09四年级下册数学试题-奥数专题练习：第九讲 简单的幻方及其他数阵图(含答案)全国通用
小学四年级专项思维训练(幻方与数阵图)【附参考答案】
幻方与数阵图
1.在幻方中．每行、每列和每条对角线上的数的和都相同，那么在下图所示的
未完成的幻方中该是____。
2.幻方是将n2个数（不重复）排列成纵、横各有n个数的方阵，使其每行、每
列和两条对角线上n个数相加的和都相等．请问下图3×3的幻方中丁是多少？
3.在下图所示的O内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12．若A、
B、C的和为18，则三个顶点上的三个数的和是________。
4.下图3×3正方形的每个方格内的字母都代表一个数，已知其每行，每列以及两条对角线上三个数之和都相等，若“a=4，d=19，l=22，那么6=_______，h=______。
5.在图1、图2的空格中分别填人适当的数，使得横、竖及对角线上的三个数之和都相等，那么“？”处的数字分别为多少？．
6．在下图中每个小方格中填人一个数，使每一行每一列都有1、2、3、4、5，那么，右上角小方格内填人的数字，应该是________。
7.下图是一个3×3幻方，满足每行、每列及两条对角线上三数之和都相等，那么其中“★代表的数是__________。
8.下边的一排方格中，除9、8外，每个方格中的汉字都表示一个数（不同的汉字可表示相同的数），已知其中任意3个连续方格巾的数加起来都为22，
则“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=__________。
9.所谓“三阶乘法幻方”是指在3×3的方格中填入9个不等于0的整数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之积都相等，请将下图的“乘法幻方”补充完整，则其中的“”所代表的数是___________。
66666小学奥数专题之数阵图练习题例
小学奥数专题之——————数阵图
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：
1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
\
1.10.5.2辐射型数阵
例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15
题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。
例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。
:
解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，则a被重复使用了2次。即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。
四年级奥数数阵与幻方
数阵问题
知识要点：
一般地来讲在解决数阵图的问题上，我们应先观察好数阵图，找出“公用数”的位置，求出“公用数”是解决数阵问题的关键。在数阵图中横行有，竖行也有的数，我们把它叫做“公用数”。如果题中给你的数的个数是奇数个，而“公用数”仅一个，而这个“公用数”又是中心数，这样的数阵图称为辐射型数阵图。在解决这类数阵图时，就是先找出公用数，每边均剩下两个数，实际上就是在奇数个数中找到和相等的几对数，找的办法有三种，即：去头、去尾、去中间，而数阵图中的“公用数”就是这列数中的头、尾、中间任意一个数。
还有一种数阵图，题中给你的已知数的个数为偶数个，“公用数”不再是一个，而是多个。这样的数阵图称为封闭型数阵图，在解决此类数阵图时，应分三步走：l、先求出题中给出已知数的总和，2、再求出数阵图中的和，3、用图中和减去已知数的和即为“公用数”的总和。
例题分析：
一．辐射型数阵：
例1.将2～8这7个数分别填在下图中的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内数的和相等.
例2.把1～9这9个数字,分别填入下图的各圆圈内,使每条线上5个数的和相等.
例3.将1～9这九个数字填在”七一”内,使每一横行,每一竖列的数字的和都是13.
二．封闭型数阵：
例4.将1~6六个数填入图中的圆圈中，要求四条直线上的数字之和都等于10，那么a是多少？
例5. 如果将—11这11个自然数填入左下图的圆圈中，使每个菱形上的四个数之和都等于24，那么A等于多少？
例6.把10～80八个整十数填入下图的○中，使每个圆上五个数的和为210。
例7.把10～15这6个数字分别填放图中的各个圆圈内，使每边上的三个圆圈内数之和相等。
小学奥数专题之数阵图练习题例
66666小学奥数专题之数阵图练习
题例(总20页)
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小学奥数专题之——————数阵图
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：
1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
辐射型数阵
例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15
题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。
例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。
小学奥数数阵图与幻方A基础版
数阵图与幻方A
知识点拨
一、数阵图定义及分类：
1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.
3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
三、幻方定义
幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，
四、解决这幻方常用的方法
⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．
⑴适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）
②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．
9
87654
32
113
414151612978
105113
2
16
例题精讲
一、数阵图
例题1 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？
小学奥数之数阵图解题方法(完整版)
小学奥数之数阵图
解题方法
1. 了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法
3. 能够解决和数论相关的数阵图问题
.
一、数阵图定义及分类：
1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数
阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
模块一、封闭型数阵图
【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】
5-1-3-1.数阵图
教学目标
知识点拨
例题精讲
【答案】
【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，
且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？
【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：
a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）
a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，
小学奥数教程：数阵图_全国通用(含答案)
1. 了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法
3. 能够解决和数论相关的数阵图问题
.
