方程
应力和应变的关系
01
02
03
胡克定律
在弹性范围内，应力与应 变之间存在线性关系，即 应力与应变成正比。
应变分量
描述物体变形的量，包括 线应变和角应变。
应力分量
描述物体内部受力情况的 量，包括正应力和剪切应 力。
平衡方程
静力平衡
物体在无外力作用下保持静止状态， 即合力为零。
弹性力学平面问题的有限元法
用于描述四节点四边形单元内任意一点的位移和 应力状态。
刚度矩阵
由四节点四边形单元的形状函数和弹性力学基本 公式构建，用于描述单元的刚度特性。
平面六面体八节点单元
六面体八节点单元
是一种三维有限元单元， 具有六个面和八个节点。
形状函数
用于描述六面体八节点 单元内任意一点的位移 和应力状态。
刚度矩阵
对复杂问题的处理能力有限
对于一些高度非线性或耦合问题，有限元法可能难以获得准确解，需要采用其他数值方法 或实验手段。
对高维问题的处理难度较大
随着问题维度的增加，有限元法的计算量和内存消耗会急剧增加，限制了其在高维问题中 的应用。
未来发展方向与挑战
高效算法设计
研究更高效的有限元算法，提高计算速度和精度，降低计算成本。
载荷向量的确定
根据边界条件和外力分布，确定每个节点的载荷 向量。
3
系统刚度矩阵与总载荷向量
将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组合起来，形 成系统刚度矩阵和总载荷向量。
求解线性方程组
线性方程组的求解
利用数值方法（如Gauss消去法、迭代法等）求解由 系统刚度矩阵和总载荷向量构成的线性方程组。
解的收敛性与稳定性
02 弹性力学基本方程
应力和应变的关系
01
02
03
胡克定律
在弹性范围内，应力与应 变之间存在线性关系，即 应力与应变成正比。
应变分量
描述物体变形的量，包括 线应变和角应变。
应力分量
描述物体内部受力情况的 量，包括正应力和剪切应 力。
平衡方程
静力平衡
物体在无外力作用下保持静止状态， 即合力为零。
弹性力学平面问题的有限元法
平面问题有限元解法(公式推导讲解)
位移边界条件：
应力边界条件：
若在su部分边界上给定了面力 和 ，则由平衡条件得出平面应力问题的应力(或面力）边界条件为：
其中，l,m是边界面外法线的方向余弦。
*
圣维南原理
在求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足区域内的三套基本方程，还必须满足边界上的边界条件。但是，要使边界条件得到完全满足，往往遇到很大的困难。
有限单元法的分析步骤如下： 物体离散化 单元特性分析 单元组集，整体分析 求解未知节点的位移 由节点的位移求解各单元的位移和应力
*
有限元单元模型中几个重要概念
单元 网格划分中每一个小的块体 节点 确定单元形状、单元之间相互联结的点 节点力 单元上节点处的结构内力 载荷 作用在单元节点上的外力 （集中力、分布力） 约束 限制某些节点的某些自由度 弹性模量（杨式模量）E 泊松比（横向变形系数）μ 密度
由于（d）图中，面力连续分布，边界条件简单，应力容易求得。其它三种情况，应力难以求得。把d情况下的应力解答应用到其它三个情况，虽不能满足两端的应力边界条件，但仍然可以表明离杆端较远处的应力状态，没有显著的误差。 图e，构件右端有位移边界条件， ，d情况的解答，不能满足位移边界条件，但e图右端的面力，一定是合成为经过截面形心的力F。所以把图d情况的解答应用于图e时，仍然只是在靠近两端处有显著的误差，而在离两端较远之处，误差可以不计。
按位移求解的方法，称为位移法。它以位移分量为基本未知函数。
按应力求解的方法，称为应力法。它以应力分量为基本未知函数。
*
按位移法求解平面问题
平面问题中，取位移分量u和v为基本未知函数。 从方程中消去形变分量和应力分量：
将几何方程代入上式
利用平衡微分方程和边界条件，导出用位移表示的平衡微分方程：
应力边界条件：
若在su部分边界上给定了面力 和 ，则由平衡条件得出平面应力问题的应力(或面力）边界条件为：
其中，l,m是边界面外法线的方向余弦。
*
圣维南原理
在求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足区域内的三套基本方程，还必须满足边界上的边界条件。但是，要使边界条件得到完全满足，往往遇到很大的困难。
有限单元法的分析步骤如下： 物体离散化 单元特性分析 单元组集，整体分析 求解未知节点的位移 由节点的位移求解各单元的位移和应力
*
有限元单元模型中几个重要概念
单元 网格划分中每一个小的块体 节点 确定单元形状、单元之间相互联结的点 节点力 单元上节点处的结构内力 载荷 作用在单元节点上的外力 （集中力、分布力） 约束 限制某些节点的某些自由度 弹性模量（杨式模量）E 泊松比（横向变形系数）μ 密度
由于（d）图中，面力连续分布，边界条件简单，应力容易求得。其它三种情况，应力难以求得。把d情况下的应力解答应用到其它三个情况，虽不能满足两端的应力边界条件，但仍然可以表明离杆端较远处的应力状态，没有显著的误差。 图e，构件右端有位移边界条件， ，d情况的解答，不能满足位移边界条件，但e图右端的面力，一定是合成为经过截面形心的力F。所以把图d情况的解答应用于图e时，仍然只是在靠近两端处有显著的误差，而在离两端较远之处，误差可以不计。
按位移求解的方法，称为位移法。它以位移分量为基本未知函数。
按应力求解的方法，称为应力法。它以应力分量为基本未知函数。
*
按位移法求解平面问题
平面问题中，取位移分量u和v为基本未知函数。 从方程中消去形变分量和应力分量：
将几何方程代入上式
利用平衡微分方程和边界条件，导出用位移表示的平衡微分方程：
用有限元方法解平面温度场问题
用有限元方法解平面温度场问题
部门： xxx
时间： xxx
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引入权函数，方程和第二类边界条件分别等价于
