三角函数辅助角公式练习题

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辅助角公式练习题

在数学中，辅助角公式是解决三角函数的重要工具之一。它们帮助我们在计算

复杂的三角函数问题时，能够简化运算并得到准确的结果。本文将通过一些练

习题来巩固和应用辅助角公式的知识。

题目一：计算sin(75°)

解析：我们知道sin(75°)可以表示为sin(45°+30°)。利用辅助角公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，我们可以将sin(75°)转化为

sin(45°)cos(30°)+cos(45°)sin(30°)。根据三角函数的定义，

sin(45°)=cos(45°)=√2/2，sin(30°)=1/2，cos(30°)=√3/2。代入公式，我们得到sin(75°)=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。

题目二：计算tan(105°)

解析：我们可以将t an(105°)表示为tan(45°+60°)。利用辅助角公式

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)，我们可以将tan(105°)转化为

(tan(45°)+tan(60°))/(1-tan(45°)tan(60°))。根据三角函数的定义，tan(45°)=1，

tan(60°)=√3。代入公式，我们得到tan(105°)=(1+√3)/(1-√3)。

题目三：计算cos(105°)

解析：我们可以将cos(105°)表示为cos(45°+60°)。利用辅助角公式

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB，我们可以将cos(105°)转化为cos(45°)cos(60°)-

辅助角公式专题练习

辅助角公式专题训练

一．知识点回顾

其中辅助角ϕ

由cos sin ϕϕ⎧

=⎪

⎪

⎨⎪=

⎪⎩

ϕ的终边经过点(,)a b

二．训练

1.化下列代数式为一个角的三角函数（1

）1sin cos 22

αα+

；（2

cos αα+；（3）sin cos αα- （4

）

sin()cos()6363

ππαα-+-． 2、如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-

对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1

、已知函数()2cos .f x x x =-[0,],()x f x π∈求的值域

4、函数2cos(2), [,]664y x x πππ

=+∈-的值域

5、求5sin 12cos αα+ 的最值

6．求函数y ＝cos x ＋cos ⎝

⎛⎭⎪⎫

x ＋π3的最大值

已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点

的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z π

ππ-+

∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36

k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],6

k k k Z

ππππ++∈

参考答案

1.（6

）

sin cos )

)

a x

b x x x x ϕ+=+

其中辅助角ϕ

由cos sin ϕϕ⎧

=⎪

⎪

⎨⎪=

⎪⎩

确定，即辅助角ϕ的终边经过点(,)a b

2.[答案] C

[解析] y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭

辅助角公式练习题

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辅助角公式练习题

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20200628手动选题组卷3

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

函数y=5sinx−π6−12cosx−π6的最大值是( )

A. 13

B. 17

C. −13

D. 12

已知函数f(x)=4sin(ωx−π4)sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期与函数

y=2sin2x+cos2x的最小正周期相同，且tanα=34，α∈(0,π2)，则f(α)等于( )

A. 725

B. −1425

C. 2425

D. −1225

设函数f(x)=sin(2x+3π4)−cos(2x+3π4)，则( )

A. f(x)在(0,π2)单调递增，其图象关于直线x=π4对称

B. f(x)在(0,π2)单调递增，其图象关于直线x=π2对称

C. f(x)在(0,π2)单调递减，其图象关于直线x=π2对称

D. f(x)在(0,π2)单调递减，其图象关于直线x=π4对称

设当x=θ时，函数f(x)=2sinx−cosx取得最大值，则cosθ=()

A. 255

B. 55

C. −255

D. −55

将偶函数f(x)=3sin(2x+φ)−cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π6个单位，得到y=g(x)的图象，则g(x)的一个单调递减区间为( )