一、数阵图定义及分类：
1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵
图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
复合型数阵图
【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，
每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．
31
32
33
212223131211
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++
10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）
由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．
奥数讲座(4年级-综合练习)(12讲)
四年级奥数讲座综合练习
目录
第一讲：乘法原理
第二讲：加法原理
第三讲：排列
第四讲：组合
第五讲：排列、组合
第六讲：排列组合的综合应用
第七讲：有趣的数阵
第八讲：数学游戏
第九讲：简单的幻方及其他数阵图
第十讲：数字综合题选讲
第十一讲：数字谜
第十二讲：数学竞赛试题选讲
第一讲：乘法原理
基础班
1、有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：有多少种不同的装束？
2、四角号码字典，用4个数码表示一个汉字。小王自编一个"密码本"，用3个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用"011"代表汉字"车"。问：小王的"密码本"上最多能表示多少个不同的汉字？
3、"IMO"是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的"IMO"？
4、在右图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。问：共有多少种不同的放法？
5、要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不同的评选结果？
6、甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？
7、如下图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？
8、在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？
9、一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：7 数表与幻方 精英篇(解析版)全国通用
第七讲 数表与幻方
幻方问题千变万化，幻方的填法虽然单一，但组合起来却也是千变万化.
1.三阶、四阶幻方与奇数阶幻方的填法；
2.三阶幻方的主要性质；
3.利用幻方的主要性质补填幻方图；
数表一类的问题与幻方问题往往有结合和相近的内容，但数表问题更考验学生对数字规律的发现和运用能力.
分析：
幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，
具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四
阶幻方，5×5的称作五阶幻方…… 如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，
三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.
解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.
专题精讲
教学目标
98765
432
114115106213169711548312 想 挑 战 吗？
将1到9这9个数字填入3×3的正方形表格内，使表格中横、竖、对角线上三个数的和相等，你能有多少种填法？
（一）幻方
[小故事]（教师导入）同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：
简单的幻方与数阵图(二年级竞赛)学生版 含答案
①将1到2
n 的自然数排成纵横各有n 个数的正方形，使在同一行、同一列、同一对角线上的n 个数之和都相等。这样的排列称为n 阶纵横图，或称幻方。中国汉代已有三阶纵横图，称为九宫。
②把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类图形叫数阵图，数阵是一种由幻方演变而来的数字图。
➢ 每行、每列和对角线和都相等。 ➢ 所有数的和÷ 3 = 幻和。 ➢ 幻和 ÷ 3 = 中间数。 ➢
最大最小数不在对角线。
填一填，使横行、竖行以及对角线相加的和都为24。
填一填，使横行、竖行以及对角线相加的和都为15。
6
2
8
7
45
2
6
9
把下面的幻方补充完整。
(和为30)
4
105
(和为21)
76
9
把下面的幻方填完整。
(和为15)
2
86
16
15
(和为45)
19
把2～6这五个数分别填入下左图（中间○已填入了数字4），下右图中的
○里，使下左图中两条直线上的三个数之和相等，使下右图中两条直线上的三个数之和均
为13。
将1、3、5、7、9、11、13、15、17这九个数分别填入下左图(中间○
已填入了数字1)、下右图中的○里，使下左图中每条直线上的三个数之和相等，使下右图中每条直线上的三个数之和均为27。
将2、4、6、8、10、12、14这7个数分别填入下图中，使每条线上三个数的和相等。（写出所有可能的填法）
将1～11这11个数分别填入下图中，使每条线上三个数的和相等。（写出所有可能的填法）
把1，2，3，4，5，6，7，8八个数分别填写在下面的方格中，使每边三张卡片上的数的和等于15。
把1，2，3，4，5，6，7，8八个数分别填写在下面的方格中，使每边三张卡片上的数的和等于13。
小学奥数四年级-幻方与数阵图
幻方与数阵图扩展
[内容概述]
本讲有两部分主要内容：
1、 幻方的概念和性质，简单幻方的编制；
2、 把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵
图。大致分为三类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
幻方的概念：
所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
幻方问题主要方法： 一、 累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻和”累加在一起，
再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。 二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特
殊的数字和位置入手。 三、 比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关
四年级下册数学试题-奥数专题练习：第九讲 简单的幻方及其他数阵图(含答案)全国通用
第九讲：简单的幻方及其他数阵图
基础班
1.在下图两分图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一横行、竖列和对角线上的三数之和都等于30.
2.将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60.
3.将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等.
4.将1～6六个自然数字分别填入下图的圆圈内，使三角形每边上的三数之和都等于定数S，指出这个定数S的取值范围.并对S=11时给出一种填法.
5.将1～10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.
习题答案
1.提示：首先找出中心数为10，然后设某一个空格数为x，根据横行、竖列、对角线的和都等于30，填上其余各数（含x）再由各数互不相同，且不大于15确定各数.
