椭圆的定义及性质

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椭圆的定义与性质

椭圆是在平面上的一个几何图形，它的形状类似于一个椭圆形的椭圆。椭圆由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。椭圆的定义

可以通过以下方式来描述：给定两个不重合的点F1和F2，以及一个正常数a，椭圆是平面上到这两个点F1和F2的距离之和等于2a的所有

点P的集合。

椭圆有许多有趣的性质。首先，椭圆是一个闭合图形，它的形状在

两个焦点F1和F2之间变化。其次，椭圆的中点O是焦点F1和F2之

间的中点，并且椭圆的长轴是连接这两个焦点的线段。长轴的长度为

2a，其中a为椭圆的半长径。椭圆的短轴是与长轴垂直且通过中点O

的线段，其长度为2b，其中b为椭圆的半短径。椭圆的长轴和短轴之

间的关系可以通过以下公式表示：长轴的长度的平方等于短轴的长度

的平方加上焦距的长度的平方。

椭圆的形状也可以由离心率来描述。离心率是一个衡量椭圆形状的

参数，表示焦点之间的距离与半长径之间的比值。离心率小于1的椭

圆形状更加圆形，而离心率等于1的椭圆是一个特殊的圆，离心率大

于1的椭圆形状更加扁平。

除了这些基本的定义和性质之外，椭圆还有许多其他的性质。例如，椭圆上的任意一点到焦点F1和F2的距离之和等于2a，这被称为椭圆

的焦点性质。椭圆还具有对称性，即关于长轴和短轴都有对称性。椭

圆还可以通过旋转的方式来得到新的椭圆，这被称为椭圆的旋转性质。

总结起来，椭圆是平面上的一个几何图形，由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。椭圆具有闭合性、中点、长轴和短轴、离心率等基本性质。此外，椭圆还有焦点性质、对称性和旋转性质等其他有趣的性质。通过研究椭圆的定义和性质，我们可以更深入地理解和应用椭圆在数学和物理等领域中的重要性。

椭圆的基本性质

椭圆是一种常见的几何图形，具有一些特定的性质。在本文中，我们将介绍椭圆的基本概念以及与它相关的一些重要性质。

1. 椭圆的定义与特点

椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。椭圆的形状可以用离心率来描述，当离心率小于1时，椭圆更加接近于一个圆形；当离心率等于1时，椭圆退化为一个特殊的圆；当离心率大于1时，椭圆的形状变得更加扁平。

2. 椭圆的中心与轴

椭圆的中心是指位于椭圆的中心点，它同时也是椭圆的两个轴（主轴和次轴）的交点。主轴是通过椭圆的中心，并且与椭圆的两个焦点重合的直线段；次轴是与主轴垂直，并通过椭圆的中心的直线段。主轴的长度称为椭圆的长轴，次轴的长度称为椭圆的短轴。

3. 椭圆的焦点和准线

椭圆的焦点是椭圆上到两个固定点的距离之和等于常数的点，它们位于椭圆的主轴上，并且与椭圆的中心对称。准线是与主轴平行，并且通过椭圆的焦点的直线段。

4. 椭圆的半长轴与半短轴

椭圆的半长轴是指从椭圆的中心到椭圆的一条主轴上的一个顶点的

距离，长度记为a。半短轴是指从椭圆的中心到椭圆的一条次轴上的一

个顶点的距离，长度记为b。椭圆的离心率e与半长轴a和半短轴b之

间存在着如下关系：e = √(1 - b^2/a^2)。

5. 椭圆的周长与面积

椭圆的周长可以使用椭圆的长轴和短轴来计算，公式为：C =

4aE(e)，其中E(e)为椭圆的第二类完全椭圆积分，是一个与椭圆离心率

有关的特殊函数。椭圆的面积可以使用椭圆的长轴和短轴来计算，公

式为：S = πab。

椭圆的定义与性质

椭圆是数学中的一个重要几何概念，它在几何学、物理学、天文学等领域中都

有广泛的应用。本文将从椭圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。

一、椭圆的定义

椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点的距离之和等于常数的情况。这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。椭圆的定义可以用数学表达式表示为：对于平面上的点P(x, y)，到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 =