辅助角公式习题

8
对称，那么 a=( )
（A） 2 （B） 2 （C）1 （D）-1
，求
f
(x)
的值；
（2）将函数 f (x) 的图像向右平移 m 个单位，使平移后的图像
关于原点对称，若 0 m ，求 m 的值.
例 2、已知 f (x) cos(2x ) cos2x .
3 （1）求函数 f (x) 的最小正周期和图像的对称轴方程；
（2）求函数
f
(x)
在区间
12
,
2
上的值域
sin40sin80
例3、化简
cos40cos80
例4、化简 2sin130 sin100 (1 3 tan 370 ) . cos 5
例 5、若 cos 2sin 5, 则 tan =( )
（A） 1 （B）2 （C） 1 （D） 2
2
2
例 6、如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
辅助角公式
统一函数名 ,也即化单名三角函数
asixn bco x sa2b2sinx()
其中 a co ,s b sin .
a2b2
a2b2
例1、已知函数 f (x) 3 sin x 1 cos x .
4
4
（1）若 cos

三角函数辅助角公式

第一类：一次辅助角()sin cos f x a x b x =±

()sin cos f x a x b x =±)x ϕ±(辅助角ϕ由点(,)a b 决定,tan b a

ϕ=

例如：sin cos αα±))4

αϕα±=±

sin αα)2sin()3π

αϕα±=± cos αα±=2sin()6

α±

第二类：二次辅助角()()2

sin cos cos ,0f x a ωx ωx b ωx a b =±>

()()()sin 2cos 212tan 22

2a b

b b f x ωx ωx ωx a φφ⎛⎫

=±+=

±±= ⎪⎝⎭

若遇到2sin α，则通过公式22sin 1cos αα=-转化成2cos α

注意：（1）()()

4422222cos sin cos sin cos sin cos22cos 1αααααααα-=-+==- （2）()2

22sin ()sin cos 12sin cos 4

ααααα±=±=±

【例12】求证：sin cos a b αα±)αϕ±．（其中tan b

ϕ=

）

【例13】若方程2cos 2cos 1x x x k -=+有解，则k ∈ ．

【例14】已知354cos 6sin =

+⎪⎭⎫ ⎝⎛+απα，则⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+3sin πα的值为（） A ．

B ．

3 C ．2

3 D ．

【例15】已知函数())2sin cos f x x x x x R +∈. （1）若0,2x π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，求()f x 的最大值；

辅助角公式专题练习

。

辅助角公式专题训练

一．知识点回顾

sin cos )

)

a x

b x x x x ϕ+=+

其中辅助角ϕ由cos sin ϕϕ⎧

=⎪

⎪

⎨⎪=

⎪⎩

确定，即辅助角ϕ的终边经过点(,)a b

二．训练

1.化下列代数式为一个角的三角函数（1）1sin cos 22

αα+；（2cos αα+；

（3）sin cos αα- （4sin()cos()6363

ππ

αα-+-．

2、如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π

对称，那么a= ( )

（A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1

3、已知函数()2cos .f x x x =-[0,],()x f x π∈求的值域

。

4、函数2cos(2), [,]664y x x πππ

=+∈-的值域

5、求5sin 12cos αα+ 的最值

6．求函数y ＝cos x ＋cos ⎝

⎛⎭⎪⎫

x ＋π3的最大值

7.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=

+>，()y f x =的图像与直线2y =的

两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是（过程

( )

A.5[,],12

12k k k Z π

ππ-+

∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈ C.[,3

k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],6

k k k Z ππππ++∈ （果

过程

。

参考答案

1.（6）

sin cos )

)

a x

b x x x x ϕ+==+

其中辅助角ϕ由cos sin ϕϕ⎧

=⎪

⎪

⎨⎪=

⎪

⎩

确定，即辅助角ϕ的终边经过点(,)a b

三角函数辅助角公式练习题

A、f (2 x) f(x)

B、f (2 x) f(x)

C、f( x) f (x)

D、f ( x) f (x)

2.sin15 c0s30 sin75 的值等于

1.已知函数f(x) 陀，则下列等式成立的是(

A. B.

3.函数y= sin (4 — 2x)的单调增区间

是

3 n n

A. [k n—— , k n+孑](k€ Z)

8 8

n 3 n

C. :k n—8 , k —

: (k€ Z)