2.提示：在三阶幻方的基础上每个数增加15即可.
3.提示：与三阶幻方类似.
4.分析设三个顶点为x、y、Z，三条边中点处放置a、b、c，每边三数之和为S.
则有2（x+y+z）+a+b+c=3S.
对 x+y+z+a+b+c
=1+2+…+6=21
∴定数S可取 9、10、11、12.
经过试探、搜索知道：顶点放2、4、6，而2、4之间放5，2、6之间放上3，4、6之间放上1，即可.
5.
提高班
1.将1～8填入上右图中圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和为21.
答案
6.
小学奥数：数阵图(一).专项练习及答案解析
1. 了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法
3. 能够解决和数论相关的数阵图问题
.
一、数阵图定义及分类：
1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵
图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
模块一、封闭型数阵图
【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】
例题精讲
知识点拨
教学目标
5-1-3-1.数阵图
【答案】
【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数
之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？
（1）
【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：
（2）h g
f e
d c b
a
a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）
奥数讲座(4年级-下)(14讲)
四年级奥数讲座（二）
目录
第一讲乘法原理
第二讲加法原理
第三讲排列
第四讲组合
第五讲排列组合
第六讲排列组合的综合应用
第七讲行程问题
第八讲数学游戏
第九讲有趣的数阵图（一）
第十讲有趣的数阵图（二）
第十一讲简单的幻方及其他数阵图
第十二讲数字综合题选讲
第十三讲三角形的等积变形
第十四讲简单的统筹规化问题
第一讲乘法原理
在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．
例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？
分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：
第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：
注意到 3×1=3．
如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：
共有六种走法，注意到3×2=6．
在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．
在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有
小学奥数：数阵图(一).专项练习及答案解析
1. 了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法
3. 能够解决和数论相关的数阵图问题
.
一、数阵图定义及分类：
1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵
图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
模块一、封闭型数阵图
【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】
例题精讲
知识点拨
教学目标
5-1-3-1.数阵图
【答案】
【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数
之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？
（1）
【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：
（2）h g
f e
d c b
a
a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）
四年级数学之幻方和数阵
第六讲幻方和数阵
知识要点与学法指导：
传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水。有一天，从河里浮出一只大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书”。书上有一幅奇特的
这幅图用现在的数字表示，即为1～9这九个数字,填在九个格子里，每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是15（见上右图）。我国古代数学家称它为“纵横图”或“九宫图”，国外称
幻方曾使不少的爱好者入迷，目前世界上最大的幻方—“1256阶泛对角幻方”就是1990年11月22日由无锡一位中学教师发明的，这个数字方阵纵、横排成1256行，任何一条线以及对角线各数和都是990693236
数阵图就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规
定位置上，这种图形，我们称之为数阵图。由于它既有数字之间的运算，又要结合图形，因此对开发学生综合思考和形象思维很有益处。数阵图的种类很多，这里我们将主要介绍封闭式的数阵图。幻方和数阵图的填写不能只采取试的办法，而要根据题目的要求，所给的数字的特征进行合理的分析思考，并在计算的基础上，先填写关键位置的数，再填其他位置的数。
例1 把1、2、3、4、5、6填在图中，使每条边上的三个数之和都等于9。
【分析与解】
同学们，首先用你敏锐的眼光观察一下，三角形三个顶点的数在求和时各使用了几次呢？如图（2）所示，很容易看出，位于三角形顶点的三个数a，b，c各被使用了两次。
因此三条边上的总和表示为：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋a＋b＋c＝27
又因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，与总和相差27－21＝6，也就是说
a＋b＋c＝6，所以三个顶点应选作1，2，3，其他数字也就可以依次填入空位了［如图（3）所示］。
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第九讲：简单的幻方及其他数阵图
基础班
1.在下图两分图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一横行、竖列和对角线上的三数之和都等于30.
2.将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60.
3.将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等.
4.将1～6六个自然数字分别填入下图的圆圈内，使三角形每边上的三数之和都等于定数S，指出这个定数S的取值范围.并对S=11时给出一种填法.
5.将1～10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.
习题答案
1.提示：首先找出中心数为10，然后设某一个空格数为x，根据横行、竖列、对角线的和都等于30，填上其余各数（含x）再由各数互不相同，且不大于15确定各数.
2.提示：在三阶幻方的基础上每个数增加15即可.
3.提示：与三阶幻方类似.
4.分析设三个顶点为x、y、Z，三条边中点处放置a、b、c，每边三数之和为S.
则有2（x+y+z）+a+b+c=3S.
对 x+y+z+a+b+c
=1+2+…+6=21
∴定数S可取 9、10、11、12.
经过试探、搜索知道：顶点放2、4、6，而2、4之间放5，2、6之间放上3，4、6之间放上1，即可.
5.
提高班
1.将1～8填入上右图中圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和为21.
答案
6.