2a。其中，a为椭圆的半长轴。

二、椭圆的性质

1. 焦点与半长轴的关系：椭圆的两个焦点到椭圆中心的距离之和等于2a，即

F1C + F2C = 2a。这表明椭圆的中心C位于焦点连线的中垂线上。

2. 离心率与形状的关系：离心率e是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状趋近于圆；当

e=1时，椭圆退化为一个抛物线；当e>1时，椭圆的形状趋近于双曲线。

3. 半短轴与半长轴的关系：椭圆的半长轴为a，半短轴为b，它们之间的关系

可以用离心率e来表示，即e = √(1 - b²/a²)。通过这个公式，我们可以计算出椭圆

的半短轴。

4. 焦点与直径的关系：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的直径。这个性质在椭圆的应用中非常重要，例如在天文学中，可以用椭圆的性质来描述行星的轨道。

三、椭圆的应用

1. 天文学中的椭圆轨道：行星绕太阳运动的轨道可以近似看作椭圆，根据椭圆的性质，可以计算出行星的轨道参数，如离心率、半长轴等。

2. 椭圆的光学性质：椭圆镜是一种常见的光学元件，它可以将入射光线聚焦到一个点上，用于望远镜、显微镜等光学仪器中。

椭圆的定义与性质

1．椭圆的定义

(1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距．

(2)第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e (0<e <1)的动点的轨迹是椭圆，定点F 叫做椭圆的焦点，定直线l 叫做焦点F 相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线．

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2

b 2

＝1(a >b >0) 图形

性质

范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b

－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a

顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) B 1(－b,0)， B 2(b,0) 焦点 F 1(－c,0) F 2(c,0) F 1(0，－c ) F 2(0，c ) 准线

l 1：x ＝－a 2c l 2：x ＝a 2

l 1：y ＝－a 2c l 2：y ＝a 2

轴长轴A 1A 2的长为2a 短轴B 1B 2的长为2b

焦距 F 1F 2＝2c 离心率

e ＝c

，且e ∈(0,1)

a ，

b ，c

的关系 c 2＝a 2－b 2

对称性对称轴：坐标轴

对称中心：原点

1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)动点P 到两定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆．( )

椭圆及其性质

§8.5椭圆及其性质

学习目标

1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.

2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)

.3.掌握椭圆的简单应用．

知识梳理

1．椭圆的定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．

2．椭圆的简单几何性质

焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上

图形

标准方程x2

a2＋

b2＝1 (a>b>0)

a2＋

b2＝1 (a>b>0)

范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a

顶点A1(－a，0)，A2(a，0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，

A2(0，a)

B1(－b，0)，

B2(b，0)

轴长短轴长为2b，长轴长为2a

焦点F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c

对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点

离心率e＝c

a(0

常用结论

椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.

(1)当P 为短轴端点时，θ最大，1

F PF S △最大．

(2) 12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ

2＝c |y 0|.

(3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛

⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2

椭圆知识点与性质大全

椭圆与方程

【知识梳理】 1、椭圆的定义

平面内，到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆，其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点，定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距。此定义为椭圆的第一定义。 2、椭圆的简单性质

3、焦半径

椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径，且[],PF a c a c ∈-+，特别地，若00(,)P x y 为椭圆

()22

2210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，则10||PF a ex =+，20||PF a ex =-,其中c e a =.

4、通径

过椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>焦点F 作垂直于长轴的直线，交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径，且

2b AB a =。

P 为椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，称12PF F ∆为椭圆的焦点三角

形,其周长为：1222F PF C a c ∆=+，若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122tan 2F PF S b θ

∆=.

6、过焦点三角形

直线l 过椭圆()22

2210x y a b a b +=>>的左焦点1F ，与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，称2ABF ∆为椭圆的过焦点三

角形，其周长为：24ABF C a ∆=，面积为212y y c S ABF -=∆.

椭圆的性质及知识点总结

一、椭圆的定义和基本性质

1.1 椭圆的定义

椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。设d1和d2

分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。

1.2 椭圆的基本性质

（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。长轴的端点是两个焦点F1

和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。

（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一

个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。

（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之

和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面

积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

1.3 椭圆的方程

椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆

的中心点位于原点(0,0)。

二、椭圆的相关知识点

2.1 椭圆的离心率

椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。

2.2 椭圆的参数方程

椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：

x = a * cosθ

y = b * sinθ

其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。

2.3 椭圆的焦半径

椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之

和等于椭圆的周长。

高中数学解析几何椭圆性质与定义

椭圆的性质及应用

一、圆锥曲线

圆锥与平面的截线通常有：圆、椭圆、双曲线、抛物线，其中的椭圆、双曲线、抛物线叫圆锥曲线，其中抛物线是圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线，双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线，圆是圆锥面与垂直于轴的平面相截而得的曲线，其他平面截取的则为椭圆。

圆锥曲线有一个共同的定义：即：圆锥曲线是到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹。

二、椭圆的定义

椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹，也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1常值的点之轨迹。