由于上述两个积分区域互相独立，因此问题等价于又
将得：
由于是定义在内的函数，在边界上可任取，不妨取将，可使方程简化：
取，则
将代入得：
设泛函
所以该问题为泛函的极小值问题。
在图示问题的每一个单元中
由于
对整个绝热温度场问题，，设
图示问题的刚度矩阵
泛函的极小值问题等价于
写成矩阵形式为：
当已知时，只需取方程组的其中两行
用这种方法，可以对矩形区域的温度场进行求解，同时也可以给定不同的边界条件，例如在矩形区域内设置一些已知温度的点，同时也可以将网格划分得更密些，并得到可视化的结果，我做了一个尝试，将左边界取成160℃，右边界取成40℃，中间去了三个点，温度分别为40℃，10℃，160℃，划分网格时将x方向划分成100段，y方向划分成50段，得到的温度分布云图和网格如图：b5E2RGbCAP
申明：
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相关主题
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F ( Fix Fiy Fjx Fjy )T 。
结点位移列阵 δ (ui vi u j v j ) 。
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
二. FEM中应用的方程： 1. 几何方程
u v u v ε x y x y
T
(6-6) (6-8)
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
其中 1 ~ 6 包含 xi , yi ,及ui , vi ,。 将式 （a） 按未知数ui , vi , 归纳，可表示为
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。 或用矩阵表示为
T
Fix
Fiy vi
i
Fiy
——单元对结点 的作用力，与Fi 数 值相同,方向相反， 作用于结点。
y v j Fjy j o
i
uj
Fjx
ui Fix
vm
Fmy
m x
um
Fmx
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
（6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功
等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
5 3
5 3
u u0 y, v v0 x,
可见刚体位移项在式（a）中均已反映。
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
对式（a）求应变，得
x 2 , y 6 , xy 3 5 , 可见常量应变也已反映。
（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。 在三角形单元内部，位移为连续； 在两单元边界ij 上， δ i 和δ j 之间均为线 性变化，也为连续。
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
泰勒级数展开式中，低次幂项是最重 要的。∴三角形单元的位移模式，可取为 u 1 2 x 3 y , （a） v 4 5 x 6 y。 插值公式 （a）在结点 xi , yi (i, j, m), 应等 于结点位移值 ui , vi (i, j, m),由此可求出1 ~ 6。
结构离散化
将连续体变换为离散化结构（图（c））： 即将连续体划分为有限多个、有限大小的单 元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结 起来，构成所谓‘离散化结构’。
(c) 深梁（离散化结构）
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。 图（c）与图（a）相比，两者都是离 散化结构；区别是，桁架的单元是杆件， 而图（c）的单元是三角形块体（注意：三 角形单元内部仍是连续体）。
e
ζ Sδ 。
e
(d)
（5）应用虚功方程，由单元的应力 ζ，求出 单元的结点力，表示为
F (Fi F j Fm kδ 。 (f )
e e
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
Fi ( Fix Fiy T ——结点对单元的作用力，作用
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi ( Fix Fiy
第六章 用有限单元法解平面问题
思考题 1. 桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三 角形块体，在三角形内仍是作为连续体来 分析的。试考虑后者在用结构力学方法求 解时，将会遇到什么困难？ 2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单 元形状，如四边形单元？
第六章 用有限单元法解平面问题
位移模式
§6-3
(6-19)
A为三角形ijm的面积（图示坐标系中， i,j,m按逆时针编号），
1 xi 2A 1 xj 1 xm
yi y j 。 (6-20) ym
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
三结点三角形单元的位移模式，略去了 2 二次以上的项，因而其误差量级是o(x ); 且其中只包含了x, y 的一次项，所以在单元 中N i 的分布如图（a）所示， u和v 的分布如 图(b)、 (c) 所示。
第六章 用有限单元法解平面问题
基本物理量
一.基本物理量： 体力 面力
