第八讲 静定桁架的内力分析

Ⅰ
a
C
a
a
D
F
N1
N2
N3
四、 几种 主要 梁式 桁架 受力 性能 比较
补充：结点法与截面法的联合应用 为了使计算简捷应注意： 1.3P 0.5P 1）选择一个合适的出发点； 2）选择合适的隔离体； 3）选择合适的平衡方程 E F
例： 计算桁架中a杆的内力。 由结点T 0.5P T
N DT 2 P 4
2 P 4 D
T
C a K

D
P d d G


H 2d
A 2d 2d
B
NTD
P
2d
由截面 - 右
Y 0
1.3P
0.5P T
P
D
N DG N DG 1.25P 由截面 - 上 MF 0 Na 0.05 2P
C
F
Na
1.25P
例5：己知F=10KN，判别结构中的零杆,
Fx 0, NDE NDA F sin30 0
N DE N DA F sin 30 2.5F （压力）
取D结点为脱离体，图c,列结点平衡方程：
y F
30 D
o
x NDE
NDA
图c
NDC
F
取C结点为脱离体，图d,列结点平衡方程：
y
0,

NCE sin 60 NDC sin 60 0
求1.2.3杆 内力？
F F
1 2
Ⅰ
F
C
F
F
1.求支反力，
3
A
Ⅰ
由对称性知：
FVA=FVB=2.5F
FHA FVA
B
FHB
4×8=32m FVB
FHA=FHB=－0.5F
2.判别结构中的零杆
4×2=8m
解：
2.求1.2.3杆的内力 Σ MD=0
F
F
E C
－FN1×4－ (FVA－F)×4 +F×12－FHA×4= 0
N1
1 2
N2
N1
N3=
2 1 1 1 2 2
3
F1
N2
N3 N 4
N1 N 2
–F
1
N1≠N2
F
F
F
F
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆
D C
7 8
10
4
1 2
F
5 9 11 6 3
A
B
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆
P
受力分析时可以去掉零杆, 是否表示该杆在结构中是可 有可无的?
小结
以结点作为平衡对象，结点承受汇交力系作
用。灵活选点，所选结点未知力不超过2 个 按与“组成顺序相反”的原则，逐次建立各
结点的平衡方程，则桁架各结点未知内力数目一 定不超过独立平衡方程数 由结点平衡方程可求得桁架各杆内力。
2、计算简化方法
（1）特殊结点的应用
1）二杆结点无荷载
N1 N1 0 N2 N2 0 N2
理想桁架中的所 有杆均是二力杆
理想桁架计算得出的内力（轴力）叫主内 力，相应的应力叫主应力。而由于与理想假定 偏差而产生的附加内力叫次内力，相应的应力 叫次应力。
三堆子金沙江桥，简支刚桁梁桥，跨度达 192m，全长390.4m。
济南国际机场 新航站楼整体为双曲面钢桁架结构
陕飞集团 的飞机部装厂房
FRA
FRB
2.用Ⅰ-Ⅰ截面求1.4杆的内力
Σ Mc=0
F F F
D
－FN1×6－(FRA－F)×8+F×4=0
Σ MD=0 FN4×6 －(FRA－F)×8+F×4=0 FRA FN1=－2.67F=－26.7KN FN4=2.67F=26.7KN
FN5 FN6
C
FN1
FN4
3.用Ⅱ-Ⅱ截面求2.3杆的内力
RA RB 2F
F F
y
0, 0,
x
F 2 F N AD sin 30 0 2 N AC N AD cos30 0
y
F 2
NAD
30
o
N AD 3F N AC 2.598 F
(压力） (拉力）
NAC
RA 2F
图b
x
Fy 0, -F cos30 NDC 0 N DC 0.866 F (压力）
第八章 静定结构的内力分析
第八章 静定结构的内力分析
§8-7
静定平面桁架的内力
§8-7 静定平面桁架的内力 一、概述
桁架是由链杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结 点上时，杆件仅承受轴向力，截面上只有均匀分布的正 应力，是最理想的一种结构形式。
理想桁架：
端 杆
节间
上弦杆
桁高
下弦杆
腹杆
（1）桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点； （2）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心； （3）荷载和支座反力都作用在结点上
F F
FⅡ F
1 2 3
F
F
F
3×2 =6m
由特殊结点可知： FRA N 3= － N 2
ΣУ=0 FRA-3F- FN3sinα+FN2sinα=0 FN2 = －0.354F= －3.54KN FN3= 0.354F=3.54KN
4×6=24m
Ⅱ
4
FRB
F F F FN1 FN2 FN3 FN4
+
3P 2
P 2
a
P
2P 3
P
1.5a
0
1.5a
2P 3
反对称