B. [ k n+ ，

5 n

k n+~8 : (k € Z)

7 n

,k 卄-:(k€ Z)

4.已知函数 f(x) = log 1 (sinx—

cosx)

(1)求它的定义域和值域；(2)求它的单调减区间；

(3)判断它的奇偶性；(4 )判断它的周期性，如果是周期函数, 求出它的一个周期

(最新整理)三角函数辅助角公式练习题

(完整)三角函数辅助角公式练习题

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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)三角函数辅助角公式练习题的全部内容。

1.已知函数2

cos )(x x f =，则下列等式成立的是（） A 、)()2(x f x f =-π B 、)()2(x f x f =+π

C 、)()(x f x f -=-

D 、)()(x f x f =-

2.sin15°cos30°sin75°

的值等于

（ )

A. 错误! B 。错误! C 。错误! D 。错误! 3。函数y ＝sin （错误!－2x )的单调增区间是（）

A.[kπ－错误!，kπ＋错误!］(k ∈Z ）

B.［kπ＋错误!，kπ＋错误!］(k ∈Z )

C.［kπ－错误!，kπ＋错误!］（k ∈Z ) D 。［kπ＋错误!，kπ＋错误!］(k ∈Z )

4.已知函数f （x ）＝2

1log （sin x －cos x )

（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；

（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期.

5.已知函数y=2

1cos 2x+2

3sinx ·cosx+1 （x ∈R ），（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合; （2）该函数的图像可由y=sinx （x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

辅助角公式练习题

资料范本

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辅助角公式练习题

地点：__________________

时间：__________________

20200628手动选题组卷3

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

函数y=5sinx−π6−12cosx−π6的最大值是( )

A. 13

B. 17

C. −13

D. 12

已知函数f(x)=4sin(ωx−π4)sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期与函数

y=2sin2x+cos2x的最小正周期相同，且tanα=34，α∈(0,π2)，则f(α)等于( )

A. 725

B. −1425

C. 2425

D. −1225

设函数f(x)=sin(2x+3π4)−cos(2x+3π4)，则( )

A. f(x)在(0,π2)单调递增，其图象关于直线x=π4对称

B. f(x)在(0,π2)单调递增，其图象关于直线x=π2对称

C. f(x)在(0,π2)单调递减，其图象关于直线x=π2对称

D. f(x)在(0,π2)单调递减，其图象关于直线x=π4对称

设当x=θ时，函数f(x)=2sinx−cosx取得最大值，则cosθ=()

A. 255

B. 55

C. −255

D. −55

将偶函数f(x)=3sin(2x+φ)−cos(2x+φ)(0

A. (-π3,π6)

B. (π12,7π12)

三角函数辅助角公式练习题

令狐采学创作

令狐采学创作 1.已知函数2

cos )(x x f =，则下列等式成立的是（）令狐采学

A 、)()2(x f x f =-π

B 、)()2(x f x f =+π

C 、)()(x f x f -=-

D 、)()(x f x f =-

2.sin15°cos30°sin75°的值等于（） A.34B.38C.18 D.14

3.函数y ＝sin （π4 －2x)的单调增区间是（）

A.［k π－3π8 ，k π＋π8 ］(k ∈Z)

B.［k π＋π8，k π＋5π8

］(k ∈Z) C.［k π－π8 ，k π＋3π8 ］(k ∈Z)D.［k π＋3π8 ，k π＋7π8

］(k ∈Z) 4.已知函数f(x)＝2

1log (sinx －cosx)

（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；

（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期. 5.已知函数y=21cos2x+23sinx·cosx+1 （x ∈R ）,

（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 6.已知函数.3

cos 33cos 3sin )(2x x x x f += 将f(x)写成)sin(φω+x A 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；