f ( fx f y ) 。
T
(6-1) (6-2) (6-3) (6-4)
T
f ( fx f y ) 。
T
应力
应变 位移函数 结点力
ζ (σ x σ y τ xy )T 。
ε (ε x ε y γxy )T 。
T
d (u ( x, y ) , v( x, y )) 。 (6-5)
简史
1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立， 并应用于工程问题。 1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学 问题和非线性问题，并得到迅速发展。 1970年后，FEM被引入我国，并很快地得 到应用和发展。
第六章 用有限单元法解平面问题
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
二.应用结构力学方法(位移法)进行求解: 仿照桁架的结力位移法，来求解图 （c）的平面离散化结构。其中应注意， 三角形单元内部仍是连续体，应按弹力方 法进行分析。 分析步骤如下：
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
（1）取各结点位移 δi (ui v i )T (i 1,2,为基 ) 本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理 量,并均用 δi (i 1,2,) 来表示。 （2) 应用插值公式, 由单元结点位 T ，求单元的位移函数 移 δe ( δ i δ i δ m)
其中：N — 称为形（态）函数矩阵。
e — 称为节点位移列阵。
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
其中：Ni (ai bi x ci y ) 2 A ,
(i, j , m)
xj ai xm
1 yi yj , , bi 1 ym ym
1 xi ci .(i, j, m) 1 xm
导出方法
4. FEM的两种主要导出方法:
应用结力方法导出。 应用变分法导出。
5. 本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位 移求解的方法。且一般都以平面应力问 题来表示。
第六章 用有限单元法解平面问题
§6-1
基本量和基本方程的 矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
d (u( x, y), v( x, y)) 。
T
这个插值公式称为单元的位移模式，表示为
d Νδe。
(b)
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
（3）应用几何方程，由单元的位移函数d， 求出单元的应变，表示为
(c) ε Bδ 。 （4）应用物理方程，由单元的应变 ε ，求 出 单元的应力，表示为
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程 序，应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。 3. FEM简史 FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发 展和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次在论文中提出了FEM的 概念。
第六章 用有限单元法解平面问题
m
um
vm
vi
i m
ui
i j
m
vj
j
1 i (a)
uj
(b)
j
(c)
图 6-5
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
FEM中以后的一系列工作，都是以位
移模式为基础的。
所以当单元趋于很小时，即 x, y 0
时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了
保证FEM收敛性,位移模式应满足下列
条件：
第六章 用有限单元法解平面问题
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 第一节 基本量及基本方程的矩阵表示
第二节
第三节
有限单元法的概念
单元的位移模式与解答的收敛性
第四节
第五节 第六节
单元的应变列阵和应力列阵
单元的结点力列阵与劲度列阵 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵
第六章 用有限单元法解平面问题
第七节
第八节 第九节
结构的整体分析结点平衡方程组
y
Fiy ,vi*
i
* Fjy ,v j
j
Fjx ,u* j
(6-15)
Fix ,ui*
其中
δ ——结点虚位移，
*
o
x
图6-1
ε
*
——对应的虚应变。
在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分 方程，后者不再列出。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2
有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：用结力方 法求解弹力问题。即 1. 将连续体变换为离散化结构。 2.再应用结力方法进行求解。
单元的位移模式与 解答的收敛性
FEM是取结点位移 δi 为基本未知数的。但 其中每一个单元仍是连续体，所以按弹力公 式求应变、应力时，必须首先解决：如何由 单元的结点位移 δe (δi δ j δm T 来求出单元的 位移函数d (u( x, y) v( x, y)T 。 应用插值公式， 可由δ e 求出位移d。这个插值公式表示了单 元中位移的分布形式，因此称为位移模式。