2P 3
P 2
P 2

P 2
P 2
2P 3
2P 3
思考：判断下列结构的零杆
P P
P
P
(3)准确判断截面单杆 截面单杆 截面法取出的隔离体， 不管其上有几个轴力，如果某 杆的轴力可以通过列一个平衡 方程求得，则此杆称为截面单 杆。 可能的截面单杆通常有相交型 和平行型两种形式。
1）定义：
截面法是截取桁架一部分作为 研究对象计算桁架内力的方法。
2)要求：
截面法将桁架截成二部分，每 一部分至少有一根完整的杆件。
a
a F
a
3)要点：
N1
N2
N3
一个截面将桁架截成二部分，取一部分作为研 究对象时。在平面内可以建立三个方程，可求三个 未知量，故可同时截断三根未知内力的杆。 4）技巧：对于由两刚片用三根链杆联结的联合 桁架，可切断此三根链杆。
E 点无荷载,红色杆不受力
FAy
FBy
对称结构受反对称荷载作用, 内力和反力均为 反对称:
垂直对称轴的杆不受力
FAy
FBy
对称轴处的杆不受力
例2：利用对称性研 究原结构内力。
3P 2
P 2
P 2
正对称
P 2 P 2
P
P 2
3P 2
P 2
P 2
P 2 P 2
P 2
P 2
a
＝
P 2
3P 2
P 2
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实践表明，钢桁架的长细比 100 ，次内力的 影响可以不考虑。
二、桁架的分类
1、按桁架的外形分为：
a、三角形桁架
b、矩形桁架
c、梯形桁架
d、折线桁架
2、按几何组成规则分为：
b、联合桁架 a、简单桁架
c、复杂桁架
3、按桁架受竖向荷载作用有否水平反力分为
a、梁式桁架
b、拱式桁架
三、桁架的内力计算
图a
N BG N AD 3F （压力），N DE NGE 2.5F （压力）， N CE N KE 0.866 F （拉力），N BK N AC 2.598F （拉力）， N DC N GK 0.866 F （压力）
(4)校核 取结点E为脱离体，满足平衡方程，证明计算无误。
NED 45o NEC 45o NCB
E 45o NBE 45o B NBE
NBC P/4
【例1】 试求图a所示桁架的各杆内力
解：(1)求支座反力 桁架结构及荷载都是对称 的，所以支座反力为：
(2)求各杆内力 图a A结点只有两个未知内力NAD 和NAC，从A结点开始，取 A结点为脱离体，图b，列结点平衡方程：
相 交 情 况
FP
Na
FP FP FP FP FP
Na
除截面单 杆外，其 余杆（或 延长线） 均交于同 一点。
a 为 截 面 单 杆
除截面单杆外，其余杆件均互相平行。
FP
平行情况
FP
b为截面单杆
除截面单杆外，其余杆件均互相平行。
FP
平行情况
FP
Nb
b为截面单杆
F
y
0 Nb
Ⅰ
1 2F 3
1.5a 1.5a
3、截面法
Ⅰ
5)、应用举例3(P149)
2 己知，桁架受力如图所示， 求杆件5－7，6－7，6－8 1 的内力。
Ⅰ
4
II
6
8
10
12
14
3
5
C
Ⅰ II
7
9
11
13
解： 1.求支座反力，由对 称性知：
R1=R2=2.5F
L=6d
R1
R2
2.用Ⅰ-Ⅰ截面将桁架切开取左边 作为研究对象画出受力图。 1)求杆5－7的内力