椭圆的第一定义：平面内与两定点F 、F'的距离的和等于常数2a (2a>|FF'|)的动点P 的轨迹叫做椭圆。即：│PF │+│PF'│=2a ，其中两定点F 、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF'│叫做椭圆的焦距。若2a=|FF'|，为线段，若2a<|FF'|，不存在。下面确定椭圆的方程现设P 的坐标为（x,y ），F 的坐标为（C,0）

2a =

2a =-整理可得：

22222222()()a c x a y a a c -+=- 定义：222a c b -=

则椭圆的方程可表示为：椭圆在方程上可以写为标准式

2221y x a b +=，(a>b>0)，这样的椭圆长轴在x 轴上，焦点在X

轴时，若2

221y x

b a

+=，(a>b>0)，这样的椭圆长轴在y 轴上。焦点在y 轴时。有两条线段，a 、b 中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长，当a>b 时，焦点在x 轴

椭圆的定义与性质探究

椭圆是数学中一种重要的几何图形，具有独特的定义和性质。本文将对椭圆进行深入的探究，包括椭圆的定义、性质及其在实际生活中的应用。

一、椭圆的定义

椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。这两个点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。椭圆的离心率介于0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化成一个点，当离心率为1时，椭圆退化成一条线段。

二、椭圆的性质

1. 离心径：椭圆的两个焦点到任意一点的距离之和等于常数，这个常数称为离心径。椭圆的离心径长度等于长轴的长度。

2. 长轴和短轴：椭圆的两个焦点的连线称为椭圆的长轴，长轴的中点称为椭圆的中心。长轴的长度为2a，短轴的长度为2b，长轴和短轴的两倍称为椭圆的主轴。

3. 焦半径和引线：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离分别称为焦半径，而椭圆上的任意一条直线与焦点的连线相交，且平分焦半径，称为引线。

4. 离心角：椭圆上任意一点的离心角等于该点的切线与长轴之间的夹角。

5. 第一焦点定理：椭圆上任意一点的焦半径之和等于该点到两个焦点的距离。

6. 第二焦点定理：椭圆上的任意一条切线与连结焦点的两条引线之和相等。

三、椭圆的应用

椭圆在现实生活中有广泛的应用。以下是其中的几个例子：

1. 天体轨道：行星、卫星等天体的轨道往往呈椭圆形状，椭圆的性质帮助科学家研究天体的运动规律。

2. 抛物线天线：抛物线天线是一种应用了椭圆的特性的天线，其形状使得抛物面成为抛物线，从而实现更强的信号聚集效果。

3. 建筑设计：在建筑设计中，椭圆形状常用于设计建筑物的地面、门廊和窗户，赋予建筑物一种独特的美感。

椭圆的基本概念与性质

椭圆是数学上的一个重要概念，它在几何学、天文学等领域有着广泛的应用。本文将介绍椭圆的基本概念与性质，包括定义、方程、焦点、短轴、长轴等内容，以便读者对椭圆有更深入的了解。

1. 定义

椭圆可以定义为平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。

2. 方程

椭圆的标准方程为(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度。当a=b时，椭圆退化为一个圆。

3. 焦点与离心率

椭圆的焦点是椭圆上到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。椭圆的离心率是焦点与椭圆的长轴之比，通常用e表示。当e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状是扁平的；当e=1时，椭圆的形状是长条状。

4. 短轴与长轴

椭圆的长轴是通过椭圆中心且垂直于短轴的直线段，长度为2a；短轴是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线段，长度为2b。长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。

5. 面积与周长

椭圆的面积可以用公式πab来计算，其中π是圆周率。椭圆的周长

没有一个简单的数学公式，但可以用近似公式2π√((a²+b²)/2)来估算。

6. 焦点与直线关系

对于一条过椭圆的焦点的直线，该直线与椭圆的两个交点到焦点的

距离之和等于椭圆的长轴长度。这个性质在椭圆的构造和证明中有着

重要的应用。

7. 椭圆的投影

当一个椭圆被一个平面所截，就会产生一个椭圆的投影。椭圆的投

影可以是一个椭圆、一个圆、一个椭圆的一部分或一个直线段，具体

取决于投影平面与椭圆的相对位置。

椭圆的定义及性质

椭圆
一．椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1、F2叫椭圆的焦点. 两焦点的距离∣F1F2∣叫椭圆的焦距（2c）.
1.动画演示
2.椭圆定义的符号表述：
PF1 PF2 2a
(2a>2c)
注意：1.当2a>2c时,轨迹是椭圆
x2
y2
a 2 b2 1(a b 0)
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
图形
对称性顶点
范围
焦点焦距
离心率
曲线关于x轴、 y轴、原点对称长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b)
a x a, b y b
(-c,0)和(c,0)
曲线关于x轴、 y轴、原点对称长轴顶点(0,±a) 短轴顶点(±b,0)
2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以 F1、F2为端点的线段． 3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在. 4.当c=0时,轨迹为圆．
二.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴
x2 a2

y2 b2
＝1(a

b

0)
y
P
F1 o
F2 x
(2)焦点在y轴
y
F2
P
y2 x2 ＝1(a b 0)