以下来导出FEM。 一. 结构离散化——将连续体变换为离散 化结构；
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
结力研究的对象是离散化结构。如桁架， 各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其 他联系（图（a））。
弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。
(a) 桁架
结点位移列阵 δ (ui vi u j v j ) 。
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
二. FEM中应用的方程： 1. 几何方程
u v u v ε x y x y
T
(6-6) (6-8)
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
其中 1 ~ 6 包含 xi , yi ,及ui , vi ,。 将式 （a） 按未知数ui , vi , 归纳，可表示为
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。 或用矩阵表示为
T
Fix
Fiy vi
i
Fiy
——单元对结点 的作用力，与Fi 数 值相同,方向相反， 作用于结点。
y v j Fjy j o
i
uj
Fjx
ui Fix
vm
Fmy
m x
um
Fmx
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
（6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功
等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
5 3
5 3
u u0 y, v v0 x,
可见刚体位移项在式（a）中均已反映。
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
对式（a）求应变，得
x 2 , y 6 , xy 3 5 , 可见常量应变也已反映。
（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。 在三角形单元内部，位移为连续； 在两单元边界ij 上， δ i 和δ j 之间均为线 性变化，也为连续。
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
泰勒级数展开式中，低次幂项是最重 要的。∴三角形单元的位移模式，可取为 u 1 2 x 3 y , （a） v 4 5 x 6 y。 插值公式 （a）在结点 xi , yi (i, j, m), 应等 于结点位移值 ui , vi (i, j, m),由此可求出1 ~ 6。
结构离散化
将连续体变换为离散化结构（图（c））： 即将连续体划分为有限多个、有限大小的单 元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结 起来，构成所谓‘离散化结构’。
(c) 深梁（离散化结构）
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。 图（c）与图（a）相比，两者都是离 散化结构；区别是，桁架的单元是杆件， 而图（c）的单元是三角形块体（注意：三 角形单元内部仍是连续体）。
e
ζ Sδ 。
e
(d)
（5）应用虚功方程，由单元的应力 ζ，求出 单元的结点力，表示为
F (Fi F j Fm kδ 。 (f )
e e
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
Fi ( Fix Fiy T ——结点对单元的作用力，作用
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi ( Fix Fiy
第六章 用有限单元法解平面问题
思考题 1. 桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三 角形块体，在三角形内仍是作为连续体来 分析的。试考虑后者在用结构力学方法求 解时，将会遇到什么困难？ 2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单 元形状，如四边形单元？
第六章 用有限单元法解平面问题
位移模式
§6-3
(6-19)
A为三角形ijm的面积（图示坐标系中， i,j,m按逆时针编号），
1 xi 2A 1 xj 1 xm
yi y j 。 (6-20) ym
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
三结点三角形单元的位移模式，略去了 2 二次以上的项，因而其误差量级是o(x ); 且其中只包含了x, y 的一次项，所以在单元 中N i 的分布如图（a）所示， u和v 的分布如 图(b)、 (c) 所示。
第六章 用有限单元法解平面问题
基本物理量
一.基本物理量： 体力 面力
f ( fx f y ) 。
T
(6-1) (6-2) (6-3) (6-4)
T
f ( fx f y ) 。
T
应力
应变 位移函数 结点力
ζ (σ x σ y τ xy )T 。
ε (ε x ε y γxy )T 。
T
d (u ( x, y ) , v( x, y )) 。 (6-5)
简史