三角函数辅助角公式

学习必备欢迎下载【学习目标】

1.能推导出三角变换辅助角公式；

2.能正确选取辅助角公式与运用辅助角公式。

【考点训练】

考点1：能推导出三角变换的辅助角公式

例1、化简：

（1）（2） =_________

练习1： =_______

考点2：能正确选取辅助角公式与运用辅助角公式

例2、化简:

练习2: 化简：

（1）（2）

练习3：(1)函数x x y sin 12cos 5+=的最小值是__________

(2)函数]3,6[ ,2sin 2cos 3ππ-∈-=x x x y 的值域是___________

练习4

辅助角公式专题练习

辅助角公式专题训练

一．知识点回顾

其中辅助角由确定，即辅助角的终边经过点

二．训练

1.化下列代数式为一个角的三角函数

（1）；（2）；

（3）（4）．

2、如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a= ( )

（A）（B）（C）1 （D）-1

3、已知函数的值域

4、函数的值域

5、求的最值

7.已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（过程()

A. B.

C. D. （果

过程

参考答案

1.（6）

其中辅助角由确定，即辅助角的终边经过点

2.[答案] C

[解析] y＝2sin－cos

＝2cos－cos

＝cos(x∈R)．

∵x∈R，∴x＋∈R，∴ymin＝－1.

3.答案：B

解析因为==

当是，函数取得最大值为2. 故选B

4.答案C

解析，由题设的周期为，∴，

由得，，故选C

5.解：可化为

知时，y取得最值，即

7. [答案]

[解析] 法一：y＝cos＋cos

＝cos·cos＋sinsin＋cos

＝cos＋sin

＝

＝cos＝cos≤.

法二：y＝cosx＋cosxcos－sinxsin

＝cosx－sinx＝

＝cos，

当cos＝1时，ymax＝.

10.解：

所以函数f(x)的值域是[-4，4]。

11. 解:

这时.

12.如图3,记扇OAB的中心角为,半径为1,矩形PQMN内接于这个扇形,求矩形的对角线的最小值.

解:连结OM,设∠AOM=.则MQ=,OQ=,OP=PN=.

PQ=OQ-OP=.

=,其中,,.

所以当时, 矩形的对角线的最小值为.

辅助角公式练习(含解析)

【解析】
【分析】
（1）直接代入求值；
（2）运用辅助角公式化简函数解析式，运用最小正周期公式求解即可；
（3）由（2）可知函数化简后的解析式，可利用正弦函数的性质，可以求出函数的最大值以及此时x的集合.
【详解】
（1）；
（2）；
最小正周期为；
（3）因为；
所以当时，即时，函数的最大值为2，取得最大值的x的集合为 .
（2）根据（1）中求出的正弦型函数，求出在区间的值域.
【详解】
（1）
单调递增，
解得：，
所以单调递增区间为
（2）由（1）知
因为，所以
所以
【点睛】
本题考查通过公式的运用对三角函数进行化简，以及正弦型函数的单调区间和值域，属于简单题.
13．（1）0；（2）最小正周期为；（3）最大值为2，取得最大值的x的集合为 .
11．；
【解析】
f(x)＝sin x－2cos x＝＝ sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－ .
12．(1) ;(2)
【解析】
【分析】
（1）利用降幂公式、辅助角公式，对进行化简，得到正弦型函数，然后求其单调区间.

辅助角公式专题练习

辅助角公式专题训练2013.3

一．知识点回顾

对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =

++++a b x a a b

x b a b

222

(sin cos )·

。记

a a b

+=cos θ，

b a b 22

+=sin θ

，则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+

由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*）其中θ

cos ,θ=

sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终

化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。二．训练

1.化下列代数式为一个角的三角函数（1

）

1sin 22

αα+；（2

cos αα+；（3）sin cos αα- （4

）sin()cos()6363

ππ

αα-+-．（5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +

2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3.

若函数()(1)cos f x x x =+，02

x π

≤<

，则()f x 的最大值为 ( )

A ．1

B ．2 C

1 D

4.（2009

安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63