椭圆、抛物线、双曲线的定义及性质

椭圆、抛物线、双曲线的定义及性质椭圆、抛物线、双曲线是高中数学中常见的三种二次曲线，它

们的定义和性质对于我们理解数学和应用数学起着非常重要的作用。本文将详细介绍这三种曲线的定义以及它们的一些重要性质。

一、椭圆的定义及性质

椭圆是平面上到两个定点F1、F2距离之和为常数2a的所有点

P的轨迹，这两个定点称为椭圆的焦点，椭圆的长轴为2a，短轴

为2b，半径为c，满足 $a^2=b^2+c^2$。椭圆的离心率

$e=\frac{c}{a}$，离心率是描述椭圆扁平程度的一个参数，

$0<e<1$，当离心率为0时，椭圆就退化成为一个圆。

椭圆具有如下性质：

1.椭圆的中心在两个焦点的中垂线上；

2.椭圆的两个焦点到圆心连线的夹角等于圆心到椭圆上任意一

点P的切线与椭圆长轴之间的夹角；

3.椭圆的周长和面积分别为 $C=4aE(e)$，$S=\pi a b$；其中

$E(e)$为第二类完全椭圆积分。

二、抛物线的定义及性质

抛物线是平面上到一个定点F到直线l距离等于点P到定点F 距离的所有点P的轨迹，这个定点F称为抛物线的焦点，直线l称为抛物线的准线。

抛物线具有如下性质：

1.抛物线的焦点到抛物线顶点的距离等于抛物线定点F到准线距离的一半，称为抛物线的焦距；

2.抛物线的汇聚点为无穷远处；

3.对于平面上任意的一点P，直线FP与准线l的夹角等于点P 到抛物线顶点的切线与抛物线轴线的夹角相等。

三、双曲线的定义及性质

双曲线是平面上到两个定点F1、F2距离之差为常数2a的所有点P的轨迹，这两个定点称为双曲线的焦点，而常数2a为双曲线的距离。

椭圆的基本概念与性质

椭圆是一种常见的几何图形，具有许多独特的性质和应用。本文将介绍椭圆的基本概念和性质，包括定义、标准方程、焦点、直径、离心率、轨道和应用等方面。

1.椭圆的定义

椭圆可以定义为平面上到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。椭圆也可以视为一个平面上到定点的连线长度之和等于一定长度（主轴）的点的轨迹。

2.椭圆的标准方程

以坐标原点为中心的椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b 分别表示椭圆的长短半轴。可以看出，a表示椭圆离心率对应的焦距长度，b表示椭圆的短半轴长度。

3.焦点和直径

椭圆的焦点是椭圆的一个重要属性，它是椭圆离心率定义的核心。可以通过标准方程中的离心率公式e = c/a（c为焦点到原点的距离），求得焦点的坐标表达式为(c, 0)和(-c, 0)。

椭圆的直径是通过椭圆中心并且同时与椭圆上两个点相交的线段。对于以坐标原点为中心的椭圆，直径的长度为2a。

4.椭圆的离心率

椭圆的离心率是描述椭圆形状的重要指标。离心率的取值范围为0到1，离心率为0时表示圆形，离心率为1时表示扁平的线段。椭圆的离心率定义为离心焦距和长半径之比，即e = c/a。

5.椭圆的轨迹

椭圆的轨迹是指通过一定规则的运动得到的点所形成的图形。在天体力学中，行星绕太阳运动的轨迹就是椭圆。椭圆的轨迹具有许多独特的性质，例如对称性、曲率等。

6.椭圆的应用

椭圆在现实生活中有许多重要的应用。例如，在通信中，为了提高信号传输的质量和距离，卫星轨道通常选择为椭圆轨道。此外，椭圆也被广泛应用于地理测量、天体力学、光学设计等领域。