1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立， 并应用于工程问题。 1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学 问题和非线性问题，并得到迅速发展。 1970年后，FEM被引入我国，并很快地得 到应用和发展。
第六章 用有限单元法解平面问题
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
二.应用结构力学方法(位移法)进行求解: 仿照桁架的结力位移法，来求解图 （c）的平面离散化结构。其中应注意， 三角形单元内部仍是连续体，应按弹力方 法进行分析。 分析步骤如下：
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
（1）取各结点位移 δi (ui v i )T (i 1,2,为基 ) 本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理 量,并均用 δi (i 1,2,) 来表示。 （2) 应用插值公式, 由单元结点位 T ，求单元的位移函数 移 δe ( δ i δ i δ m)
其中：N — 称为形（态）函数矩阵。
e — 称为节点位移列阵。
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
其中：Ni (ai bi x ci y ) 2 A ,
(i, j , m)
xj ai xm
1 yi yj , , bi 1 ym ym
1 xi ci .(i, j, m) 1 xm
导出方法
4. FEM的两种主要导出方法:
应用结力方法导出。 应用变分法导出。
5. 本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位 移求解的方法。且一般都以平面应力问 题来表示。
第六章 用有限单元法解平面问题
§6-1
基本量和基本方程的 矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
d (u( x, y), v( x, y)) 。
T
这个插值公式称为单元的位移模式，表示为
d Νδe。
(b)
第六章 用有限单元法解平面问题
结力法求解
（3）应用几何方程，由单元的位移函数d， 求出单元的应变，表示为
(c) ε Bδ 。 （4）应用物理方程，由单元的应变 ε ，求 出 单元的应力，表示为
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程 序，应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。 3. FEM简史 FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发 展和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次在论文中提出了FEM的 概念。
第六章 用有限单元法解平面问题
m
um
vm
vi
i m
ui
i j
m
vj
j
1 i (a)
uj
(b)
j
(c)
图 6-5
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
FEM中以后的一系列工作，都是以位
移模式为基础的。
所以当单元趋于很小时，即 x, y 0
时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了
保证FEM收敛性,位移模式应满足下列
条件：
第六章 用有限单元法解平面问题
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 第一节 基本量及基本方程的矩阵表示
第二节
第三节
有限单元法的概念
单元的位移模式与解答的收敛性
第四节
第五节 第六节
单元的应变列阵和应力列阵
单元的结点力列阵与劲度列阵 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵
第六章 用有限单元法解平面问题
第七节
第八节 第九节
结构的整体分析结点平衡方程组
y
Fiy ,vi*
i
* Fjy ,v j
j
Fjx ,u* j
(6-15)
Fix ,ui*
其中
δ ——结点虚位移，
*
o
x
图6-1
ε
*
——对应的虚应变。
在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分 方程，后者不再列出。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2
有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：用结力方 法求解弹力问题。即 1. 将连续体变换为离散化结构。 2.再应用结力方法进行求解。
单元的位移模式与 解答的收敛性
FEM是取结点位移 δi 为基本未知数的。但 其中每一个单元仍是连续体，所以按弹力公 式求应变、应力时，必须首先解决：如何由 单元的结点位移 δe (δi δ j δm T 来求出单元的 位移函数d (u( x, y) v( x, y)T 。 应用插值公式， 可由δ e 求出位移d。这个插值公式表示了单 元中位移的分布形式，因此称为位移模式。
以下来导出FEM。 一. 结构离散化——将连续体变换为离散 化结构；
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
结力研究的对象是离散化结构。如桁架， 各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其 他联系（图（a））。
弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。
(a) 桁架