y NCD NCE
60
C 图d
o
Fx 0,
N CE N DC 0.866 F

(拉力）

NCK NCE cos60 N AC 0
NCK NCE cos N DC cos 60 N AC N CA 1.732F （拉力）
NCK
(3)桁架右边一半杆件的内力 由于对称关系，桁架左右两 边对称杆件的内力是相等的 ，所以有：
FRA
2
ΣХ=0
N2=0
ΣMD=0 N1×3a+F×a=0 ΣMC=0 – N3×3a – F×2a=0
N1 = –F/3= –10KN N2 = 0 N 3= –2F/3 =－20KN 2.判别结构中的零杆
1.5a 1.5a
思考/讨论：己知F=30KN，判别结构中的零杆,求 1.2.3杆内力？ 解： 1.用Ⅰ-Ⅰ截面 Ⅰ F 求1.2.3杆的内力 1 3
2 1
4
6
3
5
C R1
M
6
0, N57 d F d R1 2d 0
N57 4F （拉力）
d
2)求杆6－7的内力
F
y
0,
N67 sin 45 2F 2.5F 0

2
4
6
8 7
N67 0.707F （拉力）
1
3 5
C
3)求杆6－8的内力
M
R1
F
桁架中的零杆，是对一定结点 荷载而言：
1）当荷载情况改变时，桁架中的零杆也会相应改变 2）即使荷载一定，桁架的零杆也是不能去掉的，因 为去掉零杆，结构将会成为几何可变体系而失去结构 的稳定性。
（２）利用对称性，减少计算量 1）如果静定结构杆件轴线的位置对某轴 线对称，同时结构支座也对同一条轴线对称， 则称该结构为对称结构。 2）对称结构在对称或反对称的荷载作用下， 结构的内力和变形必然对称或反对称，这称为 对称性。
10 正对称：
结构对称，荷载对称。
位置对称的杆其轴力相等，性质相同，同拉同压（同
为拉杆 同为压杆）。
20 非对称荷载： 将荷载分解为对称和反对称的两组荷载。 结构对称，荷载反对称。
位置对称的杆其轴力相等，性质相反。（一杆为拉杆 一杆为压杆）。 注意：反对称中与对称轴重合或正交的杆其轴力为0。
对称结构受对称荷载作用, 内力和反力均 为对称:
Σ MC=0 FN2sinα×8－ (FVA－F)×8 +F×16 －FHA×8 = 0 Σ ME=0 FN3cosα×8+F×8 －FHA×8 = 0
FN1
D
FN2 FN3
FHA FVA
FN1= F=10KN FN2=0
FN3=－0.707F=－7.07KN
作业
8-21 (a) 8-23 (b)
2）三杆结点无荷载
N1
N3
N1 N 2 N 3 0
2 N2=F N3=0
3）二杆结点作用一个荷载 内力为零的杆称为零杆。
F
N2
N3
3
4)四杆结点无荷载
N3
F2
N1
N4
N1 N2
N3 N 4 N1 N 2 N4
1
2
1 F1 2 N1=F1 N2=F2
N2
5)四杆结点无荷载
N3
N3
7
0, N68 d 2.5F 3d F d F 2d 0
N68 4.5F （压力）
例4：己知F=10KN，求1.2.3.4杆内力？ 解： 1.求支反力，由对称性知： FRA=FRB=3.5F
F F F Ⅰ
1 2 3
F
F
F
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F 3×2=6m
Ⅰ 4 4×6=24m
1、结点法：
以结点作为研究对象来计算结构内力的方法。
结点法的计算要点：
一个结点在平面内有二个自由度， 可以建立二个方程， 可求二个未知量。
P
D a A C 4 a
3P /4
E
-3√ 2
P
D
-2
E
-√ 2
3
√2
B
B
A C
√2
1
P /4
3P /4
P /4
P NDE 45o NDA D NDC NCD 45o NCA C NCE 45o