椭圆的定义与性质

椭圆是我们在数学中经常遇到的一个几何形状，它与圆形有着密切

的关系。本文将从椭圆的定义、特点与性质等角度进行阐述。

一、定义

椭圆可以被定义为平面上满足一定条件的点的集合。具体而言，对

于一个给定的点F（焦点）和一条给定的长度2a（长轴），满足到该

点F到椭圆上任意一点P到两条焦点的距离之和等于2a的性质（即

FP1 + FP2 = 2a）的所有点的集合就是椭圆。

二、性质

1. 椭圆的长短轴

在定义中提到了长轴，那么自然会有短轴的概念。椭圆的长轴是连

接两个焦点的线段，而短轴则是与长轴垂直，并且通过椭圆中心O的

线段。长轴的长度2a通常被称为椭圆的主轴，短轴的长度2b则被称为椭圆的副轴。

2. 椭圆的离心率

椭圆的离心率是一个重要的性质，它可以帮助我们了解椭圆的形状。离心率e定义为焦点到中心距离与长轴长度的比值，即e = c/a，其中c

是焦距。

当离心率小于1时，我们可以得到一个完整的椭圆。当离心率接近于1时，椭圆的形状趋近于一个圆。当离心率等于1时，我们则可以得到一个特殊的椭圆，也称之为扁平椭圆或者简称为抛物线。

3. 椭圆的焦点性质

椭圆有一个独特的性质：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即FP1 + FP2 = 2a。这一性质也可以用来定义椭圆。

4. 椭圆的几何形状

在平面上，椭圆呈现出一种特殊的形状。与圆相比，椭圆的形状更加扁平。椭圆的形状还与长轴和短轴的长度之间的比例有关。

5. 椭圆的焦平面性质

椭圆与焦平面有着特殊的关系。如果我们在椭圆上选择任意两个不同的点P和Q，并且做出焦点F1和F2到这两个点的连线，那么这两条连线所组成的平面与椭圆的法线相交于同一点。这个点就是椭圆的焦点平面上的点。

椭圆的基本概念与性质

椭圆是一种常见的几何图形，具有一些独特的性质和应用。本文将

介绍椭圆的基本概念以及一些相关的性质。

一、椭圆的定义与特点

椭圆可以由一个固定点F（焦点）和到该点距离的总和等于常数2a （长轴）的点P的轨迹组成。根据定义，椭圆上的任意点到焦点F和

焦点到点到点P的距离之和等于常数2a。椭圆还有一个参数b，称为

短轴。这两个参数构成了椭圆的两个辅助直径。

椭圆的中心是离焦点F和点P等距离的点O。长轴和短轴的长度分

别为2a和2b，其中2a>2b。两个焦点F与F'关于中心O对称。

椭圆有一些特殊的性质：

1. 椭圆上的任意点P到焦点的距离之和等于2a。

2. 椭圆的离心率e是一个介于0和1之间的数，定义为焦点到椭圆

的中心的距离与长轴的一半的比值。离心率决定了椭圆形状的“瘦胖程度”。当e=0时，椭圆退化成一个点；当e=1时，椭圆退化成一个线段。

3. 椭圆的面积等于πab，其中π是圆周率。

二、椭圆的方程与坐标表示

椭圆的方程可以通过焦点和离心率进行表示。一般形式的椭圆方程为：

(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1

其中，a和b分别表示长轴和短轴的长度。椭圆的中心位于原点(0,0)处。

椭圆还可以通过参数方程进行表示：

x = a * cosθ

y = b * sinθ

其中，θ为参数，0 ≤ θ ≤ 2π。

三、椭圆的性质

1. 焦点定理：椭圆上的任意点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a。

2. 切线性质：椭圆上的任意点P处的切线斜率等于y/x的导数值，

即m = (dy/dx) = -b^2 / a^2 * (x / y)。

高中数学椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质

1．椭圆的定义

(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距．

(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(0

1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)动点P 到两定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆．( )

(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )

(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )

(4)已知点F 为平面内的一个定点，直线l 为平面内的一条定直线．设d 为平面内一动点P 到定直线l 的距离，若d ＝5

|PF |，则点P 的轨迹为椭圆．( )

[解析] (1)错误，|P A |＋|PB |＝|AB |＝4，点P 的轨迹为线段AB ；(2)正确，根据椭圆的第一定义知PF 1＋PF 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，故△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确，根据椭圆的第二定义．

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√

2．(教材习题改编)焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为10

，则m ＝________.

[解析] 由题设知

a 2＝5，

b 2＝m ，

c 2＝5－m ，e 2＝

c 2a 2＝5－m 5＝(105)2＝2